Wydział WiLiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1

dr Jolanta Dymkowska

Pochodna funkcji

Zad.1 Oblicz pierwszą pochodną funkcji:

1.1 y = 5x

15

− x

7

+ 3x − 2

1.2 y =

1
3

x

3

−

3
2

x

4

+ 3x

7
3

+ 7

3
2

1.3 y = 3

3

√

x − x

3

+

2
3

4

√

x

3

1.4 y =

5

7

√

x

−

5
6

5

√

x

3

+

3

2

√

x

1.5 y =

2

x

3

·

√

x

1.6 y =

3x−4·

6

√

x

5

x·

√

x

1.7 y =

4x

2

− 2x

√

x

· ( 2x +

√

x )

1.8 y =

8x

3

x

3

+ x − 1

1.9 y =

x

2

+ 9

· x +

1

x

1.10 y =

1+

√

x

1+2

√

x

1.11 y =

1

x

+ 4

4

1.12 y =

√

x

2

+ 4

1.13 y =

x

2

3

√

x

3

+1

1.14 y =

q

x

2

−3x+2

x

2

−7x+12

1.15 y = 2x + sin 2x

1.16 y =

x

sin x+cos x

1.17 y = 4 cos

5 x

4

1.18 y =

1
3

sin

3

x −

2
5

cos

5

x +

1
7

tg

7

x

1.19 y = ctg

4

√

x

1.20 y =

3 cos x

sin

3

x

1.21 y =

tg 2x − x

2

· ( sin x +

3

√

x − 2 )

1.22 y =

x sin x

1+tg x

1.23 y =

q

sin x +

p

x + 2

√

x

1.24 y =

q

1 + tg

x +

1

x

1.25 y = cos

3

2x · sin

2

3x

1.26 y =

x +

√

1 + x

2

· tg

2

4x

1.27 y = e

3x

+ 5

x

+ 2

x

1.28 y = e

cos

2

x

1.29 y = 3

x

· x

3

1.30 y =

10x

2

− 1

e

−x

1.31 y =

1
5

ln 10x

1.32 y = ln tg

π

4

+

x

2

1.33 y = ln x +

√

1 + x

2

+

tg

2

x

2

1.34 y = ln e

2x

+

√

1 + e

4x

+ cos

2

x

1.35 y = ln ( ln ( ln x ) )

1.36 y = log

x

( ln x )

1.37 y = log

x

(sin x)

1.38 y = log

2

(x

2

+ 1) + e

√

x

2

+1

1.39 y = arctg

x

2

1.40 y = arcsin

√

1 − 4x

1.41 y = arctg

1+x
1−x

1.42 y = arccos

√

x

2

1.43 y = x arctg

x

2

− ln(x

2

+ 4)

1.44 y =

√

4x − x

2

+ 4 arcsin

√

x

2

1.45 y =

q

1−arcsin x
1+arcsin x

1.46 y = arctg x + ln

q

1+x
1−x

1.47 y = x

5x

1.48 y = (sin x)

cos x

1.49 y = (cos x)

arctg x

1.50 y = (x

2

+ 3)

√

x

1.51 y = sin ( x

tg x

)

1.52 y = (1 +

1

x

)

arcsin

x

2

+

√

π

Zad.2 Oblicz drugą pochodną funkcji:

2.1 y = arctg 2x

2.2 y = ln(1 + x

2

)

2.3 y = x e

sin x

2.4 y = ( arcsin x )

2

+ ln

3

√

1 + x

2

Zad.3 Oblicz trzecią pochodną funkcji:

3.1 y = sin(1 − 3x)

3.2 y =

1+x
1−x

Zad.4 Oblicz wartość pochodnej rzędu n funkcji f (x) w punkcie x

0

:

4.1 f (x) =

e

x

x+1

n = 1, x

0

= 1

4.2 f (x) =

ln x

x

n = 1, x

0

= e

4.3 f (x) = 4

x

· arctg x

n = 1, x

0

= 0

4.4 f (x) =

x+2

x

2

−3x

n = 2, x

0

= 2

4.5 f (x) = ln x +

√

x

2

+ 1

n = 2, x

0

= 0

4.6 f (x) = sin x · cos x

n = 3, x

0

=

π

2

Zad.5 Sprawdź czy funkcja y = x e

−

1

x

spełnia równanie:

x

3

y

00

− x y

0

+ y = 0.

Zad.6 Rozwiąż równanie f

0

(x) = −2 , jeżeli f (x) = sin

2

4x .

Zad.7 Rozwiąż nierówność f

0

(x) > f

00

(x) , jeżeli f (x) = x

3

+ 9x .

Zad.8 Oblicz

lim

x→∞

x

2

· f

0

(x)

, jeżeli f (x) =

q

x+1
x−1

.

Zad.9 Zbadaj różniczkowalność funkcji:

9.1 f (x) = sgn x

9.2 f (x) =

1
2

( |x| + |x − 2| )

9.3 f (x) = | x

2

− x − 6 |

9.4 f (x) =

3

p(x − 1)

2

9.5 f (x) = ln |x|

9.6 f (x) =







−x

x 6 0

x

2

x > 0

Zad.10 Znajdź te wartości parametrów a i b, dla których funkcja f (x) jest różniczkowalna:

10.1 f (x) =







x

2

x 6 3

ax + b

x > 3

10.2 f (x) =







a e

x

+ b

x 6 0

2 − x

x > 0

Zad.11 Napisz równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

11.1 f (x) =

ln x

x

,

(e, f (e))

11.2 f (x) = arctg

1−x
1+x

,

(1, f (1))

11.3 f (x) = ( ln x )

x

+ 1,

(e, f (e))

11.4 f (x) = x

sin x

+ 1,

(1, f (1))

Zad.12

Na wykresie funkcji y = e

x

znajdź punkt, w którym styczna jest równoległa do prostej x − y + 7 = 0 .

Napisz równanie tej stycznej.

Zad.13

Na wykresie funkcji

y =

1

1+x

2

znajdź punkty, w których styczna jest równoległa do osi ox.

Napisz równania tych stycznych.

Zad.14

Wykaż, że styczne do krzywej y =

1+x

2

3+x

2

w punktach przecięcia tej krzywej z prostą y =

1
2

przecinają się

w punkcie (0,

1
4

).

Zad.15 W jakim punkcie styczna do linii y =

x−8
x+1

tworzy z osią ox kąt równy połowie kąta prostego?

Zad.16 Pod jakim kątem przecinają się krzywe y = sin x i y = cos x ?