1. W wielu sytuacjach rozpatrywane sa



tzw. cia



gi liczbowe. Je´sli np. chcemy zdefiniowa´c pole ko la,

to mo˙zna rozwa˙za´c np. wieloka



ty foremne wpisane w to ko lo o coraz wie



kszej liczbie bok´

ow i m´

owi´c,

˙ze pole ko la jest liczba



, kt´

ora



mo˙zna przybli˙za´c polami tych wieloka



t´

ow, przy czym przybli˙zenie jest

tym dok ladniejsze im wie



ksza jest liczba bok´

ow wieloka



ta. Mamy tu wie



c do czynienia z cia



giem

p´

ol wieloka



t´

ow wpisanych w dane ko lo, co oznacza, ˙ze liczbom naturalnym pocza



wszy od 3 przypi-

sane zosta ly pewne liczby rzeczywiste. Te ostatnie nazywamy wyrazami cia



gu i oznaczamy na og´

o l

symbolem a

n

.

2. Inny przyk lad by l rozwa˙zany przez Zenona (490-430 p.n.e) z Elei . Twierdzi l on mianowicie, ˙ze

znany w staro˙zytno´sci biegacz Achilles nie jest w stanie dogoni´c ˙z´

o lwia. Rozwa˙zania te przedstawimy

oczywi´scie u˙zywaja



c wsp´

o lczesnego je



zyka i stosuja



c wsp´

o lczesne oznaczenia. Przyjmijmy na przyk lad,

˙ze pocza



tkowa odleg lo´s´c mie



dzy Achillesem i ˙z´

o lwiem r´

owna jest 100 m. Dla prostoty przyjmiemy,

˙ze pre



dko´s´c Achillesa jest dziesie



ciokrotnie wie



ksza ni˙z pre



dko´s´c uciekaja



cego ˙z´

o lwia. W jakim´s czasie

Achilles przebiegnie 100 m. W tym samym czasie ˙z´

o lw przesunie sie



o 10 m, wie



c na razie przy-

najmniej nie zostanie z lapany. Po

1

10

tego czasu Achilles przebiegnie 10 m, jednak zn´

ow nie dogoni

˙z´

o lwia, kt´

ory oddali sie



o naste



pny metr. Achilles przebiegnie metr, a ˙z´

o lw oddali sie



o 10 cm itd.

Proces ten mo˙zna kontynuowa´c. Prowadzi to do rozpatrywania coraz d lu˙zszych odcink´

ow przebytych

przez Achillesa, czyli liczb: 100 ; 110 ; 111 ; 111,1 ; . . . – czyli cia



gu, kt´

orego wyraz o numerze n jest

dany za pomoca



wzoru a

n

= 100 + 10 + 1 + . . . +

100

10

n−1

= 111,1 . . . 1 – przy czym w zapisie dzie-

sie



tnym tej liczby wyste



puje n jedynek. Zenon po prostu nie potrafi l zsumowa´c niesko´

nczenie wielu

sk ladnik´

ow. Nie operowa l poje



ciem sumy niesko´

nczonej

, nie umiano wtedy takiego poje



cia zdefiniowa´c.

Tego rodzaju problemy analizowano ju˙z wtedy, ale ´scis le definicje matematyczne pojawi ly sie



dopiero w

pierwszej po lowie XIX wieku (Gauss, Cauchy, Bolzano). Oczywi´scie mo˙zna latwo odpowiedzie´c na py-

tanie po przebiegnie



ciu jakiego dystansu Achilles z lapie ˙z´

o lwia: 111, 1 . . . =

1000

9

. Na wszelki wypadek

podamy formalne rozumowanie, kt´

ore mo˙zna by lo zastosowa´c r´

ownie˙z w staro˙zytno´sci, jednak bez jaw-

nego u˙zycia poje



cia sumy niesko´

nczonej, a wie



c omijaja



c istotny problem matematyczno-filozoficzny.*

Oznaczmy dystans przebyty przez ˙z´

o lwia do momentu zako´

nczenia pogoni przez x . Achilles w tym

samym czasie przebieg l odleg lo´s´c 10x . R´

o˙znica tych wielko´sci to 9x = 100 . Sta



d natychmiast wynika,

˙ze x =

100

9

, zatem 10x =

1000

9

. Oczywi´scie problemem istotnym by lo tu obliczenie tzw. granicy

cia



gu, czym zajmiemy sie



niebawem.

3. Rozwa˙zymy jeszcze inny przyk lad. Za l´

o˙zmy, ˙ze mamy do czynienia z pewna



ilo´scia



pierwiastka

promieniotw´

orczego. Niech m oznacza jego mase



. Fizycy twierdza



, ˙ze ubytek masy pierwiastka pro-

mieniotw´

orczego jest proporcjonalny do czasu i masy substancji. Oznaczmy wsp´

o lczynnik proporcjo-

nalno´sci przez µ i zastan´

owmy sie



jaka



ilo´s´c tego pierwiastka be



dziemy mie´c po czasie t . Na tzw.

*

By ly inne paradoksy zwia



zane z problemem dzielenia w niesko´

nczono´

s´

c na cze



´

sci, np. punkt nie ma d lugo´

sci, odcinek

sk lada sie



z punkt´

ow i ma d lugo´

s´

c, poruszaja



cy sie



obiekt w niesko´

nczenie kr´

otkim czasie nie przebywa ˙zadnej odleg lo´

sci,

a jednak sie



porusza. Przekonamy sie



, ˙ze dzie



ki poje



ciu granicy daje sie



w sensowny spos´

ob m´

owi´

c o tego rodzaju

kwestiach nie dochodza



c do pozornych sprzeczno´

sci.

1

„zdrowy rozum” masa w czasie t powinna sie



zmniejszy´c o µ · t · m . Jednak substancja promieniuje

bez przerwy. Mogliby´smy wie



c rozumowa´c w ten sam spos´

ob mysla



c o czasie dwukrotnie kr´

otszym,

czyli

t

2

. Wtedy masa zmniejszy laby sie



o µ ·

t

2

· m . Wobec tego po czasie

t

2

masa by laby r´

owna

m − µ ·

t

2

· m = m 1 − µ ·

t

2

) . Ta masa zmiejsza laby sie



w dalszym cia



gu zgodnie z tym samym prawem,

wie



c po czasie

t

2

masa pierwiastka by laby r´

owna m 1−µ·

t

2

)−µ·

t

2

m 1−µ·

t

2

) = m 1−µ·

t

2

)

2

. Mamy

wie



c dwa wyniki 1−µ·

t

2

)

2

, je´sli czas „dzielimy ” na p´

o l oraz 1−µ·t , je´sli „nie dzielimy”. Te wyniki sa



r´

o˙zne, wie



c podany opis nie mo˙ze by´c dobry. Na domiar z lego, je´sli czas podzielimy nie na dwie r´

owne

cze



´sci, to wynik be



dzie jeszcze inny: przy podziale t =

t

3

+

t

3

+

t

3

wywnioskujemy, ˙ze po czasie t masa

r´

owna jest m 1−µ·

t

4

)

3

, przy podziale t =

t

4

+

t

4

+

t

4

+

t

4

wynik to m 1−µ·

t

4

)

4

. Oczywi´scie rezultat nie

mo˙ze zale˙ze´c od tego, w jaki spos´

ob opisujemy zjawisko. Mo˙zna wie



c przypu´sci´c, ˙ze zacytowane prawo

fizyki dzia la w przypadku dostatecznie kr´

otkiego czasu z b le



dem mniejszym ni˙z dok ladno´s´c pomiaru.

Matematyka obliguje to do zadania pytania: czy liczby m 1 − µ · t) , m 1 − µ ·

t

2

)

2

, m 1 − µ ·

t

3

)

3

,

m 1 − µ ·

t

4

)

4

, . . . przybli˙zaja



z coraz wie



ksza



dok ladno´scia



pewna



liczbe



, kt´

ora mog laby by´c wtedy

uwa˙zana za prawdziwy wynik?

Pytanie okazuje sie



tym wa˙zniejsze, ˙ze do tego samego pytania prowadzi analiza oprocentowanego

wk ladu bankowego albo np. wyd lu˙zania sie



np. szyn kolejowych w wyniku wzrostu temperatury lub

ich skracania sie



w wyniku spadku temperatury. To prawo fizyczne jest znane ka˙zdemu, kto by l przy-

tomny w czasie lekcji fizyki w sz´

ostej klasie szko ly podstawowej. Nieliczni jednak uczniowie zauwa˙zaja



problem, kt´

ory opisali´smy wy˙zej. Stosowanie tego prawa w spos´

ob opisany w podre



cznikach szkolny

prowadzi do r´

o˙znych wynik´

ow w zale˙zno´sci od tego czy temperatura zmienia sie



np. o 20

◦

, czy te˙z

o 10

◦

+ 10

◦

, co oczywi´scie nie mo˙ze by´c prawda



, bowiem wzrost temperatury nie jest skokowy, lecz

odbywa sie



stopniowo. Podsumujmy: opisane wy˙zej zagadnienia prowadza



do rozpatrywania cia



gu o

wyrazie (1 +

x
n

)

n

, w przypadku masy substancji promieniotw´

orczej x = −µ · t . Powy˙zsze rozwa˙zania

sugeruja



, ˙ze wzrost liczby naturalnej n powinien powodowa´c wzrost wyra˙zenia (1+

x
n

)

n

przynajmniej

w przypadku x 6= 0 . W istocie rzeczy latwo mo˙zna sie



przekona´c o tym, ˙ze n > −x wzrost taki ma

miejsce, wyka˙zemy to niebawem.

4. Innym rodzajem cia



gu jest tzw. cia



g geometryczny: a

n

= a

0

q

n

, gdzie a

0

i q sa



dowolnymi

liczbami rzeczywistymi. Liczba q jest zwana ilorazem cia



gu geometrycznego, bo w przypadku q 6= 0

jest r´

owna ilorazowi dw´

och kolejnych wyraz´

ow cia



gu. Do rozpatrywania tego cia



gu prowadza



opisane

poprzednio zagadnienia, je´sli nie zmniejszamy odcink´

ow czasu lub temperatury, np. obliczamy ile

be



dzie pienie



dzy na naszym koncie, je´sli wyp lat mo˙zna dokonywa´c po ustalonym okresie czasu, a

oprocentowanie jest sta le w czasie. Wtedy a

0

oznacza wyj´sciowa



kwote



, a

1

kwote



znajduja



ca



sie



na rachunku po up lywie jednego okresu, a

2

– po up lywie dw´

och okres´

ow itd. Liczba ludzi w danym

kraju w przypadku sta lego przyrostu naturalnego zachowuje sie



jak cia



g geometryczny o ilorazie dosy´c

bliskim jedno´sci – dodatni przyrost naturalny oznacza, ˙ze iloraz jest wie



kszy ni˙z 1 za´s ujemny przyrost

naturalny – ˙ze iloraz jest mniejszy ni˙z 1 .

5. Jeszcze innym rodzajem cia



gu jest cia



g arytmetyczny: a

n

= a

0

+ nd , gdzie a

0

oraz d oznaczaja



2

dowolne liczby rzeczywiste. Liczba d zwana jest r´

o˙znica



cia



gu arytmetycznego, jest ona r´

owna r´

o˙znicy

dw´

och kolejnych wyraz´

ow cia



gu. W XIX wieku zaobserwowano, ˙ze ilo´s´c zbo˙za zachowuje sie



jak wyraz

cia



gu arytmetycznego ( n jest numerem roku). Oczywi´scie tego rodzaju obserwacje sa



przybli˙zone,

bowiem co jaki´s czas zdarzaja



sie



powodzie, susze i wtedy proces wzrostu ulega zak l´

oceniu. Bywaja



te˙z zak l´

ocenia innego rodzaju, np. w XIX zauwa˙zono, ˙ze stosowanie saletry chilijskiej (nawozy azotowe)

zwie



ksza w istotny spos´

ob plony. By ly te˙z inne zak l´

ocenia „naturalnego” tempa wzrostu ilo´sci zb´

o˙z.

6. W re



kopisie z 1228 r Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim, znajduje sie



naste



puja



ce zadanie:

Ile par kr´

olik´

ow mo˙ze by´c sp lodzonych przez pare



p lodnych kr´

olik´

ow i jej potomstwo w cia



gu roku,

je´sli ka˙zda para daje w cia



gu miesia



ca ˙zywot jednej parze, para staje sie



p lodna po miesia



cu, kr´

oliki

nie zdychaja



w cia



gu tego roku. Jasne jest, ˙ze po miesia



cu mamy ju˙z dwie pary przy czym jedna z

nich jest p lodna, a druga jeszcze nie. Wobec tego po dw´

och miesia



cach ˙zyja



ju˙z trzy pary kr´

olik´

ow:

dwie p lodne, jedna jeszcze nie. Po trzech miesia



cach ˙zyje ju˙z pie



´c par kr´

olik´

ow: trzy p lodne, dwie

jeszcze nie. Po czterech miesia



cach jest ju˙z 8 = 5 + 3 par kr´

olik´

ow. Kontynuuja



c to poste



powanie

stwierdzamy po niezbyt d lugim czasie, ˙ze po roku ˙zyje ju˙z 377 = 233 + 144 par kr´

olik´

ow. Natu-

ralnym problemem jest: znale´z´c wz´

or na liczbe



a

n

, je´sli a

0

= 1 , a

1

= 2 i a

n

= a

n−1

+ a

n−2

dla

n = 2, 3, 4, . . . . Wz´

or taki zosta l znaleziony dopiero po kilkuset latach od napisania ksia



˙zki przez

Fibonacci’ego i wygla



da tak:

a

n

=



1+

√

5

2



n+2

−



1−

√

5

2



n+2

√

5

.

Dow´

od prawdziwo´sci tego wzoru jest prosty i nie wykracza poza program liceum – latwa indukcja.

Jednak pozostaje pytanie, jak w og´

ole mo˙zna tego rodzaju hipoteze



sformu lowa´c. Jest to pytanie

znacznie wa˙zniejsze od wykazania prawdziwo´sci tego wzoru, jednak na razie nie be



dziemy sie



tym

zajmowa´c. Za kilka miesie



cy stanie sie



jasne w jaki spos´

ob do takiego dziwnego rezultatu mo˙zna

doj´s´c.

7. Przejdziemy teraz do ´scis lego zdefiniowania cia



gu.

Definicja 2.0 (cia



gu)

Cia



giem nazywamy dowolna



funkcje



okre´slona



na zbiorze z lo˙zonym ze wszystkich tych liczb ca lkowi-

tych, kt´

ore sa



wie



ksze lub r´

owne pewnej liczbie ca lkowitej n

0

. Warto´s´c tej funkcji punkcie n nazywamy

n -tym wyrazem cia



gu.

