1. W wielu sytuacjach rozpatrywane sa

tzw. cia

gi liczbowe. Je´sli np. chcemy zdefiniowa´c pole ko la,

to mo˙zna rozwa˙za´c np. wieloka

ty foremne wpisane w to ko lo o coraz wie

kszej liczbie bok´

ow i m´

owi´c,

˙ze pole ko la jest liczba

, kt´

ora

mo˙zna przybli˙za´c polami tych wieloka

t´

ow, przy czym przybli˙zenie jest

tym dok ladniejsze im wie

ksza jest liczba bok´

ow wieloka

ta. Mamy tu wie

c do czynienia z cia

giem

p´

ol wieloka

t´

ow wpisanych w dane ko lo, co oznacza, ˙ze liczbom naturalnym pocza

wszy od 3 przypi-

sane zosta ly pewne liczby rzeczywiste. Te ostatnie nazywamy wyrazami cia

gu i oznaczamy na og´

o l

symbolem a

n

.

2. Inny przyk lad by l rozwa˙zany przez Zenona (490-430 p.n.e) z Elei . Twierdzi l on mianowicie, ˙ze

znany w staro˙zytno´sci biegacz Achilles nie jest w stanie dogoni´c ˙z´

o lwia. Rozwa˙zania te przedstawimy

oczywi´scie u˙zywaja

c wsp´

o lczesnego je

zyka i stosuja

c wsp´

o lczesne oznaczenia. Przyjmijmy na przyk lad,

˙ze pocza

tkowa odleg lo´s´c mie

dzy Achillesem i ˙z´

o lwiem r´

owna jest 100 m. Dla prostoty przyjmiemy,

˙ze pre

dko´s´c Achillesa jest dziesie

ciokrotnie wie

ksza ni˙z pre

dko´s´c uciekaja

cego ˙z´

o lwia. W jakim´s czasie

Achilles przebiegnie 100 m. W tym samym czasie ˙z´

o lw przesunie sie

o 10 m, wie

c na razie przy-

najmniej nie zostanie z lapany. Po

1

10

tego czasu Achilles przebiegnie 10 m, jednak zn´

ow nie dogoni

˙z´

o lwia, kt´

ory oddali sie

o naste

pny metr. Achilles przebiegnie metr, a ˙z´

o lw oddali sie

o 10 cm itd.

Proces ten mo˙zna kontynuowa´c. Prowadzi to do rozpatrywania coraz d lu˙zszych odcink´

ow przebytych

przez Achillesa, czyli liczb: 100 ; 110 ; 111 ; 111,1 ; . . . – czyli cia

gu, kt´

orego wyraz o numerze n jest

dany za pomoca

wzoru a

n

= 100 + 10 + 1 + . . . +

100

10

n−1

= 111,1 . . . 1 – przy czym w zapisie dzie-

sie

tnym tej liczby wyste

puje n jedynek. Zenon po prostu nie potrafi l zsumowa´c niesko´

nczenie wielu

sk ladnik´

ow. Nie operowa l poje

ciem sumy niesko´

nczonej

, nie umiano wtedy takiego poje

cia zdefiniowa´c.

Tego rodzaju problemy analizowano ju˙z wtedy, ale ´scis le definicje matematyczne pojawi ly sie

dopiero w

pierwszej po lowie XIX wieku (Gauss, Cauchy, Bolzano). Oczywi´scie mo˙zna latwo odpowiedzie´c na py-

tanie po przebiegnie

ciu jakiego dystansu Achilles z lapie ˙z´

o lwia: 111, 1 . . . =

1000

9

. Na wszelki wypadek

podamy formalne rozumowanie, kt´

ore mo˙zna by lo zastosowa´c r´

ownie˙z w staro˙zytno´sci, jednak bez jaw-

nego u˙zycia poje

cia sumy niesko´

nczonej, a wie

c omijaja

c istotny problem matematyczno-filozoficzny.*

Oznaczmy dystans przebyty przez ˙z´

o lwia do momentu zako´

nczenia pogoni przez x . Achilles w tym

samym czasie przebieg l odleg lo´s´c 10x . R´

o˙znica tych wielko´sci to 9x = 100 . Sta

d natychmiast wynika,

˙ze x =

100

9

, zatem 10x =

1000

9

. Oczywi´scie problemem istotnym by lo tu obliczenie tzw. granicy

cia

gu, czym zajmiemy sie

niebawem.

3. Rozwa˙zymy jeszcze inny przyk lad. Za l´

o˙zmy, ˙ze mamy do czynienia z pewna

ilo´scia

pierwiastka

promieniotw´

orczego. Niech m oznacza jego mase

. Fizycy twierdza

, ˙ze ubytek masy pierwiastka pro-

mieniotw´

orczego jest proporcjonalny do czasu i masy substancji. Oznaczmy wsp´

o lczynnik proporcjo-

nalno´sci przez µ i zastan´

owmy sie

jaka

ilo´s´c tego pierwiastka be

dziemy mie´c po czasie t . Na tzw.

*

By ly inne paradoksy zwia

zane z problemem dzielenia w niesko´

nczono´

s´

c na cze

´

sci, np. punkt nie ma d lugo´

sci, odcinek

sk lada sie

z punkt´

ow i ma d lugo´

s´

c, poruszaja

cy sie

obiekt w niesko´

nczenie kr´

otkim czasie nie przebywa ˙zadnej odleg lo´

sci,

a jednak sie

porusza. Przekonamy sie

, ˙ze dzie

ki poje

ciu granicy daje sie

w sensowny spos´

ob m´

owi´

c o tego rodzaju

kwestiach nie dochodza

c do pozornych sprzeczno´

sci.

1

„zdrowy rozum” masa w czasie t powinna sie

zmniejszy´c o µ · t · m . Jednak substancja promieniuje

bez przerwy. Mogliby´smy wie

c rozumowa´c w ten sam spos´

ob mysla

c o czasie dwukrotnie kr´

otszym,

czyli

t

2

. Wtedy masa zmniejszy laby sie

o µ ·

t

2

· m . Wobec tego po czasie

t

2

masa by laby r´

owna

m − µ ·

t

2

· m = m 1 − µ ·

t

2

) . Ta masa zmiejsza laby sie

w dalszym cia

gu zgodnie z tym samym prawem,

wie

c po czasie

t

2

masa pierwiastka by laby r´

owna m 1−µ·

t

2

)−µ·

t

2

m 1−µ·

t

2

) = m 1−µ·

t

2

)

2

. Mamy

wie

c dwa wyniki 1−µ·

t

2

)

2

, je´sli czas „dzielimy ” na p´

o l oraz 1−µ·t , je´sli „nie dzielimy”. Te wyniki sa

r´

o˙zne, wie

c podany opis nie mo˙ze by´c dobry. Na domiar z lego, je´sli czas podzielimy nie na dwie r´

owne

cze

´sci, to wynik be

dzie jeszcze inny: przy podziale t =

t

3

+

t

3

+

t

3

wywnioskujemy, ˙ze po czasie t masa

r´

owna jest m 1−µ·

t

4

)

3

, przy podziale t =

t

4

+

t

4

+

t

4

+

t

4

wynik to m 1−µ·

t

4

)

4

. Oczywi´scie rezultat nie

mo˙ze zale˙ze´c od tego, w jaki spos´

ob opisujemy zjawisko. Mo˙zna wie

c przypu´sci´c, ˙ze zacytowane prawo

fizyki dzia la w przypadku dostatecznie kr´

otkiego czasu z b le

dem mniejszym ni˙z dok ladno´s´c pomiaru.

Matematyka obliguje to do zadania pytania: czy liczby m 1 − µ · t) , m 1 − µ ·

t

2

)

2

, m 1 − µ ·

t

3

)

3

,

m 1 − µ ·

t

4

)

4

, . . . przybli˙zaja

z coraz wie

ksza

dok ladno´scia

pewna

liczbe

, kt´

ora mog laby by´c wtedy

uwa˙zana za prawdziwy wynik?

Pytanie okazuje sie

tym wa˙zniejsze, ˙ze do tego samego pytania prowadzi analiza oprocentowanego

wk ladu bankowego albo np. wyd lu˙zania sie

np. szyn kolejowych w wyniku wzrostu temperatury lub

ich skracania sie

w wyniku spadku temperatury. To prawo fizyczne jest znane ka˙zdemu, kto by l przy-

tomny w czasie lekcji fizyki w sz´

ostej klasie szko ly podstawowej. Nieliczni jednak uczniowie zauwa˙zaja

problem, kt´

ory opisali´smy wy˙zej. Stosowanie tego prawa w spos´

ob opisany w podre

cznikach szkolny

prowadzi do r´

o˙znych wynik´

ow w zale˙zno´sci od tego czy temperatura zmienia sie

np. o 20

◦

, czy te˙z

o 10

◦

+ 10

◦

, co oczywi´scie nie mo˙ze by´c prawda

, bowiem wzrost temperatury nie jest skokowy, lecz

odbywa sie

stopniowo. Podsumujmy: opisane wy˙zej zagadnienia prowadza

do rozpatrywania cia

gu o

wyrazie (1 +

x
n

)

n

, w przypadku masy substancji promieniotw´

orczej x = −µ · t . Powy˙zsze rozwa˙zania

sugeruja

, ˙ze wzrost liczby naturalnej n powinien powodowa´c wzrost wyra˙zenia (1+

x
n

)

n

przynajmniej

w przypadku x 6= 0 . W istocie rzeczy latwo mo˙zna sie

przekona´c o tym, ˙ze n > −x wzrost taki ma

miejsce, wyka˙zemy to niebawem.

4. Innym rodzajem cia

gu jest tzw. cia

g geometryczny: a

n

= a

0

q

n

, gdzie a

0

i q sa

dowolnymi

liczbami rzeczywistymi. Liczba q jest zwana ilorazem cia

gu geometrycznego, bo w przypadku q 6= 0

jest r´

owna ilorazowi dw´

och kolejnych wyraz´

ow cia

gu. Do rozpatrywania tego cia

gu prowadza

opisane

poprzednio zagadnienia, je´sli nie zmniejszamy odcink´

ow czasu lub temperatury, np. obliczamy ile

be

dzie pienie

dzy na naszym koncie, je´sli wyp lat mo˙zna dokonywa´c po ustalonym okresie czasu, a

oprocentowanie jest sta le w czasie. Wtedy a

0

oznacza wyj´sciowa

kwote

, a

1

kwote

znajduja

ca

sie

na rachunku po up lywie jednego okresu, a

2

– po up lywie dw´

och okres´

ow itd. Liczba ludzi w danym

kraju w przypadku sta lego przyrostu naturalnego zachowuje sie

jak cia

g geometryczny o ilorazie dosy´c

bliskim jedno´sci – dodatni przyrost naturalny oznacza, ˙ze iloraz jest wie

kszy ni˙z 1 za´s ujemny przyrost

naturalny – ˙ze iloraz jest mniejszy ni˙z 1 .

5. Jeszcze innym rodzajem cia

gu jest cia

g arytmetyczny: a

n

= a

0

+ nd , gdzie a

0

oraz d oznaczaja

2

dowolne liczby rzeczywiste. Liczba d zwana jest r´

o˙znica

cia

gu arytmetycznego, jest ona r´

owna r´

o˙znicy

dw´

och kolejnych wyraz´

ow cia

gu. W XIX wieku zaobserwowano, ˙ze ilo´s´c zbo˙za zachowuje sie

jak wyraz

cia

gu arytmetycznego ( n jest numerem roku). Oczywi´scie tego rodzaju obserwacje sa

przybli˙zone,

bowiem co jaki´s czas zdarzaja

sie

powodzie, susze i wtedy proces wzrostu ulega zak l´

oceniu. Bywaja

te˙z zak l´

ocenia innego rodzaju, np. w XIX zauwa˙zono, ˙ze stosowanie saletry chilijskiej (nawozy azotowe)

zwie

ksza w istotny spos´

ob plony. By ly te˙z inne zak l´

ocenia „naturalnego” tempa wzrostu ilo´sci zb´

o˙z.

6. W re

kopisie z 1228 r Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim, znajduje sie

naste

puja

ce zadanie:

Ile par kr´

olik´

ow mo˙ze by´c sp lodzonych przez pare

p lodnych kr´

olik´

ow i jej potomstwo w cia

gu roku,

je´sli ka˙zda para daje w cia

gu miesia

ca ˙zywot jednej parze, para staje sie

p lodna po miesia

cu, kr´

oliki

nie zdychaja

w cia

gu tego roku. Jasne jest, ˙ze po miesia

cu mamy ju˙z dwie pary przy czym jedna z

nich jest p lodna, a druga jeszcze nie. Wobec tego po dw´

och miesia

cach ˙zyja

ju˙z trzy pary kr´

olik´

ow:

dwie p lodne, jedna jeszcze nie. Po trzech miesia

cach ˙zyje ju˙z pie

´c par kr´

olik´

ow: trzy p lodne, dwie

jeszcze nie. Po czterech miesia

cach jest ju˙z 8 = 5 + 3 par kr´

olik´

ow. Kontynuuja

c to poste

powanie

stwierdzamy po niezbyt d lugim czasie, ˙ze po roku ˙zyje ju˙z 377 = 233 + 144 par kr´

olik´

ow. Natu-

ralnym problemem jest: znale´z´c wz´

or na liczbe

a

n

, je´sli a

0

= 1 , a

1

= 2 i a

n

= a

n−1

+ a

n−2

dla

n = 2, 3, 4, . . . . Wz´

or taki zosta l znaleziony dopiero po kilkuset latach od napisania ksia

˙zki przez

Fibonacci’ego i wygla

da tak:

a

n

=

1+

√

5

2

n+2

−

1−

√

5

2

n+2

√

5

.

Dow´

od prawdziwo´sci tego wzoru jest prosty i nie wykracza poza program liceum – latwa indukcja.

Jednak pozostaje pytanie, jak w og´

ole mo˙zna tego rodzaju hipoteze

sformu lowa´c. Jest to pytanie

znacznie wa˙zniejsze od wykazania prawdziwo´sci tego wzoru, jednak na razie nie be

dziemy sie

tym

zajmowa´c. Za kilka miesie

cy stanie sie

jasne w jaki spos´

ob do takiego dziwnego rezultatu mo˙zna

doj´s´c.

7. Przejdziemy teraz do ´scis lego zdefiniowania cia

gu.

Definicja 2.0 (cia

gu)

Cia

giem nazywamy dowolna

funkcje

okre´slona

na zbiorze z lo˙zonym ze wszystkich tych liczb ca lkowi-

tych, kt´

ore sa

wie

ksze lub r´

owne pewnej liczbie ca lkowitej n

0

. Warto´s´c tej funkcji punkcie n nazywamy

n -tym wyrazem cia

gu.

