1sze Kolokwium z RRC1 grupa B

Imi ¾

e i nazwisko, numer albumu:

nr grupy:

1. Wykorzystuj ¾

ac de…nicj ¾

e granicy wyka·

z, ·

ze

lim

n

!+1

3

n 1

6 = +1:

2. Wyznacz z de…nicji kresy zbioru

B =

2 +

1

p

n + 1

: n 2 N

3. Narysuj podany zbiór i odczytaj jego kresy

f 4; 0; 1g [ ( 3; 1) [ [5; +1):

4. Niech f : R ! R b ¾

edzie dana wzorem:

f (x) =

8

<

:

x + 9;

dla

x < 0

3;

dla

x = 0

9x

2

;

dla

x > 0

:

Sprawd´z, czy funkcja jest bijekcj ¾

a i je´sli jest, to wyznacz f

1

.

5. Zbadaj parzysto´s´c i nieparzysto´s´c funkcji f (x) = log

3

x 1
x+1

.

6. Zbadaj czy funkcja f : (0; 1) ! ( 1; 0) dana wzorem f(x) =

3

x

3x

jest monotoniczna.

7. Obliczy´c lim

n

!1

n

3

2

3

n

(n

3) (n + 1)

4

.

8. Obliczy´c lim

n

!1

n

r

sin

4

n + 2

n

+

1

3

n

.

9. Korzystaj ¾

ac z twierdzenia o dwóch ci ¾

agach obliczy´c granic ¾

e ci ¾

agu (a

n

)

n

2N

okre´slonego wzorem

a

n

=

8

<

:

( 1)

n

n; je·

zeli n

12;

(4

2 arctg n) n

3

; je·

zeli n > 12:

10. Obliczy´c lim

n

!1

2 + 3n
5 + 3n

4n+2

.

1

ZADANIA TEORETYCZNE

1. Podaj de…nicj ¾

e (opisow ¾

a bez u·

zycia symbolu ") kresu dolnego niepustego

podzbioru zbioru liczb rzeczywistych.

2. Poda´c de…nicj ¾

e podzbioru domkni ¾

etego.zbioru liczb rzeczywistych

3. Wyja´sni´c na przyk÷

adzie znaczenie zwrotu "wyra·

zenie typu 0 1 jest nieoz-

naczone"

4. Oceni´c prawdziwo´s´c zdania: Za÷

ó·

zmy, ·

ze a

n

jest ci ¾

agiem o wyrazach nieu-

jemnych zbie·

znym do a 2 R: Wóczas

n

p

a

n

! 1:

5. Dane s ¾

a funkcje f; g : R ! R. Wiadomo, ·

ze funkcje f g oraz g s ¾

a ci ¾

ag÷

e.

Czy funkcja f jest równie·

z ci ¾

ag÷

a?

6. Poda´c de…nicj ¾

e funkcji ró·

znowarto´sciowej. Poda´c przyk÷

ad funkcji, która

jest ró·

znowarto´sciowa i takiej, która nie jest ró·

znowarto´sciowa.

7. Dana jest funkcja ci ¾

ag÷

a f : [1; 2] ! R. Czy jest prawd ¾

a, ·

ze dla dowolnego

M > 0 istnieje x 2 [1; 2], taki, ·

ze f (x) > M ?

8. Poda´c de…nicj ¾

e warunku Lipschitza i jego zwi ¾

azku z ci ¾

ag÷

o´sci ¾

a dla funkcji

f : R ! R.

9. Poda´c de…nicj ¾

e ci ¾

agu nierosn ¾

acego. Sformu÷

owa´c i udowodni´c twierdzenie

o zbie·

zno´sci ci ¾

agu nierosn ¾

acego i ograniczonego.

10. Sformu÷

owac twierdzenie o trzech ciagach - poda´c szkic dowodu.

2