Leaky noisy-OR

Napriek zovšeobecneniu hradla OR, uzol noisy-OR neumožòuje
modelova skutoènos, že subsystém S

1

môže zlyha aj vtedy, ak sú

všetky komponenty funkèné, pretože vychádza z predpokladu

P(S

1

= s

1

| D

1

= ¬d

1

, Pr

1

= ¬pr

1

, M

12

= ¬m

13

) = 0.

V spo¾ahlivostnom modelovaní je však èasto potrebné zahrnú
do modelu aj také príèiny, ktoré vyvolajú zlyhanie systému napriek
funkènosti všetkých modelovaných komponentov. Ide o príèiny
zodpovedajúce združeným poruchám, ktoré sú spoloèné pre via-
ceré, navzájom nezávislé entity, ktoré sme do modelu nezahrnuli.
Na rozdiel od stromu poruchových stavov, vo formalizme baye-
sovskej siete nie je potrebné zasahova do štruktúry siete (pridá-
va ïalší uzol), pretože príslušnú pravdepodobnostnú závislos je
možné vyjadri priamo v CPT. Riešením je rozšírenie binárneho uz-
la noisy-OR o situácie, ktorých dôsledok môže by pravdivý aj vte-
dy, ak všetky príèiny sú nepravdivé [5]. Pravdepodobnos takej si-
tuácie býva v anglickej terminológii oznaèovaná ako leak (diera)
alebo background probability (apriórna pravdepodobnos) a v ob-
lasti spo¾ahlivostného modelovania zodpovedá výskytu združenej
poruchy. Rozšírený model býva oznaèovaný ako leaky noisy-OR
(„deravé zašumené“ OR hradlo) a vo všeobecnosti je urèený pre si-
tuácie, keï model nezachytáva všetky možné príèiny X

i

dôsledku

Y. Uvedenú situáciu modelujeme pridaním uzla L k množine rodi-
èovských uzlov a zavedením dodatoèného parametra pl („pravde-
podobnosti diery“), ktorý reprezentuje úèinok všetkých nemode-
lovaných príèin dôsledku Y. Pravdepodobnos P(Y = y | X

1

= ¬x

1

,

…, X

n

= ¬x

n

) je potom interpretovaná ako P(Y = y | X

1

= ¬x

1

, …, X

n

= ¬x

a

, L = l) = p

l

, kde p

l

reprezentuje pravdepodobnos, že pravdi-

vos dôsledku Y nastane spontánne, teda pri absencii všetkých -
explicitne modelovaných príèin. Vzah (3) sa v dôsledku toho
zmení na:

(4)

V našom príklade by sme mohli napríklad podsystému S

1

priradi

pravdepodobnos výskytu združenej poruchy l

Si

= 0,02 pri funk-

ènosti všetkých ostatných komponentov. Ošetríme tak skutoènos,
že sme nezoh¾adnili niektoré neznáme príèiny zlyhania systému, èi
už z dôvodu, že ich presne nepoznáme alebo z dôvodu, že nepo-
kladáme tvorbu dokonalejšej reprezentácie systému za potrebnú.
V tomto prípade pri výpoète pravdepodobnosti zlyhania podsysté-
mu S

1

pri poruche diskovej jednotky D

1

i procesora Pr

1

a pri fun-

gujúcej pamäovej jednotke M

13

dostaneme:

èo predstavuje ve¾mi mierne zvýšenie pravdepodobnosti zlyhania
S

1

oproti predchádzajúcemu prípadu (bez uvažovania vplyvu zdru-

ženej poruchy). Pre úplnos je potrebné upozorni na skutoènos,
že existujú alternatívne prístupy k elicitácii parametrov uzla leaky
noisy-OR, ktoré sú však vzájomne konvertibilné [2], [5]. Ak sú pa-
rametre hradla noisy-OR získané uèením z údajov, prístup pod¾a
[5] je vhodnejší, pretože pozorované poèetnosti v sebe obsahujú
parameter p

l

, ktorý je z definície vždy prítomný.

Noisy-AND

S podobnými úvahami je možné pristúpi ku generalizácii logické-
ho hradla AND a získaniu uzla nazývaného noisy-AND. V prípade

deterministického AND je premenná Y pravdivá (Y = y), ak sú prav-
divé všetky príèiny X

i

(i = 1, 2, …, a). V modeli noisy-AND však

stav, keï niektorá z príèin X

i

je nepravdivá, ešte nemusí implikova

definitívnu nepravdivos dôsledku Y. Každú takú príèinu si opä
môžeme predstavi ako uzol, ktorý je doplnený o urèitý, tentokrát

posilòujúci (angl. enabling) vplyv q

i

, i = 1, 2, …, n (obr. 5b,

publikovaný v AT&P journali 6/2003). Tieto vplyvy reprezentujú
šumové parametre uzla (duálne úèinkom inhibítorov v prípade
noisy-OR), ktoré opä umožòujú zavies požadovanú neurèitos.
Ak X

i

je jediná nepravdivá príèina, dôsledok je nepravdivý s prav-

depodobnosou p

i

= (1 – q

i

). To znamená, že pri modelovaní je po-

trebné špecifikova parametre p

i

= P(Y = y| X

1

= x

1

, X

2

= x

2

, …, X

i

=

¬x

i

, …, X

n-1

= x

n-1

, X

n

= x

n

) na získanie hodnôt

(5)