Stosujemy oznaczenie (a

n

) dla oznaczenia cia

gu, kt´

orego n -tym wyrazem jest a

n

. W punkcie 1

najmniejszym numerem wyrazu cia

gu jest liczba n

0

= 3 (zaczynamy wie

c od a

3

), w punktach 2

i 3 mamy n

0

= 1 (teraz od a

1

), naste

pne trzy cia

gi rozpocze

li´smy od n

0

= 0 . Oczywi´scie mo˙zna

rozpoczyna´c numeracje

od dowolnej liczby ca lkowitej, r´

ownie˙z ujemnej. Terminy cia

g arytmetyczny

,

cia

g geometryczny

u˙zywane be

da

nie tylko w przypadku cia

g´

ow rozpoczynaja

cych sie

od wyrazu

a

0

, r´

ownie˙z w tym przypadku n

0

mo˙ze by´c dowolna

liczba

ca lkowita

. Chodzi jedynie o to, by by ly

prawdziwe r´

owno´sci a

n

= a

n−1

+ d lub — w przypadku cia

gu geometrycznego — a

n

= a

n−1

· q dla

wszystkich liczb ca lkowitych n ≥ n

0

. Zazwyczaj jednak numeracje

be

dziemy rozpoczyna´c od 0 lub

3

od 1 . Je´sli nie zaznaczymy tego wyra´znie, symbol n oznacza´c be

dzie liczbe

ca lkowita

nieujemna

, czyli

naturalna

.*

8. Przejdziemy teraz do zdefiniowania granicy cia

gu – poje

cia zasygnalizowanego przy okazji oma-

wiania paradoksu Zenona (zob. punkt 2.)

Definicja 2.1 (granicy cia

gu)

a. Liczba g nazywana jest granica

cia

gu (a

n

) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby

dodatniej ε > 0 istnieje liczba ca lkowita n

ε

, taka ˙ze je´sli n > n

ε

, to |a

n

− g| < ε .

b. +∞ (czytaj: plus niesko´nczono´s´c) jest granica

cia

gu (a

n

) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej

liczby rzeczywistej M istnieje liczba ca lkowita n

m

taka, ˙ze je´sli n > n

M

, to a

n

> M.

c. −∞ (czytaj: minus niesko´nczono´s´c) jest granica

cia

gu (a

n

) wtedy i tylko wtedy, gdy dla

ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba ca lkowita n

m

taka, ˙ze je´sli n > n

M

, to a

n

< M.

d. Je´sli g jest granica

cia

gu (a

n

) , sko´

nczona

lub nie, to piszemy g = lim

n→∞

a

n

lub a

n

−−−−−→

n→∞

g .

Mo˙zna te˙z pisa´c a

n

→ g , gdy n → ∞ lub kr´otko a

n

→ g . M´owimy, ˙ze cia

g jest zbie˙zny,

je´sli jego granica jest sko´

nczona.

Skomentujemy po pierwsze cze

´s´c a. Chodzi tam o to, ˙ze wyrazy cia

gu, kt´

orych numery sa

dosta-

tecznie du˙ze ( n > n

ε

) przybli˙zaja

granice

g z dopuszczalna

dok ladno´scia

( |a

n

− g| < ε ). Stwierdzimy

tu wyra´znie, ˙ze przej´scie do naste

pnego wyrazu nie musi zwie

kszy´c dok ladno´sci przybli˙zenia, przeciw-

nie chwilowo mo˙ze sie

ta dok ladno´s´c zmniejszy´c, dopiero dostatecznie du˙zy wzrost numeru wyrazu musi

zwie

kszy´c dok ladno´s´c przybli˙zenia (je´sli cia

g jest sta ly, np. a

n

= 33 dla ka˙zdej liczby naturalnej n , to

b la

d jest zerowy zawsze, niezale˙znie od numeru wyrazu, wie

c dok ladno´s´c nie mo˙ze by´c poprawiona).

O liczbie ε my´sle´c nale˙zy jako o ma lej liczbie dodatniej (chodzi o to, ˙ze je´sli dla ma lego ε umiemy

wskaza´c moment, od kt´

orego b la

d jest mniejszy ni˙z ε , to od tego momentu nier´

owno´s´c jest r´

ownie˙z

spe lniona z wie

kszym ε ). Pamie

tajmy r´

ownie˙z o tym, ˙ze liczba |x − y| mo˙ze by´c traktowana jako

odleg lo´s´c dw´

och punkt´

ow prostej. Wobec tego nier´

owno´s´c |a

n

−g| < ε oznacza, ˙ze punkt a

n

znajduje

sie

w przedziale o d lugo´sci 2ε i ´srodku g . W szczeg´

olno´sci cia

g, kt´

orego wszystkie wyrazy sa

takie

same (lub nawet nie wszystkie, tylko wszystkie od pewnego momentu, tj. dla dostatecznie du˙zych n

sa

identyczne), jest zbie˙zny, przy czym granica

takiego cia

gu jest wsp´

olna warto´s´c jego wyraz´

ow.

Cze

sto zamiast m´

owi´c istnieje n

ε

, takie ˙ze dla

n > n

ε

zachodzi

. . . be

dziemy m´

owi´c, ˙ze dla

dostatecznie du˙zych

n zachodzi . . . lub ˙ze dla prawie wszystkich n zachodzi . . . . Tak wie

c dla prawie

wszystkich

n . . . oznacza dla wszystkich , z wyja

tkiem sko´

nczenie wielu

n . . . .

Podobnie mo˙zna interpretowa´c cze

´s´c b definicji granicy. Tym razem wyraz cia

gu, kt´

orego numer

jest dostatecznie du˙zy ( n > n

M

) powinien by´c blisko plus niesko´

nczono´sci, wie

c ma by´c du˙za

liczba

dodatnia

( a

n

> M ). Interpretacje

cze

´sci c pozostawiamy czytelnikom – jest ona w pe lni analogiczna

do cze

´sci b. Niekt´

orzy autorzy u˙zywaja

terminu „cia

g jest rozbie˙zny do +∞ ”, a inni m´owia

, ˙ze „cia

g

*

Cze

´

s´

c matematyk´

ow uwa˙za, ˙ze liczby naturalne to 1 , 2 ,

. . .

Inni uwa˙zaja

, ˙ze zaczyna´

c nale˙zy od 0 . W momencie

pisania tego tekstu autor przychyli l sie

do tej drugiej koncepcji: liczby naturalne s lu˙za

przede wszystkim do ustalania

liczby element´

ow danego zbioru sko´

nczonego, poniewa˙z rozwa˙zamy niejednokrotnie zbi´

or pusty, wie

c liczbe

0 uwa˙za´

c

be

dziemy za naturalna

.

4

jest zbie˙zny do +∞ ”. My be

dziemy stosowa´c raczej pierwsza

terminologie

.

Przyk lad 2.0

0 = lim

n→∞

1

n

. Aby przekona´c sie

o prawdziwo´sci tej tezy wystarczy przyja

´c, ˙ze n

ε

jest dowolna

liczba

ca lkowita

wie

ksza

ni˙z

1
ε

. Mo˙zna wie

c przyja

´c np. n

1

= 2 , n

1/2

= 3 , n

0,41

= 3 ,

ale mo˙zna te˙z powie

kszy´c niekt´

ore z tych liczb lub nawet wszystkie i przyja

´c n

1

= 10 , n

1/2

= 207 ,

n

0,41

= 3 . Mamy wie

c mo˙zliwo´s´c wyboru: liczbe

n

ε

mo˙zna zawsze zasta

pi´c wie

ksza

.

Przyk lad 2.1

1
2

= lim

n→∞

2n+3
4n−1

. Wyka˙zemy, ˙ze wz´

or ten jest prawdziwy. Bez trudu stwierdzamy, ˙ze

nier´

owno´s´c

1
2

−

2n+3
4n−1

=

−7

2(4n−1)

≤

7

6n

zachodzi dla dowolnej liczby ca lkowitej n ≥ 1 . Wystarczy

wie

c, by n

ε

>

7

6ε

. To zdanie oznacza , ˙ze dla tak dobranego n

ε

i n > n

ε

prawdziwa jest nier´

owno´s´c

1
2

−

2n+3
4n−1

< ε – nie znaczy to jednak, ˙

ze tylko dla tych liczb ca lkowitych n nier´

owno´s´c ta miejsce! Nie

musieli´smy rozwia

zywa´c nier´

owno´sci, cho´c w tym przypadku by lo to mo˙zliwe – wystarczy lo udowodni´c,

˙ze nier´

owno´s´c ma miejsce dla wszystkich dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n .

Przyk lad 2.2

Je´sli d > 0 , to +∞ = lim

n→∞

(a

0

+ nd) . Postaramy sie

wykaza´c, ˙ze r´

owno´s´c ta ma

miejsce. Je´sli M jest dowolna

liczba

rzeczywista

, n

ε

>

M −a

0

d

i

n > n

ε

, to n >

M −a

0

d

, zatem

a

n

= a

0

+ nd > M , co dowodzi prawdziwo´sci r´

owno´sci, kt´

ora

dowodzimy.

Wyka˙zemy teraz bardzo u˙zyteczna

nier´

owno´s´c.

Twierdzenie 2.2 (Nier´

owno´

s´

c Bernoulli’ego)

Za l´

o˙zmy, ˙ze n jest liczba

ca lkowita

dodatnia

za´s a > −1 liczba

rzeczywista

. Wtedy

(1 + a)

n

≥ 1 + na

przy czym r´

owno´s´c ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub gdy n = 1 .

Dow´

od.

Je´sli n = 1 , to oczywi´scie niezale˙znie od wyboru liczby a ma miejsce r´

owno´s´c. Poniewa˙z

(1+a)

2

= 1+2a+a

2

≥ 1+2a , przy czym r´owno´s´c ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a=0, wie

c teza

zachodzi dla n = 2 i wszystkich liczb rzeczywistych a (nie tylko a > −1 ). Otrzymana

nier´

owno´s´c

(1 + a)

2

≥ 1 + 2a mo˙zemy pomno˙zy´c stronami przez liczbe

dodatnia

(1 + a) – tu korzystamy z

za lo˙zenia a > −1 . W wyniku otrzymujemy (1 + a)

3

≥ (1 + 2a)(1 + a) = 1 + 3a + 2a

2

≥ 1 + 3a .

Tak˙ze w tym przypadku jest widoczne, ˙ze dla a 6= 0 otrzymujemy nier´owno´s´c ostra

. Z tej nier´

owno´sci

w taki sam spos´

ob wynika, ˙ze (1 + a)

4

≥ (1 + 3a)(1 + a) ≥ 1 + 4a + 3a

2

≥ 1 + 4a . Teraz w

ten sam spos´

ob wnioskujemy prawdziwo´s´c twierdzenia dla n = 5 i wszystkich a > −1 , potem dla

n = 6 itd. Og´

olnie je´sli teza twierdzenia zachodzi dla wszystkich liczb a > −1 przy ustalonym n , to

(1 + a)

n+1

≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + na

2

≥ 1 + (n + 1)a i zn´ow bez trudu stwierdzamy, ˙ze

r´

owno´s´c ma miejsce jedynie dla a = 0 . Oczywi´scie jest to latwe rozumowanie indukcyjne, nazwy nie

u˙zyto wcze´sniej, by nie odstrasza´c tych, kt´

orzy jeszcze boja

sie

indukcji.

Twierdzenie 2.3 (Granica cia

gu geometrycznego)

Niech a

n

= q

n

. Cia

g ten ma granice

0 , je´sli |q| < 1 , ma granice

1 , je´sli q = 1 , ma granice

+∞ ,

je´sli q > 1 . Je´sli q ≤ −1 , to cia

g granicy nie ma.

5

Dow´

od.

W przypadku q = 0 oraz q = 1 teza jest oczywista, bo cia

g jest sta ly (jego wyrazy nie

zale˙za

od numeru). Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze 0 < |q| < 1 . Niech ε > 0 be

dzie liczba

rzeczywista

. Je´sli

n

ε

>

1
ε

−1

1

|q|

−1

jest liczba

ca lkowita

i n > n

ε

, to

♣

1

|q|

n

=

1 +

1

|q|

− 1

n

≥ 1 + n

1

|q|

− 1

> 1 +

1
ε

− 1 =

1
ε

.

Z otrzymanej nier´

owno´sci wynika, ˙ze dla n > n

ε

zachodzi

1

|q|

n

>

1
ε

, czyli |q

n

| < ε , a to oznacza,

˙ze lim

n→∞

q

n

= 0 .

Kolejny przypadek to q > 1 . Mamy teraz q

n

= (1 + (q − 1))

n

≥ 1 + n(q − 1) . Wobec tego, je´sli

n > n

M

i n

M

>

M −1

q−1

, to q

n

> 1 + (M − 1) = M . Jasne jest wie

c, ˙ze lim

n→∞

q

n

= +∞ .

Pozosta l przypadek ostatni: q ≤ −1 . W tym przypadku mamy q

n

≤ −1 dla ka˙zdej liczby

ca lkowitej nieparzystej n oraz q

n

≥ 1 dla ka˙zdej liczby ca lkowitej parzystej n . Gdyby istnia la

sko´

nczona granica g , to wyrazy cia

gu o dostatecznie du˙zych numerach le˙za lyby w odleg lo´sci mniejszej

ni˙z 1 od granicy g – to natychmiastowa konsekwencja istnienia granicy sko´

nczonej. Je´sli jednak

odleg lo´sci q

n

i q

n+1

od granicy g sa

mniejsze od 1 , to odleg lo´s´c mie

dzy nimi jest mniejsza ni˙z

1 + 1 = 2 , co oznacza, ˙ze |q

n

− q

n+1

| < 2 . To jednak nie jest mo˙zliwe, bowiem jedna z liczb q

n

, q

n+1

jest mniejsza lub r´

owna −1 , a druga wie

ksza lub r´

owna 1 . Sta

d za´s wynika, ˙ze odleg lo´s´c mie

dzy q

n

i q

n+1

nie jest mniejsza ni˙z 1 − (−1) = 2 *. Otrzymali´smy sprzeczno´s´c, wie

c cia

g granicy sko´

nczonej

nie ma. +∞ granica

tego cia

gu te˙z nie jest, bowiem wtedy wyrazy cia

gu o dostatecznie du˙zych

numerach musia lyby by´c wie

ksze od 0 (przyjmujemy M = 0 ), a tak nie jest, bo te, kt´

orych numery

sa

nieparzyste

, sa

ujemne. Analogicznie −∞ nie jest granica

tego cia

gu, bo wyrazy o numerach

parzystych

sa

dodatnie, co wyklucza to, ˙ze wyrazy o dostatecznie du˙zych numerach sa

ujemne (i w

tym przypadku przyjmujemy M = 0 ).

Wykazali´smy wie

c, ˙ze cia

g nie ma ani granicy sko´

nczonej ani - niesko´

nczonej, co ko´

nczy badanie

granicy cia

gu geometrycznego.

