©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona 1

1. Jaka jest wartość końcowa funduszu w wysokości 5000 zł złożonego

w banku na 2 lata przy nominalnej stopie procentowej 12% i
kapitalizacji odsetek?
a) rocznej;

b) półrocznej;

c) kwartalnej;

d) miesięcznej;

e) ciągłej.

2. Jaka jest wartość dzisiejsza kwoty 5000 zł za 2 lata przy nominalnej

stopie procentowej 12% i kapitalizacji odsetek?
a) rocznej;

b) półrocznej;

c) kwartalnej;

d) miesięcznej;

e) ciągłej.

3. Jaka jest wartość końcowa funduszu w wysokości 5000 zł złożonego

przy nominalnej stopie procentowej 12% i kapitalizacji kwartalnej
odsetek?
a) po kwartale;

b) po pół roku;

c) po roku;

d) po 1,5 roku;

e) po 3 latach i 9 miesiącach.

4. W dniu 05.05.2003 r. wpłacono 10000 zł na konto oprocentowane 8%

w skali roku. Wyznacz wartość tej kwoty w dniu
a) 20.09.2003 r.;

b) 20.09.2005 r.

5. Przyjmując stopę procentową na poziomie 10% w stosunku rocznym,

oblicz wartość bieżącą weksla w dniu 01.01.2003 r., jeśli opiewa on
na kwotę 10 000 $ płatne
a) dokładnie za 3 lata; b) 5 maja 2006 r.

6. Istnieją dwie możliwości zapłaty za towar. Pierwsza to

natychmiastowa zapłata za towar z rabatem 4%, druga to zapłata całej
wartości za trzy tygodnie. Decydując się na pierwszy wariant, trzeba
zaciągnąć pożyczkę. Jaka maksymalna stopa oprocentowania
pożyczki w stosunku rocznym jest do zaakceptowania?

7. Hurtownia udziela nabywcom towaru kredytu kupieckiego w postaci

odroczonego o miesiąc terminu płatności faktury. Jeżeli zapłata
nastąpi natychmiast, to nabywcy towaru przysługuje prawo
skorzystania ze skonta 10%. Wartość zakupionego towaru wynosi
12 000 zł. Czy opłaca się zaciągnąć kredyt w banku i skorzystać ze

skonta, jeżeli miesięczna stopa kredytu bankowego wynosi 4%?

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona 2

8. Cenę pewnego towaru podniesiono o 25%. Ile procent należy teraz

obniżyć cenę, aby powróciła ona do poprzedniego poziomu?

1.9.

Konto oszczędnościowe można zakładać dysponując kwotą co

najmniej 1000 zł. Stan konta w wyniku rocznego oprocentowania wzrósł
o 150 zł. Właściciel konta wpłacił jeszcze 850 zł i cała suma pozostała
jeszcze na koncie jeden rok. Oprocentowanie nie uległo zmianie. Po
upływie roku razem z odsetkami właściciel otrzymał 4200 zł. Jaka
kwota była ulokowana na koncie na początku i jakie jest oprocentowanie
lokaty?

10. W banku kapitalizuje się odsetki co dwa miesiące i w chwili

likwidacji lokaty ze stopą procentową 12% w stosunku rocznym.
Wpłacamy tam 20 000 zł. Jaką kwotę wypłacimy likwidując konto po
upływie pięciu miesięcy ?

11. Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało w spadku kwotę 500 000

zł złożoną w banku, na 20%. Życzeniem spadkodawcy było takie
podzielenie spadku, aby w momencie osiągnięcia przez dzieci 21 lat
wartości przyszłe części spadku każdego z dzieci były takie same. Jak
podzielić spadek?

12. Bank oferuje zakup bonu, który przynosi dochód

a) po 1 miesiącu 100 zł, po 2 miesiącu 150 zł, po 4 miesiącu 250 zł.
Jaka jest wartość bieżąca tego bonu, jeśli miesięczna stopa
procentowa jest równa 1,6%?
b) po 2 miesiącu 100 zł, po 3 miesiącu 200 zł, po 5 miesiącu 350 zł.
Jaka jest wartość bieżąca tego bonu, jeśli miesięczna stopa
procentowa jest równa 1,8%?

1.13

Inwestor nabył akcje firmy „Dostatnia Przyszłość”. Na czterech

kolejnych sesjach giełdowych ich kurs zmienił się o +10%, +5%,
−7%, −8%. Ile procent zarobił lub stracił, sprzedając te akcje na
czwartej sesji
a) bez uwzględniania prowizji?
b) z uwzględnieniem prowizji wynoszącej 1% wartości transakcji?

14. Ceny akcji firmy X podlegają następującym fluktuacjom na

kolejnych sesjach giełdy: po każdym wzroście o p% następuje spadek
o p%, zaś po każdym spadku o p% następuje wzrost o p%. Znajdź
cenę akcji X przy nieskończonej liczbie sesji.

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona 3

15. Stopa redyskontowa wynosi 10%. Za kwotę 1500 zł zakupiono

obligacje pięcioletnie umarzane za kwotę 3000 zł. Oblicz wartość
bieżącą zysku osiąganego na tej transakcji.

