Zestaw I

1. Krótsza podstawa i ramię trapezu równoramiennego mają długości równe 10. Jaka powinna być długość dłuższej podstawy tego trapezu, aby objętość figury otrzymanej z obrotu trapezu dookoła dłuższej podstawy była największa?

2. Punkty A(-2,-6) i B(2,6) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym AC=BC. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie równa się
   . Wyznacz współrzędne wierzchołka C.

3. Dla jakich wartości parametru m, gdzie
   ,prosta o równaniu
   przecina prostą AB między punktami A(-3,-1) i B(1,1)?

4. Zbadaj liczbę pierwiastków równania:

w zależności od parametru m dla
,
,

5. Dany jest sześcian o krawędzi a oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej a i krawędzi bocznej 2a. Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Jeżeli suma oczek wyrzuconych na obu kostkach jest niewiększa od 10, to wybieramy losowo dwa wierzchołki spośród wierzchołków sześcianu, a jeżeli suma oczek na obu kostkach jest większa od 10, ty wybieramy losowo dwa wierzchołki spośród wierzchołków ostrosłupa. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że odległość dwóch wybranych punktów jest większa od
   .

Zestaw II

1. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A=(3,0) i B=(3,6), którego środek S leży na prostej
   .

1. Wyznacz stosunek pola koła opisanego na trójkącie ABS do pola koła wpisanego w ten trójkąt.

2. Napisz równanie okręgu wpisanego w trójkąt ABS.

2. Liczby:
   ;
   ;
   są odpowiednio pierwszym, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego (a_n). Wyznacz ten ciąg i oblicz sumę a₂₁+a₂₂+...+a₁₀₀.

3. Dla jakich wartości parametru m równanie:

ma rozwiązanie?

4. Dana jest funkcja
   . Wyznacz ekstrema funkcji f wiedząc, że styczna do jej wykresu w punkcie o odciętej x=2 jest równoległa do prostej o równaniu
   

1. Na kuli o promieniu długości R opisano ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym miara kąta dwuściennego utworzonego przez ścianę boczną i płaszczyznę podstawy jest równa 2. Oblicz objętość V i pole powierzchni całkowitej P ostrosłupa oraz sprawdź, czy
   .

2. Na kuli o promieniu długości R opisano wielościan o polu powierzchni całkowitej równym P₁. Oblicz objętość tego wielościanu. Przy jakich wartościach P₁ zadanie traci sens? Odpowiedź uzasadnij.

Zestaw III

1. Dla jakich wartości parametru m układ równań
   ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest parą liczb dodatnich?

2. Funkcja
   ma ekstremum dla argumentów x₁ i x₂. Punkty
   ,
   są dwoma wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC. Wyznacz współrzędne wierzchołka C wiedząc, że należy on do osi OY. Rozważ wszystkie przypadki.

3. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych większych od 10 wybieramy losowo dwie liczby (bez zwracania). Określ zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia. Niech A oznacza zdarzenie, że suma wylosowanych liczb jest parzysta, zaś B oznacza zdarzenie, że iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń A i B oraz sprawdź czy te zdarzenia są niezależne.

4. Dana jest funkcja
   , której dziedziną jest przedział
   .

1. Oblicz jej miejsca zerowe.

2. Naszkicuj wykresy funkcji f(x) i |f(x)|.

3. Naszkicuj wykres funkcji g(m) przyporządkowującej każdej rzeczywistej wartości parametru m liczbę rozwiązań równania |f(x)|=m.

5. Ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku S przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną DB podstawy i środek E krawędzi CS. Dane jest pole przekroju równe 9 cm² i kąt a nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy.

1. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

2. Oblicz odległość d wierzchołka C od płaszczyzny przekroju.

Zestaw IV

1. Krótsza podstawa i ramię trapezu równoramiennego mają długości równe 9. Jaka powinna być długość dłuższej podstawy tego trapezu, aby objętość figury otrzymanej z obrotu trapezu dookoła krótszej podstawy była największa?