12. Cia

gi monotoniczne i ´

sci´

sle monotoniczne, cia

gi ograniczone

Definicja 2.4 (cia

g´

ow monotonicznych)

Cia

g (a

n

) nazywamy niemaleja

cym (rosna

cym) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego numeru

n zachodzi nier´

owno´s´c a

n

≤ a

n+1

( a

n

< a

n+1

). Podobnie cia

g nierosna

cy (maleja

cy) to taki, ˙ze

dla ka˙zdego numeru n zachodzi nier´

owno´s´c a

n

≥ a

n+1

( a

n

> a

n+1

). Cia

gi niemaleja

ce i niero-

sna

ce maja

wsp´

olna

nazwe

: cia

gi monotoniczne. Cia

gi rosna

ce i maleja

ce nazywamy cia

gami ´sci´sle

monotonicznymi.

W niekt´

orych podre

cznikach stosowana jest nieco inna terminologia: cia

gi niemaleja

ce zwane sa

tam rosna

cymi, a rosna

ce – ´sci´sle rosna

cymi. Jest oczywi´scie oboje

tne, kt´

ora z dwu koncepcji jest

stosowana, je´sli tylko jest to robione konsekwentnie. Mo˙zna te˙z, dla uniknie

cia nieporozumie´

n, m´

owi´c

o cia

gach niemaleja

cych i ´sci´sle rosna

cych.

♣

Nie u˙zywamy tu logarytmu, bo chcemy pokaza´

c, ˙ze jakie´

s konkretne oszacowania mo˙zna uzyska´

c bardzo elementarnie.

Gdyby´

smy jednak zechcieli go u˙zy´

c, to mogliby´

smy napisa´

c n

ε

>(log

10

ε)/(log

10

|q|) , przyp. log

10

|q|<0 .

*

Mo˙zna to rozumowanie zapisa´

c wzorami: 2≤|q

n

−q

n

+1

|≤|q

n

−g|+|g−q

n

+1

|<1+1=2 dla dostatecznie du˙zych

n

.

6

Cia

g geometryczny zaczynaja

cy sie

od wyrazu a

1

= q jest monotoniczny w przypadku q ≥ 0 :

dla q = 0 oraz dla q = 1 cia

g geometryczny jest sta ly, wie

c niemaleja

cy i jednocze´snie nierosna

cy.

W przypadku 0 < q < 1 jest on maleja

cy, dla q > 1 jest on rosna

cy. Cia

g arytmetyczny jest

rosna

cy, gdy jego r´

o˙znica d jest dodatnia, maleja

cy – gdy d < 0 , sta ly (wie

c jednocze´snie niemaleja

cy

i nierosna

cy), gdy d = 0 .

Definicja 2.5 (cia

g´

ow ograniczonych)

Cia

g (a

n

) nazywany jest ograniczonym z g´

ory wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista

M , taka ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi nier´

owno´s´c: a

n

≤ M . Analogicznie (a

n

) jest

ograniczony z do lu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista m taka, ˙ze dla ka˙zdego n

zachodzi nier´

owno´s´c a

n

≥ m . Cia

g ograniczony z g´

ory i z do lu nazywamy ograniczonym. Cia

giem

nieograniczonym nazywamy ka˙zdy cia

g, kt´

ory nie jest ograniczony.

Cia

g (n) jest ograniczony z do lu np. przez −13 lub 0 , ale nie jest ograniczony z g´ory, wie

c jest

nieograniczony. Cia

g (−1)

n

jest ograniczony z g´

ory np. przez 1 lub przez

√

1000 oraz z do lu, np

przez −1 , ale r´ownie˙z przez −13 .

Cia

g (a

n

) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba nieujemna M , taka ˙ze |a

n

| ≤

M dla ka˙zdego n . Jest oczywisty wniosek z definicji cia

gu ograniczonego: M musi by´c tak du˙ze, by

liczba −M by la ograniczeniem dolnym cia

gu (a

n

) i jednocze´snie liczba M by la jego ograniczeniem,

g´

ornym.

Przyk lad 2.3

Cia

g (1 +

x
n

)

n

Wypiszmy przybli˙zenia dziesie

ciu pierwszych wyraz´

ow cia

gu

w przypadku x = 1 :

oraz w przypadku x = −4 :

1 +

1
1

1

= 2

1 +

−4

1

1

= −3

1 +

1
2

2

=

9
4

= 2, 25

1 +

−4

2

2

= 1

1 +

1
3

3

=

64
27

≈ 2, 37

1 +

−4

3

3

=

−1

27

≈ −0, 37

1 +

1
4

4

=

625
256

≈ 2, 44

1 +

−4

4

4

= 0

1 +

1
5

5

=

7776
3125

≈ 2, 49

1 +

−4

5

5

=

1

3125

≈ 0, 00032

1 +

1
6

6

=

117649

46656

≈ 2, 52

1 +

−4

6

6

=

1

729

≈ 0, 0014

1 +

1
7

7

=

2097152

823543

≈ 2, 55

1 +

−4

7

7

=

2187

823543

≈ 0, 0027

1 +

1
8

8

=

43046721
16777216

≈ 2, 56

1 +

−4

8

8

=

1

256

≈ 0, 0039

1 +

1
9

9

=

1000000000

387420489

≈ 2, 58

1 +

−4

9

9

=

1953125

387420489

≈ 0, 0050

1 +

1

10

10

=

25937424601
10000000000

≈ 2, 59

1 +

−4

10

10

=

59049

9765625

≈ 0, 0060

Latwo mo˙zna przekona´c sie

, ˙ze cia

g o wyrazie a

n

= (1 +

x
n

)

n

nie jest ani geometryczny , ani

arytmetyczny z wyja

tkiem jednego przypadku: x = 0 . Wyka˙zemy, ˙ze je´

sli n > −x 6= 0 , to

a

n+1

> a

n

, czyli ˙ze cia

g ten jest rosna

cy od pewnego momentu. W przypadku x > 0 jest ro-

sna

cy, gdy x < 0 , to mo˙ze sie

zdarzy´c, ˙ze pocza

tkowe wyrazy zmieniaja

znak, wie

c o monotoniczno´sci

nie mo˙ze by´c nawet mowy. Je´sli jednak wszystkie wyrazy cia

gu sa

dodatnie, to jest niemaleja

cy. Wy-

7

pada to wykaza´c. Z nier´

owno´sci n > −x wynika od razu nier´owno´s´c n + 1 > −x . Z pierwszej z nich

wnioskujemy, ˙ze 1 +

x
n

> 0 , a z drugiej – ˙ze 1 +

x

n+1

> 0 . Nier´

owno´s´c a

n

< a

n+1

r´

ownowa˙zna

jest nier´

owno´sci

1 +

x
n

n

<

1 +

x

n+1

n+1

, a ta – dzie

ki temu, ˙ze 1 +

x
n

> 0 – nier´

owno´sci

1+

x

n

+1

1+

x
n

n+1

>

1

(

1+

x
n

)

=

n

n+x

. Skorzystamy teraz z nier´

owno´sci Bernoulli’ego (punkt 10.), by udo-

wodni´c, ˙ze ostatnia nier´

owno´s´c ma miejsce dla n > −x . Mamy

1+

x

n

+1

1+

x
n

n+1

=

1 −

x

(n+x)(n+1)

n+1

≥

1 − (n + 1)

x

(n+x)(n+1)

= 1 −

1

n+x

=

x

n+x

. Dla jasno´sci nale˙zy jeszcze zauwa˙zy´c, ˙ze liczba

−x

(n+x)(n+1)

,

pe lnia

ca role

a w nier´

owno´sci Bernoulli’ego, jest wie

ksza od −1 – jest to oczywiste w przypadku

x ≤ 0 , bo w tym przypadku jest ona nieujemna, za´s dla x > 0 jej warto´s´c bezwzgle

dna, czyli

x

(n+x)(n+1)

jest mniejsza od

1

n+1

< 1 . Wykazali´smy wie

c, ˙ze od momentu, w kt´

orym wyra˙zenie (1 +

x
n

)

staje sie

dodatnie, cia

g zaczyna rosna

´c (gdy x = 0 jest sta ly). Dodajmy jeszcze, ˙ze je´sli x > 0 , to

wyrazy cia

gu sa

dodatnie, je´sli za´s x < 0 , to sa

one dodatnie dla n parzystego oraz dla n nieparzy-

stego, o ile n > −x . Pozostaje pytanie: czy w przypadku x > 0 wzrost wyrazu cia

gu (1 +

x
n

)

n

jest

nieograniczony, czy te˙z dla ustalonego x znale´z´c mo˙zna liczbe

wie

ksza

od wszystkich wyraz´

ow tego

cia

gu. Wyka˙zemy, ˙ze cia

g (1 +

x
n

)

n

jest ograniczony z g´

ory dla dowolnej liczby rzeczywistej x . Dla

ujemnych x tak jest, bo od pewnego miejsca, jak to stwierdzili´smy wcze´sniej, wyrazy cia

gu sa

dodat-

nie i mniejsze od 1 . Je´sli n > x > 0 , to 1 +

x
n

n

=

1−

x2
n2

n

(

1−

x
n

)

n

<

1

(

1−

x
n

)

n

. Wyra˙zenie

1

(

1−

x
n

)

n

maleje

wraz ze wzrostem n (gdy rozpatrujemy n > x ), bo licznik nie zmienia sie

, a mianownik – jak to

wykazali´smy wcze´sniej – ro´snie. Wynika sta

d, ˙ze je´sli n(x) jest najmniejsza

liczba

ca lkowita

wie

ksza

od x , to wszystkie wyrazy cia

gu sa

mniejsze ni˙z

1

1−

x

n

(x)

n

(x)

=

n(x)

n(x)−x

n(x)

.

Np. n(1) = 2 , zatem wszystkie wyrazy cia

gu 1 +

1

n

n

sa

mniejsze ni˙z

2

2−1

2

= 4 . W przypadku

x = −4 wszystkie wyrazy cia

gu pocza

wszy od pia

tego sa

dodatnie i mniejsze od 1, rozwa˙zywszy

cztery pierwsze przekonujemy sie

o tym, ˙ze najwie

kszym wyrazem cia

gu jest wyraz drugi, r´

owny 1 , a

najmniejszym – pierwszy, r´

owny −3 .

W istocie rzeczy z tego, co zosta lo napisane wynika, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej k ≥ n(x) liczba

1

(

1−

x
k

)

k

=

k

k−x

k

jest ograniczeniem g´

ornym cia

gu 1 +

x
n

n

– zache

camy do samodzielnego uzasad-

nienia tego prostego stwierdzenia.

Wyka˙zemy teraz naste

pujace, zapewne znane ze szko ly

Twierdzenie 2.6 (o istnieniu granicy cia

gu monotonicznego)

Ka˙zdy cia

g monotoniczny ma granice

.

Dow´

od.

Za l´

o˙zmy, ˙ze cia

g (a

n

) jest niemaleja

cy, tzn. dla ka˙zdego n zachodzi nier´

owno´s´c a

n

≤ a

n+1

.

Je´sli cia

g nie jest ograniczony z g´

ory, to dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba naturalna n

M

taka, ˙ze a

n

M

≥ M . Wtedy dla ka˙zdej liczby naturalnej n ≥ n

M

zachodzi nier´

owno´s´c a

n

≥ a

n

M

≥ M .

Wobec tego lim

n→∞

a

n

= +∞ . Za l´o˙zmy teraz, ˙ze cia

g (a

n

) jest ograniczony z g´

ory przez liczbe

b

0

. Dla

ka˙zdej liczby naturalnej n ≥ 0 mamy wie

c a

0

≤ a

n

≤ b

0

. Je´sli w przedziale

a

0

+b

0

2

, b

0

, znaj-

duja

sie

jakiekolwiek wyrazy cia

gu (a

n

) , to przyjmujemy c

1

=

a

0

+b

0

2

i b

1

= b

0

. Je´sli w przedziale

8

a

0

+b

0

2

, b

0

wyraz´

ow cia

gu (a

n

) nie ma, to przyjmujemy c

1

= a

0

i b

1

=

a

0

+b

0

2

. W obu przypad-

kach otrzymujemy przedzia l [c

1

, b

1

] ⊆ [a

0

, b

0

] dwa razy kr´

otszy od przedzia lu [a

0

, b

0

] zawieraja

cy

prawie wszystkie wyrazy cia

gu (a

n

) . W taki sam spos´

ob otrzymujemy przedzia l [c

2

, b

2

] ⊆ [c

1

, b

1

]

dwa razy kr´

otszy od przedzia lu [c

1

, b

1

] , czyli cztery razy kr´

otszy od przedzia lu [a

0

, b

0

] zawieraja

cy

prawie wszystkie wyrazy cia

gu (a

n

) . Powtarzaja

c te

konstrukcje

wielokrotnie okre´slamy zste

puja

cy

cia

g przedzia l´

ow domknie

tych

[c

n

, b

n

]

taki, ˙ze ka˙zdy przedzia l [c

n

, b

n

] jest dwa razy kr´

otszy od

swego poprzednika (i jest w nim zawarty). Niech g be

dzie punktem wsp´

olnym wszystkich przedzia l´

ow

[c

n

, b

n

] , n = 1, 2, . . . . Jasne jest, ˙ze ta cze

´s´c wsp´

olna sk lada sie

z tylko jednej liczby (je´sli g

1

6= g

2

,

to dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´

owno´s´c |g

1

− g

2

| >

b

0

−a

0

2

n

= b

n

− c

n

).

Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

a

n

= g . Niech ε > 0 . Istnieje liczba naturalna m taka, ˙ze b

m

− c

m

< ε . Niech

a

n

∈ [c

m

, b

m

] . Wtedy r´

ownie˙z a

n+1

, a

n+2

, a

n+3

, . . . ∈ [c

m

, b

m

] i oczywi´scie g ∈ [c

m

, b

m

] . Ka˙zde dwa

punkty przedzia lu [c

m

, b

m

] sa

odleg le o nie wie

cej ni˙z b

m

− c

m

< ε , w szczeg´

olno´sci odleg lo´s´c g od

ka˙zdego z punkt´

ow a

n

, a

n+1

, a

n+2

, a

n+3

, . . . jest mniejsza ni˙z ε . Oznacza to, ˙ze lim

n→∞

a

n

= g . Je´sli

cia

g (a

n

) jest nierosna

cy, to mo˙zna ju˙z udowodniona

cze

´s´c twierdzenia zastosowa´c do cia

gu (−a

n

) ,

kt´

ory jest niemaleja

cy. Ma on zatem jaka

´s granice

g . Bez trudu wykazujemy, ˙ze lim

n→∞

a

n

= −g .

Ten dow´

od zosta l zamieszczony po to, by studenci mogli zrozumie´c, jak mo˙zna przeprowadza´c

rozumowania matematyczne. Nie nale˙zy uczy´c sie

go na pamie

´c, warto go jednak go przemy´sle´c.

