B Bożek wykłady równania różniczkowe

R´

ownania R´

o ˙zniczkowe Zwyczajne

wyk lad dla student´

ow na kierunku automatyka i robotyka - wersja robocza (14 listopad 2007)

Bogus law Bo˙zek

Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH

Spis tre´

sci

Rozdzia l 1. Wprowadzenie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rozdzia l 2. Elementy analizy funkcjonalnej

. . . . . . . . . . . . . . .

Rozdzia l 3. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno´

sci

. . . . . . . .

Rozdzia l 4. Proste typy r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych skalarnych

. . . . .

4.1. R´ownanie r´o˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . .

4.2. R´ownanie jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3. R´ownanie r´o˙zniczkowe zupe lne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.1. Czynnik ca lkuj

acy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4. R´ownanie Clairauta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o ˙zniczkowe

. . . . . . . . . . . . . . . .

5.1. R´ownania i uk lady r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych . . . . . . . . . . . .

5.2. Skalarne r´ownanie liniowe rz

edu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3. R´ownanie Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4. R´ownanie Riccatiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5. R´ownanie Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.6. Skalarne r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe

-tego rz

edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7. Obni˙zanie rz

edu r´ownania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7.1. Wz´or Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7.2. R´ownania wy˙zszych rz

ed´ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.8. Niejednorodne r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe

-tego rz

edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.9. R´ownanie liniowe n-tego rz

edu o sta lych wsp´o lczynnikach . . . . . . . . .

5.10. Metoda przewidywa´

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.11. Uk lad skalarnych r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych rz

edu pierwszego . . .

5.12. Uk lady r´owna´

n liniowych o sta lych

wsp´o lczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.12.1. Metoda warto´sci i wektor´ow w lasnych . . . . . . . . . . . . . . .

5.12.2. Sprowadzanie macierzy uk ladu do postaci Jordana . . . . . . . .

5.13. R´ownanie ruchu harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Spis tre´sci

Rozdzia l 6. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow funkcyjnych

. . . . . .

6.1. Rozwi

azania w postaci szereg´ow pot

egowych . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1. Uk lad r´owna´

n liniowych rz

edu pierwszego o sta lych

wsp´o lczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.2. Skalarne r´ownania r´o˙zniczkowe rz

edu pierwszego i drugiego . . .

6.2. R´ownania r´o˙zniczkowe liniowe rz

edu drugiego – szeregi Frobeniusa

. . .

Rozdzia l 7. Stabilno´

s´

c rozwi

aza´

n r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych

. . . . . . .

7.1. Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2. Twierdzenie Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3. Problem Routha–Hurwitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4. Punkty osobliwe r´ownania r´o˙zniczkowego zupe lnego . . . . . . . . . . . .

Rozdzia l 8. Transformata Laplace’a

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.1. Podstawowe definicje i twierdzenia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2. Wyznaczanie transformaty r´ownania r´o˙zniczkowego . . . . . . . . . . . .

8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty . . . . . . . . . . . .

Rozdzia l 9. Dodatek

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1. Tablice transformat Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia stacjonarne . . . .

9.3. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia niestacjonarne . .

Bibliografia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Rozdzia l 1

Wprowadzenie

R´ownaniem r´o˙zniczkowym nazywamy zwi

azek mi

edzy pewn

a nieznan

a funkcj

a jej pochodnymi; gdy funkcja niewiadoma jest funkcj

a jednej zmiennej, to m´owimy

o r´ownaniu r´o˙zniczkowym zwyczajnym, w przeciwnym wypadku o r´ownaniu
r´o˙zniczkowym cz

astkowym. Zwi

azek postaci

F (t, x(t), x

(t), . . . , x

(n)

(t)) = 0

nazywamy r´ownaniem r´o˙zniczkowym zwyczajnym n-tego rz

edu, je´sli lewa strona

istotnie zale˙zy od x

(n)

. Nie musi oba zale˙ze´c od x i t. Przyk ladowo r´ownanie

000

+ t(x

)

− e

x sin t

= 0

jest r´ownaniem r´o˙zniczkowym rz

edu trzeciego. Funkcja x mo˙ze by´c funkcj

a ska-

larn

a, albo wektorow

R´ownania r´o˙zniczkowe w zagadnieniach technicznych powstaj

a na og´o l w wy-

niku stosowania nast

epuj

acych metod post

epowania:

a) Przedstawiania praw fizyki w postaci matematyczno-analitycznej.
b) Przedstawiania zwi

azk´ow geometrycznych w postaci analitycznej.

c) Rugowania parametr´ow z n-parametrowej rodziny funkcji i n r´owno´sci.
Ad a) Niech v : R

× R

⊃ [t

, T ]

× R

3 (t, x) → v(t, x) ∈ R

edzie zadanym

polem pr

edko´sci. R´ownanie x

= v(t, x) opisuje ruchy cz

astek unoszonych w polu

v. Je´sli dodatkowo przyj

a´c warunek x(t

) = x

, to x(t) jest po lo˙zeniem w chwili

t tej cz

astki, kt´ora w chwili t

znajdowa la si

e w punkcie x

Ad b) Niech y = f (x). Wielko´s´c

ρ(A) =

(1 + (y

)

3
2

(A)

Rozdzia l 1. Wprowadzenie

nazywamy promienie krzywizny, a jej odwrotno´s´c

1
ρ

(A) krzywizn

a w punkcie A.

R´ownanie r´o˙zniczkowe

(1 + (y

)

3
2

= a

3 a ≥ 0

jest zadem r´ownaniem r´o˙zniczkowym, kt´orego rozwi

azaniem s

a krzywe o sta lej

krzywi´znie r´ownej a.
Ad c) Rozwa˙zmy rodzin

e okr

eg´ow

− a)

+ (y

− b)

= R

(1.1)

gdzie a, b, R parametry. Za´o˙zmy, ˙ze y = y(x). R´o˙zniczkuj

ac trzykrotnie zwi

azek

(1.1) dostajemy







− a + (y − b)y

= 0

1 + (y

)

+ (y

− b)y

= 0

+ (y

− b)y

000

= 0.

Ruguj

ac z tych r´owna´

n wszystkie trzy parametry dostajemy r´ownanie r´o˙zniczkowe

rodziny okr

eg´ow:

)

− 1 + (y

)

000

= 0.

Bez nale˙zytej precyzji mo˙zemy przyj

a´c w tej cwili, ˙ze r´ownaniem r´o˙zniczkowym

nazywamy r´ownanie postaci

F (t, x, x

, . . . , x

) = 0.

(1.2)

Je´sli funkcja ϕ : [a, b]

→ R klasy C

spe lnia to˙zsamo´sciowo r´owno´s´c

F (t, ϕ(t), ϕ

(t), . . . , ϕ

(t)) = 0 w [a, b],

to ϕ nazywamy ca lk

a szczeg´oln

a r´ownania r´o˙zniczkowego. Gdy ϕ jest funkcj

a ele-

mentarn

a, to m´owimy ˙ze (1.2) ma rozwi

azanie efektywne. Na przyk lad r´ownanie

(t) + ω

x(t) = 0

ma rozwi

azania efektywne

(t) = sin ωt i ϕ

(t) = cos ωt.

Z kolei r´ownanie Riccatiego

= a x

+ b t

a, b sta le,

∈ N

ma rozwi

azanie efektywne (niestety) tylko dla pewnych n.

Je´sli rozwi

azanie mo˙zna wyznaczy´c przez sko´

nczon

a liczb

e ca lkowaN, to m´owimy,

˙ze tak przedstawione rozwi

azania s

a rozwi

azaniami przez kwadratur

e. Na przyk lad

r´ownanie

sin t

ma rozwi

azanie

x(t) =

sin t

dt + C.

Niestety s

a r´ownania, kt´ore nie s

a rozwi

azywalne przez kwadratur

e. Przyk ladem

takiego r´ownania jest r´ownanie Bessela

+ tx

+ t

− n

x = 0.

Mo˙zna dla niego poda´c rozwi

azanie w postaci szereg´ow funkcyjnych. W szczeg´olno´sci

funkcje

(t) =

∞

k=0

(

−1)

(k!)

(t) = 2

∞

k=0

(

−1)

(k!)

+ C

−

ν=1

gdzie C = 0.5772157 . . . jest sta l

a Eulera, s

a rozwi

azaniami r´ownania Bessela dla

n = 0. Funkcje I

i Y

nosz

a nazw

e funkcji Bessela 1-go i 2-go rodzaju rz

edu 0.

Nie ka˙zde r´ownanie r´o˙zniczkowe ma rozwi

azanie. R´ownanie

1 +

= 0

nie ma rozwi

aza´

n rzeczywistych, ma jednak rozwi

azanie zespolone

x(t) = it.

R´ownanie

exp

= 0

w og´ole nie ma rozwi

aza´

n, bo funkcja C

3 z → e

∈ C nie ma zer. Z kolei

r´ownanie

= f (t, x),

gdzie prawa strona jest ci

a ma niesko´

nczenie wiele rozwi

aza´

Rozdzia l 2

Elementy analizy funkcjonalnej

Za l´o˙zmy, ˙ze X

6= ∅.

Definicja 1

Funcj

e ρ : X

×X → [0, ∞) nazywamy metryk

a, wtedy i tylko wtedy,

gdy

∀

x,y∈X

ρ(x, y) = 0

⇐⇒ x = y,

∀

x,y∈X

ρ(x, y) = ρ(y, x),

∀

x,y,z∈X

ρ(x, z)

≤ ρ(x, y) + ρ(y, z).

Definicja 2

Je´sli X

6= ∅ i ρ : X × X → R metryka, to par

e (X, ρ) nazywamy

przestrzeni

a metryczn

Niech X b

edzie przestrzeni

a wektorow

a nad cia lem K (K = R, lub K = C).

Definicja 3

Funkcj

k · k : X → [0, ∞) nazywamay norm

a, wtedy i tylko wtedy,

gdy

kxk = 0 ⇐⇒ x = 0,

2. ∀

α∈K

∀

x∈X

kαxk = |α|kxk,

∀

x,y∈X

kx + yk ≤ kxk + kyk.

Definicja 4

Par

e (X,

k · k) nazywamy przestrzeni

a unormowan

Uwaga 1

Ka˙zda norma indukuje metryk

e wed lug wzoru

ρ(x, y) :=

kx − yk,

tote˙z ka˙zda przestrze´

n unormowana jest przestrzeni

a metryczn

Rozdzia l 2. Elementy analizy funkcjonalnej

Definicja 5

Niech (X, ρ) - przestrze´

n metryczna. Ci

}

n∈N

⊂ X nazywamy

agiem Cauchy’ego (ci

agiem fundamentalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

ε>0

∃

k∈N

∀

m>k

∀

n>k

ρ (x

, x

) < ε.

Definicja 6

Niech (X, ρ) - przestrze´

n metryczna. M´owimy, ˙ze ci

}

n∈N

⊂ X

jest zbie˙zny do granicy g

∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy ci

ag liczbowy ρ (x

, g) ma

granic

e r´own

a 0, tj.

lim

n→∞

= g

⇐⇒ lim

n→∞

ρ (x

, g) = 0

⇐⇒ ∀

ε>0

∃

k∈N

∀

3n>k

ρ (x

, g) < ε

Definicja 7

M´owimy, ˙ze ci

}

n∈N

⊂ X jest zbie˙zny w przestrzeni metrycznej

(X, ρ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g

∈ X, takie ˙ze lim

n→∞

= g.

Twierdzenie 1

Ka˙zdy ci

ag zbie˙zny w przestrzeni metrycznej (X, ρ) jest ci

agiem

Cauchy’ego.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Przyk lad 1

n∈N

jest zbie˙zny do zera w przestrzeni metrycznej (R, ρ

gdzie ρ

jest metryk

a euklidesow

a. Jest on zatem w my´sl poprzedniego twierdzenia

agiem Cauchy’ego. Niech X := (0, 1) i niech d b

edzie restrykcj

a metryki ρ

× X. Przestrze´n (X, d) jest przestrzeni

a metryczn

a, a rozwa˙zany ci

ag w tej

przestrzeni nie jest zbie˙zny, gdy˙z 0

6∈ X.

Definicja 8

Przestrze´

n metryczn

a (X, ρ) nazywamy zupe ln

a, wtedy i tylko wtedy,

gdy ka˙zdy ci

ag Cauchy’ego

}

n∈N

⊂ X jest zbie˙zny (do elementu przestrzeni

X).

Definicja 9

Przestrze´

n unormowan

a zupe ln

a nazywamy przestrzeni

a Banacha.

Twierdzenie 2

(Banacha o odwzorowaniach zw

e˙zaj

acych)

Je´sli

- (X,

k · k) przestrze´n Banacha,

- T : X

→ X q-zw

e˙zaj

ace tzn.

∃

q∈[0,1)

∀

x,y∈X

kT (x) − T (y)k ≤ qkx − yk,

— T ma jedyny punkt sta ly tzn.

∃! x

∈ X :

T (x

) = x

— Ponadto, je´sli x

∈ X, x

n+1

:= T (x

), to

ρ (x

, x

)

≤

− q

ρ (x

, x

)

dla

∈ N.

Rozdzia l 3

Twierdzenia o istnieniu i

jednoznaczno´

sci

Twierdzenie 3

Je´sli

1. t

∈ I = [a, b] ⊂ R,

∈ B = B (x

, R)

⊂ U ∈ topX,

∈ C(I × U, X),

2. funkcja f : I

× U 3 (t, x) → f(t, x) ∈ X spe lnia warunek Lipschitza

wzgl

edem drugiej zmiennej na zbiorze I

× B tzn.:

∃

L>0

∀

t∈I

∀

y,z∈B

kf(t, y) − f(t, z)k ≤ ky − zk,

3. rozwa˙zamy r´ownanie r´o˙zniczkowe postaci:

(RR)

(t) = f (t, x(t)) t

∈ I,

(WPC) x (t

) = x

to r´ownanie (RR) z zadanym warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego (WPC) ma

dok ladnie jedno rozwi

azanie x = x(t) na przedziale J = I

∩ [t

− r, t

+ r], gdzie

r :=

∞ gdy R = +∞ czyli B = X

gdy R < +

∞

i M := sup

{kf(t, y)k : t ∈ T, y ∈ B}.

Definicja 10

Niech

(X, d), (Y, ρ) przestrzenie metryczne,
U

⊂ X,

Rozdzia l 3. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno´sci

f : I

× U 3 (t, x) → f(t, x) ∈ Y .

M´owimy, ˙ze f spe lnia lokalnie warunek Lipschitza wzgl

edem zmiennej x, je˙zeli

∀

∈I

∀

∈U

∃

J∈top(t

)

∃

B=B(x

,R)

∃

L=L(J,B)

∀

t∈J

∀

y,z∈B∩U

ρ (f (t, y), f (t, z))

≤ L · d(y, z).

Twierdzenie 4

Je˙zeli U

∈ topX, f = f(t, x) ∈ C(I × U, X), f spe lnie lokalnie

warunek Lipschitza wzgl

edem zmiennej x, to dla ka˙zdego (t

, x

)

∈ I ×U r´ownanie

= f (t, x) z warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego x (t

) = x

ma dok ladnie jedno

rozwi

azanie okre´slone w pewnym otoczeniu punktu t

Twierdzenie 5

(Zasada identyczno´sci) Przyjmijmy za lo˙zenia poprzedniego twier-

dzenia. Niech P przedzia l, P

⊂ I. Niech x = x(t), y = y(t) b

a dwoma

rozwi

azaniami tego samego r´ownania r´o˙zniczkowego x

= f (t, x) okre´slonymi na

P i spe lniaj

acymi warunki pocz

atkowe Cauchy’ego x (t

) = x

, y (t

) = y

. Je´sli

istnieje taki punkt p

∈ P , w kt´orym x(p) = y(p), to x(t) = y(t) dla t ∈ P .

Twierdzenie 6

Niech Y = X

, U

∈ topY , f ∈ C(I × U, X) i niech f = f(t, y)

spe lnia lokalnie warunek Lipschitza wzgl

edem zmiennej y. Wtedy dla ka˙zdego

∈ I, dla ka˙zdego x

= (x

, . . . , x

)

∈ U r´ownanie r´o˙zniczkowe

(n)

= f t, x, x

, . . . , x

(n−1)

z warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego

(j)

) = x

j = 0, 1, . . . , n

− 1

ma dok ladnie jedno rozwi

azanie x = x(t) w pewnym otoczeniu punktu t

Dow´

. R´ownanie sprowadzamy do uk ladu r´owna´

n. Niech y

:= x oraz

= y

=: f

(t, y

, . . . , y

)

= y

=: f

(t, y

, . . . , y

)

. . .

n−1

= y

=: f

n−1

(t, y

, . . . , y

)

= f (t, y

, . . . , y

) =: f

(t, y

, . . . , y

)

Uk lad ten mo˙zna zapisa´c w postaci

F(t, Y),

gdzie

Y = (y

, . . . , y

)

F = (f

, . . . , f

)

c.k.d

Definicja 11

Rozwi

azanie okre´slone na ca lym przedziale I okre´slono´sci r´ownania

r´o˙zniczkowego nazywamy rozwi

azaniem globalnym tego r´ownania.

Twierdzenie 7

(o rozwi

azaniu globalnym) Niech t

∈ I = |a, b| ⊂ R i niech

∈ C(I × X, X) i niech dane b

edzie r´ownanie

= f (t, x),

∈ I

z warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego

x (t

) = x

Je´sli

∀

J=[a

]⊂I

∃

L=L(J)>0

∀

t∈J

∀

x,y∈X

kf(t, x) − f(t, y)k ≤ L kx − yk ,

to powy˙zsze r´ownanie r´o˙zniczkowe z dowolnie zadanym warunkiem pocz

atkowym

Cauchy’ego ma dok ladnie jedno rozwi

azanie globalne tj. okre´slone na przedziale

Podobne twierdzenie ma miejsce dla uk lad´ow r´owna´

Przyk lad 2

R´ownanie x

= x

nie spe lnia za lo˙ze´

n powy˙zszego twierdzenie. Ca lka

og´olna tego r´ownania jest okre´slona wzorem x(t) =

−

t+C

∈ R) i nie jest

okre´slona na X = R.

Rozdzia l 4

Proste typy r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych

skalarnych

4.1. R´

ownanie r´

o ˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych

R´ownanie r´o˙zniczkowe postaci

(t) =

f (t)

g(x)

(4.1)

gdzie f

∈ C(I, R), g ∈ C(J, R), x ∈ C

(I, J), I, J przedzia ly, t

∈ I, g(x) 6= 0 dla

∈ J nazywamy r´ownaniem o zmiennych rozdzielonych. R´ownanie to mo˙zemy

zapisa´c w postaci

g(x)x

(t) = f (t).

Niech G = G(x) oraz F = F (t) b

a dowolnymi funkcjami pierwotnymi odpo-

wiednio funkcji g = g(x) i f = f (t). W´owczas r´ownanie (4.1) mo˙zna przepisa´c w
postaci

◦ x)(t) =

F (t),

czyli

[G(x)

− F (t)] = 0, x = x(t), t ∈ I.

Poniewa˙z I przedzia l, to r´ownanie to na podstawie twierdzenia Lagrange’a jest
r´ownowa˙zne r´ownaniu

G(x)

− F (t) = C, x = x(t), t ∈ I, C ∈ R,

Rozdzia l 4. Proste typy r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych skalarnych

kt´ore mo˙zemy zapisa´c w postaci

g(x)dx =

f (t)dt,

x = x(t).

(4.2)

4.2. R´

ownanie jednorodne

R´ownaniem r´o˙zniczkowym jednorodnym nazywamy r´ownanie postaci

= f

(4.3)

gdzie t

∈ I, x = x(t), f ∈ C(J, R), I, J - przedzia ly. Podstawienie

x(t) = ty(t)

sprowadza r´ownanie (4.3) do r´ownania r´o˙zniczkowego

f (y)

− y

o zmiennych rozdzielonych.

Dodatkowo nale˙zy sprawdzi´c, czy rozwi

azaniem

r´ownania (4.3) jest funkcja x(t) := y

t, gdzie y

, jest rozwi

azaniem r´ownania

f (y

)

− y

= 0.

R´ownanie

= f

t + b

x + c

t + b

x + c

(4.4)

gdzie f jest funkcj

a ci

ag l

a oraz a

− a

6= 0 mo˙zna przez stosown

a zmian

zmiennych sprowadzi´c do r´ownania jednorodnego. Je´sli bowiem wektor (¯

t, ¯

x) jest

rozwi

azaniem uk ladu r´owna´

t
x

−c

to zmiana zmiennych

t = ¯

t + ξ,

x = ¯

x + η

przy kt´orej

dη
dξ

d(x−¯

dξ

sprowadza r´ownanie (4.4) do r´ownania jednorod-

nego

dη
dξ

= f

ξ + b

= f

+ b

η
ξ

+ b

η
ξ

=: g

η
ξ

Gdy a

− a

= 0, to istnieje takie λ

∈ R, ˙ze a

t + b

x = λ (a

t + b

x) lub

t + b

x = λ (a

t + b

x). R´ownanie (4.4) przekszta lca si

e w r´ownanie postaci

= ¯

f (a

t + b

lub x

= ¯

f (a

t + b

x) .

Podstawienie odpowiednio

u(t) = a

t + b

x(t) lub u(t) = a

t + b

x(t)

sprowadza je do r´ownania o zmiennych rozdzielonych.

