1
9. Ruch złożony punktu
O
x
z
y
Oxyz
– nieruchomy
układ współrzędnych
O’
x’
z’
y’
O’x’y’z’
– ruchomy
układ współrzędnych
υ
O’
a
O’
ω
ε
A
υ
w
a
w
ρ
υ
O’
a
O’
– prędkość i przyspieszenie środka układu ruchomego
ω
ε
– prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe układu ruchomego
υ
w
a
w
– względna prędkość i względne przyspieszenie punktu A
(zmierzone względem układu ruchomego)
ρ
– wektor określający położenie punktu A w układzie ruchomym
DANE
DANE
SZUKANE
SZUKANE
bezwzględna prędkość i bezwzględne przyspieszenie
punktu A (zmierzone względem układu nieruchomego)
sylwetka śmigłowca pochodzi z: Parker S.: Statki powietrzne,
Polska Oficyna Wydawnicza „BGW”, Warszawa 1992
2
O
x
z
y
Oxyz
– nieruchomy
układ współrzędnych
O’
x’
z’
y’
O’x’y’z’
– ruchomy
układ współrzędnych
υ
O’
a
O’
ω
ε
A
υ
w
a
w
ρ
w
O
υ
ρ
ω
υ
υ
r
r
r
r
r
+
×
+
=
'
w układzie nieruchomym
u
υ
r
prędkość unoszenia
(
)
w
w
O
a
a
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
+
×
+
×
+
×
×
+
=
υ
ω
ρ
ε
ρ
ω
ω
2
'
u
a
r
przyspieszenie unoszenia
C
a
r
przyspieszenie Coriolisa
Zadanie 1/9
Tarcza o środku O i promieniu r obraca się z prędkością kątową
ω i przyspieszeniem kątowym ε wokół osi przechodzącej przez
punkt A, prostopadłej do jej płaszczy. Wzdłuż krawędzi tarczy
porusza się punkt B ze stałą prędkością względem tarczy wyno-
szącą υ
w
.
Wyznaczyć bezwzględną prędkość υ i bezwzględne przyspiesze-
nie a punktu B.
B
υ
w
O
r
A
ω
ε
x
y
z
0
0
2
2
2
2
=
=
−
−
=
−
=
+
−
−
=
−
=
z
z
y
w
y
w
w
x
x
a
r
r
a
r
r
r
r
a
r
υ
ε
ω
ω
υ
υ
υ
ωυ
ε
ω
ω
υ
Odp.:
3
Zadanie 2/9
Tarcza obraca się ze stałą prędkością kątową ω wokół prosto-
padłej osi przechodzącej przez jej środek. Wzdłuż cięciwy,
odległej o b od osi obrotu, porusza się punkt ze stałą prędkością
względną w.
Wyznaczyć bezwzględną prędkość i
bezwzględne przyspieszenie punktu
w funkcji kąta α.
α
w
ω
b
0
0
2
2
2
=
=
−
=
−
=
−
=
=
z
z
y
y
x
x
a
btg
a
b
w
b
w
a
btg
υ
α
ω
ω
υ
ω
ω
α
ω
υ
Odp.:
x
y
Zadanie 3/9
Tarcza o promieniu r obraca się wokół średnicy ze stałą prędkoś-
cią kątową ω. Wzdłuż krawędzi porusza się punkt ze stałą
prędkością względną w.
Wyznaczyć bezwzględną prędkość
υ i bezwzględne przyspieszenie a
punktu w funkcji kąta α.
α
w
ω
r
α
ω
α
ω
υ
α
α
ω
α
υ
α
α
υ
cos
2
sin
sin
sin
cos
cos
sin
2
2
2
w
a
r
r
w
r
a
w
r
w
a
w
z
z
y
y
x
x
=
=
−
−
=
=
−
=
−
=
Odp.:
x
y
4
Zadanie 4/9
Obliczyć bezwzględną prędkość i bezwzględne przyspieszenie
punktu poruszającego się po powierzchni Ziemi na północ ze stałą
prędkością względną w=100km/godz.
Punkt znajduje się na α=51.5
°
szerokości geograficznej pół-
nocnej. Ruch Ziemi dookoła
Słońca zaniedbać. Promień
Ziemi r=6370km.
r
S
N
w
ω
α
x
z
y
2
2
6
2
2
3
2
2
2
3
/
021
.
0
/
1043
/
7
.
289
/
10
8
.
94
sin
/
29
.
17
cos
/
10
05
.
21
cos
cos
/
74
.
21
sin
/
10
16
.
3
sin
2
/
37
.
288
cos
s
m
a
h
km
s
m
s
m
r
w
a
s
m
w
s
m
r
w
r
a
s
m
w
s
m
w
a
s
m
r
z
z
y
y
x
x
=
=
=
⋅
−
=
−
=
=
=
⋅
−
=
−
−
=
−
=
−
=
⋅
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−
υ
α
α
υ
α
α
ω
α
υ
α
ω
α
ω
υ
Odp.:
Zadanie 5/9
Rurka AB o długości l=0.5m obraca się ze stałą prędkością obroto-
wą n=2obr/s wokół osi tworzącej z osią rurki kąt α=60°. Wewnątrz
rurki znajduje się kulka M, której położenie określa współrzędna
s
=10t
3
[m], gdy t[s].
Obliczyć
bezwzględną
prędkość i bezwzględne
przyspieszenie kulki w
chwili wylotu z rurki.
s
l
α
A
B
M
s
m
s
m
nl
s
m
l
s
m
l
z
y
x
/
796
.
6
/
441
.
5
sin
2
/
036
.
2
cos
10
30
/
526
.
3
sin
10
30
3
2
3
2
≅
−
≅
−
=
≅
=
≅
=
υ
α
π
υ
α
υ
α
υ
Odp.:
x
y
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
/
102
/
62
.
88
sin
10
30
4
/
05
.
11
cos
10
60
/
24
.
49
sin
10
60
sin
4
s
m
a
s
m
l
n
a
s
m
l
a
s
m
l
l
n
a
z
y
x
≅
−
≅
−
=
≅
=
−
≅
+
−
=
α
π
α
α
α
π