POCHODNA FUNKCJI O DZIEDZINIE JEDNOWYMIAROWEJ
Definicja
pochodnej w przestrzeni Banacha o dziedzinie zawartej w ciele K (o dziedzinie
jednowymiarowej)
Niech
.
,
Y
- przestrzeń Banacha (np. przestrzeń wielowymiarowa
n
R nad ciałem K)
Y
a
Y
f
,
: K
(element w przestrzeni Banacha)
f
f
D
D
x
'
0
(pochodną określamy w punkcie należącym do dziedziny i będącym
punktem skupienia dziedziny)
Funkcja f ma pochodną (różniczkę) w punkcie x
0
równą
Y
a
a
,
, jeśli:
f
D
h
x
h
o
ah
x
f
h
x
f
0
0
0
dla
po podzieleniu przez h wyrażenie
)
(h
o
musi dążyć do zera, gdy
0
h
lub równoważnie
h
o
ah
x
f
h
x
f
0
0
Oznaczenie:
f
d
x
f
a
x
0
0
'
pochodna różniczka
Twierdzenie
Przy powyższych założeniach zachodzi
0
0
0
0
0
0
0
0
'
lim
lim
'
x
f
h
x
f
h
x
f
h
x
f
h
x
f
x
f
h
h
Dowód
a
h
x
f
h
x
f
a
h
x
f
h
x
f
h
ah
x
f
h
x
f
h
o
ah
x
f
h
x
f
x
f
h
h
h
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
lim
0
0
'
ڤ
Twierdzenie
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x
0
, to jest w tym punkcie ciągła, tzn.
)
(
)
(
0
0
x
C
f
x
D
f
.
1
