Procedura wymiarowania mimośrodowo ściskanego
słupa żelbetowego wg PN-EN-1992:2008
1. Ustalamy czy słup jest smukły czy krępy
a) wyznaczamy długość obliczeniową i smukłość słupa (5.8.3.2)
12
3
bh
I
c
=
c
c
c
A
I
i
=
eff
A
ϕ
2
,
0
1
1
+
=
(jeżeli wartość
eff
ϕ
nie jest znana, można przyjąć A=0,7)
ω
2
1
+
=
B
, gdzie
cd
c
yd
S
f
A
f
A
=
ω
(jeżeli wartość
ω nie jest znana, można przyjąć B=1,1)
m
r
C
−
= 7
,
1
;
01
02
02
01
;
M
M
M
M
r
m
≥
=
(jeżeli wartość r
m
nie jest znana, można przyjąć C=0,7)
Jeżeli
cd
c
Ed
c
f
A
N
ABC
i
l
⋅
=
>
=
20
lim
0
λ
λ
mamy do czynienia ze słupem smukłym, przy analizie którego
należy uwzględnić efekty II rzędu.
2. Wyznaczenie mimośrodu wywołanego imperfekcjami geometrycznymi
400
0
l
e
i
=
3. Obliczamy mimośród konstrukcyjny
Ed
Ed
e
N
M
e
=
, gdzie M
Ed
i N
Ed
są wartościami momentu i siły w miarodajnym przekroju słupa
4. Obliczamy mimośród I rzędu
i
e
e
e
e
+
=
0
;
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≥
mm
h
e
20
;
30
max
0
6.1 (4)
5. Obliczamy mimośród całkowity (suma mimośrodu I i II rzędu). Mamy tu do wyboru dwie
metody:
• Metoda nominalnej sztywności (bliższa dotychczasowym przyzwyczajeniom polskich
projektantów)
0
e
e
tot
⋅
=
η
• Metoda nominalnej krzywizny
2
0
e
e
e
tot
+
=
5.1. Wyznaczanie
efektów II rzędu metodą nominalnej sztywności
a) zakładamy
assum
η
b) obliczamy
1
e
e
assum
tot
⋅
=
η
c) wyznaczamy zbrojenie
A
s1
i
A
s2
(patrz p.6)
d) przyjmujemy zbrojenie
prov
s
prov
s
prov
s
A
A
A
,
2
,
1
,
+
=
(musi spełniać warunek na minimalne i
maksymalne zbrojenie)
c
s
prov
s
c
yd
Ed
s
A
A
A
A
f
N
A
04
,
0
002
,
0
;
1
,
0
max
max
,
,
min
,
=
≤
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
e) wyznaczamy sztywność nominalną
(
)
2
,
5
,
0
a
h
A
I
prov
s
s
−
=
MPa
f
k
ck
20
1
=
cd
c
Ed
f
A
N
n
=
170
2
λ
n
k
=
eff
c
k
k
K
ϕ
+
=
1
2
1
0
,
1
=
s
K
2
s
s
s
c
c
c
I
E
K
I
E
K
EI
+
=
f) obliczamy siłę krytyczną
2
2
o
B
l
EI
N
π
=
g) sprawdzamy poprawność wstępnego przyjęcia
assum
η
?
1
1
assum
B
Ed
N
N
η
η
=
−
=
Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony z zadowalającą dokładnością, należy skorygować
wartość
assum
η
i ponownie powtórzyć punkty a) – g).
Uwaga: zamiast przyjmowania
assum
η
można założyć wstępnie
c
s
assum
s
c
yd
Ed
s
A
A
A
A
f
N
A
04
,
0
002
,
0
;
1
,
0
max
max
,
,
min
,
=
≤
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
. W takim przypadku postępuje się
w następujący sposób:
a) wyznacza się sztywność nominalną
(
)
2
,
5
,
0
a
h
A
I
assum
s
s
−
=
MPa
f
k
ck
20
1
=
cd
c
Ed
f
A
N
n
=
170
2
λ
n
k
=
eff
c
k
k
K
ϕ
+
=
1
2
1
0
,
1
=
s
K
2
s
s
s
c
c
c
I
E
K
I
E
K
EI
+
=
b) oblicza się siłę krytyczną
2
2
o
B
l
EI
N
π
=
c) oblicza się
B
Ed
N
N
−
=
1
1
η
d) oblicza się mimośród całkowity
1
e
e
assum
tot
⋅
=
η
e) wyznacza się zbrojenie A
s1
i A
s2
(patrz p. 6)
f) sprawdza się poprawność przyjęcia
assum
s
A
,
?
