Konverzia stromu porúch do bayesovskej siete

Jednou z najob¾úbenejších analytických metód, ktoré sa používajú
na analýzu bezpeènosti a spo¾ahlivosti najmä zložitých systémov

(programovate¾né  elektronické  systémy,  riadiace  systémy  jadro-
vých elektrární, dopravných, chemických a iných priemyselných
procesov, komunikaèné systémy a pod.), je metóda stromov poru-
chových stavov [8]. ¼ubovo¾né hradlo použité vstrome porucho-
vých stavov je možné konvertova do uzla bayesovskej siete. Ako
príklad uvádzame konverziu OR hradla (obr. 2). Rodièovským uz-
lom X

1

a X

2

sú priradené apriórne pravdepodobnosti, uzol potom-

ka Y má priradenú tabu¾ku CPT. Pretože hradlo OR reprezentuje
deterministické kauzálne vzahy, všetky hodnoty v zodpovedajúcej
CPT tabu¾ke sú 1 a 0. Konverzia ostatných typov hradiel (AND,
„k z n“, XOR a pod.) je analogická. Formálnu definíciu algoritmu
konverzie možno nájs napr. v  [1].

Aplikáciu algoritmu budeme demonštrova na príklade redundant-
ného  multiprocesorového  systému  na  obr.  3,  prevzatého  z  [6].
Systém  pozostáva  zo  zbernice  N,  spájajúcej  dva  procesory  Pr

1

a Pr

2

,  z ktorých  každý  má  prístup  ku  svojej  lokálnej  pamäti

(M

1

, resp. M

2

) a k spoloènej zdie¾anej pamäti M

3

cez zbernicu N,

takže ak lokálna pamä zlyhá, procesor môže používa zdie¾anú pa-
mä.  Každý  procesor  je  pripojený  k jednej  diskovej  jednotke
(D

11

, resp D

21

). Ak táto zlyhá, procesor sa prepne na záložnú jed-

notku (D

12

, resp D

22

). Celý systém je funkèný, ak je funkèná zber-

nica N a jeden z podsystémov S

i

(i = 1, 2). Na obrázku je tiež zná-

zornené rozdelenie do logických podsystémov, t. j. podsystémov S

i

(i = 1, 2), diskových jednotiek so zálohovaním D

i

(i = 1, 2) a pamä-

ových  podsystémov  M

i3

(i =  1,  2).  Strom  poruchových  stavov

pre tento systém je na obr. 4a. Vrcholovú udalos ako funkciu mno-
žín minimálnych rezov by sme zapísali:

Zodpovedajúca bayesovská sie je na obr. 4b, kde sú ako príklad
vyjadrené  zodpovedajúce  hodnoty  pravdepodobností  pre  dva  vy-
brané uzly (AND a OR). Kvantifikácia obidvoch modelov si vyža-
duje priradenie pravdepodobností porúch každému komponentu
listovým uzlom stromu poruchových stavov a koreòovým uzlom

bayesovských sietí ako apriórne pravdepodobnosti. Pretože poru-
chy  komponentov  majú  exponenciálne  rozdelenie  pravdepodob-
nosti, pravdepodobnos výskytu základnej udalosti X

i

bude

kde λ

Xi

je intenzita porúch komponentu X

i

. Z uvedeného vyplýva,

že ¾ubovo¾ný strom poruchových stavov môžeme transformova na
bayesovskú sie.

Literatúra

(vybrané tituly)

[1]  BOBBIO,  A.  –  PORTINALE,  L.  –  MINICHINO,  M.  –  CIAN-
CAMERLA, E.: Improving the analysis of dependable systems by
mapping  fault  trees  into  Bayesian  networks.  Reliability
Engineering and System Safety, 71. Elsevier 2001, s. 249 – 260.

[6]  MALHOTRA,  M.  –  TRIVEDI,  K.:  Dependability  modeling
using Petri nets. IEEE Trans Reliabil, R-44, 1995, s. 428 – 440.

[8] RÁSTOÈNÝ, K.: Model for safety analysis of the interlocking
system. In: Proc. of 3-rd international scientific conference ELEK-
TRO ‘99. Section: Information & safety systems. University of Žili-
na 1999, s. 13 – 18.

Pokraèovanie v budúcom èísle.

P X

x t

e

i

i

t

Xi

=

= −

−

⋅

,

>

C

1

λ

Porucha N D D D D

D D

M M

D D

Pr

M M D D

M M M

M M Pr

Pr D D

Pr M M

Pr Pr

=

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

11

12

21

22

11

12

2

3

11

12

2

1

3

21

22

1

2

3

1

3

2

1

21

22

1

2

3

1

2

109

Bayesovské siete – rozšírené

možnosti analýzy spo¾ahlivosti (2)

Obr.2 Konverzia OR hradla do uzla bayesovskej siete

Obr.4 Ekvivalentné reprezentácie 

pre vznik poruchy v uvažovanom systéme

Obr.3 Príklad redundantného procesorového systému

Ing. Aleš Janota, PhD., Eur Ing

Katedra riadiacich a informaèných systémov
Elektrotechnická fakulta Žilinskej univerzity
Ve¾ký diel, 010 26 Žilina
Tel.: 041/565 55 59
e-mail: ales.janota@fel.utc.sk

62