4.3. R´

ownanie r´

o˙zniczkowe zupe lne

4.3. R´

ownanie r´

o ˙zniczkowe zupe lne

Niech D

⊂ R

edzie obszarem tj. zbiorem otwartym i sp´ojnym. Niech

P, Q

∈ C(D, R) oaz Q(t, x) 6= 0 dla (t, x) ∈ D.

Definicja 12

R´ownanie r´o˙zniczkowe

−

P (t, x)
Q(t, x)

(4.5)

czyli

P (t, x)dt + Q(t, x)dx = 0

(4.6)

nazywamy zupe lnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja U

∈ C

(D, R),

˙ze

(t,x)

U = P (t, x)dt + Q(t, x)dx dla (t, x)

∈ D.

(4.7)

Poniewa˙z zbi´or D jest obszarem, zatem je´sli (4.6) jest r´ownaniem r´o˙zniczkowym
zupe lnym, to ca lka og´olna tego r´ownania ma posta´c

U (t, x) = C,

∈ R.

Z twierdzenia Poincar`e’go wynika nast

epuj

ace

Twierdzenie 8

Je´sli D jest obszarem ´sci

agalnym w R

, P, Q

∈ C(D, R) oraz

∂P

∂x

∂Q

∂t

w D, to (4.6) jest r´ownaniem r´o˙zniczkowym zupe lnym,

przy czym:

Definicja 13

Obszar D nazywamy ´sci

agalnym w R

wtedy i tylko wtedy, gdy

istniej

a obszar obszar gwia´zdzisty G

⊂ R

oraz dyffeomorfizm h : G

→ D (tzn. h

bijekcja, H, h

−1

klasy C

Definicja 14

Zbi´or G

⊂ R

nazywamy zbiorem gwia´zdzistym wtedy i tylko wtedy,

gdy

∃

∈G

∀

x∈G

, x]

⊂ G,

Wiedz

ac, ˙ze (4.6) zupe lne z warunku (4.7) mamy:

∂U

∂t

= P,

∂U

∂x

= Q.

Ca lkuj

ac pierwszy z tych zwi

azk´ow wzgl

edem zmiennej t dostajemy:

U (t, x) =

P (t, x)dt + C(x) (t, x)

∈ D.

Z kolei

Q(t, x) =

∂U

∂x

(t, x) =

∂P (t, x)

∂x

dt + C

(x),

Rozdzia l 4. Proste typy r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych skalarnych

(x) = Q(t, x)

−

∂P

∂x

(t, x)dt.

i w konsekwencji

C(x) =

Q(t, x)dx

−

Z Z

∂P

∂x

(t, x)dt

dx.

Ostatecznie

U (t, x) =

P (t, x)dt +

Q(t, x)dx

−

Z Z

∂P

∂x

(t, x)dt

dx,

tak wi

ec rozwi

azanie og´olne r´ownania r´o˙zniczkowego zupeLnego (4.6) wyra˙za si

wzorem:

P (t, x)dt +

Q(t, x)dx

−

Z Z

∂P

∂x

(t, x)dt

dx = C,

∈ R.

(4.8)

4.3.1. Czynnik ca lkuj

acy

Je˙zeli r´ownanie (4.6) nie spe lnia warunku

∂P

∂x

∂Q

∂t

w zadanym obszarze

´sci

agalnym D, to szukamy takiej funkcji µ = µ(t, x)

∈ C

(D, R), aby

∂(µP )

∂x

∂(µQ)

∂t

(t, x)

∈ D

(4.9)

Definicja 15

Funkcj

e µ

∈ C

(D, R), dla kt´orej zachodzi warunek (4.9) nazy-

wamy czynnikiem ca lkuj

acym r´ownania (4.6).

Twierdzenie 9

Je´sli funkcje P, Q

∈ C

(D, R) i D obszar ´sci

agalny, to istnieje

∈ C

(D, R) czynnik ca lkuj

acy r´ownania (4.6).

Efektywne wyznaczenie czynnika ca lkuj

acego jest mo˙zliwe zawsze, gdy zale˙zy on

od jednej zmiennej oraz w sytuacji, gdzy µ = µ(ω(t, x)), gdzie ω(t, x) jest znan

funkcj

a klasy C

(D, R). W pozosta lych przypadkach jest to zagadnienie trudne

esto niemo˙zliwe do zrealizowania.

Za´o˙zmy zatem, ˙ze istnieje czynnik ca lkuj

acy r´ownania (4.6) postaci µ =

µ(ω(t, x)). Warunek

∂(µP )

∂x

∂(µQ)

∂t

(t, x)

∈ D

jest r´ownowa˙zny warunkowi

∂ω

∂x

P + µ

∂P

∂x

= µ

∂ω

∂t

Q + µ

∂Q

∂t

kt´ory mo˙zna zapisa´c w postaci

∂Q

∂t

−

∂P

∂x

∂ω

∂x

−

∂ω

∂t

(4.10)

4.4. R´

ownanie Clairauta

Poniewa˙z lewa strona, z za lo˙zenia, zale˙zy od ω(t, x), zatem warunkiem istnienia
czynnika ca lkuj

acego postaci µ = µ(ω(t, x)) jest aby prawa strona r´ownania (4.10)

by la zale˙zna od ω(t, x). Wtedy te˙z dostajemy wz´or:

|µ(ω)| =

∂Q

∂t

−

∂P

∂x

∂ω

∂x

−

∂ω

∂t

(ω)

dω =: χ(ω)

z kt´orego wynika, ˙ze ka˙zda z funkcji

µ(t, x) := µ(ω(t, x)) = Ce

χ(ω(t,x))

∈ R \ {0})

(4.11)

jest szukanym czynnikiem ca lkuj

acym.

Poszukuj

ac czynnika ca lkuj

acego nale˙zy rozpocz

ac od najprostszych przy-

padk´ow tj. ω(t, x) = t lub ω(t, x) = x, potem rozwa˙zy´c kolejno ω(t, x) = t + x,
ω(t, x) = t

− x, ω(t, x) = tx, ω(t, x) =

. Gdy nie przyniesie to rezultatu szanse

na znalezienie czynnika ca lkuj

acego s

a znikome.

Przyk lad 3

Istnieje czynnik ca lkuj

acy µ = µ(t) r´ownania (t + t

+ x

) dt +

xdx = 0, gdy˙z

(t)

µ(t)

= 2. Rozwi

azuj

ac ostatnie r´ownanie dostajemy

|µ(t)| = 2

i w konsekwencji µ(t) = Ce

∈ R\{0}) jest szukanym czynnikiem ca lkuj

acym.

4.4. R´

ownanie Clairauta

Definicja 16

R´ownaniem Clairauta nazywamy r´ownanie r´o˙zniczkowe

− tx

− f (x

) = 0,

(4.12)

gdzie t

∈ I, I - przedzia l, x ∈ C

(I, J), J - przedzia l, f

∈ C

(J, R) i funkcja f

nie jest postaci f (τ ) = Aτ + B.

R´o˙zniczkuj

ac (4.12) stronami dostajemy:

− x

− tx

− f

) x

= 0

czyli

(t + f

)) = 0.

Je´sli istnieje x = x(t) rozwi

azanie r´ownania (4.12) klasy C

(I, R), to

= 0 lub t + f

) = 0.

Je´sli x

(t) = 0, to x

(t) = C, x(t) = Ct + b. Wstawiaj

ac funkcj

e x(t) = Ct + b

do r´ownania (4.12) dostajemy b = f (C). Tak wi

ec ka˙zda prosta

x(t) = Ct + f (C),

∈ J

(4.13)

jest rozwi

azaniem (4.12).

Rozdzia l 4. Proste typy r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych skalarnych

W sytuacji t + f

) = 0, traktujemy pochodn

a x

jak parametr i oznaczamy

go symbolem p. Tak wi

ec t =

−f

(p). R´ownanie (4.12) mo˙zemy przepisa´c w

postaci x = tp + f (p) =

−f

(p)p + f (p). R´ownanie parametryczne

−f

(p)

x = f (p)

− pf

(p)

(4.14)

jest r´ownaniem obwiedni rodziny prostych (4.13).

Rozdzia l 5

Liniowe r´

ownania r´

o ˙zniczkowe

5.1. R´

ownania i uk lady r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych liniowych

Niech (X,

k · k) przestrze´n Banacha, I = |a, b| ⊂ R - dowolny przedzia l,

L(X, X) :=

{T : X → X :

operator liniowy i ci

ag ly

}. Niech

A : I

3 t → A(t) ∈ L(X, X) ci

ag le,

∈ C(I, X),

x = x(

·) ∈ C

(I, X).

Definicja 17

R´ownaniem r´o˙zniczkowym liniowym jednorodnym rz

edu pierwszego

(RRLJ) nazywamy r´ownanie postaci

(t) = A(t) (x(t)) ,

∈ I,

(5.1)

kr´otko x

= A(t)x, x = x(t), t

∈ I.

Definicja 18

R´ownaniem r´o˙zniczkowym liniowym niejednorodnym rz

edu pierw-

szego (RRLN) nazywamy r´ownanie postaci

(t) = A(t) (x(t)) + g(t),

∈ I,

(5.2)

kr´otko x

= A(t)x + g(t), x = x(t), t

∈ I.

Definicja 19

W sytuacji X = R

(RRLJ), (RRLN) nazywamy uk ladem r´owna´

r´o˙zniczkowych liniowych.

Definicja 20

R´ownanie r´ozniczkowe

(n)

= A(t) x, x

, . . . , x

(n−1)

+ g(t),

(5.3)

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

gdzie x = x(t), t

∈ I, I - przedzia l, A ∈ C (I, L (X

, X)), g

∈ C(I, X), X

- przestrze´

n Banacha, nazywamy r´ownaniem r´o˙zniczkowym liniowym rz

edu n -

tego. Je´sli g = 0, to r´ownanie (5.3) nazywamy r´ownaniem jednorodnym, w prze-
ciwnym wypadku niejednorodnym.

Jak wiadomo z wcze´sniejszych rozwa˙za´

n, r´ownanie to mo˙zna sprowadzi´c do

r´ownania rz

edu pierwszego w przestrzeni Banacha X

Twierdzenie 10

(Twierdzenie o istnieniu rozwi

azania globalnego) Standardowe

r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe (5.2) ma zawsze rozwi

azanie globalne przy dowol-

nym warunku pocz

atkowym Cauchy’ego.

Twierdzenie 11

Zbi´or rozwi

aza´

n r´ownania r´o˙zniczkowego liniowego jednorod-

nego (5.1) (ca lka og´olna) jest przestrzeni

a liniow

Dow´

. Wystarczy pokaza´c, ˙ze je´sli funkcje x i y s

a rozwi

azaniami (5.1) to ich

dowolna kombinacja liniowa tak˙ze. Niech α, β

∈ R. Mamy

(αx + βy)

= αx

+ βy

= αA(t)x + βA(t)y =

= A(t)(αx) + A(t)(βy) = A(t)(αx + βy)

c.k.d

Twierdzenie 12

Rozwi

azanie og´olne r´ownania r´o˙zniczkowego liniowego niejed-

norodnego (5.2) jest sum

a rozwi

azania szczeg´olnego (5.2) i rozwi

azania og´olnego

r´ownania r´o˙zniczkowego liniowego jednorodnego(5.1), a dok ladniej:

Ka˙zde rozwi

azanie (5.2) jest sum

a pewnego ustalonego rozwi

azania (5.2) i

pewnego rozwi

azania (5.1).

Dow´

. Niech

R :=

∈ C

(I, X) :

= A(t)x + g(t)

∈ C

(I, X) :

= A(t)y

Ustalmy e

∈ R i zdefiniujmy

Z :=

∈ C

(I, X) :

z = e

x + y, y

∈ Y

= e

x + Y.

Mamy pokaza´c, ˙ze R = Z.

Udowodnimy najpierw, ˙ze Z

⊂ R.

We´zmy z

∈ Z. Z definicji zbioru Z wynika, ˙ze istnieje y ∈ Y , ˙ze z = ex + y.

Poniewa˙z

= e

+ y

= (A(t)e

x + g(t)) + A(t)y = A(t) (e

x + y) + g(t) = A(t)z + g(t)

zatem z

∈ R.

5.2. Skalarne r´

ownanie liniowe rz

edu pierwszego

Teraz udowodnimy, ˙ze R

⊂ Z.

We´zmy x

∈ R. Wektor x mo˙zemy zapisa´c w postaci x = ex+(x − ex). Zdefiniujmy

y := x

− ex. Zauwa˙zmy, ˙ze

= (x

− ex)

= x

= e

= (A(t)x + g(t))

− (A(t)ex + g(t)) =

= A(t)x

− A(t)ex = A(t) (x − ex) = A(t)y,

co oznacza, ˙ze y

∈ Y . W takim razie x ∈ Z.

c.k.d

5.2. Skalarne r´

ownanie liniowe rz

edu pierwszego

Skalarne r´ownanie liniowe rz

edu pierwszego

+ f (t)x = 0,

(5.4)

gdzie x = x(t), t

∈ I, I - przedzia l, f ∈ C(I, R), jest r´ownaniem o zmiennych

rozdzielonych. Ca lk

a og´oln

a tego r´ownania jest rodzina funkcji

x(t) = Ce

−

R f (t)dt

C = const

∈ R, t ∈ I.

Ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania niejednorodnego

+ f (t)x = g(t) t

∈ I,

(5.5)

mo˙zemy znale´z´c metod

a uzmienniania sta lej. Przypu´s´cmy bowiem, ˙ze istnieje

rozwi

azanie r´ownania (5.5) postaci

x(t) = C(t)e

−

R f (t)dt

= C(t)e

−F (t)

gdzie F (t) :=

f (t)dt. Je´sli funkcja ta jest rozwi

azaniem r´ownania (5.5), to

g(t) = x

+f (t)x = C

(t)e

−F (t)

+C(t) (

−F

(t)) e

−F (t)

+f (t)C(t)e

−F (t)

= C

(t)e

−F (t)

(t) =

g(t)

−F (t)

= g(t)e

F (t)

Rozwi

azaniem tego r´ownania jest funkcja

C(t) =

g(t)e

F (t)

dt,

∈ I.

Tak wi

ec ca lk

a szczeg´oln

a r´ownania (5.5) jest funkcja

x(t) =

g(t)e

R f (t)dt

−

R f (t)dt

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

5.3. R´

ownanie Bernoulliego

R´ownaniem r´o˙zniczkowym Bernoulliego nazywamy r´ownanie postaci

+ f (t)x = g(t)x

p = const

∈ R \ {1},

(5.6)

przy czym w stosunku do funkcji f i g przyjmujemy takie same za lo˙zenia jak w
przypadku r´ownania liniowego. Przez zmian

e zmiennych

y(t) := x

1−p

(t)

r´ownanie to mo˙zna sprowadzi´c do r´ownanie r´o˙zniczkowego liniowego. Zauwa˙zmy
bowiem, ˙ze skoro y

= (1

− p)x

−p

, to obustronnie mno˙z

ac r´ownanie (5.6) przez

− p)x

−p

dostajemy

− p)x

−p

+ (1

− p)f(t)x

1−p

= (1

− p)g(t),

czyli r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe niejednorodne

+ (1

− p)f(t)y = (1 − p)g(t).

5.4. R´

ownanie Riccatiego

R´ownaniem r´o˙zniczkowym Riccatiego nazywamy r´ownanie postaci

= a(t)x

+ b(t)x + c(t),

(5.7)

gdzie a, b, c : I

→ R ci

ag le, I - przedzia l otwarty.

Z poprzednich twierdze´

n latwo pokaza´c, ˙ze ka˙zdy punkt zbioru I

×R jest punk-

tem globalnej jednoznaczno´sci. Gdy a(t) = 0, to r´ownanie (5.7) jest r´ownaniem
r´o˙zniczkowym liniowym, a gdy c(t) = 0 r´ownaniem Bernoulliego.

Specjalnym r´ownaniem Riccatiego nazywamy szczeg´olny przypadek r´ownanoa

(5.7) a mianowicie

= c

+ c

, c

∈ R.

Nawet dla tego ostatniego r´ownania mo˙zna poda´c efektywne metody dla pewnych
warto´sci wyk ladnika n. W og´olnym przypadku zachodzi natomiast nast

epuj

ace:

Twierdzenie 13

Niech I = (α, β)

⊂ R. Je´sli ϕ jest ca lk

a szczeg´oln

a r´ownania

(5.7) okre´slon

a na I, to dla ka˙zdego rozwi

azania x tego r´ownania okre´slonego w

przedziale

4 ⊂ I funkcja okre´slona wzorem:

y(t) := x(t)

− ϕ(t) (t ∈ 4),

jest rozwi

azaniem r´ownania Bernoulliego

= [b(t) + 2a(t)ϕ(t)] y + a(t)y

(5.8)

5.5. R´

ownanie Lagrange’a

i na odwr´ot, dla ka˙zdego rozwi

azania y r´ownania (5.8) okre´slonego w

4 funkcja

x zdefiniowana wzorem:

x(t) = ϕ(t) + y(t) (t

∈ 4)

jest rozwi

azaniem r´ownania (5.7).

Dow´

. Niech ϕ i x b

a dwoma rozwi

azaniami r´ownania (5.7), czyli

= a(t)ϕ

+ b(t)ϕ + c(t),

= a(t)x

+ b(t)x + c(t).

W´owczas

= x

− ϕ

= a(t)x

+ b(t)x + c(t)

− a(t)ϕ

+ b(t)ϕ + c(t)

= a(t) x

− ϕ

+ b(t) (x

− ϕ) = a(t) (x + ϕ) (x − ϕ) + b(t) (x − ϕ) =

= (a(t) (x + ϕ) + b(t)) (x

− ϕ) = (b(t) + a(t)x + a(t)ϕ) (x − ϕ) =

= (b(t) + 2a(t)ϕ + a(t)x

− a(t)ϕ) (x − ϕ) =

= (b(t) + 2a(t)ϕ + a(t) (x

− ϕ)) (x − ϕ) = (b(t) + 2a(t)ϕ) y + a(t)y

Tak wi

= (b(t) + 2a(t)ϕ) y + a(t)y

c.k.d

Przyk lad 4

Rozwa˙zmy r´ownanie Riccatiego

− 2tx + x

= 5

− t

kt´orego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja ϕ(t) = t + 2. Przepisuj

ac to r´ownanie w

postaci x

= (

−1)x

+ (2t)x + (5

− t

), widzimy, ˙ze a(t) =

−1, b(t) = 2t, c(t) =

− t

. Skojarzone r´ownanie Bernoulliego przybiera wi

ec posta´c

= [2t + 2(

−1)(t + 2)] y + (−1)y

−4y − y

Jego rozwi

azaniem og´olnym jest rodzina funkcji

y(t) = Ce

∈ R), tak wi

rozwi

azaniem r´ownania wyj´sciowego jest rodzina funkcji

x(t) = Ce

+t+2(C

∈

5.5. R´

ownanie Lagrange’a

R´ownaniem Lagrange’a nazywamy r´ownanie postaci:

x = a (x

) t + f (x

) .

(5.9)

Zak ladamy, ˙ze funkcje a, f

∈ C

(J, R), x

∈ C

(I, J), I, J przedzia ly. Je´sli funkcja

a jest funkcj

a identyczno´sciow

a, to r´ownanie Lagrange’a jest r´ownaniem Cla-

irauta. Przyjmijmy zatem dalej, ˙ze a(p)

6= p dla wszystkich p ∈ J. R´o˙zniczkuj

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

r´ownanie (5.9) stronami i podstawiaj

ac za pocchodn

a x

now

a funkcj

e p = p(t)

mo˙zemy to r´ownanie przekszta lci´c do postaci:

= a

) x

t + a (x

) + f

) x

p = a

(p) p

t + a (p) + f

(p) p

p = (a

(p)t + f

(p))

+ a(p),

− a(p)

(p)t + f

(p)

Zamieniaj

ac role zmiennych p i t mamy

(p)t + f

(p)

− a(p)

(p)

− a(p)

t +

(p)

− a(p)

czyli r´ownanie r´o˙zniczkowe niejednorodne

(p)

a(p)

− p

t =

(p)

− a(p)

z niewiadom

a funkcj

a t = t(p). Po wyznaczeniu tego rozwi

azania wstawiamy

je do wyj´sciowego r´ownania (5.9), w kt´orym w miejsce pochodnej x

wstawiamy

parametr p. Ostatecznie

= t(p)

x = a (p) t(p) + f (p) .

(5.10)

jest rozwi

azaniem r´ownania (5.9) w postaci parametrycznej.

5.6. Skalarne r´

ownanie r´

o ˙zniczkowe liniowe

n-tego rz

edu

Definicja 21

Skalarnym r´ownaniem r´o˙zniczkowym jednorodnym n-tego rz

edu

(SRRLJ) nazywamy r´ownanie

(n)

+ a

n−1

(t)x

(n−1)

+ . . . + a

(t)x

+ a

(t)x = 0,

(5.11)

w kt´orym a

(t)

∈ C(I, R), (j = 0, 1, . . . , n − 1), I - przedzia l.

Niech

L(t) :=

+ a

n−1

(t)

n−1

+ . . . + a

(t)

+ a

(t),

∈ I,

w´owczas r´ownanie (5.11) mo˙zna zapisa´c w zwi

ez lej postaci

L(t)x = 0,

∈ I.