2. Punkty A(2,4) i C(-2,-4) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym AB=BC. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie równa się
   . Wyznacz współrzędne wierzchołka B.

3. Dla jakich wartości parametru m, gdzie
   , prosta o równaniu
   przecina prostą AB między punktami A(-1,-3) i B(1,1)?

4. Zbadaj liczbę pierwiastków równania:

w zależności od parametru m dla
,
,

5. Dany jest prostopadłościan, którego trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka mają długości a, a, 2a, oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny o wszystkich krawędziach długości 2a. Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Jeżeli wyrzucimy co najmniej dwa orły, to wybieramy losowo dwa wierzchołki spośród wierzchołków prostopadłościanu, a jeżeli wyrzucimy mniej niż dwa orły, to wybieramy losowo dwa wierzchołki spośród wierzchołków ostrosłupa. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że odległość dwóch wybranych punktów jest większa od 2a.

Zestaw V

1. Dla jakich wartości parametru m dwa różne pierwiastki x₁ i x₂ równania
   spełniają warunek
   ?

2. Wyznacz liczby całkowite należące do zbioru
   , gdy:

,
.

3. Zadrukowana część stronicy książki ma mieć pole równe 384 cm². Marginesy boczne mają mieć szerokość 1 cm, a margines górny i dolny po 1,5cm. Wyznacz wymiary stronicy tak, aby na produkcję książki zużyć jak najmniej papieru.

4. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy
   . Wiedząc, że krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

5. a) w nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n) czwarty wyraz jest równy 4007, a siódmy 7004. O nieskończonym ciągu geometrycznym (b_n) wiadomo, że jest monotoniczny, jego trzeci wyraz jest równy 1,25 i suma trzech pierwszych jego wyrazów jest równa 8,75. Z wyrazów ciągów (a_n) i (b_n) utworzono nowy ciąg (c_n) o wyrazie ogólnym
   . Oblicz granicę ciągu (c_n).

b) oblicz 1999²-1998²+1997²-1996²+...+3²-2²+1².

Zestaw VI

1. Dana jest funkcja
   .

1. dla jakich wartości parametru m najmniejsza wartość tej funkcji jest większa od 1?

2. dla m=-2 naszkicuj wykres funkcji y=|f(x)|.

2. Maszynistka miała wykonać pracę w przewidzianym czasie, przepisując codziennie określoną liczbę stron. Obliczyła jednak, że jeśli będzie przepisywać dziennie 2 strony więcej od ustalonej normy, to skończy całą pracę o 2 dni wcześniej od przewidzianego terminu. Jeżeli natomiast będzie przepisywać o 60% więcej od dziennej normy, to skończy pracę 4 dni przed przewidzianym terminem i przepisze o 8 stron więcej. Ile stron dziennie miała przepisywać maszynistka i jaki był planowany czas wykonania pracy?

3. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Obwód tego trójkąta jest równy 24.

1. oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.

2. oblicz wartość wyrażenia
   , gdzie  i  są miarami kątów ostrych tego trójkąta.

3. udowodnij, że w dowolnym trójkącie prostokątnym, w którym długości boków tworzą ciąg arytmetyczny, długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa różnicy ciągu.

4. Stożek ma tworzącą długości l i obwód podstawy równy c.

1. oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość stożka.

2. wyznacz tangens kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.

5. Z liczb 1, 4, 5, 6, 7 losujemy bez zwracania dwie liczby. Zdarzenie A polega na tym, że suma wylosowanych liczb jest większa od 10, zaś zdarzenie B na tym, że za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą.

1. sprawdź niezależność zdarzeń A i B.

2. oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma wylosowanych liczb jest większa od 10, jeżeli za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą.

