7.1.1. Przedmiot dynamiki

Dynamika jest działem mechaniki, który zajmuje się badaniem zależności
między ruchem ciał materialnych i siłami wywołującymi ten ruch. Podstawą
dynamiki są prawa Newtona przytoczone w punkcie 1.2. Aby prawa te były
słuszne, w mechanice newtonowskiej ruch odnosimy do układów inercjalnych.
Z tych praw wynika, że dotyczą one punktu materialnego. W dynamice prawa
te będziemy stosować nie tylko do punktu materialnego, ale także

− po ich

odpowiednim przekształceniu

− do układu punktów materialnych, ciała sztywnego

i bryły sztywnej.
Badanie ruchu punktu materialnego o masie m i przyśpieszeniu a, na który
działa siła F, sprowadza się do analizy drugiego prawa Newtona:

F

a

=

m

. (7.1)

Powyższe równanie jest dynamicznym
równaniem ruchu punktu materialnego.
Jeżeli wektor wodzący
rozpatrywanego punktu materialnego
poprowadzony z

początku O

nieruchomego układu współrzędnych x,
y, z (rys. 7.1) oznaczymy przez r, to,
jak wiadomo z kinematyki,
przyśpieszenie a jest drugą pochodną
względem czasu wektora wodzącego.
Zatem równanie (7.1) przyjmie postać:

z

y

x

O

F

m

r

Rys. 7.1. Ruch punktu materialnego pod

działaniem siły

F

r =

2

2

t

d

d

m

. (7.2)

Jest to wektorowe równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego. W
prostokątnym układzie współrzędnych, przedstawionym na rys. 7.1, równaniu temu
odpowiadają trzy skalarne dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.

z

2

2

y

2

2

x

2

2

F

t

d

z

d

m

,

F

t

d

y

d

m

,

F

t

d

x

d

m

=

=

=

.

(7.3)

W równaniach tych x, y, z są współrzędnymi wektora wodzącego r, czyli
współrzędnymi punktu materialnego, a F

x

, F

y

, F

z

współrzędnymi siły F w

przyjętym układzie współrzędnych.

Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego (7.3) są w ogólnym

przypadku układem trzech równań różniczkowych i stanowią podstawę analizy
dynamiki punktu materialnego. Rozróżniamy tutaj dwie grupy zagadnień, które
omówimy w następnych punktach.

7.1.2. Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki

Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu siły
działającej na poruszający się znanym ruchem punkt materialny. Jest ono również
znane jako zagadnienie proste dynamiki. Jego rozwiązanie wynika bezpośrednio
z drugiego prawa Newtona i nie nastręcza większych trudności. Jeżeli znamy
równanie ruchu punktu materialnego w postaci:

( )

,

t

r

r

=

to w wyniku dwukrotnego różniczkowania względem czasu otrzymujemy
przyśpieszenie tego punktu:

t

d

d

2

r

a

=

i po podstawieniu tej zależności do równania (7.1) otrzymujemy siłę, a właściwie
wypadkową wszystkich sił działających na dany punkt:

2

2

t

d

d

m

r

F

=

. (7.4)

Przykład 7.1. Punkt materialny o masie m porusza się w płaszczyźnie xy
zgodnie z równaniami ruchu:

t

4sin

=

y

t,

cos2

3

x

π

π

=

, gdzie t jest czasem.

Wyznaczyć współrzędne siły działającej na ten punkt w funkcji współrzędnych
punktu x, y.

Rozwiązanie. Po zrzutowaniu wektorów występujących w równaniu (7.4) na
osie x i y otrzymujemy współrzędne siły działającej na nasz punkt materialny,
które wyrażają wzory:

.

t

d

y

d

m

F

t

d

x

d

m

F

2

2

y

2

2

x

=

=

,

(a)

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem czasu równań ruchu otrzymujemy:

.

,

y

t

sin

4

dt

y

d

x

4

=

t

cos2

12

dt

x

d

2

2

2

2

2

2

2

2

π

−

=

π

π

−

=

π

−

π

π

−

=

Po podstawieniu otrzymanych wyników do wzorów (a) otrzymujemy ostatecznie:

.

y

m

F

,

x

m

4

=

F

2

y

2

x

π

−

=

π

−

7.1.3. Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki

Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu ruchu punktu
materialnego poddanego działaniu znanej siły. Widzimy, że zagadnienie to jest
odwróceniem pierwszego zagadnienia dynamiki i stąd jest ono również znane pod
nazwą

− zagadnienie odwrotne dynamiki.

