WILiŚ semestr II – grupa XI – ćwiczenia nr 13

1

Zadanie 1

a) Sprawdzić, że funkcja f (x, y) =







xy

x

2

+ y

2

dla (x, y) 6= (0, 0)

0

dla (x, y) = (0, 0)

ma w punkcie (0, 0) obie pochodne

cząstkowe pierwszego rzędu, ale nie jest w tym punkcie ciągła.

b) Sprawdzić, że funkcja f (x, y) =

q

x

2

+ y

2

jest ciągła w punkcie (0, 0), ale nie ma w tym punkcie

pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu.

Zadanie 2

Napisać różniczkę df (x, y) funkcji f określonej wzorem: a) ln

q

x

2

+ y

2

b)

x

2

+ y

2

x

2

− y

2

c) arc tg(xy)

Zadanie 3

Znaleźć funkcję f mając daną jej różniczkę: a) −

y

x

2

dx +

1

x

dy b) ydx + (x + ze

yz

)dy + ye

yz

dz

Zadanie 4

Obliczyć przyrost ∆f i różniczkę df funkcji f (x, y) =

1

1 + x

2

+ y

2

mając dane

a) P

0

= (0, 0),

dx = dy = 1 b) P

0

= (2, 2),

dx = dy = −1

Zadanie 5
Znaleźć przybliżoną wartość liczby a) 1, 02

1,05

b) sin 31

◦

cos 46

◦

.

Gradientem funkcji f , zmiennych x

1

, x

2

, . . . , x

n

, w punkcie P

0

nazywamy wektor

gradf (P

0

) =

"

∂f

∂x

1

(P

0

),

∂f

∂x

2

(P

0

), . . . ,

∂f

∂x

n

(P

0

)

#

.

Zadanie 6
Wyznaczyć gradient funkcji f w punkcie P

0

, jeśli

a) f (x, y) = 5x

2

y − 3xy

3

+ y

4

, P

0

= (x, y) b) f (x, y) =

q

4 + x

2

+ y

2

, P

0

= (a, b)

c) f (x, y, z) = (x

2

+ y

2

)z, P

0

= (x, y, z)

d) f (x, y) = sin



π

q

x

2

+ y

2



, P

0

= (3, 4)

e) f (x, y, z) = x

3

+ y

2

z, P

0

= (3, 2, 0)

f) f (x, y, z) =

z − x

z + y

, P

0

= (1, 0, −3)

Zadanie 7
Obliczyć cosinus kąta między wektorami:

a) grad arc sin

x

x + y

w punkcie (1, 1) i w punkcie (3, 4)

b) grad

q

x

2

+ y

2

i grad(x − 3y +

q

3xy) w punkcie P

0

= (3, 4)

Zadanie 8
a) W jakich punktach grad(x

2

+ y

2

)

3/2

ma moduł równy 2?

b) Obliczyć długość gradientu funkcji f (x, y, z) =

xy

3

z

2

+ x

2

z + 5y w punkcie P

0

= (1, 0, −1).

Zadanie 9
Obliczyć podane pochodne cząstkowe dla wskazanych funkcji:

WILiŚ semestr II – grupa XI – ćwiczenia nr 13

2

a) u

0

(t), u = f (x, y, z), gdzie x = cos t, y = sin t, z = 4t

b)

∂F

∂u

,

∂F

∂v

, F = f (x, y), gdzie x = u cos v, y = u sin v

c)

∂F

∂u

,

∂F

∂v

, F = f (x, y, z), gdzie x = uv, y = u + v, z =

u

v

d) z

0

(x), z = f (x, y(x))

e)

∂z

∂u

,

∂z

∂v

, z = f (x(v), y(u)) f)

∂z

∂u

,

∂z

∂v

, z = f (t(u, v))

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu

∂

2

f

∂x

2

(x, y)

def

= lim

∆x→0

∂f
∂x

(x + ∆x, y) −

∂f
∂x

(x, y)

∆x

,

∂

2

f

∂x∂y

(x, y)

def

= lim

∆x→0

∂f
∂y

(x + ∆x, y) −

∂f
∂y

(x, y)

∆x

∂

2

f

∂y∂x

(x, y)

def

= lim

∆y→0

∂f
∂x

(x, y + ∆y) −

∂f
∂x

(x, y)

∆y

,

∂

2

f

∂y

2

(x, y)

def

= lim

∆y→0

∂f
∂y

(x, y + ∆y) −

∂f
∂y

(x, y)

∆y

Zadanie 10
Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji

a) z = ln

q

x

2

+ y

2

b) z = x

2

y + cos y + y sin x c) u = e

xyz

Zadanie 11
Sprawdzić, czy pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu podanych funkcji w punkcie (0, 0)
istnieją i są równe:

a) f (x, y) =











xy(x

2

− y

2

)

x

2

+ y

2

dla (x, y) 6= (0, 0)

0

dla (x, y) = (0, 0)

b) f (x, y) =











x

3

y

3

x

4

+ y

4

dla (x, y) 6= (0, 0)

0

dla (x, y) = (0, 0)

c) f (x, y) =

3

q

x

6

− y

3

Zadanie 12

Niech f (r, ϕ) = F (r cos ϕ, r sin ϕ), gdzie F jest klasy C

2

. Wyznaczyć

∂

2

f

∂r

2

.

Zadanie 13
Znaleźć przybliżenie liczby (1, 02)

3,01

. Oszacować błąd tego przybliżenia.

Zadanie 14
Boki trójkątnego kawałka ziemi zmierzone z dokładnością 1 m wynoszą a = 250 m, b = 400 m.

Kąt między tymi bokami zmierzony z dokładnością 0, 001 rad wynosi α =

π

3

. Z jaką w przybliżeniu

dokładnością można obliczyć pole tego kawałka ziemi.

Zadanie 15
Napisać wzór Taylora z resztą rzędu 3 w otoczeniu punkctu P = (0, 0) dla funkcji f :

a) f (x, y) = e

x−2y

b) f (x, y) = e

x

sin y

WILiŚ semestr II – grupa XI – ćwiczenia nr 13

3

Odpowiedzi: 3. b) f (x, y, z) = xy+e

yz

+C, C ∈ R; 4. a) ∆f (0, 0) = −

2

3

, df (0, 0) = 0, b) ∆f (2, 2) =

18

81

,

df (2, 2) =

8

81

; 7. a)

7

√

2

10

, b) −

12

5

√

145

; 11. a)

∂

2

f

∂x∂y

(0, 0) = 1,

∂

2

f

∂y∂x

(0, 0) = −1, b)

∂

2

f

∂x∂y

(0, 0) =

∂

2

f

∂y∂x

(0, 0) = 0, c)

∂

2

f

∂x∂y

(0, 0) nie istnieje,

∂

2

f

∂y∂x

(0, 0) = 0; 14. 162, 5

√

3 + 25; 15. b) e

x

sin y = y + xy +

1

6

e

θx

(sin(θy)x

3

+ 3 cos(θy)x

2

y − 3 sin(θy)xy

2

− cos(θy)y

3

), θ ∈ (0, 1).