Całka nieoznaczona - Wprowadzenie DEFINICJA
Niech f będzie funkcją określoną na przedziale I, o wartościach w zbiorze liczb rzeczywi-stych. Funkcję F określoną na tym samym przedziale nazwiemy pierwotną funkcji f , jeśli F ′( x) = f ( x) dla każdego x ∈ I.
PRZYKŁADY
x 2
f ( x) = x F ( x) = 2
x 4
f ( x) = x 3
F ( x) = 4
x 4
f ( x) = x 3
F ( x) =
+ 12
4
Uwaga. Funkcje F 1 i F 2 są pierwotnymi tej samej funkcji f na przedziale I wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała C ∈
taka, że F 2( x) = F 1( x) + C dla każdego x ∈ I (t.j. gdy F 1
R
i F 2 różnią się o stałą).
Każdą z funkcji pierwotnych danej funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i Z
Z
oznaczamy przez
f ( x) d x (w skrócie f ).
Mamy więc
Z
x 2
x d x =
+ C
2
Z
x 4
x 3 d x =
+ C
4
itd.
Istnienie całek. Zachodzi następujące TWIERDZENIE
Jeśli f jest ciągła w I to f ma funkcję pierwotną.
Jeśli f nie jest ciągła, to pierwotnej może nie mieć. Przykład: f ( x) = sgn x.