Zauwa˙zmy jedynie, ˙ze gdyby´smy ograniczyli sie

do liczb wymiernych, tj. u lamk´

ow o ca lkowitych

licznikach i mianownikach, to twierdzenie nie by loby prawdziwe – istnieja

bowiem cia

gi liczb wy-

miernych, kt´

orych granice sa

niewymierne. Twierdzenie to podaje wie

c istotna

informacje

o zbiorze

wszystkich liczb rzeczywistych. Chodzi o to mianowicie, ˙ze nie ma w nim dziur, geometrycznie jest to

ca la prosta. Wyprowadzili´smy to twierdzenie z lematu o przedzia lach zste

puja

cych, bo by l on jedynym

do tej pory twierdzeniem m´

owia

cym w istocie rzeczy, ˙ze „mie

dzy” liczbami rzeczywistymi ˙zadnych

luk nie ma w odr´

o˙znieniu od dziurawego zbioru liczb wymiernych. Mie

dzy ka˙zdymi dwiema r´

o˙znymi

liczbami wymiernymi c i d znajduje sie

liczba niewymierna, np. c +

d−c

√

2

– jej niewymierno´s´c wynika

latwo z tego, ˙ze

√

2 > 1 jest liczba

niewymierna

, za´s c 6= d sa

wymierne. Jest te˙z jasne, ˙ze le˙zy ona

mie

dzy c i d – od punktu c przesuwamy sie

w kierunku punktu d o wektor

d−c

√

2

, kt´

orego d lugo´s´c

jest mniejsza ni˙z odleg lo´s´c |c − d| punkt´ow c i d .

Z twierdzenia tego wynika np. od razu, ˙ze cia

g geometryczny, kt´

orego zbie˙zno´s´c zbadali´smy

wcze´sniej ma granice

w przypadku q ≥ 0 . Nie wynika natomiast istnienie tej granicy w przypadku

q < 0 , bo w przypadku ujemnego ilorazu cia

g geometryczny nie jest monotoniczny. Z tego twierdzenia

wynika r´

ownie˙z, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x cia

g (1 +

x
n

)

n

ma granice

– nie zawsze jest on

monotoniczny, ale zawsze jest monotoniczny od pewnego momentu, co w oczywisty spos´

ob r´

ownie˙z

wystarcza, bowiem zmiana sko´

nczenie wielu wyraz´

ow cia

gu nie ma wp lywu na istnienie lub warto´s´c

granicy, bowiem w definicji granicy mowa jest jedynie o wyrazach cia

gu, kt´

orych numery sa

dosta-

tecznie du˙ze

, zatem zmiana sko´

nczenie wielu wyraz´

ow cia

gu mo˙ze jedynie mie´c wp lyw na znaczenie

s l´

ow dostatecznie du˙ze.

9

Oznaczenie 2.7 (wa˙znej granicy)

exp(x) oznacza´c be

dzie w dalszym cia

gu granice

cia

gu (1 +

x
n

)

n

, tzn.

exp(x) = lim

n→∞

1 +

x
n

n

.

Wobec tego symbol exp oznacza funkcje

, kt´

ora jest okre´slona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywi-

stych, jej warto´scia

w punkcie x jest liczba dodatnia lim

n→∞

1 +

x
n

n

.

!"

#$

&%

Sformu lujemy teraz kilka twierdze´

n, kt´

ore u latwiaja

obliczanie granic, ich szacowanie lub stwier-

dzanie ich istnienia. Potem poka˙zemy jak mo˙zna je stosowa´c. W ko´

ncu udowodnimy cze

´s´c z nich, tak

by wyja´sni´c mechanizm dowodzenia.

Twierdzenie 2.8 (o arytmetycznych w lasno´

sciach granicy)

A1. Je´sli istnieja

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slona jest ich suma, to istnieje granica

lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) i zachodzi wz´

or: lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = lim

n→∞

a

n

+ lim

n→∞

b

n

.

A2. Je´sli istnieja

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slona jest ich r´

o˙znica, to istnieje granica

lim

n→∞

(a

n

− b

n

) i zachodzi wz´

or: lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n→∞

a

n

− lim

n→∞

b

n

.

A3. Je´sli istnieja

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slony jest ich iloczyn, to istnieje granica

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) i zachodzi wz´

or: lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = lim

n→∞

a

n

· lim

n→∞

b

n

.

A4. Je´sli istnieja

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slony jest ich iloraz, to istnieje granica

lim

n→∞

a

n

b

n

i zachodzi wz´

or lim

n→∞

a

n

b

n

=

lim

n→∞

a

n

lim

n→∞

b

n

.

×

Zanim udowodnimy to twierdzenie, sformu lujemy naste

pne.

Twierdzenie 2.9 (o szacowaniu)

N1. Je´sli C < lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c C < a

n

.

N2. Je´sli C > lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c C > a

n

.

N3. Je´sli lim

n→∞

b

n

< lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c b

n

< a

n

.

N4. Je´sli b

n

≤ a

n

dla dostatecznie du˙zych n , to zachodzi nier´

owno´s´c lim

n→∞

b

n

≤ lim

n→∞

a

n

.

×

Wniosek 2.10 (z twierdzenia o szacowaniu – jednoznaczno´

s´

c granicy)

Cia

g ma co najwy˙zej jedna

granice

.

Dow´

od.

Gdyby mia l dwie np. g

1

< g

2

, to wybra´c mogliby´smy liczbe

C le˙za

ca

mie

dzy g

1

i g

2

:

g

1

< C < g

2

. Wtedy dla dostatecznie du˙zych n by loby jednocze´snie a

n

< C (zob. N2) oraz a

n

> C

(zob. N1), co oczywi´scie nie jest mo˙zliwe.

Wniosek 2.11 (z twierdzenia o szacowaniu – ograniczono´

s´

c cia

gu o granicy sko´

nczonej)

Je´sli granica lim

n→∞

a

n

jest sko´

nczona, to istnieja

liczby rzeczywiste C, D takie, ˙ze dla wszystkich

n zachodzi nier´

owno´s´c C < a

n

< D , czyli cia

g (a

n

) jest ograniczony z do lu liczba

C za´s z g´

ory

liczba

D .

×

10

Twierdzenie 2.12 (o trzech cia

gach)

Je´sli a

n

≤ b

n

≤ c

n

dla dostatecznie du˙zych n i cia

gi (a

n

) oraz (c

n

) maja

r´

owne

granice, to cia

g

(b

n

) te˙z ma granice

i zachodzi wz´

or

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

b

n

= lim

n→∞

c

n

.

×

Definicja 2.13 (podcia

gu)

Je´sli (n

k

) jest ´sci´sle rosna

cym cia

giem liczb naturalnych, to cia

g (a

n

k

) nazywany jest podcia

giem

cia

gu (a

n

) .

Na przyk lad cia

g a

2

, a

4

a

6

, . . . , czyli cia

g (a

2k

) jest podcia

giem cia

gu (a

n

) – w tym przypadku

n

k

= 2k . Cia

g a

2

, a

3

, a

5

, a

7

, a

11

, . . . jest podcia

giem cia

gu (a

n

) – w tym przypadku n

k

jest k –ta

liczba

pierwsza

. Przyk lady mo˙zna mno˙zy´c, ale zapewne starczy powiedzie´c, ˙ze chodzi o wybranie

niesko´

nczenie wielu wyraz´

ow wyj´sciowego cia

gu bez zmiany kolejno´sci w jakiej wyste

powa ly

.

Jest jasne, ˙ze je´sli g jest granica

cia

gu, to jest r´

ownie˙z granica

ka˙zdego jego podcia

gu, wynika

to od razu z definicji granicy i definicji podcia

gu. Latwe w dowodzie jest te˙z twierdzenie pozwalaja

ce

na zbadanie sko´

nczenie wielu podcia

g´

ow danego cia

gu, w la´sciwie wybranych, i wnioskowanie istnienia

granicy z istnienia wsp´

olnej granicy wybranych podcia

g´

ow.

Twierdzenie 2.14 (o scalaniu) *

Za l´

o˙zmy, ˙ze z cia

gu (a

n

) mo˙zna wybra´c dwa podcia

gi (a

k

n

) i (a

l

n

) zbie˙zne do tej samej granicy

g , przy czym ka˙zdy wyraz cia

gu (a

n

) jest wyrazem co najmniej jednego z tych podcia

g´

ow, tzn. dla

ka˙zdego n istnieje m , takie ˙ze n = k

m

lub n = l

m

. Wtedy ta wsp´

olna granica obu tych podcia

g´

ow

jest granica

cia

gu (a

n

) :

lim

n→∞

a

n

= g .

×

Sformu lujemy teraz bardzo wa˙zne twierdzenie, kt´

ore be

dzie wielokrotnie stosowane w dowodach.

Twierdzenie 2.15 (Bolzano – Weierstrassa)

Z ka˙zdego cia

gu mo˙zna wybra´c podcia

g, kt´

ory ma granice

(sko´

nczona

lub nie).

×

Wniosek 2.16 (z twierdzenia Bolzano – Weierstrassa)

Cia

g ma granice

wtedy i tylko wtedy, gdy granice wszystkich tych jego podcia

g´

ow, kt´

ore maja

granice,

sa

r´

owne.

×

Naste

pne twierdzenie, w zasadzie ju˙z cze

´sciowo udowodnione, wykaza l A.Cauchy, jeden z tw´

orc´

ow

analizy matematycznej.

×

Twierdzenie 2.17 (Cauchy’ego)

Cia

g (a

n

) ma granice

sko´

nczona

wtedy i tylko wtedy, gdy

spe lniony jest naste

puja

cy warunek Cauchy’ego:

dla ka˙zdego ε > 0 istnieje liczba naturalna n

ε

taka, ˙ze je´sli k, l > n

ε

, to |a

k

− a

l

| < ε . ×

(wC)

*

Ta nazwa to pomys l autora, kt´

ory ma nadzieje

, ˙ze nie jest to ca lkiem g lupi termin.

11

Twierdzenie to, podobnie jak twierdzenie o istnieniu granicy cia

gu monotonicznego, pozwala

czasem stwierdzi´c istnienie granicy bez ustalania jej warto´sci, co jest bardzo wa˙zne w licznych przy-

padkach. Pozwala ono te˙z wykazywa´c nieistnienie granic – w istocie rzeczy wykazuja

c, ˙ze cia

g geome-

tryczny o ilorazie q ≤ −1 nie ma granicy, wykazywali´smy, ˙ze nie spe lnia on warunku Cauchy’ego, role

ε pe lni la tam liczba 2 .

Teraz poka˙zemy jak mo˙zna stosowa´c twierdzenia, kt´

ore sformu lowali´smy wcze´sniej. Przyk lady

2.7, 2.8, 2.9, 2.10 sa

wa˙zne, wyniki tam opisane be

da

p´

o´zniej wykorzystywane.

Przyk lad 2.4

Rozpoczniemy od przyk ladu ju˙z om´

owionego, ale teraz cia

g zbadamy inaczej. Zaj-

miemy sie

mianowicie cia

giem

2n+3
4n−1

. Udowodnili´smy poprzednio, ˙ze granica

cia

gu jest liczba

1
2

nie wyja´sniaja

c, ska

d wiedzieli´smy, ˙ze akurat ta liczba ma by´c granica

. Zauwa˙zmy, ˙ze zar´

owno licznik

jak i mianownik maja

granice, mianowicie +∞ . Jeste´smy wie

c w sytuacji niedobrej:

+∞
+∞

. W tym

przypadku mo˙zna jednak bez trudu przekszta lci´c wyra˙zenie okre´slaja

ce wyraz cia

gu:

2n+3
4n−1

=

2 +

3

n

4 −

1

n

.

Teraz mo˙zemy zastosowa´c twierdzenie o granicy sumy cia

g´

ow (A1), potem o granicy r´

o˙znicy cia

g´

ow

(A2), by stwierdzi´c, ˙ze lim

n→∞

(2+

3

n

) = 2+ lim

n→∞

3

n

= 2+0 = 2 oraz lim

n→∞

(4−

1

n

) = 4− lim

n→∞

1

n

= 4−0 = 4

– wiemy ju˙z przecie˙z, ˙ze lim

n→∞

1

n

= 0 , zatem lim

n→∞

3

n

= 3 · lim

n→∞

1

n

= 3 · 0 = 0 . Teraz mamy do czynienia

z ilorazem, kt´

orego licznik ma granice

2 , za´s mianownik – granice

4 , wie

c r´

o˙zna

od 0 , co umo˙zliwia

skorzystanie z twierdzenia o granicy ilorazu (A4). Z niego wynika od razu, ˙ze granica

jest

2
4

=

1
2

.

Oczywi´scie nic wie

cej ju˙z robi´c nie trzeba, bo twierdzenie o arytmetycznych w lasno´sciach granicy

gwarantuje zar´

owno istnienie granic, jak i odpowiednie r´

owno´sci.

Przyk lad 2.5

Rozwa˙zymy naste

pny prosty przyk lad: lim

n→∞

(n

5

− 100n

4

− 333978) . Wyka˙zemy mia-

nowicie, ze cia

g ten ma granice

+∞ . Czytelnik zechce zwr´oci´c uwage

na to, ˙ze na pewno pierwszych

100 wyraz´

ow to liczby ujemne – nie twierdzimy wcale, ˙ze tylko 100 , ale n

5

− 100n

4

= n

4

(n − 100) ≤ 0

dla n ≤ 100 , a od tej liczby odejmujemy jeszcze 333978 , wie

c te wyrazy sa

ujemne, a o znaku dalszych

nic nie m´

owimy. Zapiszmy wyraz cia

gu w postaci n

5

(1 −

100

n

−

333978

n

5

) . Oczywi´scie

lim

n→∞

n

5

= ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) · ( lim

n→∞

n) = (+∞) · (+∞) · (+∞) · (+∞) · (+∞) =

= +∞

na mocy twierdzenia o granicy iloczynu (A3). Na mocy twierdzenia o granicy ilorazu (A4) stwier-

dzamy, ˙ze lim

n→∞

100

n

= 0 oraz lim

n→∞

333978

n

5

= 0 . Mo˙zemy wie

c zastosowa´c twierdzenie o granicy r´

o˙znicy

(A2) dwukrotnie, by stwierdzi´c, ˙ze lim

n→∞

1 −

100

n

−

333978

n

5

= 1 − 0 − 0 = 1 . Nasz cia

g zosta l wie

c

przedstawiony jako iloczyn dw´

och cia

g´

ow, z kt´

orych pierwszy da

˙zy do +∞ a drugi do liczby dodat-

niej, do 1 . Z definicji mno˙zenia symboli niesko´

nczonych przez liczby dodatnie i twierdzenia o granicy

iloczynu wynika, ˙ze jego granica

jest +∞ .