Stosujemy oznaczenie (a

n

) dla oznaczenia cia



gu, kt´

orego n -tym wyrazem jest a

n

. W punkcie 1

najmniejszym numerem wyrazu cia



gu jest liczba n

0

= 3 (zaczynamy wie



c od a

3

), w punktach 2

i 3 mamy n

0

= 1 (teraz od a

1

), naste



pne trzy cia



gi rozpocze



li´smy od n

0

= 0 . Oczywi´scie mo˙zna

rozpoczyna´c numeracje



od dowolnej liczby ca lkowitej, r´

ownie˙z ujemnej. Terminy cia



g arytmetyczny

,

cia



g geometryczny

u˙zywane be



da



nie tylko w przypadku cia



g´

ow rozpoczynaja



cych sie



od wyrazu

a

0

, r´

ownie˙z w tym przypadku n

0

mo˙ze by´c dowolna



liczba



ca lkowita



. Chodzi jedynie o to, by by ly

prawdziwe r´

owno´sci a

n

= a

n−1

+ d lub — w przypadku cia



gu geometrycznego — a

n

= a

n−1

· q dla

wszystkich liczb ca lkowitych n ≥ n

0

. Zazwyczaj jednak numeracje



be



dziemy rozpoczyna´c od 0 lub

3

od 1 . Je´sli nie zaznaczymy tego wyra´znie, symbol n oznacza´c be



dzie liczbe



ca lkowita



nieujemna



, czyli

naturalna



.*

8. Przejdziemy teraz do zdefiniowania granicy cia



gu – poje



cia zasygnalizowanego przy okazji oma-

wiania paradoksu Zenona (zob. punkt 2.)

Definicja 2.1 (granicy cia



gu)

a. Liczba g nazywana jest granica



cia



gu (a

n

) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby

dodatniej ε > 0 istnieje liczba ca lkowita n

ε

, taka ˙ze je´sli n > n

ε

, to |a

n

− g| < ε .

b. +∞ (czytaj: plus niesko´nczono´s´c) jest granica



cia



gu (a

n

) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej

liczby rzeczywistej M istnieje liczba ca lkowita n

m

taka, ˙ze je´sli n > n

M

, to a

n

> M.

c. −∞ (czytaj: minus niesko´nczono´s´c) jest granica



cia



gu (a

n

) wtedy i tylko wtedy, gdy dla

ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba ca lkowita n

m

taka, ˙ze je´sli n > n

M

, to a

n

< M.

d. Je´sli g jest granica



cia



gu (a

n

) , sko´

nczona



lub nie, to piszemy g = lim

n→∞

a

n

lub a

n

−−−−−→

n→∞

g .

Mo˙zna te˙z pisa´c a

n

→ g , gdy n → ∞ lub kr´otko a

n

→ g . M´owimy, ˙ze cia



g jest zbie˙zny,

je´sli jego granica jest sko´

nczona.

Skomentujemy po pierwsze cze



´s´c a. Chodzi tam o to, ˙ze wyrazy cia



gu, kt´

orych numery sa



dosta-

tecznie du˙ze ( n > n

ε

) przybli˙zaja



granice



g z dopuszczalna



dok ladno´scia



( |a

n

− g| < ε ). Stwierdzimy

tu wyra´znie, ˙ze przej´scie do naste



pnego wyrazu nie musi zwie



kszy´c dok ladno´sci przybli˙zenia, przeciw-

nie chwilowo mo˙ze sie



ta dok ladno´s´c zmniejszy´c, dopiero dostatecznie du˙zy wzrost numeru wyrazu musi

zwie



kszy´c dok ladno´s´c przybli˙zenia (je´sli cia



g jest sta ly, np. a

n

= 33 dla ka˙zdej liczby naturalnej n , to

b la



d jest zerowy zawsze, niezale˙znie od numeru wyrazu, wie



c dok ladno´s´c nie mo˙ze by´c poprawiona).

O liczbie ε my´sle´c nale˙zy jako o ma lej liczbie dodatniej (chodzi o to, ˙ze je´sli dla ma lego ε umiemy

wskaza´c moment, od kt´

orego b la



d jest mniejszy ni˙z ε , to od tego momentu nier´

owno´s´c jest r´

ownie˙z

spe lniona z wie



kszym ε ). Pamie



tajmy r´

ownie˙z o tym, ˙ze liczba |x − y| mo˙ze by´c traktowana jako

odleg lo´s´c dw´

och punkt´

ow prostej. Wobec tego nier´

owno´s´c |a

n

−g| < ε oznacza, ˙ze punkt a

n

znajduje

sie



w przedziale o d lugo´sci 2ε i ´srodku g . W szczeg´

olno´sci cia



g, kt´

orego wszystkie wyrazy sa



takie

same (lub nawet nie wszystkie, tylko wszystkie od pewnego momentu, tj. dla dostatecznie du˙zych n

sa



identyczne), jest zbie˙zny, przy czym granica



takiego cia



gu jest wsp´

olna warto´s´c jego wyraz´

ow.

Cze



sto zamiast m´

owi´c istnieje n

ε

, takie ˙ze dla

n > n

ε

zachodzi

. . . be



dziemy m´

owi´c, ˙ze dla

dostatecznie du˙zych

n zachodzi . . . lub ˙ze dla prawie wszystkich n zachodzi . . . . Tak wie



c dla prawie

wszystkich

n . . . oznacza dla wszystkich , z wyja



tkiem sko´

nczenie wielu

n . . . .

Podobnie mo˙zna interpretowa´c cze



´s´c b definicji granicy. Tym razem wyraz cia



gu, kt´

orego numer

jest dostatecznie du˙zy ( n > n

M

) powinien by´c blisko plus niesko´

nczono´sci, wie



c ma by´c du˙za



liczba



dodatnia



( a

n

> M ). Interpretacje



cze



´sci c pozostawiamy czytelnikom – jest ona w pe lni analogiczna

do cze



´sci b. Niekt´

orzy autorzy u˙zywaja



terminu „cia



g jest rozbie˙zny do +∞ ”, a inni m´owia



, ˙ze „cia



g

*

Cze



´

s´

c matematyk´

ow uwa˙za, ˙ze liczby naturalne to 1 , 2 ,

. . .

Inni uwa˙zaja



, ˙ze zaczyna´

c nale˙zy od 0 . W momencie

pisania tego tekstu autor przychyli l sie



do tej drugiej koncepcji: liczby naturalne s lu˙za



przede wszystkim do ustalania

liczby element´

ow danego zbioru sko´

nczonego, poniewa˙z rozwa˙zamy niejednokrotnie zbi´

or pusty, wie



c liczbe



0 uwa˙za´

c

be



dziemy za naturalna



.

4

jest zbie˙zny do +∞ ”. My be



dziemy stosowa´c raczej pierwsza



terminologie



.

Przyk lad 2.0

0 = lim

n→∞

1

n

. Aby przekona´c sie



o prawdziwo´sci tej tezy wystarczy przyja



´c, ˙ze n

ε

jest dowolna



liczba



ca lkowita



wie



ksza



ni˙z

1
ε

. Mo˙zna wie



c przyja



´c np. n

1

= 2 , n

1/2

= 3 , n

0,41

= 3 ,

ale mo˙zna te˙z powie



kszy´c niekt´

ore z tych liczb lub nawet wszystkie i przyja



´c n

1

= 10 , n

1/2

= 207 ,

n

0,41

= 3 . Mamy wie



c mo˙zliwo´s´c wyboru: liczbe



n

ε

mo˙zna zawsze zasta



pi´c wie



ksza



.

Przyk lad 2.1

1
2

= lim

n→∞

2n+3
4n−1

. Wyka˙zemy, ˙ze wz´

or ten jest prawdziwy. Bez trudu stwierdzamy, ˙ze

nier´

owno´s´c





1
2

−

2n+3
4n−1



 =





−7

2(4n−1)



 ≤

7

6n

zachodzi dla dowolnej liczby ca lkowitej n ≥ 1 . Wystarczy

wie



c, by n

ε

>

7

6ε

. To zdanie oznacza , ˙ze dla tak dobranego n

ε

i n > n

ε

prawdziwa jest nier´

owno´s´c





1
2

−

2n+3
4n−1



 < ε – nie znaczy to jednak, ˙

ze tylko dla tych liczb ca lkowitych n nier´

owno´s´c ta miejsce! Nie

musieli´smy rozwia



zywa´c nier´

owno´sci, cho´c w tym przypadku by lo to mo˙zliwe – wystarczy lo udowodni´c,

˙ze nier´

owno´s´c ma miejsce dla wszystkich dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n .

Przyk lad 2.2

Je´sli d > 0 , to +∞ = lim

n→∞

(a

0

+ nd) . Postaramy sie



wykaza´c, ˙ze r´

owno´s´c ta ma

miejsce. Je´sli M jest dowolna



liczba



rzeczywista



, n

ε

>

M −a

0

d

i

n > n

ε

, to n >

M −a

0

d

, zatem

a

n

= a

0

+ nd > M , co dowodzi prawdziwo´sci r´

owno´sci, kt´

ora



dowodzimy.

Wyka˙zemy teraz bardzo u˙zyteczna



nier´

owno´s´c.

Twierdzenie 2.2 (Nier´

owno´

s´

c Bernoulli’ego)

Za l´

o˙zmy, ˙ze n jest liczba



ca lkowita



dodatnia



za´s a > −1 liczba



rzeczywista



. Wtedy

(1 + a)

n

≥ 1 + na

przy czym r´

owno´s´c ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub gdy n = 1 .

Dow´

od.

Je´sli n = 1 , to oczywi´scie niezale˙znie od wyboru liczby a ma miejsce r´

owno´s´c. Poniewa˙z

(1+a)

2

= 1+2a+a

2

≥ 1+2a , przy czym r´owno´s´c ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a=0, wie



c teza

zachodzi dla n = 2 i wszystkich liczb rzeczywistych a (nie tylko a > −1 ). Otrzymana



nier´

owno´s´c

(1 + a)

2

≥ 1 + 2a mo˙zemy pomno˙zy´c stronami przez liczbe



dodatnia



(1 + a) – tu korzystamy z

za lo˙zenia a > −1 . W wyniku otrzymujemy (1 + a)

3

≥ (1 + 2a)(1 + a) = 1 + 3a + 2a

2

≥ 1 + 3a .

Tak˙ze w tym przypadku jest widoczne, ˙ze dla a 6= 0 otrzymujemy nier´owno´s´c ostra



. Z tej nier´

owno´sci

w taki sam spos´

ob wynika, ˙ze (1 + a)

4

≥ (1 + 3a)(1 + a) ≥ 1 + 4a + 3a

2

≥ 1 + 4a . Teraz w

ten sam spos´

ob wnioskujemy prawdziwo´s´c twierdzenia dla n = 5 i wszystkich a > −1 , potem dla

n = 6 itd. Og´

olnie je´sli teza twierdzenia zachodzi dla wszystkich liczb a > −1 przy ustalonym n , to

(1 + a)

n+1

≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + na

2

≥ 1 + (n + 1)a i zn´ow bez trudu stwierdzamy, ˙ze

r´

owno´s´c ma miejsce jedynie dla a = 0 . Oczywi´scie jest to latwe rozumowanie indukcyjne, nazwy nie

u˙zyto wcze´sniej, by nie odstrasza´c tych, kt´

orzy jeszcze boja



sie



indukcji.

Twierdzenie 2.3 (Granica cia



gu geometrycznego)

Niech a

n

= q

n

. Cia



g ten ma granice



0 , je´sli |q| < 1 , ma granice



1 , je´sli q = 1 , ma granice



+∞ ,

je´sli q > 1 . Je´sli q ≤ −1 , to cia



g granicy nie ma.

5

Dow´

od.

W przypadku q = 0 oraz q = 1 teza jest oczywista, bo cia



g jest sta ly (jego wyrazy nie

zale˙za



od numeru). Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze 0 < |q| < 1 . Niech ε > 0 be



dzie liczba



rzeczywista



. Je´sli

n

ε

>

1
ε

−1

1

|q|

−1

jest liczba



ca lkowita



i n > n

ε

, to

♣

1

|q|

n

=



1 +



1

|q|

− 1



n



≥ 1 + n



1

|q|

− 1



> 1 +

1
ε

− 1 =

1
ε

.

Z otrzymanej nier´

owno´sci wynika, ˙ze dla n > n

ε

zachodzi

1

|q|

n

>

1
ε

, czyli |q

n

| < ε , a to oznacza,

˙ze lim

n→∞

q

n

= 0 .

Kolejny przypadek to q > 1 . Mamy teraz q

n

= (1 + (q − 1))

n

≥ 1 + n(q − 1) . Wobec tego, je´sli

n > n

M

i n

M

>

M −1

q−1

, to q

n

> 1 + (M − 1) = M . Jasne jest wie



c, ˙ze lim

n→∞

q

n

= +∞ .

Pozosta l przypadek ostatni: q ≤ −1 . W tym przypadku mamy q

n

≤ −1 dla ka˙zdej liczby

ca lkowitej nieparzystej n oraz q

n

≥ 1 dla ka˙zdej liczby ca lkowitej parzystej n . Gdyby istnia la

sko´

nczona granica g , to wyrazy cia



gu o dostatecznie du˙zych numerach le˙za lyby w odleg lo´sci mniejszej

ni˙z 1 od granicy g – to natychmiastowa konsekwencja istnienia granicy sko´

nczonej. Je´sli jednak

odleg lo´sci q

n

i q

n+1

od granicy g sa



mniejsze od 1 , to odleg lo´s´c mie



dzy nimi jest mniejsza ni˙z

1 + 1 = 2 , co oznacza, ˙ze |q

n

− q

n+1

| < 2 . To jednak nie jest mo˙zliwe, bowiem jedna z liczb q

n

, q

n+1

jest mniejsza lub r´

owna −1 , a druga wie



ksza lub r´

owna 1 . Sta



d za´s wynika, ˙ze odleg lo´s´c mie



dzy q

n

i q

n+1

nie jest mniejsza ni˙z 1 − (−1) = 2 *. Otrzymali´smy sprzeczno´s´c, wie



c cia



g granicy sko´

nczonej

nie ma. +∞ granica



tego cia



gu te˙z nie jest, bowiem wtedy wyrazy cia



gu o dostatecznie du˙zych

numerach musia lyby by´c wie



ksze od 0 (przyjmujemy M = 0 ), a tak nie jest, bo te, kt´

orych numery

sa



nieparzyste

, sa



ujemne. Analogicznie −∞ nie jest granica



tego cia



gu, bo wyrazy o numerach

parzystych

sa



dodatnie, co wyklucza to, ˙ze wyrazy o dostatecznie du˙zych numerach sa



ujemne (i w

tym przypadku przyjmujemy M = 0 ).

Wykazali´smy wie



c, ˙ze cia



g nie ma ani granicy sko´

nczonej ani - niesko´

nczonej, co ko´

nczy badanie

granicy cia



gu geometrycznego.

