Kulka i grawitacja

Jacek Izdebski

5 stycznia 2002 roku

Zadanie

Zbadać ruch kulki materialnej poruszającej się wzdłuż prostoliniowego kana-
łu przewodzącego przez środek Ziemi, jeżeli wiemy, że wewnątrz Ziemi siła
działająca na kulkę jest proporcjonalna do jej odchylenia od środka Ziemi i
jest skierowana do jej środka.

Rozwiązanie

Aby określić w jaki sposób porusza się kulka opisana w zadaniu należy naj-
pierw ustalić postać siły na nią działającej. Na powierzchni Ziemi na kulkę
działa ciężar

F =

GM m

R

2

gdzie G jest stałą powszechnej grawitacji, M oznacza masę Ziemi, m to masa
kulki, R to promień Ziemi.

Jeżeli kulka znajduje się pod powierzchnią Ziemi to wtedy siła grawitacji

działająca na nią pochodzi tylko od tej części masy planety, jaka znajduje
się we wnętrzu wyobrażonej sfery o promieniu r równym odległości kulki od
środka Ziemi. Masę taką można wyrazić wzorem

M

sf ery

= V ρ

gdzie V jest objętością sfery, ρ oznacza gęstość planety (zakładamy, że Ziemia
jest jednorodna). Idąc dalej wzór powyższy można zapisać wprost

M

sf ery

=

4

3

πr

3

ρ

Na tej podstawie możemy zapisać wyrażenie na siłę we wnętrzu jednorodnej
planety

F =

Gm

r

2

4

3

πr

3

ρ

1

F = Gm

4

3

πrρ

W zadaniu nie ma nigdzie mowy o gęstości Ziemi ale można ją obliczyć dzieląc
jej masę przez objętość.

ρ = M

3

4πR

3

Po podstawieniu do prawa powszechnego ciążenia otrzymamy

F = Gm

4

3

πrM

3

4πR

3

Aby zaznaczyć,że siła jest skierowana przeciwnie do kierunku promienia
przed wyrażeniem należy dostawić minus, a wtedy

F =

−

GM m

R

3

r

Widać teraz wyraźnie jaka jest dokładnie zależność F (r). Można teraz wy-
korzystać drugą zasadę dynamiki Newtona

F = ma

czyli

−

GM m

R

3

r = m

d

2

r(t)

dt

2

−

GM

R

3

r =

d

2

r(t)

dt

2

Otrzymaliśmy równanie, którego rozwiązaniem jest funkcja r(t), której druga
pochodna jest równa tej funkcji pomnożonej przez stałą. Spróbujemy zgadnąć
rozwiązanie. W przypadku wahadła sprężynowego jest również liniowa zależ-
ność siły od położenia, a rozwiązaniem jest funkcja typu r(t) = A cos(ωt).
Druga pochodna tej funkcji jest więc równa

d

2

r(t)

dt

2

=

−Aω

2

cos(ωt)

Można zauważyć, że

d

2

r(t)

dt

2

=

−ω

2

A cos(ωt) =

−ω

2

r(t)

Można to porównać z równaniem dotyczącym bezpośrednio tego zagadnienia,
a okaże się, że

ω

2

=

GM

R

3

2

Warto zwrócić uwagę, że

GM

R

2

= g więc

ω

2

=

g

R

czyli

ω =

r

g

R

Naturalnie amplituda drgań nie może być większa niż R (gdy A = R wtedy
ruch kulki zaczyna się z powierzchni Ziemi).

Ostatecznie możemy zapisać, że zależność położenia od czasu jest opisana

funkcją

r(t) = R cos

r

g

R

t



Okazuje się, że kulka będzie poruszać się ruchem periodycznym o okresie

T =

2π

ω

= 2π

s

R

g

3