Dr inż. Michał Chłędowski

 AUTOMATYKA

Materiały dydaktyczne

dotyczące zagadnień przewidzianych w I pracy kontrolnej

Zakres tematyczny: Podstawowe człony automatyki, opis własności statycznych i dynamicznych, 
transmitancja operatorowa, charakterystyka skokowa, charakterystyka częstotliwościowa

Treść zadania:W pracy należy zrealizować następujące zadania:

1.   Wybrać dowolny element automatyki. Narysować go schematycznie oraz narysować jego schemat 

blokowy z zaznaczeniem sygnału wejściowego i wyjściowego a także przyjąć liczbowe wartości 
parametrów charakteryzujących ten element.

2.    Wyprowadzić równanie opisującego właściwości dynamiczne i statyczne elementu automatyki w 

dziedzinie czasu. 

3.    Określić transmitancję przejścia opisywanego elementu z równania operatorowego uzyskanego w 

wyniku zastosowania przekształcenia Laplace’a do równania w dziedzinie czasu.

4.   Wyznaczyć wzór na charakterystykę skokową korzystając z odwrotnego przekształcenia Laplace’a i 

tablic   przekształceń   Laplace’a.   Narysować   wykres   charakterystyki   skokowej   korzystając   z 
dowolnego programu komputerowego (Matlab, Scilab, Codas, Origin). Sprawdzić wybrane punkty 
wykresu   wykonując  obliczenia   h(t)   ze   wzoru   dla   odpowiednich   wartości  czasu.   Wyniki  obliczeń 
zamieścić w tabelce.

5.   Wyznaczyć wzory na charakterystykę częstotliwościową (amplitudowo-fazową) badanego elementu 

oraz   na   charakterystyki   logarytmiczne:   amplitudową   i   fazową.   Narysować   wykresy   tych 
charakterystyk. Sposób rysowania i sprawdzania jak w pkt.4.

6.    Wszystkie punkty pracy  kontrolnej należy  wykonać ze  zrozumieniem realizowanych czynności i 

operacji,   podchodząc   krytycznie   do   otrzymywanych   wyników   i   przeprowadzić   analizę   ich 
poprawności.

Tok postępowania: 

1. Wybrać dowolny element automatyki. Może to być element mechaniczny, elektryczny, 

pneumatyczny, hydrauliczny a także mieszany, np. mechaniczno-elektryczny. Warto w tym 
celu przeglądnąć kilka pozycji literatury z zakresu automatyki i znaleźć przykład, który 
przynajmniej częściowo będziemy mogli wykorzystać. Ważnym jest, aby wybrany przykład 
elementu automatyki był zrozumiały z punktu widzenia jego budowy, zasady działania i 
przeznaczenia. Rozważnym jest wybieranie przykładu o średniej skali trudności. W 
szczególności chodzi o to, aby był to element liniowy a równanie opisujące właściwości 
dynamiczne było równaniem różniczkowym (całkowym) 1-go lub 2-go rzędu (chociaż 
oczywiście może być i wyższego). Nie będą akceptowane przykłady z elementem 
proporcjonalnym jako zbyt proste. Tak więc odpadają elementy w postaci np. belki 
dwuramiennej czy dzielnika napięcia. Wybrany element należy przedstawić graficznie w 
postaci prostego ale zrozumiałego rysunku a także jako schemat blokowy elementu 
automatyki w postaci prostokąta z wyraźnym zaznaczeniem wielkości fizycznych, które w 
naszym przykładzie będą pełnić rolę sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego. Proszę 

podać miana tych sygnałów a także przyjąć przykładowe (ale rozsądne!) wartości liczbowe 
parametrów występujących w opracowywanym przykładzie.

2. Dla tak zdefiniowanego elementu automatyki wyznaczyć opis matematyczny jego 

właściwości. Przeprowadzając analizę pracy elementu oraz wykorzystując wiedzę ze 
stosownych, mających w danym przypadku zastosowanie dziedzin, należy napisać równanie 
w dziedzinie czasu (najczęściej różniczkowe), wiążące sygnał wyjściowy z sygnałem 
wejściowym i parametrami charakteryzującymi badany element. Tak napisane równanie da 
nam opis właściwości dynamicznych elementu. Przyrównując do zera wszystkie pochodne 
występujące w równaniu otrzymamy tzw. równanie statyki, czyli zależność sygnału 
wyjściowego od wejściowego w stanie ustalonym.

