POCHODNA FUNKCJI O DZIEDZINIE JEDNOWYMIAROWEJ

Definicja

pochodnej w przestrzeni Banacha o dziedzinie zawartej w ciele K (o dziedzinie

jednowymiarowej)

Niech





.

,

Y

- przestrzeń Banacha (np. przestrzeń wielowymiarowa

n

R nad ciałem K)

Y

a

Y

f



 ,

: K

(element w przestrzeni Banacha)

f

f

D

D

x

'

0





(pochodną określamy w punkcie należącym do dziedziny i będącym

punktem skupienia dziedziny)

Funkcja f ma pochodną (różniczkę) w punkcie x

0

równą

Y

a

a



,

, jeśli:



  

 

f

D

h

x

h

o

ah

x

f

h

x

f













0

0

0

dla

po podzieleniu przez h wyrażenie

)

(h

o

musi dążyć do zera, gdy

0



h

lub równoważnie



  

 

h

o

ah

x

f

h

x

f









0

0

Oznaczenie:

 

f

d

x

f

a

x

0

0

'





pochodna różniczka

Twierdzenie

Przy powyższych założeniach zachodzi

 



  



  

 

0

0

0

0

0

0

0

0

'

lim

lim

'

x

f

h

x

f

h

x

f

h

x

f

h

x

f

x

f

h

h























Dowód

 



  

 



  



  



  

a

h

x

f

h

x

f

a

h

x

f

h

x

f

h

ah

x

f

h

x

f

h

o

ah

x

f

h

x

f

x

f

h

h

h

















































0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

lim

0

0

'

ڤ

Twierdzenie

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x

0

, to jest w tym punkcie ciągła, tzn.

)

(

)

(

0

0

x

C

f

x

D

f







.

1

Interpretacja pochodnej

Element

)

(

'

0

x

f

a



, występujący w definicji pochodnej, można traktować dwojako:

1.

 

Y

x

f



0

'

(traktujemy jako element przetrzeni Banacha)

2.

 

0

' x

f

traktujemy jako odwzorowanie liniowe i ciągłe

 

K

:

'

0

x

f

∋

Y

h

a

h







Zatem

  

 

h

x

f

h

x

f

0

0

'

'



jest wartością odwzorowania liniowego na wektorze h.

Pochodną traktowaną jako odwzorowanie liniowe i ciągłe nazywamy różniczką

f

d

x

0

.

Różniczka (lub pochodna) odwzorowania f w punkcie x

0

jest to odwzorowanie liniowe i

ciągłe

)

(

'

0

0

x

f

f

d

x



przybliżające różnicę funkcji



  

0

0

x

f

h

x

f





z dokładnością do

 

h

o

.

Pochodną policzoną w punkcie utożsamiamy z prostą styczną do tego punktu.

opracował Mateusz Targosz

2

x

0

x

y

y – y

0

= f ' (x

0

)(x-x

0

)

równanie stycznej do funkcji f w punkcie (x

0

,y

0

)

y=f(x)

y

0