D E FIN ICJA . Za ló z˙m y, z˙e fu n kc ja f je s t o kr e ś lo n a w p e wn ym o t o c z e n iu
p u n kt u x0. Je z˙e li is t n ie je s ko nć z o n a g r a n ic a f ( x
lim
0 + h) − f ( x0) ,
h→0
h
t o n a z ywa m y ja¸ pochodn¸a funkcji f w punkcie x0 i o z n a c z a m y f ′( x0) .
D E FIN ICJA . Je z˙e li fu n kc ja f m a p o c h o d n a¸ w ka z˙d ym p u n kc ie p e wn e g o
z b io r u D, t o p r z yp o r z a¸ d ko wa n ie ka z˙d e m u p u n kt o wi x ∈ D lic z b y f ′( x) n a z ywa m y fu n kc ja¸ p o c h o d n a¸ . Fu n kc j¸e t ¸e o z n a c z a m y p r z e z f ′( x) .
Mó wim y t e z˙, z˙e f je s t różniczkowalna w D.
U W A GA . Za m ia s t p is a ć
f ( x + h) − f( x)
f ′( x) = lim
,
h→0
h
m o z˙n a p is a ć ( p o d s t a wia jaç
z = x + h)
f ( z) − f( x)
f ′( x) = lim
.
z→x
z − x
P R ZY K L A D . Fu n kc ja f ( x) = |x| n ie m a p o c h o d n e j w p u n kc ie x0 = 0 .
W ys t a r c z y z a u wa z˙yć , z˙e
f ( 0 + h) − f( 0 )
|0 + h| − |0 |
|h|
h
lim
= lim
= lim
= lim
= 1 ,
h→0+
h
h→0+
h
h→0+ h
h→0+ h
f ( 0 + h) − f( 0 )
|h|
−h
lim
= lim
= lim
= −1 .
h→0−
h
h→0− h
h→0− h
Gr a n ic a le wo s t r o n n a n ie je s t r ó wn a p r a wo s t r o n n e j, wi¸e c g r a n ic a p r z y h → 0 n ie is t n ie je .
√
P R ZY K L A D . Fu n kc ja f ( x) = 3 x n ie m a p o c h o d n e j w p u n kc ie x0 = 0 .
W ys t a r c z y z a u wa z˙yć , z˙e
√
√
√
3 0 + h − 3 0
3 h
1
lim
= lim
= lim
√
= ∞.
h
3
→0
h
h→0 h
h→0
h2
P R ZY K L A D . P o c h o d n a fu n kc ji s t a le j je s t r ó wn a 0 . N ie c h f ( x) = c.
W t e d y
f ( x + h) − f( x)
c − c
f ′( x) = lim
= lim
= 0 .
h→0
h
h→0
h
IN TE R P R E TA CJA GE OME TR Y CZN A .
P o c h o d n a
f ′( x0)
je s t r ó wn a t a n g e n s o wi ka¸ t a , ja ki t wo r z y z o s ia¸ 0 x s t yc z n a d o wykr e s u fu n kc ji y = f ( x)
w p u n kc ie
( x0, f( x0) ) .
In a c z e j m ó wiaç : is t n ie n ie p o c h o d n e j f ′( x0) g wa r a n t u je is t n ie n ie
s t yc z n e j ( n ie r ó wn o le g le j d o o s i 0 y) d o wykr e s u fu n kc ji y = f ( x) w
p u n kc ie
( x0, f( x0) ) . S t yc z n a t a m a r ó wn a n ie y − y0 = f′( x0) ( x − x0) .
1
IN TE R P R E TA CJA FIZY CZN A .
Je z˙e li x o z n a c z a c z a s , a f( x) je s t d lu g o ś c ia¸ d r o g i o d p o c z a¸ t ku r u c h u d o c h wili x, t o
f ( x0 + h) − f( x0) je s t d lu g o ś c ia¸ d r o g i p r z e b yt e j w c z a s ie o d x0 d o x0 + h, ilo r a z r ó z˙n ic o wy f(x0+h)−f(x0) je s t p r ¸e d ko ś c ia¸ ś r e d n ia¸
h
t e g o r u c h u w c z a s ie o d x0 d o x0 + h, a p o c h o d n a f ′( x0) je s t pr¸edkości¸a t e g o r u c h u w c h wili x0.
