Prognozowanie finansowych szeregów

czasowych (Case Studies)

mgr Paweł Sakowski
mgr Piotr Wójcik

2

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Modelowanie zmienności - motywacja

t

t

t

t

t

u

x

x

x

y

+

+

+

+

=

4

4

3

3

2

2

1

β

β

β

β

)

,

0

(

~

2

σ

N

u

t

Typowe modele strukturalne, np. postaci:

zakładają homoskedastyczność czynnika losowego:

•

Jeśli założenie to nie jest spełnione to oceny błędów standardowych

parametrów są błędne!

!

Zatem czy wariancja jest stała w czasie?

Nie dla danych finansowych!

!

Liniowe modele strukturalne nie są poza tym w stanie wyjaśnić innych

charakterystycznych własności szeregów finansowych!

3

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Stylizowane fakty (1)

Należą do nich:

•

Leptokurtyczność –

rozkłady stóp zwrotu z aktywów, w porównaniu z

rozkładem normalnym, mają „grube ogony” i wyższy szczyt funkcji gęstości.
Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia nietypowych zmian kursów (ang.
outliers

) jest większe, niż w przypadku, gdyby miały one rozkład normalny.

-4

-2

2

4

0.1

0.2

0.3

0.4

4

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Stylizowane fakty (2)

!

Grupowanie wariancji –zarówno małe jak i duże zmiany kursów akcji
występują seriami (okresy charakteryzujące się niską wariancją
poprzedzają okresy z wysoką wariancją).

5

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Stylizowane fakty (3)

!

Efekt dźwigni (ang. leverage effect) – tendencja wariancji do
większego wzrostu na skutek dużego spadku cen, lecz
jednocześnie niższego wzrostu w przypadku wzrostu cen o
tą samą wielkość.

Oznacza to, że spadek kursu akcji przyczyni się do wzrostu
niepewności na rynku w większym stopniu, niż wzrost kursu
akcji tej samej wielkości.

6

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Motywacja

Modelujemy zmienność bo:

!

możemy uzyskać lepsze oszacowania i prognozy zmienności niż w

przypadku stosowania odchylenia standardowego czy wariancji stóp zwrotu!

Ma to istotne znaczenie w sytuacji kiedy zmienność jest wykorzystywana

jako parametr w modelach wyceny instrumentów (przykład: formuła Blacka-

Scholesa w wycenie opcji) czy też w modelach stosowanych do szacowania

ryzyka na rynku (modele Value-at-Risk)

!

zmienność cen/stóp zwrotu aktywów odzwierciedla niepewność na rynku.

Często dokonując prognoz badacz jest zainteresowany nie tylko poziomem

analizowanej zmiennej, lecz także związane z tym ryzykiem, czyli

prawdopodobieństwem wystąpienia dużych zmian cen.

7

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Jak modelować zmienną wariancję?

ARCH

– Autoregressive Conditional Heteroscedastic Models

ARCH(1):

ARCH(

q

):

t

t

t

t

t

u

x

x

x

y

+

+

+

+

=

4

4

3

3

2

2

1

β

β

β

β

)

,

0

(

~

2

t

t

N

u

σ

2

1

1

0

2

−

+

=

t

t

u

α

α

σ

2

2

2

2

2

1

1

0

2

...

q

t

q

t

t

t

u

u

u

−

−

−

+

+

+

+

=

α

α

α

α

σ

8

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Jak wykryć efekty ARCH?

Test LM:

t

q

t

q

t

t

t

u

u

u

u

ν

γ

γ

γ

γ

+

+

+

+

+

=

−

−

−

2

2

2

2

2

1

1

0

2

ˆ

...

ˆ

ˆ

ˆ

t

t

t

t

t

u

x

x

x

y

+

+

+

+

=

4

4

3

3

2

2

1

β

β

β

β

Oszacować reszty z:

Oszacować regresję pomocniczą:

0

...

:

2

1

0

=

=

=

=

q

H

γ

γ

γ

Hipotezę zerową

możemy przetestować za pomocą statystyki:

)

(

~

2

2

q

TR

χ

0

...