16. Jeżeli pożyczymy 30 000 zł, a po dwóch miesiącach oddamy

33 000 zł, to ile wynosi nominalne oprocentowanie pożyczki
w stosunku rocznym?

17. Kredyt w wysokości 50 000 zł oprocentowany na 20% w stosunku

rocznym spłacamy w jednej racie, po upływie trzech miesięcy. Oblicz
wysokość raty.

18. Wyznacz najniższą stopę procentową w stosunku rocznym, przy

której posiadany kapitał wzrośnie co najmniej pięciokrotnie w ciągu
11 lat. Odsetki są kapitalizowane na koniec każdego roku.

19. Po jakim czasie przy stopie 8% i kapitalizacji kwartalnej odsetek

posiadany kapitał wzrośnie o 30%?

20. W pewnym banku obowiązuje miesięczna kapitalizacja przy rocznej

stopie procentowej 8%. Jak należy zmienić roczną stopę procentową,
aby po przejściu na kapitalizację kwartalną dotrzymać równoważności
warunków oprocentowania?

21. Nominalna stopa procentowa wynosi 10%. Ile powinna wynosić

nominalna stopa procentowa, aby przy kapitalizacji ciągłej
gwarantowała ten sam przyrost kapitału?

22. W banku, w którym obowiązuje roczna kapitalizacja, kapitał

5 dukatów utworzył po roku wartość 6 dukatów. Ile zyskałby
właściciel kapitału w ciągu 2 lat, gdyby przy niezmienionej rocznej
stopie procentowej wprowadzono kapitalizację kwartalną?

24. Jaka jest roczna stopa procentowa, jeżeli przy ciągłej kapitalizacji,

z kapitału 3 dukatów uzyskano po 15 miesiącach wartość 4 dukatów?

25. Po 2 latach i 3 miesiącach kwartalnej kapitalizacji kwota 5 dukatów

wzrosła dwukrotnie. Jaką wartość osiągnie ta kwota po kolejnym
roku?

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona 4

26. W pewnym banku lokata 10 dukatów z półroczną kapitalizacją

utworzył dała po 2,5 roku wartość 20 dukatów. Ile zyskałby właściciel
kapitału, gdyby przy tej samej stopie procentowej zastosowano
kapitalizację miesięczną?

27. Przez kolejne 3 lata roczna stopa procentowa przyjmowała wartości

odpowiednio: 15%, 12%, 11%. Wyznaczyć wartość odsetek za okres
3 lat od kwoty 1 dukata.

28. Weksel o wartości nominalnej 70 dukatów i terminie płatności za 9

miesięcy zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6
miesięcy. Bieżąca stopa dyskontowa wynosi 15% i kapitalizacja jest
kwartalna.

1.29

W banku A obowiązuje kapitalizacja półroczna przy stopie

procentowej

A

p

, a w banku B kapitalizacja kwartalna przy stopie

B

p

.

Jaką zależność powinny spełniać stopy

A

p

i

B

p

, aby warunki

oprocentowania w tych bankach były równoważne?

30.Kwotę 10 000 zł ulokowano na rachunku bankowym

oprocentowanym 5% w skali roku. Odsetki były kapitalizowane
miesięcznie. Jaka była wartość naliczonych odsetek po 1,5 roku?

31. Bank udziela kredytów oprocentowanych 18% rocznie i jednocześnie

przyjmuje lokaty półroczne na 6% rocznie. Oblicz średni dochód
banku w ciągu pięciu lat, jeśli średnio operuje kwotą 1 mln zł.

1.32.

Czteropokojowe mieszkanie można nabyć w dwojaki sposób:

płacąc gotówką 120 000 zł lub płacąc gotówką 60 000 zł i 78 000 zł
po dwóch latach. Który sposób zakupu jest bardziej opłacalny, jeśli
stopa procentowa wynosi
a) 14%;
b) 15%.

33. Na półrocznej lokacie terminowej oprocentowanej 8% w stosunku

rocznym ulokowano 10 000 zł. Lokatę ponawiano przez okres 3 lat,
jednak co rok oprocentowanie spadało o 1 punkt procentowy. Jaka
była końcowa wartość lokaty?

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona 5

34. Na półrocznej lokacie terminowej oprocentowanej 8% w stosunku

rocznym ulokowano 10 000 zł. Lokatę ponawiano przez okres 2 lat.
Oblicz końcową wartość lokaty, uwzględniając 20-procentowy
podatek od naliczonych odsetek. Ile wynosiłaby końcowa wartość
lokaty bez uwzględniania podatku?

35 Pan Kowalski, obawiając się zbyt dużej inflacji, postanowił ulokować

swe oszczędności – 50 000 zł w walucie na okres 2 lat. Rozważał
dwie możliwości: lokowanie w euro na 1,2% i w dolarach na 0,6%.
Zakładając, że kurs wymiany EUR/PLN wynosi 4,5, zaś kurs
USD/PLN wynosi 3,9, pomóż Kowalskiemu dokonać właściwej
decyzji, jeśli według prognoz oba kursy mają być jednakowe za 2 lata.