(5.12)

5.6. Skalarne r´

ownanie r´

o˙zniczkowe liniowe

-tego rz

edu

Definicja 22

Wro´

nskianem funkcji x

, . . . , x

∈ C

n−1

(I, R) nazywamy funkcj

W (x

, . . . , x

) (t) := det

(k−1)
j

(t)

k = 1, . . . , n
j = 1, . . . , n

(5.13)

Twierdzenie 14

a) Je´sli wro´

nskian W (x

, . . . , x

) (t

)

6= 0 dla pewnego t

∈ I,

to funkcke x

, . . . , x

a liniowo niezale˙zne.

b) Niech x

, . . . , x

a rozwi

azaniami r´ownania (5.11). Je´sli x

, . . . , x

liniowo niezale˙zne, to ich wro´

nskian W (x

, . . . , x

) (t))

6= 0 dla ka˙zdego t ∈ I.

Dow´

Kolejno udowodnimy obie cz

e´sci twierdzenia.

ad a) (nie wprost)

Przyjmijmy, ˙ze x

, . . . , x

∈ C

n−1

(I, R) s

a liniowo zale˙zne. Zatem istniej

a takie

sta le C

, . . . , C

∈ R, ˙ze

n
j=1

6= 0 oraz

j=1

(t) = 0 dla t

∈ I.

(5.14)

R´o˙zniczkuj

ac t

e r´owno´s´c sukcesywnie wzgl

edem zmiennej t dostajemy zwi

azek

j=1

(k−1)
j

= 0 k = 1, . . . , n, t

∈ I.

Poniewa˙z W (x

, . . . , x

) (t

)

6= 0, zatem uk lad (5.14) ma tylko rozwi

azanie zerowe

= C

= . . . = C

= 0 wbrew za lo˙zeniu.

ad b) (nie wprost) Przypu´s´cmy, ˙ze istnieje taki punkt t

∈ I : W (x

, . . . , x

) (t

) =

0.
Po l´o˙zmy

j
k

:= x

(k−1)
j

) ,

j, k

∈ {1, . . . , n} i zdefiniujmy macierz A := a

j
k

Niech wektor C = (C

, . . . , C

)

edzie niezerowym rozwi

azaniem uk ladu

AC = 0.

Takie rozwi

azanie istnieje, gdy˙z

det A = det a

j
k

= W (x

, . . . , x

) (t

) = 0.

We´zmy

x = x(t) :=

j=1

(t).

Funkcja ta jest rozwi

azaniem r´ownania (5.11) bo jest kombinacj

a liniow

a rozwi

aza´

(j = 1, . . . , n). Zauwa˙zmy, ˙ze x(t) spe lnia warunek pocz

atkowy Cauchy’ego:

(k−1)

) =

j=1

k−1

) = 0.

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

Z drugiej strony funkcja sta la r´owna zero te˙z spe lnoa powy˙zszy warunek pocz

atkowy

i jest rozwi

azaniem r´ownania (5.11). Wobec jedyno´sci rozwi

azania problemu

pocz

atkowego dla r´ownania (5.11) i wobec liniowej niezale˙zno´sci x

, . . . , x

mamy

= C

= . . . = C

= 0 co przeczy za lo˙zeniu.

c.k.d

Wniosek 1

Je˙zeli x

, . . . , x

a rozwi

azaniami r´ownania (5.11), to

∀

t∈I

W (x

, . . . , x

) (t) = 0,

lub

∀

t∈I

W (x

, . . . , x

) (t)

6= 0.

Definicja 23

Zbi´or

, . . . , x

} liniowo niezale˙znych rozwi

aza´

n szczeg´olnych r´ownania

(5.11) nazywamy fundamentalnym uk ladem rozwi

aza´

n (SRRLJ) rz

edu n.

Twierdzenie 15

Ka˙zde r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe jednorodne rz

edu n-tego

(5.11) ma fundamentalny uk lad rozwi

aza´

Dow´

Niech A = a

j
k

∈ R

edzie dowoln

a macierz

a nioeosobliw

a i niech

∈ I. Wiadomo, ˙ze r´ownanie (5.11) ma rozwi

azania globalne przy zadanych

warunkach pocz

atkowych Cauchy

ego

(k−1)
j

) = a

j
k

k = 1, . . . , n.

Oznaczmy je symbolami x

, (j = 1, . . . , n). Z konstrukcji tych rozwi

aza´

n wynika,

˙ze

W (x

, . . . , x

) (t

) = det A

6= 0

i wobec poprzedniego twierdzenia rozwi

azania x

, . . . , x

tworz

a fundamentalny

uk lad rozwi

aza´

c.k.d

Twierdzenie 16

Je˙zeli rozwi

azania x

, . . . , x

tworz

a fundamentalny uk lad rozwi

aza´

jednorodnego r´ownania r´o˙zniczkowego liniowego rz

edu n (5.11), to rodzina funkcji

x =

j=1

gdzie C

, (j = 1, . . . , n) jest rozwi

azaniem og´olnym tego r´ownania.

Dow´

Nale˙zy pokaza´c, ˙ze dla dowolnego rozwi

azania szczeg´olnego x spe lniaj

acego

warunek pocz

atkowy Cauchy’ego

(k−1)

) = x

(k = 1, . . . , n)

5.7. Obni˙zanie rz

edu r´

ownania liniowego

istniej

a sta le

(j = 1, . . . , n)

takie, ˙ze

x =

n
j=1

Rozwa˙zmy uk lad r´owna´

j=1

(k−1)
j

) = x

(k = 1, . . . , n).

Macierz tego uk ladu jest nieosobliwa, bo jej wyznacznik jest r´owny W (x

, . . . , x

) (t

)

0. Niech rozwi

azaniem tego uk ladu b

edzie wektor e

C =

, . . . , e

. Latwo

zauwa˙zy´c, ˙ze sk ladowe e

tego wektora s

a poszukiwanymi sta lymi.

c.k.d

5.7. Obni ˙zanie rz

edu r´

ownania liniowego

5.7.1. Wz´

or Liouville’a

Rozwa˙zmy teraz jednorodne r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe (5.11) rz

edu dru-

giego. Mo˙zna pokaza´c nast

epuj

ace twierdzenie Liouville’a:

Twierdzenie 17

Je´sli x

, x

stanowi

a uk lad fundamentalny rozwi

aza´

n jednorod-

nego r´ownania r´o˙zniczkowego liniowego (5.11) rz

edu drugiego, to

∃

C∈R

W (x

, x

) (t) = C exp

−

(t) dt

Je´sli x

jest znanym rozwi

azaniem r”wnania (5.11), to drugie rozwi

azanie

niezale˙zne mo˙zna znale˙z´c nast

epuj

acym sposobem:

∀

t∈R

(t) x (t)

(t) x

(t)

6= 0,

(5.15)

− x

x = C exp

−

(t) dt

− x

C exp

−

(t) dt

C exp

−

(t) dt

C exp

−

(t) dt

dt,

x (t) = x

(t)

C exp

−

(t) dt

dt + C

. (5.16)

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

5.7.2. R´

ownania wy ˙zszych rz

ed´

Druga metoda, bardziej uniwersalna metoda, to zastosowanie podstawienia:

x (t) = x

(t) y (t) .

(5.17)

Ma bowiem miejsce nast

epuj

ace

Twierdzenie 18

Je˙zeli

x(t)

6= 0

jest rozwi

azanie jednorodnego liniowego

r´ownania r´o˙zniczkowego (5.11) rz

edu n, to po podstawieniu x(t) = e

x(t)y(t) otrzy-

mujemy r´ownanie, kt´orego rz

ad mo˙zna obni˙zy´c do rz

edu n

− 1.

5.8. Niejednorodne r´

ownanie r´

o ˙zniczkowe liniowe

n-tego rz

edu

Definicja 24

Niejednorodnym r´ownaniem r´o˙zniczkowym liniowym rz

edu n na-

zywamy r´ownanie postaci

L(t)x = g(t),

(5.18)

gdzie g : R

⊃ I → R jest funkcj

a ci

ag l

Za l´o˙zmy, ˙ze znamy uk lad fundamentalny

, . . . , x

} skojarzonego jednorod-

nego r´ownania r´o˙zniczkowego (5.12). Ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania niejednorodnego

(5.18) znajdziemy metod

a uzmienniania sta lych (metod

a Lagrange’a).

Zak ladamy, ˙ze poszukiwane rozwi

azanie jest postaci

x(t) =

j=1

(t)x

(t).

Funkcje C

(t) wyznaczamy rozwi

azuj

ac uk lad r´owna´

n r´o˙zniczkowych







(t)

. . .

(t)

. . .

(t)

...

(n−2)

. . . x

(n−2)

(t)

(n−1)

. . . x

(n−1)

(t)













(t)

...

n−1

(t)













0
0

...

g(t)







Rozwi

azuj

ac powy˙zszy uk lad dostajemy n r´owna´

n o zmiennych rozdzielonych

(t) = F

(t) (j = 1, . . . , n),

gdzie funkcje F

a okre´slone wzorami Cramera.

Twierdzenie 19

(Zasada superpozycji) Je´sli funkcja x

(t) jest rozwi

azaniem

r´ownania L(t)x = g

(t), a x

(t) rozwi

azaniem L(t)x = g

(t), to x

(t) + x

(t)

jest rozwi

azaniem r´ownania L(t)x = g

+ g

(t).

Uzasadnienie tego faktu zostanie przedstawiony przy omawianiu metody uzmien-

niania sta lych dla uk ladu r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych.

5.9. R´

ownanie liniowe n-tego rz

edu o sta lych wsp´

o lczynnikach

5.9. R´

ownanie liniowe

n-tego rz

edu o sta lych

wsp´

o lczynnikach

Rozwa˙zamy r´ownanie postaci

(n)

+ a

n−1

(n−1)

+ . . . + a

+ a

x = 0,

(5.19)

w kt´orym a

∈ R, (j = 0, 1, . . . , n − 1). Niech

L :=

+ a

n−1

+ . . . + a

+ a

w´owczas r´ownanie (5.19) mo˙zna zapisa´c kr´otko

Lx = 0.

(5.20)

Przewidujemy rozwi

azanie r´ownania (5.19) w postaci x(t) = e

λt

, gdzie λ

∈ C.

Po wsrawieniu pochodnych x

(j)

(t) = λ

λt

do (5.19) i wydzieleniu przez e

λt

do-

stajemy:

+ a

n−1

+ . . . + a

= 0.

(5.21)

Wniosek 2

Funkcja x(t) = e

λt

jest rozwi

azaniem r´ownania r´o˙zniczkowego (5.19)

wtedy i tylko wtedy, gdy λ jest pierwiastkiem r´ownania (5.21) zwanego r´ownaniem
charakterystycznym

Uwaga 2

Funkcja zespolona x(t) jest rozwi

azaniem r´ownania r´o˙zniczkowego (5.19)

wtedy i tylko wtedy, gdy

<e x(t) oraz =m x(t) s

a rozwi

azaniami tego r´ownania.

Niech λ

, . . . , λ

∈ C b

a wszystkimi pierwiastkami r´ownania charaktery-

stycznego (5.21), przy czym pierwiastek k-krotny wyst

epuje w tym ci

agu k razy.

Funkcje x

(t) = e

maj

a wro´

nskian

W (x

, . . . , x

) (t) = e

(λ

+...+λ

. . . 1

. . . λ

2
1

2
2

. . . λ

2
n

...

n−1

. . . λ

n−1

= e

(λ

+...+λ

k=1

j=k+1

(λ

− λ

) .

Macierz wyznacznika wyst

epuj

acego w ostatnim wzorze nasi nazw

e macierzy Van-

dermonde’a.

Mog

a zaistnie´c cztery przypadki:

1. Wielomian charakterystyczny ma n r´o˙znych pierwiastk´ow rzeczywistych tj.:

∀

i∈{1,...,n}

∈ R oraz

∀

i,j∈{1,...,n}

6= j ⇒ λ

6= λ

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

Wtedy ∀

t∈R

W (x

, . . . , x

) (t)

6= 0, zatem rodzina funkcji

x(t) =

j=1

jest ca lk

a og´oln

a r´ownania (5.19).

2. Wielomian charakterystyczny ma n r´o˙znych pierwiastk´ow, ale nie wszystkie

pierwiastki s

a rzeczywiste tj.:

∀

i∈{1,...,n}

∈ C oraz

∀

i,j∈{1,...,n}

6= j ⇒ λ

6= λ

Niech np. λ

= a + ib b

edzie jednym z pierwiastk´ow zespolonych. Po-

niewa˙z wielomian charakterystyczny (5.21) ma wsp´o lczynniki rzeczywiste, za-
tem r´ownie˙z λ

= a

− ib musi by´c pierwiastkiem tego wielomianu. Mo˙zna

bez szkody dla og´olno´sci przyj

a´c, ˙ze jest to kolejny pierwiastek na li´scie pier-

wiastk´ow tj. λ

m+1

= λ

. Par

e liniowo niezale˙znych rozwi

aza´

n zespolonych

(t) = e

m+1

= e

zast

epujemy par

a liniowo niezale˙znych rozwi

aza´

n rzeczywistych

(t) =

<e e

= e

cos(bt),

m+1

(t) =

=m e

= e

sin(bt).

3. Wielomian charakterystyczny (5.21) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, ale

a w´sr´od nich pierwiastki wielokrotne. W tej sytuacji W e

, . . . , e

= 0.

Niech λ

∈ R b

edzie pierwiastkiem krotno´sci k > 1. W´owczas funkcje

= e

, t

, . . . , t

k−1

a liniowo niezale˙zne, ponadto ka˙zda z nich jest rozwi

azaniem (5.19). Jak

latwo bowiem sprawdzi´c bezpo´srednim rachunkiem

− λ

λt

= st

s−1

λt

ad wniosek, ˙ze je´sli λ jest pierwiastkiem k krotnym i s

≤ k − 1, to

− λ

λt

= 0.

5.10. Metoda przewidywa´

W przypadku niejednorodnego r´ownania r´o˙zniczkowego rz

edu n o sta lych

wsp´o lczynnikach

(n)

+ a

n−1

(n−1)

+ . . . + a

+ a

x = g(t),

(5.22)

5.11. Uk lad skalarnych r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych liniowych rz

edu pierwszego

mo˙zliwe jest skonstruowanie ca lki szczeg´olnej tego r´ownania, je´sli

g(t) = e

(t) cos bt + q

(t) sin bt) ,

gdzie p

i q

a wielomianami odpowiednio stopnia k i m. Rozwi

azanie szczeg´olne

przewidujemy w postaci

x(t) = e

(t) cos bt + s

(t) sin bt) ,

gdzie:
— p jest krotno´sci

a pierwiastka a + ib wielomianu charakterystycznego r´ownania

jednorodnego skojarzonego z (5.22); gdy a+ib nie jest pierwiastkiem, to p = 0,

— l = max

{k, l},

— r

, s

wielomiany stopnia l.

Wsp´o lczynniki wielomian´ow r

, s

dobieramy metod

a wsp´o lczynnik´ow nieozna-

czonych.

5.11. Uk lad skalarnych r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych liniowych

edu pierwszego

Rozwa˙zamy uk lad r´owna´

n r´o˙zniczkowych rz

edu pierwszego postaci

(t) =

k=1

(t)x

(t) + g

(t) (j = 1, . . . , n),

(5.23)

czyli

(t) = A(t)x(t) + g(t),

(5.24)

gdzie

x(t) =







(t)

...

(t)





 ,

A(t) =







(t) . . . a

(t)

...

(t) . . . a

(t)





 ,

g(t) =







(t)

...

(t)





 .

Przyjmujemy za lo˙zenia regularno´sciowe takie jak w teorii dotycz

acej zagadnie´

liniowych. W tym przypadku oznacza to, ˙ze

∀

j,k∈{1,...,n}

3 t → g

(t),

3 t → a

(t)

∈ C (I, R)

∀

j∈{1,...,n}

3 t → x

(t)

∈ C

(I, R) ,

gdzie I

⊂ R jest przedzia lem.

Niech M

∈ R

n×n

. Definiujemy

:= I

:= M

· M

j−1

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

oraz

∞

k=0

Szereg ten jest zbie˙zny w R

dla ka˙zdej macierzy M . Wynika to st

ad, ˙ze wobec

oszacowania

M · M

k−1

≤ kMk

k−1

≤ kMk

mamy nier´owno´s´c

∞

k=0

≤

∞

k=0

kMk

Szereg

∞
k=0

kMk

jest zbie˙zny, a zatem szereg

∞
k=0

jest zbie˙zny, gdzy˙z

w przestrzeniach Banacha zachodzi twierdzenie, ˙ze szereg kt´ory jest zbie˙zny
wzgl

edem normy (czyli jezt zbie˙zny bezwzgl

ednie) jest zbie˙zny.

Twierdzenie 20

Je´sli macierze M, N

∈ R

n×n

a przemienne, to znaczy gdy

M N = N M , to e

M +N

= e

Wniosek 3

Dla dowolnej macierzy M

∈ R

n×n

−1

= e

−M

Dow´

od.

Macierze M i

−M s

a przemienne, a zatem e

−M

= e

M −M

= e

= I.

Mno˙z

ac ten zwi

azek lewostronnie przez e

−1

dostajemy tez

c.k.d.

Niech A(t) = a

(t)

j,k=1,...,n

. Wprowadzamy oznaczenie

A(t) dt :=

(t) dt

j,k=1,...,n

Twierdzenie 21

Je´sli macierze A(t) i

A(t) dt s

a przemienne, to funkcja

x(t) := e

R A(t) dt

(5.25)

gdzie C = (C

, . . . , C

)

∈ R

jest rozwi

azaniem jednorodnego uk ladu r´owna´

r´o˙zniczkowych liniowych rz

edu pierwszego

(t) = A(t)x(t).

(5.26)

Dow´

od.

Policzmy:

(t) =

R A(t) dt

C =

∞

k=0

A(t) dt

C =

∞

k=1

A(t) dt

k−1

A(t)dt

C =

∞

k=1

A(t) dt

k−1

A(t)

− 1)!

C =

= A(t)

∞

k=0

A(t) dt

C = A(t)e

A(t)

C = A(t)x(t).

5.11. Uk lad skalarnych r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych liniowych rz

edu pierwszego

c.k.d.

Wz´or (5.25) ma niewielkie znaczenie praktyczne, gdy macierz uk ladu A(t)

zale˙zy istotnie od zmiennej t.

Uwaga 3

Je´sli macierz uk ladu (5.26) jest sta la tj. A(t) = A, to

A(t) dt =

A dt = tA, a zatem macierze A i

A dt = tA s

a przemienne. W konsekwencji

rozwi

azaniem uk ladu

= Ax

jest funkcja

x(t) = e

Jak si

e dalej oka˙ze efektywne obliczenie macierzy e

edzie mo˙zliwe.

W podobny spos´ob jak przedstawiony powy˙zej, mo˙zna pokaza´c, ˙ze funkcja

x(t) = e

R A(t) dt

−

R A(t) dt

g(t) dt + e

R A(t) dt

∈ R

jest rozwi

azaniem og´olnym niejednorodnego uk ladu (5.24). Wektor C dla rozwi

azania

spe lniaj

acego warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x (t

) =

x ma posta´c:

C = e

−

R A(t) dt 0

x −

−

R A(t) dt

g(t) dt.

Twierdzenie 22

Niech funkcje x

∈ C

(I, R) (j, k = 1, . . . , n), niech x

oznacza

wektor x

:= x

, . . . , x

i niech

D x

, . . . , x

(t) := det

(t)

j,k=1,...,n

a) Je´sli D (x

, . . . , x

) (t)

6= 0 dla pewnego t

∈ I, to x

, . . . , x

a liniowo

niezale˙zne.

b) Je´sli x

, . . . , x

a liniowo niezale˙znymi rozwi

azaniami jednorodnego uk ladu

(5.26), to

∀

t∈I

D (x

, . . . , x

) (t)

6= 0.

Dow´

od.

Ad a). (Nie wprost) Przyjmijmy, ˙ze x

, . . . , x

liniowo zale˙zne tzn.

istniej

a takie sta le C

, . . . , C

, ˙ze

n
k=1

6= 0 oraz ∀

t∈I

n
k=1

(t) = 0.

To jednak oznacza, ˙ze det

(t)

j,k=1,...,n

= D (x

, . . . , x

) (t

) = 0, wbrew

za lo˙zeniu.

Ad b). (Nie wprost) Dla dowodu nie wprost przyjmijemy, ˙ze D (x

, . . . , x

) (t

) =

0 dla pewnego t

∈ I. Niech wektor (C

, . . . , C

)

edzie niezerowym rozwi

azaniem

uk ladu







) , . . . x

)

...

) , . . . x

)





 ·







...





 =







...





 .

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

Zdefiniujmy funkcj

e x(t) jako

x(t) :=

k=1

(t),

∈ I.

Jako kombinacja liniowa rozwi

aza´

n x

funkcja x jest rozwi

azaniem uk ladu (5.24).

Ponadto spe lnia ona warunek pocz

atkowy Cauchy’ego

x (t

) = 0.

Funkcja y(t)

≡ 0 jest r´ownie˙z rozwi

azaniem uk ladu (5.24) spe lniaj

acym ten sam

warunek pocz

atkowy. Wobec jednoznaczno´sci rozwi

azania funkcje te musz

a by´c

r´owne, czyli x = 0. Oznacza to jednak wbrew za lo˙zeniu, ˙ze funkcje x

, . . . , x

liniowo zale˙zne.

c.k.d.