3. Zastosowanie przekształcenia Laplace'a do równania różniczkowego pozwoli napisać 

równanie operatorowe. Równanie to powinno być równaniem algebraicznym a zmienną 
niezależną będzie operator Laplace'a  „s”. Korzystając z definicji transmitancji 
operatorowej, którą najprościej można zapisać jako: transmitancją operatorową G(s) 
nazywamy stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału 
wejściowego X(s) przy zerowych warunkach początkowych, przekształcimy równanie 
operatorowe tak, aby napisać wzór na transmitancję operatorową G(s)=Y(s)/X(s).

4. Charakterystyka skokowa  h(t) jest odpowiedzią badanego członu (układu) na wymuszenie 

skokowe. Wymuszenie skokowe matematycznie zapisujemy jako a 1(t), gdzie a jest 
amplitudą wymuszenia a pogrubiona jedynka charakteryzuje skokową zmianę funkcji 
wymuszającej. Transformata wymuszenia skokowego ma postać: a/s.  Transformatę 
charakterystyki skokowej możemy wyznaczyć bezpośrednio ze wzoru na G(s) wstawiając w 
miejsce ogólnie zapisanego sygnału wejściowego X(s) transformatę wymuszenia 

skokowego. Otrzymamy:  H  s=G  s

a

s

. W celu znalezienia wzoru na charakterystykę 

skokową badane elementu w dziedzinie czasu należy zastosować odwrotne przekształcenie 

Laplace'a. Zapiszemy to następująco:  h t= L

−

1

[

G  s

a

s

]=

a L

−

1

[

G s 

1

s

] . Oryginał 

wyrażenia z nawiasu kwadratowego znajdziemy w tablicach przekształceń Laplace'a. 
Korzystając z dowolnego graficznego programu komputerowego należy narysować wykres 
charakterystyki skokowej. Dla sprawdzenia poprawności wyniku należy wyliczyć 
przynajmniej 3 - 4 wartości  h(t) dla wybranych wartości czasu i porównać z wykresem. 

5. Charakterystyki częstotliwościowe rozpatrywać będziemy w oparciu o pojęcie transmitancji 

widmowej, którą definiujemy następująco: jest to transmitancja operatorowa, w  której za 
operator Laplace'a  s będący liczbą zespoloną, podstawiamy tylko część urojoną tej liczby, 
czyli jω, gdzie ω – pulsacja zmieniająca się w zakresie od 0 do +∞. Czyli 

G j =G  s∣

s= j 

. Będziemy rozpatrywać dwa rodzaje charakterystyk: 

- charakterystykę amplitudowo-fazową,
- logarytmiczne charakterystyki: amplitudową i fazową.

Dla znalezienia wzoru a następnie narysowania na jego podstawie wykresu ch-ki a-f 
konieczne jest wydzielenie części rzeczywistej P(ω) i części urojonej Q(ω) z ogólnej postaci 
charakterystyki amplitudowo-fazowej G(jω). Dla wyznaczenia  charakterystyk 
logarytmicznych: amplitudowej i fazowej należy wyznaczyć wzory na te charakterystyki. 
Wyznaczamy je korzystając z definicji. Amplitudową charakterystykę logarytmiczną 
definiujemy następująco: L(ω)=20logM(ω),  gdzie  M =



P

2



Q

2

 , zaś 

fazową charakterystykę logarytmiczną:  φ(ω)=arctan

Q(

ω)

P (

ω)

. Charakterystyki 

amplitudową i fazową rysujemy jedna pod drugą. L(ω) wyrażamy w [dB] zaś  φ(ω) 
najczęściej w stopniach, rzadziej w radianach. Na osi poziomej odkładamy pulsację ω w 
skali logarytmicznej (jednakowym odcinkom na tej osi odpowiada dziesięciokrotny wzrost 
pulsacji). Zakres zmian ω dobieramy w zależności od parametrów i własności badanego 
elementu. Wybieramy przedział w którym zachodzą istotne zmiany. Charakterystyki 

częstotliwościowe (amplitudowo-fazową i logarytmiczne) rysujemy wykorzystując 
odpowiedni program komputerowy. W celu sprawdzenia poprawności przeprowadzonych 
działań liczymy dla wybranych wartości ω (w tym dla 0 i ∞) poszczególne parametry 
badanych charakterystyk, czyli: P(ω), Q(ω), L(ω) oraz φ(ω) , zapisujemy w tabelce  i 
porównujemy z otrzymanymi wykresami.