Zestaw VII

1. Dla jakich wartości parametru m równanie:

ma rozwiązanie? Wyznacz wartość parametru m, dla której suma sześcianów pierwiastków tego równania jest równa -9.

2. Zbadaj przebieg zmienności funkcji

I naszkicuj jej wykres.

3. Boki trójkąta zawierają się w prostych o równaniach:

,
,

1. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

2. Oblicz pole tego trójkąta.

3. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

4. Dwusieczna kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną w stosunku 3:4. Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt.

5. Z urny zawierającej dwie kule białe i trzy czarne losujemy trzy razy po dwie kule, przy czym po każdym losowaniu wylosowane kule wrzucamy z powrotem do urny. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej raz pary kul różnych kolorów.

Zestaw VIII

1. Sprawdź, czy istnieje takie k, dla którego iloczyn kwadratów pierwiastków równania

jest równy sumie tych pierwiastków.

2. W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz jest największą liczbą ujemną spełniającą nierówność

,

a trzeci wyraz tego ciągu jest najmniejszą liczbą dodatnią spełniającą tę nierówność. Oblicz, ile początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby otrzymać liczbę 95.

3. Oblicz odległość środków okręgu opisanego i okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o kącie ostrym 2a i przeciwprostokątnej c. Dla jakiej wartości kąta 2a odległość ta jest najmniejsza? Wyznacz tę najmniejszą odległość.

4. Przekrój stożka wyznaczony przez wierzchołek i cięciwę podstawy jest trójkątem równobocznym o polu równym
   . Płaszczyzna tego przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy stożka kąt
   . Oblicz objętość stożka i cosinus kąta rozwarcia stożka.

5. W urnie znajdują się losy wygrywające i przegrywające - razem 40 sztuk. Z urny wybieramy dwa losy. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowano dwa losy wygrywające, B - zdarzenie, że wylosowano jeden los wygrywający i jeden przegrywający. Ile jest losów wygrywających, jeżeli wiadomo, że P(A)=P(B)? Które ze zdarzeń jest bardziej prawdopodobne: "wylosowano dwa losy wygrywające" czy "wylosowano dwa losy przegrywające".?

Zestaw XI

1. Dla jakich parametrów m równanie:

posiada cztery różne rozwiązania?

2. Funkcja f określona jest wzorem:

1. Rozwiąż równanie f(x)=5.

2. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji

3. Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale
   .

3. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego do długości promienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym, jeżeli kąt wewnętrzny przy podstawie tego trójkąta jest równy . Określ kiedy ten stosunek jest największy.

4. W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wiedząc, że odległość jego wierzchołka od środka kuli wpisanej w ten ostrosłup jest równa d.

5. Przyjmując, że urodzenie chłopca i dziewczynki jest jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo, że w rodzinie mającej pięcioro dzieci jest co najwyżej jeden chłopiec lub są sami chłopcy.

Zestaw X

1. Dla jakich wartości parametru
   równanie:

ma co najmniej jedno rozwiązanie?

2. Znajdź pierwiastki równania:

3. Zbadaj przebieg funkcji

1. Sporządź wykres funkcji f, podaj przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.

2. Odczytaj z wykresu ilość rozwiązań równania
   w zależności od parametru
   .

4. W trójkąt równoramienny, którego boki zawierają się w prostych AB : y=2,
   AC : 3x-4y+14=0 i BC : 3x+4y-26=0 wpisano równoległobok tak, że jeden bok równoległoboku zawiera się w odcinku AB, drugi w odcinku AC, a jeden z wierzchołków równoległoboku należy do boku BC. Przy jakich długościach boków równoległoboku jego pole jest największe?

5. Szkoła zaplanowała budowę otwartego basenu w kształcie prostopadłościanu o szerokości 5m i długości 20m. Jaka powinna być głębokość basenu, aby koszt wyłożenia dna i boków basenu kaflami o wymiarach 25cm×25cm był mniejszy od 6 200zł, jeżeli koszt 1m² kafli wynosi 30zł? Rozważ przypadki:

1. kafle układamy w całości.