Nepravdivos Y je monotónnou funkciou poètu nepravdivých prí-
èin. Podsystém diskových jednotiek D

1

v našom príklade zlyhá vte-

dy, ak zlyhajú obidve diskové jednotky D

11

a D

12

. Pri podrobnejšom

modelovaní môžeme predpoklada, že spojenie zálohovaných dis-
kov nie je dokonalé a existuje malá pravdepodobnos (napr. 0,001),
že diskový podsystém zlyhá napriek tomu, že jeden disk je funk-
èný (napr. P(D

1

= d

1

| D

11

= ¬d

1

, D

12

= d

12

) = P(D

1

= d

1

| D

11

= d

1

,

D

12

= ¬d

12

) = 0,001). Potom môžeme vypoèíta pravdepodobnos

poruchy D1, ak sú obidva disky funkèné ako P(D

1

= d

1

| D

11

= ¬d

1

,

D

12

= ¬d

12

) = 0,001 · 0,001 = 0,000001. Ak oznaèíme p

1

= P(D

1

=

d

1

| D

11

= ¬d

11

, D

12

= d

12

) a p

2

= P(D

1

= d

1

| D

11

= d

11

, D

12

= ¬d

12

, po-

tom všeobecné vyjadrenie CPT pre uvažovaný uzol D

1

je podla

tab. 2.

Z posledného riadku tabu¾ky vyplýva, že podsystém D

1

urèite zly-

há pri poruche obidvoch komponentov. Ak by toto tvrdenie nema-
lo plati, uvedený predpoklad je možné zmeni na základe analógie
tvorby modelu leaky noisy-OR, a to zavedením modelu leaky
noisy-AND.

Použitie viacstavových premenných

Doteraz sme predpokladali binárnos všetkých premenných.

V mnohých aplikáciách môže by užitoèné použi viacstavové ale-
bo n-rozmerné premenné. Typicky ide o situácie, kde je potrebné
modelova výskyt rôznych druhov porúch [3], [4], rôzne dôsledky
porúch na fungovanie systému alebo rôzne úrovne èinnosti medzi
normálnou prevádzkou a poruchou [9]. Bayesovské siete umož-
òujú prácu s viacstavovými premennými, ktoré reprezentujú jed-

P Y

y

p

i

X

i

X

=

=

∉

∏

:

d

i

π

P S

s D

d

pr M

m

l

S

i

1

1 1

1

1

1

12

13

1 0 01 0 005 1

0 999951

=

=

=

= ¬

=

−

⋅

⋅ −

=

,

,

,

,

,

Pr

d

i

e j

e

j

P Y

y X

p

p

l

i

X

i

x

=

= −

−

−

∈

∏

d

i b g b g

1 1

1

π

78

Bayesovské siete

– rozšírené možnosti

analýzy spo¾ahlivosti (4)

Aleš Janota

D

11

D

12

P(D

1

= d

1

|…)

P(D

1

= ¬d

1

|…)

¬d

11

¬d

12

p

1

· p

2

1 – p

1

· p

2

¬d

11

d

12

p



1 – p

1

d

11

¬d

12

p

1 – p

2

d

11

d

12

1

0

Tab.2 CPT pre uzol D



typu noisy-AND

INFORMA

TIKA

notlivé viacstavové prvky. Na n-rozmerné premenné je možné
aplikova generalizáciu modelu noisy-OR (nazývanú noisy-MAX)
a generalizáciu modelu noisy-AND (nazývanú noisy-MIN). Okrem
spomenutých modelov je možné definova aj ïalšie modely, opisu-
júce požadované nedeterministické interakcie medzi príèinami
a dôsledkom (noisy-XOR, noisy-ADDER atï.).

V analýze stromu poruchových stavov je ïalej problematické za-
obera sa prvkami, ktoré zlyhávajú urèitým závislým spôsobom.
Napríklad abnormálne fungovanie jedného prvku môže spôsobo-

va závislé poruchy iných prvkov. Predpokladajme, že v našom prí-
klade zjemníme opis multiprocesorového systému pridaním zdro-
ja napájania Z tak, že jeho výpadok spôsobí poruchu celého
systému. Jeho nesprávne fungovanie však môže napríklad spôso-
bi len poruchu procesorov. Pri reprezentácii prostredníctvom
stromu poruchových stavov pridáme k vrcholovej udalosti nový
vstup predstavujúci novú možnú príèinu zlyhania systému (obr. 6).
Vo formalizme stromu poruchových stavov však nie sme schopní
modelova závislos medzi poruchou Z a poruchami procesorov
Pr

i

(i = 1, 2).

