Kulka i grawitacja Jacek Izdebski
5 stycznia 2002 roku
Zadanie
Zbadać ruch kulki materialnej poruszającej się wzdłuż prostoliniowego kana-
łu przewodzącego przez środek Ziemi, jeżeli wiemy, że wewnątrz Ziemi siła działająca na kulkę jest proporcjonalna do jej odchylenia od środka Ziemi i jest skierowana do jej środka.
Rozwiązanie
Aby określić w jaki sposób porusza się kulka opisana w zadaniu należy naj-pierw ustalić postać siły na nią działającej. Na powierzchni Ziemi na kulkę działa ciężar
GM m
F =
R2
gdzie G jest stałą powszechnej grawitacji, M oznacza masę Ziemi, m to masa kulki, R to promień Ziemi.
Jeżeli kulka znajduje się pod powierzchnią Ziemi to wtedy siła grawitacji działająca na nią pochodzi tylko od tej części masy planety, jaka znajduje się we wnętrzu wyobrażonej sfery o promieniu r równym odległości kulki od środka Ziemi. Masę taką można wyrazić wzorem Msfery = V ρ
gdzie V jest objętością sfery, ρ oznacza gęstość planety (zakładamy, że Ziemia jest jednorodna). Idąc dalej wzór powyższy można zapisać wprost 4
Msfery = πr3ρ
3
Na tej podstawie możemy zapisać wyrażenie na siłę we wnętrzu jednorodnej planety
Gm 4
F =
πr3ρ
r2 3
1
F = Gm πrρ
3
W zadaniu nie ma nigdzie mowy o gęstości Ziemi ale można ją obliczyć dzieląc jej masę przez objętość.
3
ρ = M 4πR3
Po podstawieniu do prawa powszechnego ciążenia otrzymamy 4
3
F = Gm πrM
3
4πR3
Aby zaznaczyć,że siła jest skierowana przeciwnie do kierunku promienia przed wyrażeniem należy dostawić minus, a wtedy GM m
F = −
r
R3
Widać teraz wyraźnie jaka jest dokładnie zależność F (r). Można teraz wy-korzystać drugą zasadę dynamiki Newtona F = ma
czyli
GM m
d2r(t)
−
r = m
R3
dt2
GM
d2r(t)
−
r =
R3
dt2
Otrzymaliśmy równanie, którego rozwiązaniem jest funkcja r(t), której druga pochodna jest równa tej funkcji pomnożonej przez stałą. Spróbujemy zgadnąć rozwiązanie. W przypadku wahadła sprężynowego jest również liniowa zależ-
ność siły od położenia, a rozwiązaniem jest funkcja typu r(t) = A cos(ωt).
Druga pochodna tej funkcji jest więc równa d2r(t) = −Aω2 cos(ωt)
dt2
Można zauważyć, że
d2r(t) = −ω2Acos(ωt) = −ω2r(t) dt2
Można to porównać z równaniem dotyczącym bezpośrednio tego zagadnienia, a okaże się, że
GM
ω2 = R3
2
Warto zwrócić uwagę, że GM = g więc R2
g
ω2 = R
czyli
r g
ω =
R
Naturalnie amplituda drgań nie może być większa niż R (gdy A = R wtedy ruch kulki zaczyna się z powierzchni Ziemi).
Ostatecznie możemy zapisać, że zależność położenia od czasu jest opisana funkcją
r g
r(t) = R cos
t
R
Okazuje się, że kulka będzie poruszać się ruchem periodycznym o okresie s
2π
R
T =
= 2π
ω
g
3