Procedura wymiarowania mimośrodowo ściskanego

słupa żelbetowego wg PN-EN-1992:2008

1. Ustalamy czy słup jest smukły czy krępy
a) wyznaczamy długość obliczeniową i smukłość słupa (5.8.3.2)

12

3

bh

I

c

=

c

c

c

A

I

i

=

eff

A

ϕ

2

,

0

1

1

+

=

(jeżeli wartość

eff

ϕ

nie jest znana, można przyjąć A=0,7)

ω

2

1

+

=

B

, gdzie

cd

c

yd

S

f

A

f

A

=

ω

(jeżeli wartość

ω nie jest znana, można przyjąć B=1,1)

m

r

C

−

= 7

,

1

;

01

02

02

01

;

M

M

M

M

r

m

≥

=

(jeżeli wartość r

m

nie jest znana, można przyjąć C=0,7)

Jeżeli

cd

c

Ed

c

f

A

N

ABC

i

l

⋅

=

>

=

20

lim

0

λ

λ

mamy do czynienia ze słupem smukłym, przy analizie którego

należy uwzględnić efekty II rzędu.

2. Wyznaczenie mimośrodu wywołanego imperfekcjami geometrycznymi

400

0

l

e

i

=

3. Obliczamy mimośród konstrukcyjny

Ed

Ed

e

N

M

e

=

, gdzie M

Ed

i N

Ed

są wartościami momentu i siły w miarodajnym przekroju słupa

4. Obliczamy mimośród I rzędu

i

e

e

e

e

+

=

0

;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

≥

mm

h

e

20

;

30

max

0

6.1 (4)

5. Obliczamy mimośród całkowity (suma mimośrodu I i II rzędu). Mamy tu do wyboru dwie
metody:

• Metoda nominalnej sztywności (bliższa dotychczasowym przyzwyczajeniom polskich

projektantów)

0

e

e

tot

⋅

=

η

• Metoda nominalnej krzywizny

2

0

e

e

e

tot

+

=

5.1. Wyznaczanie

efektów II rzędu metodą nominalnej sztywności

a) zakładamy

assum

η

b) obliczamy

1

e

e

assum

tot

⋅

=

η

c) wyznaczamy zbrojenie

A

s1

i

A

s2

(patrz p.6)

d) przyjmujemy zbrojenie

prov

s

prov

s

prov

s

A

A

A

,

2

,

1

,

+

=

(musi spełniać warunek na minimalne i

maksymalne zbrojenie)

c

s

prov

s

c

yd

Ed

s

A

A

A

A

f

N

A

04

,

0

002

,

0

;

1

,

0

max

max

,

,

min

,

=

≤

≤

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

e) wyznaczamy sztywność nominalną

(

)

2

,

5

,

0

a

h

A

I

prov

s

s

−

=

MPa

f

k

ck

20

1

=

cd

c

Ed

f

A

N

n

=

170

2

λ

n

k

=

eff

c

k

k

K

ϕ

+

=

1

2

1

0

,

1

=

s

K

2

s

s

s

c

c

c

I

E

K

I

E

K

EI

+

=

f) obliczamy siłę krytyczną

2

2

o

B

l

EI

N

π

=

g) sprawdzamy poprawność wstępnego przyjęcia

assum

η

?

1

1

assum

B

Ed

N

N

η

η

=

−

=

Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony z zadowalającą dokładnością, należy skorygować
wartość

assum

η

i ponownie powtórzyć punkty a) – g).

Uwaga: zamiast przyjmowania

assum

η

można założyć wstępnie

c

s

assum

s

c

yd

Ed

s

A

A

A

A

f

N

A

04

,

0

002

,

0

;

1

,

0

max

max

,

,

min

,

=

≤

≤

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

. W takim przypadku postępuje się

w następujący sposób:
a) wyznacza się sztywność nominalną

(

)

2

,

5

,

0

a

h

A

I

assum

s

s

−

=

MPa

f

k

ck

20

1

=

cd

c

Ed

f

A

N

n

=

170

2

λ

n

k

=

eff

c

k

k

K

ϕ

+

=

1

2

1

0

,

1

=

s

K

2

s

s

s

c

c

c

I

E

K

I

E

K

EI

+

=

b) oblicza się siłę krytyczną

2

2

o

B

l

EI

N

π

=

c) oblicza się

B

Ed

N

N

−

=

1

1

η

d) oblicza się mimośród całkowity

1

e

e

assum

tot

⋅

=

η

e) wyznacza się zbrojenie A

s1

i A

s2

(patrz p. 6)

f) sprawdza się poprawność przyjęcia

assum

s

A

,

?

