Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.

Wyznaczyć wartości sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej przedstawionej na

Rys.1

:

a). metodą analitycznego równoważenia węzłów

,

b). metodą graficznego równoważenia węzłów; plan sił Cremony

,

c). metodą przekrojów – Rittera w zaznaczonych prętach.

2.0

2.0

2.0

3.

0

1.

0

1.

0

5.0

20 KN

Rys.1

tg α = 0.5 sin α = 0.4472 cos α = 0.8944

tg β = 1.5 sin β = 0.8320 cos β = 0.5547

tg γ = 2.5 sin γ = 0.9285 cos γ = 0.3714

____________________________________________________________________________________________________________________________

http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka

1/11

1. Wyznaczenie reakcji –

Rys.2

Zaznaczamy węzły kratownicy: A, B, C, D, E, F, G, H.

Usuwamy myślowo podpory, zastępujemy ich działanie poszukiwanymi

reakcjami

przyjmując dowolnie ich zwroty.

Układając równania równowagi przyjmuje się zwykle jako dodatnie siły poziome zwrócone w prawo, siły pionowe zwrócone w górę, a momenty sił
zwrócone zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Jeżeli przyjęty zwrot reakcji jest zgodny z rzeczywistym, to w wyniku obliczeń otrzymujemy dodatnią wartość tej siły. Jeżeli przyjęty zwrot reakcji jest
niezgodny z rzeczywistym, to w wyniku obliczeń otrzymujemy ujemną wartość tej siły.

Ustawiamy odpowiednie trzy równania równowagi z których
wyznaczamy niewiadome reakcje:

1. Σ Z = 0 –20 + V

A

= 0

stąd: V

A

= 20 KN

2. Σ M

A

= 0 –20 • 6 + R

B

• 5 = 0 stąd: R

B

= 24 KN

3. Σ X = 0 – R

B

+ H

A

= 0

stąd: R

B

= H

A

= 24 KN

Sprawdzenie:

Σ M

E

= 0

H

A

• 5 – V

A

• 6 = 0

20 KN

2.0

E

D

F

G

2.0

C

2.0

3.0

H

2.0

V

A

=20 KN

A

H

A

=

24 KN

B

R

B

=

24 KN

Rys.2

X

Z

____________________________________________________________________________________________________________________________

http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka

2/11

2. Metoda analitycznego równoważenia węzłów kratownicy.

Wycinamy myślowo poszczególne węzły A, B, C, D, E, F, G, H –

Rys.3

. Na rysunkach wyciętych węzłów, zwroty sił w prętach odpowiadają

rozciąganiu. Obliczanie wartości sił w prętach rozpoczynamy od węzła w którym zbiegają się tylko dwa pręty, w naszym zadaniu jest to węzeł B i F,
a następnie przechodzimy do węzła, w którym będą tylko dwie nieznane siły. Ustawiamy dwa równania równowagi: Σ X = 0 i Σ Z = 0.
Przyjmujemy znakowanie:

pręt rozciągany

- wartość siły w pręcie ma

znak dodatni

,

pręt ściskany

- wartość siły w pręcie ma

znak ujemny

.

20 KN

2.0

2.0

2.0

3.0

24 KN

24 KN

20 KN

2.0

24 KN

20 KN

24 KN

20 KN

A

B

F

H

C

D

E

G

F

G

H

A

B

C

D

E

Rys.3

X

Z

____________________________________________________________________________________________________________________________

http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka

3/11

2.1. Wyznaczenie prętów zerowych

–

Rys.4

,

Rys.5

,

Rys.6

,

Rys.7

.

Niektóre pręty przy określonym obciążeniu kratownicy nie pracują. Wartości sił w tych prętach są równe zeru i dlatego nazwano je prętami zerowymi.
Przed przystąpieniem do obliczenia kratownicy, wskazane jest wyszukanie prętów zerowych, co znacznie ułatwi wyznaczanie sił w prętach.