12. Cia



gi monotoniczne i ´

sci´

sle monotoniczne, cia



gi ograniczone

Definicja 2.4 (cia



g´

ow monotonicznych)

Cia



g (a

n

) nazywamy niemaleja



cym (rosna



cym) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego numeru

n zachodzi nier´

owno´s´c a

n

≤ a

n+1

( a

n

< a

n+1

). Podobnie cia



g nierosna



cy (maleja



cy) to taki, ˙ze

dla ka˙zdego numeru n zachodzi nier´

owno´s´c a

n

≥ a

n+1

( a

n

> a

n+1

). Cia



gi niemaleja



ce i niero-

sna



ce maja



wsp´

olna



nazwe



: cia



gi monotoniczne. Cia



gi rosna



ce i maleja



ce nazywamy cia



gami ´sci´sle

monotonicznymi.

W niekt´

orych podre



cznikach stosowana jest nieco inna terminologia: cia



gi niemaleja



ce zwane sa



tam rosna



cymi, a rosna



ce – ´sci´sle rosna



cymi. Jest oczywi´scie oboje



tne, kt´

ora z dwu koncepcji jest

stosowana, je´sli tylko jest to robione konsekwentnie. Mo˙zna te˙z, dla uniknie



cia nieporozumie´

n, m´

owi´c

o cia



gach niemaleja



cych i ´sci´sle rosna



cych.

♣

Nie u˙zywamy tu logarytmu, bo chcemy pokaza´

c, ˙ze jakie´

s konkretne oszacowania mo˙zna uzyska´

c bardzo elementarnie.

Gdyby´

smy jednak zechcieli go u˙zy´

c, to mogliby´

smy napisa´

c n

ε

>(log

10

ε)/(log

10

|q|) , przyp. log

10

|q|<0 .

*

Mo˙zna to rozumowanie zapisa´

c wzorami: 2≤|q

n

−q

n

+1

|≤|q

n

−g|+|g−q

n

+1

|<1+1=2 dla dostatecznie du˙zych

n

.

6

Cia



g geometryczny zaczynaja



cy sie



od wyrazu a

1

= q jest monotoniczny w przypadku q ≥ 0 :

dla q = 0 oraz dla q = 1 cia



g geometryczny jest sta ly, wie



c niemaleja



cy i jednocze´snie nierosna



cy.

W przypadku 0 < q < 1 jest on maleja



cy, dla q > 1 jest on rosna



cy. Cia



g arytmetyczny jest

rosna



cy, gdy jego r´

o˙znica d jest dodatnia, maleja



cy – gdy d < 0 , sta ly (wie



c jednocze´snie niemaleja



cy

i nierosna



cy), gdy d = 0 .

Definicja 2.5 (cia



g´

ow ograniczonych)

Cia



g (a

n

) nazywany jest ograniczonym z g´

ory wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista

M , taka ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi nier´

owno´s´c: a

n

≤ M . Analogicznie (a

n

) jest

ograniczony z do lu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista m taka, ˙ze dla ka˙zdego n

zachodzi nier´

owno´s´c a

n

≥ m . Cia



g ograniczony z g´

ory i z do lu nazywamy ograniczonym. Cia



giem

nieograniczonym nazywamy ka˙zdy cia



g, kt´

ory nie jest ograniczony.

Cia



g (n) jest ograniczony z do lu np. przez −13 lub 0 , ale nie jest ograniczony z g´ory, wie



c jest

nieograniczony. Cia



g (−1)

n

jest ograniczony z g´

ory np. przez 1 lub przez

√

1000 oraz z do lu, np

przez −1 , ale r´ownie˙z przez −13 .

Cia



g (a

n

) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba nieujemna M , taka ˙ze |a

n

| ≤

M dla ka˙zdego n . Jest oczywisty wniosek z definicji cia



gu ograniczonego: M musi by´c tak du˙ze, by

liczba −M by la ograniczeniem dolnym cia



gu (a

n

) i jednocze´snie liczba M by la jego ograniczeniem,

g´

ornym.

Przyk lad 2.3

Cia



g (1 +

x
n

)

n

Wypiszmy przybli˙zenia dziesie



ciu pierwszych wyraz´

ow cia



gu

w przypadku x = 1 :

oraz w przypadku x = −4 :

1 +

1
1

1

= 2

1 +

−4

1

1

= −3

1 +

1
2

2

=

9
4

= 2, 25

1 +

−4

2

2

= 1

1 +

1
3

3

=

64
27

≈ 2, 37

1 +

−4

3

3

=

−1

27

≈ −0, 37

1 +

1
4

4

=

625
256

≈ 2, 44

1 +

−4

4

4

= 0

1 +

1
5

5

=

7776
3125

≈ 2, 49

1 +

−4

5

5

=

1

3125

≈ 0, 00032

1 +

1
6

6

=

117649

46656

≈ 2, 52

1 +

−4

6

6

=

1

729

≈ 0, 0014

1 +

1
7

7

=

2097152

823543

≈ 2, 55

1 +

−4

7

7

=

2187

823543

≈ 0, 0027

1 +

1
8

8

=

43046721
16777216

≈ 2, 56

1 +

−4

8

8

=

1

256

≈ 0, 0039

1 +

1
9

9

=

1000000000

387420489

≈ 2, 58

1 +

−4

9

9

=

1953125

387420489

≈ 0, 0050

1 +

1

10

10

=

25937424601
10000000000

≈ 2, 59

1 +

−4

10

10

=

59049

9765625

≈ 0, 0060

Latwo mo˙zna przekona´c sie



, ˙ze cia



g o wyrazie a

n

= (1 +

x
n

)

n

nie jest ani geometryczny , ani

arytmetyczny z wyja



tkiem jednego przypadku: x = 0 . Wyka˙zemy, ˙ze je´

sli n > −x 6= 0 , to

a

n+1

> a

n

, czyli ˙ze cia



g ten jest rosna



cy od pewnego momentu. W przypadku x > 0 jest ro-

sna



cy, gdy x < 0 , to mo˙ze sie



zdarzy´c, ˙ze pocza



tkowe wyrazy zmieniaja



znak, wie



c o monotoniczno´sci

nie mo˙ze by´c nawet mowy. Je´sli jednak wszystkie wyrazy cia



gu sa



dodatnie, to jest niemaleja



cy. Wy-

7

pada to wykaza´c. Z nier´

owno´sci n > −x wynika od razu nier´owno´s´c n + 1 > −x . Z pierwszej z nich

wnioskujemy, ˙ze 1 +

x
n

> 0 , a z drugiej – ˙ze 1 +

x

n+1

> 0 . Nier´

owno´s´c a

n

< a

n+1

r´

ownowa˙zna

jest nier´

owno´sci



1 +

x
n



n

<



1 +

x

n+1



n+1

, a ta – dzie



ki temu, ˙ze 1 +

x
n

> 0 – nier´

owno´sci



1+

x

n

+1

1+

x
n



n+1

>

1

(

1+

x
n

)

=

n

n+x

. Skorzystamy teraz z nier´

owno´sci Bernoulli’ego (punkt 10.), by udo-

wodni´c, ˙ze ostatnia nier´

owno´s´c ma miejsce dla n > −x . Mamy



1+

x

n

+1

1+

x
n



n+1

=



1 −

x

(n+x)(n+1)



n+1

≥

1 − (n + 1)

x

(n+x)(n+1)

= 1 −

1

n+x

=

x

n+x

. Dla jasno´sci nale˙zy jeszcze zauwa˙zy´c, ˙ze liczba

−x

(n+x)(n+1)

,

pe lnia



ca role



a w nier´

owno´sci Bernoulli’ego, jest wie



ksza od −1 – jest to oczywiste w przypadku

x ≤ 0 , bo w tym przypadku jest ona nieujemna, za´s dla x > 0 jej warto´s´c bezwzgle



dna, czyli

x

(n+x)(n+1)

jest mniejsza od

1

n+1

< 1 . Wykazali´smy wie



c, ˙ze od momentu, w kt´

orym wyra˙zenie (1 +

x
n

)

staje sie



dodatnie, cia



g zaczyna rosna



´c (gdy x = 0 jest sta ly). Dodajmy jeszcze, ˙ze je´sli x > 0 , to

wyrazy cia



gu sa



dodatnie, je´sli za´s x < 0 , to sa



one dodatnie dla n parzystego oraz dla n nieparzy-

stego, o ile n > −x . Pozostaje pytanie: czy w przypadku x > 0 wzrost wyrazu cia



gu (1 +

x
n

)

n

jest

nieograniczony, czy te˙z dla ustalonego x znale´z´c mo˙zna liczbe



wie



ksza



od wszystkich wyraz´

ow tego

cia



gu. Wyka˙zemy, ˙ze cia



g (1 +

x
n

)

n

jest ograniczony z g´

ory dla dowolnej liczby rzeczywistej x . Dla

ujemnych x tak jest, bo od pewnego miejsca, jak to stwierdzili´smy wcze´sniej, wyrazy cia



gu sa



dodat-

nie i mniejsze od 1 . Je´sli n > x > 0 , to 1 +

x
n

n

=

1−

x2
n2

n

(

1−

x
n

)

n

<

1

(

1−

x
n

)

n

. Wyra˙zenie

1

(

1−

x
n

)

n

maleje

wraz ze wzrostem n (gdy rozpatrujemy n > x ), bo licznik nie zmienia sie



, a mianownik – jak to

wykazali´smy wcze´sniej – ro´snie. Wynika sta



d, ˙ze je´sli n(x) jest najmniejsza



liczba



ca lkowita



wie



ksza



od x , to wszystkie wyrazy cia



gu sa



mniejsze ni˙z

1

1−

x

n

(x)

n

(x)

=



n(x)

n(x)−x



n(x)

.

Np. n(1) = 2 , zatem wszystkie wyrazy cia



gu 1 +

1

n

n

sa



mniejsze ni˙z



2

2−1



2

= 4 . W przypadku

x = −4 wszystkie wyrazy cia



gu pocza



wszy od pia



tego sa



dodatnie i mniejsze od 1, rozwa˙zywszy

cztery pierwsze przekonujemy sie



o tym, ˙ze najwie



kszym wyrazem cia



gu jest wyraz drugi, r´

owny 1 , a

najmniejszym – pierwszy, r´

owny −3 .

W istocie rzeczy z tego, co zosta lo napisane wynika, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej k ≥ n(x) liczba

1

(

1−

x
k

)

k

=



k

k−x



k

jest ograniczeniem g´

ornym cia



gu 1 +

x
n

n

– zache



camy do samodzielnego uzasad-

nienia tego prostego stwierdzenia.

Wyka˙zemy teraz naste



pujace, zapewne znane ze szko ly

Twierdzenie 2.6 (o istnieniu granicy cia



gu monotonicznego)

Ka˙zdy cia



g monotoniczny ma granice



.

Dow´

od.

Za l´

o˙zmy, ˙ze cia



g (a

n

) jest niemaleja



cy, tzn. dla ka˙zdego n zachodzi nier´

owno´s´c a

n

≤ a

n+1

.

Je´sli cia



g nie jest ograniczony z g´

ory, to dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba naturalna n

M

taka, ˙ze a

n

M

≥ M . Wtedy dla ka˙zdej liczby naturalnej n ≥ n

M

zachodzi nier´

owno´s´c a

n

≥ a

n

M

≥ M .

Wobec tego lim

n→∞

a

n

= +∞ . Za l´o˙zmy teraz, ˙ze cia



g (a

n

) jest ograniczony z g´

ory przez liczbe



b

0

. Dla

ka˙zdej liczby naturalnej n ≥ 0 mamy wie



c a

0

≤ a

n

≤ b

0

. Je´sli w przedziale

a

0

+b

0

2

, b

0

 , znaj-

duja



sie



jakiekolwiek wyrazy cia



gu (a

n

) , to przyjmujemy c

1

=

a

0

+b

0

2

i b

1

= b

0

. Je´sli w przedziale

8

a

0

+b

0

2

, b

0



wyraz´

ow cia



gu (a

n

) nie ma, to przyjmujemy c

1

= a

0

i b

1

=

a

0

+b

0

2

. W obu przypad-

kach otrzymujemy przedzia l [c

1

, b

1

] ⊆ [a

0

, b

0

] dwa razy kr´

otszy od przedzia lu [a

0

, b

0

] zawieraja



cy

prawie wszystkie wyrazy cia



gu (a

n

) . W taki sam spos´

ob otrzymujemy przedzia l [c

2

, b

2

] ⊆ [c

1

, b

1

]

dwa razy kr´

otszy od przedzia lu [c

1

, b

1

] , czyli cztery razy kr´

otszy od przedzia lu [a

0

, b

0

] zawieraja



cy

prawie wszystkie wyrazy cia



gu (a

n

) . Powtarzaja



c te



konstrukcje



wielokrotnie okre´slamy zste



puja



cy

cia



g przedzia l´

ow domknie



tych

[c

n

, b

n

]

taki, ˙ze ka˙zdy przedzia l [c

n

, b

n

] jest dwa razy kr´

otszy od

swego poprzednika (i jest w nim zawarty). Niech g be



dzie punktem wsp´

olnym wszystkich przedzia l´

ow

[c

n

, b

n

] , n = 1, 2, . . . . Jasne jest, ˙ze ta cze



´s´c wsp´

olna sk lada sie



z tylko jednej liczby (je´sli g

1

6= g

2

,

to dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´

owno´s´c |g

1

− g

2

| >

b

0

−a

0

2

n

= b

n

− c

n

).

Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

a

n

= g . Niech ε > 0 . Istnieje liczba naturalna m taka, ˙ze b

m

− c

m

< ε . Niech

a

n

∈ [c

m

, b

m

] . Wtedy r´

ownie˙z a

n+1

, a

n+2

, a

n+3

, . . . ∈ [c

m

, b

m

] i oczywi´scie g ∈ [c

m

, b

m

] . Ka˙zde dwa

punkty przedzia lu [c

m

, b

m

] sa



odleg le o nie wie



cej ni˙z b

m

− c

m

< ε , w szczeg´

olno´sci odleg lo´s´c g od

ka˙zdego z punkt´

ow a

n

, a

n+1

, a

n+2

, a

n+3

, . . . jest mniejsza ni˙z ε . Oznacza to, ˙ze lim

n→∞

a

n

= g . Je´sli

cia



g (a

n

) jest nierosna



cy, to mo˙zna ju˙z udowodniona



cze



´s´c twierdzenia zastosowa´c do cia



gu (−a

n

) ,

kt´

ory jest niemaleja



cy. Ma on zatem jaka



´s granice



g . Bez trudu wykazujemy, ˙ze lim

n→∞

a

n

= −g .

Ten dow´

od zosta l zamieszczony po to, by studenci mogli zrozumie´c, jak mo˙zna przeprowadza´c

rozumowania matematyczne. Nie nale˙zy uczy´c sie



go na pamie



´c, warto go jednak go przemy´sle´c.