TW IE R D ZE N IE 1 . Fu n kc ja r ó z˙n ic z ko wa ln a je s t c ia¸ g la .
D owód. N ie c h x0 b ¸e d z ie d o wo ln ym
p u n kt e m , w kt ó r ym
is t n ie je f′( x0) .
P o ka z˙e m y, z˙e f je s t c ia¸ g la w t ym
p u n kc ie , t o z n a c z y, z˙e
lim x
f ( x) = f( x
→x0
0) .
f ( x) − f ( x
lim
f ( x) = lim
0) ( x − x0) + f( x0)
x→x0
x→x0
x − x0
= lim
f ′( x0) ( x − x0) + f( x0) = f( x0) .
x→x0
TW IE R D ZE N IE 2 . Za ló z˙m y, z˙e fu n kc je f ( x) o r a z g( x) s a¸ r ó z˙n ic z ko wa ln e w p e wn ym
p r z e d z ia le . W t e d y:
1 . f ( x) + g( x) ′ = f ′( x) + g′( x)
2 . f ( x) − g( x) ′ = f′( x) − g′( x)
3 . f ( x) g( x) ′ = f′( x) g( x) + f ( x) g′( x)
4 . cf ( x) ′ = cf ′( x)
′
5 . f(x)
= f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
o ile
g( x) = 0
g(x)
g2(x)
6 . f[g( x) ]′ = f ′[g( x) ]g′( x) .
D owód wzorów 1 i 2.
[f( x + h) ± g( x + h) ] − [f( x) ± g( x) ]
f ( x) ± g( x) ′ = lim
h→0
h
f ( x + h) − f ( x)
g( x + h) − g( x)
= lim
±
= f ′( x) ± g′( x)
h→0
h
h
D owód wzoru 3.
f ( x + h) g( x + h) − f( x) g( x)
f ( x) g( x) ′ = lim
h→0
h
f ( x + h) g( x + h) − f( x) g( x + h) + f( x) g( x + h) − f( x) g( x)
= lim
h→0
h
f ( x + h) − f ( x)
g( x + h) − g( x)
= lim
g( x + h) + f ( x)
h→0
h
h
= f ′( x) g( x) + f ( x) g′( x)
D owód wzoru 4.
cf( x) ′ = c′f( x) + cf′( x) = 0 + cf′( x) = cf′( x)
D owód wzoru 5.
f (x+h)
f ( x) ′
− f(x)
= lim
g(x+h)
g(x)
g( x)
h→0
h
1 f ( x + h) g( x) − f( x) g( x + h)
= lim
h→0 h
g( x + h) g( x)
1 f( x + h) g( x) − f( x) g( x) + f( x) g( x) − f( x) g( x + h)
= lim
h→0 h
g( x + h) g( x)
1
f ( x + h) − f ( x)
g( x + h) − g( x)
= lim
g( x) − f( x)
h→0 g( x + h) g( x)
h
h
f ′( x) g( x) − f( x) g′( x)
=
g2( x)
D owód wzoru 6 tylko dla przypadku gdy g( z) = g( x) dla z należ¸acych do pewnego s¸asiedztwa punktu x.
f [g( z) ] − f[g( x) ]
f [g( x) ]′ = lim
z→x
z − x
f [g( z) ] − f[g( x) ] g( z) − g( x)
= lim
·
= f ′[g( x) ]g′( x) .
z→x
g( z) − g( x)
z − x
TW IE R D ZE N IE 3 . Za ló z˙m y, z˙e fu n kc ja f −1 je s t fu n kc ja¸ o d wr o t n a¸ d o fu n kc ji c ia¸ g le j i m o n o t o n ic z n e j f o r a z z˙e f m a w p u n kc ie y0 p o c h o d n a¸
f ′( y0) = 0 . W t e d y fu n kc ja f−1 m a w p u n kc ie x0 = f ( y0)
p o c h o d n a¸
( f−1) ′( x0) =
1
.
f ′(y0)
D owód. P r z yp o m n ijm y, z˙e
f −1( x) = y ⇔ x = f( y) ,
f −1( x0) = y0 ⇔ x0 = f( y0) .
