FUNKCJE

– zmienne niezależna – argument funkcji

x

– zmienne zależna – wartość funkcji

y

 

5

2

2







y

x

 

1

2





x

x

y

-3

-2

-1

0

1

2

3

1

2

3

4

5

 

x

y

x

FUNKCJE

-3

-2

-1

0

1

2

3

1

2

3

4

5

 

[m/s]

t

V

[s]

t

– czas – zmienne niezależna – argument funkcji

t

– prędkość – zmienne zależna – wartość funkcji

V

 

m/s

5

2

s

2







V

t

 

1

2





t

t

V

FUNKCJE

TRYGONOMETRYCZNE



90

180

270

360

-1

0

1

y = sin(



)

y



90

180

270

360

-1

0

1

y = cos(



)

y

90

180

270

360

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5



y = tg(



)

y

FUNKCJE WYKŁADNICZE

-2

-1

0

1

2

3

0

2

4

6

8

10

y = 10

x

-2

-1

0

1

2

3

2

4

6

8

10

y = e

x

= exp(x)

e=2,71828...

x

a

y



1

2

3

4

5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y = log(x)=log

10

(x)

FUNKCJE LOGARYTMICZNE

1

2

3

4

5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

y = ln(x) = log

e

(x)

e=2,71828...

x

y

a

log



y

x

x



y



Znak „



” oznacza zmianę, przyrost:

- od wartości końcowej odejmujemy wartość początkową

ZMIANA WARTOŚCI FUNKCJI

0

x

 

0

x

y

1

x

 

1

x

y

0

1

x

x

x







0

1

y

y

y







- przyrost może mieć zarówno

wartość dodatnią (wzrost wartości
– funkcja rośnie) jak i ujemną
(spadek wartości – funkcja maleje)

- możemy wyznaczać zarówno przyrost wielkości skalarnej jak i

wektorowej

czasu

zmiana

-

0

1

-t

t

t





energii

zmiana

-

0

1

-E

E

E





prędkości

wektora

zmiana

-

0

1

V

-

V

V











1

V



2

V



V





x

x

y





ILORAZ RÓŻNICOWY

Stosunek

nazywamy ilorazem różnicowym.

   

0

1

0

1

x

x

x

y

x

y

x

y











y

x

0

x

 

0

x

y

1

x

 

1

x

y

x



y



Określa on średnią szybkość zmiany
wartości y na odcinku od x

0

do x

1

.

x

x

y





1



1



y

2



y

y

x

x

y 2



x

y



x

y

2

1



2

1

1

2

x

x

y





y

x

x

y





y

x

0

1

2

3

4

5

6

-1

0

1

1

2

3

4

5

6

-1

0

1

1

2

3

4

5

6

-1

0

1



[rad]

y = sin(



)

y



[rad]

cos(



)

POCHODNA



  

x

x

y

x

x

y

x

y

x

x























0

0

0

0

lim

lim

Wartość graniczną ilorazu różnicowego dla nieskończenie małego
przyrostu



x

nazywamy pochodną funkcji y w punkcie x

0

.

Aby odróżnić przyrost skończony od nieskończenie małego
(dążącego do zera), literę „



” zastępujemy literą „d”.



  

x

x

y

x

x

y

x

y

x

y

x

x

























0

0

0

0

lim

lim

d

d

np.: – nieskończenie mała zmiana („przyrościk”) czasu,

– nieskończenie mała zmiana („przyrościk”) pędu.

p



d

t

d

Aby odróżnić przyrost skończony od nieskończenie małego
(dążącego do zera), literę „



” zastępujemy literą „d”.



  

x

x

y

x

x

y

x

y

x

y

x

x

























0

0

0

0

lim

lim

d

d



  

x

x

y

x

x

y

x

y

x

y

y

x

x



























0

0

0

0

lim

lim

d

d

'

Innym oznaczeniem pochodnej jest apostrof przy oznaczeniu funkcji:

np.: – nieskończenie mała zmiana („przyrościk”) czasu,

– nieskończenie mała zmiana („przyrościk”) pędu.

p



d

t

d

POCHODNA

y

x

WŁAŚCIWOŚCI

POCHODNEJ

3) Pochodna jest równa tangensowi nachylenia stycznej:

 



tan

d

d



x

y



y

d

x

d

 

0

x

y

0

x

2) Wyznacza kierunek stycznej do danej funkcji w punkcie

0

x

1) Wartość pochodnej określa szybkość zmiany funkcji y

przy zmianie wartości parametru x.

y

x

6)

0

otoczeniu

w

stała

funkcja

0

'

x

y





rosnąca

funkcja

0

'





y

4)

5)

malejąca

funkcja

0

'





y

WŁAŚCIWOŚCI

POCHODNEJ

PRZYKŁAD

1

2

3

4

5

6

-1

0

1



y = sin(



)

y

1

2

3

4

5

6

-1

0

1



y’

y’ = cos(



)

1

2

3

4

5

6

-1

0

1



y = cos(



)

y

1

2

3

4

5

6

-1

0

1



y’

y’ = -sin(



)

PRZYKŁAD

POCHODNE DO ZAPAMIĘTANIA

 





 

x

x

cos

sin





 





 

x

x

sin

cos







 

1







n

n

nx

x

 

4

5

5x

x





 





x

x

1

ln





 

x

x

e

e





POCHODNE DO ZAPAMIĘTANIA





x

y

C

x

y

C

d

d

d

d







2

d

d

d

d

d

d

g

x

g

f

g

x

f

x

g

f

























x

g

f

g

x

f

x

g

f

d

d

d

d

d

d











 









x

g

g

f

x

x

g

f

d

d

d

d

d

d









y

C

y

C















g

f

g

f

















g

f

g

f

g

f















 









g

f

x

g

f

g











2

g

g

f

g

f

g

f





























x

g

x

f

x

g

f

d

d

d

d

d

d







 







x

y

 





 

























x

y

x

y

 





 





x

x

y

x

y

x

y

d

d

d

d



































 





 





















































x

y

x

x

x

y

x

y

x

y

d

d

d

d

d

d

d

d

POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

dx

dy

y





pochodna pierwszego rzędu

 

 

6

6

3

2









t

t

 





 





 

t

t

t

sin

cos

sin











 





 





2

2

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

x

y

x

y

x

x

x

y

x

y

x

y



















































pochodna drugiego rzędu

FUNKCJE ODWROTNE

2

x

y



y

x







 

x

sin

y



 

 

y

arcsin

y

sin

x

1









1

x

2

1

y

2









1

y

2

x









 

x

ln

y



y

e

x





CAŁKOWANIE

 

x

f

dx

dy



 

dx

x

f

dy



 







dx

x

f

dy

 

 





dx

x

f

x

y

C

x

2

1

2



pochodna

całka

x

.

const

C

gdzie

,



PRZYKŁAD

CAŁKI DO ZAPAMIĘTANIA

C

x

dx

1

0

n













C

x

2

1

xdx

1

n

2











C

x

1

dx

x

1

2

n

2















1

n

,

0

x

,

C

x

1

n

1

dx

x

1

n

n

















 

 

C

x

cos

dx

x

sin









 

 

C

x

sin

dx

x

cos







CAŁKI DO ZAPAMIĘTANIA