Zagadnienie to jest znacznie trudniejsze niż pierwsze, ponieważ aby wyznaczyć
równanie ruchu punktu

( )

t

r

r

=

przy znanej sile F, należy scałkować równanie

różniczkowe (7.2) lub równoważny temu równaniu układ trzech skalarnych równań
różniczkowych (7.3). Z kursu matematyki wiadomo, że operacja taka nie jest
jednoznaczna i aby otrzymać rozwiązanie jednoznaczne, należy wyznaczyć stałe
całkowania. W tym celu musimy znać wartości funkcji i jej pochodnej (zwane
warunkami początkowymi) w pewnej chwili t

0

(w chwili początkowej):

( )

( )

0

0

0

0

t

d

t

d

,

t

v

r

r

r

=

=

. (7.5)

Znacznie większe trudności przy poszukiwaniu równania ruchu punktu
materialnego mogą wynikać z faktu, że w przypadku ogólnym siła F działająca na
punkt może być jednocześnie funkcją czasu t, położenia punktu r i prędkości v
punktu. Wtedy dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) należy zapisać w postaci:

(

v

r

F

r

,

,

t

t

d

d

m

2

2

=

)

. (7.6)

Rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego lub równoważnego mu
układu równań skalarnych w przyjętym układzie współrzędnych jest bardzo trudne
i tylko w nielicznych przypadkach udaje się otrzymać rozwiązanie ścisłe. Jeżeli nie
znamy rozwiązania równań różniczkowych, stosujemy metody przybliżone lub
numeryczne. W dalszym ciągu ograniczymy się do rozpatrzenia prostych
przykładów, w których siła F będzie stała oraz będzie funkcją tylko jednej
zmiennej

− czasu, położenia lub prędkości.

Przykład 7.2. Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem stałej siły
F = const. Wyznaczyć jego prędkość v = v(t) oraz równanie ruchu r = r(t); jeżeli
czas t = 0, to r(0) = r

0

i v(0) = v

0

.

Rozwiązanie. Dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) możemy

przedstawić w postaci:

.

m

dt

d

lub

m

t

d

d

2

2

F

v

F

r

=

=

Po scałkowaniu otrzymamy:

1

t

m

dt

m

C

F

F

v

+

=

=

∫

. (a)

Po podstawieniu w tym równaniu v = dr/dt oraz ponownym całkowaniu mamy:

.

t

t

m

2

dt

t

m

2

1

2

1

C

C

F

C

F

r

+

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

∫

(b)

Stałe całkowania C

1

i C

2

wyznaczamy z podanych warunków początkowych przez

podstawienie do równań (a) i (b) r(0) = r

0

oraz v(0) = v

0

dla t = 0

C

1

= v

0

, C

2

= r

0

.

Ostatecznie prędkość punktu oraz równanie ruchu mają postać:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

+

+

=

+

=

.

,

2

0

0

0

t

m

2

t

t

m

F

v

r

r

F

v

v

(c)

Z otrzymanych rezultatów wynika, że gdy siła F będzie równa zeru, to punkt
będzie się poruszał zgodnie z pierwszym prawem Newtona, czyli ruchem
jednostajnym po linii prostej.

Przykład 7.3. Punkt materialny o masie m = 1 kg porusza się po linii prostej
wzdłuż osi Ox (rys. 7.2) pod wpływem siły

( )

[ ]

F

t

=

−

10 1

N , gdzie t jest czasem

liczonym w sekundach. Po ilu sekundach punkt zatrzyma się i jaką drogę
przebędzie w tym czasie, jeżeli w chwili początkowej t = 0 jego prędkość
v

0

= 20 cm/s.

Rozwiązanie

. Ponieważ punkt materialny porusza się wzdłuż osi Ox,

dynamiczne równanie jego ruchu możemy zapisać w postaci skalarnego równania
różniczkowego
.

( )

t

1

10

t

d

x

d

m

,

F

t

d

x

d

m

2

2

2

2

−

=

=

F

x

m

s

x

0

Rys. 7.2. Wyznaczenie drogi punktu

materialnego

lub

(

t

1

m

10

t

d

x

d

2

2

−

=

)

. (a)

Po scałkowaniu tego równania otrzymujemy prędkość punktu:

1

2

C

2

t

t

m

10

dt

dx

v

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

=

. (b)

Po podstawieniu do równania (b) warunku początkowego v = v

0

dla t = 0

wyznaczamy stałą całkowania C

1

= v

0

. Zatem prędkość punktu wyraża wzór:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

=

s

m

2

t

t

10

2

,

0

2

t

t

m

10

v

dt

dx

v

2

2

0

.

(c)

Czas, po którym punkt się zatrzyma, obliczymy, podstawiając we wzorze (c) v = 0.
Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe ze względu na czas t:

0

04

,

0

t

2

t

2

=

−

−

. (d)

Po obliczeniu pierwiastków tego równania i odrzuceniu pierwiastka ujemnego
otrzymujemy czas, po którym punkt się zatrzyma: t

1

= 2,02 s. Drogę przebytą przez

punkt materialny obliczymy, całkując równanie (b) w granicach od 0 do t

1

.

