K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
V.
TEORIA SOMMERFELDA
V.1. REGUŁY KWANTOWANIA WILSONA – SOMMERFELDA
Reguły kwantowania Wilsona – Sommerfelda dotyczą dowolnej wielkości fizycznej, która
jest periodyczną funkcją czasu (jeżeli funkcje opisujące jakiś układ są funkcjami
periodycznymi to układ jest kwantowalny).
q
t=q t
gdzie:
τ
– okres
∫
p
q
dq
=n
q
h
(V.1.1)
p
q
– pęd odpowiadający współrzędnej uogólnionej q
n
q
– liczba kwantowa
Przykład: Punkt o masie m poruszający się po orbicie kołowej.
(r,
ϕ
)
q
1
= r, q
2
=
ϕ
r = const
ϕ
=
ω
t
0
≤≤2 , =2
– 1 –
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
p
q
=
dE
x
d ˙q
(V.1.2)
˙q=
dq
dt
E
k
=
m
2
˙r
2
r
2
˙
2
(V.1.3)
p
q
=
dE
k
d ˙
=mr
2
˙=mr
2
=mvr=L
p
r
=
∂ E
k
∂ ˙r
=m ˙r=0 , bo r=const
L
lewa strona:
∮
p
q
dq
=
∮
p
d
=
∫
0
2
L d
=L
∫
0
2
d
=2 L
P
prawa strona: n
⋅h
Ponieważ L = P, to:
2
L=n
⋅h , czyli:
L
=n
ℏ
(V.1.4)
Zależność (V.1.4) zgodna (identyczna) z II postulatem Bohra.
Stanowi jego matematyczne rozwiązanie.
Jeżeli (V.1.1) zastosujemy do oscylującej cząstki o masie m, to możemy znaleźć jej
– 2 –
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
energię całkowitą:
E
=nhf
(V.1.5)
Wzór (V.1.5) jest zgodny z IV postulatem Bohra.
Sommerfeld uogólnił model Bohra i pokazał że elektron na danej orbicie może poruszać
się po orbicie eliptycznej (kołowa jest jej szczególnym przypadkiem), przy czym liczba orbit
zależy od n i jest dokładnie jej równa.
n – będziemy nazywać główną liczbą kwantową.
V.2. SUBTELNA STRUKTURA WIDMA WODORU.
Wszystkie linie spektralne począwszy od n = 2 są rozszczepione – jest to struktura
subtelna.
Struktura subtelna została wyjaśniona w oparciu o rachunek relatywistyczny.
Rys.V.1. Subtelna struktura widma atomu wodoru.
Sommerfeld był w stanie obliczyć parametry orbit i ich energie.
L
=n
ℏ , n
=1, 2 , 3 ,...
(V.2.1)
L
a
b
−1
=n
r
ℏ ,
n
r
=0, 1, 2 , ...
(V.2.2)
– 3 –
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
a
=
ℏ
2
Ze
2
n
2
(V.2.3a)
b
=a
n
n
(V.2.3b)
E
=−
e
4
Z
2
2
ℏ
2
⋅
1
n
2
(V.2.3c)
Wzory (V.2.3a), (V.2.3b), (V.2.3c) – definiują orbitę po której porusza się elektron.
n
=n
n
r
=1,2,3 , ... – główna liczba kwantowa
n
=1,2 , .... ,n – azymutalna liczba kwantowa
n , n
φ
– definiują kształt orbity
b
=a
n
n
→ n
=n , a=b
V.3. PRZYKŁADY ORBIT SOMMERFELDA.
Rys.V.2. Przykłady orbit Sommerfelda.
– 4 –
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Pod względem energetycznym wszystkie orbity dla danego n są takie same, bo energia
nie zależy od n
φ
– degeneracja orbit.
Degeneracja została zniesiona po wprowadzeniu rachunku relatywistycznego.
m
=
m
0
1
−
v
c
2
(V.3.1)
Energia E= f n , n
– jest charakterystyczna dla danej orbity
E
=
−e
4
Z
2
2ħ
2
n
2
[
1
a
2
Z
2
n
1
n
−
3
4n
]
(V.3.2)
Z (V.3.2) wynika, że E= f n , n
i wyjaśnia strukturę subtelna linii spektralnych
Po uwzględnieniu efektu relatywistycznego energia wyraża się wzorem:
E
=E
NR
∆ E
R
(V.3.3)
gdzie:
E
NR
– część nierelatywistyczna (V.2.3c)
E
R
– poprawka relatywistyczna
∆ E
R
~a
2
Z
2
n
1
n
−
3
4n
(V.3.4)
Poprawka opisuje przesunięcie poziomów energetycznych – pojawienie się struktury
subtelnej.
a
=
e
2
ℏ
c
≃
1
137
(V.3.5)
a – stała struktury subtelnej, charakterystyczna wielkość we wzorach fizyki kwantowej
Jest wiele interpretacji tej stałej a, jedną z nich jest:
a
=
v
1
c
– 5 –
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
v
1
prędkość elektronu na pierwszej orbicie
W efekcie istnienia struktury subtelnej pojawiają się dodatkowe poziomy i tworzy się
widmo bardziej skomplikowane.
Rys.V.3. Przejścia dozwolone są oznaczone przez zielone strzałki, czerwone oznaczają przejścia
zabronione.
O tym, które przejścia są dozwolone, a które nie, mówi reguła wyboru:
n
=±1
(V.3.6)
– 6 –