FUNKCJE
– zmienne niezależna – argument funkcji
x
– zmienne zależna – wartość funkcji
y
5
2
2
y
x
1
2
x
x
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
2
3
4
5
x
y
x
FUNKCJE
– zmienne niezależna – argument funkcji
x
– zmienne zależna – wartość funkcji
y
5
2
2
y
x
1
2
x
x
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
2
3
4
5
x
y
x
FUNKCJE
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
2
3
4
5
[m/s]
t
V
[s]
t
– czas – zmienne niezależna – argument funkcji
t
– prędkość – zmienne zależna – wartość funkcji
V
m/s
5
2
s
2
V
t
1
2
t
t
V
FUNKCJE
TRYGONOMETRYCZNE
90
180
270
360
-1
0
1
y = sin(
)
y
90
180
270
360
-1
0
1
y = cos(
)
y
90
180
270
360
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y = tg(
)
y
FUNKCJE WYKŁADNICZE
-2
-1
0
1
2
3
0
2
4
6
8
10
y = 10
x
-2
-1
0
1
2
3
2
4
6
8
10
y = e
x
= exp(x)
e=2,71828...
x
a
y
1
2
3
4
5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y = log(x)=log
10
(x)
FUNKCJE LOGARYTMICZNE
1
2
3
4
5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
y = ln(x) = log
e
(x)
e=2,71828...
x
y
a
log
y
x
x
y
Znak „
” oznacza zmianę, przyrost:
- od wartości końcowej odejmujemy wartość początkową
ZMIANA WARTOŚCI FUNKCJI
0
x
0
x
y
1
x
1
x
y
0
1
x
x
x
0
1
y
y
y
- przyrost może mieć zarówno
wartość dodatnią (wzrost wartości
– funkcja rośnie) jak i ujemną
(spadek wartości – funkcja maleje)
- możemy wyznaczać zarówno przyrost wielkości skalarnej jak i
wektorowej
czasu
zmiana
-
0
1
-t
t
t
energii
zmiana
-
0
1
-E
E
E
prędkości
wektora
zmiana
-
0
1
V
-
V
V
1
V
2
V
V
x
x
y
ILORAZ RÓŻNICOWY
Stosunek
nazywamy ilorazem różnicowym.
0
1
0
1
x
x
x
y
x
y
x
y
y
x
0
x
0
x
y
1
x
1
x
y
x
y
Określa on średnią szybkość zmiany
wartości y na odcinku od x
0
do x
1
.
x
x
y
1
1
y
2
y
y
x
x
y 2
x
y
x
y
2
1
2
1
1
2
x
x
y
y
x
x
y
y
x
0
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
[rad]
y = sin(
)
y
[rad]
cos(
)
POCHODNA
x
x
y
x
x
y
x
y
x
x
0
0
0
0
lim
lim
Wartość graniczną ilorazu różnicowego dla nieskończenie małego
przyrostu
x
nazywamy pochodną funkcji y w punkcie x
0
.
Aby odróżnić przyrost skończony od nieskończenie małego
(dążącego do zera), literę „
” zastępujemy literą „d”.
x
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
x
0
0
0
0
lim
lim
d
d
np.: – nieskończenie mała zmiana („przyrościk”) czasu,
– nieskończenie mała zmiana („przyrościk”) pędu.
p
d
t
d
Aby odróżnić przyrost skończony od nieskończenie małego
(dążącego do zera), literę „
” zastępujemy literą „d”.
x
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
x
0
0
0
0
lim
lim
d
d
x
x
y
x
x
y
x
y
x
y
y
x
x
0
0
0
0
lim
lim
d
d
'
Innym oznaczeniem pochodnej jest apostrof przy oznaczeniu funkcji:
np.: – nieskończenie mała zmiana („przyrościk”) czasu,
– nieskończenie mała zmiana („przyrościk”) pędu.
p
d
t
d
POCHODNA
y
x
WŁAŚCIWOŚCI
POCHODNEJ
3) Pochodna jest równa tangensowi nachylenia stycznej:
tan
d
d
x
y
y
d
x
d
0
x
y
0
x
2) Wyznacza kierunek stycznej do danej funkcji w punkcie
0
x
1) Wartość pochodnej określa szybkość zmiany funkcji y
przy zmianie wartości parametru x.
y
x
6)
0
otoczeniu
w
stała
funkcja
0
'
x
y
rosnąca
funkcja
0
'
y
4)
5)
malejąca
funkcja
0
'
y
WŁAŚCIWOŚCI
POCHODNEJ
PRZYKŁAD
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
y = sin(
)
y
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
y’
y’ = cos(
)
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
y = cos(
)
y
1
2
3
4
5
6
-1
0
1
y’
y’ = -sin(
)
PRZYKŁAD
POCHODNE DO ZAPAMIĘTANIA
x
x
cos
sin
x
x
sin
cos
1
n
n
nx
x
4
5
5x
x
x
x
1
ln
x
x
e
e
POCHODNE DO ZAPAMIĘTANIA
x
y
C
x
y
C
d
d
d
d
2
d
d
d
d
d
d
g
x
g
f
g
x
f
x
g
f
x
g
f
g
x
f
x
g
f
d
d
d
d
d
d
x
g
g
f
x
x
g
f
d
d
d
d
d
d
y
C
y
C
g
f
g
f
g
f
g
f
g
f
g
f
x
g
f
g
2
g
g
f
g
f
g
f
x
g
x
f
x
g
f
d
d
d
d
d
d
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
d
d
d
d
x
y
x
x
x
y
x
y
x
y
d
d
d
d
d
d
d
d
POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
dx
dy
y
pochodna pierwszego rzędu
6
6
3
2
t
t
t
t
t
sin
cos
sin
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
x
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x
y
pochodna drugiego rzędu
FUNKCJE ODWROTNE
2
x
y
y
x
x
sin
y
y
arcsin
y
sin
x
1
1
x
2
1
y
2
1
y
2
x
x
ln
y
y
e
x
CAŁKOWANIE
x
f
dx
dy
dx
x
f
dy
dx
x
f
dy
dx
x
f
x
y
C
x
2
1
2
pochodna
całka
x
.
const
C
gdzie
,
PRZYKŁAD
CAŁKI DO ZAPAMIĘTANIA
C
x
dx
1
0
n
C
x
2
1
xdx
1
n
2
C
x
1
dx
x
1
2
n
2
1
n
,
0
x
,
C
x
1
n
1
dx
x
1
n
n
C
x
cos
dx
x
sin
C
x
sin
dx
x
cos
CAŁKI DO ZAPAMIĘTANIA