V modeli bayesovskej siete môžeme by omnoho presnejší. V sna-
he viac sa priblíži realite by sme èinnos zdroja napájania Z mohli
predpoklada v 3 rôznych režimoch:
a) správna èinnos: na výstupe Z je nominálne napätie;
b) nesprávna èinnos: na výstupe Z je abnormálne vysoké napätie;
c) žiadna èinnos: na výstupe Z nie je žiadne napätie.

V poslednom režime je, samozrejme, v poruche celý systém.
Pre druhý režim však môžeme vïaka možnosti zavedenia 3-stavo-
vej premennej modelova zvýšenú podmienenú závislos zlyhania
procesorov.

Záver

Na jednoduchom príklade sme naznaèili možnosti, ktoré nám v po-

rovnaní s tradiènými metódami analýzy spo¾ahlivosti ponúka for-
malizmus bayesovských sietí. Nároèné výpoèty sú zvládnute¾né
vhodnými softvérovými nástrojmi, využívajúcimi rôzne odvodzo-
vacie (inferenèné) algoritmy (presné alebo aproximatívne). Z naj-
známejších nástrojov možno spomenú napr. Hugin Expert A/S,
MSBN (Microsoft Belief Network), BN Toolbox pre Matlab, Java

Bayes, Bayes Builder, BN Toolkit, Ergo a iné. Èlánok vznikol za
podpory grantovej agentúry Slovenskej republiky VEGA, è. gran-
tu 1/8261/01 „Uplatnenie umelej inteligencie v riadení kritických
procesov“ a grantu 1/8182/01 „Teoretické podklady pre výpoèet
akceptovate¾ného rizika v riadení dopravného procesu, najmä že-

leznièného“.

Literatúra

[1] BOBBIO, A. – PORTINALE, L. – MINICHINO, M. – CIAN-
CAMERLA, E.: Improving the analysis of dependable systems by

mapping fault trees into Bayesian networks. Reliability
Engineering and System Safety, 71. Elsevier 2001, s. 249 – 260.

[2] DÍEZ, F. J.: Parameter adjustment in Bayes networks. The ge-
neralized Noisy-OR gate. In: Proceedings of the Ninth Annual
Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence (UAI-93).
Washington, D. C. 1993, s. 99 – 105.

[3] DOYLE, S. A. – DUGAN, J. B. – PATTERSON-HINE, A.: A
combinatorial approach to modeling imperfect coverage. IEEE
Trans Reliabil, Vol. 44, 1995, s. 87 – 94.

[4] GARRIBA, S. – GUAGNINI, E. – MUSSIO, P.: Multiple-valued
logic trees: meaning and prime implicants. IEEE Trans Reliabil, R-
34, 1985, s. 463 – 472.

[5] HENRION, M.: Some practical issues in constructing belief ne-
tworks. Uncertainty in Artificial Intelligence 3. Eds., L. N. Kanal,
T.S. Levitt, and J. F. Lemmer. Elsevier Science Publishers B. V.,
North Holland 1989, s. 161 –173.

[6] MALHOTRA, M. – TRIVEDI, K.: Dependability modeling
using Petri nets. IEEE Trans Reliabil, R-44, 1995, s. 428 – 440.

[7] PEARL, J.: Probabilistic reasoning in intelligent systems:
Networks of Plausible Inference. Mathematics and Its
Applications. Morgan Kaufmann, San Mateo, California 1988
(Revised in 1997).

[8] RÁSTOÈNÝ, K.: Model for safety analysis of the interlocking
system. In: Proc. of 3-rd international scientific conference ELEK-

TRO ‘99. Section: Information & safety systems. University of Žili-
na 1999, s. 13 – 18.

[9] WOOD, A. P.: Multistate block diagrams and fault trees. IEEE
Trans Reliabil, R-34, 1985, s. 236 – 240.

79

Ing. Aleš Janota, PhD., Eur Ing

Katedra riadiacich a informaèných systémov
Elektrotechnická fakulta Žilinskej univerzity
Ve¾ký diel, 010 26 Žilina
Tel.: [phone]
e-mail: [e-mail]

Obr.6 Modifikovaný strom poruchových stavov
po zavedení napájacieho zdroja Z

Obr.7 Modifikovaná bayesovská sie
zodpovedajúca obr. 6

40

INFORMA

TIKA