Za t e m
f −1( x) − f−1( x
( f −1) ′( x
0)
0) = lim
x→x0
x − x0
y − y
1
1
= lim
0
= lim
=
.
y
f (y)
→y0 f ( y) − f ( y
−f (y0)
0)
y→y0
f ′( y0)
y−y0
P OD S TA W OW E W ZOR Y .
W z o r y t e s a¸ s lu s z n e d la x n a le z˙aç yc h d o c z ¸e ś c i ws p ó ln e j d z ie d z in fu n kc ji wys t ¸e p u jaç yc h p o le we j i p r a we j s t r o n ie wz o r u .
1 . ( xr) ′ = rxr−1
2 . ( ex) ′ = ex, d la
x ∈ R
3 . ( ax) ′ = ax ln a, d la
x ∈ R, a > 0
4 . ( ln x) ′ = 1 , d la
x > 0
x
5 . ( lo g
x
,
a
) ′ = 1
d la
x > 0 , a > 0 , a = 1
x ln a
6 . ( s in x) ′ = c o s x, d la
x ∈ R
7 . ( c o s x) ′ = − s in x, d la x ∈ R
8 . ( t g x) ′ =
1
, d la x ∈ −π +kπ, π +kπ, g d z ie k = 0 , ±1 , ±2 , . . .
cos2 x
2
2
9 . ( c t g x) ′ = −1 , d la
x ∈ 0 +kπ, π +kπ, g d z ie k = 0 , ±1 , ±2 , . . .
sin 2 x
1 0 . ( a r c s in x) ′ =
1
√
, d la
x ∈ ( −1 , 1 )
1−x2
1 1 . ( a r c c o s x) ′ =
−1
√
, d la
x ∈ ( −1 , 1 )
1−x2
1 2 . ( a r c t g x) ′ =
1
, d la
x ∈ R
1+x2
1 3 . ( a r c c t g x) ′ = −1 , d la
x ∈ R.
1+x2
ex+h − ex
exeh − ex
eh − 1
ex′ = lim
= lim
= ex lim
h→0
h
h→0
h
h→0
h
P o d s t a wia m y eh − 1 = 1 ( o c z ywiś c ie t u
h = 0 ) . L o g a r yt m u jaç
z
r ó wn a n ie
eh = 1 + 1
o t r z ym a m y h = ln ( 1 + 1 ) . P o n a d t o , g d y
z
z
h → 0 +, t o z → +∞ o r a z g d y h → 0 −, t o z → −∞. Za t e m eh − 1
1
1
1
=
=
→
= 1 , g d y h → 0 .
h
z ln ( 1 + 1)
ln ( 1 + 1) z
ln e
z
z
Os t a t e c z n ie ,
eh − 1
ex′ = ex lim
= ex.
h→0
h
D owód wzoru 4. P r z yp o m n ijm y, z˙e
y = ln x ⇔ x = ey. Za s t o s u je m y
t wie r d z e n ie o p o c h o d n e j fu n kc ji o d wr o t n e j.
1
1
1
( ln x) ′ =
=
=
( ey) ′
ey
x
D owód wzoru 1 tylko dla przypadku, gdy x > 0 . R ó z˙n ic z ku jaç r ó wn a n ie ln xr = r ln x o t r z ym a m y 1 ( xr) ′ = r 1 . S t a¸ d ( xr) ′ = rx−1xr = rxr−1.
xr
x
D owód wzoru 3. R ó z˙n ic z ku jaç r ó wn a n ie
ln ax = x ln a o t r z ym a m y
1 ( ax) ′ = ln a. S t a¸ d
( ax) ′ = ax ln a.
ax
D owód wzoru 5.
Z wla s n o ś c i lo g a r yt m ó w:
lo g
x
a
= ln x, a
wi¸e c
ln a
( lo g
x
.
a
) ′ = (ln x)′ = 1
ln a
x ln a
D owód wzoru 6. S ko r z ys t a m y z e wz o r ó w: s in α−s in β = 2 c o s α+β s in α−β
2
2
o r a z
lim
sin t
t
= 1 .
→0
t
s in ( x + h) − s in x
2 c o s x+h+x s in x+h−x
( s in x) ′ = lim
= lim
2
2
h→0
h
h→0
h
c o s ( x + h) s in h
= lim
2
2 = c o s x.
h
h
→0
2
D owód wzoru 7. S ko r z ys t a m y z e wz o r u : c o s α−c o s β = −2 s in α+β s in α−β .