Oczywi´scie i w tym przypadku mo˙zna posta

pi´c nieco inaczej. Mo˙zemy napisa´c nier´

owno´s´c:

n

5

− 100n

4

− 333978 ≥ n

5

− 334078n

4

= n

4

(n − 334078)

— otrzymali´smy cia

g, kt´

ory jest iloczynem dw´

och cia

g´

ow: (n − 334078) i (n

4

) . Oba da

˙za

do +∞ ,

12

wie

c ich iloczyn da

˙zy do +∞ · +∞ = +∞ .

Przyk lad 2.6

Pokazali´smy wcze´sniej, ˙ze wyraz cia

gu geometrycznego o ilorazie z przedzia lu (−1, 1)

jest zbie˙zny do 0 . Poka˙zemy jak mo˙zna uzyska´c ten sam rezultat bez szacowa´

n stosuja

c w za-

mian twierdzenie o istnieniu granic pewnych cia

g´

ow. Za l´

o˙zmy na pocza

tek, ˙ze 0 ≤ q < 1 . Wtedy

oczywi´scie q

n+1

≤ q

n

, wie

c cia

g jest nierosna

cy, zatem ma granice

. Oznaczmy ja

symbolem g . Po-

niewa˙z wszystkie wyrazy cia

gu le˙za

w przedziale (0, 1) , wie

c granica le˙zy w przedziale [0, 1] . Jest

jasne, ˙ze je´sli granica

cia

gu jest liczba g , to ka˙zdy jego podcia

g jest te˙z zbie˙zny do g . Wobec tego

g = lim

n→∞

q

n+1

= lim

n→∞

(q · q

n

) = q · lim

n→∞

q

n

= q · g , czyli g = qg . Sta

d, poniewa˙z q 6= 1 , natychmiast

wynika, ˙ze g = 0 . Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze −1 < q < 0 . Wtedy −|q|

n

≤ q

n

≤ |q|

n

. Z ju˙z udowodnionej cze

´sci

twierdzenia i z twierdzenia o trzech cia

gach wynika, ˙ze 0 = lim

n→∞

(−|q|

n

) = lim

n→∞

q

n

= lim

n→∞

|q|

n

= 0 .

W ten sam spos´

ob mo˙zna rozwa˙zy´c przypadek q > 1 . Cia

g (q

n

) jest ´sci´sle rosna

cy, wie

c ma granice

g . Spe lniona musi by´c r´

owno´s´c g = qg , co jest mo˙zliwe jedynie wtedy, gdy g = 0 lub g = ±∞ .

Wiemy oczywi´scie, ˙ze g > 0 – granica rosna

cego

cia

gu liczb dodatnich musi by´c wie

ksza ni˙z 0 , wobec

tego g = +∞ . W przypadku q ≤ −1 cia

g nie ma granicy, bo mo˙zemy wybra´c podcia

g, kt´

ory ma

granice

g

1

≤ −1 , np. q

2n−1

= q · (q

2

)

n

oraz podcia

g, kt´

ory ma granice

g

2

≥ 1 , np. q

2n

= (q

2

)

n

,

istnienie podcia

g´

ow o r´

o˙znych granicach przeczy istnieniu granicy cia

gu, zar´

owno sko´

nczonej jak i

niesko´

nczonej.

Przyk lad 2.7

Niech a > 0 be

dzie liczba

rzeczywista

. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

n

√

a = 1 . Podobnie jak

w poprzednich przypadkach poka˙zemy dwie metody. Tym razem zaczniemy od sposobu z mniejsza

liczba

rachunk´

ow, czyli „bardziej teoretycznego”.

Za l´

o˙zmy, ˙ze a > 1 . Cia

g

n

√

a

jest w tym przypadku ´sci´sle maleja

cy, jego wyrazy sa

wie

ksze ni˙z 1 ,

wie

c ma granice

g , sko´

nczona

, kt´

ora nie mo˙ze by´c mniejsza ni˙z 1 . Ka˙zdy podcia

g tego cia

gu jest

zbie˙zny do g . Mie

dzy innymi g = lim

n→∞

2n

√

a . Skorzystamy teraz z twierdzenia o iloczynie granic:

g

2

= g · g = lim

n→∞

2n

√

a · lim

n→∞

2n

√

a = lim

n→∞

(

2n

√

a)

2

= lim

n→∞

n

√

a = g , zatem g

2

= g . Sta

d wynika, ˙ze

g = 0 < 1 lub g = 1 (ju˙z wiemy, ˙ze g nie jest r´

owne ±∞ ). Poniewa˙z pierwsza mo˙zliwo´s´c zosta la

wcze´sniej wykluczona, wie

c zostaje druga, czyli g = 1 .

Dla a = 1 teza jest prawdziwa w oczywisty spos´

ob. Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze 0 < a < 1 . Mamy lim

n→∞

n

√

a =

lim

n→∞

1

n

p1/a

=

1

lim

n→∞

n

p1/a

=

1
1

= 1 – skorzystali´smy z twierdzenia o ilorazie granic oraz z ju˙z

udowodnionej cze

´sci tezy.

Teraz udowodnimy, ˙ze lim

n→∞

n

√

a = 1 w przypadku a > 1 , za pomoca

szacowa´

n. Niech ε be

dzie

dowolna

liczba

rzeczywista

dodatnia

. Chcemy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych

n zachodzi nier´

owno´s´c |

n

√

a − 1| < ε , czyli ˙ze 1 − ε <

n

√

a < 1 + ε . Poniewa˙z a > 1 , wie

c nier´

owno´s´c

podw´

ojna sprowadza sie

do nier´

owno´sci

n

√

a < 1 + ε , czyli do nier´

owno´sci a < (1 + ε)

n

. Ta z kolei

wynika z nier´

owno´sci a < 1 + nε , bo 1 + nε < (1 + ε)

n

– nier´

owno´s´c Bernoulli’ego. Wystarczy wie

c,

by n

ε

>

a − 1

ε

. To ko´

nczy dow´

od.

13

Uwaga 2.18 (. . . ) Nie rozwia

zywali´smy nier´

owno´sci

n

√

a < 1 + ε , bo wymaga loby to zastosowania

logarytm´

ow, n >

log a

log (1 + ε)

, wskazali´smy jedynie moment, od kt´

orego nier´

owno´s´c jest prawdziwa,

nie troszcza

c sie

o to, co sie

dzieje w przypadku wcze´sniejszych n .

Uwaga 2.19 (. . . ) Zauwa˙zmy, ˙ze w definiuja

c pote

ge

o wyk ladniku rzeczywistym wykazali´smy, ˙ze

dla ka˙zdej liczby a > 1 i dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nier´

owno´s´c

2m

√

a < 1 +

a−1

2

m

. Sta

d

wynika, ˙ze je˙zeli n ≥ 2

m

, to 1 <

n

√

a ≤

2m

√

a < 1 +

a−1

2

m

. Maja

c dane ε > 0 dobieramy m ∈

tak,

˙ze 1 +

a−1

2

m

< 1 + ε , wie

c dla n > 2

m

mamy

n

√

a < 1 + ε . Oznacza to, ˙ze lim

n→∞

n

√

a = 1 .

Przyk lad 2.8

Teraz wyka˙zemy, ˙ze granica

cia

gu

n

√

n

jest liczba 1 . Zacznijmy od wypisania

kilku pierwszych wyraz´

ow cia

gu:

1

√

1 = 1 ,

√

2 ,

3

√

3 ,

4

√

4 =

√

2 , . . . . Bez trudu mo˙zna stwier-

dzi´c, ˙ze

3

√

3 >

√

2 – mo˙zna np. podnie´s´c te

nier´

owno´s´c obustronnie do pote

gi 6 . Oznacza to, ˙ze

√

2 <

3

√

3 >

4

√

4 . Wynika sta

d, ˙ze cia

g ten nie jest maleja

cy ani rosna

cy. Nie wyklucza to mono-

toniczno´sci od pewnego miejsca. Udowodnimy wie

c , ˙ze lim

n→∞

n

√

n = 1 korzystaja

c z definicji granicy

cia

gu, inny spos´

ob poka˙zemy p´

o´zniej.

Niech ε be

dzie dodatnia

liczba

dodatnia

. Poniewa˙z wszystkie wyrazy cia

gu sa

wie

ksze lub r´

owne od

1 , wie

c wystarczy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c

n

√

n < 1 + ε , czyli

n < (1 + ε)

n

. Tym razem nier´

owno´s´c Bernoulli’ ego jest niewystarczaja

ca, ale poniewa˙z ε > 0 , wie

c

dla n ≥ 2 mamy (1 + ε)

n

≥ 1 +

n

1

ε +

n

2

ε

2

>

n

2

ε

2

.Wystarczy wie

c, ˙zeby n <

n

2

ε

2

=

n(n−1)

2

ε

2

,

czyli

2

ε

2

+ 1 < n , co ko´

nczy dow´

od.

Teraz poka˙zemy jak mo˙zna uzyska´c ten wynik bez szacowa´

n. Nier´

owno´s´c

n

+1

√

n + 1 <

n

√

n jest

r´

ownowa˙zna nier´

owno´sci n >

n+1

n

n

= 1 +

1

n

n

. Ot´

o˙z wykazali´smy wcze´sniej (zob. punkt 13.),

˙ze cia

g 1 +

1

n

n

jest ograniczony. Wobec tego nier´

owno´s´c n > 1 +

1

n

n

zachodzi dla wszystkich do-

statecznie du˙zych

liczb naturalnych n – nie mamy powodu ustala´c w tej chwili, od kt´

orego momentu

jest ona prawdziwa. Wobec tego cia

g (

n

√

n) jest maleja

cy od pewnego momentu, jest te˙z ograniczony

z do lu przez liczbe

1 , a co zatem idzie zbie˙zny. Oznaczmy jego granice

przez g . Ka˙zdy podcia

g tego

cia

gu, np.

2n

√

2n jest zbie˙zny do tej samej granicy g . Wobec tego

g

2

= g·g = lim

n→∞

2n

√

2n· lim

n→∞

2n

√

2n =

lim

n→∞

2n

√

2n

2

= lim

n→∞

n

√

2 ·

n

√

n

=

= lim

n→∞

n

√

2 ·

n

√

n = 1 · g . Otrzymali´smy r´owno´s´c g

2

= g a poniewa˙z 1 ≤ g < +∞ , wie

c g = 1 , co

ko´

nczy dow´

od. Okaza lo sie

, ˙ze r´

ownie˙z w tym przypadku mo˙zna omina

´c rachunki, wymaga lo to tylko

nieco wie

cej zachodu ni˙z poprzednio, bo cia

g nie jest monotoniczny, a tylko maleja

cy od pewnego

momentu.

Przyk lad 2.9

Niech k be

dzie dowolna

liczba

ca lkowita

dodatnia

, q liczba

rzeczywista

wie

ksza

od

1 . Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

n

k

q

n

= 0 . Niech r = 1 − q . Oczywi´scie r > 0 . Za l´o˙zmy, ˙ze n > k + 1 . Mamy

wtedy q

n

= (1 + r)

n

= 1 +

n

1

r +

n

2

r

2

+

n

3

r

3

+ · · · +

n
k

r

k

+

n

k+1

r

k+1

+ · · · +

n
n

r

n

>

n

k+1

r

k+1

.

Mamy wie

c 0 <

n

k

q

n

<

n

k

(

n

k

+1

)

r

k

+1

=

n

k

(k+1)!

n(n−1)·...·(n−k)r

k

+1

=

(k+1)!

n(1−

1

n

)(1−

2

n

)·...·(1−

k
n

)r

k

+1

−−−−→

n→∞

0 , a sta

d i z

14

twierdzenia o trzech cia

gach teza wynika od razu.*

Przyk lad 2.10

Niech a

n

=

q

n

n!

i niech q oznacza dowolna

liczbe

rzeczywista

. Wyka˙zemy, ˙ze

lim

n→∞

a

n

= 0 .

Z definicji cia

gu (a

n

) wynika, ˙ze a

n

=

q·q·q·...·q

1·2·3·...·n

. Iloraz

|q|

n

maleje wraz ze wzrostem liczby n . Jest

nawet lim

n→∞

|q|

n

= 0 . Oznacza, to ˙ze je´sli n jest du˙ze, to wyraz a

n+1

jest znikomo ma la

cze

´scia

wyrazu

a

n

. Sta

d powinna wynika´c zbie˙zno´s´c cia

gu do 0 . Rzeczywi´scie, niech m ≥ 2|q| be

dzie liczba

naturalna

i niech n > m . Wtedy

0 <

q

n

n!

=

|q

m

|

m!

·

|q|

m + 1

·

|q|

m + 2

· . . . ·

|q|

n

<

|q

m

|

m!

·

1

2

n−m

.

Ostatnie wyra˙zenie da

˙zy do 0 , bo jest to wyraz cia

gu geometrycznego o ilorazie

1
2

. Stosujemy twier-

dzenie o trzech cia

gach. Z niego wynika, ˙ze lim

n→∞

q

n

n!

= 0 .

Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Przyk lad 2.11

lim

n→∞

n!

n

n

= 0 . Wynika to sta

d, ˙ze 0 <

n!

n

n

=

1

n

·

2

n

· . . . ·

n
n

≤

1

n

i tego, ˙ze lim

n→∞

1

n

= 0 .

Dow´

od zosta l zako´

nczony.

.

Przyk lad 2.12

Je˙zeli k > 1 jest liczba

naturalna

, x

1

, x

2

, . . . sa

liczbami nieujemnymi i

lim

n→∞

x

n

= g , to lim

n→∞

k

√

x

n

=

k

√

g . Je´sli bowiem

k

√

x

ln

jest podcia

giem zbie˙znym do granicy x

cia

gu

k

√

x

n

, to na mocy twierdzenia o granicy iloczynu cia

g´

ow zachodzi x

k

=

lim

n→∞

k

√

x

ln

k

=

lim

n→∞

x

ln

= g . Poniewa˙z x ≥ 0 , jako granica cia

gu liczb nieujemnych, wie

c x =

k

√

g . Wykazali´smy

wie

c, ˙ze wszystkie te podcia

gi cia

gu

k

√

x

n

, kt´ore maja

granice, sa

zbie˙zne do

k

√

g . Z wniosku z

twierdzenia Bolzano – Weierstrassa wynika, ˙ze granica

cia

gu

k

√

x

n

jest

k

√

g . To twierdzenie z la-

two´scia

mo˙zna rozszerzy´c na przypadek cia

gu liczb ujemnych i pierwiastka stopnia nieparzystego.

Inny dow´

od mo˙zna poda´c korzystaja

c z latwej nier´

owno´sci

k

√

x −

k

√

y

≤

k

p|x − y|

Przyk lad 2.13

Teraz kilka s l´

ow wyja´sniaja

cych dlaczego pewne dzia lania z u˙zyciem symboli nie-

sko´

nczonych sa

zdefiniowane, a inne — nie. Wypiszmy kilka r´

owno´sci latwych do dowodu:

lim

n→∞

n − (n −

1

n

)

= lim

n→∞

1

n

= 0 , co sugeruje, ˙ze powinni´smy definiowa´c +∞ − (+∞) = 0 ;

lim

n→∞

(n − (n − 1)) = lim

n→∞

1 = 1 , co sugeruje, ˙ze powinni´smy definiowa´c +∞ − (+∞) = 1 ;

lim

n→∞

n − (n −

n

2

)

= lim

n→∞

n

2

= +∞ , zatem powinno by´c +∞ − (+∞) = +∞ ;

lim

n→∞

(n − (2n)) = lim

n→∞

(−n) = −∞ , co sugeruje, ˙ze powinni´smy definiowa´c +∞ − (+∞) = −∞ .