Uwaga 4

Je˙zeli x

, . . . , x

a rozwi

azaniami uk ladu (5.26), to

∀

t∈I

D x

, . . . , x

(t) = 0,

lub

∀

t∈I

D x

, . . . , x

(t)

6= 0.

Definicja 25

Zbi´or

, . . . , x

} liniowo niezale˙znych rozwi

aza´

n uk ladu (5.26)

nazywamy fundamentalnym uk ladem rozwi

aza´

Twierdzenie 23

Ka˙zdy jednorodny uk lad r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych ma

fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n i je´sli funkcje x

, . . . , x

tworz

a fundamentalny

uk lad rozwi

aza´

n, to rodzina odwzorowa´

n x(t) =

n
k=1

(t), gdzie C

∈ R jest

rozwi

azaniem og´olnym tego uk ladu.

Je´sli

, . . . , x

} tworz

a fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n (5.26), to ca lk

szczeg´oln

a niejednorodnego uk ladu (5.24) znajdujemy metod

a uzmienniania sta lych.

Przewidujemy j

a w postaci

x(t) :=

k=1

(t)x

(t).

Dalej mamy x

(t) :=

n
k=1

(t)x

(t) +

n
k=1

(t) x

(t) i po wstawieniu do

r´ownania otrzymujemy:

k=1

(t)x

(t) +

k=1

(t) x

(t) = A(t)

k=1

(t)x

(t) + g(t),

czyli

k=1

(t)x

(t) = g(t),

5.12. Uk lady r´

owna´

n liniowych o sta lych

wsp´

o lczynnikach

to jest







(t) x

(t)

· · · x

(t)

(t) x

(t)

· · · x

(t)

...

(t) x

(t)

· · · x

(t)













(t)

...
C

(t)













(t)

...
g

(t)







Poniewa˙z dla wszystkich t

∈ I :

D (x

, . . . , x

) (t)

6= 0, st

ad powy˙zszy uk lad

ma dok ladnie jedno rozwi

azanie okre´slone wzorami Cramera

(t) = p

(t) (k = 1, . . . , n).

Ka˙zde z tych r´owna´

n jest r´ownaniem o zmiennych rozdzielonych zatem

(t) =

(t) dt + M

gdzie M

∈ R, (k = 1, . . . , n).

Ostatecznie

x(t) =

k=1

(t) +

k=1

(t) dt

(t).

5.12. Uk lady r´

owna´

n liniowych o sta lych

wsp´

o lczynnikach

Zak ladamy teraz, ˙ze macierz uk ladu (5.26) jest macierz

a sta l

a tj. a

(t)

≡ a

∈

. Jak wiadomo z wcze´sniejszych rozwa˙za´

n, rozwi

azanie tego uk ladu jest postaci

x(t) = e

gdzie C

∈ R

5.12.1. Metoda warto´

sci i wektor´

ow w lasnych

Je´sli w

6= 0 jest wektorem w lasnym macierzy A tj. istnieje λ ∈ C :

Aw = λw

i we´zmiemy x(t) = y(t)

· w, gdzie y(t) ∈ C

(R, R), to po podstawieniu x do

r´ownania (5.26) dostajemy y

(t)w = λy(t)w co daje (y

(t)

− λy(t)) w = 0. Wobec

6= 0 mamy y

(t) = λy(t) r´ownanie o zmiennych rozdzielonych z rozwi

azaniem

y(t) = Ce

λt

∈ R.

Jak wiadomo zbi´or rozwi

aza´

n uk ladu (5.26) jest przestrzeni

a wektorow

a n-wymiarow

Poszukujemy zatem fundamentalnego uk ladu rozwi

aza´

n. Mo˙zemy rozwa˙zy´c przy-

padki:
1. Ka˙zdej warto´sci w lasnej λ

o krotno´sci k

odpowiada k

liniowo niezale˙znych

wektor´ow w lasnych w

j,1

, . . . , w

j,k

macierzy A

(j = 1, . . . , p,

+ k

. . . + k

= n). Poniewa˙z wektory w lasne odpowiadaj

ace r´o˙znym warto´sciom

w lasnym s

a liniowo niezale˙zne, wi

ec dla

j,s

(t) := e

j,s

(s = 1, . . . , k

, j = 1, . . . , p)

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

wyznacznik

D x

1,1

, . . . , x

p,k

(t) = e

+...+k

det w

j,s

6= 0,

gdzie i = 1, . . . , n, s = 1, . . . , k

, j = 1, . . . , p. W konsekwencji funkcje x

j,s

tworz

a fundamentalny uk lad rozwi

aza´

Je´sli warto´s´c w lasna i wektor w lasny s

a zespolone tj. np. λ

= λ

= λ i w =

u+iv = (u

+ iv

, . . . , u

+ iv

)

jest wektorem w lasnym odpowiadaj

acym λ

i w = u

− iv = (u

− iv

, . . . , u

− iv

)

wektorem w lasnym odpowiadaj

acym

, to poniewa˙z r´owno´s´c Aw = λw poci

aga r´owno´s´c Aw = Aw = Aw = λw =

λw, zatem zamiast zespolonych rozwi

aza´

= e

bierzemy

<e y

= e

t<e λ

(u cos (t

=m λ) − v sin (t=m λ)) ,

=m y

= e

t<e λ

(u sin (t

=m λ) + v cos (t=m λ)) .

2. Niech warto´sci w lasnej np. λ

= λ o krotno´sci k odpowiada tylko r liniowo

niezale˙znych wektor´ow w lasnych, gdzie r < k. Tak jest wtedy, gdy

ad (A

− λI) = n − r > n − k.

Poszukujemy rozwi

azania og´olnego odpowiadaj

acego warto´sci w lasnej λ po-

staci

x(t) = e

λt

P (t),

gdzie P (t) = (P

(t), . . . , P

(t))

i P

jest wielomianem stopnia k

− 1, j =

1, . . . , n przy czym w rozwi

azaniu og´olnym powinno wyst

api´c k sta lych do-

wolnych.

3. Rozwi

azanie og´olne uk ladu (5.26) jest sum

a rozwi

aza´

n szczeg´olnych odpowia-

daj

acych poszczeg´olnym warto´sciom w lasnym.

5.12.2. Sprowadzanie macierzy uk ladu do postaci Jordana

Przypadek szczeg´

olny

Je´sli A jest diagonalizowaln

a rzeczywist

a macierz

wymiaru n, tj. istnieje macierz podobie´

nstwa P taka, ˙ze P

−1

AP = D, gdzie

D jest macierz

a diagonaln

a, to podstawiaj

ac x = P y sprowadzamy uk lad x

(t) =

Ax(t),

∈ I

(

∈ topR) do postaci y

(t) = Dy(t), kt´orego rozwi

azaniem jest

y(t) = e

C = e

C =







...





 ,

5.12. Uk lady r´

owna´

n liniowych o sta lych

wsp´

o lczynnikach

a zatem

x (t) = P







...





 .

W sczeg´olno´sci, je´sli macierz A ma n r´o˙znych warto´sci w lasnych λ

(i = 1, . . . , n),

to jest diagonalizowalna i D = diag

{λ

, . . . , λ

}. Wtedy te˙z macierz podo-

bie´

nstwa P jest r´owna

P = (v

, . . . , v

) ,

gdzie v

jest wektorem w lasnym odpowiadaj

acym warto´sci w lasnej λ

(i = 1, . . . , n).

Przypadek og´

olny

Niech A b

edzie dan

a rzeczywist

a macierz

a kwadratow

wymiaru n. Niech λ

(r = 1, . . . , q) b

a warto´sciami w lasnymi tej macie-

rzy, przy czym przyjmujemy, ˙ze warto´s´c w lasna λ

ma krotno´s´c k

. Oczywi´scie

q
r=1

= n. Niech P b

edzie tak

a macierz

a nieosobliw

a, ˙ze macierz

J =

−1

jest macierz

a Jordana, tzn.

J =







· · · 0

...

. ..

...

1i(1)

...

. ..

...

. .. ...

· · · 0

· · · J

q,i(q)







gdzie







· · · 0

...

. .. ... ...

· · · λ

· · · 1







lub

= (λ

)

(macierze J

nazywamy klatkami Jordana). Oznaczmy przez k

liczb

e wierszy i

kolumn macierzy J

. Obliczaj

ac wielomian charakterystyczny macierzy J, r´owny

wielomianowi charakterystycznemu macierzy A latwo mo˙zna si

e przekona´c, ˙ze

maj

a miejsce nast

epuj

ace r´owno´sci:

i(r)

j=1

(r = 1, . . . , q) .

Liczby k

mo˙zna wyznaczy´c np. metod

a przedstawion

a w [6].

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

Niech D

(λ) oznacza najwi

ekszy wsp´olny dzielnik wszystkich minor´ow stop-

nia m macierzy A

− λI. Mo˙zna pokaza´c, ˙ze D

(λ) dzieli si

e przez D

m−1

(λ).

Zatem z dok ladno´sci

a do czynnika a, takiego ˙ze

|a| = 1:

(λ) = (λ

− λ

)

(λ

− λ

)

. . . (λ

− λ

)

n−1

(λ) = (λ

− λ

)

(λ

− λ

)

. . . (λ

− λ

)

. . .

........................................................

(λ) = (λ

− λ

)

(λ

− λ

)

. . . (λ

− λ

)

przy czym u

≥ u

≥ . . . ≥ u

co mo˙zna zapisa´c kr´otko u

≥ u

dla k

≤ j . Nie wykluczamy przypadku, gdy pewne u

= 0. W tym przypadku

jednak u

= 0 dla wszystkich j

≥ k. Przy tych oznaczeniach:

= u

− u

= u

− u

, . . . ,

= u

− u

i,j+1

, . . .

Mamy w´owczas i (r) = max

{j :

6= 0}.

Je˙zeli k

= 1 dla pewnego m, to i (m) = 1 oraz J

= (λ

) jest macierz

wymiaru 1

× 1. Bez straty og´olno´sci mo˙zemy przyj

a´c, ˙ze je´sli istniej

a pierwiastki

jednokrotne, to maj

a one kolejne numery rozpoczynaj

ace si

e od 1. Macierz Jor-

dana J jest wi

ec postaci







· · · 0

... ... ...

...

p+1,1

... ...

. .. ...

· · · 0

· · · J

q,i(q)







Dowodzi si

e, ˙ze je´sli

A = P JP

−1

= P e

−1

Z kolei







· · · 0

...

. ..

...

p+1,1

...

. .. ...

· · ·

· · · e

q,i(q)







gdzie λ

, . . . , λ

a jednokrotnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego.

5.12. Uk lady r´

owna´

n liniowych o sta lych

wsp´

o lczynnikach

Niech J

wymiaru k

edzie jedn

a z klatek Jordana odpowiadaj

acych warto´sci

w lasnej λ

o krotno´sci k

. Wprost z definicji mo˙zna pokaza´c, ˙ze

= e







· · · 0

...

. .. ...

krj −1

−1)!

krj −2

−2)!

· · · 1







Niech P b

edzie macierz

a sprowadzaj

a macierz A do postaci Jordana tj. J =

−1

AP . Ostatni zwi

azek jest r´ownowa˙zny r´owno´sci P J = AP . Wprowadzaj

now

a funkcj

e niewiadom

a y (t) okre´slon

a r´owno´sci

x(t) = P y(t),

sprowadzamy ostatni URRLJ do r´ownowa˙znego uk ladu

(t) = Jy(t),

kt´orego rozwi

azaniem og´olnym jest funkcja

y(t) = e

C, C

∈ R

Tak wi

ec rozwi

azaniem og´olnym wyj´sciowego URRLJ jest funkcja

x(t) = P e

C, C

∈ R

Przyk lad 5

Rozwa˙zmy uk lad r´owna´

(t) =





1 1 2
0 1 1
0 0 2



 x (t)

Jak latwo sprawdzi´c λ

= 1,

= 2

= 2,

= 1

P =





1 1 3
1 0 1
0 0 1





J =





1 0 0
1 1 0
0 0 2





Stosuj

ac standardowe podstawienie x (t) = P y (t) rozwi

azujemy uk lad r´owna´

(t) = Jy(t). Jego rozwi

azaniem jest

y(t) = e

C =



 e

1 0

t 1











 =





0 e











 ,

Rozdzia l 5. Liniowe r´

ownania r´

o˙zniczkowe

zatem

x(t) =





1 1 3
1 0 1
0 0 1









0 e











 =





(1 + t) e











 .

5.13. R´

ownanie ruchu harmonicznego

R´ownanie ruchu pod dzia laniem si ly elastycznej, tj. r´ownanie ruchu harmo-

nicznego jest opisane r´ownaniem r´o˙zniczkowym wektorowym:

−k

gdzie r = r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)). Podstawiaj

ac ω =

√

dostajemy uk lad

separowanych r´owna´

n skalarnych:







x +ω

x = 0

y +ω

y = 0

z +ω

z = 0

Ca lka og´olna pierwszego z nich ma posta´c:

x (t) = C

sin ωt + C

cos ωt = A sin (ωt + γ) ,

gdzie A =

+ C

, γ = arctan (C

). Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze rozwi

azanie x (t)

jest okresowe o okresie T =

2π

. Sta l

a ω nazywamy cz

esto´sci

a ko low

a lub pulsacj

ν =

esto´sci

a, ωt + γ faz

a, za´s γ sta l

a fazow

Je˙zeli na punkt materialny opr´ocz si ly elastycznej

−k

x dzia la dodatkowa si la

−ρ

(ρ > 0), to otrzymujemy drgania t lumione.

Rozdzia l 6

Rozwi

azania w postaci szereg´

funkcyjnych

Jak wiadomo nie zawsze mo˙zna efektywnie rozwi

aza´c r´ownanie r´o˙zniczkowe,

nie zawsze mo˙zna otrzyma´c rozwi

azanie przez sko´

nczon

a liczb

e kwadratur. Cza-

sami trzeba si

egn

a´c do sposob´ow bardziej wyrafinowanych - jednym z nich jest

wyra˙zenie rozwi

azania w postaci szeregu funkcyjnego. Poni˙zej om´owione s

a dwa

przypadki takiego post

epowania.

6.1. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow pot

egowych

Niech b

edzie dane zagadnienie pocz

atkowe Cauchy’ego

= f (t, x)

∈ I) ,

x (t

) = x

gdzie I

⊂ R przedzia l, taki ˙ze t

∈

◦

I, x : I

3 t → x(t) ∈ U ⊂ R, U zbi´or

otwarty w R, x

∈ U. Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej orzeka, ˙ze je´sli funkcja

f : I

× U → R jest analityczna w otoczeniu punktu (t

, x

), to istnieje dok ladnie

jedno analityczne rozwi

azanie tego r´ownania w pewnym otoczeniu punktu t

Rozdzia l 6. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow funkcyjnych

6.1.1. Uk lad r´

owna´

n liniowych rz

edu pierwszego o sta lych

wsp´

o lczynnikach

Rozwa˙zamy uk lad r´owna´

n r´o˙zniczkowych rz

edu pierwszego (5.23) o sta lych

wsp´o lczynnikach czyli uk lad postaci

(t) =

k=1

(t) + g

(t) (j = 1, . . . , n).

(6.1)

Przyjmijmy, ˙ze

(t) =

∞

ν=0

jν

− t

)

(j = 1, . . . , n).

Szukamy rozwi

azania x : R

⊃ I → R

, kt´orego wszystkie sk ladowe s

a szeregami

pot

egowymi o ´srodku w punkcie t

(t) =

∞

ν=0

jν

− t

)

(j = 1, . . . , n).

Podstawiaj

ac szeregi g

(t), x

(t) i

(t) =

∞

ν=0

(ν + 1)b

j,ν+1

− t

)

(j=1,. . . ,n) do r´ownania (6.1), przegrupowuj

ac wyrazy i korzystaj

ac z definicji

r´owno´sci szereg´ow pot

egowych dostajemy zwi

azki rekurencyjne na wsp´o lczynniki

szereg´ow x

(t):

j,ν+1

ν + 1

k=1

kν

+ c

jν

(6.2)

Wsp´o lczynniki b

a wyznaczone przez warunek pocz

atkowy Cauchy’ego.

Je´sli g

(t)

≡ 0, czyli uk lad (6.1) jest jednorodny, to wyznaczaj

ac kolejno

n rozwi

aza´

n uk ladu (6.1) z warunkiem pocz

atkowym x(t

) = e

, gdzie e

jest

wersorem i-tej osi, otrzymujemy fundamentalny uk lad rozwi

aza´

6.1.2. Skalarne r´

ownania r´

o ˙zniczkowe rz

edu pierwszego i drugiego

Nieliniowe r´

ownanie r´

o ˙zniczkowe rz

edu drugiego

Rozwa˙zmy przypadek szczeg´olny, r´ownanie skalarne postaci:

= w(g(t), x, x

)

∈ (t

, T )

x (t

) = x

gdzie w(p

, p

) jest wielomianem stopnia co najwy˙zej drugiego

w(p

, p

) = a

i=1

i,j=1

i<=j

6.1. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow pot

egowych

o wsp´o lczynnikach rzeczywistych, a g jest funkcj

a analityczn

a w otoczeniu punktu

. Przyjmijmy, ˙ze funkcja g ma rozwini

ecie w szereg pot

egowy

g(t) =

∞

k=0

− t

)

a szukana funkcja x(t) rozwini

ecie

x(t) =

∞

k=0

− t

)

Pierwsza i druga pochodna funkcji szukanej maj

a zatem rozwini

ecia

(t) =

∞

k=0

(k + 1)c

k+1

− t

)

(t) =

∞

k=0

(k + 2)(k + 1)c

k+2

− t

)

Iloczyny

g(t)g(t),

g(t)x(t),

g(t)x

(t),

x(t)x(t),

x(t)x

(t),

(t)x

(t)

po prawej stronie r´ownania r´o˙zniczkowego s

a iloczynami Cauchy’ego:

∞

k=0

− t

)

∞

k=0

− t

)

∞

k=0

j=0

k−j

− t

)

Ostatecznie dostajemy r´owno´s´c dw´och szereg´ow pot

egowych:

∞
k=0

(k + 2)(k + 1)c

k+2

− t

)

∞
k=0

((δ

+ a

(k + 1)c

k+1

) +

k
j=0

k−j

+ a

k−j

+ a

(k + 1

− j)g

k+1−j

+ a

k−j

+ a

(k + 1

− j)c

k+1−j

+ a

(j + 1)(k + 1

− j)c

j+1

k+1−j

)) (t

− t

)

kt´ora przez por´ownanie wsp´o lczynnik´ow przy tych samych pot

egach (t

− t

) pro-

wadzi do niesko´

nczonego uk ladu r´owna´

n algebraicznych o niewiadomych

∈

Uwzgl

edniaj

ac warunki pocz

atkowe mamy

= x

Kolejne wsp´olczynniki c

mo˙zna wyznaczy´c rekurencyjnie:

k+2

(k + 1)(k + 2)

+ a

+ (k + 1)a

k+1

j=0

∈ N),

gdzie

:= a

k−j

+ c

k−j

+ a

) +

+(k + 1

− j)c

k+1−j

+ a

+ (j + 1)a

j+1

) ,

a δ

jest delt

a Kroneckera.

Rozdzia l 6. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow funkcyjnych

Jednorodne liniowe r´

ownanie r´

o ˙zniczkowe rz

edu drugiego

Wyznaczenie rozwi

azania r´ownania liniowego jednorodnego rz

edu drugiego

+ p(t)x

+ q(t)x = 0

∈ (t

, T )

x (t

) = x

ze wsp´o lczynnikami p(t), q(t) analitycznymi w otoczeniu punktu t

wygl

ada po-

dobnie do przedstawionego powy˙zej. Je´sli

p(t) =

∞

k=0

− t

)

q(t) =

∞

k=0

− t

)

to r´ownanie rekurencyjne na wsp´o lczynniki c

ma posta´c:

k+2

−

(k + 1)(k + 2)

j=0

((j + 1)a

k−j

j+1

+ b

k−j

)

∈ N),

(Punkt t

, w otoczeniu kt´orego wsp´o lczynniki r´ownania liniowego jednorodnego

a funkcjami analitycznymi, nazywamy punktem nieosobliwym tego r´ownania.)

Bior

ac kolejno dwa warunki pocz

atkowe Cauchy’ego x (t

) = x

, x

) = x

oraz x (t

) = x

, x

) = x

takie, ˙ze det

6= 0, mo˙zna wygenerowa´c

dwa liniowo niezale˙zne rozwi

azania tego r´ownania i jego rozwi

azanie og´olne. Naj-

pro´sciej przyj

a´c x

= 1, x

= 0 oraz x

= 0 i x

= 1.

Specjalne r´

ownanie Riccatiego

Jeszcze jednym przyk ladem niech b

edzie spos´ob wyznaczenia rozwi

azania spe-

cjalnego r´ownania Riccatiego x

(t) = ax

(t) + bt

z warunkiem pocz

atkowym

Caychy’ego x(0) = x

, gdzie a, b

∈ R, n ∈ N. Dla prostoty przyjmijmy

n = 2. Post

epowanie takie jak wy˙zej prowadzi do wzor´ow rekurencyjnych na

wsp´olczynniki rozwi

azania x(t) =

∞
k=0

= x

= ac

1
3

a 2c

+ c

1
3

ν+1

ν + 1

k=0

ν−k

ν = 3, 4, 5, . . . .

