Prognozowanie finansowych szeregów
czasowych (Case Studies)
mgr Paweł Sakowski
mgr Piotr Wójcik
Prognozowanie finansowych szeregów
czasowych (Case Studies)
mgr Paweł Sakowski
mgr Piotr Wójcik
2
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Modelowanie zmienności - motywacja
t
t
t
t
t
u
x
x
x
y
+
+
+
+
=
4
4
3
3
2
2
1
β
β
β
β
)
,
0
(
~
2
σ
N
u
t
Typowe modele strukturalne, np. postaci:
zakładają homoskedastyczność czynnika losowego:
•
Jeśli założenie to nie jest spełnione to oceny błędów standardowych
parametrów są błędne!
!
Zatem czy wariancja jest stała w czasie?
Nie dla danych finansowych!
!
Liniowe modele strukturalne nie są poza tym w stanie wyjaśnić innych
charakterystycznych własności szeregów finansowych!
3
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Stylizowane fakty (1)
Należą do nich:
•
Leptokurtyczność –
rozkłady stóp zwrotu z aktywów, w porównaniu z
rozkładem normalnym, mają „grube ogony” i wyższy szczyt funkcji gęstości.
Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia nietypowych zmian kursów (ang.
outliers
) jest większe, niż w przypadku, gdyby miały one rozkład normalny.
-4
-2
2
4
0.1
0.2
0.3
0.4
4
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Stylizowane fakty (2)
!
Grupowanie wariancji –zarówno małe jak i duże zmiany kursów akcji
występują seriami (okresy charakteryzujące się niską wariancją
poprzedzają okresy z wysoką wariancją).
5
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Stylizowane fakty (3)
!
Efekt dźwigni (ang. leverage effect) – tendencja wariancji do
większego wzrostu na skutek dużego spadku cen, lecz
jednocześnie niższego wzrostu w przypadku wzrostu cen o
tą samą wielkość.
Oznacza to, że spadek kursu akcji przyczyni się do wzrostu
niepewności na rynku w większym stopniu, niż wzrost kursu
akcji tej samej wielkości.
6
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Motywacja
Modelujemy zmienność bo:
!
możemy uzyskać lepsze oszacowania i prognozy zmienności niż w
przypadku stosowania odchylenia standardowego czy wariancji stóp zwrotu!
Ma to istotne znaczenie w sytuacji kiedy zmienność jest wykorzystywana
jako parametr w modelach wyceny instrumentów (przykład: formuła Blacka-
Scholesa w wycenie opcji) czy też w modelach stosowanych do szacowania
ryzyka na rynku (modele Value-at-Risk)
!
zmienność cen/stóp zwrotu aktywów odzwierciedla niepewność na rynku.
Często dokonując prognoz badacz jest zainteresowany nie tylko poziomem
analizowanej zmiennej, lecz także związane z tym ryzykiem, czyli
prawdopodobieństwem wystąpienia dużych zmian cen.
7
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Jak modelować zmienną wariancję?
ARCH
– Autoregressive Conditional Heteroscedastic Models
ARCH(1):
ARCH(
q
):
t
t
t
t
t
u
x
x
x
y
+
+
+
+
=
4
4
3
3
2
2
1
β
β
β
β
)
,
0
(
~
2
t
t
N
u
σ
2
1
1
0
2
−
+
=
t
t
u
α
α
σ
2
2
2
2
2
1
1
0
2
...
q
t
q
t
t
t
u
u
u
−
−
−
+
+
+
+
=
α
α
α
α
σ
8
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Jak wykryć efekty ARCH?
Test LM:
t
q
t
q
t
t
t
u
u
u
u
ν
γ
γ
γ
γ
+
+
+
+
+
=
−
−
−
2
2
2
2
2
1
1
0
2
ˆ
...
ˆ
ˆ
ˆ
t
t
t
t
t
u
x
x
x
y
+
+
+
+
=
4
4
3
3
2
2
1
β
β
β
β
Oszacować reszty z:
Oszacować regresję pomocniczą:
0
...
