MO

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 6

1

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 6

2.1. Ćwiczenie projektowe numer 2

Narysować wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce złożonej przedstawionej na 

rysunku 2.1.

A

B

C

D

E

8,0 kN∙m

16,0 kN/m

24,0 kN/m

12,0 kN

4,0

2,0

3,0

1,0

[m]

Rys. 2.1. Belka złożona

2.2. Analiza kinematyczna belki złożonej

Rysunek 2.2 przedstawia belkę złożoną traktowaną jako układ tarcz sztywnych. Warunek konieczny 

geometrycznej niezmienności ma postać

3

⋅

2

=

4

⋅

1



2

.

Warunek ten został spełniony. Tarcza sztywna numer I jest połączona z tarczą podporową za pomocą trzech 
prętów podporowych numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc 
spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geomet-
rycznie niezmienna i stanowi tarczę podporową dla tarczy sztywnej numer II. Tarcza sztywna numer II jest 
połączona z tarczą podporową  za pomocą przegubu rzeczywistego C oraz pręta podporowego numer  4. 
Przegub rzeczywisty C nie leży na kierunku pręta podporowego numer 4. Został więc spełniony warunek 
dostateczny geometrycznej niezmienności. Można więc stwierdzić, że belka złożona jest geometrycznie nie-
zmienna i statycznie wyznaczalna. 

4

1

2

3

C

I

II

A

B

C

D

E

Rys. 2.2. Belka złożona jako płaski układ tarcz sztywnych

2.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Rysunek 2.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych. Wszystkie poziome reakcje wynoszą 

zero. Pionowa reakcja na podporze D wynosi



M

C



CE



=−

V

D

⋅

3,024,0⋅3,0⋅

1

2

⋅

3,012,0⋅4,0=0

V

D

=

52,0 kN

.

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I-Kalisz

MO

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 6

2

A

B

C

8,0 kN∙m

16,0 kN/m

4,0

2,0

3,0

1,0

C

D

E

24,0 kN/m

12,0 kN

H

A

V

A

V

B

V

C

(AC)

H

C

(AC)

V

C

(CE)

H

C

(CE)

V

D

[m]

X

Y

C

V

C

(CE)

H

C

(CE)

H

C

(AC)

V

C

(AC)

Rys. 2.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Pionowa reakcja na podporze C działająca na pręt CE ma wartość



M

D



CE



=

V

C



CE



⋅

3,0−24,0⋅3,0⋅

1

2

⋅

3,012,0⋅1,0=0

V

C



CE



=

32,0 kN

.

Sprawdzenie obliczeń



Y



CE



=

V

C



CE





V

D

−

24,0⋅3,0−12,0=32,052,0−84,0=0

.

Pionowa reakcja na podporze C działająca na pręt AC ma wartość

V

C



AC



=

32,0 kN

.

Pionowa reakcja na podporze A wynosi



M

B



AC



=

V

A

⋅

4,08,0−16,0⋅4,0⋅

1
2

⋅

4,0V

C



AC



⋅

2,0=0

V

A

⋅

4,08,0−16,0⋅4,0⋅

1
2

⋅

4,032,0⋅2,0=0

V

A

=

14,0 kN

.

Pionowa reakcja na podporze B ma wartość



M

A



AC



=−

V

B

⋅

4,08,016,0⋅4,0⋅

1

2

⋅

4,0V

C



AC



⋅

6,0=0

−

V

B

⋅

4,08,016,0⋅4,0⋅

1

2

⋅

4,032,0⋅6,0=0

V

B

=

82,0 kN

.

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I-Kalisz

MO

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 6

3

Sprawdzenie obliczeń



Y



AC



=

V

A



V

B

−

V

C



AC



−

16,0⋅4,0=14,082,0−32,0−64,0=0

.

Rysunek 2.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych.

A

B

C

8,0 kN∙m

16,0 kN/m

4,0

2,0

3,0

1,0

C

D

E

24,0 kN/m

12,0 kN

[m]

52,0 kN

32,0 kN

32,0 kN

82,0 kN

14,0 kN

C

32,0 kN

32,0 kN

Rys. 2.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji podporowych

2.4. Wykres siły poprzecznej

W przedziałach AB i CD siła poprzeczna będzie funkcją liniową, natomiast w pozostałych przedzia-

łach będzie miała wartość stałą. Wartość siły poprzecznej w punkcie A wynosi

T

A

=

14,0 kN

.

Wartość siły poprzecznej z lewej strony punktu B wynosi

T

B



L



=

14,0−16,0⋅4,0=−50,0 kN

.

Położenie miejsca zerowego

x

L

=

14,0
16,0

=

0,875 m

,

x

P

=

50,0
16,0

=

3,125 m

Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu B wynosi

T

B



P



=−

50,082,0=32,0 kN

.

Wartość siły poprzecznej w przedziale BC oraz z lewej strony punktu C wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I-Kalisz

MO

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 6

4

T

BC

=

T

C



L



=

32,0 kN

.

Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu C wynosi

T

C



P



=

32,0 kN

.

Wartość siły poprzecznej z lewej strony punktu D wynosi

T

D



L



=

32,0−24,0⋅3,0=−40,0 kN

.

Położenie miejsca zerowego

x

L

=

32,0
24,0

=

1,333 m

.

x

P

=

40,0

24,0

=

1,667 m

.

Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu D wynosi

T

D



P



=−

40,052,0=12,0 kN

Wartość siły poprzecznej w przedziale DE oraz w punkcie E wynosi

T

DE

=

T

E

=

12,0 kN

.

2.5. Wykres momentu zginającego

W przedziałach AB i CD funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową, natomiast w pozos-

tałych   przedziałach   funkcją   liniową.   Zgodnie   z   rysunkiem   2.5   wartości   momentu   zginającego   na   obu 
końcach przedziału AB wynoszą

A

8,0 kN∙m

16,0 kN/m

4,0

[m]

14,0 kN

A

8,0 kN∙m

14,0 kN

M

A

M

B

(L)

a)

b)

Rys. 2.5. Momenty zginające w przedziale AB

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I-Kalisz

MO

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 6

5

A

8,0 kN∙m

16,0 kN/m

0,875

[m]

14,0 kN

B

C

16,0 kN/m

2,0

32,0 kN

82,0 kN

3,125

M

1

M

1

a)

b)

[m]

Rys. 2.6. Ekstremalny moment zginający w przedziale AB

C

2,0

[m]

32,0 kN

M

B

(P)

C

32,0 kN

M

C

(L)

a)

b)

Rys. 2.7. Momenty zginające w przedziale BC

M

A

=

8,0 kN⋅m

,

M

B



L



=

14,0⋅4,08,0−16,0⋅4,0⋅

1
2

⋅

4,0=−64,0 kN⋅m

.

Zgodnie z rysunkiem 2.6 ekstremalny moment zginający w przedziale AB wynosi

M

1

=

14,0⋅0,8758,0−16,0⋅0,875⋅

1
2

⋅

0,875=14,13 kN⋅m

,

M

1

=

82,0⋅3,125−32,0⋅



2,03,125



−

16,0⋅3,125⋅

1
2

⋅

3,125=14,13 kN⋅m

.

Zgodnie z rysunkiem 2.7 wartości momentu zginającego na obu końcach przedziału BC wynoszą

M

B



P



=−

32,0⋅2,0=−64,0 kN⋅m

,

M

C



L



=

0,0 kN⋅m

.

Zgodnie z rysunkiem 2.8 wartości momentu zginającego na obu końcach przedziału CD wynoszą

M

C



P



=

0,0 kN⋅m

,

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I-Kalisz

MO

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 6

6

3,0

C

24,0 kN/m

[m]

32,0 kN

M

D

(L)

C

32,0 kN

M

C

(P)

a)

b)

Rys. 2.8. Momenty zginające w przedziale CD

1,333

C

24,0 kN/m

[m]

32,0 kN

1,0

D

E

24,0 kN/m

12,0 kN 

[m]

52,0 kN

1,667

M

2

M

2

a)

b)

Rys. 2.9. Ekstremalny moment zginający w przedziale CD

E

2,0

[m]

12,0 kN

M

D

(P)

a)

E

12,0 kN

M

E

b)

Rys. 2.10. Momenty zginające w przedziale DE

M

D



L



=

32,0⋅3,0−24,0⋅3,0⋅

1
2

⋅

3,0=−12,0 kN⋅m

.

Zgodnie z rysunkiem 2.9 ekstremalny moment zginający w przedziale CD wynosi

M

2

=

32,0⋅1,333−24,0⋅1,333⋅

1
2

⋅

1,333=21,33 kN⋅m

,

M

2

=

52,0⋅1,667−12,0⋅



1,01,667



−

24,0⋅1,667⋅

1
2

⋅

1,667=21,33 kN⋅m

.

Zgodnie z rysunkiem 2.10 wartości momentu zginającego na obu końcach przedziału DE wynoszą

M

D



P



=−

12,0⋅1,0=−12,0 kN⋅m

,

M

E

=

0,0 kN⋅m

.

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I-Kalisz

MO

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 6

7

2.6. Wykresy sił przekrojowych

Rysunek 2.11 przedstawia wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego w belce złożonej. 

A

B

C

D

E

8,0 kN∙m

16,0 kN/m

24,0 kN/m

12,0 kN

4,0

2,0

3,0

1,0

[m]

14,0 kN

82,0 kN

52,0 kN

T(x) [kN]

M(x) [kN∙m]

14

,0

50

,0

32,0

4

0,

0

12,0

8,

0

0

,0

0

,0

12

,0

0,875

3,125

0,875

3,125

1,333

1,667

1,333

1,667

14

,1

3

21

,3

3

64

,0

Rys. 2.11. Wykresy sił przekrojowych

Dr inż. Janusz Dębiński

BNS-I-Kalisz