Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.
Wyznaczyć wartości sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej przedstawionej na
Rys.1
:
a). metodą analitycznego równoważenia węzłów
,
b). metodą graficznego równoważenia węzłów; plan sił Cremony
,
c). metodą przekrojów – Rittera w zaznaczonych prętach.
2.0
2.0
2.0
3.
0
1.
0
1.
0
5.0
20 KN
Rys.1
tg α = 0.5 sin α = 0.4472 cos α = 0.8944
tg β = 1.5 sin β = 0.8320 cos β = 0.5547
tg γ = 2.5 sin γ = 0.9285 cos γ = 0.3714
____________________________________________________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
1/11
1. Wyznaczenie reakcji –
Rys.2
Zaznaczamy węzły kratownicy: A, B, C, D, E, F, G, H.
Usuwamy myślowo podpory, zastępujemy ich działanie poszukiwanymi
reakcjami
przyjmując dowolnie ich zwroty.
Układając równania równowagi przyjmuje się zwykle jako dodatnie siły poziome zwrócone w prawo, siły pionowe zwrócone w górę, a momenty sił
zwrócone zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Jeżeli przyjęty zwrot reakcji jest zgodny z rzeczywistym, to w wyniku obliczeń otrzymujemy dodatnią wartość tej siły. Jeżeli przyjęty zwrot reakcji jest
niezgodny z rzeczywistym, to w wyniku obliczeń otrzymujemy ujemną wartość tej siły.
Ustawiamy odpowiednie trzy równania równowagi z których
wyznaczamy niewiadome reakcje:
1. Σ Z = 0 –20 + V
A
= 0
stąd: V
A
= 20 KN
2. Σ M
A
= 0 –20 • 6 + R
B
• 5 = 0 stąd: R
B
= 24 KN
3. Σ X = 0 – R
B
+ H
A
= 0
stąd: R
B
= H
A
= 24 KN
Sprawdzenie:
Σ M
E
= 0
H
A
• 5 – V
A
• 6 = 0
20 KN
2.0
E
D
F
G
2.0
C
2.0
3.0
H
2.0
V
A
=20 KN
A
H
A
=
24 KN
B
R
B
=
24 KN
Rys.2
X
Z
____________________________________________________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
2/11
2. Metoda analitycznego równoważenia węzłów kratownicy.
Wycinamy myślowo poszczególne węzły A, B, C, D, E, F, G, H –
Rys.3
. Na rysunkach wyciętych węzłów, zwroty sił w prętach odpowiadają
rozciąganiu. Obliczanie wartości sił w prętach rozpoczynamy od węzła w którym zbiegają się tylko dwa pręty, w naszym zadaniu jest to węzeł B i F,
a następnie przechodzimy do węzła, w którym będą tylko dwie nieznane siły. Ustawiamy dwa równania równowagi: Σ X = 0 i Σ Z = 0.
Przyjmujemy znakowanie:
pręt rozciągany
- wartość siły w pręcie ma
znak dodatni
,
pręt ściskany
- wartość siły w pręcie ma
znak ujemny
.
20 KN
2.0
2.0
2.0
3.0
24 KN
24 KN
20 KN
2.0
24 KN
20 KN
24 KN
20 KN
A
B
F
H
C
D
E
G
F
G
H
A
B
C
D
E
Rys.3
X
Z
____________________________________________________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
3/11
2.1. Wyznaczenie prętów zerowych
–
Rys.4
,
Rys.5
,
Rys.6
,
Rys.7
.
Niektóre pręty przy określonym obciążeniu kratownicy nie pracują. Wartości sił w tych prętach są równe zeru i dlatego nazwano je prętami zerowymi.
Przed przystąpieniem do obliczenia kratownicy, wskazane jest wyszukanie prętów zerowych, co znacznie ułatwi wyznaczanie sił w prętach.