Okazuje sie

wie

c, ˙ze z tego, ˙ze dwa cia

gi da

˙za

do +∞ , nic nie wynika na temat warto´sci granicy ich

r´

o˙znicy. Przyja

wszy a

n

= n i b

n

= n + (−1)

n

przekonujemy sie

z latwo´scia

, ˙ze mo˙ze sie

te˙z zdarzy´c,

˙ze lim

n→∞

a

n

= +∞ , lim

n→∞

b

n

= +∞ , natomiast r´o˙znica (a

n

− b

n

) cia

g´

ow (a

n

) i (b

n

) granicy w og´

ole

nie ma, w tym przypadku jest ona cia

giem geometrycznym o ilorazie −1 . Innymi s lowy na podstawie

tego, ˙ze dwa cia

gi maja

granice

+∞ , nic o istnieniu granicy ich r´o˙znicy lub jej warto´sci w przypadku,

*

W pierwszej po lowie XIX w. angielski ekonomista Th.R.Malthus twierdzi l, ˙ze liczba ludno´

sci wzrasta jak cia

g geo-

metryczny, za´

s ilo´

s´

c ˙zywno´

sci jak cia

g arytmetyczny, tzw. prawo Malthusa. Wynika loby sta

d i z tego, co w la´

snie

wykazali´

smy , ˙ze ilo´

s´

c ˙zywno´

sci przypadaja

ca na jedna

osobe

maleje w czasie i to do 0 , co prawda w bardzo d lugim,

bo w przypadku liczby ludno´

sci q≈1 , ale to i tak nie wygla

da lo dobrze.

15

gdy granica istnieje, powiedzie´c nie mo˙zna! To samo dotyczy innych symboli nieoznaczonych np.

0
0

,

±∞

±∞

, 1

±∞

, 0

0

. . . Zache

camy czytelnika do samodzielnego wymy´slenia odpowiednich przyk lad´

ow w

celu lepszego zrozumienia tych kwestii.

Uwaga 2.20 (o cie

˙zkim ˙zyciu studenta) Wielu student´

ow miewa lo w przesz lo´sci – przysz lo´s´c

nie jest autorowi znana – k lopoty z symbolami nieoznaczonymi; wg. autora samodzielne wymy´slenie

kilku przyk lad´

ow ilustruja

cych niemo˙zno´s´c rozszerzenia definicji dzia la´

n z u˙zyciem niesko´

nczono´sci to

jedna z najpewniejszych dr´

og uniknie

cia tego rodzaju trudno´sci.

Ostatnia rzecz, o kt´

orej wspomnie´c wypada przed przej´sciem do dowod´

ow, to twierdzenie o prze-

noszeniu sie

nier´

owno´sci na granice

(N4). Ot´

o˙z mo˙zna by pomy´sle´c, ˙ze je´sli dla wszystkich dostatecznie

du˙zych liczb naturalnych n zachodzi ostra nier´

owno´s´c b

n

< a

n

, to r´

ownie˙z w granicy nier´

owno´s´c jest

ostra. Tak mo˙ze by´c, ale nie musi. ´

Swiadczy´c mo˙ze o tym naste

puja

cy przyk lad: a

n

=

1

2n

, b

n

=

1

n

– wobec tego a

n

< b

n

dla n = 1, 2, 3, . . . i jednocze´snie lim

n→∞

a

n

= 0 = lim

n→∞

b

n

.

Opuszczone dowody

Przejdziemy teraz do dowod´

ow twierdze´

n sformu lowanych na pocza

tku tego rozdzia lu. Zaczniemy od

nier´

owno´sci. Zache

camy student´

ow do przejrzenia przynajmniej cze

´sci dowod´

ow i do lo˙zenia stara´

n

w celu zrozumienia wnioskowania. Wnioskowanie to jedna z najwa˙zniejszych rzeczy w matematyce.

Rozpowszechniany pogla

d, ˙ze jest to potrzebne tylko matematykom jest tylko w pewnym sensie praw-

dziwy. Bez zapoznania sie

z metodami stosowanymi w matematyce nie spos´

ob zapewne zrozumie´c

sformu lowa´

n wielu twierdze´

n i wobec tego trudno je stosowa´c, na pewno grozi to b le

dami i zmusza

student´

ow do zbe

dnego zapamie

tywania jakich´s szczeg´

o l´

ow, kt´

ore z punktu widzenia os´

ob, kt´

ore zro-

zumia ly podstawowe kwestie sa

po prostu oczywiste i w og´

ole o nich nie warto wspomina´c. Poza tym

cze

´s´c dowod´

ow m´

owi o tym, jak nale˙zy poste

powa´c w r´

o˙znych sytuacjach: dow´

od twierdzenia o gra-

nicy iloczynu lub ilorazu cia

g´

ow to po prostu opis podstawowej (i najprostszej) metody szacowania

iloczynu lub ilorazu.

Dow´

od twierdzenia o szacowaniu

Zaczniemy od N1. Przypomnijmy, ˙ze liczba C jest mniejsza

od granicy cia

gu (a

n

) . Mamy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c C < a

n

.

Za l´

o˙zmy najpierw, ˙ze granica lim

n→∞

a

n

jest niesko´

nczona. Poniewa˙z granica ta jest wie

ksza od liczby

rzeczywistej C , wie

c lim

n→∞

a

n

= +∞ (bo −∞ < C ). Z definicji od razu wynika, ˙ze dla ka˙zdej liczby

rzeczywistej M , pocza

wszy od pewnego momentu, zachodzi nier´

owno´s´c a

n

> M – wystarczy wie

c

przyja

´c M = C , by przekona´c sie

, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c C < a

n

.

Przejd´zmy do naste

pnego przypadku: granica lim

n→∞

a

n

jest sko´

nczona. Przyjmijmy ε = lim

n→∞

a

n

− C .

Z definicji od razu wynika, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´

owno´s´c |a

n

− lim

n→∞

a

n

| < ε ,

wie

c a

n

> lim

n→∞

a

n

− ε = C .

W taki sam spos´

ob udowodni´c mo˙zna N2 – trzeba jedynie zmieni´c kierunki niekt´

orych nier´

owno´sci

i zasta

pi´c +∞ przez −∞ .

16

Teraz za l´

o˙zmy, ˙ze lim

n→∞

b

n

< lim

n→∞

a

n

. Niezale˙znie od tego, czy granice sa

sko´

nczone czy nie,

istnieje liczba C taka, ˙ze lim

n→∞

b

n

< C < lim

n→∞

a

n

. Na mocy ju˙z udowodnionej cze

´sci twierdzenia dla

dostatecznie du˙zych n zachodza

nier´

owno´sci b

n

< C oraz C < a

n

. Z nich wynika od razu, ˙ze dla

dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n mamy b

n

< a

n

, co ko´

nczy dow´

od cze

´sci N3.

Za l´

o˙zmy, ˙ze od pewnego momentu zachodzi nier´

owno´s´c b

n

≤ a

n

, chcemy natomiast wykaza´c, ˙ze

lim

n→∞

b

n

≤ lim

n→∞

a

n

. Je´sli tak nie jest, to lim

n→∞

b

n

> lim

n→∞

a

n

. Sta

d jednak wynika, ˙ze dla dostatecznie

du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´

owno´s´c b

n

> a

n

sprzeczna z za lo˙zeniem. Dow´

od twierdzenia

o szacowaniu zosta l zako´

nczony.

Z udowodnionego w la´snie twierdzenia ju˙z wcze´sniej wywnioskowali´smy, ˙ze je´sli cia

g ma granice

,

to tylko jedna

.

Teraz udowodnimy, ˙ze cia

g zbie˙zny do granicy sko´

nczonej jest ograniczony zar´

owno z g´

ory jak i z

do lu. Niech c, d be

da

takimi liczbami rzeczywistymi, ˙ze c < lim

n→∞

a

n

< d . Z twierdzenia o szacowaniu

wynika, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n , powiedzmy wie

kszych od odpowiednio dobra-

nej liczby m , zachodzi nier´

owno´s´c c < a

n

< d . Wystarczy teraz przyja

´c, ˙ze C jest najmniejsza

z liczb

a

0

, a

1

, . . . , a

m

, c , by dla wszystkich liczb naturalnych n by lo C ≤ a

n

. Analogicznie przyjmujemy,

˙ze D jest najwie

ksza

z liczb a

0

, a

1

, . . . , a

m

, d – wtedy a

n

≤ D dla wszystkich liczb naturalnych

n . Dow´

od tego wniosku zosta l zako´

nczony.

Uwaga 2.21 (. . . ) Ten dow´

od jest bardzo prosty. Prosze

jednak zwr´

oci´c uwage

na to, ˙ze spo´sr´

od

sko´

nczenie wielu liczb mo˙zna zawsze wybra´

c najmniejsza

a spo´sr´

od niesko´

nczenie wielu niekoniecznie,

np. w´sr´

od liczb 1,

1
2

,

1
3

, . . . najmniejszej nie ma!

Uwaga 2.22 (o zbie˙zno´

sci cia

gu przeciwnego)

Zauwa˙zmy teraz, ˙ze cia

g (c

n

) ma granice

wtedy i tylko wtedy, gdy cia

g (−c

n

) ma granice

, niezale˙znie

od tego, czy granica ta jest sko´

nczona, czy niesko´

nczona oraz ˙ze zachodzi wtedy r´

owno´s´c

lim

n→∞

(−c

n

) = − lim

n→∞

c

n

.

Ta bardzo prosta uwaga wielokrotnie pozwoli nam na zmniejszenie liczby przypadk´

ow rozwa˙za-

nych w dowodach.

Teraz zajmiemy sie

twierdzeniem o arytmetycznych w lasno´sciach granicy cia

gu. Udowodnimy, ˙ze

suma granic dw´

och cia

g´

ow jest granica

sumy tych cia

g´

ow. Za l´

o˙zmy, ˙ze g

a

= lim

n→∞

a

n

i g

b

= lim

n→∞

b

n

.

Nale˙zy rozwa˙zy´c trzy przypadki: g

a

, g

b

sa

liczbami rzeczywistymi, g

a

jest liczba

rzeczywista

za´s g

b

jest symbolem niesko´

nczonym, g

a

, g

b

sa

symbolami niesko´

nczonymi tego samego znaku.

Rozpoczniemy od granic sko´

nczonych, przypadku znanego z nauki w szkole. Niech ε be

dzie

dodatnia

liczba

rzeczywista

i niech n

0

ε

be

dzie taka

liczba

naturalna

, ˙ze dla n > n

0

ε

zachodzi nier´

owno´s´c

|a

n

− g

a

| <

ε
2

. Niech |b

n

− g

b

| <

ε
2

dla n > n

00

ε

, gdzie n

ε

jest odpowiednio dobrana

liczba

naturalna

.

Wtedy dla n > n

ε

:= max(n

0

ε

, n

00

ε

) zachodza

obydwie nier´

owno´sci, zatem

|a

n

+ b

n

− (g

a

+ g

b

)| ≤ |a

n

− g

a

| + |b

n

− g

b

| <

ε
2

+

ε
2

= ε.

Znaczy to, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n ( n > n

ε

) r´

o˙znica (a

n

+ b

n

) − (g

a

+ g

b

)

17

ma warto´s´c bezwzgle

dna

mniejsza

ni˙z ε , wie

c lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = g

a

+ g

b

. Dow´

od twierdzenia o granicy

sumy cia

g´

ow w tym przypadku zosta l zako´

nczony.

Zajmiemy sie

teraz naste

pnym przypadkiem: niech liczba g be

dzie granica

cia

gu (a

n

) , czyli

g = lim

n→∞

a

n

i niech +∞ = lim

n→∞

b

n

. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = +∞ . Niech M be

dzie dowolna

liczba

rzeczywista

. Istnieje liczba naturalna n

00

M −g+1

taka, ˙ze dla n > n

00

M −g+1

zachodzi nier´

owno´s´c

b

n

> M −g +1 . Istnieje te˙z liczba naturalna n

0

1

taka, ˙ze dla n > n

0

1

zachodzi nier´

owno´s´c |a

n

−g| < 1 .

Niech n

M

be

dzie wie

ksza

z liczb n

00

M −g+1

i n

0

1

. Dla n > n

M

obie nier´

owno´sci zachodza

, wie

c

a

n

+ b

n

= b

n

+ g + (a

n

− g) ≥ b

n

+ g − |a

n

− g| > (M − g + 1) + g − 1 = M .

Wykazali´smy , ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´

owno´s´c a

n

+ b

n

> M ,

wie

c lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = +∞ . Dow´od zosta l zako´nczony.

Je´sli wie

c cia

g (a

n

) ma granice

sko´

nczona

i lim

n→∞

b

n

= −∞ , to na mocy poprzednio wykazanej

cze

´sci twierdzenia o granicy sumy cia

g −a

n

+(−b

n

)

ma granice

i zachodzi r´

owno´s´c lim

n→∞

(−a

n

−b

n

) =

− lim

n→∞

a

n

+ lim

n→∞

(−b

n

) = +∞ , co w ´swietle uwagi poprzedzaja

cej to zdanie oznacza, ˙ze granica

lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) istnieje i jest r´

owna −∞ . Dow´od zosta l zako´nczony.

Zosta l jeszcze jeden przypadek – obie granice sa

r´

owne +∞ lub obie sa

r´

owne −∞ . Korzystaja

c

z uwagi o zbie˙zno´sci cia

gu przeciwnego stwierdzamy, ˙ze dow´

od przeprowadzi´c wystarczy zak ladaja

c,

˙ze lim

n→∞

a

n

= +∞ = lim

n→∞

b

n

. Je´sli M jest dowolna

liczba

rzeczywista

, to istnieja

liczby naturalne

n

0

M/2

oraz n

00

M/2

, takie ˙ze je´sli n > n

0

M/2

, to a

n

>

M

2

, za´s je´sli n > n

00

M/2

, to b

n

>

M

2

. Przyjmijmy,

˙ze n

M

jest wie

ksza

z liczb n > n

0

M/2

, n > n

00

M/2

. Wtedy zachodza

obie nier´

owno´sci i wobec tego

a

n

+ b

n

>

M

2

+

M

2

= M , wie

c dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´

owno´s´c

a

n

+ b

n

> M , a to oznacza, ˙ze lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = +∞ Dow´od zosta l zako´nczony.