6.2. R´

ownania r´

o ˙zniczkowe liniowe rz

edu drugiego –

szeregi Frobeniusa

Niech b

edzie dane liniowe r´ownanie r´o˙zniczkowe rz

edu drugiego

+ p(t)x

+ q(t)x = 0

∈ I) ,

6.2. R´

ownania r´

o˙zniczkowe liniowe rz

edu drugiego – szeregi Frobeniusa

gdzie I

⊂ R przedzia l, taki ˙ze t

∈

◦

I, x : I

3 t → x(t) ∈ U ⊂ R, U ∈ topR.

Wiadomo, ˙ze zbi´or rozwi

aza´

n r´ownania jednorodnego jest przestrzeni

a wek-

torow

a dwuwymiarow

a. W przypadku, gdy p(t) = const, q(t) = const, w pro-

sty i znany spos´ob mo˙zna wypisa´c wzory dw´och liniowo niezale˙znych rozwi

aza´

tego r´ownania i w konsekwencji dla zadanego warunku pocz

atkowego Cauchy’ego

wyznaczy´c rozwi

azanie problemu pocz

atkowego. Gdy t

jest punktem nieosobli-

wym r´ownania tj. p(t), q(t) s

a funkcjami analitycznymi w otoczeniu punktu t

to mo˙zna wyznaczy´c rozwi

azanie tego problemu w postaci szeregu pot

egowego

o ´srodku w punkcie t

, jak to zosta lo pokr´otce opisane powy˙zej, a tak˙ze wy-

znaczy´c dwa szeregi pot

egowe, kt´orych sumy s

a dwoma liniowo niezale˙znymi

rozwi

azaniami r´ownania jednorodnego. Gdy funkcje p(t), q(t) nie s

a analityczne

w otoczeniu punktu t

, to punkt ten nazywamy punktem osobliwym r´ownania, a

nazywamy go punktem osobliwym regularnym, je´sli funkcje (t

− t

) p(t), (t

− t

)

q(t)

a analityczne w otoczeniu t

Niech t

edzie regularnym punktem osobliwym rozwa˙zanego r´ownania i niech

funkcje (t

− t

) p(t), (t

− t

)

q(t) analityczne w otoczeniu

|t − t

| < R maj

a roz-

wini

ecia w szeregi pot

egowe:

− t

) p(t) =

∞

k=0

− t

)

− t

)

q(t) =

∞

k=0

− t

)

Niech λ

, λ

a pierwiastkami r´ownania

λ(λ

− 1) + p

λ + q

= 0,

zwanego r´ownaniem indeksowym (wyznaczaj

acym), gdzie p

= lim

t→t

− t

) p(t),

= lim

t→t

− t

)

q(t). W jednym z mo˙zliwych przypadk´ow, w sytuacji gdy

, λ

∈ R, λ

> λ

, λ

− λ

6∈ N rozwa˙zane r´ownanie ma dwa liniowo niezale˙zne

rozwi

azania w przedziale (t

, t

+ R) postaci:

(t) = (t

− t

)

∞

k=0

− t

)

(t) = (t

− t

)

∞

k=0

− t

)

Bior

ac dowolne a

6= 0, kolejne wsp´o lczynniki a

(k = 1, 2, . . .) wyznaczamy z

zale˙zno´sci:

−

k
j=1

− j + λ

) + q

) a

k−j

(k + λ

) (k + λ

− 1) + p

(k + λ

) + q

Podobnie, bior

ac dowolne b

6= 0, kolejne wsp´o lczynniki b

(k = 1, 2, . . .) wyzna-

czamy z zale˙zno´sci:

−

k
j=1

− j + λ

) + q

) b

k−j

(k + λ

) (k + λ

− 1) + p

(k + λ

) + q

Rozdzia l 6. Rozwi

azania w postaci szereg´

ow funkcyjnych

Gdy λ

, λ

∈ R, λ

= λ

, rozwi

azanie szczeg´olne x

(t) ma posta´c:

(t) = x

(t) ln (t

− t

) + (t

− t

)

∞

k=0

− t

)

natomiast, gdy λ

, λ

∈ R, λ

≥ λ

, λ

− λ

∈ N jest postaci:

(t) = Cx

(t) ln (t

− t

) + (t

− t

)

∞

k=0

− t

)

gdzie sta la C mo˙ze by´c r´owna zeru.

Podobne wzory mo˙zna wyprowadzi´c dla zespolonych pierwiastl´ow r´ownania

indeksowego.

Rozdzia l 7

Stabilno´

s´

c rozwi

aza´

n r´

owna´

r´

o ˙zniczkowych

7.1. Podstawowe definicje

Definicja 26

Niech X b

edzie przestrzeni

a Banacha. Niech dane b

edzie (RR):

= f (t, x) z (WPC): x (t

) = x

, gdzie t

∈ I, I przedzia l , x

∈ U ∈ top X

Za l´o˙zmy, ˙ze

∀

∈U

(RR)

(W P C) :

x (t

) = y

ma rozwi

azanie x (t, y

) okre´slone na maksymalnym przedziale istnienia J (y

) =

, R (t

, y

)).

1. Rozwi

azanie x (

·, x

) nazywamy stabilnym, lub stabilnym w sensie Lapu-

nowa, je˙zeli

∀

ε>0

∃

δ>0

− x

k < δ ⇒ kx (t, y

)

− x (t, x

)

k < ε

dla t

∈ J (x

)

∩ J (y

2. M´owimy, ˙ze rozwi

azanie x (t, x

) jest lokalnie asymptotycznie stabilne, je˙zeli

I = [0, +

∞), rozwi

azanie jest stabilne i ponadto ma w lasno´s´c lokalnego przyci

agania,

tzn.

∃

δ>0

− x

k < δ ⇒

⇒

J (y

) = [t

, +

∞) , lim

t→∞

kx (t, y

)

− x (t, x

)

k = 0

W skr´ocie piszemy: x (t, x

) jest LAS.

Rozdzia l 7. Stabilno´s´c rozwi

aza´

n r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych

3. M´owimy, ˙ze rozwi

azanie x (t, x

) jest globalnie asymptotycznie stabilne, je˙zeli

jest stabilne i ponadto ma w lasno´s´c globalnego przyci

agania, tzn.

∀

∈U

: J (y

) = [t

, +

∞) , lim

t→∞

kx (t, y

)

− x (t, x

)

k = 0.

W skr´ocie piszemy: x (t, x

) jest GAS.

Przyk lad 6

R´ownianie x

−x = 0 z warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego x(0) =

ma rozwi

azanie postaci x(t, x

) = x

. Rozwi

azanie x(t, 0) = 0 nie jest

stabilne, bo dla r > 0 mamy

sup

{|x(t, x

)

− 0| :

≥ 0, |x

− 0| < r} = +∞.

Przyk lad 7

R´ownanie mx

+ 2px

+ kx = 0 z warunkiem pocz

atkowym Cau-

chy’ego x(0) = A, x

(0) = υ gdy p

< km, p > 0, m > 0 ma rozwi

azanie postaci

x(t, A, υ) = Ce

−qt

sin(ωt + ϕ), gdzie q =

, ω =

− q

, C =

qA+υ

ϕ = arccos

A
C

. Rozwi

azanie zerowe jest, co oczywiste, lokalnie asymptotycznie

stabilne.

Twierdzenie 24

Rozwi

azanie x (t, x

) = p (t) r´ownania x

= f (t, x) jest sta-

bilne (asymptotycznie stabilne) wtedy i tylko wtedy, gdy rozwi

azanie y (t) = 0

r´ownania y

= g (t, y) := f (t, y + p (t))

− f (t, p (t)) jest stabilne (asymptotycznie

stabilne).

Dow´od. Niech p (t) := x (t, x

) stabilne rozwi

azanie r´ownania x

= f (t, x).

Funkcja y (t) := x (t)

− p (t) spe lnia r´ownanie y

(t) = f (t, x (t))

− f (t, p (t)) =

f (t, y (t) + p (t))

− f (t, p (t)) =: g (t, y (t)). Funkcje f i g s

a tej samej klasy

regularno´sci.

Inaczej

. Niech p (t) = x (t, x

), x (t) = x (t, y

), p

= f (t, p), x

= f (t, x).

Tak wi

ec x

− p

= f (t, x)

− f(t, p). Zdefiniujmy z := x − p. Mamy z

f (t, z + p)

− f(t, p) =: g(t, z) czyli z

= g(t, z). Skoro

− x

k < δ =⇒ kx (t, y

)

− x (t, x

)

k < ε

zatem

k < δ =⇒ kx (t) − p (t)k = kz(t)k < ε

co jest r´ownowa˙zne

− 0k < δ =⇒ kz(t) − 0k < ε

Przyk lad 8

Rozwa˙zmy uk lad r´owna´

n r´o˙zniczkowych

= (x

− 1) (x

− 1)

= x

− 2

7.2. Twierdzenie Lapunowa

kt´ore mo˙zna zapisa´c jako jedno r´ownanie w postaci wektorowej

= f (x) :=

− 1) (x

− 1)

− 2

gdzie x(t) =

(t)

. Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze funkcje x(t) =

1
2

, x(t) =

2
1

a rozwi

azaniami przyk ladowego r´ownania (jego po lo˙zeniami r´ownowagi).

Stabilno´s´c pierwszego z tych rozwi

aza´

n jest r´ownowa˙zna stabilno´sci rozwi

azania

zerowego r´ownania

= f

y +

1
2

− f

1
2

+ 1)

+ 2y

+ y

a stabilno´s´c drugiego z nich stabilno´sci rozwi

azania zerowego r´ownania

= f

y +

2
1

− f

2
1

+ 1) y

+ y

+ 2y

Uwaga 5

Stabilno´s´c nie implikuje przyci

agania i odwrotnie.

Przyk lad 9

Rozwa˙zmy r´ownanie x

+ x = 0 z warunkiem pocz

atkowym Cau-

chy’ego x (0) = x

, x

(0) = 0. Jego rozwi

azaniem jest funkcja x (t) = x

cos t.

Rozwi

azanie zerowe jest wi

ec stabilne, ale nie ma w lasno´sci przyci

agania.

Przyk lad 10

Rozwi

azaniem uk ladu

−x

z warunkiem pocz

atkowym

(0) =

jest funkcja

(t) =

cos t

−x

sin t

. Tak wi

ec zerowe

rozwi

azanie jest stabilne, ale nie ma w lasno´sci przyci

agania.

7.2. Twierdzenie Lapunowa

Twierdzenie 25

(Lapunowa) Niech dany b

edzie skalarny uk lad r´owna´

n r´o˙zniczkowych

= f

(t, x)

(j = 1, . . . , n)

gdzie t

∈ [t

, +

∞), x = x (t) = (x

(t) , . . . , x

(t))

∈ U ∈ topR

, f = (f

, . . . , f

)

∈

([t

, +

∞) × U, R

). Za l´o˙zmy,˙ze

— f (t, 0, . . . , 0) = 0
— a

∂f

∂x

(t, 0, . . . , 0)

∈ R

j, k = 1, . . . , n

— det

− λδ

)

j,k=1,...,n

= 0 =

⇒ Re λ < 0

Rozdzia l 7. Stabilno´s´c rozwi

aza´

n r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych

—

∃ M : U −→ R, ˙ze lim

x−→0

M (x) = 0

oraz

(t, x)

−

k=1

≤

M (x)

kxk dla t ≥ t

, x

∈ U, j = 1, . . . , n.

Wtedy rozwi

azanie zerowe x (

·, 0) = 0 powy˙zszego uk ladu jest lokalnie asympto-

tycznie stabilne tzn. ∃

r>0

k < r =⇒ { maksymalny przedzia l J (y

) istnienia

rozwi

azania x (

·, y

) jest r´owny [t

, +

∞) } oraz ∀

ε>0

∃

δ>0

k < δ =⇒ lim

t−→+∞

x (t, y

) = 0 i

kx (t, y

)

k < ε dla t ≥ t

Wniosek 4

Niech dany b

edzie skalarny uk lad r´owna´

n r´o˙zniczkowych

= f

(x)

(j = 1, . . . , n)

gdzie x = x (t) = (x

(t) , . . . , x

(t))

∈ U ∈ topR

, f = (f

, . . . , f

)

∈ C

(U, R

Za l´o˙zmy, ˙ze

— f (0, . . . , 0) = 0
— a

∂f

∂x

(0, . . . , 0)

∈ R

j, k = 1, . . . , n

— det

− λδ

)

j,k=1,...,n

= 0 =

⇒ Re λ < 0

Wtedy rozwi

azanie zerowe x (

·, 0) = 0 powy˙zszego uk ladu jest lokalnie asymp-

totycznie stabilne.

Przyk lad 11

Rozwa˙zmy pierwsze r´ownanie z przyk ladu 8 tj.

= g (y) :=

+ 1)

+ 2y

+ y

Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze g(0) = 0 natomiast

∂g

∂x

(0)

+ 1

+ 2 y

+ 1

=0, y

1 0
2 1

. Macierz ta ma warto´s´c w lasn

a λ = 1 o krotno´sci k = 2, a zatem

rozwi

azanie zerowe powy˙zszego r´ownania nie jest lokalnie asymptotycznie stabilne

i nie jest stabilne.

Wniosek 5

Rozwa˙zmy r´ownanie skalarne x

= f (x). Je´sli f (0) = 0 oraz

(0) < 0, to rozwi

azanie zerowe tego r´ownania jest lokalnie asymptotycznie

stabilne.

Wniosek 6

Rozwa˙zamy uk lad r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych x

= Ax. Je´sli

wszystkie warto´sci w lasne macierzy A maj

a ujemne cz

e´sci rzeczywiste, to rozwi

azanie

zerowe rozwa˙zanego uk ladu jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

7.3. Problem Routha–Hurwitza

Twierdzenie 26

Rozwi

azanie zerowe uk ladu r´owna´

n r´o˙zniczkowych liniowych

= Ax jest stabilne, gdy Re λ

≤ 0 dla ka˙zdej warto´sci w lasnej λ macierzy A, a

w przypadku Re λ = 0, krotno´s´c tej warto´sci w lasnej jest r´owna 1.

7.3. Problem Routha–Hurwitza

Niech b

edzie dany wielomian W o wsp´o lczynnikach rzeczywistych. Poda´c

takie warunki na jego wsp´o lczynniki, aby pierwiastki wielomianu W le˙za ly w
lewej p´o lp laszczy´znie p laszczyzny zespolonej.

Niech W (λ) = λ

n−1

· · ·+a

n−1

λ+a

= 0, gdzie a

∈ R (j = 1, . . . , n).

Twierdzenie 27

(Warunek konieczny)

∀

i∈{1,...,n}

> 0 .

Je˙zeli n

≤ 2, to ten

warunek jest warunkiem wystarczaj

acym.

Twierdzenie 28

(Warunek Routha–Huwitza) Warunkiem koniecznym i wy-

starczaj

acym na to, aby wszystkie pierwiastki wielomianu W mia ly ujemne cz

e´sci

rzeczywiste jest, aby wszystkie minory g l´owne macierzy Hurwitza







· · ·

...

. ..

...

n−1

n−2

· · ·







by ly dodatnie.

Twierdzenie 29

Je´sli W (λ) = a

+ a

n−1

· · · + a

n−1

λ + a

= 0 jest wielo-

mianem Hurwitza tzn. wszystkie jego pierwiastki maj

a ujemne cz

e´sci rzeczywiste,

to V (λ) := λ

= a

+ a

n−1

+ . . . + a

λ + a

jest tak˙ze wielomianem

Hurwitza.

Przyk lad 12

Wyznaczy´c obszar asymptotycznej stabilno´sci dla uk ladu







−x + αy

= βx

− y + αz

= βy

− z,

gdzie α, β s

a parametrami rzeczywistymi.

Rozdzia l 7. Stabilno´s´c rozwi

aza´

n r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych

W rozwa˙zanym przypadku wielomian charakterystyczny jest r´owny

W (λ) =

−1 − λ

= λ

+ 3λ

+ (3

− 2αβ)λ + (1 − 2αβ).

Macierz Hurwitza dla tego wielomianu ma posta´c





− 2αβ 3 − 2αβ

− 2αβ



 .

Jej minory g l´owne s

a r´owne:

= 3,

= 8

− 4αβ, 4

= (8

− 4αβ)(1 − 2αβ).

Jak latwo zauwa˙zy´c s

a one wszystkie dodatnie dla αβ <

1
2

7.4. Punkty osobliwe r´

ownania r´

o ˙zniczkowego zupe lnego

Rozwa˙zmy r´ownanie

P (t, x)dt + Q(t, x)dx = 0

(7.1)

okre´slone w obszarze ´sci

agalnym D

⊂ R

, gdzie P, Q

∈ C

(D, R). Poprzednio

zak ladali´smy, ˙ze

|P (t, x)| + |Q(t, x)| > 0. Przy tych za lo˙zeniach mo˙zna by lo

powy˙zsze r´ownanie sprowadzi´c do postaci

−

P (t, x)
Q(t, x)

x = x(t),

lub

−

Q(t, x)
P (t, x)

t = t(x)

r´owna´

n maj

acych jednoznaczne rozwi

azanie przy zadanych WPC.

Definicja 27

Je´sli istnieje taki punkt (t

, x

)

∈ D w kt´orym

P (t

, x

) = Q (t

, x

) = 0

to taki punkt nazywamy punktem osobliwym r´ownania r´o˙zniczkowego (7.1).

Przez punkt osobliwy mo˙ze przechodzi´c wiele krzywych ca lkowych, lub ˙zadna

krzywa ca lkowa.

Przyk lad 13

Rozwi

azaniem og´olnym r´ownania

2t dx

− x dt = 0, (x, t) ∈ R

jest rodzina krzywych

t = Cx

∈ R.

Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym przez kt´ory przechodzi niesko´

nczenie wiele

ca lek — jest to tzw. punkt w

ez lowy.

7.4. Punkty osobliwe r´

ownania r´

o˙zniczkowego zupe lnego

Przyk lad 14

Rozwi

azaniem og´olnym r´ownania

2at dt + 2bx dx = 0,

(x, t)

∈ R

a, b > 0

jest rodzina krzywych

+ bx

+ C,

∈ R

Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym tzw. punktem wirowym.

Przyk lad 15

Rozwi

azaniem og´olnym r´ownania

2at dt

− 2bx dx = 0, (x, t) ∈ R

a, b > 0

jest rodzina krzywych

− bx

+ C,

∈ R.

Przez punkt osobliwy (0, 0) przechodz

a dwie krzywe ca lkowe:

x = x(t) =

−

∈ R.

Punkt (0, 0) jest to tzw. punktem siod lowy.

Przyk lad 16

R´ownanie

(2t + x) dt + (2x

− t) dx = 0, (x, t) ∈ R

ma rozwi

azanie og´olne, kt´ore we wsp´o lrz

ednych biegunowych ma posta´c

r = Ce

ϕ/2

∈ R

Punkt osobliwy (0, 0) jest w tym wypadku tzw. punktem asymptotycznym.

Rozdzia l 8

Transformata Laplace’a

8.1. Podstawowe definicje i twierdzenia

Niech ϕ(t) b

edzie funkcj

a zmiennej niezale˙znej t

∈ R. za´s s := σ + iω liczb

zespolon

Definicja 28

Transformat

a Laplace’a (transformat

a) funkcji ϕ(t) nazywamy funkcj

ϕ(s) (zmiennej niezale˙znej s) okre´slon

a wzorem

ϕ(s) :=

∞

−st

ϕ(t)dt

(8.1)

Aby transformata funkcji ϕ(t) by la okre´slona, wystarczy aby ca lka (8.1) istnia la
dla pewnego zbioru warto´sci s, przy czym dla pozosta lych s ca lka ta mo˙ze nie
istnie´c. Mo˙ze si

e zdarzy´c, ˙ze ca lka (8.1) nie istnieje dla ˙zadnej warto´sci s. W tym

przypadku przekszta lcenie Laplace’a nie jest mo˙zliwe.

Przyk lad 17

Niech ϕ(t)

≡ 1. Latwo policzy´c

ϕ(s) =

∞

−st

dt = lim

A→+∞

−st

dt =

lim

A→+∞

−

1
s

−σA

(cos ωA−i sin ωA)

= lim

A→+∞

−

1
s

−σA

(cos ωA

− i sin ωA) − 1

1
s

, gdy σ > 0

nie istnieje , gdy σ

≤ 0.

(8.2)

Uwaga 6

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze je´sli ϕ(t) jest w przedziale 0

≤ t ≤ ∞ ograniczona,

albo ro´snie ze wzreostem t jak t

lub e

αt

, gdzie α > 0, to jej transformata istnieje.

Rozdzia l 8. Transformata Laplace’a

Twierdzenie 30

(Transformata pochodnej) Niech ψ(t) =

dϕ

. W´owczas ψ(s) =

sϕ(s)

− ϕ(0), gdzie symbol ϕ(0) oznacza granic

e prawostronn

a w zerze funkcji ϕ.

Dow´

od.

Niech ψ(t) =

dϕ

. Z definicji

ψ(s) =

∞

−st

ψ(t) dt =

∞

−st

dϕ

(t) dt =

−st

ϕ(t)

∞

+ s

∞

−st

ϕ(t) dt.

Je´sli

<e(s) na tyle du˙ze, ˙ze lim

t→∞

−st

ϕ(t) = 0, to ψ(s) = sϕ(s)

− ϕ(0). Je´sli

ϕ(t) ograniczona, lub wzrost ϕ(t) jest wielomianowy (funkcja ro´snie jak t

), to

wystarczy przyj

a´c σ > 0, je´sli ϕ(t) ro´snie jak funkcja e

αt

, to wystarczy przyj

a´c

σ > α.

c.k.d.

