Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa I, 28 maja 2003.

1. Rzucamy na przemian dwiema monetami, na których szanse wypadnięcia

orła są równe p i r. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł pojawi się po raz
pierwszy na drugiej monecie?

2. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość

f (x, y) = 1

{0xy}

(x, y)e

−y

.

Zbadać niezależność zm.los. sin X i cos(Y − X).

3. Obliczyć E(X

2

|Y ), gdzie (X, Y ) jest wektorem losowym z poprzedniego

zadania.

4. Zmienne losowe X

n

są dodatnie, mają ten sam rozkład i nie mają wartości

oczekiwanej. Wykazać, że z prawdopodobieństwem 1

lim sup

X

1

+ . . . + X

n

n

=

∞.

5. Załóżmy, że zmienne losowe z poprzedniego zadania mają wartość ocze-

kiwaną. Zbadać zbieżność ciągu o wyrazach Z

n

= (X

1

· . . . · X

n

)

1/n

.

6. Rzucamy n razy symetryczną monetą. Wyznaczyć takie d

n

, żeby z praw-

dopodobieństwem α liczba orłów mieściła się w przedziale [

1

2

n − d

n

,

1

2

n + d

n

].

Podać wyniki liczbowe dla α =

1

2

oraz n = 10000, n = 100000, n = 1000000.

1