.

m

74

,

10

3

t

1

t

m

5

t

v

dt

2

t

t

m

10

v

s

1

1

1

0

t

0

2

0

1

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

∫

Przykład 7.4. Punkt materialny o masie m jest przyciągany do środka O z siłą
o wartości P =

αm/x

4

(rys. 7.3), gdzie

α jest wartością stałą. Wyznaczyć prędkość

punktu w chwili, gdy jego odległość x = OM od punktu O będzie równa x

0

/2,

jeżeli w chwili początkowej (dla t = 0) x = x

0

, v = v

0

= 0.

Rozwiązanie. Na rozpatrywany punkt
działa tylko siła P, wobec tego jego
równanie różniczkowe ma postać:

m

P

x

o

x

0

x

M

M

o

Rys. 7.3. Wyznaczenie prędkości

punktu materialnego

,

x

m

t

d

x

d

m

4

2

2

α

−

=

czyli

4

2

2

x

t

d

x

d

α

−

=

.

(a)

Po podstawieniu w powyższym równaniu:

v

dx

dv

dt

dx

dx

dv

dt

dv

t

d

x

d

2

2

=

=

=

otrzymamy:

,

x

dx

dv

v

4

α

−

=

a po rozdzieleniu zmiennych

4

x

dx

vdv

α

−

=

. (b)

Po scałkowaniu tego równania w granicach od 0 do v oraz od x

0

do x

0

/2

otrzymamy:

.

x

3

7

2

v

,

x

dx

vdv

3
0

2

x

2

1

x

4

v

0

0

0

α

=

α

−

=

∫

∫

Stąd prędkość punktu

3
0

x

3

14

v

α

=

. (c)

Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie równania ruchu punktu.

Przykład 7.5.

Ciało o masie m = 2 kg rzucone pionowo do góry z prędkością

początkową v

0

= 30 m/s pokonuje opór powietrza R, którego wartość przy

prędkości v [m/s] wynosi 0,4v [N]. Obliczyć, po ilu sekundach ciało osiągnie
najwyższe położenie H. Przyjąć przyśpieszenie ziemskie g =10 m/s

2

.

Rozwiązanie. Na ciało działają siły ciężkości
i oporu powietrza i obie są skierowane
w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu (rys.
7.4). Zatem równanie różniczkowe ruchu ma
postać:

O

x

G

R

V

0

H

v=0

m

v

Rys. 7.4. Rzut pionowy z

uwzględnieniem oporu powietrza

,

v

4

,

0

mg

t

d

z

d

m

2

2

−

−

=

a po podstawieniu danych liczbowych możemy
napisać:

(

)

v

2

,

0

10

dt

dv

+

−

=

. (a)

Po rozdzieleniu zmiennych w równaniu (a) mamy:

dt

v

2

,

0

10

dv

−

=

+

. (b)

Po scałkowaniu tego równania w granicach od v

0

do 0 oraz od 0 do t,

uporządkowaniu i zastąpieniu różnicy logarytmów logarytmem ilorazu
otrzymujemy czas, po którym ciało osiągnie najwyższe położenie:

s.

2,35

=

ln1,6

5

10

0,2v

+

10

ln

5

t

,

dt

v

2

,

0

10

dv

2

,

0

2

0

1

0

t

0

0

v

0

=

=

−

=

+

∫

∫

,

7.1.4. Zasada d’Alemberta

Po przeniesieniu obu wyrazów występujących w dynamicznym równaniu ruchu
punktu materialnego (7.1) na jedną stronę otrzymamy:

.

0

m

=

− a

F

Po wprowadzeniu do tego równania zamiast

−ma fikcyjnej siły zwanej siłą

bezwładności lub siłą d’Alemberta,

P

b

m a

= −

, otrzymamy zasadę d’Alemberta

dla punktu materialnego:

0

b

=

+ P

F

, (7.7)

którą słownie wyrażamy następująco:
Suma

sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt materialny

jest w każdej chwili równa zeru.

Z zasady tej wynika, że poprzez formalne wprowadzenie siły bezwładności

zagadnienie dynamiczne można sprowadzić do zagadnienia statycznej równowagi
sił.
Przedstawioną wyżej zasadę d’Alemberta dotyczącą swobodnego punktu
materialnego zastosujemy do układu n punktów materialnych. W tym celu
rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach m

k

i przyśpieszeniach a

k

. Na

poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego mogą działać siły
zewnętrzne i wewnętrzne.
Zgodnie z podziałem wprowadzonym w statyce (p. 3.1.2)
siłami wewnętrznymi ami rozpatrywanego układu materialnego, a siłami
zewnętrznymi siły pochodzące od innych punktów lub ciał nie należących do
naszego układu materialnego. Na rysunku 7.5 zaznaczono siły działające na dwa
punkty o masach m

k

i m

l

. Siły zewnętrzne zastąpiono tutaj siłami wypadkowymi P

k

i P

l

, a siły wzajemnego oddziaływania między tymi punktami oznaczono przez F

kl

i

F

lk

. Zgodnie z trzecim prawem Newtona siły te są równe co do wartości, ale mają

przeciwne zwroty:

.