Zauwa˙zmy jedynie, ˙ze gdyby´smy ograniczyli sie



do liczb wymiernych, tj. u lamk´

ow o ca lkowitych

licznikach i mianownikach, to twierdzenie nie by loby prawdziwe – istnieja



bowiem cia



gi liczb wy-

miernych, kt´

orych granice sa



niewymierne. Twierdzenie to podaje wie



c istotna



informacje



o zbiorze

wszystkich liczb rzeczywistych. Chodzi o to mianowicie, ˙ze nie ma w nim dziur, geometrycznie jest to

ca la prosta. Wyprowadzili´smy to twierdzenie z lematu o przedzia lach zste



puja



cych, bo by l on jedynym

do tej pory twierdzeniem m´

owia



cym w istocie rzeczy, ˙ze „mie



dzy” liczbami rzeczywistymi ˙zadnych

luk nie ma w odr´

o˙znieniu od dziurawego zbioru liczb wymiernych. Mie



dzy ka˙zdymi dwiema r´

o˙znymi

liczbami wymiernymi c i d znajduje sie



liczba niewymierna, np. c +

d−c

√

2

– jej niewymierno´s´c wynika

latwo z tego, ˙ze

√

2 > 1 jest liczba



niewymierna



, za´s c 6= d sa



wymierne. Jest te˙z jasne, ˙ze le˙zy ona

mie



dzy c i d – od punktu c przesuwamy sie



w kierunku punktu d o wektor

d−c

√

2

, kt´

orego d lugo´s´c

jest mniejsza ni˙z odleg lo´s´c |c − d| punkt´ow c i d .

Z twierdzenia tego wynika np. od razu, ˙ze cia



g geometryczny, kt´

orego zbie˙zno´s´c zbadali´smy

wcze´sniej ma granice



w przypadku q ≥ 0 . Nie wynika natomiast istnienie tej granicy w przypadku

q < 0 , bo w przypadku ujemnego ilorazu cia



g geometryczny nie jest monotoniczny. Z tego twierdzenia

wynika r´

ownie˙z, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x cia



g (1 +

x
n

)

n

ma granice



– nie zawsze jest on

monotoniczny, ale zawsze jest monotoniczny od pewnego momentu, co w oczywisty spos´

ob r´

ownie˙z

wystarcza, bowiem zmiana sko´

nczenie wielu wyraz´

ow cia



gu nie ma wp lywu na istnienie lub warto´s´c

granicy, bowiem w definicji granicy mowa jest jedynie o wyrazach cia



gu, kt´

orych numery sa



dosta-

tecznie du˙ze

, zatem zmiana sko´

nczenie wielu wyraz´

ow cia



gu mo˙ze jedynie mie´c wp lyw na znaczenie

s l´

ow dostatecznie du˙ze.

9

Oznaczenie 2.7 (wa˙znej granicy)

exp(x) oznacza´c be



dzie w dalszym cia



gu granice



cia



gu (1 +

x
n

)

n

, tzn.

exp(x) = lim

n→∞



1 +

x
n



n

.

Wobec tego symbol exp oznacza funkcje



, kt´

ora jest okre´slona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywi-

stych, jej warto´scia



w punkcie x jest liczba dodatnia lim

n→∞



1 +

x
n



n

.


        

!"



# $ 



&%

Sformu lujemy teraz kilka twierdze´

n, kt´

ore u latwiaja



obliczanie granic, ich szacowanie lub stwier-

dzanie ich istnienia. Potem poka˙zemy jak mo˙zna je stosowa´c. W ko´

ncu udowodnimy cze



´s´c z nich, tak

by wyja´sni´c mechanizm dowodzenia.

Twierdzenie 2.8 (o arytmetycznych w lasno´

sciach granicy)

A1. Je´sli istnieja



granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slona jest ich suma, to istnieje granica

lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) i zachodzi wz´

or: lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = lim

n→∞

a

n

+ lim

n→∞

b

n

.

A2. Je´sli istnieja



granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slona jest ich r´

o˙znica, to istnieje granica

lim

n→∞

(a

n

− b

n

) i zachodzi wz´

or: lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n→∞

a

n

− lim

n→∞

b

n

.

A3. Je´sli istnieja



granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slony jest ich iloczyn, to istnieje granica

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) i zachodzi wz´

or: lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = lim

n→∞

a

n

· lim

n→∞

b

n

.

A4. Je´sli istnieja



granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slony jest ich iloraz, to istnieje granica

lim

n→∞

a

n

b

n

i zachodzi wz´

or lim

n→∞

a

n

b

n

=

lim

n→∞

a

n

lim

n→∞

b

n

.

×

Zanim udowodnimy to twierdzenie, sformu lujemy naste



pne.

Twierdzenie 2.9 (o szacowaniu)

N1. Je´sli C < lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c C < a

n

.

N2. Je´sli C > lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c C > a

n

.

N3. Je´sli lim

n→∞

b

n

< lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c b

n

< a

n

.

N4. Je´sli b

n

≤ a

n

dla dostatecznie du˙zych n , to zachodzi nier´

owno´s´c lim

n→∞

b

n

≤ lim

n→∞

a

n

.

×

Wniosek 2.10 (z twierdzenia o szacowaniu – jednoznaczno´

s´

c granicy)

Cia



g ma co najwy˙zej jedna



granice



.

Dow´

od.

Gdyby mia l dwie np. g

1

< g

2

, to wybra´c mogliby´smy liczbe



C le˙za



ca



mie



dzy g

1

i g

2

:

g

1

< C < g

2

. Wtedy dla dostatecznie du˙zych n by loby jednocze´snie a

n

< C (zob. N2) oraz a

n

> C

(zob. N1), co oczywi´scie nie jest mo˙zliwe.

Wniosek 2.11 (z twierdzenia o szacowaniu – ograniczono´

s´

c cia



gu o granicy sko´

nczonej)

Je´sli granica lim

n→∞

a

n

jest sko´

nczona, to istnieja



liczby rzeczywiste C, D takie, ˙ze dla wszystkich

n zachodzi nier´

owno´s´c C < a

n

< D , czyli cia



g (a

n

) jest ograniczony z do lu liczba



C za´s z g´

ory

liczba



D .

×

10

Twierdzenie 2.12 (o trzech cia



gach)

Je´sli a

n

≤ b

n

≤ c

n

dla dostatecznie du˙zych n i cia



gi (a

n

) oraz (c

n

) maja



r´

owne

granice, to cia



g

(b

n

) te˙z ma granice



i zachodzi wz´

or

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

b

n

= lim

n→∞

c

n

.

×

Definicja 2.13 (podcia



gu)

Je´sli (n

k

) jest ´sci´sle rosna



cym cia



giem liczb naturalnych, to cia



g (a

n

k

) nazywany jest podcia



giem

cia



gu (a

n

) .

Na przyk lad cia



g a

2

, a

4

a

6

, . . . , czyli cia



g (a

2k

) jest podcia



giem cia



gu (a

n

) – w tym przypadku

n

k

= 2k . Cia



g a

2

, a

3

, a

5

, a

7

, a

11

, . . . jest podcia



giem cia



gu (a

n

) – w tym przypadku n

k

jest k –ta



liczba



pierwsza



. Przyk lady mo˙zna mno˙zy´c, ale zapewne starczy powiedzie´c, ˙ze chodzi o wybranie

niesko´

nczenie wielu wyraz´

ow wyj´sciowego cia



gu bez zmiany kolejno´sci w jakiej wyste



powa ly

.

Jest jasne, ˙ze je´sli g jest granica



cia



gu, to jest r´

ownie˙z granica



ka˙zdego jego podcia



gu, wynika

to od razu z definicji granicy i definicji podcia



gu. Latwe w dowodzie jest te˙z twierdzenie pozwalaja



ce

na zbadanie sko´

nczenie wielu podcia



g´

ow danego cia



gu, w la´sciwie wybranych, i wnioskowanie istnienia

granicy z istnienia wsp´

olnej granicy wybranych podcia



g´

ow.

Twierdzenie 2.14 (o scalaniu) *

Za l´

o˙zmy, ˙ze z cia



gu (a

n

) mo˙zna wybra´c dwa podcia



gi (a

k

n

) i (a

l

n

) zbie˙zne do tej samej granicy

g , przy czym ka˙zdy wyraz cia



gu (a

n

) jest wyrazem co najmniej jednego z tych podcia



g´

ow, tzn. dla

ka˙zdego n istnieje m , takie ˙ze n = k

m

lub n = l

m

. Wtedy ta wsp´

olna granica obu tych podcia



g´

ow

jest granica



cia



gu (a

n

) :

lim

n→∞

a

n

= g .

×

Sformu lujemy teraz bardzo wa˙zne twierdzenie, kt´

ore be



dzie wielokrotnie stosowane w dowodach.

Twierdzenie 2.15 (Bolzano – Weierstrassa)

Z ka˙zdego cia



gu mo˙zna wybra´c podcia



g, kt´

ory ma granice



(sko´

nczona



lub nie).

×

Wniosek 2.16 (z twierdzenia Bolzano – Weierstrassa)

Cia



g ma granice



wtedy i tylko wtedy, gdy granice wszystkich tych jego podcia



g´

ow, kt´

ore maja



granice,

sa



r´

owne.

×

Naste



pne twierdzenie, w zasadzie ju˙z cze



´sciowo udowodnione, wykaza l A.Cauchy, jeden z tw´

orc´

ow

analizy matematycznej.

×

Twierdzenie 2.17 (Cauchy’ego)

Cia



g (a

n

) ma granice



sko´

nczona



wtedy i tylko wtedy, gdy

spe lniony jest naste



puja



cy warunek Cauchy’ego:

dla ka˙zdego ε > 0 istnieje liczba naturalna n

ε

taka, ˙ze je´sli k, l > n

ε

, to |a

k

− a

l

| < ε . ×

(wC)

*

Ta nazwa to pomys l autora, kt´

ory ma nadzieje



, ˙ze nie jest to ca lkiem g lupi termin.

11

Twierdzenie to, podobnie jak twierdzenie o istnieniu granicy cia



gu monotonicznego, pozwala

czasem stwierdzi´c istnienie granicy bez ustalania jej warto´sci, co jest bardzo wa˙zne w licznych przy-

padkach. Pozwala ono te˙z wykazywa´c nieistnienie granic – w istocie rzeczy wykazuja



c, ˙ze cia



g geome-

tryczny o ilorazie q ≤ −1 nie ma granicy, wykazywali´smy, ˙ze nie spe lnia on warunku Cauchy’ego, role



ε pe lni la tam liczba 2 .

Teraz poka˙zemy jak mo˙zna stosowa´c twierdzenia, kt´

ore sformu lowali´smy wcze´sniej. Przyk lady

2.7, 2.8, 2.9, 2.10 sa



wa˙zne, wyniki tam opisane be



da



p´

o´zniej wykorzystywane.

Przyk lad 2.4

Rozpoczniemy od przyk ladu ju˙z om´

owionego, ale teraz cia



g zbadamy inaczej. Zaj-

miemy sie



mianowicie cia



giem



2n+3
4n−1



. Udowodnili´smy poprzednio, ˙ze granica



cia



gu jest liczba

1
2

nie wyja´sniaja



c, ska



d wiedzieli´smy, ˙ze akurat ta liczba ma by´c granica



. Zauwa˙zmy, ˙ze zar´

owno licznik

jak i mianownik maja



granice, mianowicie +∞ . Jeste´smy wie



c w sytuacji niedobrej:

+∞
+∞

. W tym

przypadku mo˙zna jednak bez trudu przekszta lci´c wyra˙zenie okre´slaja



ce wyraz cia



gu:

2n+3
4n−1

=

2 +

3

n

4 −

1

n

.

Teraz mo˙zemy zastosowa´c twierdzenie o granicy sumy cia



g´

ow (A1), potem o granicy r´

o˙znicy cia



g´

ow

(A2), by stwierdzi´c, ˙ze lim

n→∞

(2+

3

n

) = 2+ lim

n→∞

3

n

= 2+0 = 2 oraz lim

n→∞

(4−

1

n

) = 4− lim

n→∞

1

n

= 4−0 = 4

– wiemy ju˙z przecie˙z, ˙ze lim

n→∞

1

n

= 0 , zatem lim

n→∞

3

n

= 3 · lim

n→∞

1

n

= 3 · 0 = 0 . Teraz mamy do czynienia

z ilorazem, kt´

orego licznik ma granice



2 , za´s mianownik – granice



4 , wie



c r´

o˙zna



od 0 , co umo˙zliwia

skorzystanie z twierdzenia o granicy ilorazu (A4). Z niego wynika od razu, ˙ze granica



jest

2
4

=

1
2

.

Oczywi´scie nic wie



cej ju˙z robi´c nie trzeba, bo twierdzenie o arytmetycznych w lasno´sciach granicy

gwarantuje zar´

owno istnienie granic, jak i odpowiednie r´

owno´sci.

Przyk lad 2.5

Rozwa˙zymy naste



pny prosty przyk lad: lim

n→∞

(n

5

− 100n

4

− 333978) . Wyka˙zemy mia-

nowicie, ze cia



g ten ma granice



+∞ . Czytelnik zechce zwr´oci´c uwage



na to, ˙ze na pewno pierwszych

100 wyraz´

ow to liczby ujemne – nie twierdzimy wcale, ˙ze tylko 100 , ale n

5

− 100n

4

= n

4

(n − 100) ≤ 0

dla n ≤ 100 , a od tej liczby odejmujemy jeszcze 333978 , wie



c te wyrazy sa



ujemne, a o znaku dalszych

nic nie m´

owimy. Zapiszmy wyraz cia



gu w postaci n

5

(1 −

100

n

−

333978

n

5

) . Oczywi´scie

lim

n→∞

n

5

= ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) = (+∞) · (+∞) · (+∞) · (+∞) · (+∞) =

= +∞

na mocy twierdzenia o granicy iloczynu (A3). Na mocy twierdzenia o granicy ilorazu (A4) stwier-

dzamy, ˙ze lim

n→∞

100

n

= 0 oraz lim

n→∞

333978

n

5

= 0 . Mo˙zemy wie



c zastosowa´c twierdzenie o granicy r´

o˙znicy

(A2) dwukrotnie, by stwierdzi´c, ˙ze lim

n→∞

1 −

100

n

−

333978

n

5

= 1 − 0 − 0 = 1 . Nasz cia



g zosta l wie



c

przedstawiony jako iloczyn dw´

och cia



g´

ow, z kt´

orych pierwszy da



˙zy do +∞ a drugi do liczby dodat-

niej, do 1 . Z definicji mno˙zenia symboli niesko´

nczonych przez liczby dodatnie i twierdzenia o granicy

iloczynu wynika, ˙ze jego granica



jest +∞ .