Ostatni wz´or jest prawdziwy, gdy funkcja ϕ jest ci

ag la; je´sli nie, a konkretnie,

je´sli ma nieci

ag lo´sci skokowe, to we wzorze tym pojawi

a si

e dodatkowe sk ladniki.

W szczeg´olnym przypadku, gdy ϕ(0) = 0 dostajemy ψ(s) = sϕ(s). Otrzymany
rezultat latwo uog´olni´c.

Twierdzenie 31

Je´sli ψ(t) =

, to ψ(s) = s

ϕ(s)

− s

n−1

ϕ(0)

− s

n−2

(0)

−

. . .

−ϕ

(n−1)

(0), gdzie symbol ϕ

(k)

(0) oznacza granic

e prawostronn

a w zerze funkcji

(k)

Twierdzenie 32

Je´si ψ(t) :=

ϕ(τ )dτ , to ψ(s) =

ϕ(s)

Dow´

od.

Zauwa˙zmy, ˙ze ϕ(t) =

dψ

(t),

ψ(0) = 0. Tak wi

ec na podstawie

wzoru na transformat

e pochodnej ϕ(s) = sψ(s), sk

ad bezpo´srednio wynika teza

twierdzenia.

c.k.d.

Twierdzenie 33

Transformata Laplace’a jest operatorem liniowym.

8.2. Wyznaczanie transformaty r´

ownania r´

o ˙zniczkowego

Niech dane b

edzie r´ownanie r´o˙zniczkowe

+ ax = f (t),

∈ R

z warunkiem pocz

atkowym Cauchy’ego x(0) = x

. Mno˙z

ac obie strony r´ownania

przez e

−st

i ca lkuj

ac w granicach od 0 do +

∞ mo˙zemy napisa´c

∞

−st

(t) dt + a x(s) = f (s).

Korzystaj

ac ze wzoru na transformat

e pochodnej i warunku pocz

atkowego dosta-

jemy r´ownanie

(s + a)x(s)

− x

= f (s),

8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty

x(s) =

f (s) + x

s + a

gdzie f (s) =

∞

−st

f (t) dt.

Analogicznie dla r´ownania

+ ax

+ bx = f (t),

a, b

∈ R

mno˙z

ac je obustronnie przez e

−st

i ca lkuj

ac w granicach od 0 do

∞ dostajemy

x s

+ as + b

= f (s) + s x(0) + x

(0) + a x(0),

x =

f (s) + (s + a) x(0) + x

(0)

+ as + b

e sam

a metod

e mo˙zemy zastosowa´c do uk ladu r´owna´

n o wsp´o lczynnikach sta lych.

Przyk ladowo rozwa˙zmy

+ a

x + b

+ c

y = f

(t)

+ a

x + b

+ c

y = f

(t).

Mno˙zymy ka˙zde z tych r´owna´

n przez e

−st

i ca lkujemy w przedziale od 0 do +

∞.

W konsekwencji po przekszta lceniach otrzymujemy uk lad r´owna´

n algebraicznych

s + a

s + c

s + a

s + c

x(s)
y(s)

(s) + x(0) + b

y(0)

(s) + x(0) + b

y(0)

Je´sli macierz tego uk ladu jest nieosobliwa, to rozwi

azanie tego uk ladu jest okre´slone

wzorami Cramera.

Transformat

e Laplace’a mo˙zna r´ownie˙z z powodzeniem stosowa´c do pewnych

r´owna´

n r´o˙zniczkowo–ca lkowych np. do r´ownania

(t) + ax(t) + b

x(τ ) dτ = f (t).

Og´olnie mo˙zna bez k lopotu poda´c wzory na transformat

e dowolnego r´ownania

liniowego rz

edu n-tego o sta lych wsp´o lczynnikach i uk ladu r´owna´

n r´o˙zniczkowych

o macierzy liczbowej.

8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty

Za l´o˙zmy, ˙ze dana jest funkcja ϕ(s). Zajmiemy si

e problemem wyznaczenia

ϕ(t):

∞

−st

ϕ(t)dt = ϕ(s)

(8.3)

R´ownanie ca lkowe powy˙zej nazywa si

e r´ownaniem Laplace’a.

Rozdzia l 8. Transformata Laplace’a

Twierdzenie 34

Dla danych a

∈ R, ϕ

(s), (i = 1, . . . , n) mamy

∞

−st

i=1

(t)

dt =

i=1

(s).

Stosunkowo latwo jest rozwi

aza´c r´ownanie Laplace

a w przypadku, gdy prawa

strona tego r´ownania jest funkcj

a wymiern

Twierdzenie 35

Je´sli

ϕ(s) =

U (s)
V (s)

gdzie U (s) i V (s) s

a wielomianami, przy czym st.U (s) = m < st.V (s) = n oraz

V (s) = (s

− s

) . . . (s

− s

), przy czym s

6= s

je´sli i

6= j, to

ϕ(t) =

k=1

U (s

)

(8.4)

Dow´

od.

Iloraz

U (s)
V (s)

mo˙zna przedstawi´c w postaci sumy u lamk´ow prostych

U (s)
V (s)

k=1

− s

Mno˙z

ac obie strony przez s

− s

mamy

− s

)

U (s)
V (s)

= c

+ (s

− s

)

k=2

− s

Przechodz

ac obustronnie z s do granicy w s

i stosuj

ac regu l

e de l’Hospitala

dostajemy

U (s

)

= c

Podobnie obliczamy warto´sci pozosta lych wsp´o lczynnik´ow c

. Tak wi

ec rozk lad

na u lamki proste ma posta´c:

U (s)
V (s)

k=1

U (s

)

− s

Latwo si

e przekona´c, ˙ze r´ownanie

∞

−st

ψ(t)dt =

− s

ma rozwi

azanie

ψ(t) = e

Wobec tych fakt´ow i liniowo´sci transformaty otrzymujemy tez

e twierdzenia.

c.k.d.

8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty

Twierdzenie 36

(Twierdzenie o rozk ladzie) Niech

ϕ(s) =

U (s)

s W (s)

gdzie U (s) i W (s) s

a wielomianami odpowiednio stopni m i n, przy czym m

≤ n.

Zak ladamy, ˙ze W (0)

6= 0 i wielomian W nie ma pierwiastk´ow wielokrotnych tj.

W (s) = (s

− s

) . . . (s

− s

), przy czym s

6= s

dla i

6= j. Wtedy

ϕ(t) =

U (0)

W (0)

i=1

U (s

)

Dow´

od.

Przyjmuj

ac V (s) = s W (s) mo˙zemy na podstawie poprzedniego twier-

dzenia napisa´c

ϕ(t) =

i=0

U (s

)

[s W (s)]

|s=s

przy czym s

:= 0. Z kolei

[s W (s)]

|s=s

= W (s

) + s

) .

Dla i = 0 drugi sk ladnik jest r´owny zeru, a dla i

6= 0 zeruje si

e pierwszy sk ladnik,

tak wi

[s W (s)]

|s=s

= W (s

) = W (0),

[s W (s)]

|s=s

= s

)

dla i

6= 0.

Podstawienie tych wzor´ow do (8.4) ko´

nczy dow´od.

c.k.d.

Twierdzenie 37

(Twierdzenie o przesuni

eciu rzeczywistym) Niech ϕ(s) b

edzie

transformat

a funkcji ϕ(t), a ψ niech b

edzie funkcj

a zdefiniowan

a wzorem:

ψ(t) :=

dla t < t

ϕ (t

− t

) dla t > t

W´owczas

ψ(s) = e

−st

ϕ(s).

Dow´

od.

Z definicji transformaty:

ψ(s) =

∞

−st

ψ(t)dt =

∞

−st

ϕ (t

− t

) dt =

∞

−s(ξ+t

)

ϕ(ξ)dξ = e

−st

∞

−sξ

ϕ(ξ)dξ = e

−st

ϕ(s).

c.k.d

Rozdzia l 8. Transformata Laplace’a

Twierdzenie 38

(Twierdzenie o przesuni

eciu zespolonym) Niech ψ(t) := e

−λt

ϕ(t),

gdzie λ

∈ R, lub λ ∈ C. Wowczas ψ(s) = ϕ(s + λ).

Dow´

od.

Wprost z definicji:

ψ(s) =

∞

−st

−λt

ϕ(t) dt =

∞

−(s+λ)t

ϕ(t) dt = ϕ(s + λ).

c.k.d

Twierdzenie 39

(Twierdzenie o splocie) Niech ψ(t) :=

(τ )ϕ

− τ) dτ.

W´owczas ψ(s) = ϕ

(s)ϕ

(s).

Obserwacja 1

Je´sli ψ(t) :=

(τ )ϕ

− τ) dτ, to ψ(s) = sϕ

(s)ϕ

(s).

Rozdzia l 9

Dodatek

9.1. Tablice transformat Laplace’a

Transformat

a Laplace’a (transformat

a) funkcji ϕ(t) nazywamy funkcj

e ϕ(s)

(zmiennej niezale˙znej s

∈ C) okre´slon

a wzorem

ϕ (s) =

∞

−st

ϕ(t)dt.

Pot

egi

ϕ (t)

ϕ (s)

1
s

n+1

, n ∈ N

−1/2

1/2

√

3/2

Γ (α + 1)

α+1

, α > −1

Rozdzia l 9. Dodatek

Funkcje trygonometryczne

ϕ (t)

ϕ (s)

sin kt

+ k

cos kt

+ k

sin

s (s

+ 4k

)

cos

+ 2k

s (s

+ 4k

)

t sin kt

2ks

+ k

)

t cos kt

− k

+ k

)

2 (1 − cos kt)

+ k

sin at

arctan

“

”

ϕ (t)

ϕ (s)

sin kt + kt cos kt

2ks

+ k

)

sin kt − kt cos kt

− k

)

1 − cos kt

s (s

+ k

)

kt − sin kt

+ k

)

a sin bt − b sin at

ab (a

− b

)

+ a

) (s

+ b

)

cos bt − cos at

− b

+ a

) (s

+ b

)

sin at cos bt

1
2

arctan

a + b

1
2

arctan

a − b

Funkcje hiperboliczne

ϕ (t)

ϕ (s)

sinh kt

− k

cosh kt

− k

sinh

s (s

− 4k

)

cosh

− 2k

s (s

− 4k

)

ϕ (t)

ϕ (s)

t sinh kt

2ks

− k

)

t cosh kt

+ k

− k

)

2 (1 − cosh kt)

− k

Funkcje wyk ladnicze

ϕ (t)

ϕ (s)

s − a

(s − a)

n+1

, n ∈ N

− e

s−a

s−b

ϕ (t)

ϕ (s)

√

πt

−a

/4t

−a

√

πt

−a

/4t

−a

√

− e

a − b

(s − a) (s − b)

− be

a − b

(s − a) (s − b)

9.1. Tablice transformat Laplace’a

Funkcje wyk ladnicze i trygonometryczne

ϕ (t)

ϕ (s)

sin kt

(s − a)

+ k

cos kt

s − a

(s − a)

+ k

Funkcje wyk ladnicze i hiperboliczne

ϕ (t)

ϕ (s)

sinh kt

(s − a)

− k

cosh kt

s − a

(s − a)

− k

Funkcje trygonometryczne i hiperboliczne

ϕ (t)

ϕ (s)

sin kt sinh kt

+ 4k

sin kt cosh kt

+ 2k

+ 4k

cos kt sinh kt

− 2k

+ 4k

cos kt cosh kt

+ 4k

Funkcja Bessela

ϕ (t)

ϕ (s)

(kt)

√

+ k

Uog´

olniona funkcja b l

edu

ϕ (t)

ϕ (s)

erfc

“

√

”

= 1 − erf

“

√

”

−a

√

−a

/4t

− a erfc

“

√

”

−a

√

erfc

“

√

t +

√

”

−a

√

s + b

−e

erfc

“

√

t +

√

”

+ erfc

“

√

”

−

√

(

√

s+b

)

Delta Diraca

ϕ (t)

ϕ (s)

δ (t)

δ (t − t

)

−st

Rozdzia l 9. Dodatek

Funkcja Heaviside’a

ϕ (t)

ϕ (s)

ϕ (t − a) H (t − a)

−as

ϕ (s)

H (t − a)

−

przy czym H(t) :=



dla

t < 0

dla

t ≥ 0

Og´

olne prawa

ϕ (t)

ϕ (s)

ϕ (t)

ϕ (s − a)

ϕ (t − a) H (t − a)

−as

ϕ (s)

(n)

(t)

ϕ (s) − s

(n−1)

ϕ (0) − . . . − ϕ

(n−1)

(0)

ϕ (t)

(−1)

n d

ϕ (s)

ϕ (τ ) ψ (t − τ) dτ

ϕ (s) ψ (s)

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia

stacjonarne

Pisemny egzamin z r´owna´

n r´o˙zniczkowych najcz

e´sciej jest dwucz

e´sciowy. Cz

e´s´c

pierwsza ma na celu sprawdzenie bieg lo´sci rachunkowej, a cz

e´s´c druga, umownie

zwana jest cz

e´sci

a ,,teoretyczn

a” i nie ma ona charakteru wy l

acznie rachunko-

wego. Czas trwania egzaminu z cz

e´sci zadaniowej: 110 minut. Czas trwania eg-

zaminu z cz

e´sci teoretycznej: 50 minut. W przypadku egzaminu jednocz

e´sciowego

zazwyczaj jest to 120 - 130 minut. Ka˙zde zadanie jest punktowane w skali 0

− 10

punkt´ow. Poni˙zej zaprezentowane s

a zestawy zada´

n egzaminacyjnych z kilku

sesji. S

a one reprezentatywne, je´sli chodzi o poziom trudno´sci temat´ow. W po-

szczeg´olnych latach zmienia si

e jednak cz

esciowo zakres wyk ladanego materia lu

materia lu, a wi

ec i tematyczny zakres zada´

9 czerwiec 2001

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie Ricattiego

= 2t

− 2x

wiedz

ac, ˙ze jedn

a z jego ca lek jest wielomian stopnia pierwszego.

2. Wyznacz rozwi

azanie og´olne r´ownania

(t + 1)x

− 2x = 0

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja x

(t) = 1 +

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia stacjonarne

3. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

+ 3x

+ 2x = e

−t

cos

Wskaz´owka. Tak przekszta l´c praw

a stron

e, aby mo˙zliwe by lo zastosowanie

metody przewidywa´

4. Metod

a Frobeniusa znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n r´ownania

2tx

+ (1 + t)x

+ x = 0.

5. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

−3

−4

x +

−t

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

−1

6. Zbadaj stabilno´s´c po lo˙ze´

n r´ownowagi uk ladu r´owna´

= y

− x

= 3x

− x

− y.

e´s´c teoretyczna:

1. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

2. Znajd´z krzyw

a o tej w lasno´sci, ˙ze trapez utworzony przez osie wsp´o lrz

ednych

Ox i Oy, styczn

a do krzywej i prost

a prostopad l

a do osi Ox w punkcie

styczno´sci, ma sta le pole r´owne 3a

3. Rozstrzygnij dla jakich a i b rozwi

azania r´ownania x

+ ax

+ bx = 0 s

ograniczone na ca lej prostej?

20 czerwiec 2001

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

(1 + ln x) dt =

−

2. Wyznacz rozwi

azanie og´olne r´ownania

− (2t + 1)x

+ (t + 1)x = 0

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja postaci e

αt

Rozdzia l 9. Dodatek

3. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

+ tx

− 2t

+ 1

x = 0.

4. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´





−1 1

0 1

−1

0 1



 x

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =





1
2



 .

5. Wyznacz obszar asymptotycznej stabilno´sci dla uk ladu







−x + αy

= βx

− y + αz

= βy

− z,

gdzie α, β s

a parametrami rzeczywistymi.

e´s´c teoretyczna:

1. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

+ 2x

000

+ ax

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwi

azanie w postaci gra-

ficznej.

2. Wyznacz krzywe, dla kt´orych odcinek stycznej zawarty mi

edzy osiami wsp´o lrz

ednych

ma sta l

a d lugo´s´c d.

3. Oblicz e

, gdzie A jest macierz

a uk ladu z zadania (4) w cz

e´sci zadaniowej tj.

A =





−1 1

0 1

−1

0 1



 .

13 wrzesie´

n 2001

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z problem pocz

atkowy Cauchy’ego

+ x

− 2tx dx = 0, x(4) = 0.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

+ 1

dt +

− 1

dx = 0.

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia stacjonarne

3. Znajd´z ca lk

e og´oln

a r´ownania

(6)

+ 2x

(4)

+ x

(2)

= 0.

4. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´





−1 −4

−12

−3 −9



 x

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =





1
1
1



 .

5. Znajd´z uk lad fundamentalny rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych unor-

mowanych w punkcie t

= 0 r´ownania:

− t

x = 0

i okre´sl rozwi

azanie og´olne.

e´s´c teoretyczna:

1. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

+ 2x

000

+ ax

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwi

azanie w postaci gra-

ficznej.

2. Wyznacz krzywe, dla kt´orych odcinek stycznej zawarty mi

edzy osiami wsp´o lrz

ednych

ma sta l

a d lugo´s´c d.

3. Oblicz e

, gdzie A jest macierz

a uk ladu z zadania (4) w cz

e´sci zadaniowej tj.

A =





−1 1

0 1

−1

0 1



 .

27 wrzesie´

n 2001

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie

= 2

x + 2

t + x

− 1

2. Odgadnij rozwi

azanie szczeg´olne, a nast

epnie rozwi

a˙z r´ownanie Riccatiego

− 2tx + x

= 5

− t

3. Wiedz

ac, ˙ze funkcja x (t) =

jest rozwi

azaniem szczeg´olnym r´ownania

+ 3tx

− x = 0 rozwi

a˙z r´ownanie

+ 3tx

− x =

(obni˙zaj

ac jego rz

ad jednym z dw´och poznanych sposob´ow) a nast

epnie wska˙z

jego ca lk

e spe lniaj

a warunki pocz

atkowe x (1) = 1, x

(1) =

−

4
3

Rozdzia l 9. Dodatek

4. Znajd´z ca lk

e og´oln

a uk ladu r´owna´

−1 2

x +

5. Rowi

a˙z r´ownanie

+ 3x

+ 2x =

+ 1

e´s´c teoretyczna:

1. Znajd´z krzyw

a o tej w lasno´sci, ˙ze trapez utworzony przez osie uk ladu wsp´o lrz

ednych

Ox, Oy, styczn

a do krzywej i prost

a prostopad l

a do osi Ox w punkcie styczno´sci,

ma sta le pole r´owne 3a

2. Dla jakich a i b r´ownanie x

+ax

+bx = 0 ma przynajmniej jedno rozwi

azanie

x (t)

6= 0 takie, ˙ze lim

t→+∞

x (t) = 0.

3. Zbadaj stabilno´s´c wszystkich po lo˙ze´

n r´ownowagi uk ladu

= ln (y

− x)

= x

− y − 1

Definicja. Niech X przestrze´

n Banacha, f : X

⊃ U → X, u : R ⊃ I → X,

∈ topX, I ∈ topR. Po lo˙zeniem r´ownowagi uk ladu u

= f (u) nazywamy

∗

∈ U takie, ˙ze f (ω

∗

) = 0.

10 czerwiec 2002

e´s´c zadaniowa:

1. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania r´o˙zniczkowego

t(x

+ x

) = x

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(1) = 1.

2. Wyznacz rozwi

azanie og´olne r´ownania

− x

− 4t

x = 0,

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja e

3. Znajd´z dwa liniowo niezale˙zne rozwi

azania szczeg´olne r´ownania

+ x = 0.

w postaci szereg´ow Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t

= 0.

4. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

−1 −6

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

2
2

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia stacjonarne

5. Wyznacz wszystkie po lo˙zenia r´ownowagi uk ladu

= xy

= x

+ y

− 4

i zbadaj ich stabilno´s´c.

6. Przy pomocy transformaty Laplace’a rozwi

a˙z r´ownanie

− 2x

+ x = 1 + t,

x(0) = 0,

(0) = 0.

e´s´c teoretyczna:

1. Rozwa˙zamy dwuwymiarowy uk lad r´owna´

= ax + by

= cx + dy,

gdzie a, b, c, d

∈ R. Wyka˙z, ˙ze je´sli jedno z jego rozwi

aza´

n jest funkcj

a okre-

sow

a, to wszystkie rozwi

azania, opr´ocz rozwi

azania zerowego, s

a funkcjami

okresowymi.

2. Wyznacz r´ownanie krzywej przechodz

acej przez punkt (1, 1), dla kt´orej pole

tr´ojk

ata utworzonego przez o´s Ot, styczn

a i wektor wodz

acy punktu styczno´sci

jest sta le i r´owna si

e 1.

3. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

17 czerwiec 2002

e´s´c zadaniowa:

1. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

xdx = (tdx + xdt)

√

1 + x

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

− 2tx + x

= 5

− t

3. Znajd´z dwa liniowo niezale˙zne rozwi

azania szczeg´olne r´ownania

t(t

− 1)x

+ (1 + t)x

− x = 0.

w postaci szereg´ow Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t

= 0, lub t

= 1.

4. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

−3 −1

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

−1

Rozdzia l 9. Dodatek

5. Wyznacz wszystkie po lo˙zenia r´ownowagi uk ladu

−x + y

= x + y

− 2xy

i zbadaj ich stabilno´s´c.