2
1
,
s
s
assum
s
A
A
A
+
=
Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony, należy skorygować
assum
s
A
,
i powtórzyć
obliczenia w p. a) – f).
5.2. Wyznaczanie efektów II rzędu metodą nominalnej krzywizny
a) zakładamy
assum
e
,
2
b) obliczamy mimośród całkowity
assum
tot
e
e
e
,
2
0
+
=
c) wyznaczamy zbrojenie A
s1
i A
s2
(patrz p.6)
d) przyjmujemy zbrojenie
prov
s
prov
s
prov
s
A
A
A
,
2
,
1
,
+
=
(musi spełniać warunek na minimalne i
maksymalne zbrojenie)
c
s
prov
s
c
yd
Ed
s
A
A
A
A
f
N
A
04
,
0
002
,
0
;
1
,
0
max
max
,
,
min
,
=
≤
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
e) wyznaczamy nominalną krzywiznę
f) wyznaczamy mimośród II rzędu
0
0
1
1
45
,
0
1
5
,
0
)
0
,
1
;
1
min(
150
200
35
,
0
4
,
0
1
1
r
K
K
r
d
r
i
h
d
E
f
K
f
n
n
n
n
K
n
f
A
f
A
n
f
A
N
n
r
yd
s
s
yd
yd
ef
ck
bal
ud
Ed
ud
r
bal
cd
c
yd
s
ud
cd
c
Ed
Ed
⋅
⋅
=
=
⋅
=
+
⋅
=
=
⋅
+
=
−
+
=
−
−
=
=
⋅
⋅
+
=
+
=
⋅
=
ϕ
ϕ
κ
ε
ε
ϕ
β
λ
β
ω
c
l
e
c
2
0
2
10
;
8
⋅
=
>
∈<
κ
g) sprawdzamy poprawność przyjęcia
assum
e
,
2
?
2
,
2
e
e
assum
=
Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony z zadowalającą dokładnością, należy
skorygować wartość
assum
e
,
2
i ponownie powtórzyć punkty a) – g).
Uwaga: zamiast przyjmowania
assum
e
,
2
można założyć wstępnie
c
s
assum
s
c
yd
Ed
s
A
A
A
A
f
N
A
04
,
0
002
,
0
;
1
,
0
max
max
,
,
min
,
=
≤
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
. W takim przypadku postępuje
się w następujący sposób:
a) wyznacza się nominalną krzywiznę
0
0
1
1
45
,
0
1
5
,
0
)
0
,
1
;
1
min(
14
,
0
150
46
200
20
35
,
0
150
200
35
,
0
4
,
0
1
1
r
K
K
r
d
r
i
h
d
E
f
K
f
n
n
n
n
K
n
f
A
f
A
n
f
A
N
n
r
yd
s
s
yd
yd
ef
ck
bal
ud
Ed
ud
r
bal
cd
c
yd
s
ud
cd
c
Ed
Ed
⋅
⋅
=
=
⋅
=
+
⋅
=
=
⋅
+
=
=
−
+
=
−
+
=
−
−
=
=
⋅
⋅
+
=
+
=
⋅
=
ϕ
ϕ
κ
ε
ε
φ
β
λ
β
ω
b) wyznacza się mimośród II rzędu
c
l
e
c
2
0
2
10
;
8
⋅
=
>
∈<
κ
wyznacza się zbrojenie A
s1
i A
s2
(patrz p. 6)
d) sprawdza się poprawność przyjęcia
assum
s
A
,
?
2
1
,
s
s
assum
s
A
A
A
+
=
Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony, należy skorygować
assum
s
A
,
i powtórzyć
obliczenia w p. a) – d).