2

1

,

s

s

assum

s

A

A

A

+

=

Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony, należy skorygować

assum

s

A

,

i powtórzyć

obliczenia w p. a) – f).

5.2. Wyznaczanie efektów II rzędu metodą nominalnej krzywizny

a) zakładamy

assum

e

,

2

b) obliczamy mimośród całkowity

assum

tot

e

e

e

,

2

0

+

=

c) wyznaczamy zbrojenie A

s1

i A

s2

(patrz p.6)

d) przyjmujemy zbrojenie

prov

s

prov

s

prov

s

A

A

A

,

2

,

1

,

+

=

(musi spełniać warunek na minimalne i

maksymalne zbrojenie)

c

s

prov

s

c

yd

Ed

s

A

A

A

A

f

N

A

04

,

0

002

,

0

;

1

,

0

max

max

,

,

min

,

=

≤

≤

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

e) wyznaczamy nominalną krzywiznę

f) wyznaczamy mimośród II rzędu

0

0

1

1

45

,

0

1

5

,

0

)

0

,

1

;

1

min(

150

200

35

,

0

4

,

0

1

1

r

K

K

r

d

r

i

h

d

E

f

K

f

n

n

n

n

K

n

f

A

f

A

n

f

A

N

n

r

yd

s

s

yd

yd

ef

ck

bal

ud

Ed

ud

r

bal

cd

c

yd

s

ud

cd

c

Ed

Ed

⋅

⋅

=

=

⋅

=

+

⋅

=

=

⋅

+

=

−

+

=

−

−

=

=

⋅

⋅

+

=

+

=

⋅

=

ϕ

ϕ

κ

ε

ε

ϕ

β

λ

β

ω

c

l

e

c

2

0

2

10

;

8

⋅

=

>

∈<

κ

g) sprawdzamy poprawność przyjęcia

assum

e

,

2

?

2

,

2

e

e

assum

=

Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony z zadowalającą dokładnością, należy
skorygować wartość

assum

e

,

2

i ponownie powtórzyć punkty a) – g).

Uwaga: zamiast przyjmowania

assum

e

,

2

można założyć wstępnie

c

s

assum

s

c

yd

Ed

s

A

A

A

A

f

N

A

04

,

0

002

,

0

;

1

,

0

max

max

,

,

min

,

=

≤

≤

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

=

. W takim przypadku postępuje

się w następujący sposób:
a) wyznacza się nominalną krzywiznę

0

0

1

1

45

,

0

1

5

,

0

)

0

,

1

;

1

min(

14

,

0

150

46

200

20

35

,

0

150

200

35

,

0

4

,

0

1

1

r

K

K

r

d

r

i

h

d

E

f

K

f

n

n

n

n

K

n

f

A

f

A

n

f

A

N

n

r

yd

s

s

yd

yd

ef

ck

bal

ud

Ed

ud

r

bal

cd

c

yd

s

ud

cd

c

Ed

Ed

⋅

⋅

=

=

⋅

=

+

⋅

=

=

⋅

+

=

=

−

+

=

−

+

=

−

−

=

=

⋅

⋅

+

=

+

=

⋅

=

ϕ

ϕ

κ

ε

ε

φ

β

λ

β

ω

b) wyznacza się mimośród II rzędu

c

l

e

c

2

0

2

10

;

8

⋅

=

>

∈<

κ

wyznacza się zbrojenie A

s1

i A

s2

(patrz p. 6)

d) sprawdza się poprawność przyjęcia

assum

s

A

,

?

2

1

,

s

s

assum

s

A

A

A

+

=

Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony, należy skorygować

assum

s

A

,

i powtórzyć

obliczenia w p. a) – d).