Przykład rozwiązania: obcowzbudny silnik prądu stałego (DC)

Krok I – wybór elementu do badań

Jako przedmiot badań wybierzemy obcowzbudny silnik elektryczny prądu stałego. Konstrukcję 
takiego silnika przedstawia rys.1 a jego zasadę działania – rys. 2.

 

Rys. 1. Budowa silnika DC

 Rys. 2. Zasada działania silnika DC

 

Dla napisania równań opisujących dynamiczne własności silnika wygodnie jest przedstawić 
schematycznie obwody elektryczne i model mechaniczny wirnika (rys. 3). Schemat blokowy silnika 
DC jako elementu automatyki przedstawia rys. 4.

Wartości liczbowe parametrów charakteryzujących silnik prądu stałego przyjmiemy po 
wyprowadzeniu wzorów. Wówczas będzie znany pełny zestaw tych parametrów.

Rys. 3. Uproszczony schemat silnika DC

Rys. 4. Schemat blokowy silnika DC

Krok II – Model matematyczny silnika DC

Analizę tego układu przeprowadzimy przy założeniu, że dynamikę silnika obcowzbudnego prądu 
stałego można, z wystarczającym przybliżeniem, opisać za pomocą równania różniczkowego 
pierwszego rzędu. Dokładniejsza analiza wymagałaby uwzględnienia szeregu zjawisk (chociażby 
indukcyjność obwodu twornika), które poprawiają jakość odzwierciedlenia rzeczywistego 
zachowania silnika ale znacznie komplikują model. Tutaj ograniczymy się opisem wynikającym z 
rys.3.  Wielkością sterowaną jest prędkość obrotowa silnika n a wielkością sterującą – napięcie 

U

s

przyłożone do obwodu twornika (rys. 4.).

Uzwojenie wzbudzenia zasilane stałym napięciem 

U

w

wytwarza stałe pole magnetyczne 

pomiędzy nabiegunnikami, stąd nazwa silnik obcowzbudny (nie ze stałymi magnesami).

Obwód elektryczny twornika uwzględnia oporność twornika  R

t

oraz siłę elektromotoryczną 

indukcji e. Wartość siły elektromotorycznej możemy wyrazić zależnością:

e=c n

(1)

gdzie:  c – stała konstrukcyjna maszyny elektrycznej,

Φ – strumień pola magnetycznego wzbudzenia,
n  - prędkość obrotowa silnika.

Ponieważ napięcie wzbudzenia 

U

w

jest stałe to wytwarzany strumień pola magnetycznego 

wzbudzenia Φ jest również stały. Możemy zatem napisać:

e=k

e

n

(2)

gdzie: 

k

e

- stała elektromechaniczna silnika.

Z prawa Kirchhoffa zastosowanego do obwodu twornika otrzymamy równanie:

e=k

e

n=U

s

−

i

t

R

t

(3)

Z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego wynika, że:

J

dn

dt

=

M

e

−

M

(4)

gdzie:  J   

- całkowity moment bezwładności (wszystkich elementów wirujących),

M

e

- elektromagnetyczny moment obrotowy wytwarzany przez wirnik silnika,

M

- moment sił hamujących (obciążenie silnika).

Moment obrotowy wytwarzany przez silnik możemy wyliczyć z zależności:

M

e

=

c

m

Φi

t

=

k

m

i

t

(5)

gdzie: 

k

m

=

c

m

Φ - stała momentowa.

Ostatecznie, podstawiając do równania (4) zależności (3) i (5) otrzymujemy równanie dynamiki 
silnika prądu stałego:

JR

t

k

m

k

e

dn

dt



n=

1

k

e

U

s

−

R

t

k

e

k

m

M  

(6)

Widzimy, że w równaniu (6) występują dwie wielkości wejściowe: napięcie sterujące  U

s

oraz 

moment obciążenia M. W układzie tym sterujemy prędkością obrotową n(t) za pomocą napięcia 
twornika 

U

s



t 

przy występowaniu zakłóceń w postaci zmiennego obciążenia M(t).