Oczywi´scie i w tym przypadku mo˙zna posta



pi´c nieco inaczej. Mo˙zemy napisa´c nier´

owno´s´c:

n

5

− 100n

4

− 333978 ≥ n

5

− 334078n

4

= n

4

(n − 334078)

— otrzymali´smy cia



g, kt´

ory jest iloczynem dw´

och cia



g´

ow: (n − 334078) i (n

4

) . Oba da



˙za



do +∞ ,

12

wie



c ich iloczyn da



˙zy do +∞ · +∞ = +∞ .

Przyk lad 2.6

Pokazali´smy wcze´sniej, ˙ze wyraz cia



gu geometrycznego o ilorazie z przedzia lu (−1, 1)

jest zbie˙zny do 0 . Poka˙zemy jak mo˙zna uzyska´c ten sam rezultat bez szacowa´

n stosuja



c w za-

mian twierdzenie o istnieniu granic pewnych cia



g´

ow. Za l´

o˙zmy na pocza



tek, ˙ze 0 ≤ q < 1 . Wtedy

oczywi´scie q

n+1

≤ q

n

, wie



c cia



g jest nierosna



cy, zatem ma granice



. Oznaczmy ja



symbolem g . Po-

niewa˙z wszystkie wyrazy cia



gu le˙za



w przedziale (0, 1) , wie



c granica le˙zy w przedziale [0, 1] . Jest

jasne, ˙ze je´sli granica



cia



gu jest liczba g , to ka˙zdy jego podcia



g jest te˙z zbie˙zny do g . Wobec tego

g = lim

n→∞

q

n+1

= lim

n→∞

(q · q

n

) = q · lim

n→∞

q

n

= q · g , czyli g = qg . Sta



d, poniewa˙z q 6= 1 , natychmiast

wynika, ˙ze g = 0 . Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze −1 < q < 0 . Wtedy −|q|

n

≤ q

n

≤ |q|

n

. Z ju˙z udowodnionej cze



´sci

twierdzenia i z twierdzenia o trzech cia



gach wynika, ˙ze 0 = lim

n→∞

(−|q|

n

) = lim

n→∞

q

n

= lim

n→∞

|q|

n

= 0 .

W ten sam spos´

ob mo˙zna rozwa˙zy´c przypadek q > 1 . Cia



g (q

n

) jest ´sci´sle rosna



cy, wie



c ma granice



g . Spe lniona musi by´c r´

owno´s´c g = qg , co jest mo˙zliwe jedynie wtedy, gdy g = 0 lub g = ±∞ .

Wiemy oczywi´scie, ˙ze g > 0 – granica rosna



cego

cia



gu liczb dodatnich musi by´c wie



ksza ni˙z 0 , wobec

tego g = +∞ . W przypadku q ≤ −1 cia



g nie ma granicy, bo mo˙zemy wybra´c podcia



g, kt´

ory ma

granice



g

1

≤ −1 , np. q

2n−1

= q · (q

2

)

n

oraz podcia



g, kt´

ory ma granice



g

2

≥ 1 , np. q

2n

= (q

2

)

n

,

istnienie podcia



g´

ow o r´

o˙znych granicach przeczy istnieniu granicy cia



gu, zar´

owno sko´

nczonej jak i

niesko´

nczonej.

Przyk lad 2.7

Niech a > 0 be



dzie liczba



rzeczywista



. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

n

√

a = 1 . Podobnie jak

w poprzednich przypadkach poka˙zemy dwie metody. Tym razem zaczniemy od sposobu z mniejsza



liczba



rachunk´

ow, czyli „bardziej teoretycznego”.

Za l´

o˙zmy, ˙ze a > 1 . Cia



g

n

√

a

jest w tym przypadku ´sci´sle maleja



cy, jego wyrazy sa



wie



ksze ni˙z 1 ,

wie



c ma granice



g , sko´

nczona



, kt´

ora nie mo˙ze by´c mniejsza ni˙z 1 . Ka˙zdy podcia



g tego cia



gu jest

zbie˙zny do g . Mie



dzy innymi g = lim

n→∞

2n

√

a . Skorzystamy teraz z twierdzenia o iloczynie granic:

g

2

= g · g = lim

n→∞

2n

√

a · lim

n→∞

2n

√

a = lim

n→∞

(

2n

√

a)

2

= lim

n→∞

n

√

a = g , zatem g

2

= g . Sta



d wynika, ˙ze

g = 0 < 1 lub g = 1 (ju˙z wiemy, ˙ze g nie jest r´

owne ±∞ ). Poniewa˙z pierwsza mo˙zliwo´s´c zosta la

wcze´sniej wykluczona, wie



c zostaje druga, czyli g = 1 .

Dla a = 1 teza jest prawdziwa w oczywisty spos´

ob. Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze 0 < a < 1 . Mamy lim

n→∞

n

√

a =

lim

n→∞

1

n

p1/a

=

1

lim

n→∞

n

p1/a

=

1
1

= 1 – skorzystali´smy z twierdzenia o ilorazie granic oraz z ju˙z

udowodnionej cze



´sci tezy.

Teraz udowodnimy, ˙ze lim

n→∞

n

√

a = 1 w przypadku a > 1 , za pomoca



szacowa´

n. Niech ε be



dzie

dowolna



liczba



rzeczywista



dodatnia



. Chcemy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych

n zachodzi nier´

owno´s´c |

n

√

a − 1| < ε , czyli ˙ze 1 − ε <

n

√

a < 1 + ε . Poniewa˙z a > 1 , wie



c nier´

owno´s´c

podw´

ojna sprowadza sie



do nier´

owno´sci

n

√

a < 1 + ε , czyli do nier´

owno´sci a < (1 + ε)

n

. Ta z kolei

wynika z nier´

owno´sci a < 1 + nε , bo 1 + nε < (1 + ε)

n

– nier´

owno´s´c Bernoulli’ego. Wystarczy wie



c,

by n

ε

>

a − 1

ε

. To ko´

nczy dow´

od.

13

Uwaga 2.18 (. . . ) Nie rozwia



zywali´smy nier´

owno´sci

n

√

a < 1 + ε , bo wymaga loby to zastosowania

logarytm´

ow, n >

log a

log (1 + ε)

, wskazali´smy jedynie moment, od kt´

orego nier´

owno´s´c jest prawdziwa,

nie troszcza



c sie



o to, co sie



dzieje w przypadku wcze´sniejszych n .

Uwaga 2.19 (. . . ) Zauwa˙zmy, ˙ze w definiuja



c pote



ge



o wyk ladniku rzeczywistym wykazali´smy, ˙ze

dla ka˙zdej liczby a > 1 i dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nier´

owno´s´c

2m

√

a < 1 +

a−1

2

m

. Sta



d

wynika, ˙ze je˙zeli n ≥ 2

m

, to 1 <

n

√

a ≤

2m

√

a < 1 +

a−1

2

m

. Maja



c dane ε > 0 dobieramy m ∈

tak,

˙ze 1 +

a−1

2

m

< 1 + ε , wie



c dla n > 2

m

mamy

n

√

a < 1 + ε . Oznacza to, ˙ze lim

n→∞

n

√

a = 1 .

Przyk lad 2.8

Teraz wyka˙zemy, ˙ze granica



cia



gu

n

√

n

jest liczba 1 . Zacznijmy od wypisania

kilku pierwszych wyraz´

ow cia



gu:

1

√

1 = 1 ,

√

2 ,

3

√

3 ,

4

√

4 =

√

2 , . . . . Bez trudu mo˙zna stwier-

dzi´c, ˙ze

3

√

3 >

√

2 – mo˙zna np. podnie´s´c te



nier´

owno´s´c obustronnie do pote



gi 6 . Oznacza to, ˙ze

√

2 <

3

√

3 >

4

√

4 . Wynika sta



d, ˙ze cia



g ten nie jest maleja



cy ani rosna



cy. Nie wyklucza to mono-

toniczno´sci od pewnego miejsca. Udowodnimy wie



c , ˙ze lim

n→∞

n

√

n = 1 korzystaja



c z definicji granicy

cia



gu, inny spos´

ob poka˙zemy p´

o´zniej.

Niech ε be



dzie dodatnia



liczba



dodatnia



. Poniewa˙z wszystkie wyrazy cia



gu sa



wie



ksze lub r´

owne od

1 , wie



c wystarczy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c

n

√

n < 1 + ε , czyli

n < (1 + ε)

n

. Tym razem nier´

owno´s´c Bernoulli’ ego jest niewystarczaja



ca, ale poniewa˙z ε > 0 , wie



c

dla n ≥ 2 mamy (1 + ε)

n

≥ 1 +

n

1

ε +

n

2

ε

2

>

n

2

ε

2

.Wystarczy wie



c, ˙zeby n <

n

2

ε

2

=

n(n−1)

2

ε

2

,

czyli

2

ε

2

+ 1 < n , co ko´

nczy dow´

od.

Teraz poka˙zemy jak mo˙zna uzyska´c ten wynik bez szacowa´

n. Nier´

owno´s´c

n

+1

√

n + 1 <

n

√

n jest

r´

ownowa˙zna nier´

owno´sci n >

n+1

n

n

= 1 +

1

n

n

. Ot´

o˙z wykazali´smy wcze´sniej (zob. punkt 13.),

˙ze cia



g 1 +

1

n

n

jest ograniczony. Wobec tego nier´

owno´s´c n > 1 +

1

n

n

zachodzi dla wszystkich do-

statecznie du˙zych

liczb naturalnych n – nie mamy powodu ustala´c w tej chwili, od kt´

orego momentu

jest ona prawdziwa. Wobec tego cia



g (

n

√

n) jest maleja



cy od pewnego momentu, jest te˙z ograniczony

z do lu przez liczbe



1 , a co zatem idzie zbie˙zny. Oznaczmy jego granice



przez g . Ka˙zdy podcia



g tego

cia



gu, np.

2n

√

2n jest zbie˙zny do tej samej granicy g . Wobec tego

g

2

= g·g = lim

n→∞

2n

√

2n· lim

n→∞

2n

√

2n =

lim

n→∞

2n

√

2n

2

= lim

n→∞

n

√

2 ·

n

√

n

=

= lim

n→∞

n

√

2 ·

n

√

n = 1 · g . Otrzymali´smy r´owno´s´c g

2

= g a poniewa˙z 1 ≤ g < +∞ , wie



c g = 1 , co

ko´

nczy dow´

od. Okaza lo sie



, ˙ze r´

ownie˙z w tym przypadku mo˙zna omina



´c rachunki, wymaga lo to tylko

nieco wie



cej zachodu ni˙z poprzednio, bo cia



g nie jest monotoniczny, a tylko maleja



cy od pewnego

momentu.

Przyk lad 2.9

Niech k be



dzie dowolna



liczba



ca lkowita



dodatnia



, q liczba



rzeczywista



wie



ksza



od

1 . Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

n

k

q

n

= 0 . Niech r = 1 − q . Oczywi´scie r > 0 . Za l´o˙zmy, ˙ze n > k + 1 . Mamy

wtedy q

n

= (1 + r)

n

= 1 +

n

1

r +

n

2

r

2

+

n

3

r

3

+ · · · +

n
k

r

k

+

n

k+1

r

k+1

+ · · · +

n
n

r

n

>

n

k+1

r

k+1

.

Mamy wie



c 0 <

n

k

q

n

<

n

k

(

n

k

+1

)

r

k

+1

=

n

k

(k+1)!

n(n−1)·...·(n−k)r

k

+1

=

(k+1)!

n(1−

1

n

)(1−

2

n

)·...·(1−

k
n

)r

k

+1

−−−−→

n→∞

0 , a sta



d i z

14

twierdzenia o trzech cia



gach teza wynika od razu.*

Przyk lad 2.10

Niech a

n

=

q

n

n!

i niech q oznacza dowolna



liczbe



rzeczywista



. Wyka˙zemy, ˙ze

lim

n→∞

a

n

= 0 .

Z definicji cia



gu (a

n

) wynika, ˙ze a

n

=

q·q·q·...·q

1·2·3·...·n

. Iloraz

|q|

n

maleje wraz ze wzrostem liczby n . Jest

nawet lim

n→∞

|q|

n

= 0 . Oznacza, to ˙ze je´sli n jest du˙ze, to wyraz a

n+1

jest znikomo ma la



cze



´scia



wyrazu

a

n

. Sta



d powinna wynika´c zbie˙zno´s´c cia



gu do 0 . Rzeczywi´scie, niech m ≥ 2|q| be



dzie liczba



naturalna



i niech n > m . Wtedy

0 <






q

n

n!






=

|q

m

|

m!

·

|q|

m + 1

·

|q|

m + 2

· . . . ·

|q|

n

<

|q

m

|

m!

·

 1

2



n−m

.

Ostatnie wyra˙zenie da



˙zy do 0 , bo jest to wyraz cia



gu geometrycznego o ilorazie

1
2

. Stosujemy twier-

dzenie o trzech cia



gach. Z niego wynika, ˙ze lim

n→∞





q

n

n!



 = 0 .

Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Przyk lad 2.11

lim

n→∞

n!

n

n

= 0 . Wynika to sta



d, ˙ze 0 <

n!

n

n

=

1

n

·

2

n

· . . . ·

n
n

≤

1

n

i tego, ˙ze lim

n→∞

1

n

= 0 .

Dow´

od zosta l zako´

nczony.

.

Przyk lad 2.12

Je˙zeli k > 1 jest liczba



naturalna



, x

1

, x

2

, . . . sa



liczbami nieujemnymi i

lim

n→∞

x

n

= g , to lim

n→∞

k

√

x

n

=

k

√

g . Je´sli bowiem

k

√

x

ln

jest podcia



giem zbie˙znym do granicy x

cia



gu

k

√

x

n

, to na mocy twierdzenia o granicy iloczynu cia



g´

ow zachodzi x

k

=



lim

n→∞

k

√

x

ln



k

=

lim

n→∞

x

ln

= g . Poniewa˙z x ≥ 0 , jako granica cia



gu liczb nieujemnych, wie



c x =

k

√

g . Wykazali´smy

wie



c, ˙ze wszystkie te podcia



gi cia



gu

k

√

x

n

, kt´ore maja



granice, sa



zbie˙zne do

k

√

g . Z wniosku z

twierdzenia Bolzano – Weierstrassa wynika, ˙ze granica



cia



gu

k

√

x

n

jest

k

√

g . To twierdzenie z la-

two´scia



mo˙zna rozszerzy´c na przypadek cia



gu liczb ujemnych i pierwiastka stopnia nieparzystego.

Inny dow´

od mo˙zna poda´c korzystaja



c z latwej nier´

owno´sci




k

√

x −

k

√

y




≤

k

p|x − y|

Przyk lad 2.13

Teraz kilka s l´

ow wyja´sniaja



cych dlaczego pewne dzia lania z u˙zyciem symboli nie-

sko´

nczonych sa



zdefiniowane, a inne — nie. Wypiszmy kilka r´

owno´sci latwych do dowodu:

lim

n→∞

n − (n −

1

n

)

= lim

n→∞

1

n

= 0 , co sugeruje, ˙ze powinni´smy definiowa´c +∞ − (+∞) = 0 ;

lim

n→∞

(n − (n − 1)) = lim

n→∞

1 = 1 , co sugeruje, ˙ze powinni´smy definiowa´c +∞ − (+∞) = 1 ;

lim

n→∞

n − (n −

n

2

)

= lim

n→∞

n

2

= +∞ , zatem powinno by´c +∞ − (+∞) = +∞ ;

lim

n→∞

(n − (2n)) = lim

n→∞

(−n) = −∞ , co sugeruje, ˙ze powinni´smy definiowa´c +∞ − (+∞) = −∞ .

