WILiŚ semestr II – grupa XI – ćwiczenia nr 13
1
Zadanie 1
a) Sprawdzić, że funkcja f (x, y) =
xy
x
2
+ y
2
dla (x, y) 6= (0, 0)
0
dla (x, y) = (0, 0)
ma w punkcie (0, 0) obie pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu, ale nie jest w tym punkcie ciągła.
b) Sprawdzić, że funkcja f (x, y) =
q
x
2
+ y
2
jest ciągła w punkcie (0, 0), ale nie ma w tym punkcie
pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu.
Zadanie 2
Napisać różniczkę df (x, y) funkcji f określonej wzorem: a) ln
q
x
2
+ y
2
b)
x
2
+ y
2
x
2
− y
2
c) arc tg(xy)
Zadanie 3
Znaleźć funkcję f mając daną jej różniczkę: a) −
y
x
2
dx +
1
x
dy b) ydx + (x + ze
yz
)dy + ye
yz
dz
Zadanie 4
Obliczyć przyrost ∆f i różniczkę df funkcji f (x, y) =
1
1 + x
2
+ y
2
mając dane
a) P
0
= (0, 0),
dx = dy = 1 b) P
0
= (2, 2),
dx = dy = −1
Zadanie 5
Znaleźć przybliżoną wartość liczby a) 1, 02
1,05
b) sin 31
◦
cos 46
◦
.
Gradientem funkcji f , zmiennych x
1
, x
2
, . . . , x
n
, w punkcie P
0
nazywamy wektor
gradf (P
0
) =
"
∂f
∂x
1
(P
0
),
∂f
∂x
2
(P
0
), . . . ,
∂f
∂x
n
(P
0
)
#
.
Zadanie 6
Wyznaczyć gradient funkcji f w punkcie P
0
, jeśli
a) f (x, y) = 5x
2
y − 3xy
3
+ y
4
, P
0
= (x, y) b) f (x, y) =
q
4 + x
2
+ y
2
, P
0
= (a, b)
c) f (x, y, z) = (x
2
+ y
2
)z, P
0
= (x, y, z)
d) f (x, y) = sin
π
q
x
2
+ y
2
, P
0
= (3, 4)
e) f (x, y, z) = x
3
+ y
2
z, P
0
= (3, 2, 0)
f) f (x, y, z) =
z − x
z + y
, P
0
= (1, 0, −3)
Zadanie 7
Obliczyć cosinus kąta między wektorami:
a) grad arc sin
x
x + y
w punkcie (1, 1) i w punkcie (3, 4)
b) grad
q
x
2
+ y
2
i grad(x − 3y +
q
3xy) w punkcie P
0
= (3, 4)
Zadanie 8
a) W jakich punktach grad(x
2
+ y
2
)
3/2
ma moduł równy 2?
b) Obliczyć długość gradientu funkcji f (x, y, z) =
xy
3
z
2
+ x
2
z + 5y w punkcie P
0
= (1, 0, −1).
Zadanie 9
Obliczyć podane pochodne cząstkowe dla wskazanych funkcji:
WILiŚ semestr II – grupa XI – ćwiczenia nr 13
2
a) u
0
(t), u = f (x, y, z), gdzie x = cos t, y = sin t, z = 4t
b)
∂F
∂u
,
∂F
∂v
, F = f (x, y), gdzie x = u cos v, y = u sin v
c)
∂F
∂u
,
∂F
∂v
, F = f (x, y, z), gdzie x = uv, y = u + v, z =
u
v
d) z
0
(x), z = f (x, y(x))
e)
∂z
∂u
,
∂z
∂v
, z = f (x(v), y(u)) f)
∂z
∂u
,
∂z
∂v
, z = f (t(u, v))
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu
∂
2
f
∂x
2
(x, y)
def
= lim
∆x→0
∂f
∂x
(x + ∆x, y) −
∂f
∂x
(x, y)
∆x
,
∂
2
f
∂x∂y
(x, y)
def
= lim
∆x→0
∂f
∂y
(x + ∆x, y) −
∂f
∂y
(x, y)
∆x
∂
2
f
∂y∂x
(x, y)
def
= lim
∆y→0
∂f
∂x
(x, y + ∆y) −
∂f
∂x
(x, y)
∆y
,
∂
2
f
∂y
2
(x, y)
def
= lim
∆y→0
∂f
∂y
(x, y + ∆y) −
∂f
∂y
(x, y)
∆y
Zadanie 10
Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji
a) z = ln
q
x
2
+ y
2
b) z = x
2
y + cos y + y sin x c) u = e
xyz
Zadanie 11
Sprawdzić, czy pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu podanych funkcji w punkcie (0, 0)
istnieją i są równe:
a) f (x, y) =
xy(x
2
− y
2
)
x
2
+ y
2
dla (x, y) 6= (0, 0)
0
dla (x, y) = (0, 0)
b) f (x, y) =
x
3
y
3
x
4
+ y
4
dla (x, y) 6= (0, 0)
0
dla (x, y) = (0, 0)
c) f (x, y) =
3
q
x
6
− y
3
Zadanie 12
Niech f (r, ϕ) = F (r cos ϕ, r sin ϕ), gdzie F jest klasy C
2
. Wyznaczyć
∂
2
f
∂r
2
.
Zadanie 13
Znaleźć przybliżenie liczby (1, 02)
3,01
. Oszacować błąd tego przybliżenia.
Zadanie 14
Boki trójkątnego kawałka ziemi zmierzone z dokładnością 1 m wynoszą a = 250 m, b = 400 m.
Kąt między tymi bokami zmierzony z dokładnością 0, 001 rad wynosi α =
π
3
. Z jaką w przybliżeniu
dokładnością można obliczyć pole tego kawałka ziemi.
Zadanie 15
Napisać wzór Taylora z resztą rzędu 3 w otoczeniu punkctu P = (0, 0) dla funkcji f :
a) f (x, y) = e
x−2y
b) f (x, y) = e
x
sin y
WILiŚ semestr II – grupa XI – ćwiczenia nr 13
3
Odpowiedzi: 3. b) f (x, y, z) = xy+e
yz
+C, C ∈ R; 4. a) ∆f (0, 0) = −
2
3
, df (0, 0) = 0, b) ∆f (2, 2) =
18
81
,
df (2, 2) =
8
81
; 7. a)
7
√
2
10
, b) −
12
5
√
145
; 11. a)
∂
2
f
∂x∂y
(0, 0) = 1,
∂
2
f
∂y∂x
(0, 0) = −1, b)
∂
2
f
∂x∂y
(0, 0) =
∂
2
f
∂y∂x
(0, 0) = 0, c)
∂
2
f
∂x∂y
(0, 0) nie istnieje,
∂
2
f
∂y∂x
(0, 0) = 0; 14. 162, 5
√
3 + 25; 15. b) e
x
sin y = y + xy +
1
6
e
θx
(sin(θy)x
3
+ 3 cos(θy)x
2
y − 3 sin(θy)xy
2
− cos(θy)y
3
), θ ∈ (0, 1).