36. Roczna stopa inflacji wynosi 2%. Bank kapitalizuje odsetki

kwartalnie, z nominalną roczną stopą procentową 5%. Jaka jest realna
stopa zwrotu kapitału ulokowanego na okres jednego roku?

37. Kapitał złożono w banku od 1 stycznia do 1 lutego. Przez pierwsze

10 dni bank naliczał odsetki według oprocentowania 9% rocznie,
a następnie podwyższył oprocentowanie do 10%. Oblicz, o ile procent
wzrosła wartość złożonego kapitału.

38. Na konto bankowe oprocentowane 10% w stosunku rocznym

z kapitalizacją kwartalną wpłacono 5000 zł na okres trzech lat. Po
roku dokonano redukcji stóp procentowych o jeden punkt procentowy,
a po kolejnym roku o kolejne dwa punkty. Oblicz wartość końcową
lokaty.

39. Oblicz, o ile wzrośnie kapitał złożony w banku na jeden rok na 8%

rocznie przy kapitalizacji kwartalnej odsetek, jeśli za pół roku bank
rozpocznie kapitalizować odsetki miesięcznie.

40. W pierwszym roku oprocentowanie lokaty wynosiło 10%, w drugim

8%, a w trzecim 4%. Kapitalizacja przez pierwsze 1,5 roku była
półroczna, a potem kwartalna. Oblicz wartość 10 000 zł za trzy lata.

41. W pewnym banku przez pierwszy rok obowiązywała stopa

procentowa 9%, w drugim 8%, w trzecim 7,5% i tyle samo
w czwartym. Jaka była przeciętna stopa procentowa w tym banku?

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona 6

42. Znajdź efektywną stopę procentową, jeśli stopa procentowa wynosi

12%, a kapitalizacja odsetek jest:
a) roczna;

b) półroczna;

c) kwartalna;

d) miesięczna;

e) ciągła.

43. W banku A stosuje się stopę procentową 7% w skali roku

i kapitalizację miesięczną, zaś w banku B stopa procentowa wynosi
7,05% i kapitalizację kwartalną. W którym banku lepiej zdeponować
wkład pieniężny?

44. Bank kapitalizuje odsetki co pół roku. Zdeponowano tam 5000 zł,

a po półtora roku saldo depozytu wynosiło 8640 Jaka jest w tym
banku efektywna stopa procentowa w stosunku rocznym?

45. Zainwestowano 5000 zł i po trzech miesiącach otrzymano 5200,2 zł.

Oblicz efektywną stopę procentową.

46. Znajdź efektywną roczną stopę procentową w kapitalizacji ciągłej.

47. Bank A stosuje kwartalną kapitalizację odsetek. Roczna stopa inflacji

wynosi 6%. Jaką nominalną roczną stopę procentową powinien
stosować bank, aby była zachowana realna wartość oszczędzania.

48. Kwartalna stopa inflacji wynosi 2%. Bank stosuje półroczną

kapitalizację odsetek. Jaka powinna być nominalna stopa procentowa
w tym banku, aby zachować realną wartość depozytu złożonego na
rok?

49. W kolejnych półroczach nominalna stopa procentowa wynosiła 3%

i 2,5% w skali roku. Oblicz efektywną roczną stopę procentową.

50. Na koniec trzech kolejnych kwartałów spodziewamy się uzyskać

kolejno kwoty 2000 zł, 3000 zł, 4000 zł. Jaka jest wartość bieżąca
tych wpływów dla 12-procentowej stopy?

51. Stopa procentowa wynosi 10%. Za jaką kwotę opłaca się kupić

obligacje dające odsetki w wysokości: po pierwszym roku 40 zł, po
drugim roku 50 zł, po trzecim roku 80 zł?

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona 7

52. Ustalić stan książeczki po 10 latach, jeżeli dokonano w niej

następujących operacji: na początku wpłacono 10 dukatów, po 5
latach wpłacono 20 dukatów, a po następnym roku wypłacono 40
dukatów. Stopa procentowa wynosi 15%.

53. Na rachunek bankowy oprocentowany 7,5% z kapitalizacją kwartalną

wpłacono 3000 zł. Po pół roku dopłacono jeszcze 2000 zł, zaś po
trzecim kwartale wypłacono 3000 zł. Jakie było saldo tego rachunku
po roku?

54. Jaką kwotę należy wpłacić dzisiaj na rachunek bankowy z odsetkami

kapitalizowanymi półrocznie według nominalnej stopy procentowej
6% w stosunku rocznym, by móc na koniec pierwszego i drugiego
roku wypłacić po 8000 zł i żeby saldo rachunku po drugiej wypłacie
wynosiło 2000 zł.

55. Ile należy wpłacić na konto oprocentowane 12% w skali roku

i kapitalizacji kwartalnej, by móc pod koniec drugiego roku wypłacić
2000 zł i pod koniec trzeciego roku 3000 zł?

1.56

W banku odsetki kapitalizowane są według nominalnej stopy

procentowej 5% w stosunku rocznym. Na konto wpłacono 10000 zł, na
koniec pierwszego roku wypłacono 5000 zł, na koniec drugiego roku
wypłacono 4000 zł. Jaka kwota pozostała po trzech latach na koncie?