Okazuje sie



wie



c, ˙ze z tego, ˙ze dwa cia



gi da



˙za



do +∞ , nic nie wynika na temat warto´sci granicy ich

r´

o˙znicy. Przyja



wszy a

n

= n i b

n

= n + (−1)

n

przekonujemy sie



z latwo´scia



, ˙ze mo˙ze sie



te˙z zdarzy´c,

˙ze lim

n→∞

a

n

= +∞ , lim

n→∞

b

n

= +∞ , natomiast r´o˙znica (a

n

− b

n

) cia



g´

ow (a

n

) i (b

n

) granicy w og´

ole

nie ma, w tym przypadku jest ona cia



giem geometrycznym o ilorazie −1 . Innymi s lowy na podstawie

tego, ˙ze dwa cia



gi maja



granice



+∞ , nic o istnieniu granicy ich r´o˙znicy lub jej warto´sci w przypadku,

*

W pierwszej po lowie XIX w. angielski ekonomista Th.R.Malthus twierdzi l, ˙ze liczba ludno´

sci wzrasta jak cia



g geo-

metryczny, za´

s ilo´

s´

c ˙zywno´

sci jak cia



g arytmetyczny, tzw. prawo Malthusa. Wynika loby sta



d i z tego, co w la´

snie

wykazali´

smy , ˙ze ilo´

s´

c ˙zywno´

sci przypadaja



ca na jedna



osobe



maleje w czasie i to do 0 , co prawda w bardzo d lugim,

bo w przypadku liczby ludno´

sci q≈1 , ale to i tak nie wygla



da lo dobrze.

15

gdy granica istnieje, powiedzie´c nie mo˙zna! To samo dotyczy innych symboli nieoznaczonych np.

0
0

,

±∞

±∞

, 1

±∞

, 0

0

. . . Zache



camy czytelnika do samodzielnego wymy´slenia odpowiednich przyk lad´

ow w

celu lepszego zrozumienia tych kwestii.

Uwaga 2.20 (o cie



˙zkim ˙zyciu studenta) Wielu student´

ow miewa lo w przesz lo´sci – przysz lo´s´c

nie jest autorowi znana – k lopoty z symbolami nieoznaczonymi; wg. autora samodzielne wymy´slenie

kilku przyk lad´

ow ilustruja



cych niemo˙zno´s´c rozszerzenia definicji dzia la´

n z u˙zyciem niesko´

nczono´sci to

jedna z najpewniejszych dr´

og uniknie



cia tego rodzaju trudno´sci.

Ostatnia rzecz, o kt´

orej wspomnie´c wypada przed przej´sciem do dowod´

ow, to twierdzenie o prze-

noszeniu sie



nier´

owno´sci na granice



(N4). Ot´

o˙z mo˙zna by pomy´sle´c, ˙ze je´sli dla wszystkich dostatecznie

du˙zych liczb naturalnych n zachodzi ostra nier´

owno´s´c b

n

< a

n

, to r´

ownie˙z w granicy nier´

owno´s´c jest

ostra. Tak mo˙ze by´c, ale nie musi. ´

Swiadczy´c mo˙ze o tym naste



puja



cy przyk lad: a

n

=

1

2n

, b

n

=

1

n

– wobec tego a

n

< b

n

dla n = 1, 2, 3, . . . i jednocze´snie lim

n→∞

a

n

= 0 = lim

n→∞

b

n

.

Opuszczone dowody

Przejdziemy teraz do dowod´

ow twierdze´

n sformu lowanych na pocza



tku tego rozdzia lu. Zaczniemy od

nier´

owno´sci. Zache



camy student´

ow do przejrzenia przynajmniej cze



´sci dowod´

ow i do lo˙zenia stara´

n

w celu zrozumienia wnioskowania. Wnioskowanie to jedna z najwa˙zniejszych rzeczy w matematyce.

Rozpowszechniany pogla



d, ˙ze jest to potrzebne tylko matematykom jest tylko w pewnym sensie praw-

dziwy. Bez zapoznania sie



z metodami stosowanymi w matematyce nie spos´

ob zapewne zrozumie´c

sformu lowa´

n wielu twierdze´

n i wobec tego trudno je stosowa´c, na pewno grozi to b le



dami i zmusza

student´

ow do zbe



dnego zapamie



tywania jakich´s szczeg´

o l´

ow, kt´

ore z punktu widzenia os´

ob, kt´

ore zro-

zumia ly podstawowe kwestie sa



po prostu oczywiste i w og´

ole o nich nie warto wspomina´c. Poza tym

cze



´s´c dowod´

ow m´

owi o tym, jak nale˙zy poste



powa´c w r´

o˙znych sytuacjach: dow´

od twierdzenia o gra-

nicy iloczynu lub ilorazu cia



g´

ow to po prostu opis podstawowej (i najprostszej) metody szacowania

iloczynu lub ilorazu.

Dow´

od twierdzenia o szacowaniu

Zaczniemy od N1. Przypomnijmy, ˙ze liczba C jest mniejsza

od granicy cia



gu (a

n

) . Mamy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c C < a

n

.

Za l´

o˙zmy najpierw, ˙ze granica lim

n→∞

a

n

jest niesko´

nczona. Poniewa˙z granica ta jest wie



ksza od liczby

rzeczywistej C , wie



c lim

n→∞

a

n

= +∞ (bo −∞ < C ). Z definicji od razu wynika, ˙ze dla ka˙zdej liczby

rzeczywistej M , pocza



wszy od pewnego momentu, zachodzi nier´

owno´s´c a

n

> M – wystarczy wie



c

przyja



´c M = C , by przekona´c sie



, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c C < a

n

.

Przejd´zmy do naste



pnego przypadku: granica lim

n→∞

a

n

jest sko´

nczona. Przyjmijmy ε = lim

n→∞

a

n

− C .

Z definicji od razu wynika, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c |a

n

− lim

n→∞

a

n

| < ε ,

wie



c a

n

> lim

n→∞

a

n

− ε = C .

W taki sam spos´

ob udowodni´c mo˙zna N2 – trzeba jedynie zmieni´c kierunki niekt´

orych nier´

owno´sci

i zasta



pi´c +∞ przez −∞ .

16

Teraz za l´

o˙zmy, ˙ze lim

n→∞

b

n

< lim

n→∞

a

n

. Niezale˙znie od tego, czy granice sa



sko´

nczone czy nie,

istnieje liczba C taka, ˙ze lim

n→∞

b

n

< C < lim

n→∞

a

n

. Na mocy ju˙z udowodnionej cze



´sci twierdzenia dla

dostatecznie du˙zych n zachodza



nier´

owno´sci b

n

< C oraz C < a

n

. Z nich wynika od razu, ˙ze dla

dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n mamy b

n

< a

n

, co ko´

nczy dow´

od cze



´sci N3.

Za l´

o˙zmy, ˙ze od pewnego momentu zachodzi nier´

owno´s´c b

n

≤ a

n

, chcemy natomiast wykaza´c, ˙ze

lim

n→∞

b

n

≤ lim

n→∞

a

n

. Je´sli tak nie jest, to lim

n→∞

b

n

> lim

n→∞

a

n

. Sta



d jednak wynika, ˙ze dla dostatecznie

du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´

owno´s´c b

n

> a

n

sprzeczna z za lo˙zeniem. Dow´

od twierdzenia

o szacowaniu zosta l zako´

nczony.

Z udowodnionego w la´snie twierdzenia ju˙z wcze´sniej wywnioskowali´smy, ˙ze je´sli cia



g ma granice



,

to tylko jedna



.

Teraz udowodnimy, ˙ze cia



g zbie˙zny do granicy sko´

nczonej jest ograniczony zar´

owno z g´

ory jak i z

do lu. Niech c, d be



da



takimi liczbami rzeczywistymi, ˙ze c < lim

n→∞

a

n

< d . Z twierdzenia o szacowaniu

wynika, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n , powiedzmy wie



kszych od odpowiednio dobra-

nej liczby m , zachodzi nier´

owno´s´c c < a

n

< d . Wystarczy teraz przyja



´c, ˙ze C jest najmniejsza



z liczb

a

0

, a

1

, . . . , a

m

, c , by dla wszystkich liczb naturalnych n by lo C ≤ a

n

. Analogicznie przyjmujemy,

˙ze D jest najwie



ksza



z liczb a

0

, a

1

, . . . , a

m

, d – wtedy a

n

≤ D dla wszystkich liczb naturalnych

n . Dow´

od tego wniosku zosta l zako´

nczony.

Uwaga 2.21 (. . . ) Ten dow´

od jest bardzo prosty. Prosze



jednak zwr´

oci´c uwage



na to, ˙ze spo´sr´

od

sko´

nczenie wielu liczb mo˙zna zawsze wybra´

c najmniejsza



a spo´sr´

od niesko´

nczenie wielu niekoniecznie,

np. w´sr´

od liczb 1,

1
2

,

1
3

, . . . najmniejszej nie ma!

Uwaga 2.22 (o zbie˙zno´

sci cia



gu przeciwnego)

Zauwa˙zmy teraz, ˙ze cia



g (c

n

) ma granice



wtedy i tylko wtedy, gdy cia



g (−c

n

) ma granice



, niezale˙znie

od tego, czy granica ta jest sko´

nczona, czy niesko´

nczona oraz ˙ze zachodzi wtedy r´

owno´s´c

lim

n→∞

(−c

n

) = − lim

n→∞

c

n

.

Ta bardzo prosta uwaga wielokrotnie pozwoli nam na zmniejszenie liczby przypadk´

ow rozwa˙za-

nych w dowodach.

Teraz zajmiemy sie



twierdzeniem o arytmetycznych w lasno´sciach granicy cia



gu. Udowodnimy, ˙ze

suma granic dw´

och cia



g´

ow jest granica



sumy tych cia



g´

ow. Za l´

o˙zmy, ˙ze g

a

= lim

n→∞

a

n

i g

b

= lim

n→∞

b

n

.

Nale˙zy rozwa˙zy´c trzy przypadki: g

a

, g

b

sa



liczbami rzeczywistymi, g

a

jest liczba



rzeczywista



za´s g

b

jest symbolem niesko´

nczonym, g

a

, g

b

sa



symbolami niesko´

nczonymi tego samego znaku.

Rozpoczniemy od granic sko´

nczonych, przypadku znanego z nauki w szkole. Niech ε be



dzie

dodatnia



liczba



rzeczywista



i niech n

0

ε

be



dzie taka



liczba



naturalna



, ˙ze dla n > n

0

ε

zachodzi nier´

owno´s´c

|a

n

− g

a

| <

ε
2

. Niech |b

n

− g

b

| <

ε
2

dla n > n

00

ε

, gdzie n

ε

jest odpowiednio dobrana



liczba



naturalna



.

Wtedy dla n > n

ε

:= max(n

0

ε

, n

00

ε

) zachodza



obydwie nier´

owno´sci, zatem

|a

n

+ b

n

− (g

a

+ g

b

)| ≤ |a

n

− g

a

| + |b

n

− g

b

| <

ε
2

+

ε
2

= ε.

Znaczy to, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n ( n > n

ε

) r´

o˙znica (a

n

+ b

n

) − (g

a

+ g

b

)

17

ma warto´s´c bezwzgle



dna



mniejsza



ni˙z ε , wie



c lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = g

a

+ g

b

. Dow´

od twierdzenia o granicy

sumy cia



g´

ow w tym przypadku zosta l zako´

nczony.

Zajmiemy sie



teraz naste



pnym przypadkiem: niech liczba g be



dzie granica



cia



gu (a

n

) , czyli

g = lim

n→∞

a

n

i niech +∞ = lim

n→∞

b

n

. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = +∞ . Niech M be



dzie dowolna



liczba



rzeczywista



. Istnieje liczba naturalna n

00

M −g+1

taka, ˙ze dla n > n

00

M −g+1

zachodzi nier´

owno´s´c

b

n

> M −g +1 . Istnieje te˙z liczba naturalna n

0

1

taka, ˙ze dla n > n

0

1

zachodzi nier´

owno´s´c |a

n

−g| < 1 .

Niech n

M

be



dzie wie



ksza



z liczb n

00

M −g+1

i n

0

1

. Dla n > n

M

obie nier´

owno´sci zachodza



, wie



c

a

n

+ b

n

= b

n

+ g + (a

n

− g) ≥ b

n

+ g − |a

n

− g| > (M − g + 1) + g − 1 = M .

Wykazali´smy , ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´

owno´s´c a

n

+ b

n

> M ,

wie



c lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = +∞ . Dow´od zosta l zako´nczony.

Je´sli wie



c cia



g (a

n

) ma granice



sko´

nczona



i lim

n→∞

b

n

= −∞ , to na mocy poprzednio wykazanej

cze



´sci twierdzenia o granicy sumy cia



g −a

n

+(−b

n

)

ma granice



i zachodzi r´

owno´s´c lim

n→∞

(−a

n

−b

n

) =

− lim

n→∞

a

n

+ lim

n→∞

(−b

n

) = +∞ , co w ´swietle uwagi poprzedzaja



cej to zdanie oznacza, ˙ze granica

lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) istnieje i jest r´

owna −∞ . Dow´od zosta l zako´nczony.

Zosta l jeszcze jeden przypadek – obie granice sa



r´

owne +∞ lub obie sa



r´

owne −∞ . Korzystaja



c

z uwagi o zbie˙zno´sci cia



gu przeciwnego stwierdzamy, ˙ze dow´

od przeprowadzi´c wystarczy zak ladaja



c,

˙ze lim

n→∞

a

n

= +∞ = lim

n→∞

b

n

. Je´sli M jest dowolna



liczba



rzeczywista



, to istnieja



liczby naturalne

n

0

M/2

oraz n

00

M/2

, takie ˙ze je´sli n > n

0

M/2

, to a

n

>

M

2

, za´s je´sli n > n

00

M/2

, to b

n

>

M

2

. Przyjmijmy,

˙ze n

M

jest wie



ksza



z liczb n > n

0

M/2

, n > n

00

M/2

. Wtedy zachodza



obie nier´

owno´sci i wobec tego

a

n

+ b

n

>

M

2

+

M

2

= M , wie



c dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´

owno´s´c

a

n

+ b

n

> M , a to oznacza, ˙ze lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = +∞ Dow´od zosta l zako´nczony.