Mając wszystkie parametry występujące w opisie własności dynamicznych silnika możemy określić 
ich wartości liczbowe.
Wykorzystamy dane silnika wykonawczego produkcji krajowej PZTK88-35TRR. Producent 
dostarcza następujących danych:

•

Moment długotrwały (dla n=0) – 0,55 Nm,

•

Napięcie maksymalne zasilania – 35 V,

•

Prędkość maksymalna  -  3200 obr/min,

•

Moment maksymalny   - 2,8 Nm,

•

Prąd maksymalny   - 27 A,

•

Stała momentowa  -  k

m

=

c

m

Φ=

M

e

i

t

=

0,105 Nm / A ,

•

Stała elektromechaniczna silnika  -    k

e

=

c

Φ= e

n

=

11 V /1000 obr /min ,

•

Rezystancja twornika - 

R

t

=

0,56 

,

•

Indukcyjność twornika -  L

t

=

0,9 mH ,

•

Moment bezwładności  - 

J =1,45∗10

−

4

kgm

2

.

Równanie (6) warto zapisać w skróconej postaci:

T

dnt 

dt



nt =k

u

U

s



t −k

o

M t

(7)

gdzie:  T =

JR

t

k

m

k

e

=

1,45⋅10

−

4

⋅

0,56

0,105⋅0,011

=

0,07 ,

k

u

=

1

k

e

=

1

0,011

=

90,91 ,

k

o

=

R

t

k

e

k

m

=

0,56

0,105⋅0,011

=

484,85 .

Lewa strona tego równania opisuje własności silnika. Jak widzimy, w tym przypadku jest to 
równanie różniczkowe I-go rzędu. Bardziej szczegółowa analiza silnika jako obiektu sterowania 
(uwzględniająca indukcyjność obwodu twornika) prowadzi do równania II-go rzędu. Pojawia się 
wówczas w tym równaniu druga stała czasowa, tzw. elektryczna, która jest przynajmniej o dwa 
rzędy wielkości mniejsza aniżeli stała mechaniczna (T) co powoduje, że współczynnik przy drugiej 
pochodnej jest bardzo mały i można go przy mniej dokładnej analizie zaniedbać.
Po prawej stronie równania występuje sygnał sterujący (napięcie twornika) i sygnał zakłócający 
(zmienny moment obciążenia). Strukturę sterowania silnika prądu stałego w pętli otwartej można 
przedstawić jak na rys. 5.

Obliczymy transmitancję operatorową silnika przyjmując zgodnie z rys. 4 za sygnał wejściowy 
napięcie  U

s



t  a za sygnał wyjściowy - prędkość obrotową n(t). Moment obciążający M(t) w 

tym przypadku jest stały, w szczególności równy zero. Równanie (7) w takim przypadku przyjmie 
postać:

T

dnt 

dt



nt =k

u

U

s



t 

 (8)

Z równania (8) opisującego własności dynamiczne silnika łatwo uzyskać równanie „statyki”. 

Rys. 5. Schemat blokowy sterowania silnika w otwartej pętli

Charakterystyka statyczna to zależność sygnału wyjściowego od wejściowego w stanach 
ustalonych. W stanach ustalonych wielkości wejściowe i wyjściowe nie zmieniają się (mamy 
przecież stan ustalony). A jeśli tak, to wszystkie pochodne są równe zeru. Przyrównanie do zera 
członów równania w których występują pochodne daje nam równanie statyki. W omawianym 
przypadku równanie to przyjmie postać:

n

0

=

k

u

U

s0

(9)

gdzie indeks „0” oznacza wartość danej zmiennej w stanie ustalonym.

Krok III – Określenie transmitancji operatorowej G(s)

Równanie operatorowe otrzymamy stosując znane reguły przekształcenia Laplace'a. Symbol 

różniczkowania 

d

dt

zastępujemy operatorem Laplace'a   „s”, zmienne uzależniamy również od 

„s” i piszemy dużą literą, parametry stałe nie ulegają zmianie (nie podlegają przekształceniu). W 
naszym przypadku, po zastosowaniu opisanych reguł do równania (8) otrzymamy równanie 
algebraiczne:

T sN  s N s =k

u

U

s



s 

 

(10)

Teraz możemy napisać transmitancję operatorową badanego silnika DC. Przypomnimy definicję:

t

ransmitancją operatorową G(s) układu lub członu automatyki nazywamy stosunek transformaty 

sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych.

