1

8. Ruch punktu we współrzędnych biegunowych

prędkość i przyspieszenie punktu w układzie biegunowym

y

x

0

położenie punktu A określone jest przez:
– promień r=r(t)

A

– kąt ϕ

ϕ

ϕ

ϕ=ϕ

ϕ

ϕ

ϕ(t)

r(t)

ϕ(t)

tor ruc

hu pun

ktu

składowe prędkości:

– składowa promieniowa

r

v

r

&

=

v

r

– składowa kątowa

ϕ

ϕ

&

r

v =

v

ϕ

prędkość wypadkowa

2

2

ϕ

v

v

v

r

+

=

v

składowe przyspieszenia:

– składowa promieniowa

2

ϕ

&

&

&

r

r

a

r

−

=

a

r

– składowa kątowa

ϕ

ϕ

ϕ

&

&

&

&

r

r

a

2

+

=

a

ϕ

przyspieszenie wypadkowe

2

2

ϕ

a

a

a

r

+

=

a

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

cos

sin

sin

cos

v

v

y

v

v

x

r

r

+

=

−

=

&

&

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

cos

sin

sin

cos

a

a

y

a

a

x

r

r

+

=

−

=

&

&

&

&

2

Zadanie 1/8
Punkt porusza się w jednej płaszczyźnie.
Znaleźć:
1) równanie toru punktu,
2) położenie punktu w chwili początkowej,
3) ogólne wyrażenia na prędkość i przyspieszenie punktu
jeśli równania ruchu punktu mają postać:

a)

b)

c)

d)

0

,

cos

2

>

=

=

ω

ω

ϕ

ω

a

t

t

a

r

0

,

2

1

2

1

>

=

=

k

k

t

k

t

k

r

ϕ

0

,

0

0

>

=

=

ω

ω

ϕ

ω

r

t

e

r

r

t

0

, >

=

=

c

b

t

b

ct

r

ϕ

Zadanie 2/8

W mechanizmie przedstawionym na rysunku dane s

ą

:

ϕ=kt (k>0), AD=BD=c, BC=b.

Znale

źć

tor,

pr

ę

dko

ść

i

przyspieszenie
punktu C.

A

B

c

c

C

D

ϕ

b

Odp.:

promień r zaczepiony w punkcie A

b

c

r

+

=

ϕ

cos

2

kt

c

k

a

b

k

kt

c

k

a

kb

kt

kc

v

kt

kc

v

r

r

sin

4

2

cos

4

cos

2

sin

2

2

2

2

−

=

−

−

=

+

=

−

=

ϕ

ϕ

(kardioida)

c

+b

b

3

Zadanie 3/8

Dwa pr

ę

ty poł

ą

czone ze sob

ą

pod k

ą

tem prostym przesuwaj

ą

si

ę

w

tulejach A i B mog

ą

cych obraca

ć

si

ę

wokół sworzni.

Znale

źć

tor, pr

ę

dko

ść

i przyspieszenie

punktu D je

ś

li AB=CD=b, ϕ=kt (k>0).

A

b

B

ϕ

b

C

D

Odp.:

promień r zaczepiony w punkcie A

b

b

r

+

=

ϕ

cos

(

)

(

)

kt

bk

a

kt

bk

a

kt

bk

v

kt

bk

v

r

r

sin

2

cos

2

1

cos

1

sin

2

2

−

=

+

−

=

+

=

−

=

ϕ

ϕ

(kardioida)

b

b

Zadanie 4/8

Dwa pr

ę

ty OA i O

1

B

poł

ą

czone krzy

ż

akiem D mog

ą

obraca

ć

si

ę

wokół punktów O i O

1

zachowuj

ą

c cały czas k

ą

t prosty mi

ę

dzy sob

ą

.

Znale

źć

tor, pr

ę

dko

ść

i przyspieszenie

punktu D je

ś

li OO

1

=a, ϕ=kt (k>0)

O

a

O

1

ϕ

D

A

B

Odp.:

promień r zaczepiony w punkcie O

ϕ

cos

a

r =

kt

ak

a

kt

ak

a

kt

ak

v

kt

ak

v

r

r

sin

2

cos

2

cos

sin

2

2

−

=

−

=

=

−

=

ϕ

ϕ

(okrąg)

a

/2

4

Zadanie 5/8

Pr

ę

t OM o długo

ś

ci l wprawiony jest w ruch za pomoc

ą

korby O

1

A

,

której k

ą

t obrotu wynosi ϕ=kt (k>0).

Znale

źć

pr

ę

dko

ść

i przyspieszenie

punktu M, gdy O

1

O

=O

1

A.

Odp.:

promień r zaczepiony w punkcie O

0

4

2

0

2

=

−

=

=

=

α

α

a

l

k

a

kl

v

v

r

r

O

O

1

M

A

l

α

ϕ

Zadanie 6/8

Wewn

ą

trz rurki AB o długo

ś

ci l mog

ą

cej obraca

ć

si

ę

wokół punktu A,

znajduje si

ę

suwak D poł

ą

czony z punktem C nitk

ą

o długo

ś

ci l.

Znale

źć

tor, pr

ę

dko

ść

i

przyspieszenie suwaka, je

ś

li

rurka tworzy z odcinkiem AC k

ą

t

ϕ=kt (k>0) a odcinek AC=l.

A

ϕ

l

l

D

C

B

t

k

l

k

a

t

k

l

k

a

t

k

kl

v

t

k

kl

v

r

r

2

cos

2

2

sin

2

5

2

sin

2

2

cos

2

2

=

−

=

=

=

ϕ

ϕ

Odp.:

promień r zaczepiony w punkcie A

2

sin

2

ϕ

l

r =

5

Zadanie 7/8

W mechanizmie przedstawionym na rysunku trzpie

ń

AB porusza si

ę

w gór

ę

ze stał

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

u.

Poda

ć

równania ruchu

punktu C pr

ę

ta OC oraz

warto

ść

pr

ę

dko

ś

ci tego

punktu w momencie, gdy
k

ą

t ϕ=π/4, je

ś

li w chwili

pocz

ą

tkowej ϕ=0. Dane

s

ą

wymiary a oraz l.

l

au

v

2

=

Odp.:

promień r zaczepiony w punkcie O

l

ut

arctg

a

r

=

=

ϕ

O

ϕ

l

C

a

A

B

u

Zadanie 8/8

Korba OA, obracając się ze stałą prędkością kątową ω

0

wokół punktu O, przemiesz-

cza pręt AC połączony z nią przegubowo w punkcie A i przesuwający się wewnątrz
rurki B obracającej się wokół nieruchomej osi. Znaleźć tor punktu C, podać
równania ruchu oraz obliczyć jego prędkość i przyspieszenie, jeśli w chwili
początkowej ϕ=0. Dane są wymiary a, b, l (a<b, l>a+b).

O

b

B

ϕ

C

A

a

l

α

2a

l-a-b

Odp.:

t

a

b

t

a

arctg

t

ab

b

a

l

r

0

0

0

2

2

cos

sin

cos

2

ω

ω

α

ω

−

=

−

+

−

=

promień r zaczepiony w punkcie B