Z uwagi o zbie˙zno´sci cia



gu przeciwnego i twierdzenia o granicy sumy (A1) wynika od razu twier-

dzenie o granicy r´

o˙znicy (A2).

Zajmiemy sie



teraz iloczynem. Podobnie jak poprzednio jest wiele przypadk´

ow, kt´

orych liczbe



mo˙zna zredukowa´c stosuja



c uwage



o zbie˙zno´sci cia



gu przeciwnego do naste



puja



cych: obie granice sa



sko´

nczone, obie granice sa



r´

owne +∞ , jedna granica jest dodatnia



liczba



rzeczywista



a druga jest

niesko´

nczona, np. +∞ .

Rozpoczniemy od rozpatrzenia granicy iloczynu dw´

och cia



g´

ow, kt´

orych granice sa



sko´

nczone.

Z twierdzenia o szacowaniu wynika, ˙ze ka˙zdy z tych cia



g´

ow jest ograniczony, wie



c istnieje liczba

K

0

> 0 taka, ˙ze |a

n

| ≤ K

0

i istnieje te˙z liczba K

00

taka, ˙ze |b

n

| < K

00

dla ka˙zdej liczby naturalnej

n . Przyjmuja



c, ˙ze K to wie



ksza z liczb K

0

, K

00

znajdujemy liczbe



, kt´

orej nie przekracza warto´s´c

bezwzgle



dna ˙zadnego wyrazu kt´

oregokolwiek z dw´

och rozpatrywanych cia



g´

ow: |a

n

|, |b

n

| ≤ K . Niech

g

a

= lim

n→∞

a

n

, g

b

= lim

n→∞

b

n

. Z twierdzenia o szacowaniu wnioskujemy, ˙ze r´

ownie˙z |g

a

|, |g

b

| ≤ K .

Niech ε oznacza dowolna



liczbe



dodatnia



. Istnieje wtedy liczba naturalna n

ε

, taka ˙ze je´sli n > n

ε

,

to |a

n

− g

a

| <

ε

2K

i jednocze´snie |b

n

− g

b

| <

ε

2K

. Wtedy

|a

n

b

n

− g

a

g

b

| = |(a

n

− g

a

)b

n

+ g

a

(b

n

− g

b

)| ≤ |a

n

− g

a

| · |b

n

| + |g

a

| · |b

n

− g

b

| <

ε

2K

· K + K ·

ε

2K

= ε.

18

Udowodnili´smy wie



c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n odleg lo´s´c liczby a

n

b

n

od liczby g

a

g

b

jest mniejsza

ni˙z ε , co oznacza, ˙ze g

a

g

b

= lim

n→∞

a

n

· lim

n→∞

b

n

, a to w la´snie by lo naszym celem.

Teraz zajmiemy sie



granica



iloczynu cia



g´

ow, z kt´

orych jeden ma granice



sko´

nczona



i dodatnia



, a

granica



drugiego jest +∞ . Niech g

a

= lim

n→∞

a

n

be



dzie liczba



dodatnia



i niech +∞ = lim

n→∞

b

n

. Niech

M be



dzie dowolna



liczba



rzeczywista



. Z twierdzenia o szacowaniu wynika, ˙ze istnieje liczba naturalna

n

M

taka, ˙ze je´sli n > n

M

, to a

n

>

1
2

g

a

> 0 i b

n

>

2|M|

g

a

> 0 . Wtedy a

n

b

n

>

1
2

g

a

2|M|

g

a

= |M| ≥ M .

Dow´

od w tym przypadku zosta l zako´

nczony. Rozpatrzymy teraz iloczyn cia



g´

ow (a

n

) i (b

n

) przy

za lo˙zeniu, ˙ze lim

n→∞

a

n

= +∞ = lim

n→∞

b

n

. Je´sli M jest dowolna



liczba



rzeczywista



, to istnieje liczba

naturalna n

M

, taka ˙ze dla n > n

M

zachodza



nier´

owno´sci a

n

> 1 + |M| i b

M

> 1 + |M| . Wtedy

dla n > n

M

mamy a

n

b

n

> (1 + |M|)

2

> 2 · |M| ≥ |M| ≥ M , co dowodzi r´owno´sci +∞ = lim

n→∞

a

n

b

n

.

Twierdzenie o granicy iloczynu cia



g´

ow zosta lo w ten spos´

ob udowodnione.

Pozosta la ostatnia cze



´s´c – twierdzenie o granicy ilorazu. Zn´

ow zaczniemy od granic sko´

nczonych.

Niech g

a

= lim

n→∞

a

n

i niech 0 6= g

b

= lim

n→∞

b

n

. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

a

n

b

n

=

g

a

g

b

. Niech ε be



dzie dowolna



liczba



dodatnia



. Z poczynionych za lo˙ze´

n wynika, ˙ze istnieje liczba naturalna n

ε

, taka ˙ze je´sli n > n

ε

,

to |b

n

| >

|g

b

|

2

, |a

n

− g

a

| <

ε·|g

b

|

4

, |b

n

− g

b

| <

ε·|g

b

|

2

4(|g

a

|+1)

.* Dla n > n

ε

mamy wie



c






a

n

b

n

−

g

a

g

b






=

|a

n

g

b

− g

a

b

n

|

|g

b

b

n

|

≤

|a

n

g

b

− g

a

g

b

| + |g

a

g

b

− g

a

b

n

|

|g

b

|

2

/2

=

2

|g

b

|

|a

n

− g

a

| +

2|g

a

|

|g

b

|

2

|g

b

− b

n

| < ε.

Twierdzenie zosta lo udowodnione w przypadku granic sko´

nczonych. Je´sli lim

n→∞

a

n

= +∞ a cia



g (b

n

)

ma granice



sko´

nczona



i r´

o˙zna



od 0 , to cia



g



1

b

n



ma granice



sko´

nczona



i r´

o˙zna



od 0 – wynika to z

ju˙z udowodnionej cze



´sci twierdzenia o granicy ilorazu. W tym przypadku mo˙zna zastosowa´c twierdze-

nie o granicy iloczynu cia



g´

ow: lim

n→∞

a

n

b

n

= lim

n→∞



a

n

·

1

b

n



= lim

n→∞

a

n

· lim

n→∞

1

b

n

= +∞ · lim

n→∞

1

b

n

. Ten

ostatni iloczyn jest oczywi´scie dobrze okre´slony.

Zosta l jeszcze jeden przypadek: granica cia



gu (a

n

) jest sko´

nczona a granica cia



gu (b

n

) jest nie-

sko´

nczona. W tym przypadku cia



g (a

n

) jest ograniczony, tzn. istnieje liczba K > 0 , taka ˙ze dla

ka˙zdego n zachodzi nier´

owno´s´c |a

n

| < K . Je´sli ε > 0 , to istnieje liczba naturalna n

ε

, taka ˙ze je´sli

n > n

ε

, to |b

n

| >

K

ε

. Wtedy





a

n

b

n



 < K ·

ε

K

= ε . Wykazali´smy wie



c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n

iloraz

a

n

b

n

ma warto´s´c bezwzgle



dna



mniejsza



ni˙z ε , a to oznacza, ˙ze lim

n→∞

a

n

b

n

= 0 . Dow´

od zosta l

zako´

nczony.

Uwaga 2.23 (o ilorazie z ograniczonym licznikiem)

Z dowodu twierdzenia o granicy ilorazu wynika natychmiast, ˙ze je´sli cia



g (a

n

) jest ograniczony i

lim

n→∞

|b

n

| = +∞ , to lim

n→∞

a

n

b

n

= 0 – nie zak lada sie



tu, ˙ze cia



g (b

n

) w og´

ole ma granice



, starczy

za lo˙zy´c, ˙ze cia



g jego warto´sci bezwzgle



dnych ma granice



niesko´

nczona



, o cia



gu (a

n

) te˙z nie trzeba

zak lada´c, ˙ze jest zbie˙zny – wystarcza ograniczono´s´c.

Teraz zajmiemy sie



twierdzeniem o trzech cia



gach. Wiemy, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi

nier´

owno´s´c podw´

ojna a

n

≤ b

n

≤ c

n

oraz ˙ze cia



gi a

n

i c

n

maja



wsp´

olna



granice



g . Mamy dowie´s´c, ˙ze

*

Nie za lo˙zyli´

smy, ˙ze g

a

6=0 , wie



c w mianowniku umie´

scili´

smy |g

a

|+1 , by na pewno mianownik by l r´o˙zny od 0 .

19

ta wsp´

olna granice jest r´

ownie˙z granica



cia



gu (b

n

) . Za l´

o˙zmy najpierw, ˙ze granica g jest sko´

nczona.

Niech ε > 0 be



dzie dowolna



liczba



. Istnieje taka liczba naturalna n

ε

, ˙ze |a

n

− g| < ε i |c

n

− g| < ε

dla n > n

ε

. Wynika sta



d, ˙ze g − ε < a

n

≤ b

n

≤ c

n

< g + ε , zatem |b

n

− g| < ε . Udowodnili´smy wie



c,

˙ze g = lim

n→∞

b

n

. Teraz mo˙zemy sie



zaja



´c przypadkiem granicy niesko´

nczonej. Jak zwykle wystarczy

zaja



´c sie



jedna



z dwu niesko´

nczono´sci, tym razem dla odmiany g = −∞ . Niech M be



dzie liczba



rzeczywista



. Poniewa˙z lim

n→∞

c

n

= −∞ , wie



c istnieje liczba naturalna n

M

, taka ˙ze dla n > n

M

zachodzi nier´

owno´s´c b

n

≤ c

n

< M , wie



c w szczeg´

olno´sci b

n

< M . Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 2.24 (o trzech cia



gach w przypadku granic niesko´

nczonych) Z dowodu wynika, ˙ze w

przypadku granicy niesko´

nczonej, np. r´

ownej −∞ , u˙zycie jednego z dw´och zewne



trznych cia



g´

ow, w

tym przypadku cia



gu (a

n

) , jest zbe



dne. Prawdziwe jest wie



c twierdzenie: je´sli dla dostatecznie du˙zych

n zachodzi nier´

owno´

s´

c

b

n

≤ c

n

i cia



g

(c

n

) ma granice



−∞ , to r´ownie˙z cia



g

(b

n

) ma granice



−∞

i – analogicznie – je´

sli dla dostatecznie du˙zych

n zachodzi nier´

owno´

s´

c

a

n

≤ b

n

i granica



cia



gu

(a

n

)

jest

+∞ , to r´ownie˙z +∞ = lim

n→∞

b

n

.

Dow´

od twierdzenia o scalaniu. Ten dow´

od jest bardzo prosty. Za l´

o˙zmy, ˙ze granica g jest sko´

n-

czona i niech ε > 0 . Istnieja



liczby n

0

ε

i n

00

ε

, takie ˙ze dla n > n

0

ε

zachodzi nier´

owno´s´c |a

kn

− g| < ε ,

dla n > n

00

ε

zachodzi nier´

owno´s´c |a

ln

− g| < ε . Poniewa˙z k

n

→ ∞ i l

n

→

∞

, wie



c istnieje n

ε

, takie ˙ze

je´sli n > n

ε

i m jest tak dobrane, ˙ze a

n

= a

km

lub a

n

= a

lm

, to m > n

0

ε

oraz m > n

00

ε

i wobec tego

|a

n

− g| < ε . To oznacza, ˙ze g = lim

n→∞

a

n

. Nieznaczne modyfikacje tego rozumowania dadza



dow´

od w

przypadku granicy niesko´

nczonej.

Dow´

od twierdzenia Bolzano – Weierstrassa. Je´sli cia



g (a

n

) nie jest ograniczony z g´

ory, to

mo˙zna z niego wybra´c podcia



g ´sci´sle rosna



cy: niech n

1

= 1 ; poniewa˙z cia



g jest nieograniczony z g´

ory,

wie



c w´sr´

od wyraz´

ow naste



puja



cych po a

n

1

sa



wie



ksze od a

n

1

; niech n

2

be



dzie numerem jednego z

nich – mamy wie



c n

2

> n

1

oraz a

n

2

> a

n

1

; poniewa˙z cia



g (a

n

) jest nieograniczony z g´

ory, wie



c w´sr´

od

wyraz´

ow, kt´

ore naste



puja



po a

n

2

jest wyraz wie



kszy ni˙z a

n

2

, wybierzmy jeden z nich i przyjmijmy,

˙ze n

3

jest jego numerem; mamy wie



c n

3

> n

2

oraz a

n

3

> a

n

2

; proces ten mo˙zna kontynuowa´c

nieograniczenie. Ca lkowicie analogicznie poste



pujemy w przypadku cia



gu nieograniczonego z do lu z

tym, ˙ze teraz wybieramy podcia



g ´sci´sle maleja



cy. Cia



g monotoniczny ma, jak wiemy, granice



. Pozosta l

do rozpatrzenia przypadek cia



gu ograniczonego (z g´

ory i z do lu).

Niech c, d be



da



takimi liczbami rzeczywistymi, ˙ze dla ka˙zdego liczby naturalnej n zachodzi nier´

ow-

no´s´c c ≤ a

n

≤ d , c jest ograniczeniem dolnym cia



gu (a

n

) a d – g´

ornym. Bez straty og´

olno´sci

rozwa˙za´

n mo˙zna przyja



´c, ˙ze cia



g (a

n

) nie zawiera podcia



gu sta lego – je´sli zawiera, to ten w la´snie

podcia



g jest zbie˙zny. Dalej zak ladamy, ˙ze (a

n

) nie zawiera podcia



gu sta lego, wie



c ˙ze ka˙zda liczba

mo˙ze wysta



pi´c jako wyraz cia



gu jedynie sko´

nczenie wiele razy. Zreszta



to za lo˙zenie nie jest istotne dla

rozumowania przeprowadzanego poni˙zej, jednak pozwala unikna



´c pyta´

n o szczeg´

o lowa



interpretacje



u˙zywanych sformu lowa´

n. Niech n

1

= 1 , c

1

= c , d

1

= d . Jedna z po l´

owek przedzia lu [c, d] (lub

obie) zawiera niesko´

nczenie wiele wyraz´

ow cia



gu a

n

, niech [c

2

, d

2

] be



dzie ta



w la´snie po l´

owka



(je´sli

np. w przedziale

c,

c+d

2



jest niesko´

nczenie wiele wyraz´

ow cia



gu (a

n

) , to przyjmujemy c

2

= c

1

= c

20

i d

2

=

c+d

2

, je´sli w przedziale

c,

c+d

2



jest sko´

nczenie wiele wyraz´

ow cia



gu (a

n

) , to w przedziale



c+d

2

, d



musi by´c ich niesko´

nczenie wiele, w tym przypadku przyjmujemy c

2

=

c+d

2

i d

2

= d

1

= d ) i

niech n

2

> n

1

be



dzie takim numerem, ˙ze a

n

2

∈ [c

2

, d

2

] . Powtarzamy przeprowadzone rozumowanie w

odniesieniu do przedzia lu [c

2

, d

2

] i wyraz´

ow cia



gu naste



puja



cych po a

n

2

. W wyniku tego otrzymujemy

liczbe



naturalna



n

3

> n

2

oraz liczby rzeczywiste c

3

, d

3

takie, ˙ze c

3

≤ a

n

3

≤ d

3

. Dla j = 1, 2, 3

mamy wobec tego c

j

≤ a

n

j

≤ d

j

i d

j

− c

j

=

d−c

2

j

oraz c

1

≤ c

2

≤ c

3

i d

1

≥ d

2

≥ d

3

. Kontynuuja



c to

poste



powanie otrzymujemy niemaleja



cy cia



g (c

j

) oraz nierosna



cy cia



g (d

j

) , przy czym d

j

−c

j

=

d−c

2

j

.