Pręty zerowe są oznaczone kolorem popielatym –
Rys.7
1. Jeżeli w węźle nieobciążonym schodzą się tylko dwa pręty o różnych
kierunkach, to siły w nich są równe zeru –
Rys.4
N
FG
= 0
F
N
FE
= 0
Σ X = 0 , Σ Z = 0
Rys.4
2. Jeżeli w węźle schodzą się dwa pręty o różnych kierunkach, a węzeł jest
obciążony siłą o kierunku pokrywającym się z kierunkiem jednego
z prętów, to drugi pręt jest prętem zerowym. –
Rys.5
B
24 KN
N
BA
= 0
N
BC
Σ X = 0 N
BC
= –
24 KN
Rys.5
3. Jeżeli w węźle nieobciążonym schodzą się trzy pręty, z których dwa leżą
na jednej prostej, to trzeci pręt jest prętem zerowym. –
Rys.6
H
N
HA
N
HG
N
HC
= 0
D
N
DE
N
DC
N
DG
= 0
N
DE
= N
DC
N
HG
= N
HA
Rys.6
20 KN
3.
0
1.0
1.0
2.0
2.0
2.0
R
B
=
24 KN
B
5.0
V
A
=20 KN
H
A
=
24 KN
A
H
G
F
E
D
C
Rys.7
____________________________________________________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
4/11
2.2. Wyznaczenie wartości sił w pozostałych prętach kratownicy korzystając z równań równowagi:
Σ X = 0 i Σ Z = 0
Węzeł E
20 KN
E
N
ED
N
EF
N
EG
Rys.8
1. Σ X = 0
N
ED
+ N
EG
• cos β = 0
2. Σ Z = 0
–20 + N
EG
• sin β = 0
N
ED
=
– 13.333
N
EG
=
24.037
N
EG
= 24.037
20 KN
E
N
ED
= 13.333
0
Rys.9
X
Z
X
Z
24.037
X
Z
Węzeł G
G
GH
N
GC
N
GD
N
GE
=
Rys.10
N
EG
= N
GE
=
24.037
1. Σ X = 0
–
24.037
• cos β + N
GC
• cos β
+ N
GH
• cos α = 0
2. Σ Z = 0
–
24.037
• sin β – N
GC
• sin β
+ N
GH
• sin α = 0
N
GC
=
– 12.018
N
GH
=
22.362
N
GH
= 22.362
G
N
GE
= 24.037 N
GC
= 12.018
0
Rys.11
Węzeł A
24 KN
20 KN
A
N
AB
N
AC
N
AH
Rys.12
1. Σ X = 0
– N
AH
• cos α – N
AC
• cos γ
+ 24 = 0
2. Σ Z = 0
– N
AH
• sin α – N
AC
• sin γ
+ 20 = 0
N
AC
=
10,77
N
AH
=
22.362
20 KN
24 KN
N
AC
= 10.77
N
AH
=22.362
A
0
Rys.13
____________________________________________________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
5/11
Obliczone wartości sił w prętach zestawiamy w tabelce i na poniższym rysunku –
Rys.14
Węzeł Wartości siły w pręcie
F
N
FG
= 0
N
FE
= 0
E
N
EF
= 0
N
EG
= 24.037
N
ED
= -13.333
G
N
GE
= 24.037
N
GF
= 0
N
GH
= 22.362
N
GC
= -12.018
N
GD
= 0
D
N
DE
= -13.333
N
DG
= 0
N
DC
= -13.333
H
N
HG
= 22.362
N
HA
= 22.362
N
HC
= 0
A
N
AH
= 22.362
N
AB
= 0
N
AC
= 10.77
B
N
BA
= 0
N
BC
= -24.00
-24.00
20 KN
C
D
20 KN
2.0
2.0
2.0
E
22.
36
-13.33
2
4.
04
-13.33
F
G
-1
2.0
2
1
0.
77
H
22.
36
B
24 KN
3.