57. Istnieją dwa warianty zainwestowania w pewną technologię.

W wariancie I kupuje się maszynę A, której okres eksploatacji wynosi
3 lata, natomiast w wariancie II kupuje się maszynę B, której okres
eksploatacji wynosi 6 lat. Roczne wydajności obu maszyn są
identyczne. Koszty stałe eksploatacji są skumulowane na początku
każdego z rocznych okresów eksploatacji i wynoszą dla maszyny
A: 10 000 $ w pierwszym roku, 2000 zł w drugim roku, 4000 $
w trzecim roku, zaś dla maszyny B: 17 000 $ w pierwszym roku, 1000
$ w drugim roku, 2000 $ w trzecim roku, 3000 $ w czwartym roku,
4000 $ w piątym roku i 5000 $ w szóstym roku. Wobec
zróżnicowanego czasu eksploatacji, w wariancie inwestycyjnym I
w ciągu 6 lat należy zakupić dwie maszyny A − jedną w pierwszym
roku eksploatacji, a drugą w czwartym, podczas gdy w wariancie II
w tym czasie wystarczy kupić jedną maszynę B. Który z wariantów
inwestycyjnych jest bardziej korzystny, jeśli stopa procentowa wynosi
10% w stosunku rocznym?

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona 8

58. Jaka jest wartość końcowa wkładów oszczędnościowych wnoszonych

kwartalnie przez 5 lat w wysokości 8 dukatów, jeśli roczna stopa
procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest kwartalna, a wkłady
dokonywane są
a) z góry;
b) z dołu?

59. Jaką kwotę należy dzisiaj wpłacić na konto oprocentowane 5%

rocznie, by móc z niego wypłacać co miesiąc 500 zł począwszy od
początku następnego miesiąca?

60. Jaką kwotę przy 10% stopie należy wpłacać przez 20 lat na początku

każdego roku, by móc po 20 roku wypłacić 100 000 zł?

61. Jaką kwotę przy stopie 10% należy wpłacić dzisiaj, by móc przez 20

lat wypłacać po 1000 zł na końcu każdego roku?

62. Przez 5 lat wpłacano co miesiąc z góry na konto bankowe kwotę 5

dukatów, a na koniec każdego półrocza wybierano kwotę 30 dukatów.
Jaki będzie stan konta po 5 latach, jeżeli roczna stopa procentowa
wynosi 8% i kapitalizacja jest miesięczna?

63. Pan Jan Kowalski postanowił rozpocząć dokonywanie wpłat na rzecz

funduszu emerytalnego. Wpłaty mają być dokonywane na początku
każdego roku, przez 10 lat. Jaka powinna być maksymalna wysokość
składki, aby panu Kowalskiemu opłacało się podpisać umowę z firmą
obsługującą fundusz, jeśli w zamian za to będzie, począwszy od 11
roku, otrzymywał na końcu każdego roku dożywotnią emeryturę
w wysokości 20 000 zł? Roczna stopa procentowa wynosi 5%.

64. Semestralna (półroczna) opłata za 7-semestralne studia zaoczne

wynosi 2100 zł z góry. Ile trzeba mieć na koncie w chwili rozpoczęcia
studiów, aby starczyło na czesne za całe studia. Zakładamy stałą stopę
procentową równą 8% i kapitalizację półroczną.

65. Na początku każdego miesiąca wpłacano na konto kwotę 100 zł. Po 2

latach wybrano z konta 2000 zł i począwszy od następnego miesiąca,
nadal wpłacano 100 zł miesięcznie. Ustalić stan konta po 4 latach,
jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 9% i kapitalizacja jest
miesięczna.

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona 9

66. Sprzęt AGD kupiono na raty. System ratalny przewiduje 36 równych

rat miesięcznych z dołu po 88 zł. Po spłaceniu 15 rat klient wystąpił
o możliwość spłaty w ciągu kolejnego roku. Podaj wysokość nowych
równych rat, jeśli oprocentowanie rat było 12% w skali roku.

67. W sprzedaży ratalnej wpłacono 20 dukatów jako 7% opłatę

manipulacyjną. Jaka będzie wysokość równych rat spłacanych na
koniec 12 kolejnych miesięcy, jeżeli stopa procentowa wynosi 15%?

1.68

Inwestor stoi przed wyborem:

• Zakup za 120 000 zł maszyny A, której roczne koszty utrzymania

(płatne na końcu roku) wynoszą po 40 000 zł.

• Zakup za 160 000 zł maszyny B, której roczne koszty utrzymania

(płatne na początku roku) wynoszą 30 000 zł.

• Zakup za 180 000 zł maszyny C, której roczne koszty utrzymania

(płatne na początku roku) wynoszą 25 000 zł.

Wszystkie maszyny mają identyczną wydajność. Okres pracy każdej
maszyny wynosi 10 lat. Wskaż inwestorowi najtańszą maszynę, jeśli
stopa procentowa wynosi 10%. .