6. Wyznaczanie przekroju zbrojenia A
s1
i A
s2
UWAGA: Procedura wyznaczania zbrojenia, przy określonym mimośrodzie e
tot
jest
identyczna jak w przypadku stosowania normy PN-B-03264:2002. Przytaczane
poniżej wzory operują niewiele różniącymi się oznaczeniami w stosunku do PN-
EN-1992:2008, należy jednak pamiętać aby w przypadku stosowania normy PN-
EN-1992:2008 do poniższych wzorów podstawiać:
M
Ed
zamiast
M
sd
N
Ed
zamiast
N
sd
A
s,min
zamiast min
A
s
• Obliczamy mimośrody siły zewnętrznej względem środków ciężkości zbrojenia:
e
s2
= 0,5h – e
tot
– a
2
(znak - lub + )
e
s1
= 0,5h + e
tot
– a
1
(zawsze
dodatni)
6.1. Przypadek dużego mimośrodu
• zakładamy przypadek dużego mimośrodu
(
d
x
x
eff
eff
eff
⋅
=
≤
lim
,
lim
,
ξ
)
przyjmujemy, że:
d
x
x
eff
eff
eff
⋅
=
=
lim
,
lim
,
ξ
• Z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego obliczamy
przekrój zbrojenia ściskanego:
1
1
,lim
2
2
(
0,5
)
(
) 0
∑
=
⋅
−
⋅
−
−
⋅
−
=
s
A
Sd
s
c
eff
s
M
N
e
F
d
x
F
d a
2
1
,lim
,lim
2
2
(1 0,5
)
(
) 0
ξ
ξ
⋅
−
⋅ −
−
⋅
−
=
Sd
s
eff
eff
cd
s
yd
N
e
bd f
A
f
d a
(
)
2
1
,lim
2
2
Sd
s
eff
cd
s
yd
N
e
f
b d
A
f
d
a
μ
⋅
−
⋅
⋅ ⋅
=
⋅
−
• jeżeli
2
0,5 min
s
s
A
A
≥
⋅
to z warunku równowagi sił w przekroju obliczamy zbrojenie rozciągane:
1
2
0
c
s
s
Sd
X
F
F
F
N
∑ =
−
+
−
=
,lim
1
2
0
ξ
−
+
−
=
eff
s
yd
s
yd
Sd
bd A f
A f
N
,lim
2
1
eff
cd
s
yd
Sd
s
yd
b d f
A
f
N
A
f
ξ
⋅ ⋅ ⋅
+
⋅
−
=
•
w wypadku
0
1
≥
s
A
przyjmujemy
1
0,5 min
s
s
A
A
≥
⋅
•
!!! (jeżeli jest A
s1
<0 to mamy przypadek małego mimośrodu, (procedura wymiarowania
podana jest w p. 6.2)
•
jeżeli
2
0
s
A
≤
to przyjmujemy konstrukcyjnie
2
0,5 min
s
s
A
A
≥
⋅
, a następnie
obliczamy:
(
)
1
2
2
2
Sd
S
yd
s
eff
cd
N
e
f
A
d
a
f
b d
μ
⋅
−
⋅
⋅
−
=
⋅ ⋅
1
1 2
eff
eff
ξ
μ
= −
−
•
jeżeli
d
a
eff
2
2
≥
ξ
wówczas zbrojenie rozciągane obliczamy wg wzoru:
2
1
0,5 min
eff
cd
s
yd
Sd
s
s
yd
b d f
A
f
N
A
A
f
ξ
⋅ ⋅ ⋅
+
⋅
−
=
≥
⋅
• jeżeli
d
a
eff
2
2
<
ξ
wówczas:
Z równowagi momentów względem zbrojenia ściskanego wyznaczamy zbrojenie A
s1
:
2
2
1
0
∑
=
⋅
−
⋅ =
s
A
Sd
s
s
a
M
N
e
F e
(
)
2
1
2
0
⋅
−
⋅
⋅
−
=
Sd
s
s
yd
N
e
A
f
d a
(
)
2
2
1
a
d
f
e
N
A
yd
s
Sd
s
−
⋅
⋅
−
=
•
jeżeli A
s1
< 0 to mamy przypadek małego mimośrodu
6.2. Przypadek małego mimośrodu
d
x
x
eff
eff