Pręty zerowe są oznaczone kolorem popielatym –

Rys.7

1. Jeżeli w węźle nieobciążonym schodzą się tylko dwa pręty o różnych

kierunkach, to siły w nich są równe zeru –

Rys.4

N

FG

= 0

F

N

FE

= 0

Σ X = 0 , Σ Z = 0

Rys.4

2. Jeżeli w węźle schodzą się dwa pręty o różnych kierunkach, a węzeł jest

obciążony siłą o kierunku pokrywającym się z kierunkiem jednego
z prętów, to drugi pręt jest prętem zerowym. –

Rys.5

B

24 KN

N

BA

= 0

N

BC

Σ X = 0 N

BC

= –

24 KN

Rys.5

3. Jeżeli w węźle nieobciążonym schodzą się trzy pręty, z których dwa leżą

na jednej prostej, to trzeci pręt jest prętem zerowym. –

Rys.6

H

N

HA

N

HG

N

HC

= 0

D

N

DE

N

DC

N

DG

= 0

N

DE

= N

DC

N

HG

= N

HA

Rys.6

20 KN

3.

0

1.0

1.0

2.0

2.0

2.0

R

B

=

24 KN

B

5.0

V

A

=20 KN

H

A

=

24 KN

A

H

G

F

E

D

C

Rys.7

____________________________________________________________________________________________________________________________

http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka

4/11

2.2. Wyznaczenie wartości sił w pozostałych prętach kratownicy korzystając z równań równowagi:

Σ X = 0 i Σ Z = 0

Węzeł E

20 KN

E

N

ED

N

EF

N

EG

Rys.8

1. Σ X = 0
N

ED

+ N

EG

• cos β = 0

2. Σ Z = 0
–20 + N

EG

• sin β = 0

N

ED

=

– 13.333

N

EG

=

24.037

N

EG

= 24.037

20 KN

E

N

ED

= 13.333

0

Rys.9

X

Z

X

Z

24.037

X

Z

Węzeł G

G

GH

N

GC

N

GD

N

GE

=

Rys.10

N

EG

= N

GE

=

24.037

1. Σ X = 0
–

24.037

• cos β + N

GC

• cos β

+ N

GH

• cos α = 0

2. Σ Z = 0
–

24.037

• sin β – N

GC

• sin β

+ N

GH

• sin α = 0

N

GC

=

– 12.018

N

GH

=

22.362

N

GH

= 22.362

G

N

GE

= 24.037 N

GC

= 12.018

0

Rys.11

Węzeł A

24 KN

20 KN

A

N

AB

N

AC

N

AH

Rys.12

1. Σ X = 0
– N

AH

• cos α – N

AC

• cos γ

+ 24 = 0

2. Σ Z = 0
– N

AH

• sin α – N

AC

• sin γ

+ 20 = 0

N

AC

=

10,77

N

AH

=

22.362

20 KN

24 KN

N

AC

= 10.77

N

AH

=22.362

A

0

Rys.13

____________________________________________________________________________________________________________________________

http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka

5/11

Obliczone wartości sił w prętach zestawiamy w tabelce i na poniższym rysunku –

Rys.14

Węzeł Wartości siły w pręcie

F

N

FG

= 0

N

FE

= 0

E

N

EF

= 0

N

EG

= 24.037

N

ED

= -13.333

G

N

GE

= 24.037

N

GF

= 0

N

GH

= 22.362

N

GC

= -12.018

N

GD

= 0

D

N

DE

= -13.333

N

DG

= 0

N

DC

= -13.333

H

N

HG

= 22.362

N

HA

= 22.362

N

HC

= 0

A

N

AH

= 22.362

N

AB

= 0

N

AC

= 10.77

B

N

BA

= 0

N

BC

= -24.00

-24.00

20 KN

C

D

20 KN

2.0

2.0

2.0

E

22.

36

-13.33

2

4.

04

-13.33

F

G

-1

2.0

2

1

0.

77

H

22.

36

B

24 KN

3.

0

A

24 KN

2.0

Rys.14

Sprawdzenie poprawności obliczeń

–

Rys.15

:

W węźle C zbiegają się pręty w których obliczone są wszystkie wartości sił. Z dwóch równań równowagi sprawdzamy poprawność obliczeń.

