Całka nieoznaczona - Wprowadzenie

DEFINICJA
Niech f będzie funkcją określoną na przedziale I, o wartościach w zbiorze liczb rzeczywi-

stych. Funkcję F określoną na tym samym przedziale nazwiemy pierwotną funkcji f , jeśli

F

′

(x) = f (x) dla każdego x ∈ I.

PRZYKŁADY

f

(x) = x

F

(x) =

x

2

2

f

(x) = x

3

F

(x) =

x

4

4

f

(x) = x

3

F

(x) =

x

4

4

+ 12

Uwaga.

Funkcje F

1

i F

2

są pierwotnymi tej samej funkcji f na przedziale I wtedy i tylko

wtedy, gdy istnieje stała C ∈

R

taka, że F

2

(x) = F

1

(x) + C dla każdego x ∈ I (t.j. gdy F

1

i F

2

różnią się o stałą).

Każdą z funkcji pierwotnych danej funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i

oznaczamy przez

Z

f

(x) dx (w skrócie

Z

f

).

Mamy więc

Z

x

dx =

x

2

2

+ C

Z

x

3

dx =

x

4

4

+ C

itd.

Istnienie całek.

Zachodzi następujące

TWIERDZENIE

Jeśli f jest ciągła w I to f ma funkcję pierwotną.

Jeśli f nie jest ciągła, to pierwotnej może nie mieć. Przykład: f (x) = sgnx.