eff
⋅
=
>
lim
,
lim
,
ξ
yd
s
s
yd
s
f
f
κ
σ
σ
=
<
1
1
<
≤
−
s
κ
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
≤
<
−
≤
<
−
−
−
≤
=
d
h
gdy
gdy
gdy
eff
eff
eff
eff
eff
eff
eff
s
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
κ
1
0
,
1
1
1
1
)
1
(
2
0
,
1
lim
,
lim
,
lim
,
UWAGA: W praktyce często wysokość strefy ściskanej x
eff
obliczamy przyjmując
upraszczające założenie, że siła w zbrojeniu rozciąganym lub mniej ściskanym
równa jest zeru (naprężenia w tym zbrojeniu nie są wykorzystane). Do
wyznaczenia x
eff
wykorzystuje się wtedy równanie równowagi momentów
względem zbrojenia ściskanego A
s2
(A
s1
= 0 )
(
)
2
2
0,5
Sd
s
eff
cd
eff
N
e
x
b f
x
a
⋅
=
⋅ ⋅
⋅
−
Stąd
2
2
2
2
2
Sd
s
eff
cd
N
e
x
a
a
b f
⋅
⋅
=
+
+
⋅
jeżeli x
eff
< h wówczas zbrojenie ściskane obliczamy:
(
)
(
)
1
2
2
0,5
Sd
s
eff
eff
cd
s
yd
N
e
x
d
x
b f
A
f
d
a
⋅
−
⋅
−
⋅ ⋅
=
⋅
−
2
0,5 min
s
s
A
A
≥
⋅
natomiast zbrojenie rozciągane, obliczeniowo zbędne, przyjmujemy jako zbrojenie
konstrukcyjne
1
0,5 min
s
s
A
A
≥
⋅
jeżeli natomiast x
eff
> d
, to zakładamy x
eff
= d
, czyli że cały przekrój użyteczny jest
ściskany
przyjmujemy
,lim
0,5
eff
μ
=
(
)
2
1
2
2
0,5
Sd
s
cd
s
yd
N
e
b d
f
A
f
d
a
⋅
−
⋅
⋅
=
⋅
−
(
)
(
)
2
2
1
2
0,5
Sd
s
cd
s
yd
N
e
b h
h a
f
A
f
d
a
⋅
− ⋅ ⋅
−
⋅
=
⋅
−
1
0,5min
s
s
A
A
≥
2
0,5min
s
s
A
A
≥
6.3 Zbrojenie symetryczne przekroju mimośrodowo ściskanego
A
s1
= A
s2
Z r-a równowagi sił normalnych wyliczamy:
Sd
eff
cd
N
x
b f
=
⋅
lub:
Sd
eff
cd
N
b d f
ξ
=
⋅ ⋅
jeżeli
2
2a
d
x
eff
eff
<
⋅
=
ξ
(
)
2
1
2
2
0,5min
Sd
s
s
s
s
yd
N
e
A
A
A
f
d
a
−
⋅
=
=
≥
⋅
−
jeżeli
lim
,
2
2
eff
eff
x
x
a
≤
≤
(
)
d
x
eff
eff
⋅
=
lim
,
lim
,
ξ
(1 0,5
)
eff
eff
eff
μ
ξ
ξ
=
⋅ −
(
)
2
1
2
1
2
0,5min
Sd
s
eff
cd
s
s
s
yd
N
e
f
b d
A
A
A
f
d
a
μ
⋅
−
⋅
⋅ ⋅
=
=
≥
⋅
−
jeżeli x
eff
> x
eff,lim
(mały mimośród) powyższa procedura nie ma zastosowania (siły w
zbrojeniu A
s1
i A
s2
nie znoszą się). W takim przypadku zbrojnie A
s1
= A
s2
obliczamy jak
zbrojenie A
s2
dla przypadku zbrojenia niesymetrycznego.
W trakcie prezentacji poza wymiarowaniem zbrojenia omówiony zostanie także sposób
wyznaczania nośności przy znanym mimośrodzie, momentu granicznego przy znanej sile,
oraz sposób sprawdzania słupa poddanego dwukierunkowemu zginaniu.