69. Na konto bankowe oprocentowane 12% w skali roku z miesięczną

kapitalizacją odsetek wpłacono 50 000 zł. Począwszy od końca
pierwszego miesiąca, rozpoczęto wypłacać co miesiąc stałą kwotę
1000 zł. W którym miesiącu pojawi się debetowe saldo na rachunku?

70. Pan Kowalski chciał kupić samochód, który był wystawiony na

giełdzie za 50 000 zł. Zdawał sobie sprawę, że na koncie osobistym
oprocentowanym 16% z kapitalizacją miesięczną ma tylko 45 000 zł.
Po dłuższych negocjacjach sprzedający zgodził się sprzedać
Kowalskiemu samochód na raty. Uzgodnili 36 rat miesięcznych po
1500 zł każda i 2000 zł w chwili transakcji. Czy Kowalskiemu
wystarczy pieniędzy na ten samochód?

71. Bank oferuje zakup bonu pieniężnego, który zapewnia właścicielowi

bezterminowe dochody w wysokości 200 $ płatnych po każdym roku.
Określić wartość bieżącą dochodów płynących z tytułu posiadania
bonu, jeśli stopa procentowa wynosi 8% w stosunku rocznym?

72. Kwotę 10 000 zł ulokowano w funduszu dającym 10% odsetek

rocznie. Odsetki są reinwestowane w innym funduszu na 8% rocznie.

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona

10

Jaką kwotę uzyskamy po 1 latach, jeśli będziemy inwestować w ten
sposób?

73. Pan Kowalski inwestuje 20 000 zł. Za tę kwotę kupił 20-letnią rentę,

z której na końcu każdego roku wypłacane są świadczenia w
wysokości 1000 zł. Pozostała część kwoty jest oprocentowana na
12%. Uzyskana w ten sposób nadwyżka będzie wypłacona
Kowalskiemu po 20 latach, razem z ostatnią wypłatą z tytułu renty.
Otrzymywane płatności Kowalski będzie reinwestował przy stopie 8%
rocznie. W obu przypadkach odsetki są każdorazowo kapitalizowane
w momencie dokonywania kolejnych wypłat z tytułu renty. Wyznacz
roczną efektywną stopę zwrotu z całej inwestycji przez okres 20 lat.

74. Wyznacz wewnętrzną stopę zwrotu inwestycji, której koszt wynosi

5000 zł i która przynosi po roku 5000 zł i tyle samo po dwóch latach.

75. Inwestycja wymaga poniesienia dzisiaj nakładów w wysokości

20 000 zł i przynosi dochód w wysokości 5000 zł po roku i 15 000 zł
po dwóch latach. Jaka jest wewnętrzna stopa zwrotu tej inwestycji?

76. Obligacje serii A kosztują 5000 zł i przynoszą po roku 4000 zł i po

dwóch latach 5000 zł. Obligacje serii B kosztują 3000 zł i przynoszą
po roku 3000 zł i 3000 zł po dwóch latach. Zakup której emisji jest
bardziej opłacalny?

77. Dwuletnie obligacje zero-kuponowe kosztują 100 zł i przynoszą 121

zł po dwóch latach. Roczne obligacje kosztują 100 zł i po roku
przynoszą dochód 110 zł. Zakładamy możliwość reinwestycji po roku
w te same obligacje. Które obligacje mają wyższą stopę rentowności?

78. Obligacje serii A kosztują 400 zł i przynoszą po roku 500 zł.

Obligacje serii B kosztują 300 zł i przynoszą po roku 200 zł i tyle
samo po dwóch latach. Możliwe jest też lokowanie w banku na 23%
przy kapitalizacji miesięcznej. Którą formę inwestycji wybrać?

79. Bank A oferuje oprocentowanie lokat 3,95% w stosunku rocznym

z dzienną kapitalizacją odsetek. Bank B oferuje oprocentowanie lokat
4% w stosunku rocznym z miesięczną kapitalizacją odsetek. Bank C
oferuje oprocentowanie lokat 4,5% w stosunku rocznym z kwartalną
kapitalizacją odsetek. Bank D oferuje oprocentowanie lokat 5%

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona

11

w stosunku rocznym z półroczną kapitalizacją odsetek. W którym
banku najkorzystniej można ulokować swoje pieniądze?

80. Pośrednik nieruchomości przedstawił klientowi dwie oferty zakupu

domu. Oba domy są jednakowo atrakcyjne i ich wartość oszacowano
na 315 tys. zł. Przy zakupie domu A dokonywana jest wpłata
w wysokości 90 tys. zł, po 2 miesiącach 120 tys. zł i po 4 miesiącach
150 tys. zł. Przy zakupie domu B wpłata wynosi 120 tys. zł, po
2 miesiącach 120 tys. zł i po 4 miesiącach 90 tys. zł. Która oferta jest
korzystniejsza finansowo.

81. Rozważmy ratalny zakup samochodu w dwóch konkurencyjnych

firmach. W firmie A wpłacamy przy zakupie 10 000 zł i po dwóch
latach 20 000 zł. W firmie B wpłacamy przy zakupie 15 000 zł i po
roku 11 500 zł. W której firmie bardziej opłaca się kupić samochód,
jeśli kosztuje on 25 000 zł. Jakie jest oprocentowanie pożyczki?