2
2
c o s ( x + h) − c o s x
−2 s in x+h+x s in x+h−x
( c o s x) ′ = lim
= lim
2
2
h→0
h
h→0
h
− s in ( x + h) s in h
= lim
2
2 = − s in x.
h
h
→0
2
D owód wzoru 8. S ko r z ys t a m y z e wz o r u n a p o c h o d n a¸ ilo r a z u .
( s in x) ′ c o s x − s in x( c o s x) ′
( t g x) ′ = s in x ′ =
c o s x
( c o s x) 2
c o s x c o s x − s in x( − s in x)
c o s 2 x + s in 2 x
1
=
=
=
( c o s x) 2
c o s 2 x
c o s 2 x
D owód wzoru 9. P o d o b n ie :
− s in x s in x − c o s x c o s x
1
( c t g x) ′ = c o s x ′ ==
= −
.
s in x
( s in x) 2
s in 2 x
D owód wzoru 10. P r z yp o m n ijm y, z˙e
y = a r c s in x ⇔ x = s in y d la
y ∈ [−π , π] ( a wi¸e c c o s y ≥ 0 c o o z n a c z a , z˙e c o s y = + 1 − s in 2 y) .
2
2
Za s t o s u je m y t wie r d z e n ie o p o c h o d n e j fu n kc ji o d wr o t n e j.
1
1
1
1
( a r c s in x) ′ =
=
=
= √
( s in y) ′
c o s y
1 − s in 2 y
1 − x2
D owód wzoru 11. P r z yp o m n ijm y, z˙e
y = a r c c o s x ⇔ x = c o s y d la
y ∈ [0 , π] ( a wi¸e c s in y ≥ 0 c o o z n a c z a , z˙e s in y = + 1 − c o s 2 y) .
Za s t o s u je m y t wie r d z e n ie o p o c h o d n e j fu n kc ji o d wr o t n e j.
1
1
1
1
( a r c c o s x) ′ =
=
= −
= −√
( c o s y) ′
− s in y
1 − c o s 2 y
1 − x2
D owód wzoru 12. P r z yp o m n ijm y, z˙e
y = a r c t g x ⇔ x = t g y.
Z t wie r d z e n ia o p o c h o d n e j fu n kc ji o d wr o t n e j: 1
1
c o s 2 y
( a r c t g x) ′ =
=
=
( t g y) ′
1
s in 2 y + c o s 2 y
cos2 y
cos2 y
1
1
=
cos2 y
=
=
.
sin 2 y + cos2 y
t g 2 y + 1
x2 + 1
cos2 y
cos2 y
D owód wzoru 13. P r z yp o m n ijm y, z˙e
y = a r c c t g x ⇔ x = c t g y.
Z t wie r d z e n ia o p o c h o d n e j fu n kc ji o d wr o t n e j: 1
1
s in 2 y
( a r c c t g x) ′ =
=
= −
( c t g y) ′
− 1
s in 2 y + c o s 2 y
sin 2 y
sin 2 y
1
1
= −
sin 2 y
= −
= −
.
sin 2 y + cos2 y
1 + c t g 2 y
1 + x2
sin 2 y
sin 2 y
U W A GA . W
p r z yp a d ku , g d y x wys t ¸e p u je z a r ó wn o w p o d s t a wie ja k i w wykla d n iku , s t o s u je m y p r z e ks z t a lc e n ie
[f( x) ]g(x) = eg(x) ln f(x).
P R ZY K L A D . xx′ = ex ln x′ = ex ln x( 1 · ln x + x · 1) = xx( ln x + 1 ) .
x
D E FIN ICJA . Je z˙e li fu n kc ja f m a p o c h o d n a¸ i je z˙e li fu n kc ja f ′ je s t t e z˙
r ó z˙n ic z ko wa ln a , t o ( f ′) ′ n a z ywa m y pochodn¸a drugiego rz¸edu fu n kc ji f i o z n a c z a m y f′′. P o d o b n ie o kr e ś la m y p o c h o d a¸ n-t e g o r z ¸e d u : f (n)( x) = f (n−1)′( x) .