6. Wyznaczanie przekroju zbrojenia A

s1

i A

s2

UWAGA: Procedura wyznaczania zbrojenia, przy określonym mimośrodzie e

tot

jest

identyczna jak w przypadku stosowania normy PN-B-03264:2002. Przytaczane
poniżej wzory operują niewiele różniącymi się oznaczeniami w stosunku do PN-
EN-1992:2008, należy jednak pamiętać aby w przypadku stosowania normy PN-
EN-1992:2008 do poniższych wzorów podstawiać:
M

Ed

zamiast

M

sd

N

Ed

zamiast

N

sd

A

s,min

zamiast min

A

s

• Obliczamy mimośrody siły zewnętrznej względem środków ciężkości zbrojenia:

e

s2

= 0,5h – e

tot

– a

2

(znak - lub + )

e

s1

= 0,5h + e

tot

– a

1

(zawsze

dodatni)

6.1. Przypadek dużego mimośrodu

• zakładamy przypadek dużego mimośrodu

(

d

x

x

eff

eff

eff

⋅

=

≤

lim

,

lim

,

ξ

)

przyjmujemy, że:

d

x

x

eff

eff

eff

⋅

=

=

lim

,

lim

,

ξ

• Z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego obliczamy

przekrój zbrojenia ściskanego:

1

1

,lim

2

2

(

0,5

)

(

) 0

∑

=

⋅

−

⋅

−

−

⋅

−

=

s

A

Sd

s

c

eff

s

M

N

e

F

d

x

F

d a

2

1

,lim

,lim

2

2

(1 0,5

)

(

) 0

ξ

ξ

⋅

−

⋅ −

−

⋅

−

=

Sd

s

eff

eff

cd

s

yd

N

e

bd f

A

f

d a

(

)

2

1

,lim

2

2

Sd

s

eff

cd

s

yd

N

e

f

b d

A

f

d

a

μ

⋅

−

⋅

⋅ ⋅

=

⋅

−

• jeżeli

2

0,5 min

s

s

A

A

≥

⋅

to z warunku równowagi sił w przekroju obliczamy zbrojenie rozciągane:

1

2

0

c

s

s

Sd

X

F

F

F

N

∑ =

−

+

−

=

,lim

1

2

0

ξ

−

+

−

=

eff

s

yd

s

yd

Sd

bd A f

A f

N

,lim

2

1

eff

cd

s

yd

Sd

s

yd

b d f

A

f

N

A

f

ξ

⋅ ⋅ ⋅

+

⋅

−

=

•

w wypadku

0

1

≥

s

A

przyjmujemy

1

0,5 min

s

s

A

A

≥

⋅

•

!!! (jeżeli jest A

s1

<0 to mamy przypadek małego mimośrodu, (procedura wymiarowania

podana jest w p. 6.2)

•

jeżeli

2

0

s

A

≤

to przyjmujemy konstrukcyjnie

2

0,5 min

s

s

A

A

≥

⋅

, a następnie

obliczamy:

(

)

1

2

2

2

Sd

S

yd

s

eff

cd

N

e

f

A

d

a

f

b d

μ

⋅

−

⋅

⋅

−

=

⋅ ⋅

1

1 2

eff

eff

ξ

μ

= −

−

•

jeżeli

d

a

eff

2

2

≥

ξ

wówczas zbrojenie rozciągane obliczamy wg wzoru:

2

1

0,5 min

eff

cd

s

yd

Sd

s

s

yd

b d f

A

f

N

A

A

f

ξ

⋅ ⋅ ⋅

+

⋅

−

=

≥

⋅

• jeżeli

d

a

eff

2

2

<

ξ

wówczas:

Z równowagi momentów względem zbrojenia ściskanego wyznaczamy zbrojenie A

s1

:

2

2

1

0

∑

=

⋅

−

⋅ =

s

A

Sd

s

s

a

M

N

e

F e

(

)

2

1

2

0

⋅

−

⋅

⋅

−

=

Sd

s

s

yd

N

e

A

f

d a

(

)