6. Przy pomocy transformaty Laplace’a wyznacz ca lk

e sczeg´oln

a uk ladu r´owna´

−2y + 3t

= 2x + 4

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 2, y(0) = 3.

e´s´c teoretyczna:

1. Jakie warunki musz

a spe lnia´c warto´sci i wektory w lasne macierzy uk ladu:

= ax + by

= cx + dy,

(a, b, c, d

∈ R), aby jego rozwi

azanie u(t) = (x(t), y(t)) spe lniaj

ace warunek

pocz

atkowy x(0) = y(0) = 1 mia lo w lasno´s´c:

a) lim

t→∞

u(t) = (0, 0),

b) lim

t→∞

ku(t)k = ∞,

c) u jest funkcj

a ograniczon

2. Wyznacz r´ownanie r´o˙zniczkowe rodziny krzywych x = e

i r´ownanie r´o˙zniczkowe

rodziny krzywych ortogonalnych do danych.

3. Oblicz e

dla macierzy:

A =

−2 −4

16 wrzesie´

n 2002

e´s´c zadaniowa:

1. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

(1 + t + x + tx) x

= 1.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

dx = x

− x

dt.

3. Znajd´z dwa liniowo niezale˙zne rozwi

azania szczeg´olne r´ownania

t(t

− 1)x

+ (

−1 + 3t)x

+ x = 0.

w postaci szereg´ow Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t

= 0, lub t

= 1.

4. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

3 2

−5 1

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

−1

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia stacjonarne

5. Wyznacz wszystkie po lo˙zenia r´ownowagi uk ladu

= 3

−

4 + x

+ y

= ln (x

− 3)

i zbadaj ich stabilno´s´c.

6. Przy pomocy transformaty Laplace’a wyznacz ca lk

e sczeg´oln

a uk ladu r´owna´

−x + y + e

= x

− y + e

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 1, y(0) = 1.

e´s´c teoretyczna:

1. Jakie warunki musz

a spe lnia´c warto´sci i wektory w lasne macierzy uk ladu:

= ax + by

= cx + dy,

(a, b, c, d

∈ R), aby jego rozwi

azanie u(t) = (x(t), y(t)) spe lniaj

ace warunek

pocz

atkowy x(0) = y(0) = 1 mia lo w lasno´s´c:

a) lim

t→∞

u(t) = (0, 0),

b) lim

t→∞

ku(t)k = ∞,

c) u jest funkcj

a ograniczon

2. Wyznacz r´ownanie r´o˙zniczkowe rodziny hiperbol x =

i r´ownanie r´o˙zniczkowe

rodziny krzywych ortogonalnych do danych.

3. Oblicz e

dla macierzy:

A =

−1

9 czerwiec 2003

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

6txdt + (4x + 9t

)dx = 0.

2. Wyznacz rozwi

azanie og´olne r´ownania

= e

+ (1 + 2e

)x + x

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja postaci x

(t) =

−e

3. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

+ e

− x = 0.

Rozdzia l 9. Dodatek

4. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´





0 8

0 0

−2

2 8

−2



 x

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =





1
0
0



 .

5. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

r´o˙zniczkowych

(

= t

−

= 4t

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) = 8, x

(0) = y(0) = y

(0) =

e´s´c teoretyczna:

1. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

= x + ay + y

= bx

− 3y − x

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwi

azanie w postaci gra-

ficznej.

2. Znajd´z krzyw

a x = x(t) o tej w lasno´sci, ˙ze tr´ojk

at utworzony przez o´s Ot,

styczn

a do krzywej oraz promie´

n wodz

acy w punkcie styczno´sci jest tr´ojk

atem

r´ownoramiennym.

3. Oblicz e

, gdzie A jest macierz

a uk ladu z zadania (4) w cz

e´sci zadaniowej tj.

A =





0 8

0 0

−2

2 8

−2



 x

16 czerwiec 2003

e´s´c zadaniowa:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

+ 2tx

− x

)dt + (x

+ 2tx

− t

)dx = 0,

wiedz

ac, ˙ze ma ono czynnik ca lkuj

acy postaci µ = µ(t + x).

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

2xx

= t(x

+ 4).

3. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

− t

+ (t + 1)x = 0.

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia stacjonarne

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

000

− x

+ 4x

− 4x = 3e

− 4 sin 2t.

5. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a rozwi

a˙z r´ownanie

x(t) = 3t

− e

−t

−

x(τ )e

t−τ

dτ .

e´s´c teoretyczna:

1. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na p laszczy´znie
Oab.

2. Znajd´z rodzin

e krzywych ortogonalnych do krzywych rodziny

= Ce

+ t + 1,

gdzie C

∈ R.

3. Przeprowad´z dyskusj

e dla jakich rzeczywistych parametr´ow p i q wszystkie

rozwi

azania r´ownania x

+ px

+ qx = 0 s

a ograniczone na ca lej prostej?

Zaznacz wyznaczony zbi´or na p laszczy´znie Opq.

22 wrzesie´

n 2003

e´s´c zadaniowa:

1. Znajd´z ca lk

e og´oln

a r´ownania

1
2

−

− x = 0,

je´sli x

(t) = t

jest jego ca lk

a szczeg´oln

2. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

− tx

− 2t

+ 1

x = 0.

3. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu r´owna´

= 2y

− x,

= 4y

− 3x +

4. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a rozwi

a˙z r´ownanie

x(t) = 3t

− e

−t

−

x(τ )e

t−τ

dτ .

Rozdzia l 9. Dodatek

5. Sprowad´z r´ownanie

+ 2rx

+ ω

x = 0

(r > 0, ω > 0)

z warunkami pocz

atkowymi x(0) = x

, x

(0) = x

, do r´ownowa˙znego mu

uk ladu r´owna´

n rz

edu pierwszego oraz zbadaj stabilno´s´c po lo˙zenia r´ownowagi

tego uk ladu.

e´s´c teoretyczna:

1. Znajd´z krzywe, dla kt´orych tr´ojk

at utworzony przez o´s Oy, styczn

a i wektor

wodz

acy punktu styczno´sci jest r´ownoramienny (o podstawie na osi Oy).

2. Przeprowad´z dyskusj

e dla jakich rzeczywistych parametr´ow p i q wszystkie

rozwi

azania r´ownania x

+ px

+ qx = 0 s

a ograniczone na ca lej prostej?

Zaznacz wyznaczony zbi´or na p laszczy´znie Opq.

3. Wyznacz obszar asymptotycznej stabilno´sci dla uk ladu







−x + αy

= βx

− y + αz

= βy

− z,

gdzie α, β s

a parametrami rzeczywistymi.

7 czerwiec 2004

e´s´c pierwsza:

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

+ tx + 3x

)dt

− (t

+ 2tx)dx = 0.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

−

x + x

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja x(t) =

3. Metod

a Frobeniusa znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n r´ownania

− t

− 2tx

+ 30x = 0

w otoczeniu punktu t

−1 (grupa A), t

= 1 (grupa B).

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

000

− x

+ 4x

− 4x = 3e

− 4 cos 2t.

5. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu r´owna´





0 1 1
1 0 1
2 2 1



 x.

e´s´c druga:

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia stacjonarne

1. Zdefiniuj transformat

e Laplace’a funkcji. Oblicz transformat

e Laplace’a ca lki

szczeg´olnej uk ladu r´owna´

+ y

− 2x

= 1

+ y

− 3x − 3y = 2

z warunkiem pocz

atkowym x(0) = 0, y(0) = 0.

2. Obni˙z rz

ad r´ownania

− x

tan t + 2x = 0

wiedz

ac, ˙ze funkcja x

(t) = sin t jest jego ca lk

a szczeg´oln

3. Stosuj

ac twierdzenie Lapunowa zbadaj stabilno´s´c rozwi

azania zerowego uk ladu

r´owna´

= tan(y

− x)

= 2

− 2 cos

− x

15 czerwiec 2004

e´s´c pierwsza:

1. Rozwi

a˙z zagadnienie pocz

atkowe

+ x

= 1,

x(1) = 2.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie Lagrange’a

+ 2) = x.

3. Metod

a Frobeniusa znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n r´ownania

− (2t − 1)x

+ (t

− 1)x = 0

w otoczeniu punktu t

= 0.

4. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania

000

− 2x

+ x

= te

+ 5,

x(0) = 2,

(0) = 2,

(0) =

−1.

5. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu r´owna´





−4 0

0 2

2 5



 x.

e´s´c druga:

1. Stosuj

ac transformat

e Laplace’a rozwi

a˙z problem pocz

atkowy

− 6x

+ 9x = t

x(0) = 2,

(0) = 6.

2. Wiedz

ac, ˙ze jedno z rozwi

aza´

n r´ownania Riccatiego

− 2tx + x

= 5

− t

jest wielomianem, sprowad´z to r´ownanie do r´ownania Bernoulliego.

Rozdzia l 9. Dodatek

3. Wyznacz warto´sci parametr´ow a i b, dla kt´orych zerowe rozwi

azanie uk ladu

= x + ay + y

= bx

− 3y − x

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

13 wrzesie´

n 2004

e´s´c pierwsza:

1. Rozwi

a˙z zagadnienie pocz

atkowe

− 9t

x = (t

+ t

2
3

x(0) = 0.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

(t sin x + x cos x) dt + (t cos x

− x sin x) dx = 0.

3. Znajd´z krzyw

a, kt´orej styczne tworz

a z osiami wsp´o lrz

ednych tr´ojk

at o po-

wierzchni 2a

4. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych o

´srodku w punkcie t

= 0 r´ownania:

+ tx

− (2t

+ 1)x = 0.

5. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu r´owna´





−3

2 2

−3 −1 1
−1

2 0



 x.

e´s´c druga:

1. Stosuj

ac transformat

e Laplace’a rozwi

a˙z problem pocz

atkowy

+ 4x

+ 13x = te

−t

x(0) = 0,

(0) = 2.

2. Wiedz

ac, ˙ze jedno z rozwi

aza´

n r´ownania Riccatiego

−x

+ 1 + t

jest wielomianem stopnia pierwszego, sprowad´z to r´ownanie do r´ownania Ber-
noulliego.

3. Stosuj

ac twierdzenie Lapunowa zbadaj stabilno´s´c rozwi

azania zerowego uk ladu

r´owna´

= ln (3e

− 2 cos x)

= 2e

−

√

8 + 12y.

24 wrzesie´

n 2004

e´s´c pierwsza:

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia stacjonarne

1. Rozwi

a˙z r´ownanie

−

x + x

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja ϕ(t) =

2. Znajd´z krzywe, dla kt´orych odcinek odci

ety na osi rz

ednych Ox (w uk ladzie

wsp´o lrz

ednych Otx) przez styczn

a, jest r´owny kwadratowi rz

ednej punktu

styczno´sci.

3. Znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania

(t + 1)x

− (2 − t)x

+ x = 0

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 2, x

(0) =

−1 w postaci szeregu

pot

egowego o ´srodku w punkcie t

= 0.

4. Metod

a warto´sci i wektor´ow w lasnych, lub przez sprowadzenie macierzy uk ladu

do postaci Jordana, wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

−1 −2

x +

3
3

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy

x(0) =

−4

5. Metod

a transformaty Laplace’a wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

+ y

− y = t

+ y

= t

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 1, y(0) = 0.

e´s´c druga:

1. Obni˙z rz

ad r´ownania r´o˙zniczkowego

(1 + 2t)x

+ 4tx

− 4x = 0

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja ϕ(t) = e

−2t

2. Zbadaj dla jakich parametr´ow a i b, zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

3. Wyznacz r´ownanie r´o˙zniczkowe rodziny parabol x(t) = at

+ bt.

9 czerwiec 2005

e´s´c pierwsza:

1. Wyznacz krzyw

a le˙z

a w pierwszej ´cwiartce uk ladu wsp´o lrz

ednych, dla kt´orej

styczne tworz

a z osiami uk ladu tr´ojk

aty o sta lym polu r´ownym 2.

Rozdzia l 9. Dodatek

2. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania r´o˙zniczkowego

x + x

− tx

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(1) = 1.

3. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania

(2t

− t

+ (t

− 2)x

+ 2(1

− t)x = 0

spe lniaj

a warunki pocz

atkowe x(1) = 0, x

(1) = 1, je´sli dana jest ca lka

szczeg´olna tego r´ownania x

(t) = e

4. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu

−1

x +

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

1
2

5. Wyznacz wszystkie po lo˙zenia r´ownowagi uk ladu

= x

+ x

− 4

i zbadaj ich stabilno´s´c.
(Po lo˙zeniem r´ownowagi uk ladu autonomicznego x

= f (x), f : R

→ R

x : R

⊃ I → R

nazywamy wektor x

∈ R

taki, ˙ze f (x

) = 0.)

e´s´c druga:

1. Podaj definicj

e transformaty Laplace’a i stosuj

ac j

a, rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

− x = sin t, x(0) = 1.

2. Metod

a szereg´ow pot

egowych rozwi

a˙z r´ownanie x

= x

+ t

, x(0) = 1. Wy-

znacz cztery pierwsze wyrazy rozwini

ecia.

3. Rozwa˙zamy dwuwymiarowy uk lad r´owna´

= ax + by

= cx + dy,

gdzie a, b, c, d

∈ R. Wyka˙z, ˙ze je´sli jedno z jego rozwi

aza´

n jest funkcj

a okre-

sow

a, to wszystkie rozwi

azania, opr´ocz rozwi

azania zerowego, s

a funkcjami

okresowymi.

13 czerwiec 2005

e´s´c pierwsza:

1. Wyznacz krzyw

a, dla kt´orej rz

edna punktu przeci

ecia dowolnej stycznej z

osi

a Ox (w uk ladzie Otx) jest o dwie jednostki mniejsza od odci

etej punktu

styczno´sci.

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia stacjonarne

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

(tx

− t

+ x

− 3tx − 2t

= 0

znajduj

ac czynnik ca lkuj

acy zale˙zny od jednej zmiennej.

3. Znajd´z ca lk

e og´oln

a niejednorodnego liniowego r´ownania r´o˙zniczkowego

+ 2x

− tx = e

wiedz

ac, ˙ze ca lk

a szczeg´oln

a skojarzonego r´ownania jednorodnego jest funkcja

(t) =

4. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu

−4y = 1, x+

−3y = t

spe lniaj

warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) = 2, y(0) =

−2.

5. Wyznacz wszystkie po lo˙zenia r´ownowagi uk ladu

= x

− x

= 3x

− x

i zbadaj ich stabilno´s´c.
(Po lo˙zeniem r´ownowagi uk ladu autonomicznego x

= f (x), f : R

→ R

x : R

⊃ I → R

nazywamy wektor x

∈ R

taki, ˙ze f (x

) = 0.)

e´s´c druga:

1. Metod

a szereg´ow pot

egowych wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania

+ t

+ x = t,

x(0) = 1,

(0) = 0.

Wyznacz pi

e´c pierwszych wyraz´ow rozwini

ecia.

2. Dla jakich a

∈ R r´ownanie x

+ax = 0 ma przynajmniej jedno rozwi

azanie

x(t)

6= 0 takie, ˙ze lim

t→+∞

x(t) = 0.

3. Podaj definicj

e transformaty Laplace’a i stosuj

ac j

a, rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

+ 4x = 1, x(0) = 1.

12 wrzesie´

n 2005

e´s´c pierwsza:

1. Wyznacz krzyw

a, kt´orej styczne odcinaj

a na osiach wsp´o lrz

ednych odcinki,

kt´orych suma d lugo´sci jest r´owna 2a.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

= 1

− t − x + tx

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja x

(t) = 1.

3. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych o

´srodku w punkcie t

= 0 r´ownania x

1−t

x = 0.

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu

= 2y

− x

= 4y

− 3x +

Rozdzia l 9. Dodatek

5. Wyznacz wszystkie po lo˙zenia r´ownowagi uk ladu

= e

− e

+ x

− 2

i zbadaj ich stabilno´s´c.
(Po lo˙zeniem r´ownowagi uk ladu autonomicznego x

= f (x), f : R

→ R

x : R

⊃ I → R

nazywamy wektor x

∈ R

taki, ˙ze f (x

) = 0.)

e´s´c druga:

1. Ze wzoru Liouville’a wyznacz drug

a liniowo niezale˙zn

a ca lk

e r´ownania

(t + 1)x

− 2x = 0

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja x

(t) = 1 +

2. Dla jakich a

∈ R r´ownanie x

+ax = 0 ma przynajmniej jedno rozwi

azanie

x(t)

6= 0 takie, ˙ze lim

t→+∞

x(t) = 0.

3. Podaj definicj

e transformaty Laplace’a i stosuj

ac j

a, rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

+ 2x = t, x(0) =

−1.

22 wrzesie´

n 2005

e´s´c pierwsza:

1. W pierwszej ´cwiartce uk ladu wsp´o lrz

ednych Otx znajd´z r´ownanie krzywej

przechodz

acej przez punkt (1, 1), dla kt´orej pole tr´ojk

ata utworzonego przez

o´s Ot, styczn

a i wektor wodz

acy punktu styczno´sci jest sta le i r´owna si

e 1.

2. Stosuj

ac podstawienie x(t) = z

(t) sprowad´z r´ownanie

− t) = x

do r´ownania jednorodnego i rozwi

a˙z go.

3. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych o

´srodku w punkcie t

= 0 r´ownania x

+ (1

− t)x = 0.

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu







= x

− y − z

= x + y

= 3x + z.

5. Z pomoc

a twierdzenia Lapunowa zbadaj stabilno´s´c zerowego rozwi

azania uk ladu

r´owna´

= ln(3e

− 2 cos x)

= 2e

−

√

8 + 12y.

e´s´c druga:

1. Zredukuj r´ownanie Ricattiego

−

x + x

do r´ownania Bernoulliego, wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja x

(t) =

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia stacjonarne

2. Wiedz

ac ˙ze rozwi

azaniem og´olnym uk ladu

1 3
5 3

jest

x(t) = c

−1

−2t

+ c

3
5

gdzie c

, c

∈ R, wyznacz rozwi

azanie og´olne uk ladu

1 3
5 3

x +

1
0

3. Opisz metod

e redukcji rz

edu jednorodnego r´ownania r´o˙zniczkowego liniowego

o sta lych wsp´o lczynnikach, je´sli znana jest jego ca lka szczeg´olna.

14 czerwiec 2006
1. Znajd´z krzywe dla kt´orych trapez OT SY ograniczony osiami uk ladu wsp´o lrz

ednych,

styczn

a do krzywej i rz

edn

a punktu styczno´sci ma sta le pole r´owne 3.

2. Rozwi

a˙z metod

a operatorow

a podany problem pocz

atkowy:







−2y + 3t

= 2x + 4

x(0) = 2,

y(0) = 3.

3. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych o

´srodku w punkcie t

= 0 r´ownania x

+ e

−t

x = 0.

4. Wyznacz wszystkie punkty r´ownowagi uk ladu

= x(7

− x − 2y)

= y(5

− x − y)

i zbadaj ich stabilno´s´c.
(Po lo˙zeniem r´ownowagi uk ladu autonomicznego z

= f (z), f : R

→ R

z : R

⊃ I → R

nazywamy wektor z

∈ R

taki, ˙ze f (z

) = 0.)

Rozdzia l 9. Dodatek

5. Rozwi

a˙z r´ownanie

= 1

− t − x + tx

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja x

(t) = 1.

6. Rozwi

a˙z r´ownanie

x(t + x + 1)dt + (t + 2x)dx = 0.

7. (Dodatkowo na ocen

e celuj

a) Udowodnij, ˙ze dowolne r´ownanie r´o˙zniczkowe

edu pierwszego o zmiennych rozdzielonych jest r´ownaniem r´o˙zniczkowym

zupe lnym.

27 czerwiec 2006
1. Znajd´z krzywe dla kt´orych d lugo´s´c odcinka, jaki styczna poprowadzona w

dowolnym punkcie krzywej odcina na osi Ox (w uk ladzie wsp´o lrz

ednych Otx),

jest r´owna kwadratowi rz

ednej punktu styczno´sci.

2. Znajd´z ca lk

e og´oln

a uk ladu niejednorodnego:

+ 5x + y = e

+ 3y

− x = e

3. Rozwi

a˙z zagadnienie pocz

atkowe x

+ 6x = cos 3t, x(0) = 1, x

(0) = 0:

a) metod

a operatorow

b) metod

a warto´sci w lasnych oraz Lagrange’a lub przewidywa´

4. Wyznacz wszystkie punkty r´ownowagi uk ladu

= 1

− y

= x

− y

i zbadaj ich stabilno´s´c.
(Po lo˙zeniem r´ownowagi uk ladu autonomicznego z

= f (z), f : R

→ R

z : R

⊃ I → R

nazywamy wektor z

∈ R

taki, ˙ze f (z

) = 0.)

5. Wyznacz rozwi

azanie og´olne r´ownania

2x(x

+ 2) = t(x

)

6. Znajd´z uk lad fundamentalny rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0 r´ownania

1 + 2t

− t

x = 0.

Okre´sl rozwi

azanie og´olne.

7. (Dodatkowo na ocen

e celuj

a) Przeprowad´z dyskusj

e dla jakich rzeczywi-

stych parametr´ow p i q wszystkie rozwi

azania r´ownania x

+ px

+ qx = 0 s

ograniczone na ca lej prostej? Zaznacz wyznaczony zbi´or na p laszczy´znie Opq.