Rolę sygnału wyjściowego pełni prędkość obrotowa n(t) a jej transformata to N(s). Rolę sygnału 
wejściowego pełni napięcie twornika, zwane napięciem sterującym  U

s



t  . Jego transformata to 

U

s



s 

. Tak więc:

G s =

N  s

U

s



s

=

k

u

Ts1

=

90,91

0,07 s1

 

(11)

Krok IV – Charakterystyka skokowa

W pkt. „Tok postępowania„ (str.2) mamy podane podstawowe informacje na temat charakterystyki 
skokowej (więcej w poz. [1], str.71) i w szczególności przytoczony jest wzór:

h t= L

−

1

[

G  s

a

s

]=

a L

−

1

[

G s 

1

s

]  

 (12)

Przeanalizujemy tok postępowania zmierzający do otrzymania charakterystyki skokowej zarówno 
w postaci  analitycznej (tabelka) jak i graficznej (wykres) w oparciu o wzór (12).
W badanym silniku maksymalne napięcie zasilające wynosi  U

s

=

35[V ] . Przyjmiemy zatem, że 

parametr „a” w równaniu (12) oznaczający amplitudę skoku wymuszającego równy będzie 35. 
Wzór (12) przyjmie postać:

h t= L

−

1

[

k

u

Ts1

a

s

]=

a⋅k

u

L

−

1

[

1

sTs1

]=

3181,85 L

−

1

[

1

s0,07 s1

]

 (13)

Symbol  L

−

1

oznacza odwrotne przekształcenie Laplace'a. Oznacza on, że poszukujemy oryginału 

z wyrażenia znajdującego się w nawiasie kwadratowym za tym symbolem. Do tego celu 
wykorzystujemy tablice transformat Laplace'a. W każdym podręczniku do automatyki powinna 
znajdować się taka, mniej lub bardziej rozbudowana tablica. Jeśli korzystamy z pozycji [1] to na 
stronie 412 znajdziemy rozdział  DODATEK a w nim bardzo rozbudowaną tablicę. Korzystanie z 
takiej tablicy w celu znalezienia odwrotnego przekształcenia Laplace'a polega na znalezieniu w 
drugiej kolumnie wyrażenia identycznego jak nasze wyrażenie w nawiasie kwadratowym i 
odczytaniu w trzeciej kolumnie oryginału, który będzie poszukiwanym wzorem charakterystyki 

skokowej. Poszukujemy zatem w drugiej kolumnie tablicy wyrażenia  [

1

s 0,07 s1

] . Ponieważ 

rozpatrywany przykład jest stosunkowo prostym przykładem nie powinno być problemu ze 
znalezieniem takiego wyrażenia. 
W przypadkach bardziej złożonych, kiedy nie udaje się nam znaleźć odpowiedniego wyrażenia 
stosujemy zabieg rozkładu takiego wyrażenia na ułamki proste, przedstawiamy go więc jako sumę 
„prostszych” wyrażeń, w tablicy znajdujemy te „prostsze” wyrażenia a wynik uzyskujemy jako 
sumę oryginałów poszczególnych „prostszych” wyrażeń. Więcej szczegółów o toku 
przedstawionego postępowania można znaleźć w pozycji [1], str.76. 
Występujące w naszym przykładzie wyrażenie znajdujemy bez większego problemu w drugim 

wierszu tablicy. Odczytujemy oryginał: 

1−e

−

t

gdzie  =

1

T

. Tak więc wzór (13) na 

charakterystykę skokową w naszym przypadku przyjmie postać:

h t= L

−

1

[

k

u

Ts1

a

s

]=

a⋅k

u



1−e

−

t

T

=

3181,851−e

−

t

0,07

  

 (14)