____________________________________________________________________________________________________________________________

Węzeł C

N

CA

=10.77

N

CD

=13.333

C

N

CG

=12.018

N

CB

=24.00

0

Rys.15

1. Σ X = 0
13.333 + 12.018• cos β + 10.77

• cos γ – 24 = 0

2. Σ Z = 0

–12.018• sin β + 10.77

• sin γ = 0

X

Z

http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka

6/11

3. Metoda graficznego równoważenia węzłów kratownicy

–

Rys.16

.

Metoda graficznego równoważenia węzłów kratownicy jest odpowiednikiem metody analitycznego równoważenia węzłów.
Graficzny warunek równowagi sił w dowolnym węźle kratownicy jest spełniony, gdy wielobok sił działających na ten węzeł jest zamknięty.
Sporządzając w odpowiedniej skali wieloboki sił kolejno dla każdego z wyciętych węzłów, określamy siły we wszystkich prętach kratownicy.
Zaczynamy rysować wielobok sił od węzła gdzie zbiegają się dwa pręty.

A

E

20 KN

2.0

D

2.0

2.0

C

F

G

H

24 KN

B

3.0

24 KN

2.0

20 KN

A

-12

.02

-13.33

-13.33

-24.00

22.

36

1

0.

77

2

4.

04

22.

36

22.

36

22.

36

10.

77

24.00

20.00

20.00

2

4.

04

13.33

E

G

2

4.

04

12

.02

12

.02

13.33

C

24.00

skala sił

10 KN

H

22.

36

13.33

D

24.00

24.00

B

Rys.16

____________________________________________________________________________________________________________________________

http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka

7/11

3.1. Plan sił Cremony

–

Rys.16a

.

Siły zewnętrzne i siły w prętach kratownicy (pręty zerowe pomijamy) oznaczamy indeksami pól, które rozgraniczają kierunki tych sił. Literami od
„a” do „d” oznaczamy pola zewnętrzne, a literami od „e” do „f” pola wewnętrzne. Rozpoczynamy rysować wielobok sił od węzła E=1 gdzie
zbiegają się dwie nieznane siły w prętach b-e i e-a oraz znana wartość siły 20 KN obciążająca węzeł E. Wielobok sił rysujemy zgodnie z ruchem
wskazówek zegara, czyli najpierw rysujemy w odpowiedniej skali znaną wartość siły a-b =20 KN, a następnie proste równoległe do znanych
kierunków sił b-e i e-a. Punkt „e” powstały z przecięcia się znanych kierunków sił b-e i e-a wyznacza wartość sił w prętach b-e i e-a Zwroty sił
wynikają z wieloboku sił. Następnie przechodzimy do węzła G=2, w którym mamy znowu dwie nieznane wartości sił b-f i f-e. Przechodząc kolejno
do następnych węzłów otrzymujemy plan sił zwany planem sił Cremony.

24 KN

24 KN

20 KN

2.0

2.0

2.0

E=1

D=3

F

C=7

B=6

skala sił

10 KN

20 KN

H=4

A=5

3.

0

a

b

c

e

f

d

b

e

f

b

a

f

e

b

d

c

d

24.00

20

.0

0

20.0

0

a

b

e

c

d

f

b

24.00

d

a

d

a

e

f

a

e

f

b

Plan CREMONY

20

.0

0

20

.00

24.00

Wielobok sił
zewnętrznych

1

G=2

2

3

4

5

6

7

skala długości
1.0 m

Wieloboki sił dla poszczególnych
węzłów kratownicy

a

c

2.0

Rys.16a

____________________________________________________________________________________________________________________________

http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka

8/11

4. Metoda przekrojów

–

Rittera.