0

0

:

2

1

1

≠

∨

∨

≠

∨

≠

q

H

γ

γ

γ

przeciwko:

9

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Test LM w SASie

proc AUTOREG data=...;

model ...=.../ ARCHTEST;

run;

10

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Wady modeli ARCH

!

Oceny parametrów muszą być nieujemne,
tak aby wariancja była dodatnia.

0

,...,

0

,

0

1

0

≥

≥

≥

q

α

α

α

!

Niestety - w estymowanych modelach
zdarzają się ujemne oceny parametrów.

!

Często trzeba szacować dużą liczbę
parametrów.

11

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

GARCH czyli Generalized ARCH

!

GARCH(1,1)

2

1

1

2

1

1

0

2

−

−

+

+

=

t

t

t

u

σ

β

α

α

σ

!

GARCH(

p

,

q

)

Są to modele oszczędne w parametrach, co jest ich dużą zaletą!

W modelu GARCH (1,1) mamy do oszacowania tylko trzy parametry, a model

ten w wielu przypadkach sprawdza się doskonale.

2

2

1

1

2

2

1

1

0

2

...

...

p

t

p

t

q

t

q

t

t

u

u

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

=

σ

β

σ

β

α

α

α

σ

12

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Wariancja bezwarunkowa

Wariancja warunkowa zmienia się w czasie ale

bezwarunkowa jest stała!

ARCH(1):

GARCH(1,1):

)

1

(

)

var(

1

0

α

α

−

=

t

u

)

(

1

)

var(

1

1

0

β

α

α

+

−

=

t

u

13

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Wady modeli GARCH

!

Oszacowane oceny parametrów w równaniu

warunkowej wariancji nie zawsze gwarantują, że

przyjmuje ona wartości nieujemne.

!

Modele GARCH „wyłapują” zjawisko grupowania

wariancji lecz nie radzą sobie z efektem dźwigni

(asymetrycznymi reakcjami wariancji na szoki).

!

Warunkowy rozkład reszt nie jest normalny.

!

Brak bezpośredniej zależności między

warunkową wariancją a warunkową średnią (co

jest obserwowane w danych).

14

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Rozszerzenie modeli GARCH

W ostatnich latach opracowano wiele modeli

uzupełniających właściwości standardowego

GARCH(1,1). Przykłady:

EGARCH, GJR, TGARCH, IGARCH, FIGARCH,

QGARCH, GARCH-t, GARCH-in-Mean

Szczegółowy przegląd modeli można znaleźć w:

!

Bera A. K. and M. L. Higgins (1993) “On ARCH Models: Properties, Estimation and Testing”,
Journal of Economic Surveys

, 7, 305-366.

!

Bollerslev Tim, Ray Y. Chou, and Kenneth F. Kroner (1992) “ARCH Modeling in Finance: A

Review of the Theory and Empirical Evidence,” Journal of Econometrics, 52, 5–59.

15

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Rozszerzenia – Assymetric GARCH Models

!

EGARCH – Exponential GARCH Model















−

+

+

+

=

−

−

−

−

−

π

σ

α

σ

γ

σ

β

ω

σ

2

)

ln(

)

ln(

2

1

1

2

1

1

2

1

2

t

t

t

t

t

t

u

u

Zalety w porównaniu z modelem GARCH:

!

Modelujemy logarytm wariancji, zatem niezależnie od
wartości parametrów wariancja będzie dodatnia;

!

Dopuszczamy występowanie asymetrycznej reakcji wariancji
na szoki;

Ujemna wartość parametru świadczy o występowaniu asymetrii!

γ

16

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

News Impact Curve

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1

0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

Wartość opóźnionego szoku

Warto

ść

warunkow

ej w

ariancji

GARCH
EGARCH

17

SAS-PFSC

mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik

Jak znaleźć najlepszy model?

!

Kryteria AIC i SBC

!

Istotność dodatkowych parametrów

!

Zasada „oszczędności w parametrach”