F

F

kl

lk

= −

x

z

y

r

k

m

k

O

-m

k

a

k

-m

l

a

l

r

l

F

kl

F

lk

m

l

P

k

P

l

Rys. 7.5. Siły zewnętrzne, wewnętrzne i bezwładności działające na punkty układu

materialnego

Siłę F

k

działającą na k-ty punkt możemy przedstawić w postaci sumy siły

zewnętrznej P

k

i wypadkowej wszystkich sił wewnętrznych P

wk

:

wk

k

k

P

P

F

+

=

, (7.8)

gdzie

P

wk

kl

=

=

≠

∑

l

l k

n

1

F

. (7.9)

Po oznaczeniu siły bezwładności działającej na rozważany punkt przez

P

a

bk

k

k

m

= −

zasadę d’Alemberta dla dowolnego punktu układu materialnego możemy
przedstawić w postaci równania:

(

)

n

,.

..

,

2

,

1

k

0

bk

wk

k

=

=

+

+

P

P

P

.

(7.10)

Suma

sił zewnętrznych, wewnętrznych oraz siły bezwładności działających na

dowolny punkt układu materialnego jest w każdej chwili równa zeru.

Jeżeli równanie (7.10) napiszemy dla każdego punktu materialnego i dodamy
stronami, to otrzymamy:

∑

∑

∑

=

=

=

=

+

+

n

1

k

n

1

k

bk

n

1

k

wk

k

0

P

P

P

. (a)

Występująca w tym równaniu suma wszystkich sił wewnętrznych dowolnego
układu materialnego zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru:

∑

=

=

n

1

k

wk

0

P

. (7.11)

Zatem równanie (a) przyjmie postać:

∑

∑

=

=

=

+

n

1

k

n

1

k

bk

k

0

P

P

. (7.12)

Pomnóżmy teraz wektorowo każde z n równań (7.10) przez wektor wodzący r

k

i dodajmy wszystkie równania stronami. W wyniku tej operacji otrzymamy
równanie momentów:

0

n

1

k

bk

k

n

1

k

wk

k

n

1

k

k

k

=

×

+

×

+

×

∑

∑

∑

=

=

=

P

r

P

r

P

r

.

(b)

Ponieważ siły wewnętrzne, zgodnie z trzecim prawem Newtona, działają parami

, i wzdłuż jednej prostej, to suma momentów tych sił dla całego układu

materialnego względem dowolnego bieguna redukcji jest równa zeru:

F

F

kl

lk

= −

0

n

1

k

wk

k

=

×

∑

=

P

r

(7.13)

i równanie (b) przyjmuje postać:

0

n

1

k

bk

k

n

1

k

k

k

=

×

+

×

∑

∑

=

=

P

r

P

r

. (7.14)

Orzymane równania (7.12) i (7.14) przedstawiają zasadę d’Alemberta dla
układów materialnych, którą można sformułować następująco:

Suma

sił zewnętrznych i sił bezwładności dla danego układu materialnego oraz

sumy momentów tych sił względem nieruchomego bieguna redukcji w każdej chwili
są równe zeru.

Przykład 7.6.

Punkt materialny M o ciężarze G = 10 N, zawieszony w

nieruchomym punkcie O na lince o długości OM = s = 30 cm, tworzy wahadło
stożkowe, tzn. zatacza okrąg w płaszczyźnie poziomej, przy czym linka tworzy z
pionem kąt

(rys. 7.6a). Wyznaczyć siłę F w lince oraz prędkość v punktu

M.

α = 60

o

a

G

B

F

x

O

A

y

v

α

O

A

M

a)

b)

α

Rys. 7.6. Wyznaczenie siły w lince i prędkości punktu

Rozwiązanie. Na punkt materialny działa siła ciężkości G, siła w lince F oraz
siła bezwładności (odśrodkowa)

a

B

m

−

=

, gdzie a jest przyśpieszeniem

dośrodkowym (rys. 7.6b). Zgodnie z zasadą d’Alemberta (7.10) suma tych sił musi
być równa zeru:

0

=

+

+

B

F

G

.

Z rzutu tych sił na osie x i y otrzymujemy dwa równania równowagi:

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

−

α

=

α

−

=

∑

∑

0.

=

G

cos

F

P

,

0

=

ma

+

sin

F

P

ky

kx

(a)

Z drugiego równania otrzymujemy siłę w lince:

N

20

cos60

10

cos

G

F

o

=

=

α

=

.

Po podstawieniu do pierwszego równania (a) wzoru na przyśpieszenie
dośrodkowe:

α

=

=

sin

s

v

AM

v

a

2

2

otrzymamy równanie:

0

=

sin

s

v

g

G

+

sin

F

2

α

α

−

.

Stąd prędkość punktu M

s

m

1

,

2

sin60

cos60

0,3

9,81

=

sin

cos

s

g

=

sin

s

g

G

F

v

o

o

/

=

⋅

α

α

α

=

.