Z uwagi o zbie˙zno´sci cia

gu przeciwnego i twierdzenia o granicy sumy (A1) wynika od razu twier-

dzenie o granicy r´

o˙znicy (A2).

Zajmiemy sie

teraz iloczynem. Podobnie jak poprzednio jest wiele przypadk´

ow, kt´

orych liczbe

mo˙zna zredukowa´c stosuja

c uwage

o zbie˙zno´sci cia

gu przeciwnego do naste

puja

cych: obie granice sa

sko´

nczone, obie granice sa

r´

owne +∞ , jedna granica jest dodatnia

liczba

rzeczywista

a druga jest

niesko´

nczona, np. +∞ .

Rozpoczniemy od rozpatrzenia granicy iloczynu dw´

och cia

g´

ow, kt´

orych granice sa

sko´

nczone.

Z twierdzenia o szacowaniu wynika, ˙ze ka˙zdy z tych cia

g´

ow jest ograniczony, wie

c istnieje liczba

K

0

> 0 taka, ˙ze |a

n

| ≤ K

0

i istnieje te˙z liczba K

00

taka, ˙ze |b

n

| < K

00

dla ka˙zdej liczby naturalnej

n . Przyjmuja

c, ˙ze K to wie

ksza z liczb K

0

, K

00

znajdujemy liczbe

, kt´

orej nie przekracza warto´s´c

bezwzgle

dna ˙zadnego wyrazu kt´

oregokolwiek z dw´

och rozpatrywanych cia

g´

ow: |a

n

|, |b

n

| ≤ K . Niech

g

a

= lim

n→∞

a

n

, g

b

= lim

n→∞

b

n

. Z twierdzenia o szacowaniu wnioskujemy, ˙ze r´

ownie˙z |g

a

|, |g

b

| ≤ K .

Niech ε oznacza dowolna

liczbe

dodatnia

. Istnieje wtedy liczba naturalna n

ε

, taka ˙ze je´sli n > n

ε

,

to |a

n

− g

a

| <

ε

2K

i jednocze´snie |b

n

− g

b

| <

ε

2K

. Wtedy

|a

n

b

n

− g

a

g

b

| = |(a

n

− g

a

)b

n

+ g

a

(b

n

− g

b

)| ≤ |a

n

− g

a

| · |b

n

| + |g

a

| · |b

n

− g

b

| <

ε

2K

· K + K ·

ε

2K

= ε.

18

Udowodnili´smy wie

c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n odleg lo´s´c liczby a

n

b

n

od liczby g

a

g

b

jest mniejsza

ni˙z ε , co oznacza, ˙ze g

a

g

b

= lim

n→∞

a

n

· lim

n→∞

b

n

, a to w la´snie by lo naszym celem.

Teraz zajmiemy sie

granica

iloczynu cia

g´

ow, z kt´

orych jeden ma granice

sko´

nczona

i dodatnia

, a

granica

drugiego jest +∞ . Niech g

a

= lim

n→∞

a

n

be

dzie liczba

dodatnia

i niech +∞ = lim

n→∞

b

n

. Niech

M be

dzie dowolna

liczba

rzeczywista

. Z twierdzenia o szacowaniu wynika, ˙ze istnieje liczba naturalna

n

M

taka, ˙ze je´sli n > n

M

, to a

n

>

1
2

g

a

> 0 i b

n

>

2|M|

g

a

> 0 . Wtedy a

n

b

n

>

1
2

g

a

2|M|

g

a

= |M| ≥ M .

Dow´

od w tym przypadku zosta l zako´

nczony. Rozpatrzymy teraz iloczyn cia

g´

ow (a

n

) i (b

n

) przy

za lo˙zeniu, ˙ze lim

n→∞

a

n

= +∞ = lim

n→∞

b

n

. Je´sli M jest dowolna

liczba

rzeczywista

, to istnieje liczba

naturalna n

M

, taka ˙ze dla n > n

M

zachodza

nier´

owno´sci a

n

> 1 + |M| i b

M

> 1 + |M| . Wtedy

dla n > n

M

mamy a

n

b

n

> (1 + |M|)

2

> 2 · |M| ≥ |M| ≥ M , co dowodzi r´owno´sci +∞ = lim

n→∞

a

n

b

n

.

Twierdzenie o granicy iloczynu cia

g´

ow zosta lo w ten spos´

ob udowodnione.

Pozosta la ostatnia cze

´s´c – twierdzenie o granicy ilorazu. Zn´

ow zaczniemy od granic sko´

nczonych.

Niech g

a

= lim

n→∞

a

n

i niech 0 6= g

b

= lim

n→∞

b

n

. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

a

n

b

n

=

g

a

g

b

. Niech ε be

dzie dowolna

liczba

dodatnia

. Z poczynionych za lo˙ze´

n wynika, ˙ze istnieje liczba naturalna n

ε

, taka ˙ze je´sli n > n

ε

,

to |b

n

| >

|g

b

|

2

, |a

n

− g

a

| <

ε·|g

b

|

4

, |b

n

− g

b

| <

ε·|g

b

|

2

4(|g

a

|+1)

.* Dla n > n

ε

mamy wie

c

a

n

b

n

−

g

a

g

b

=

|a

n

g

b

− g

a

b

n

|

|g

b

b

n

|

≤

|a

n

g

b

− g

a

g

b

| + |g

a

g

b

− g

a

b

n

|

|g

b

|

2

/2

=

2

|g

b

|

|a

n

− g

a

| +

2|g

a

|

|g

b

|

2

|g

b

− b

n

| < ε.

Twierdzenie zosta lo udowodnione w przypadku granic sko´

nczonych. Je´sli lim

n→∞

a

n

= +∞ a cia

g (b

n

)

ma granice

sko´

nczona

i r´

o˙zna

od 0 , to cia

g

1

b

n

ma granice

sko´

nczona

i r´

o˙zna

od 0 – wynika to z

ju˙z udowodnionej cze

´sci twierdzenia o granicy ilorazu. W tym przypadku mo˙zna zastosowa´c twierdze-

nie o granicy iloczynu cia

g´

ow: lim

n→∞

a

n

b

n

= lim

n→∞

a

n

·

1

b

n

= lim

n→∞

a

n

· lim

n→∞

1

b

n

= +∞ · lim

n→∞

1

b

n

. Ten

ostatni iloczyn jest oczywi´scie dobrze okre´slony.

Zosta l jeszcze jeden przypadek: granica cia

gu (a

n

) jest sko´

nczona a granica cia

gu (b

n

) jest nie-

sko´

nczona. W tym przypadku cia

g (a

n

) jest ograniczony, tzn. istnieje liczba K > 0 , taka ˙ze dla

ka˙zdego n zachodzi nier´

owno´s´c |a

n

| < K . Je´sli ε > 0 , to istnieje liczba naturalna n

ε

, taka ˙ze je´sli

n > n

ε

, to |b

n

| >

K

ε

. Wtedy

a

n

b

n

< K ·

ε

K

= ε . Wykazali´smy wie

c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n

iloraz

a

n

b

n

ma warto´s´c bezwzgle

dna

mniejsza

ni˙z ε , a to oznacza, ˙ze lim

n→∞

a

n

b

n

= 0 . Dow´

od zosta l

zako´

nczony.

Uwaga 2.23 (o ilorazie z ograniczonym licznikiem)

Z dowodu twierdzenia o granicy ilorazu wynika natychmiast, ˙ze je´sli cia

g (a

n

) jest ograniczony i

lim

n→∞

|b

n

| = +∞ , to lim

n→∞

a

n

b

n

= 0 – nie zak lada sie

tu, ˙ze cia

g (b

n

) w og´

ole ma granice

, starczy

za lo˙zy´c, ˙ze cia

g jego warto´sci bezwzgle

dnych ma granice

niesko´

nczona

, o cia

gu (a

n

) te˙z nie trzeba

zak lada´c, ˙ze jest zbie˙zny – wystarcza ograniczono´s´c.

Teraz zajmiemy sie

twierdzeniem o trzech cia

gach. Wiemy, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi

nier´

owno´s´c podw´

ojna a

n

≤ b

n

≤ c

n

oraz ˙ze cia

gi a

n

i c

n

maja

wsp´

olna

granice

g . Mamy dowie´s´c, ˙ze

*

Nie za lo˙zyli´

smy, ˙ze g

a

6=0 , wie

c w mianowniku umie´

scili´

smy |g

a

|+1 , by na pewno mianownik by l r´o˙zny od 0 .

19

ta wsp´

olna granice jest r´

ownie˙z granica

cia

gu (b

n

) . Za l´

o˙zmy najpierw, ˙ze granica g jest sko´

nczona.

Niech ε > 0 be

dzie dowolna

liczba

. Istnieje taka liczba naturalna n

ε

, ˙ze |a

n

− g| < ε i |c

n

− g| < ε

dla n > n

ε

. Wynika sta

d, ˙ze g − ε < a

n

≤ b

n

≤ c

n

< g + ε , zatem |b

n

− g| < ε . Udowodnili´smy wie

c,

˙ze g = lim

n→∞

b

n

. Teraz mo˙zemy sie

zaja

´c przypadkiem granicy niesko´

nczonej. Jak zwykle wystarczy

zaja

´c sie

jedna

z dwu niesko´

nczono´sci, tym razem dla odmiany g = −∞ . Niech M be

dzie liczba

rzeczywista

. Poniewa˙z lim

n→∞

c

n

= −∞ , wie

c istnieje liczba naturalna n

M

, taka ˙ze dla n > n

M

zachodzi nier´

owno´s´c b

n

≤ c

n

< M , wie

c w szczeg´

olno´sci b

n

< M . Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 2.24 (o trzech cia

gach w przypadku granic niesko´

nczonych) Z dowodu wynika, ˙ze w

przypadku granicy niesko´

nczonej, np. r´

ownej −∞ , u˙zycie jednego z dw´och zewne

trznych cia

g´

ow, w

tym przypadku cia

gu (a

n

) , jest zbe

dne. Prawdziwe jest wie

c twierdzenie: je´sli dla dostatecznie du˙zych

n zachodzi nier´

owno´

s´

c

b

n

≤ c

n

i cia

g

(c

n

) ma granice

−∞ , to r´ownie˙z cia

g

(b

n

) ma granice

−∞

i – analogicznie – je´

sli dla dostatecznie du˙zych

n zachodzi nier´

owno´

s´

c

a

n

≤ b

n

i granica

cia

gu

(a

n

)

jest

+∞ , to r´ownie˙z +∞ = lim

n→∞

b

n

.

Dow´

od twierdzenia o scalaniu. Ten dow´

od jest bardzo prosty. Za l´

o˙zmy, ˙ze granica g jest sko´

n-

czona i niech ε > 0 . Istnieja

liczby n

0

ε

i n

00

ε

, takie ˙ze dla n > n

0

ε

zachodzi nier´

owno´s´c |a

kn

− g| < ε ,

dla n > n

00

ε

zachodzi nier´

owno´s´c |a

ln

− g| < ε . Poniewa˙z k

n

→ ∞ i l

n

→

∞

, wie

c istnieje n

ε

, takie ˙ze

je´sli n > n

ε

i m jest tak dobrane, ˙ze a

n

= a

km

lub a

n

= a

lm

, to m > n

0

ε

oraz m > n

00

ε

i wobec tego

|a

n

− g| < ε . To oznacza, ˙ze g = lim

n→∞

a

n

. Nieznaczne modyfikacje tego rozumowania dadza

dow´

od w

przypadku granicy niesko´

nczonej.

Dow´

od twierdzenia Bolzano – Weierstrassa. Je´sli cia

g (a

n

) nie jest ograniczony z g´

ory, to

mo˙zna z niego wybra´c podcia

g ´sci´sle rosna

cy: niech n

1

= 1 ; poniewa˙z cia

g jest nieograniczony z g´

ory,

wie

c w´sr´

od wyraz´

ow naste

puja

cych po a

n

1

sa

wie

ksze od a

n

1

; niech n

2

be

dzie numerem jednego z

nich – mamy wie

c n

2

> n

1

oraz a

n

2

> a

n

1

; poniewa˙z cia

g (a

n

) jest nieograniczony z g´

ory, wie

c w´sr´

od

wyraz´

ow, kt´

ore naste

puja

po a

n

2

jest wyraz wie

kszy ni˙z a

n

2

, wybierzmy jeden z nich i przyjmijmy,

˙ze n

3

jest jego numerem; mamy wie

c n

3

> n

2

oraz a

n

3

> a

n

2

; proces ten mo˙zna kontynuowa´c

nieograniczenie. Ca lkowicie analogicznie poste

pujemy w przypadku cia

gu nieograniczonego z do lu z

tym, ˙ze teraz wybieramy podcia

g ´sci´sle maleja

cy. Cia

g monotoniczny ma, jak wiemy, granice

. Pozosta l

do rozpatrzenia przypadek cia

gu ograniczonego (z g´

ory i z do lu).

Niech c, d be

da

takimi liczbami rzeczywistymi, ˙ze dla ka˙zdego liczby naturalnej n zachodzi nier´

ow-

no´s´c c ≤ a

n

≤ d , c jest ograniczeniem dolnym cia

gu (a

n

) a d – g´

ornym. Bez straty og´

olno´sci

rozwa˙za´

n mo˙zna przyja

´c, ˙ze cia

g (a

n

) nie zawiera podcia

gu sta lego – je´sli zawiera, to ten w la´snie

podcia

g jest zbie˙zny. Dalej zak ladamy, ˙ze (a

n

) nie zawiera podcia

gu sta lego, wie

c ˙ze ka˙zda liczba

mo˙ze wysta

pi´c jako wyraz cia

gu jedynie sko´

nczenie wiele razy. Zreszta

to za lo˙zenie nie jest istotne dla

rozumowania przeprowadzanego poni˙zej, jednak pozwala unikna

´c pyta´

n o szczeg´

o lowa

interpretacje

u˙zywanych sformu lowa´

n. Niech n

1

= 1 , c

1

= c , d

1

= d . Jedna z po l´

owek przedzia lu [c, d] (lub

obie) zawiera niesko´

nczenie wiele wyraz´

ow cia

gu a

n

, niech [c

2

, d

2

] be

dzie ta

w la´snie po l´

owka

(je´sli

np. w przedziale

c,

c+d

2

jest niesko´

nczenie wiele wyraz´

ow cia

gu (a

n

) , to przyjmujemy c

2

= c

1

= c

20

i d

2

=

c+d

2

, je´sli w przedziale

c,

c+d

2

jest sko´

nczenie wiele wyraz´

ow cia

gu (a

n

) , to w przedziale

c+d

2

, d

musi by´c ich niesko´

nczenie wiele, w tym przypadku przyjmujemy c

2

=

c+d

2

i d

2

= d

1

= d ) i

niech n

2

> n

1

be

dzie takim numerem, ˙ze a

n

2

∈ [c

2

, d

2

] . Powtarzamy przeprowadzone rozumowanie w

odniesieniu do przedzia lu [c

2

, d

2

] i wyraz´

ow cia

gu naste

puja

cych po a

n

2

. W wyniku tego otrzymujemy

liczbe

naturalna

n

3

> n

2

oraz liczby rzeczywiste c

3

, d

3

takie, ˙ze c

3

≤ a

n

3

≤ d

3

. Dla j = 1, 2, 3

mamy wobec tego c

j

≤ a

n

j

≤ d

j

i d

j

− c

j

=

d−c

2

j

oraz c

1

≤ c

2

≤ c

3

i d

1

≥ d

2

≥ d

3

. Kontynuuja

c to

poste

powanie otrzymujemy niemaleja

cy cia

g (c

j

) oraz nierosna

cy cia

g (d

j

) , przy czym d

j

−c

j

=

d−c

2

j

.