0
A
24 KN
2.0
Rys.14
Sprawdzenie poprawności obliczeń
–
Rys.15
:
W węźle C zbiegają się pręty w których obliczone są wszystkie wartości sił. Z dwóch równań równowagi sprawdzamy poprawność obliczeń.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Węzeł C
N
CA
=10.77
N
CD
=13.333
C
N
CG
=12.018
N
CB
=24.00
0
Rys.15
1. Σ X = 0
13.333 + 12.018• cos β + 10.77
• cos γ – 24 = 0
2. Σ Z = 0
–12.018• sin β + 10.77
• sin γ = 0
X
Z
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
6/11
3. Metoda graficznego równoważenia węzłów kratownicy
–
Rys.16
.
Metoda graficznego równoważenia węzłów kratownicy jest odpowiednikiem metody analitycznego równoważenia węzłów.
Graficzny warunek równowagi sił w dowolnym węźle kratownicy jest spełniony, gdy wielobok sił działających na ten węzeł jest zamknięty.
Sporządzając w odpowiedniej skali wieloboki sił kolejno dla każdego z wyciętych węzłów, określamy siły we wszystkich prętach kratownicy.
Zaczynamy rysować wielobok sił od węzła gdzie zbiegają się dwa pręty.
A
E
20 KN
2.0
D
2.0
2.0
C
F
G
H
24 KN
B
3.0
24 KN
2.0
20 KN
A
-12
.02
-13.33
-13.33
-24.00
22.
36
1
0.
77
2
4.
04
22.
36
22.
36
22.
36
10.
77
24.00
20.00
20.00
2
4.
04
13.33
E
G
2
4.
04
12
.02
12
.02
13.33
C
24.00
skala sił
10 KN
H
22.
36
13.33
D
24.00
24.00
B
Rys.16
____________________________________________________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
7/11
3.1. Plan sił Cremony
–
Rys.16a
.
Siły zewnętrzne i siły w prętach kratownicy (pręty zerowe pomijamy) oznaczamy indeksami pól, które rozgraniczają kierunki tych sił. Literami od
„a” do „d” oznaczamy pola zewnętrzne, a literami od „e” do „f” pola wewnętrzne. Rozpoczynamy rysować wielobok sił od węzła E=1 gdzie
zbiegają się dwie nieznane siły w prętach b-e i e-a oraz znana wartość siły 20 KN obciążająca węzeł E. Wielobok sił rysujemy zgodnie z ruchem
wskazówek zegara, czyli najpierw rysujemy w odpowiedniej skali znaną wartość siły a-b =20 KN, a następnie proste równoległe do znanych
kierunków sił b-e i e-a. Punkt „e” powstały z przecięcia się znanych kierunków sił b-e i e-a wyznacza wartość sił w prętach b-e i e-a Zwroty sił
wynikają z wieloboku sił. Następnie przechodzimy do węzła G=2, w którym mamy znowu dwie nieznane wartości sił b-f i f-e. Przechodząc kolejno
do następnych węzłów otrzymujemy plan sił zwany planem sił Cremony.
24 KN
24 KN
20 KN
2.0
2.0
2.0
E=1
D=3
F
C=7
B=6
skala sił
10 KN
20 KN
H=4
A=5
3.
0
a
b
c
e
f
d
b
e
f
b
a
f
e
b
d
c
d
24.00
20
.0
0
20.0
0
a
b
e
c
d
f
b
24.00
d
a
d
a
e
f
a
e
f
b
Plan CREMONY
20
.0
0
20
.00
24.00
Wielobok sił
zewnętrznych
1
G=2
2
3
4
5
6
7
skala długości
1.0 m
Wieloboki sił dla poszczególnych
węzłów kratownicy
a
c
2.0
Rys.16a
____________________________________________________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
8/11
4. Metoda przekrojów
–
Rittera.
Istotą tej metody jest niezależne wyznaczenie siły w dowolnym pręcie kratownicy z równania równowagi, zawierającego jedną niewiadomą.
Przecinamy kratownicę przekrojem przechodzącym przez trzy pręty, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Z trzech przeciętych
prętów zawsze dwa pręty przecinają się w jednym punkcie. W ten sposób możemy znaleźć trzy punkty, które nazywamy punktami Rittera .
Wiemy, że układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli możemy ustawić trzy równania sumy momentów wszystkich sił układu względem trzech
dowolnych punktów (biegunów) nie leżących na jednej prostej.