7.1.5. Praca. Praca w zachowawczym polu sił. Energia potencjalna

Pracą mechaniczną nazywamy energię dostarczoną z zewnątrz za pomocą
układu sił do rozpatrywanego układu
materialnego w czasie jego ruchu.
Celem ogólnego zdefiniowania
pracy rozpatrzymy

ruch punktu

materialnego po torze
krzywoliniowym pod wpływem siły
P. Punkt przyłożenia A siły P jest
opisany wektorem wodzącym r
(rys. 7.7).
Pracą elementarną siły P na
przesunięciu elementarnym ds,
równym przyrostowi promienia
wodzącego dr, nazywamy iloczyn
skalarny siły P i przemieszczenia dr:

x

z

y

O

P

A

A

1

A

2

dr

α

r

Rys. 7.7. Ilustracja do definicji pracy

r

P d

dL

⋅

=

(7.15)

lub korzystając z definicji iloczynu skalarnego

(

)

dr

cos

P

cos

dr

P

dL

α

=

α

=

.

(7.16)

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul równy pracy 1 niutona na przesunięciu

1 metra:

J = N

⋅ m = kg ⋅ m

2

⋅ s

–2

,

a w układzie technicznym kilogram siły razy metr:

1 kG

⋅m = 9,81 J.

Mimo oznaczenia pracy elementarnej symbolem powszechnie używanym na
oznaczenie różniczki zupełnej należy pamiętać, że praca elementarna nie jest na
ogół różniczką zupełną żadnej funkcji.
Na podstawie wzorów (7.15) i (7.16) można sformułować poniższe wnioski.

a) Pracę wykonuje jedynie składowa siły styczna do toru, a praca składowej

normalnej jest równa zeru.
b) Wartość pracy może być zarówno dodatnia, jak i ujemna: dla D 

dodatnia, a dla

α> π/2 ujemna.

c) Jeżeli na punkt materialny działa układ sił P

k

, których suma jest równa

wypadkowej

, to praca tej siły na przesunięciu elementarnym d

r jest

równa sumie prac elementarnych poszczególnych sił na tym przesunięciu:

W

P

=

=

∑

k

k

n

1

r

P

r

P

r

P

r

W

d

d

d

d

dL

n

2

1

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

=

.

d) Praca elementarna siły

P na przesunięciu wypadkowym

jest

równa sumie prac elementarnych tej siły na przesunięciach składowych:

∑

=

=

n

1

k

k

d

d

r

r

n

2

1

d

d

d

d

dL

r

P

r

P

r

P

r

W

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

=

.

Jeżeli wektory występujące po prawej stronie równania (7.15) przedstawimy za
pomocą współrzędnych:

,

dz

dy

dx

d

,

P

P

P

z

y

x

k

j

i

r

j

j

i

P

+

+

=

+

+

=

to pracę elementarną możemy przedstawić w postaci:

dz

P

dy

P

dx

P

dL

z

y

x

+

+

=

. (7.17)

Jeżeli punkt przyłożenia A siły

P przemieści się po krzywej od punktu A

1

do

A

2

, to na podstawie wzoru (7.17) praca wykonana przez siłę

P będzie całką

krzywoliniową:

(

)

∫

∫

+

+

=

⋅

=

2

1

2

1

A

A

A

z

y

x

12

dz

P

dy

P

dx

P

d

L

A

r

P

. (7.18)

Występująca w powyższym wzorze siła może w ogólnym przypadku być
funkcją czasu t, położenia w przestrzeni punktu A oraz prędkości tego punktu.
Współrzędne siły

P będą zatem funkcjami czasu, zmiennych x, y, z oraz ich

pochodnych względem czasu. Wtedy we wzorze (7.18) możemy podstawić:

dt

dt

dz

dz

,

dt

dt

dy

dy

,

dt

dt

dx

dx

=

=

=

i zamiast całki krzywoliniowej otrzymamy całkę oznaczoną w granicach
całkowania od t

1

do t

2

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

=

2

1

t

t

z

y

x

dt

dt

dz

P

dt

dy

P

dt

dx

P

L

. (7.19)

Ze

względu na zastosowania bardzo ważny jest przypadek, gdy siła

P jest

jedynie funkcją położenia (miejsca):

( )

r

P

P

=

,

a jej współrzędne są wziętymi ze znakiem minus pochodnymi cząstkowymi funkcji
U względem współrzędnych x, y, z:

.

z

U

P

,

y

U

P

,

x

U

P

z

y

x

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

(7.20)

Wykażemy, że funkcja skalarna U(x, y, z) ma sens fizyczny energii. Praca
elementarna siły o współrzędnych (7.20)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

⋅

=

dz

z

U

dy

y

U

dx

x

U

d

z

U

y

U

x

U

d

dL

r

k

j

i

r

P

.