9.2. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia stacjonarne

26 wrzesie´

n 2006

1. Znajd´z krzyw

a x = x(t) maj

a t

e w lasno´s´c, ˙ze odcinek stycznej w dowol-

nym punkcie, kt´orego jednym ko´

ncem jest punkt styczno´sci, a drugim punkt

przeci

ecia z osi

a Ox ma ´srodek na osi Ot.

2. Znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu niejednorodnego

= x

− y + 8t

= 5x

− y

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(

) = 1, y(

) = 1.

3. Rozwi

a˙z zagadnienie pocz

atkowe x

+ 2x

+ x = 1, x(0) = 0, x

(0) = 0:

a) metod

a operatorow

b) metod

a warto´sci w lasnych oraz Lagrange’a lub przewidywa´

4. Znajd´z ca lk

e og´oln

a r´ownania

− 2tx

+ (t

+ 2)x = 0

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja x

(t) = t sin t.

5. Korzystaj

ac (wy l

acznie) z definicji, zbadaj lokaln

a asymptotyczn

a stabilno´s´c

rozwi

azania r´ownania

−4x − t

przy warunku pocz

atkowym x(0) = 3.

6. Wyznacz rozwi

azanie og´olne r´ownania

√

− x

+ x.

16 czerwiec 2007
1. Znajd´z ca lk

e og´oln

a r´ownania

t +

√

− tx

− xdt = 0.

2. Znajd´z krzyw

a dla kt´orej odleg lo´s´c dowolnej stycznej od pocz

atku uk ladu

wsp´o lrz

ednych jest sta la i wynosi s.

3. Dowoln

a metod

a znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu niejednorodnego

− 4y = 1

x +

− 3y = t

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 2, y(0) =

−2.

4. Rozwi

a˙z zagadnienie pocz

atkowe x

+3x

+2x = 1, x(0) = 0, x

(0) = 0 dwoma

spo´sr´od trzech metod:
a) operatorow

b) warto´sci w lasnych oraz Lagrange’a lub przewidywa´

Rozdzia l 9. Dodatek

c) szereg´ow pot

egowych.

5. Znajd´z ca lk

e og´oln

a r´ownania

1
2

−

− x = 0

wiedz

ac, ˙ze jego ca lk

a szczeg´oln

a jest funkcja x

(t) = t

6. Bezpo´srednim rachunkiem (tj. korzystaj

ac wy l

acznie z definicji) sprawd´z sta-

bilno´s´c rozwi

azania uk ladu r´owna´

= x,

= 2y przy warunku pocz

atkowym

x(0) = 1, y(0) = 2.

13 wrzesie´

n 2007

1. Znajd´z ca lk

e og´oln

a r´ownania

x = tx

+ x

2. Znajd´z krzyw

a, dla kt´orej d lugo´s´c odcinka na osi Ot (w uk ladzie wsp´o lrz

dnych Otx), kt´orego jednym ko´

ncem jest pocz

atek uk ladu, a drugim punkt

przeci

ecia stycznej do krzywej z osi

a Ot, jest wprost proporcjonalny do kwa-

dratu odci

etej punktu styczno´sci.

3. Znajd´z ca lk

e og´oln

a uk ladu jednorodnego





1 1 1
1 1 1
1 1 1



 x

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 2, y(0) =

−2.

4. Rozwi

a˙z zagadnienie pocz

atkowe x

− 2x

+ x = t

+ 4t, x(0) = 1, x

(0) = 0

dwoma spo´sr´od trzech metod:
a) operatorow

b) warto´sci w lasnych oraz Lagrange’a lub przewidywa´

c) szereg´ow pot

egowych.

5. Znajd´z ca lk

e og´oln

a r´ownania

− 4tx

+ (4t

− 3)x = e

je´sli dana jest ca lka szczeg´olna x(t) = e

skojarzonego r´ownania jednorod-

nego.

6. Bezpo´srednim rachunkiem (tj. korzystaj

ac wy l

acznie z definicji) sprawd´z

stabilno´s´c rozwi

azania uk ladu r´owna´

−3x,

= y przy warunku

pocz

atkowym x(0) = 2, y(0) = 1.

18 wrzesie´

n 2007

1. Znajd´z ca lk

e og´oln

a r´ownania

dt + (x

+ ln t)dx = 0.

9.3. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia niestacjonarne

2. Znajd´z krzyw

a, dla kt´orej d lugo´s´c odcinka na osi Ot (w uk ladzie wsp´o lrz

dnych Otx), kt´orego jednym ko´

ncem jest pocz

atek uk ladu, a drugim punkt

przeci

ecia stycznej do krzywej z osi

a Ot, jest wprost proporcjonalny do kwa-

dratu rz

ednej punktu styczno´sci.

3. Znajd´z ca lk

e og´oln

a uk ladu jednorodnego





1 1 1
1 1 1
1 1 1



 x

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 2, y(0) =

−2.

4. Rozwi

a˙z zagadnienie pocz

atkowe x

− 2x

+ x = t

+ 4t, x(0) = 1, x

(0) = 0

dwoma spo´sr´od trzech metod:
a) operatorow

b) warto´sci w lasnych oraz Lagrange’a lub przewidywa´

c) szereg´ow pot

egowych.

5. Znajd´z ca lk

e og´oln

a r´ownania

− 4tx

+ (4t

− 3)x = e

je´sli dana jest ca lka szczeg´olna x(t) = e

skojarzonego r´ownania jednorod-

nego.

6. Bezpo´srednim rachunkiem (tj. korzystaj

ac wy l

acznie z definicji) sprawd´z

stabilno´s´c rozwi

azania uk ladu r´owna´

−3x,

= y przy warunku

pocz

atkowym x(0) = 2, y(0) = 1.

9.3. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia

niestacjonarne

Pisemny egzamin z r´owna´

n r´o˙zniczkowych jest jednocz

e´sciowy. Czas trwania

egzaminu: zazwyczaj 120 minut. Ka˙zde zadanie jest punktowane w skali 0

− 10

punkt´ow. Poni˙zej zaprezentowane s

a zestawy zada´

n egzaminacyjnych z kilku

sesji.

16 czerwiec 2002
1. Rozwi

a˙z r´ownanie jednorodne

t + x

2. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania Bernoulliego

t(x

+ x

) = x

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(1) = 1.

Rozdzia l 9. Dodatek

3. Wyznacz 4 pierwsze wyrazy rozwini

ecia rozwi

azania problemu pocz

atkowego

x(x

+ 1) = t,

x(0) = 1

w szereg pot

egowy w otoczeniu punktu t

= 0.

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

+ 3x

+ 2x = t.

5. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

−1 −6

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

2
2

6. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na p laszczy´znie
Oab.

20 wrzesie´

n 2002

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

−tx

2. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

+ x

+ tx = 0.

3. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

−1

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

−1

4. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania

− x

= sin t

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) = 1, x

(0) = 0.

9.3. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia niestacjonarne

5. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

− 2x

+ x = t + e

6. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ 2x

+ bx = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na p laszczy´znie
Oab.

28 wrzesie´

n 2002

1. Rozwi

a˙z r´ownanie

1 + e

= e

2. Rozwi

a˙z r´ownanie

− x

3. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

− x = t

− t + 1.

4. Znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

1 1
4 1

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy postaci

x(1) =

1
0

5. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na p laszczy´znie
Oab.

14 czerwiec 2003
1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

6txdt + (4x + 9t

)dx = 0.

2. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

+ tx

− x = 0.

Rozdzia l 9. Dodatek

3. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

−3

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

1
0

4. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania

− 3x = e

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) = 1.

5. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

+ 2x

+ x = te

6. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na p laszczy´znie
Oab.

20 wrzesie´

n 2003

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe

−tx

2. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

+ x

+ tx = 0.

3. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

−1

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) =

−1

4. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania

− x

= sin t

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy Cauchy’ego x(0) = 1, x

(0) = 0.

9.3. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia niestacjonarne

5. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

− 2x

+ x = t + e

6. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ 2x

+ bx = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na p laszczy´znie
Oab.

3 pa´

zdziernik 2003

1. Znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania

−e

x+t+1

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) =

−1.

2. Znajd´z fundamentalny uk lad rozwi

aza´

n w postaci szereg´ow pot

egowych, unor-

mowany w punkcie t

= 0, r´ownania

− x

+ tx = 0.

3. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu r´owna´

−1

4. Korzystaj

ac z transformaty Laplace’a rozwi

a˙z zagadnienie pocz

atkowe

+ x = t,

x(0) = 0,

(0) = 1.

5. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

− 2x

+ x = e

−t

6. Dla jakich paramatr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na p laszczy´znie
Oab.

12 czerwiec 2004
1. Rozwi

a˙z jednorodne r´ownanie r´o˙zniczkowe

+ tx + 3x

)dt

− (t

+ 2tx)dx = 0.

Rozdzia l 9. Dodatek

2. Znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a w postaci szeregu pot

egowego, unormowanego w

punkcie t

= 0, r´ownania

+ tx

− x = 0, x(0) = 1, x

(0) = 0.

3. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

000

− x

+ 4x

− 4x = 3e

4. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu r´owna´

−3

−2

x +

−1

z warunkiem pocz

atkowym x(0) =

0
0

5. Stosuj

ac transformat

e Laplace’a oblicz x-sow

a sk ladow

a ca lki szczeg´olnej uk ladu

r´owna´

+ y

− 2x

= 1

+ y

− 3x − 3y = 2

z warunkiem pocz

atkowym x(0) = 0, y(0) = 0.

6. Dla jakiej warto´sci parametru a zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

000

+ x

+ 2x

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

17 wrzesie´

n 2004

1. Rozwi

a˙z problem pocz

atkowy Cauchy’ego

sin t = x ln x,

x(π/2) = 1.

2. Znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a w postaci szeregu pot

egowego, unormowanego w

punkcie t

= 0, r´ownania

+ x

− t

x = 0,

x(0) =

−1, x

(0) = 1.

3. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania

− 2x

+ 2x = te

−t

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = x

(0) = 0.

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu r´owna´

= 2x

− y,

= x + 2e

9.3. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia niestacjonarne

5. Stosuj

ac transformat

e Laplace’a oblicz y-kow

a sk ladow

a ca lki szczeg´olnej uk ladu

r´owna´

+ y

− 2x

= 1

+ y

− 3x − 3y = 2

z warunkiem pocz

atkowym x(0) = 0, y(0) = 0.

6. Dla jakich warto´sci parametr´ow a i b, zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ 2x

000

+ 4x

+ ax

+ bx = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

27 wrzesie´

n 2004

1. Rozwi

a˙z problem pocz

atkowy Cauchy’ego

= x ln x,

x(0) = e.

2. Znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a w postaci szeregu pot

egowego, unormowanego w

punkcie t

= 0, r´ownania

+ (t + 1)x = 0,

x(0) = 1,

(0) = 1.

3. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania

− 6x

+ 9x = t

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 0, x

(0) = 1.

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu r´owna´

x + 2y,

−

1
2

x + y.

5. Dla jakich warto´sci parametr´ow a i b, zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ 2x

000

+ 4x

+ ax

+ bx = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

6. Stosuj

ac transformat

e Laplace’a rozwi

a˙z problem pocz

atkowy Cauchy’ego

+ x = sin t,

x(0) = 1,

(0) =

−1.

11 czerwiec 2005
1. Rozwi

a˙z r´ownanie

+ x

= 1.

Rozdzia l 9. Dodatek

2. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania

−

− t

= t + 1

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 0.

3. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

(2t

− t

+ (t

− 2)x

+ 2(1

− t)x = 0,

je´sli dana jest ca lka szczeg´olna tego r´ownania x

(t) = e

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu

−1

x +

5. Metod

a szereg´ow pot

egowych wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania r´o˙zniczkowego

+ tx

− x = 0

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 1, x

(0) = 0. Wyznacz cztery pierw-

sze niezerowe wyrazy szeregu.

6. Zbadaj dla jakich parametr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ 2x

+ bx = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

21 wrzesie´

n 2005

1. Rozwi

a˙z jednorodne r´ownanie r´o˙zniczkowe

= x(2t

− x

2. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe zupe lne

dt + (x

+ ln t) dx = 0.

3. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

− 5x

= 3t

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu

4 1

−2 1

x +

−e

9.3. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia niestacjonarne

5. Metod

a szereg´ow pot

egowych wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania r´o˙zniczkowego

− (t + 1)x = 0

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 1, x

(0) = 1. Wyznacz cztery pierw-

sze niezerowe wyrazy szeregu.

6. Zbadaj dla jakiego parametru a zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ 2x

000

+ 3x

+ 2x

+ ax = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

24 wrzesie´

n 2005

1. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych

t(1 + x

)dt + x(1 + t

)dx = 0.

2. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania Bernoulliego

− 2tx = 2t

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 1.

3. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

− 5x

= e

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu

−2

5. Metod

a szereg´ow pot

egowych wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania r´o˙zniczkowego

+ tx = 0

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 1, x

(0) = 2. Wyznacz cztery pierw-

sze niezerowe wyrazy szeregu.

6. Zbadaj dla jakiego parametru a zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ 2x

000

+ 3x

+ ax

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

16 czerwiec 2006
1. Wyznacz rozwi

azanie zagadnienia pocz

atkowego:

+ x = t + 1,

x(1) = 0.

Rozdzia l 9. Dodatek

2. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe niejednorodne:

− 4x

+ 4x = t

3. Rozwi

a˙z r´ownanie:

(cos t sin t

− tx

)dt + x(1

− t

)dx = 0.

4. Rozwi

a˙z problem pocz

atkowy:

−6 2
−3 1

x(0) =

1
0

5. Dla jakich warto´sci paramatr´ow a i b rozwi

azanie zerowe r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbi´or na p laszczy´znie
Oab.

27 czerwiec 2006
1. Wyznacz rozwi

azanie zagadnienia pocz

atkowego:

(1 + e

)xx

= e

x(0) = 2.

2. Rozwi

a˙z problem pocz

atkowy:

− x)dt + (5x − t)dx = 0, x(0) = 0.

3. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe niejednorodne:

− 2x

+ x =

+ 2t + 2

4. Znajd´z ca lk

e og´oln

a uk ladu niejednorodnego:

− y = cos t

= 1

− x

5. Znajd´z rozwi

azanie szczeg´olne problemu

− tx = 0, x(0) = 0, x

(0) = 1

w postaci szeregu pot

egowego unormowanego w punkcie t

= 0.

22 wrzesie´

n 2006

9.3. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia niestacjonarne

1. Znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu

= 2x

− 4y

= x

− 3y

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 1, y(0) = 0.

2. Wyznacz rozwi

azanie zagadnienia pocz

atkowego

(1 + e

)xx

= 1,

x(0) = 1.

3. Znajd´z rozwi

azanie szczeg´olne r´ownania

+ 2x

+ x = 1.

spe lniaj

ace warunki pocz

atkowe x(0) = 0, x

(0) = 0.

4. Znajd´z rozwi

azanie szczeg´olne problemu

− x = 0, x(0) = 1, x

(0) = 0

w postaci szeregu pot

egowego unormowanego w punkcie t

= 0.

5. Zbadaj stabilno´s´c rozwi

azania zerowego r´ownania

(4)

+ 3x

000

+ 26x

+ 74x

+ 85x = 0.

28 stycze´

n 2007

1. Rozwi

a˙z r´ownanie

−

1
2

x +

= 0.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe zupe lne

(3x

+ 2tx + 2)dt + (6tx + t

+ 3)dx = 0

i znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a tego r´ownania spe lniaj

a warunek pocz

atkowy

x(0) = 1.

3. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

+ 2x

+ 7x = 5 + cos t.

4. Wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a uk ladu

−1

−4

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) =

1
1

Rozdzia l 9. Dodatek

5. Metod

a szereg´ow pot

egowych wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania r´o˙zniczkowego

+ tx + 1 = 0

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 1, x

(0) = 1. Wyznacz cztery pierw-

sze niezerowe wyrazy szeregu.

6. Zbadaj dla jakiego parametru a zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ 2x

000

+ 3x

+ 2x

+ ax = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

3 luty 2007
1. Rozwi

a˙z r´ownanie

+ x

= tx.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe zupe lne

−

+ x)dt + (1

−

+ t)dx = 0

i znajd´z ca lk

e szczeg´oln

a tego r´ownania spe lniaj

a warunek pocz

atkowy

x(1) = 1.

3. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

+ 6x

+ 9x =

−te

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu

2 1

−1 0

5. Metod

a szereg´ow pot

egowych wyznacz ca lk

e szczeg´oln

a r´ownania r´o˙zniczkowego

+ tx + t = 0

spe lniaj

a warunek pocz

atkowy x(0) = 2, x

(0) = 1. Wyznacz cztery pierw-

sze niezerowe wyrazy szeregu.

6. Zbadaj dla jakiego parametru a zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

000

+ x

+ 2x

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne.

18 luty 2007

9.3. Przyk ladowe tematy zada´

n egzaminacyjnych – studia niestacjonarne

1. Znajd´z rozwi

azanie r´ownania

= x

− 4,

x(0) = 1.

2. Rozwi

a˙z r´ownanie r´o˙zniczkowe Bernoulliego

− x = e

3. Wyznacz ca lk

e og´oln

a r´ownania

+ 6x

+ 9x =

−t.

4. Wyznacz ca lk

e og´oln

a uk ladu

4 1
6 5

5. Zbadaj dla jakich parametr´ow a i b zerowe rozwi

azanie r´ownania

+ ax

000

+ 4x

+ bx

+ x = 0

jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Naszkicuj znaleziony zbi´or w uk ladzie
wsp´o lrz

ednych Oab.

Bibliografia

[1] F.Bierski, Funkcje zespolone, Szeregi i przekszta lcenia Fouriera, Przekszta lcenia

ca lkowe Laplace’a, Przekszta lcenia Laurenta (Z), wyd. pi

ate poprawione, Uczel-

niane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Krak´ow 1999.

[2] B.P.Conrad, Differential Equations, A Systems Approach, Pearson Education,

Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 2003.

[3] B.P.Demidowicz, Matematyczna teoria stabilno´sci, Wyd. Naukowo-Techniczne,

Warszawa 1972.

[4] L.Dru˙zkowski, Analiza Matematyczna dla fizykow, Cz

e´s´c II, Wybrane zagadnie-

nia, Wyd. UJ, Krak´ow 1997.

[5] A.F.Filippow, Zbi´or zada´

n z r´owna´

n r´o˙zniczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1973.

[6] I.M. Gelfand, Wyk lady z algebry liniowej, wyd. 3, PWN, Warszawa 1977.
[7] R.Gutowski, Rownania r´o˙zniczkowe zwyczajne, Wyd. Naukowo-Techniczne, War-

szawa 1971.

[8] M.I.Kontorowicz, Rachunek operatorowy i procesy w uk ladach elektrycznych,

Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1968.

[9] N.M.Matwiejew, Metody ca lkowania r´owna´

n r´o˙zniczkowych zwyczajnych, PWN,

Warszawa 1972.

[10] J.Niedoba, W.Niedoba, R´ownania r´o˙zniczkowe zwyczajne i cz

astkowe, Zadania z

matematyki, Wydanie trzecie, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne
AGH, Krak´ow 2001.

[11] J.Ombach, Wyk lady z r´owna´

n r´o˙zniczkowych, Wyd. UJ, Krak´ow 1996.

[12] A.Palczewski, R´ownania r´o˙zniczkowe zwyczajne (teoria i metody numeryczne

z wykorzystaniem komputerowego systemu oblicze´

n symbolicznych), Wyd.

Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999.

[13] A.Pelczar, J.Szarski, Wst

ep do teorii r´owna´

n r´o˙zniczkowych, Cz

e´s´c I, PWN, War-

szawa 1987.

[14] A.Pelczar, Wst

ep do teorii r´owna´

n r´o˙zniczkowych, Cz

e´s´c II, PWN, Warszawa

1989.

[15] K.K.Ponomariew, Uk ladanie i rozwi

azywanie r´owna´

n r´o˙zniczkowych w zagadnie-

niach technicznych, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1969.

[16] W.Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wy˙zszych uczelni tech-

nicznych, Cz

e´s´c II, PWN, Warszawa 1983.

101

Bibliografia

[17] F.G.Tricomi,Differential Equations, Blackie&Son Limited, 1961.
[18] D.G.Zill, Differential Equations with Boundary-Value Problems, PWS-KENT Pu-

blishing Company, Boston, 1986.

102

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matematyka wykłady z równan różniczkowych
Wykład 2 równania różnicowe transformata Z
Krych M Zagadnienie dwóch ciał Fragmenty wykladu z równań różniczkowych
Skrypt Wyklad równania różniczkowe
Wyklad 5 ROWNANIA ROZNICZKOWE IN EKOL
pracownicy panek materialy Wykład 6 właściwy, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Równania różniczkowe sciąga, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka
Równania różniczkowe, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka, MATEM
Dwanaście wykładów z metod numerycznych równań różniczkowych cząstkowych
Szereg potegowy przyklady ogarnijtemat.com, SiMR inżynierskie, Semestr 2, Równania różniczkowe, Wykł
Niejednorodne liniowe rownania rozniczkowe
04 Rozdział 03 Efektywne rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych
Bołt W Równania Różniczkowe
raport3 Równania różniczkowe zwyczajne
Metody Komputerowe i Numeryczne, Równania różniczkowe zwyczajne

więcej podobnych podstron