82. Za 2000 zł zakupiono obligację, która przynosi po dwóch latach 1100

zł i jest wykupywana po czterech latach za 1200 zł. Oblicz stopę
zwrotu tej obligacji.

83. Za 3000 $ zakupiono prawo do wypłacanej bez ograniczeń renty

dającej 500 $ wypłacanych na koniec każdego roku. Ocenić przy
pomocy wewnętrznej stopy zwrotu rentowność tego zakupu.

84. Wyznacz wewnętrzną stopę zwrotu obligacji, której cena jest równa

wartości nominalnej i wynosi 100 zł. Obligacja ta przynosi po roku
odsetki 20 zł, po dwóch latach 15 zł i po drugim roku jest
wykupywana przez emitenta według wartości nominalnej.

85. Znajdź cenę dwuletniej obligacji al pari o wartości nominalnej 1000

zł, jeśli przynosi co pół roku 5% kupon. Wiadomo też, że minimalna
wymagana wewnętrzna stopa zwrotu tej obligacji wynosi 8% w
stosunku rocznym.

86. Trzyletnia obligacja o wartości nominalnej 100 zł daje odsetki

w wysokości 10% wartości nominalnej po roku, 8% wartości
nominalnej po dwóch latach i 6% wartości nominalnej po trzech
latach, a następnie jest wykupywana po wartości nominalnej. Znajdź
cenę tej obligacji, jeśli wiadomo, że struktura terminowa stopy

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona

12

forward w pierwszym roku wynosi 10%, w drugim 12%, a w trzecim
14%.

87. Struktura terminowa stopy forward wynosiła 15% w pierwszym, 20%

w drugim i 25% w trzecim roku. Ile wynosiła trzyletnia stopa spot?

88. Trzymiesięczne bony skarbowe o nominale 5000 zł kupiono za

4800 zł. Obliczyć wewnętrzną stopę zwrotu w stosunku rocznym.

89. Udzielono kredytu w wysokości 35 460 zł. Umowa przewiduje, że

ma być on spłacony w dwóch równych ratach po 20 000 zł płatnych
kolejno po sześciu i dwunastu miesiącach. Wyznacz stopę procentową
kredytu.

90. Wewnętrzna stopa zwrotu rocznej obligacji wynosi 22%. Oblicz, o ile

zmieni się wewnętrzna stopa zwrotu zainwestowania w tę obligację,
jeśli cena obligacji
a) wzrośnie o 5%;

b) spadnie o 5%.

91. Wewnętrzna stopa zwrotu dwuletniej obligacji zero-kuponowej

wynosi 15%. Oblicz, o ile zmieni się wewnętrzna stopa zwrotu
zainwestowania w tą obligację, jeśli cena obligacji
a) wzrośnie o 5%;

b) spadnie o 5%.

92. Zakup której obligacji jest bardziej opłacalny?

a) obligacje serii A kosztują 100 zł i po roku przynoszą 50 zł i po

dwóch latach 100 zł. Obligacje serii B kosztują 1000 zł i przez
najbliższe sto lat przynoszą dochód w wysokości 100 zł;

b) obligacje serii A kosztują 174 zł i po roku przynoszą 100 zł i po

dwóch latach 100 zł. Obligacje serii B kosztują 1000 zł i przez
najbliższe sto lat przynoszą dochód w wysokości 100 zł.

93. Zaciągnięto kredyt w wysokości 10 000 zł na 8% rocznie. Dług

należy oddać w trzech ratach po pierwszym, drugim i trzecim roku.
Rata druga ma być o 20% wyższa od pierwszej, a trzecia o 40%
wyższa od drugiej. Oblicz wysokości rat.

94. Pożyczono 10 000 zł na pół roku. Dług należy zwrócić w dwóch

równych ratach płatnych po trzecim i szóstym miesiącu. Wysokość
każdej raty wynosi 6000 zł. Oblicz roczną stopę oprocentowania
pożyczki.

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona

13

95. Zaciągnięto kredyt w wysokości 25 000 zł na 15% rocznie. Kredyt

ma być spłacony w czterech rocznych ratach. Rata druga ma być
o 20% wyższa od pierwszej, rata trzecia 10% niższa od drugiej, zaś
suma rat pierwszej i trzeciej ma być 20% większa od sumy rat drugiej
i czwartej. Znajdź wysokość rat.

96. Zaciągnięto kredyt w wysokości 10 000 zł oprocentowany na 20%

w stosunku rocznym płatny w ten sposób, że po trzech miesiącach
płaci się 1000 zł, po sześciu 2000 zł, po dziewięciu 4000 zł, zaś całą
resztę należnej kwoty po roku. Oblicz wysokość ostatniej raty.

97. Zaciągnięto kredyt w wysokości 10 000 zł oprocentowany 20%

w stosunku rocznym. Umówiono się na następujące warunki spłaty:
po pierwszym roku 20% należnej kwoty, po trzecim roku 80%
należnej kwoty. Oblicz wysokości poszczególnych rat.

