1
8. Ruch punktu we współrzędnych biegunowych
prędkość i przyspieszenie punktu w układzie biegunowym
y
x
0
położenie punktu A określone jest przez:
– promień r=r(t)
A
– kąt ϕ
ϕ
ϕ
ϕ=ϕ
ϕ
ϕ
ϕ(t)
r(t)
ϕ(t)
tor ruc
hu pun
ktu
składowe prędkości:
– składowa promieniowa
r
v
r
&
=
v
r
– składowa kątowa
ϕ
ϕ
&
r
v =
v
ϕ
prędkość wypadkowa
2
2
ϕ
v
v
v
r
+
=
v
składowe przyspieszenia:
– składowa promieniowa
2
ϕ
&
&
&
r
r
a
r
−
=
a
r
– składowa kątowa
ϕ
ϕ
ϕ
&
&
&
&
r
r
a
2
+
=
a
ϕ
przyspieszenie wypadkowe
2
2
ϕ
a
a
a
r
+
=
a
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos
sin
sin
cos
v
v
y
v
v
x
r
r
+
=
−
=
&
&
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos
sin
sin
cos
a
a
y
a
a
x
r
r
+
=
−
=
&
&
&
&
2
Zadanie 1/8
Punkt porusza się w jednej płaszczyźnie.
Znaleźć:
1) równanie toru punktu,
2) położenie punktu w chwili początkowej,
3) ogólne wyrażenia na prędkość i przyspieszenie punktu
jeśli równania ruchu punktu mają postać:
a)
b)
c)
d)
0
,
cos
2
>
=
=
ω
ω
ϕ
ω
a
t
t
a
r
0
,
2
1
2
1
>
=
=
k
k
t
k
t
k
r
ϕ
0
,
0
0
>
=
=
ω
ω
ϕ
ω
r
t
e
r
r
t
0
, >
=
=
c
b
t
b
ct
r
ϕ
Zadanie 2/8
W mechanizmie przedstawionym na rysunku dane s
ą
:
ϕ=kt (k>0), AD=BD=c, BC=b.
Znale
źć
tor,
pr
ę
dko
ść
i
przyspieszenie
punktu C.
A
B
c
c
C
D
ϕ
b
Odp.:
promień r zaczepiony w punkcie A
b
c
r
+
=
ϕ
cos
2
kt
c
k
a
b
k
kt
c
k
a
kb
kt
kc
v
kt
kc
v
r
r
sin
4
2
cos
4
cos
2
sin
2
2
2
2
−
=
−
−
=
+
=
−
=
ϕ
ϕ
(kardioida)
c
+b
b
3
Zadanie 3/8
Dwa pr
ę
ty poł
ą
czone ze sob
ą
pod k
ą
tem prostym przesuwaj
ą
si
ę
w
tulejach A i B mog
ą
cych obraca
ć
si
ę
wokół sworzni.
Znale
źć
tor, pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie
punktu D je
ś
li AB=CD=b, ϕ=kt (k>0).
A
b
B
ϕ
b
C
D
Odp.:
promień r zaczepiony w punkcie A
b
b
r
+
=
ϕ
cos
(
)
(
)
kt
bk
a
kt
bk
a
kt
bk
v
kt
bk
v
r
r
sin
2
cos
2
1
cos
1
sin
2
2
−
=
+
−
=
+
=
−
=
ϕ
ϕ
(kardioida)
b
b
Zadanie 4/8
Dwa pr
ę
ty OA i O
1
B
poł
ą
czone krzy
ż
akiem D mog
ą
obraca
ć
si
ę
wokół punktów O i O
1
zachowuj
ą
c cały czas k
ą
t prosty mi
ę
dzy sob
ą
.
Znale
źć
tor, pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie
punktu D je
ś
li OO
1
=a, ϕ=kt (k>0)
O
a
O
1
ϕ
D
A
B
Odp.:
promień r zaczepiony w punkcie O
ϕ
cos
a
r =
kt
ak
a
kt
ak
a
kt
ak
v
kt
ak
v
r
r
sin
2
cos
2
cos
sin
2
2
−
=
−
=
=
−
=
ϕ
ϕ
(okrąg)
a
/2
4
Zadanie 5/8
Pr
ę
t OM o długo
ś
ci l wprawiony jest w ruch za pomoc
ą
korby O
1
A
,
której k
ą
t obrotu wynosi ϕ=kt (k>0).
Znale
źć
pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie
punktu M, gdy O
1
O
=O
1
A.
Odp.:
promień r zaczepiony w punkcie O
0
4
2
0
2
=
−
=
=
=
α
α
a
l
k
a
kl
v
v
r
r
O
O
1
M
A
l
α
ϕ
Zadanie 6/8
Wewn
ą
trz rurki AB o długo
ś
ci l mog
ą
cej obraca
ć
si
ę
wokół punktu A,
znajduje si
ę
suwak D poł
ą
czony z punktem C nitk
ą
o długo
ś
ci l.
Znale
źć
tor, pr
ę
dko
ść
i
przyspieszenie suwaka, je
ś
li
rurka tworzy z odcinkiem AC k
ą
t
ϕ=kt (k>0) a odcinek AC=l.
A
ϕ
l
l
D
C
B
t
k
l
k
a
t
k
l
k
a
t
k
kl
v
t
k
kl
v
r
r
2
cos
2
2
sin
2
5
2
sin
2
2
cos
2
2
=
−
=
=
=
ϕ
ϕ
Odp.:
promień r zaczepiony w punkcie A
2
sin
2
ϕ
l
r =
5
Zadanie 7/8
W mechanizmie przedstawionym na rysunku trzpie
ń
AB porusza si
ę
w gór
ę
ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
u.
Poda
ć
równania ruchu
punktu C pr
ę
ta OC oraz
warto
ść
pr
ę
dko
ś
ci tego
punktu w momencie, gdy
k
ą
t ϕ=π/4, je
ś
li w chwili
pocz
ą
tkowej ϕ=0. Dane
s
ą
wymiary a oraz l.
l
au
v
2
=
Odp.:
promień r zaczepiony w punkcie O
l
ut
arctg
a
r
=
=
ϕ
O
ϕ
l
C
a
A
B
u
Zadanie 8/8
Korba OA, obracając się ze stałą prędkością kątową ω
0
wokół punktu O, przemiesz-
cza pręt AC połączony z nią przegubowo w punkcie A i przesuwający się wewnątrz
rurki B obracającej się wokół nieruchomej osi. Znaleźć tor punktu C, podać
równania ruchu oraz obliczyć jego prędkość i przyspieszenie, jeśli w chwili
początkowej ϕ=0. Dane są wymiary a, b, l (a<b, l>a+b).
O
b
B
ϕ
C
A
a
l
α
2a
l-a-b
Odp.:
t
a
b
t
a
arctg
t
ab
b
a
l
r
0
0
0
2
2
cos
sin
cos
2
ω
ω
α
ω
−
=
−
+
−
=
promień r zaczepiony w punkcie B