Wyrażenie występujące w nawiasie po prawej stronie powyższego równania jest
różniczką zupełną funkcji U:

dz

z

U

dy

y

U

dx

x

U

dU

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

. (7.21)

Z matematyki wiadomo, że całka krzywoliniowa z różniczki zupełnej jest równa
różnicy wartości końcowej i początkowej zróżniczkowanej funkcji. Zatem pracę
wykonaną przez siłę

P na jej przemieszczeniu z punktu A

1

do A

2

wyraża wzór:

(

)

.

U

U

U

U

dU

L

2

1

1

2

A

A

12

2

1

−

=

−

−

=

−

=

∫

(7.22)

Widzimy, że praca wykonana przez siłę opisaną wzorem (7.20) na
przemieszczeniu jej z położenia początkowego do końcowego jest równa ubytkowi
funkcji U. Funkcję tę nazywamy potencjałem albo energią potencjalną, siłę

P

spełniającą warunek (7.20) siłą potencjalną lub zachowawczą, a pole sił polem
potencjalnym lub zachowawczym.

Potencjał w określonym punkcie przestrzeni jest równy pracy, którą wykonują

siły potencjalne przy przemieszczaniu punktu materialnego z danego punktu do
punktu, w którym potencjał jest równy zeru. Ponieważ punkt ten może być obrany
dowolnie, potencjał jest określony z dokładnością do dowolnej stałej C. Wnika to z
tego, że funkcja:

C

U

U

+

=

′

również spełnia zależności (7.20) i (7.22).
Ze wzoru (7.22) wynikają dwie ważne własności sił potencjalnych.
a) Praca siły potencjalnej nie zależy od toru jej punktu przyłożenia, lecz jedynie
od położenia tego punktu w chwilach początkowej i końcowej.

b) Praca wykonana przez siłę potencjalną jest równa ubytkowi energii

potencjalnej wynikającemu z przemieszczania się punktu przyłożenia siły. Wynika
stąd również, że praca po torze zamkniętym jest równa zeru.

7.1.6. Przykłady sił potencjalnych

Siły sprężystości
Wykażemy obecnie, że siły odkształcenia sprężystego są siłami potencjalnymi.

W tym celu rozpatrzymy sprężynę śrubową, której koniec A jest unieruchomiony,
a koniec B może się przemieszczać wzdłuż osi Ox (rys. 7.8). Założymy, że w
chwili, gdy sprężyna nie jest napięta, koniec B pokrywa się z punktem O.

x

A

O

B

x

P

Rys. 7.8. Przykład siły sprężystej wykonującej pracę

Jeżeli wydłużymy sprężynę o wartość x, to zgodnie z prawem Hooke’a będzie
ona działać na punkt B siłą P proporcjonalną do wydłużenia:

i

P

x

k

−

=

,

gdzie współczynnik proporcjonalności k jest nazywany stałą sprężyny, a znak
minus oznacza, że siła P jest skierowana przeciwnie do kierunku odkształcenia
sprężyny.
Z

powyższego wzoru wynika, że współrzędna siły P jest funkcją tylko

współrzędnej x:

x

k

P

−

=

,

zatem potencjał U musi spełniać równanie:

x

k

P

dx

dU

x

U

=

−

=

=

∂

∂

.

Po scałkowaniu tego równania w granicach od O do x

1

otrzymujemy wzór na

potencjał siły sprężystej:

2

1

x

0

x

k

2

1

x

k

U

1

=

=

∫

. (7.23)

Pracę siły sprężystej na skończonym przesunięciu, np. od 0 do x, można
obliczyć ze wzoru (7.22), przy czym dla x = 0 energia potencjalna U

1

= 0. Zatem

2

1

2

12

x

k

2

1

U

L

−

=

−

=

.

(7.24)

Siły ciężkości
Jeżeli rozpatrzymy ograniczony obszar przestrzeni w pobliżu powierzchni

Ziemi o małych wymiarach w porównaniu z promieniem Ziemi, to można przyjąć,
że na każdy punkt materialny o masie m znajdujący się w tej przestrzeni działa
stała siła ciężkości:

G = mg,

gdzie g jest przyśpieszeniem ziemskim. Przy takim założeniu pole sił jest
jednorodnym polem sił ciężkości. Gdy w takim polu sił przyjmiemy układ
współrzędnych x, y, z o osi z skierowanej pionowo w górę, to zgodnie z rys. 7.9
współrzędne siły ciężkości G opisują zależności:

.

mg

G

,

0

G

G

z

y

x

−

=

=

=

(7.25)

Ze wzoru (7.20) wiadomo, że współrzędne sił potencjalnych są równe
pochodnym cząstkowym potencjału U względem współrzędnych wziętych ze
znakiem minus:

mg

z

U

G

,

0

y

U

G

,

0

x

U

G

z

y

x

−

=

∂

∂

−

=

=

∂

∂

−

=

=

∂

∂

−

=

. (7.26)

Z powyższych równań wynika, że potencjał U jest jedynie funkcją zmiennej z. Po
podstawieniu trzeciego równania (7.26) do wzoru (7.21) otrzymujemy różniczkę
potencjału pola sił ciężkości:

,

dz

mg

dU

=

a po scałkowaniu tego równania potencjał sił ciężkości

C

z

g

m

U

+

=

, (7.27)

gdzie C jest dowolną stałą.
Ze wzoru (7.27) wynika, że dla z = const potencjał U jest również stały. Zatem
w przypadku sił ciężkości wszystkie punkty każdej płaszczyzny poziomej mają
taką samą wartość potencjału. Powierzchnie, których punkty mają te same wartości
potencjału, nazywają się powierzchniami ekwipotencjalnymi.
Praca

siły ciężkości na dowolnym krzywoliniowym torze jest

− zgodnie ze

wzorem (7.22)

− równa różnicy potencjałów w położeniu początkowym i

końcowym:

(

)

h

g

m

z

z

g

m

U

U

L

2

1

2

1

12

=

−

=

−

=

,

(7.28)

gdzie h jest różnicą wysokości (rys. 7.9).

x

y

z

O

A

1

A

2

G

h

A

Rys. 7.9. Praca siły ciężkości

x

z

y

r

P

A

M

O

m

Rys. 7.10. Siła wzajemnego przyciągania

Siły wzajemnego przyciągania
Wykażemy, że siła, z jaką nieruchomy punkt materialny o masie M działa na

dowolny punkt materialny o masie m, jest siłą potencjalną. Zgodnie z prawem
powszechnego ciążenia (1.2) punkt M działa na punkt m i odwrotnie z siłą P o
wartości

2

r

Mm

k

P

=

, (7.29)

gdzie k jest stałą grawitacji, a r jest odległością masy m od nieruchomej masy M.
Jeżeli masę M umieścimy w początku układu współrzędnych x, y, z, a masę m
w punkcie A o wektorze wodzącym r (rys. 7.10), to siłę P można opisać wzorem:

r

1

P

2

r

Mm

k

−

=

, (7.30)

gdzie 1

r

jest wektorem jednostkowym o kierunku wektora r.

Gdy współrzędne wektora wodzącego r oznaczymy przez x, y, z, to
współrzędne siły P będą następujące:

r

z

r

Mm

k

P

,

r

y

r

Mm

k

P

,

r

x

r

Mm

k

P

2

z

2

y

2

x

−

=

−

=

−

=

. (7.31)

Łatwo wykazać, że potencjałem omawianego pola sił jest funkcja

(

)

U x

k

Mm

r

C

k

Mm

x

y

z

C

, y, z

= −

+ = −

+

+

+

2

2

2

.

(7.32)

przy czym C jest dowolną stałą. Aby siła P była potencjalna, jej współrzędne
(7.31) muszą spełniać wzory (7.20). Po zróżniczkowaniu funkcji (7.32) względem
x otrzymamy:

(

)

x

2

3

2

3

2

2

2

P

r

x

r

Mm

k

r

kMmx

z

y

x

x

2

2

1

kMm

x

U

−

=

=

=

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

−

=

∂

∂

.

Postępując podobnie w odniesieniu do y i z, otrzymamy:

z

2

y

2

P

r

z

r

Mm

k

z

U

,

P

r

y

r

Mm

k

y

U

−

=

=

∂

∂

−

=

=

∂

∂

.

Pracę wykonaną przez siłę P na przemieszczenie masy m z położenia 1 do 2
zgodnie ze wzorem (7.22) i po uwzględnieniu równania (7.32) zapiszemy w
następującej postaci:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

1

2

2

1

12

r

1

r

1

kMm

U

U

L

. (7.33)

7.1.7. Moc i sprawność

Z technicznego punktu widzenia interesuje nas często nie tylko wartość pracy,
ale również czas, w jakim została ona wykonana. W tym celu wprowadzono
pojęcie mocy.

Mocą chwilową nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt.

t

d

L

d

N

=

. (7.34)

Po podstawieniu do tego wzoru pracy elementarnej zdefiniowanej wzorem
(7.15) otrzymujemy wzór na moc siły P.

v

P

r

P

⋅

=

⋅

=

t

d

d

N

.

(7.35)

Zatem

moc siły jest równa iloczynowi skalarnemu siły P i prędkości v jej punktu

przyłożenia.
Ze wzoru (7.34) widzimy, że między pracą elementarną dL i mocą N istnieje
prosty związek:

.

dt

N

L

d

=

Jeżeli siła P w chwili t

1

znajduje się w punkcie A

1

, a w chwili t

2

w punkcie A

2

(rys. 7.6), to praca L

12

wykonana przez tę siłę przy przemieszczeniu się po torze od

A

1

do A

2

będzie równa całce z mocy w granicach od t

1

do t

2

:

∫

=

2

1

t

t

12

Ndt

L

. (7.36)

Gdy na układ materialny działa układ n sił, to moc tego układu jest równa sumie
mocy poszczególnych sił:

∑

=

=

n

1

k

k

N

N

. (7.37)

Podstawową jednostką mocy w układzie SI jest wat (w skrócie W). Jest to moc
siły, która pracę jednego dżula wykonuje w ciągu jednej sekundy:

1 W = J

⋅ s

–1

.

