1

Miara łukowa kąta

Definicja

Miarą łukową kąta w kole o promieniu

r

nazywamy

stosunek długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości

promienia koła.

Jednostką miary łukowej jest radian.

90

◦

=

1
4

2πr

r

rad =

π

2

rad

180

◦

=

1
2

2πr

r

rad = π rad

1

◦

=

π

180

rad

1 rad =

180

◦

π

2

Kąty w układzie współrzędnych

Każda liczba rzeczywista może być traktowana jako miara łukowa

kąta.

3

Funkcje trygonometryczne

sin α =

y

r

cos α =

x

r

tg α =

y

x

ctg α =

x

y

4

Definicja

Funkcję postaci

y = sin x

nazywamy funkcją sinus.

Dziedziną funkcji sinus jest zbiór liczb rzeczywistych (

x ∈ R

), zbiorem

wartości funkcji sinus jest przedział domknięty

[−1, 1]

(

y ∈ [−1, 1]

).

Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą i okresową o okresie podstawo-

wym

T = 2π

.

5

Definicja

Funkcję postaci

y = cos x

nazywamy funkcją cosinus.

Dziedziną funkcji cosinus jest zbiór liczb rzeczywistych (

x ∈ R

),

zbiorem wartości jest przedział domknięty

[−1, 1]

(

y ∈ [−1, 1]

).

Funkcja cosinus jest funkcją parzystą i okresową o okresie podstawo-

wym

T = 2π

.

6

Definicja

Funkcję postaci

y = tg x

nazywamy funkcją tangens.

Dziedziną funkcji tangens jest zbiór

R r

(

π

2

+ kπ : k ∈ Z

)

, zbiorem

wartości funkcji tangens jest zbiór liczb rzeczywistych.

Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą i okresową o okresie podsta-

wowym

T = π

.

7

Definicja

Funkcję postaci

y = ctg x

nazywamy funkcją cotangens.

Dziedziną funkcji cotangens jest zbiór

R r {kπ : k ∈ Z}

, zbiorem

wartości funkcji cotangens jest zbiór liczb rzeczywistych.

Funkcja cotangens jest funkcją nieparzystą i okresową o okresie podsta-

wowym

T = π

.

8

Definicja

Funkcję odwrotną do funkcji

f :

"

−

π

2

,

π

2

#

→ [−1, 1]

danej wzorem

f (x) = sin x

nazywamy funkcją arcsin (czyt. arkus

sinus).

arcsin : [−1, 1] →






−

π

2

,

π

2






9

Dziedziną funcji arcsin jest przedział domknięty

[−1, 1]

, przeciw-

dziedziną przedział domknięty

"

−

π

2

,

π

2

#

.

Funkcja arcsin jest funkcją rosnącą i nieparzystą.

y = sin x

⇐⇒

x = arcsin y

x ∈






−

π

2

,

π

2






y ∈ [−1, 1]

Przykład

Oblicz:

•

arcsin

√

2

2

•

arcsin (−

1
2

)

10

Definicja

Funkcję odwrotną do funkcji

f : [0, π] → [−1, 1]

danej wzorem

f (x) = cos x

nazywamy funkcją arccos (czyt. arkus

cosinus).

arccos : [−1, 1] → [0, π]

11

Dziedziną funcji arccos jest przedział domknięty

[−1, 1]

, przeciw-

dziedziną przedział domknięty

[0, π]

.

Funkcja arccos jest funkcją malejącą.

y = cos x

⇐⇒

x = arccos y

x ∈ [0, π]

y ∈ [−1, 1]

Przykład

Oblicz:

•

arccos

−

√

2

2

•

arccos 1

12

Definicja

Funkcję odwrotną do funkcji

f :

−

π

2

,

π

2

!

→ R

danej

wzorem

f (x) = tg x

nazywamy funkcją arctg (czyt. arkus tangens).

arctg : R →






−

π

2

,

π

2






13

Dziedziną funcji arctg jest zbiór liczb rzeczywistych, przeciwdziedziną

przedział otwarty

−

π

2

,

π

2

!

.

Funkcja arctg jest funkcją rosnącą i nieparzystą.

y = tg x

⇐⇒

x = arctg y

x ∈






−

π

2

,

π

2






y ∈ R

Przykład

Oblicz:

•

arctg (−1)

•

arctg

√

3

14

Definicja

Funkcję odwrotną do funkcji

f : (0, π) → R

danej

wzorem

f (x) = ctg x

nazywamy funkcją arcctg (czyt. arkus tangens).

arcctg : R → (0, π)

15

Dziedziną funcji arcctg jest zbiór liczb rzeczywistych, przeciwdziedziną

przedział otwarty

(0, π)

.

Funkcja arcctg jest funkcją malejącą.

y = ctg x

⇐⇒

x = arcctg y

x ∈ (0, π)

y ∈ R

Przykład

Oblicz:

•

arcctg (−1)

•

arcctg

√

3

16

Przykład

Wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę oraz narysować

wykres funkcji:

•

y = arcsin (3x − 6) − π

•

y = 2arcctg (x + 1) −

π

2

Przykład

Rozwiąż równanie lub nierówność:

arccos

2 − x

3

= π

arctg

1

x

> arctg 9x

Przykład

Wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę oraz narysować

wykres funkcji:

•

y = sin(arcsin x)

•

y = arcsin (sin x)

17

Podstawowe związki między funkcjami cyklometrycznymi

Dla każdego

x ∈ [−1, 1]

zachodzi:

arcsin x = − arcsin (−x) =

π

2

− arccos x

Dla każdego

x ∈ R

zachodzi:

arctg x = − arctg (−x) =

π

2

− arcctg x

18

Funkcje elementarne

Definicja

Podstawową funkcją elementarną nazywamy funkcję

stałą, potęgową, wykładniczą, logarytmiczną, trygonometryczną lub

cyklometryczną. Funkcję, którą można otrzymać z podstawowych

funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmety-

cznych oraz operacji złożenia funkcji, nazywamy funkcją elementarną.

Przykład

Następujące funkcje są funkcjami elementarnymi:

•

f (x) = 3x

9

− x

2

,

f (x) =

4x

2

− 1

x

5

+ 5

•

f (x) =

3

√

3x

2

+ 1,

f (x) = log

2

(x + 3)

•

f (x) = sin(arctg x + 1)

•

sh x =

e

x

− e

−x

2

,

ch x =

e

x

+ e

−x

2

19

Przykład

Uzasadnić, że funkcja

f : R → [0, +∞]

dana wzorem

f (x) = |x|

jest funkcją elementarną.

Przykład

Przykłady funkcji nieelementarnych:

• Funkcja ”signum”:

sgn x =







































































1

x > 0

0

x = 0

−1

x < 0

• Funkcja ”część całkowita”:

z(x) = k

jeżeli

x ∈ [k, k + 1),

k ∈ Z

20

• Funkcja Dirichleta:

D(x) =











































1

x ∈ Q

0

x ∈ R r Q