Dokonajmy odpowiedniej interpretacji otrzymanego wzoru. Przypomnijmy, że rozpatrywanym 
obiektem jest silnik prądu stałego (rys. 3 i 4). Wielkością wyjściową jest prędkość obrotowa w 
[obr/min] a wielkością wejściową – napięcie zasilające w [V]. Wzór (14) wyraża zmiany prędkości 
obrotowej badanego silnika w czasie po podłączeniu go do napięcia 35 [V]. Silnik przed 
podłączeniem do zasilania miał prędkość obrotową zerową (zerowe warunki początkowe). Należy 
sprawdzić, czy po podstawieniu do (14) t=0 h(t) reprezentujące obroty będzie równe zero. Po 
odpowiednio długim czasie (ok. 3-4 stałe czasowe) prędkość obrotowa silnika obcowzbudnego 
(przy braku zmian jego obciążenia) ustali się na stałej wartości. Jakiej? Należy wyliczyć wartość 
(14) przy t=∞ (stan ustalony). Tym sposobem określimy wartość początkową i końcową prędkości 
obrotowej. Natomiast dla określenia przebiegu jej zmian konieczne jest policzenie wartości (14) dla 
kilku wartości t z przedziału od 0 do (3-4)T. Najwygodniej wyniki tych obliczeń przedstawić w 
odpowiedniej tabelce.

Tabela 1. Wybrane wartości h(t)

t[s]

0 0,001 0,002 0,003

0,01

0,01

0,02

0,05

0,1

0,5

∞

h(t)[obr/min] 0 45,13 89,62 133,48 219,35 423,57 790,76 1624,2 2419,31 3179,33 3181,85

Dokładny wykres charakterystyki skokowej można uzyskać wykorzystując dowolny program 
graficzny. W ramach ćwiczeń laboratoryjnych istnieje możliwość narysowania wykresu h(t) przy 
pomocy programu MATLAB. Poniżej podane są instrukcje ogólnodostępnego programu SciLAB 
pozwalające narysować wykres h(t) badanego silnika.

-->s=poly(0,'s');
 
-->sl=syslin('c',3181.85/(0.07*s+1));
 
-->instants=0:0.01:1;
 
-->y=csim("step",instants,sl);
 
-->plot2d(instants',y');

Po wykonaniu tych instrukcji w programie SciLAB otrzymamy wykres jak na rys. 6. 

Krok V - Charakterystyki częstotliwościowe

W pkt. 5 „Tok postępowania” (str. 2) przytoczone są podstawowe pojęcia i wzory mające 
zastosowanie w analizie częstotliwościowej. Więcej informacji można znaleźć w rozdziale 3 
pozycji [1], str. 88. W ramach pracy kontrolnej należy rozpracować dwa rodzaje charakterystyk 
częstotliwościowych: charakterystykę amplitudowo-fazową oraz charakterystyki logarytmiczne.

Charakterystyka amplitudowo-fazowa (a-f)

Dla narysowania charakterystyki a-f na płaszczyźnie fazowej konieczne jest rozdzielenie 
transmitancji widmowej G(jω) na część rzeczywistą P(ω) i część urojoną Q(ω):

G j =P  jQ   

 (15)

W rozpatrywanym silniku DC, którego transformata operatorowa ma postać określoną równaniem 
(11), transmitancję widmową zapiszemy jako:

G j =

k

u

1 j T

  

(16)

W celu wydzielenia części rzeczywistej i urojonej z równania (16) pomnożymy jego licznik i 
mianownik przez liczbę zespoloną, sprzężoną do liczby znajdującej się w mianowniku. Jak 
pamiętamy, liczba sprzężona do danej liczby zespolonej to taka, która ma część rzeczywistą taką 
samą a część urojoną z odwrotnym znakiem. Tak więc w naszym przypadku pomnożymy licznik i 
mianownik równania (16) przez 1- jωT. Wykonamy kolejne przekształcenia i otrzymamy:

Rys. 6. Wykres charakterystyki skokowej silnika prądu stałego

G j =

k

u



1− j T 



1 j T 1− j T 

=

k

u



1 j T 1− j T 

−

j

k

u



T



1 j T 1− j T 

i dalej

G j =

k

u

1

2

T

2

−

j

k

u



T

1

2

T

2

=

P − jQ 

Ostatecznie, dla potrzeb narysowania charakterystyki amplitudowo-fazowej, obliczymy części 
rzeczywistą i urojoną transmitancji:

 

 

P =

k

u

1

2

T

2

=

90,91

10,0049 

2

 

   

  (17)

Q=

−

k

u



T

1

2

T

2

=

−

6,3637 

10,0049 

2

  

 (18)

 W celu narysowania ch-ki a-f wygodnie jest wykonać obliczenia

 części rzeczywistej P(ω) i części 

urojonej Q(ω) dla ω zmieniającej się w zakresie od 0 do  ∞.
Wyniki tych obliczeń dla wybranych wartości ω zamieścimy w tabeli 2.