Cia



gi te maja



granice, bo sa



monotoniczne. Granice te sa



r´

owne, bo lim

n→∞

(d

j

−c

j

) = lim

n→∞

1

2

j

·(d−c) = 0 .

Poniewa˙z c

j

≤ a

n

j

≤ d

j

dla ka˙zdej liczby naturalnej j , wie



c – na mocy twierdzenia o trzech cia



gach

– cia



g (a

n

j

) te˙z ma te



sama



granice



. Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Dow´

od wniosku z twierdzenia Bolzano – Weierstrassa

Udowodnimy teraz, ˙ze z cia



gu (a

n

) ,

kt´

ory nie ma granicy mo˙zna wybra´c dwa podcia



gi maja



ce r´

o˙zne granice. Za l´

o˙zmy,˙ze cia



g (a

n

) zawiera

podcia



g o granicy +∞ . Poniewa˙z +∞ nie jest granica



cia



gu (a

n

) , wie



c istnieje liczba rzeczywista

B , taka ˙ze dla niesko´

nczenie wielu n zachodzi nier´

owno´s´c a

n

< B . Niech a

kn

oznacza podcia



g

cia



gu (a

n

) z lo˙zony z tych wszystkich wyraz´

ow cia



gu a

n

, kt´

ore sa



mniejsze ni˙z B . Na mocy twier-

dzenia Bolzano–Weierstrassa mo˙zna z cia



gu (a

kn

) wybra´c podcia



g kt´

ory ma granice



g . Oczywi´scie

g ≤ B . Wobec tego w tym przypadku istnieja



dwa podcia



gi: jeden o granicy +∞ , drugi o granicy

g ≤ B < +∞ , co ko´nczy dow´od w tym przypadku. Je´sli cia



g (a

n

) zawiera podcia



g o granicy −∞ ,

to teza wynika z poprzednio udowodnionego fragmentu: cia



g (−a

n

) zawiera dwa podcia



gi o r´

o˙znych

granicach. Pozosta l do rozpatrzenia przypadek cia



gu (a

n

) , kt´

ory nie zawiera podcia



g´

ow o granicach

niesko´

nczonych. Poniewa˙z cia



g (a

n

) nie zawiera podcia



gu o granicy +∞ , wie



c jest ograniczony z

g´

ory, a poniewa˙z nie zawiera podcia



g´

ow zbie˙znych do −∞ , wie



c jest ograniczony r´

ownie˙z z do lu.

Mamy wie



c do czynienia z cia



giem ograniczonym. Mo˙zna ze´

n wybra´c podcia



g zbie˙zny do granicy g .

Poniewa˙z g nie jest granica



cia



gu (a

n

) , wie



c istnieje ε > 0 , takie ˙ze poza przedzia lem (g − ε, g + ε)

znajduje sie



niesko´

nczenie wiele wyraz´

ow cia



gu. Wybieramy z tych w la´snie wyraz´

ow podcia



g zbie˙zny.

Ma on oczywi´scie granice



6= g , dok ladniej odleg lo´s´c mie



dzy granicami tych podcia



g´

ow nie mo˙ze by´c

mniejsza ni˙z ε . Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 2.25 (o odleg lo´

sci do ±∞ ) Z punktu widzenia zbie˙zno´sci wyr´o˙znianie granic niesko´n-

czonych jest nieco sztuczne, zwia



zane g l´

ownie z tym, ˙ze nie wprowadzili´smy poje



cia odleg lo´sci od

±∞ . To mo˙zna zrobi´c i to w ten spos´ob, by cia



g zbie˙zny wg. definicji podanych przez nas poprzed-

nio do pewnej granicy, by l takim cia



giem, ˙ze odleg lo´s´c jego wyrazu od granicy da



˙zy do 0 . Niech

f (x) =

x

√

1+x

2

dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x oraz f (+∞) = 1 i f(−∞) = −1 . Mo˙zna bez trudu

wykaza´c, ˙ze lim

n→∞

x

n

= g wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

f (x

n

) = f (g) , a to ma miejsce wtedy i tylko

wtedy, gdy lim

n→∞

|f(x

n

)−f(g)| = 0 . Wida´c wie



c, ˙ze po przyje



ciu, ˙ze odleg lo´scia



punkt´

ow x i y prostej

uzupe lnionej niesko´

nczono´sciami jest |f(x) − f(y)| , be



dzie mo˙zna rozpatrywa´c wy la



cznie cia



gi o wy-

razach z przedzia lu [−1, 1] – zamiast cia



gu (x

n

) mo˙zna rozwa˙za´c cia



g (f (x

n

)) . Wada



tego podej´scia

jest np. to, ˙ze przy przej´sciu od x do f (x) liczbie x + y odpowiada f (x + y) 6= f(x) + f(y) .

21

dow´

od (twierdzenia Cauchy’ego)

Zajmiemy sie



teraz warunkiem Cauchy’ego. Je˙zeli cia



g

ma granice



sko´

nczona



g i ε > 0 , to dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´

owno´s´c

|a

n

− g| <

ε
2

. Je´sli wie



c liczby naturalne k i l sa



dostatecznie du˙ze, to

|a

k

− a

l

| = |a

k

− g + g − a

l

| ≤ |a

k

− g| + |g − a

l

| <

ε
2

+

ε
2

= ε .

Wykazali´smy wie



c, ˙ze z istnienia granicy sko´

nczonej wynika warunek Cauchy’ego. Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze

cia



g spe lnia warunek Cauchy’ego. Istnieje wtedy n

1

, takie ˙ze dla k, l > n

1

mamy |a

k

− a

l

| < 1 .

Przyjmuja



c l = n

1

+ 1 stwierdzamy, ˙ze |a

k

| − |a

l

| ≤ |a

k

− a

l

| < 1 , zatem |a

k

| ≤ 1 + |a

l

| dla wszystkich

dostatecznie du˙zych k . Znaczy to, ˙ze cia



g (a

n

) jest ograniczony. Wybierzmy z cia



gu (a

n

) podcia



g

zbie˙zny (a

n

m

) . Niech g oznacza jego granice



. Wyka˙zemy, ˙ze g jest granica



ca lego cia



gu. Je´sli ε > 0 ,

to dla dostatecznie du˙zych k, l, m zachodza



nier´

owno´sci |a

k

− a

l

| <

ε
2

oraz |a

n

m

− g| <

ε
2

. Poniewa˙z

m, l sa



wybierane dowolnie, byle by ly dostatecznie du˙ze, i n

m

≥ m , wie



c mo˙zna wybra´c je tak, by

l = n

m

. Wtedy dla dostatecznie du˙zego k mamy |a

k

− g| ≤ |a

k

− a

l

| + |a

n

m

− g| <

ε
2

+

ε
2

= ε , co

oznacza, ˙ze g = lim

n→∞

a

n

. Dow´

od zosta l zako´

nczony.

"




 





"

"

%





 

 

0. Czy prawda



jest, ˙ze dla wszystkich liczb n ∈

zachodzi nier´

owno´s´c 3

n

− 2,999

n

< 10000 ?

1. Oblicz sze´s´c pocza



tkowych wyraz´

ow cia



gu, kt´

orego wyraz og´

olny wyra˙za sie



wzorem:

a) a

n

=

n

2

+2n+1

n

,

b) b

n

= 1 −

1

10

n

,

c) c

n

= cos(n · 90

◦

) ,

d) d

n

= (−1)

n

·

3−n

n

,

e) u

n

= [sin(n · 45

◦

)]

n

,

f) v

n

=

n

2

n+2

.

2. Kt´

ore wyrazy cia



gu (a

n

) sa



r´

owne zeru

a) a

n

= n

2

− 5n − 6 ,

b) a

n

=

n

2

−30n+200

n

2

+n−1

,

c) a

n

= n

2

− n − 20 ?

3. Kt´

ore wyrazy cia



gu (a

n

) sa



r´

owne liczbie: 1, −2 , 0, je˙zeli:

a

n

=

n

2

,

a

n

= 3n − 5 ,

a

n

= n − n

2

?

4. Kt´

ore wyrazy cia



gu (a

n

) sa



r´

owne liczbie:

1
2

,

3
5

,

7
4

, je˙zeli

a

n

=

2n−1

5

,

a

n

=

7

n

,

a

n

=

3n−2

n+1

?

5. Cia



g (a

n

) jest okre´slony wzorem rekurencyjnym:

 a

1

= 1

a

n+1

= a

n

+ 8n.

Wyka˙z, ˙ze a

n

= (2n − 1)

2

.

6. Cia



g (b

n

) jest okre´slony wzorem rekurencyjnym:

 b

1

= 1

b

n+1

= b

n

+ 2n + 1.

Wyka˙z, ˙ze b

n

= n

2

.

7. Cia



g (x

n

) okre´slony jest wzorem rekurencyjnym:

a)



x

1

= 2

x

n+1

= x

n

+

1
3

b)

 x

1

= 1

x

n+1

= 2x

n

c)

 x

1

=

3
2

x

n+1

=

4
3

x

n

d)

 x

1

= 0; x

2

= −

1
2

x

n+2

= (x

n

)

2

· x

n+1

W ka˙zdym z tych przypadk´

ow podaj wz´

or og´

olny (wraz z uzasadnieniem poprawno´sci) na jego

wyraz.

8. Zbadaj, kt´

ore wyrazy podanych cia



g´

ow sa



wie



ksze od danej liczby M :

a) a

n

= 3n + 4 , M = 1000 ;

b) b

n

= n

2

− 1 , M = 730 ;

c) c

n

=

10n

n

2

+1

, M = 4 ;

d) d

n

=

2n+5
2n+3

, M =

3
4

.

22

9. Zbadaj, kt´

ore wyrazy podanych cia



g´

ow sa



mniejsze od danej liczby m :

a) a

n

=

1

n

, m =

1

100

;

b) b

n

=

3n

n

2

+1

, m = 0,001 ,

c) c

n

=

100n

100+n

2

, m =

23
53

.

10. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodza



r´

owno´sci:

(i) (a + b)

n

= a

n

+

n

1

a

n−1

b +

n

2

a

n−2

b

2

+ · · · +

n

n−2

a

2

b

n−2

+

n

n−1

ab

n−1

+ b

n

, gdzie

 c

k



=

c(c − 1)(c − 2) . . . c − (k − 1)

k!

dla ka˙zdej liczby rzeczywistej c i k ∈ {1, 2, 3, . . .} ,

(ii) a

n

− b

n

= (a − b) a

n−1

+ a

n−2

b + a

n−3

b

2

+ · · · + ab

n−2

+ b

n−1

.

(iii) a

2n+1

+ b

2n+1

= (a + b) a

2n

− a

2n−1

b + a

2n−2

b

2

− a

2n−3

b

3

+ · · · + a

2

b

2n−2

− ab

2n−1

+ b

2n

.

11.

Niech wyrazy cia



gu (a

n

) spe lniaja



r´

ownanie: a

n+1

= qa

n

. Wykaza´c, ˙ze a

n

= a

1

q

n−1

dla

dowolnej liczby naturalnej n . Udowodni´c, ˙ze wz´

or a

1

+ a

2

+ ... + a

n

= a

1

1 − q

n

1 − q

zachodzi dla

dowolnej liczby q 6= 1 i dowolnej liczby naturalnej n ≥ 1 .

12. Zapisa´c liczbe



0.12345123451234512345 . . . = 0, (12345) jako iloraz dwu liczb ca lkowitych.

13. Co jest wie



ksze: liczba 1 czy liczba 0, 99999 . . . = 0,(9) ? – odpowied´z dok ladnie uzasadni´c.

14. Wykaza´c, ˙ze je´sli dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi r´

owno´s´c a

n+1

= qa

n

+ p , gdzie p oraz

q sa



dowolnymi, niezale˙znymi od n liczbami rzeczywistymi, to dla ka˙zdej liczby naturalnej n

zachodzi r´

owno´s´c a

n

=

p

1 − q

+ (a

1

−

p

1 − q

)q

n−1

. W szczeg´

olno´sci, je´sli a

1

=

p

1 − q

, to wyraz

cia



gu (a

n

) jest niezale˙zny od n .

15. Wykaza´c, ˙ze cia



g (a

n

) jest zbie˙zny do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy cia



g (|a

n

|) jest zbie˙zny do 0 .

16. Wykaza´c, ˙ze iloczyn (a

n

b

n

) cia



gu (a

n

) zbie˙znego do 0 i cia



gu ograniczonego (b

n

) jest cia



giem

zbie˙znym do liczby 0 .

17. Wykaza´c, ˙ze dla n > 1000000 zachodzi nier´

owno´s´c

n

√

2 < 1.000001 .

18. Dowie´s´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodza



nier´

owno´sci: n! > 1000000

n

oraz

1.000001

n

> n

1000000

. W obu przypadkach sprawdzi´c, ˙ze dla n = 2, 3, 4, 5 zachodzi

nier´

owno´s´c przeciwna i wskaza´c liczbe



n

0

(nie szuka´c najmniejszej!) taka



, ˙ze dla n > n

0

zachodza



nier´

owno´sci wypisane w pierwszym zdaniu.

19. Obliczy´c granice



cia



gu (a

n

) , o ile istnieje, je´sli a

n

=

a.

pn +

3

√

n −

√

n ;

b.

√

n + 13 −

√

n ;

c.

n

√

3

n

− 2

n

;

d.

n

√

3

n

+ sin n ;

e. 1 +

n

n + 1

cos

nπ

2

;

f. sin n ;

g.

n

2

+ n + 1000

n

1000

+ 999n − 1

;

h.

ln n

2

+ n + 1000

ln (n

1000

+ 999n − 1)

;

i.



1 + sin

1

n



n

;

j.

n

√

n! ;

k.

10 · 11 · 12 · . . . · (n + 9)

1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1)

;

l.



1 +

sin n

n

2



n

;

m.



1 −

1
2

 

1 −

1
3



. . .



1 −

1

n



;

n.



1 −

1

2

2

 

1 −

1

3

2



. . .



1 −

1

n

2



o.

3

n

− 2

n

3

n

+ n

2

· 2

n

;

p.

3

n

+ 2

n

· sin n

3

n+1

+ n

2002

.

23