Aby otrzymać równanie, w którym wystąpiłaby tylko jedna niewiadoma, obliczamy sumę momentów wszystkich sił działających na jedna część
odciętej kratownicy (lewą lub prawą) względem punktu Rittera. W przypadku, gdy dwa z trzech prętów przeciętych są równoległe, to jeden punkt
Rittera znajduje się w nieskończoności. Aby wyznaczyć siłę w pręcie nierównoległym do dwóch pozostałych, stosujemy równanie rzutów wszystkich
sił działających na odciętą część kratownicy na kierunek prostopadły do dwóch prętów równoległych.
4.1.Przekrój α – α . Obliczenie wartości sił
w zaznaczonych prętach kratownicy ED, EG –
Rys.17
2.0
24 KN
3.
0
24 KN
D
20 KN
E
F
2.0
G
2.0
H
C
2.0
20 KN
A
B
Rys.17
20 KN
20 KN
2.0
2.0
E
F
D
G
C
H
2.
0
3.
0
24 KN
B
24 KN
A
N
FG
N
EG
N
GF
N
GE
N
DE
N
ED
Rys.18
N
FG
20 KN
E
F
N
ED
N
EG
2.0
D
G
Rys.19
Lewa część kratownicy
–
Rys.18
,
Rys.19
Σ M
G
=
0
– 20 • 2 – N
ED
• 3 = 0 → N
ED
=
– 13.333
Σ Z = 0
Punkt Rittera znajduje się w nieskończoności.
N
EG
• sin β – 20 =0 → N
EG
=
24.037
4.2. Przekrój β – β. Obliczenie wartości sił
w zaznaczonych prętach kratownicy GH, GC –
Rys.20
____________________________________________________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
9/11
20 KN
F
E
24 KN
3.0
24 KN
2.0
D
2.0
G
2.0
C
H
20 KN
2.0
A
B
Rys.20
Lewa część kratownicy –
Rys.21
Σ M
C
= 0
N
GH
• cos α • 3 + N
GH
• sin α • 2 – 20 • 4 = 0 →
N
GH
=
22.362
Σ M
I
= 0
N
GC
• cos β • 3 + N
GC
• sin β • 6 + 20 • 4 = 0 → N
GC
=
–12.018
Prawa część kratownicy –
Rys.22
Σ M
I
= 0
– N
CG
• sin β • 8 + 24 • 5 – 20 • 10 = 0 →
N
CG
=
–12.018
Lewa część kratownicy
20 KN
E
2.0
D
F
H
C
2.0
G
1.
0
3.0
N
GH
N
GC
N
DC
I
d = 4.0
Rys.21
Prawa część kratownicy
24 KN
24 KN
C
H
2.0
G
20 KN
2.0
B
A
3.0
1.0
I
6.0
N
HG
N
CG
N
CD
1.0
D
Rys.22
4.3. Przekrój γ – γ . Obliczenie wartości siły
w zaznaczonym pręcie kratownicy CA –
Rys.23
____________________________________________________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
10/11
20 KN
E
F
2.0
24 KN
24 KN
H
C
2.0
D
G
20 KN
2.0
B
A
2.0
3.0
Rys.23
Lewa część kratownicy –
Rys.24
Σ M
I
= 0
– N
CA
• sin γ • 8 + 20 • 4 = 0 → N
CA
=
10.77
Prawa część kratownicy –
Rys.25
Σ M
I
= 0
N
AC
• sin γ • 10 – N
AC
• cos γ • 5 + 24 • 5 – 20 • 10 = 0 → N
AC
=
10.77
Lewa część kratownicy
I
N
HA
3.0
N
CB
N
CA
1.0
1.0
D
20 KN
E
2.0
2.0
C
2.0
B
F
G
H
A
4.0
Rys.24
Prawa część kratownicy
I
6.0
24 KN
24 KN
C
2.0
N
AH
20 KN
2.0
B
A
1.
0
4.0
N
BC
N
AC
H
C
Rys.25
____________________________________________________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
11/11
Document Outline