Tabela 2. Wyniki obliczeń charakterystyki amplitudowo-fazowej

ω

0

0,01

0,1

0,25

0,5

1

5

10

20

100

∞

P(ω)

90,91

90,9

90,9

90,88

90,8

90.46

81

61,01

30,71

1,82

0

Q(ω)

0

-0,06

-0,06

-1,59

-3,18

-6,33

-28,35 -42,71

-43

-12,73

0

Pełny wykres charakterystyki można również otrzymać korzystając z odpowiednich graficznych programów 
komputerowych. W ramach zajęć laboratoryjnych była możliwość wykorzystania do tego celu programu 
MATLAB. Poniżej podany jest zestaw instrukcji pozwalających narysować charakterystykę amplitudowo-
fazową (tzw. ch-kę Nyquista)  przy pomocy programu SciLAB.

-->s=poly(0,'s');
 
-->h=syslin('c',90.91/(0.07*s+1));
 
-->nyquist(h,0.01,100);

Sam wykres otrzymany w wyniku realizacji zaprezentowanych instrukcji przedstawiony jest na rys. 7.

Charakterystyki logarytmicznej

Analizujemy dwie charakterystyki logarytmiczne: amplitudową i fazową. Charakterystykę 
amplitudową wyznaczymy z zależności:

L =20 log



P

2



Q

2

=

20log

k

u



1T

2



2

 (19)

którą najwygodniej zapisać w postaci:

L =20 log k

u

−

20log



1T

2



2

 (20)

Wykres L(ω) można uprościć, pomijając we wzorze (20) dla ω<1/T składnik  T

2



2

, a dla 

ω>1/T składnik 1 pod pierwiastkiem. Otrzymamy wówczas tzw. asymptotyczną charakterystykę 
amplitudową:

dla ω<1/T             

L =20 log k

u

,

(21)

dla ω>1/T       L =20 log k

u

−

20log T 

(22)

 
  

Pulsacja (częstotliwość kątowa)  ω=1/T nazywa się pulsacją sprzęgającą  i oznacza się ją 
symbolem 



s

lub czasami 



0

.

Logarytmiczną charakterystykę fazową wyznaczamy z zależności:

=

arctg Q



P

=

arctg −T =−arctg T 

  (23)

Bardziej szczegółowe informacje na omawiane tematy można znaleźć w [1], str.100.
Na rys. 8 przedstawione zostały wykresy charakterystyki amplitudowej i fazowej uzyskane przy 
pomocy programu SciLAB. Dla ich otrzymania wystarczy w programie SciLAB następujęce 
instrukcje:

-->s=poly(0,'s');
 
-->h=syslin('c',90.91/(0.07*s+1));
 
-->bode(h,0.01,100);

W ramach ćwiczeń laboratoryjnych przedstawiane było wykorzystanie programu MATLAB do takich zadań.
W pracy kontrolnej w przypadku rysowania dokładnych charakterystyk logarytmicznych z wykorzystaniem 
programu komputerowego, na otrzymany wykres charakterystyki amplitudowej proszę nanieść przybliżoną 
charakterystykę (patrz: asymptotyczna charakterystyka amplitudowa – wzór (21) i (22)).

Rys. 7. Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej silnika DC uzyskany przy pomocy 

programu SciLAB

Literatura

1. Wykłady z automatyki dla mechaników, M. Chłędowski, Oficyna Wydawnicza Politechniki 

Rzeszowskiej, Rzeszów 2003

2. Podstawy automatyki w ćwiczeniach i zadaniach, M. Chłędowski, J. Pieniążek, Oficyna 

Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów 2009

Rys. 8. Charakterystyki logarytmiczne silnika CD