Istotą tej metody jest niezależne wyznaczenie siły w dowolnym pręcie kratownicy z równania równowagi, zawierającego jedną niewiadomą.
Przecinamy kratownicę przekrojem przechodzącym przez trzy pręty, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Z trzech przeciętych
prętów zawsze dwa pręty przecinają się w jednym punkcie. W ten sposób możemy znaleźć trzy punkty, które nazywamy punktami Rittera .
Wiemy, że układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli możemy ustawić trzy równania sumy momentów wszystkich sił układu względem trzech
dowolnych punktów (biegunów) nie leżących na jednej prostej.
Aby otrzymać równanie, w którym wystąpiłaby tylko jedna niewiadoma, obliczamy sumę momentów wszystkich sił działających na jedna część
odciętej kratownicy (lewą lub prawą) względem punktu Rittera. W przypadku, gdy dwa z trzech prętów przeciętych są równoległe, to jeden punkt
Rittera znajduje się w nieskończoności. Aby wyznaczyć siłę w pręcie nierównoległym do dwóch pozostałych, stosujemy równanie rzutów wszystkich
sił działających na odciętą część kratownicy na kierunek prostopadły do dwóch prętów równoległych.

4.1.Przekrój α – α . Obliczenie wartości sił

w zaznaczonych prętach kratownicy ED, EG –

Rys.17

2.0

24 KN

3.

0

24 KN

D

20 KN

E

F

2.0

G

2.0

H

C

2.0

20 KN

A

B

Rys.17

20 KN

20 KN

2.0

2.0

E

F

D

G

C

H

2.

0

3.

0

24 KN

B

24 KN

A

N

FG

N

EG

N

GF

N

GE

N

DE

N

ED

Rys.18

N

FG

20 KN

E

F

N

ED

N

EG

2.0

D

G

Rys.19

Lewa część kratownicy

–

Rys.18

,

Rys.19

Σ M

G

=

0

– 20 • 2 – N

ED

• 3 = 0 → N

ED

=

– 13.333

Σ Z = 0

Punkt Rittera znajduje się w nieskończoności.

N

EG

• sin β – 20 =0 → N

EG

=

24.037

4.2. Przekrój β – β. Obliczenie wartości sił

w zaznaczonych prętach kratownicy GH, GC –

Rys.20

____________________________________________________________________________________________________________________________

http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka

9/11

20 KN

F

E

24 KN

3.0

24 KN

2.0

D

2.0

G

2.0

C

H

20 KN

2.0

A

B

Rys.20

Lewa część kratownicy –

Rys.21

Σ M

C

= 0

N

GH

• cos α • 3 + N

GH

• sin α • 2 – 20 • 4 = 0 →

N

GH

=

22.362

Σ M

I

= 0

N

GC

• cos β • 3 + N

GC

• sin β • 6 + 20 • 4 = 0 → N

GC

=

–12.018

Prawa część kratownicy –

Rys.22

Σ M

I

= 0

– N

CG

• sin β • 8 + 24 • 5 – 20 • 10 = 0 →

N

CG

=

–12.018

Lewa część kratownicy

20 KN

E

2.0

D

F

H

C

2.0

G

1.

0

3.0

N

GH

N

GC

N

DC

I

d = 4.0

Rys.21

Prawa część kratownicy

24 KN

24 KN

C

H

2.0

G

20 KN

2.0

B

A

3.0

1.0

I

6.0

N

HG

N

CG

N

CD

1.0

D

Rys.22

4.3. Przekrój γ – γ . Obliczenie wartości siły

w zaznaczonym pręcie kratownicy CA –

Rys.23

____________________________________________________________________________________________________________________________

http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka

10/11

20 KN

E

F

2.0

24 KN

24 KN

H

C

2.0

D

G

20 KN

2.0

B

A

2.0

3.0

Rys.23

Lewa część kratownicy –

Rys.24

Σ M

I

= 0

– N

CA

• sin γ • 8 + 20 • 4 = 0 → N

CA

=

10.77

Prawa część kratownicy –

Rys.25

Σ M

I

= 0

N

AC

• sin γ • 10 – N

AC

• cos γ • 5 + 24 • 5 – 20 • 10 = 0 → N

AC

=

10.77

Lewa część kratownicy

I

N

HA

3.0

N

CB

N

CA

1.0

1.0

D

20 KN

E

2.0

2.0

C

2.0

B

F

G

H

A

4.0

Rys.24

Prawa część kratownicy

I

6.0

24 KN

24 KN

C

2.0

N

AH

20 KN

2.0

B

A

1.

0

4.0

N

BC

N

AC

H

C

Rys.25

____________________________________________________________________________________________________________________________

http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka

11/11