:
2
1
0
=
=
=
=
q
H
γ
γ
γ
Hipotezę zerową
możemy przetestować za pomocą statystyki:
)
(
~
2
2
q
TR
χ
0
...
0
0
:
2
1
1
≠
∨
∨
≠
∨
≠
q
H
γ
γ
γ
przeciwko:
9
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Test LM w SASie
proc AUTOREG data=...;
model ...=.../ ARCHTEST;
run;
10
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Wady modeli ARCH
!
Oceny parametrów muszą być nieujemne,
tak aby wariancja była dodatnia.
0
,...,
0
,
0
1
0
≥
≥
≥
q
α
α
α
!
Niestety - w estymowanych modelach
zdarzają się ujemne oceny parametrów.
!
Często trzeba szacować dużą liczbę
parametrów.
11
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
GARCH czyli Generalized ARCH
!
GARCH(1,1)
2
1
1
2
1
1
0
2
−
−
+
+
=
t
t
t
u
σ
β
α
α
σ
!
GARCH(
p
,
q
)
Są to modele oszczędne w parametrach, co jest ich dużą zaletą!
W modelu GARCH (1,1) mamy do oszacowania tylko trzy parametry, a model
ten w wielu przypadkach sprawdza się doskonale.
2
2
1
1
2
2
1
1
0
2
...
...
p
t
p
t
q
t
q
t
t
u
u
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
=
σ
β
σ
β
α
α
α
σ
12
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Wariancja bezwarunkowa
Wariancja warunkowa zmienia się w czasie ale
bezwarunkowa jest stała!
ARCH(1):
GARCH(1,1):
)
1
(
)
var(
1
0
α
α
−
=
t
u
)
(
1
)
var(
1
1
0
β
α
α
+
−
=
t
u
13
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Wady modeli GARCH
!
Oszacowane oceny parametrów w równaniu
warunkowej wariancji nie zawsze gwarantują, że
przyjmuje ona wartości nieujemne.
!
Modele GARCH „wyłapują” zjawisko grupowania
wariancji lecz nie radzą sobie z efektem dźwigni
(asymetrycznymi reakcjami wariancji na szoki).
!
Warunkowy rozkład reszt nie jest normalny.
!
Brak bezpośredniej zależności między
warunkową wariancją a warunkową średnią (co
jest obserwowane w danych).
14
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Rozszerzenie modeli GARCH
W ostatnich latach opracowano wiele modeli
uzupełniających właściwości standardowego
GARCH(1,1). Przykłady:
EGARCH, GJR, TGARCH, IGARCH, FIGARCH,
QGARCH, GARCH-t, GARCH-in-Mean
Szczegółowy przegląd modeli można znaleźć w:
!
Bera A. K. and M. L. Higgins (1993) “On ARCH Models: Properties, Estimation and Testing”,
Journal of Economic Surveys
, 7, 305-366.
!
Bollerslev Tim, Ray Y. Chou, and Kenneth F. Kroner (1992) “ARCH Modeling in Finance: A
Review of the Theory and Empirical Evidence,” Journal of Econometrics, 52, 5–59.
15
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Rozszerzenia – Assymetric GARCH Models
!
EGARCH – Exponential GARCH Model
−
+
+
+
=
−
−
−
−
−
π
σ
α
σ
γ
σ
β
ω
σ
2
)
ln(
)
ln(
2
1
1
2
1
1
2
1
2
t
t
t
t
t
t
u
u
Zalety w porównaniu z modelem GARCH:
!
Modelujemy logarytm wariancji, zatem niezależnie od
wartości parametrów wariancja będzie dodatnia;
!
Dopuszczamy występowanie asymetrycznej reakcji wariancji
na szoki;
Ujemna wartość parametru świadczy o występowaniu asymetrii!
γ
16
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
News Impact Curve
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
Wartość opóźnionego szoku
Warto
ść
warunkow
ej w
ariancji
GARCH
EGARCH
17
SAS-PFSC
mgr P. Sakowski, mgr P. Wójcik
Jak znaleźć najlepszy model?
!
Kryteria AIC i SBC
!
Istotność dodatkowych parametrów
!
Zasada „oszczędności w parametrach”