98. Udzielono kredytu na kwotę 100 000 zł na okres 6 miesięcy. Stopa

oprocentowania kredytu wynosi 24% w stosunku rocznym. Znajdź
wysokość rat łącznych oraz wysokość odsetek płaconych w kolejnych
ratach jeżeli:
a) odsetki od kredytu mają być płacone co miesiąc, a raty kapitałowe

co dwa miesiące odpowiednio w kwotach 30 000 zł, 40 000 zł,
30 000 zł;

b) odsetki od kredytu i raty kapitałowe (takie jak w a) mają być

płacone co dwa miesiące;

c) odsetki od kredytu i równe raty kapitałowe będą płacone co dwa

miesiące;

d) kredyt ma być spłacony za pomocą liczby równych płatności

rozumianych jako suma odsetek i rat kapitałowych dokonywanych
w równych odstępach czasu co dwa miesiące.

99. Kredyt oprocentowany 24% w stosunku rocznym ma być spłacony

w dwunastu równych ratach płatnych na koniec każdego roku.
Kredytobiorca nie uregulował czterech pierwszych wpłat i przez
następne osiem lat będzie musiał spłacać raty w wysokości 3600 zł
rocznie. W jakiej wysokości został zaciągnięty kredyt?

100. Zaciągnięto kredyt w wysokości 12 000 zł oprocentowany 24%

w stosunku rocznym. Umówiono się na następujące warunki spłaty:
cztery raty w równej wysokości płatne po drugim, szóstym, ósmym
i dwunastym miesiącu. Dłużnik nieoczekiwanie otrzymał spadek
i chce spłacić kredyt już po szóstym miesiącu. Jaka powinna być

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona

14

wysokość ostatniej raty? Oblicz wartość nominalną kwoty
zaoszczędzonej dzięki wcześniejszej spłacie.

101. Pożyczka w wysokości 150 000 zł oprocentowana przy stopie 11%

ma być spłacana przez okres 25 lat w równych ratach płatnych na
końcu każdego roku. Opłata pobierana przez pożyczkodawcę przy
zawieraniu umowy (potrącana z udzielonej pożyczki) wynosi 3%.
Oblicz roczną stopę zysku pożyczkodawcy, jeśli pożyczkobiorca
zdecyduje się spłacić pozostałą część długu łącznie z płatnością
drugiej raty.

1.102.

Zaciągnięto kredyt w wysokości 10 000 zł oprocentowany 24%

w stosunku rocznym. Umówiono się na następujące warunki spłaty:
a)

cztery równe raty płatne po drugim, piątym, dziewiątym

i dwunastym miesiącu;

b) cztery równe raty płatne po drugim, szóstym, dziesiątym

i dwunastym miesiącu;

c) cztery równe raty płatne po czwartym, ósmym, dziesiątym

i dwunastym miesiącu;

d) cztery równe raty płatne po czterech kolejnych kwartałach

w wysokości kolejno 20% należnej kwoty, 25% należnej kwoty,
25% należnej kwoty, resztę należnej kwoty.

Oblicz wysokość rat.

1.103.

Pan Kowalski chce zaciągnąć kredyt w wysokości 10 000 zł na

okres jednego roku. W banku A zaproponowano mu kredyt
oprocentowany na 10,85% w stosunku rocznym, przy czym odsetki za
cały rok od kwoty kredytu płacić należy z góry w chwili jego
zaciągania, zaś równe raty kapitałowe co miesiąc. W banku B
zaproponowano kredyt oprocentowany na 20%, a równe raty
kapitałowo-odsetkowe należy płacić co miesiąc. Który z banków daje
panu Kowalskiemu atrakcyjniejszy kredyt?

104. Zaciągnięto kredyt w wysokości 10 000 zł oprocentowany na 24%

rocznie, przy czym zrezygnowano z kapitalizacji odsetek. Umówiono
się, że kredyt będzie spłacany w czterech kolejnych ratach płatnych na
koniec każdego kwartału, przy czym przyjęto następujące wysokości
rat:
a) po I kwartale 500 zł, po II kwartale 2000 zł, po III kwartale 8000

zł, po IV kwartale resztę należnej kwoty;

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona

15

b) po I kwartale 1000 zł, po II kwartale 2000 zł, po III kwartale 4000

zł, po IV kwartale resztę należnej kwoty.

Oblicz wysokość ostatniej raty jeżeli zgodnie z umową z kolejnych
spłacanych rat najpierw są regulowane należności z tytułu odsetek,
a następnie umarzamy pożyczony kapitał.

105. Zaciągnięto kredyt w wysokości 10 tys. zł oprocentowany na 24%

rocznie. Umówiono się na następujące warunki spłaty:
a) trzy równe raty po 3, 6 i 9 miesiącu, oraz ostatnia rata 5000 zł po

roku. Oblicz wysokość każdej z trzech pierwszych rat, jeżeli
odsetki nie są kapitalizowane i są spłacane w pierwszej kolejności
przed kapitałem;

b) 1000 zł po 1 miesiącu, 2000 zł po 3 miesiącu, 3000 zł po

6 miesiącu, 4000 zł po 10 miesiącu, ostatnia rata po roku. Oblicz
wysokość ostatniej raty, jeżeli odsetki nie są kapitalizowane i są
spłacane w pierwszej kolejności.