W praktyce na określenie mocy silników i maszyn są używane większe
jednostki

− kilowaty (kW) i megawaty (MW):⋅

1

kW

=

1000

W,

1 MW = 1000 kW = 1 000 000 W.

W technicznym układzie jednostek podstawową jednostką mocy jest kilogram
siły razy metr na sekundę:

1 kG

⋅ m ⋅ s

–1

.

Praktyczną jednostką mocy w tym układzie jest koń mechaniczny KM:

1 KM = 75 kG

⋅ m ⋅ s

–1

.

Między jednostkami mocy w układzie technicznym i w układzie SI istnieją
zależności:
1 kG

⋅ m ⋅ s

–1

= 9,81 W,

1 KM = 75

⋅ 9,81 W = 0,736 kW,

1

W

=

0,102

kG

⋅ m ⋅ s

–1

,

1

kW

=

102

kG

⋅ m ⋅ s

–1

= 1,36 KM.

Do oceny stanu silnika czy maszyny wykorzystuje się pojęcie sprawności
mechanicznej. Wiadomo, że część mocy dostarczonej do silnika (maszyny) jest
tracona na pokonanie oporów istniejących w samym silniku (maszynie), a tylko
część jest zamieniana na moc użyteczną.
Sprawnością mechaniczną nazywamy stosunek mocy użytecznej N

u

(lub pracy

L

u

) do mocy włożonej N

w

(lub pracy L

w

):

w

u

w

u

L

L

N

N

η

=

=

. (7.38)

Sprawność jest liczbą bezwymiarową spełniającą nierówność:

.

1

η

0

≤

≤

7.1.8. Moc układu sił działających na bryłę sztywną

W poprzednim punkcie zdefiniowaliśmy moc siły P działającej na punkt
materialny. Obecnie obliczymy moc układu n sił zewnętrznych P

k

, gdzie

k = 1, 2, .... , n, przyłożonych odpowiednio w punktach A

1

, A

2

, .... , A

n

bryły

sztywnej, poruszającej się znanym ruchem względem nieruchomego układu
współrzędnych x, y, z (rys. 7.11). W dowolnym punkcie (biegunie redukcji)

umieścimy ruchomy układ współrzędnych

′

O

′ ′ ′

x , y , z poruszający się razem z bryłą.

Układ sił P

k

reprezentują wektor główny W i moment główny

umieszczone

w biegunie redukcji

, a ruch bryły jest określony za pomocą prędkości

bieguna

i prędkości kątowej

ω.

M

′

O

′

O

v

′

O

′

O

x

M

O

z

x

′

z

′

y

′

y

O

′

O

W

k

r ′

ω

v

O′

P

k

A

k

v

k

Rys. 7.11. Wyznaczenie mocy układu sił działających na bryłę sztywną

Zgodnie z definicją moc N

k

siły

P

k

k

k

k

N

v

P

⋅

=

.

Prędkość dowolnego punktu A

k

zgodnie ze wzorem (5.29) możemy zapisać

w następujący sposób:

k

O

k

r

ω

v

v

′

×

+

=

′

.

Po podstawieniu tego wzoru do wzoru na moc N

k

siły

P

k

oraz wykorzystaniu

własności iloczynu mieszanego (2.31) otrzymujemy:

(

)

(

)

(

)

k

k

O

k

k

O

k

k

O

k

k

N

P

r

ω

v

P

r

ω

P

v

P

r

ω

v

P

×

′

⋅

+

⋅

=

′

×

⋅

+

⋅

=

′

×

+

⋅

=

′

′

′

.

Moc układu sił działających na bryłę sztywną otrzymamy po zsumowaniu

−

zgodnie ze wzorem (7.37)

− mocy poszczególnych sił:

(

)

[

]

k

n

1

k

k

n

1

k

k

O

n

1

k

k

k

O

k

n

1

k

k

N

N

P

r

ω

P

v

P

r

ω

v

P

∑

∑

∑

∑

=

=

′

=

′

=

×

′

⋅

+

⋅

=

×

′

⋅

+

⋅

=

=

.

Ostatecznie

ω

M

v

W

⋅

+

⋅

=

′

′

O

O

N

. (7.39)

Zgodnie z zależnościami (3.25) i (3.26) w powyższym wzorze

W jest wektorem

głównym, a

momentem głównym układu sił zewnętrznych zredukowanych

do bieguna redukcji

.

M

′

O

′

O

Wzór

(7.39)

można wyrazić słownie:

Moc układu sił zewnętrznych działających na bryłę sztywną jest równa sumie

iloczynu skalarnego wektora głównego i prędkości dowolnego bieguna

redukcji

oraz iloczynu skalarnego momentu głównego zredukowanego do tegoż bieguna
i prędkości kątowej.