Cia

gi te maja

granice, bo sa

monotoniczne. Granice te sa

r´

owne, bo lim

n→∞

(d

j

−c

j

) = lim

n→∞

1

2

j

·(d−c) = 0 .

Poniewa˙z c

j

≤ a

n

j

≤ d

j

dla ka˙zdej liczby naturalnej j , wie

c – na mocy twierdzenia o trzech cia

gach

– cia

g (a

n

j

) te˙z ma te

sama

granice

. Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Dow´

od wniosku z twierdzenia Bolzano – Weierstrassa

Udowodnimy teraz, ˙ze z cia

gu (a

n

) ,

kt´

ory nie ma granicy mo˙zna wybra´c dwa podcia

gi maja

ce r´

o˙zne granice. Za l´

o˙zmy,˙ze cia

g (a

n

) zawiera

podcia

g o granicy +∞ . Poniewa˙z +∞ nie jest granica

cia

gu (a

n

) , wie

c istnieje liczba rzeczywista

B , taka ˙ze dla niesko´

nczenie wielu n zachodzi nier´

owno´s´c a

n

< B . Niech a

kn

oznacza podcia

g

cia

gu (a

n

) z lo˙zony z tych wszystkich wyraz´

ow cia

gu a

n

, kt´

ore sa

mniejsze ni˙z B . Na mocy twier-

dzenia Bolzano–Weierstrassa mo˙zna z cia

gu (a

kn

) wybra´c podcia

g kt´

ory ma granice

g . Oczywi´scie

g ≤ B . Wobec tego w tym przypadku istnieja

dwa podcia

gi: jeden o granicy +∞ , drugi o granicy

g ≤ B < +∞ , co ko´nczy dow´od w tym przypadku. Je´sli cia

g (a

n

) zawiera podcia

g o granicy −∞ ,

to teza wynika z poprzednio udowodnionego fragmentu: cia

g (−a

n

) zawiera dwa podcia

gi o r´

o˙znych

granicach. Pozosta l do rozpatrzenia przypadek cia

gu (a

n

) , kt´

ory nie zawiera podcia

g´

ow o granicach

niesko´

nczonych. Poniewa˙z cia

g (a

n

) nie zawiera podcia

gu o granicy +∞ , wie

c jest ograniczony z

g´

ory, a poniewa˙z nie zawiera podcia

g´

ow zbie˙znych do −∞ , wie

c jest ograniczony r´

ownie˙z z do lu.

Mamy wie

c do czynienia z cia

giem ograniczonym. Mo˙zna ze´

n wybra´c podcia

g zbie˙zny do granicy g .

Poniewa˙z g nie jest granica

cia

gu (a

n

) , wie

c istnieje ε > 0 , takie ˙ze poza przedzia lem (g − ε, g + ε)

znajduje sie

niesko´

nczenie wiele wyraz´

ow cia

gu. Wybieramy z tych w la´snie wyraz´

ow podcia

g zbie˙zny.

Ma on oczywi´scie granice

6= g , dok ladniej odleg lo´s´c mie

dzy granicami tych podcia

g´

ow nie mo˙ze by´c

mniejsza ni˙z ε . Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 2.25 (o odleg lo´

sci do ±∞ ) Z punktu widzenia zbie˙zno´sci wyr´o˙znianie granic niesko´n-

czonych jest nieco sztuczne, zwia

zane g l´

ownie z tym, ˙ze nie wprowadzili´smy poje

cia odleg lo´sci od

±∞ . To mo˙zna zrobi´c i to w ten spos´ob, by cia

g zbie˙zny wg. definicji podanych przez nas poprzed-

nio do pewnej granicy, by l takim cia

giem, ˙ze odleg lo´s´c jego wyrazu od granicy da

˙zy do 0 . Niech

f (x) =

x

√

1+x

2

dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x oraz f (+∞) = 1 i f(−∞) = −1 . Mo˙zna bez trudu

wykaza´c, ˙ze lim

n→∞

x

n

= g wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

f (x

n

) = f (g) , a to ma miejsce wtedy i tylko

wtedy, gdy lim

n→∞

|f(x

n

)−f(g)| = 0 . Wida´c wie

c, ˙ze po przyje

ciu, ˙ze odleg lo´scia

punkt´

ow x i y prostej

uzupe lnionej niesko´

nczono´sciami jest |f(x) − f(y)| , be

dzie mo˙zna rozpatrywa´c wy la

cznie cia

gi o wy-

razach z przedzia lu [−1, 1] – zamiast cia

gu (x

n

) mo˙zna rozwa˙za´c cia

g (f (x

n

)) . Wada

tego podej´scia

jest np. to, ˙ze przy przej´sciu od x do f (x) liczbie x + y odpowiada f (x + y) 6= f(x) + f(y) .

21

dow´

od (twierdzenia Cauchy’ego)

Zajmiemy sie

teraz warunkiem Cauchy’ego. Je˙zeli cia

g

ma granice

sko´

nczona

g i ε > 0 , to dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´

owno´s´c

|a

n

− g| <

ε
2

. Je´sli wie

c liczby naturalne k i l sa

dostatecznie du˙ze, to

|a

k

− a

l

| = |a

k

− g + g − a

l

| ≤ |a

k

− g| + |g − a

l

| <

ε
2

+

ε
2

= ε .

Wykazali´smy wie

c, ˙ze z istnienia granicy sko´

nczonej wynika warunek Cauchy’ego. Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze

cia

g spe lnia warunek Cauchy’ego. Istnieje wtedy n

1

, takie ˙ze dla k, l > n

1

mamy |a

k

− a

l

| < 1 .

Przyjmuja

c l = n

1

+ 1 stwierdzamy, ˙ze |a

k

| − |a

l

| ≤ |a

k

− a

l

| < 1 , zatem |a

k

| ≤ 1 + |a

l

| dla wszystkich

dostatecznie du˙zych k . Znaczy to, ˙ze cia

g (a

n

) jest ograniczony. Wybierzmy z cia

gu (a

n

) podcia

g

zbie˙zny (a

n

m

) . Niech g oznacza jego granice

. Wyka˙zemy, ˙ze g jest granica

ca lego cia

gu. Je´sli ε > 0 ,

to dla dostatecznie du˙zych k, l, m zachodza

nier´

owno´sci |a

k

− a

l

| <

ε
2

oraz |a

n

m

− g| <

ε
2

. Poniewa˙z

m, l sa

wybierane dowolnie, byle by ly dostatecznie du˙ze, i n

m

≥ m , wie

c mo˙zna wybra´c je tak, by

l = n

m

. Wtedy dla dostatecznie du˙zego k mamy |a

k

− g| ≤ |a

k

− a

l

| + |a

n

m

− g| <

ε
2

+

ε
2

= ε , co

oznacza, ˙ze g = lim

n→∞

a

n

. Dow´

od zosta l zako´

nczony.

"

"

"

%

0. Czy prawda

jest, ˙ze dla wszystkich liczb n ∈

zachodzi nier´

owno´s´c 3

n

− 2,999

n

< 10000 ?

1. Oblicz sze´s´c pocza

tkowych wyraz´

ow cia

gu, kt´

orego wyraz og´

olny wyra˙za sie

wzorem:

a) a

n

=

n

2

+2n+1

n

,

b) b

n

= 1 −

1

10

n

,

c) c

n

= cos(n · 90

◦

) ,

d) d

n

= (−1)

n

·

3−n

n

,

e) u

n

= [sin(n · 45

◦

)]

n

,

f) v

n

=

n

2

n+2

.

2. Kt´

ore wyrazy cia

gu (a

n

) sa

r´

owne zeru

a) a

n

= n

2

− 5n − 6 ,

b) a

n

=

n

2

−30n+200

n

2

+n−1

,

c) a

n

= n

2

− n − 20 ?

3. Kt´

ore wyrazy cia

gu (a

n

) sa

r´

owne liczbie: 1, −2 , 0, je˙zeli:

a

n

=

n

2

,

a

n

= 3n − 5 ,

a

n

= n − n

2

?

4. Kt´

ore wyrazy cia

gu (a

n

) sa

r´

owne liczbie:

1
2

,

3
5

,

7
4

, je˙zeli

a

n

=

2n−1

5

,

a

n

=

7

n

,

a

n

=

3n−2

n+1

?

5. Cia

g (a

n

) jest okre´slony wzorem rekurencyjnym:

a

1

= 1

a

n+1

= a

n

+ 8n.

Wyka˙z, ˙ze a

n

= (2n − 1)

2

.

6. Cia

g (b

n

) jest okre´slony wzorem rekurencyjnym:

b

1

= 1

b

n+1

= b

n

+ 2n + 1.

Wyka˙z, ˙ze b

n

= n

2

.

7. Cia

g (x

n

) okre´slony jest wzorem rekurencyjnym:

a)

x

1

= 2

x

n+1

= x

n

+

1
3

b)

x

1

= 1

x

n+1

= 2x

n

c)

x

1

=

3
2

x

n+1

=

4
3

x

n

d)

x

1

= 0; x

2

= −

1
2

x

n+2

= (x

n

)

2

· x

n+1

W ka˙zdym z tych przypadk´

ow podaj wz´

or og´

olny (wraz z uzasadnieniem poprawno´sci) na jego

wyraz.

8. Zbadaj, kt´

ore wyrazy podanych cia

g´

ow sa

wie

ksze od danej liczby M :

a) a

n

= 3n + 4 , M = 1000 ;

b) b

n

= n

2

− 1 , M = 730 ;

c) c

n

=

10n

n

2

+1

, M = 4 ;

d) d

n

=

2n+5
2n+3

, M =

3
4

.

22

9. Zbadaj, kt´

ore wyrazy podanych cia

g´

ow sa

mniejsze od danej liczby m :

a) a

n

=

1

n

, m =

1

100

;

b) b

n

=

3n

n

2

+1

, m = 0,001 ,

c) c

n

=

100n

100+n

2

, m =

23
53

.

10. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodza

r´

owno´sci:

(i) (a + b)

n

= a

n

+

n

1

a

n−1

b +

n

2

a

n−2

b

2

+ · · · +

n

n−2

a

2

b

n−2

+

n

n−1

ab

n−1

+ b

n

, gdzie

c

k

=

c(c − 1)(c − 2) . . . c − (k − 1)

k!

dla ka˙zdej liczby rzeczywistej c i k ∈ {1, 2, 3, . . .} ,

(ii) a

n

− b

n

= (a − b) a

n−1

+ a

n−2

b + a

n−3

b

2

+ · · · + ab

n−2

+ b

n−1

.

(iii) a

2n+1

+ b

2n+1

= (a + b) a

2n

− a

2n−1

b + a

2n−2

b

2

− a

2n−3

b

3

+ · · · + a

2

b

2n−2

− ab

2n−1

+ b

2n

.

11.

Niech wyrazy cia

gu (a

n

) spe lniaja

r´

ownanie: a

n+1

= qa

n

. Wykaza´c, ˙ze a

n

= a

1

q

n−1

dla

dowolnej liczby naturalnej n . Udowodni´c, ˙ze wz´

or a

1

+ a

2

+ ... + a

n

= a

1

1 − q

n

1 − q

zachodzi dla

dowolnej liczby q 6= 1 i dowolnej liczby naturalnej n ≥ 1 .

12. Zapisa´c liczbe

0.12345123451234512345 . . . = 0, (12345) jako iloraz dwu liczb ca lkowitych.

13. Co jest wie

ksze: liczba 1 czy liczba 0, 99999 . . . = 0,(9) ? – odpowied´z dok ladnie uzasadni´c.

14. Wykaza´c, ˙ze je´sli dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi r´

owno´s´c a

n+1

= qa

n

+ p , gdzie p oraz

q sa

dowolnymi, niezale˙znymi od n liczbami rzeczywistymi, to dla ka˙zdej liczby naturalnej n

zachodzi r´

owno´s´c a

n

=

p

1 − q

+ (a

1

−

p

1 − q

)q

n−1

. W szczeg´

olno´sci, je´sli a

1

=

p

1 − q

, to wyraz

cia

gu (a

n

) jest niezale˙zny od n .

15. Wykaza´c, ˙ze cia

g (a

n

) jest zbie˙zny do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy cia

g (|a

n

|) jest zbie˙zny do 0 .

16. Wykaza´c, ˙ze iloczyn (a

n

b

n

) cia

gu (a

n

) zbie˙znego do 0 i cia

gu ograniczonego (b

n

) jest cia

giem

zbie˙znym do liczby 0 .

17. Wykaza´c, ˙ze dla n > 1000000 zachodzi nier´

owno´s´c

n

√

2 < 1.000001 .

18. Dowie´s´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodza

nier´

owno´sci: n! > 1000000

n

oraz

1.000001

n

> n

1000000

. W obu przypadkach sprawdzi´c, ˙ze dla n = 2, 3, 4, 5 zachodzi

nier´

owno´s´c przeciwna i wskaza´c liczbe

n

0

(nie szuka´c najmniejszej!) taka

, ˙ze dla n > n

0

zachodza

nier´

owno´sci wypisane w pierwszym zdaniu.

19. Obliczy´c granice

cia

gu (a

n

) , o ile istnieje, je´sli a

n

=

a.

pn +

3

√

n −

√

n ;

b.

√

n + 13 −

√

n ;

c.

n

√

3

n

− 2

n

;

d.

n

√

3

n

+ sin n ;

e. 1 +

n

n + 1

cos

nπ

2

;

f. sin n ;

g.

n

2

+ n + 1000

n

1000

+ 999n − 1

;

h.

ln n

2

+ n + 1000

ln (n

1000

+ 999n − 1)

;

i.

1 + sin

1

n

n

;

j.

n

√

n! ;

k.

10 · 11 · 12 · . . . · (n + 9)

1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1)

;

l.

1 +

sin n

n

2

n

;

m.

1 −

1
2

1 −

1
3

. . .

1 −

1

n

;

n.

1 −

1

2

2

1 −

1

3

2

. . .

1 −

1

n

2

o.

3

n

− 2

n

3

n

+ n

2

· 2

n

;

p.

3

n

+ 2

n

· sin n

3

n+1

+ n

2002

.

23