ODPOWIEDZI

1. a) 6272 zł;

b) 6312,38 zł;

c) 6333,85 zł;

d) 6348,67 zł;

e) 6356,25 zł.

2. a) 3985,97 zł;

b) 3960,47 zł;

c) 3947,05 zł;

d) 3937,83 zł;

e) 3933,14 zł.

3. a) 5150 zł;

b) 5304,5 zł;

c) 5627,54 zł;

d) 5970,26 zł;

e) 7789,84 zł.

4. a) 10 302,47 zł;

b) 12 016,8 zł.

5. a) 7513,15 $;

b) 7264,37 $.

6. 72,42%.
7. Tak.
8. 20%.
1.9

3000 zł i 5%.

10. 21 016,08 zł.
11. Młodszy: 204 918,03 zł, starszy: 295 081,97.
12. a) 478,36 zł;

b) 606,2 zł.

13. a) Stracił 1,18%;

b) stracił 3,17%.

14. 0.
15. 362,76 zł.
16. 60%.
17. 52 500 zł.
18. 15,76%.
19. W 14 kwartale.

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona

16

20. 8,05%.
21. 9,53%.
22. 0,19 dukata.
24. 23,01%.
25. 13,61 dukata.
26. 0,84 dukata.
27. 0,43 dukata.
28. 67,47 dukata.

29.

2

8

1

B

B

A

p

p

p

+

=

.

30. 777,16 zł.
31. 943 841,38 zł.
32. a) Gotówka;

b) w ratach.

33. 12 291,98 zł.
34. Z podatkiem 11 342, 76 zł; bez podatku 11 698,59 zł.
35. USD.
36. 3,09%.
37. 0,82%.
38. 6414,65 zł.
39. 8,27%.
40. 12 413,6 zł.
41. 8%.
42. a) 12%;

b) 12,36%;

c) 12,55%;

d) 12,68%;

e) 12,75%.

43. B.
44. 44%.
45. 17%.
46. Exp(p)-1.
47. Przynajmniej 5,87%.
48. Przynajmniej 8,08%.
49. 2,77%.
50. 8430,10 zł.
51. Nie więcej niż 137,79 zł.
52. 10,72.
53. 2250,86.
54. 16 425,64 zł.
55. 3682,96 zł.
56. 1863,75 zł.
57. Wariant I.
58. a) 221,41 dukatów;
b) 214,96 dukatów.
59. 120 000 zł.

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona

17

60. 1587,24 zł.
61. 8513,56 zł.
62. 8,52 dukatów.
63. 30 287,46 zł.
64. 13 108,49 zł.
65. 3282,74 zł.
66. 147,44 zł.
67. 25,79 dukatów.
68. C.
69. 70.
70. Tak.
71. 2500 $.
72. 24 486,56.
73. 11,18%.
74. 61,8%.
75. 0%.
76. B.
77. Jednakowo rentowne.
78. Bank.
79. D.
80. B.
81. Korzystniej w B 15%, A 15,47%.
82. 4,74%.
83. 16,67%.
84. 17,7%.
85. 1036,3 zł.
86. 91,06 zł.
87. 19,93%.
88. 16,67%.
89. 16,84%.
90. a) Spadnie o 5,81 %.;

b) wzrośnie o 6,42 %.

91. a) Spadnie o 2,77 %.;

b) wzrośnie o 2,99 %.

92. a) A;

b) B.

93. 3041,02 zł, 3649,22 zł, 5108,91 zł.
94. 52,26%.
95. 8954,19 zł, 10 745,03 zł, 9670,53 zł, 4775,57 zł.
96. 4592,44 zł.
97. 3176,47 zł, 12 705,88 zł.
98. a) Raty: 2000 zł, 32 000 zł, 1400 zł, 41 400 zł, 600 zł, 30 600 zł;

odsetki: 2000 zł, 2000 zł, 1400 zł, 1400 zł, 600 zł, 600 zł;

b) Raty: 34 000 zł, 42 800 zł, 31 200 zł;

odsetki: 4000 zł, 2800 zł, 1200 zł;

©Krzysztof Piasecki

Matematyka finansowa I zestaw zadań

Strona

18

c) Raty: 37 333,33 zł, 36 000 zł, 34 666,67 zł;
odsetki: 4000 zł, 2666,67 zł, 1333,33 zł;
d) Raty po 36 034,85 zł;
odsetki: 4000 zł, 2718,61 zł, 1385,96 zł.
99. 5209,51 zł.
100. Rata: 9776,16 zł; oszczędzono: 507,84 zł.
101. 12,8%.
102. a)

2856,37 zł;

b) 2882,78 zł;

c) 2940,93 zł;

d) 2329,07 zł, 2911,34 zł, 2911,34 zł, 3493,61 zł.
103.

B.

104. a) 1295,32 zł;

b) 4946,55 zł.

105. a) 2259,45 zł;

b) 1480,8 zł.