2. kafle można ciąć co najwyżej na dwie części.

Zestaw XI

1. Dany jest układ równań:

o niewiadomych x i y.

1. Rozwiąż ten układ równań dla m=0 i k=-4.

2. Wykonaj ilustrację graficzną tego układu równań dla m=1 i k=0.

3. Wyznacz układ równań drugiego stopnia, który ma następujący zbiór rozwiązań
   

2. Dana jest funkcja
   , gdzie

jeżeli g(x)=cos(x)

i sinc=1.

Narysuj wykres funkcji y=f(x) dla
. Na podstawie tego wykresu określ w zależności od parametru m liczbę pierwiastków równania f(x)=m.

3. Przez punkt P należący do boku trójkąta poprowadzono proste równoległe do dwóch pozostałych boków trójkąta, otrzymując w ten sposób równoległobok. W jakim stosunku punkt P dzieli bok trójkąta, jeżeli pole równoległoboku jest największe?

4. Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o objętości 27 i przekątnej długości
   wiedząc, że długości trzech krawędzi tego prostopadłościanu, wychodzących z tego samego wierzchołka, tworzą ciąg geometryczny.

5. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych większych od 10 wybieramy losowo dwie liczby (bez zwracania). Określ zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia. Niech A oznacza zdarzenie, że suma wylosowanych liczb jest parzysta, zaś B oznacza zdarzenie, że iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń A i B oraz sprawdź, czy te zdarzenia są niezależne.

Zestaw XII

1. Dane są funkcje:

,
i

1. Oblicz, dla jakich argumentów wartości funkcji f nie są większe od 3.

2. Znajdź, metodą algebraiczną liczbę punktów wspólnych wykresu funkcji f z prostą y=kx, gdzie
   .

2. Dla jakiej wartości parametru m wykres funkcji:

Posiada asymptotę poziomą y=1? Dla wyznaczonej wartości m zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji f.

3. Przez punkt A=(0,1) poprowadzono styczne do okręgu
   

1. Napisz równania tych stycznych.

2. Oblicz pole trójkąta ABC, gdzie B i C są punktami styczności.

3. Znajdź równanie krzywej, jaką tworzą środki cięciw danego okręgu wyznaczone przez proste przechodzące przez punkt A.

4. Z walca o średnicy 2 m wycięto wpisany weń prosty graniastosłup trójkątny. Przekątna najmniejszej ściany bocznej graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30º. Miary dwóch kątów podstawy są równe 45º i 60º. Powstałe w ten sposób bryły oklejono kolorowym papierem. Oblicz, ile m² papieru zużyto.

5. Spośród 90 losów loterii, wśród których było 6 wygrywających, Ania, Kasia i Wojtek kolejno wylosowali po jednym losie.

1. Która z osób miała największe szanse wygrania?

2. Oblicz, jak zmieni się szansa wygrania Wojtka, jeśli jego koleżanki wygrały.

Zestaw XIII

1. Wyznacz wartości parametru k, dla których granica ciągu

gdzie
, jest liczbą nie większą niż pierwiastek równania:

Zbadaj monotoniczność ciągu (a_n) przyjmując za k największą liczbę całkowitą spośród wyznaczonych wartości parametru k. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a_n), które przyjmują wartość ujemną. Który wyraz ciągu (a_n) przyjmuje wartość zero?

2. Do wykresu funkcji f(x)=2x²+bx+c należy punkt A=(3,-2).

1. Wyznacz wartości współczynników b i c wiedząc, że minimum tej funkcji wynosi -2.

2. Narysuj wykres funkcji y=f(|x|) i podaj: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności oraz dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.

3. Określ liczbę pierwiastków równania |f(x)|-5=m w zależności od parametru m, a następnie narysuj wykres funkcji g(m)=k, gdzie k jest liczbą pierwiastków tego równania.

3. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji:

Określ liczbę pierwiastków równania |f(x)|=m, w zależności od parametru m, a następnie narysuj wykres funkcji g(m)=k, gdzie k jest liczbą pierwiastków tego równania.

4. Dany jest czworościan foremny, którego krawędź ma długość a.

1. Oblicz stosunek objętości kuli opisanej do objętości kuli wpisanej w ten czworościan.

2. Oblicz odległość krawędzi skośnych danego czworościanu.

3. Udowodnij, że jeżeli punkt P należy do wnętrza danego czworościanu, to suma odległości punktu od ścian tego czworościanu jest stała.

5. W salonie gier, do którego udali się trzej koledzy, Wojtek, Piotrek i Adam, znajdują się trzy automaty: A₁, A₂, A₃. Prawdopodobieństwo wygrania na automacie A₁ wynosi 0,25, na automacie A₂ wynosi 0,8, a na automacie A₃ wynosi 0,6 (niezależnie od umiejętności i sprawności grającego). Każdy z nich zagrał na trzech wybranych przez siebie automatach w następującej kolejności: Wojtek - (A₁, A₂, A₁), Piotrek - (A₂, A₁, A₂), natomiast Adam - (A₃, A₂, A₁). Jeżeli grający wygrał co najmniej dwukrotnie uzyskał nagrodę. Który z chłopców miał największą szansę zdobycia nagrody?

Zestaw XIV

1. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji:

w przedziale

2. a) zbadaj przebieg zmienności i narysuj wykres funkcji:

Określ liczbę pierwiastków równania f(x)=k w zależności od wartości parametru k.

1. Narysuj wykres funkcji g(x) = [f(x)] gdzie [p] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od p.

3. W układzie współrzędnych dana jest prosta o równaniu y=x+1 i punkty A=(3,1), B=(5,2) i C=(3,m). Dla jakiej wartości parametru m prosta y=x+1 dzieli trójkąt ABC na dwie figury o równych polach?

4. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kat płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę . Odległość wierzchołka od krawędzi bocznej jest równa d. Oblicz objętość ostrosłupa. Wyznacz wartości kąta , dla których zadanie ma rozwiązanie.

5. Ze zbioru:

losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby i układamy je obok siebie tworząc liczbę dwucyfrową, w której cyfrą dziesiątek jest pierwsza z wylosowanych liczb. Rozpatrzmy zdarzenia: A - „utworzona liczba dwucyfrowa jest parzysta” i B - „utworzona liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 3”. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne.

Zestaw XV

1. Wiedząc, że zbiór A jest dziedziną funkcji
   , a B jest zbiorem liczb rzeczywistych spełniających nierówność
   , wypisz elementy zbioru
   , gdzie C jest zbiorem liczb całkowitych.

2. Prosta
   przecina okrąg o równaniu
   w punktach A i C, które są przeciwległymi wierzchołkami rombu o polu równym 8. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

3. Andrzej startuje w zawodach lekkoatletycznych w dwóch konkurencjach: w biegach na sto metrów i na dwieście metrów. Na podstawie poprzednich startów jego szanse są oceniane następująco: w biegu na sto metrów prawdopodobieństwo zwycięstwa jest równe 50%, a w biegu na dwieście metrów 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Andrzej wygra:

1. Przynajmniej w jednej konkurencji,

2. W obydwu konkurencjach,

3. Tylko w jednej konkurencji,

4. Tylko bieg na sto metrów?

4. W prostopadłościanie o podstawie kwadratowej pola: podstawy, powierzchni bocznej, powierzchni całkowitej tworzą ciąg geometryczny. Oblicz tangens kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do jego podstawy.

5. Dana jest funkcja
   .

1. Oblicz miejsca zerowe funkcji f i naszkicuj wykres.

2. Wyznacz liczbę pierwiastków równanie
   , w zależności od wartości parametru m.

---