2

2

1

a

d

f

e

N

A

yd

s

Sd

s

−

⋅

⋅

−

=

•

jeżeli A

s1

< 0 to mamy przypadek małego mimośrodu

6.2. Przypadek małego mimośrodu

d

x

x

eff

eff

eff

⋅

=

>

lim

,

lim

,

ξ

yd

s

s

yd

s

f

f

κ

σ

σ

=

<

1

1

<

≤

−

s

κ

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

≤

<

−

≤

<

−

−

−

≤

=

d

h

gdy

gdy

gdy

eff

eff

eff

eff

eff

eff

eff

s

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

κ

1

0

,

1

1

1

1

)

1

(

2

0

,

1

lim

,

lim

,

lim

,

UWAGA: W praktyce często wysokość strefy ściskanej x

eff

obliczamy przyjmując

upraszczające założenie, że siła w zbrojeniu rozciąganym lub mniej ściskanym
równa jest zeru (naprężenia w tym zbrojeniu nie są wykorzystane). Do
wyznaczenia x

eff

wykorzystuje się wtedy równanie równowagi momentów

względem zbrojenia ściskanego A

s2

(A

s1

= 0 )

(

)

2

2

0,5

Sd

s

eff

cd

eff

N

e

x

b f

x

a

⋅

=

⋅ ⋅

⋅

−

Stąd

2

2

2

2

2

Sd

s

eff

cd

N

e

x

a

a

b f

⋅

⋅

=

+

+

⋅

jeżeli x

eff

< h wówczas zbrojenie ściskane obliczamy:

(

)

(

)

1

2

2

0,5

Sd

s

eff

eff

cd

s

yd

N

e

x

d

x

b f

A

f

d

a

⋅

−

⋅

−

⋅ ⋅

=

⋅

−

2

0,5 min

s

s

A

A

≥

⋅

natomiast zbrojenie rozciągane, obliczeniowo zbędne, przyjmujemy jako zbrojenie
konstrukcyjne

1

0,5 min

s

s

A

A

≥

⋅

jeżeli natomiast x

eff

> d

, to zakładamy x

eff

= d

, czyli że cały przekrój użyteczny jest

ściskany

przyjmujemy

,lim

0,5

eff

μ

=

(

)

2

1

2

2

0,5

Sd

s

cd

s

yd

N

e

b d

f

A

f

d

a

⋅

−

⋅

⋅

=

⋅

−

(

)

(

)

2

2

1

2

0,5

Sd

s

cd

s

yd

N

e

b h

h a

f

A

f

d

a

⋅

− ⋅ ⋅

−

⋅

=

⋅

−

1

0,5min

s

s

A

A

≥

2

0,5min

s

s

A

A

≥

6.3 Zbrojenie symetryczne przekroju mimośrodowo ściskanego

A

s1

= A

s2

Z r-a równowagi sił normalnych wyliczamy:

Sd

eff

cd

N

x

b f

=

⋅

lub:

Sd

eff

cd

N

b d f

ξ

=

⋅ ⋅

jeżeli

2

2a

d

x

eff

eff

<

⋅

=

ξ

(

)

2

1

2

2

0,5min

Sd

s

s

s

s

yd

N

e

A

A

A

f

d

a

−

⋅

=

=

≥

⋅

−

jeżeli

lim

,

2

2

eff

eff

x

x

a

≤

≤

(

)

d

x

eff

eff

⋅

=

lim

,

lim

,

ξ

(1 0,5

)

eff

eff

eff

μ

ξ

ξ

=

⋅ −

(

)

2

1

2

1

2

0,5min

Sd

s

eff

cd

s

s

s

yd

N

e

f

b d

A

A

A

f

d

a

μ

⋅

−

⋅

⋅ ⋅

=

=

≥

⋅

−

jeżeli x

eff

> x

eff,lim

(mały mimośród) powyższa procedura nie ma zastosowania (siły w

zbrojeniu A

s1

i A

s2

nie znoszą się). W takim przypadku zbrojnie A

s1

= A

s2

obliczamy jak

zbrojenie A

s2

dla przypadku zbrojenia niesymetrycznego.

W trakcie prezentacji poza wymiarowaniem zbrojenia omówiony zostanie także sposób

wyznaczania nośności przy znanym mimośrodzie, momentu granicznego przy znanej sile,

oraz sposób sprawdzania słupa poddanego dwukierunkowemu zginaniu.