Dwanaście wykładów z metod numerycznych równań różniczkowych cząstkowych

Krzysztof Moszy´

nski

DWANA´

SCIE WYK LAD ´

Z METOD

NUMERYCZNYCH

R ´

OWNA ´

R ´

O ˙

ZNICZKOWYCH

ASTKOWYCH

Skrypt do przedmiotu

1000 - 135NRC

UNIWERSYTET WARSZAWSKI

WYDZIA L MIM 2003/2004

Dzi

ekuje wszystkim moim studentom, kt´

orzy znale´

zli

liczne b l

edy w tym skrypcie i mi o nich donie´

sli.

Specjalne podzi

ekowanie sk ladam

Pani Katarzynie Piaskowskiej

za zrobienie pe lnej korekty tego tekstu.

Krzysztof Moszy´

nski

Wyk lad 1

Wst

Klasyfikacja zagadnie´

Przyjmijmy, dla naszych cel´

ow, tak

a klasyfikacj

e zagadnie´

n rozpatry-

wanych dla r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych cz

astkowych:

• I. Zagadnienia stacjonarne

• II. Zagadnienia ewolucyjne

I. Typowy przyk lad zagadnienia stacjonarnego:

(1)

−∆u(p) = f (p) dla p ∈ Ω ⊂ R

(2)

u(p) = φ(p) dla p ∈ ∂Ω,

Jest to r´

ownanie Poissona z warunkiem brzegowym Dirichleta.

Klasyfikacja operator´

ow r´

o ˙zniczkowych drugiego rz

edu

L(u) = −

i,j=1

i,j

(p)

∂

∂x

u +

j=1

(p)

∂

∂x

u + c(p)u

A(p) = (a

i,j

(p)) jest macierz

a wsp´

o lczynnik´

ow: A(p)

= A(p).

• Je´sli A(p) jest dodatnio okre´slona (piszemy A(p) > 0), to operator L jest

eliptyczny w punkcie p,

• je´sli A(p) ma d − 1 dodatnich warto´sci w lasnych i jedn

a ujemn

a, to operator

L jest hiperboliczny w punkcie p,

• je´sli A(p) jest okre´slona nieujemnie, ale nie jest okre´slona dodatnio, za´s

macierz [A(p)|b(p)] jest rz

edu d, to operator L jest paraboliczny w punkcie

∆ =

d
j=1

∂

∂x

2
j

- to Laplasjan; −∆ jest operatorem eliptycznym.

II. Przyk lady zagadnie´

n ewolucyjnych.

• R´

ownanie hiperboliczne pierwszego rz

edu

(1)

∂

∂t

u + c

∂

∂x

u = 0

c - sta la, t - ”czas”, x - ”przestrze´

n”. Zmienne niezale˙zne t i x s

traktowane odmiennie !

Stawiane zagadnienia:

(1)

∂

∂t

u + c

∂

∂x

u = 0,

(2)

u(0, x) = φ(x), x ∈ R.

zagadnienie pocz

atkowe (Cauchy’ego)

(1)

∂

∂t

u + c

∂

∂x

u = 0,

(2)

u(0, x) = φ(x), x ∈ R

(3)

u(t, 0) = ψ(t), t ∈ R

dla c > 0. Jest to zagadnienie mieszane pocz

atkowo - brzegowe.

Latwo zauwa˙zy´

c, ˙ze u(t, x) = φ(x−ct) jest rozwi

azaniem zagadnienia Cauchy-

ego, je´

sli φ jest klasy C

. Takie rozwi

azanie mo˙zna interpretowa´

c jako ”prze-

suwanie”warunku pocz

atkowego w czasie - konwekcja.

• R´

ownanie hiperboliczne drugiego rz

edu

(1)

∂

∂t

u − a

∂

∂x

u = 0

dla a > 0.

1. Zagadnienie Cauchy’ego:

(1)

∂

∂t

u − a

∂

∂x

u = 0,

(2)

u(0, x) = φ

(x), u

(0, x) = φ

(x).

dla x ∈ R.

2. Zagadnienie mieszane:

(1)

∂

∂t

u − a

∂

∂x

u = 0

(2)

u(0, x) = φ

(x), u

(0, x) = φ

(x),

dla x ∈ [0, L] -warunki pocz

atkowe,

(3)

u(t, 0) = ψ

(t), u(t, L) = ψ

(t)

dla t ∈ [0, T ] - warunki brzegowe.

Charakter rozwi

azania. B

edziemy poszukiwa´

c rozwi

azania postaci

u(t, x) = e

i(αx+γt)

Po podstawieniu do r´

ownania znajdziemy:

u(t, x) = e

i[α(x+

√

at)]

podobnie jak w przypadku r´

ownania rz

edu 1, jest tak˙ze przesuwanie, ale

bardziej z lo˙zone. W obu przypadkach s

a to ”zjawiska falowe”.

• R´

ownanie paraboliczne

(1)

∂

∂t

u = a

∂

∂x

u, a > 0.

Zagadnienia stawiane:

1. Zagadnienie Cauchy’ego

(1)

∂

∂t

u = a

∂

∂x

u, a > 0,

(2)

u(0, x) = φ(x), x ∈ R.

2. Zagadnienie mieszane

(1)

∂

∂t

u = a

∂

∂x

u, a > 0,

(2)

u(0, x) = φ(x), x ∈ [0, L]

(3)

u(t, 0) = ψ

(t), u(t, L) = ψ

(t), t ∈ [0, T ]

Charakter rozwi

azania. Podobnie jak poprzednio, poszukujemy rozwi

aza-

nia postaci

u(t, x) = e

i(αx+γt)

Po wstawieniu do r´

ownania otrzymamy:

u(t, x) = e

iαx−aα

= e

iαx

−aα

, a > 0.

Charakter rozwi

azania jest zupe lnie inny ni˙z w przypadku zagadnie´

n z r´

owna-

niami typu hiperbolicznego. Nie ma tu zjawiska unoszenia, natomiast wyst

puje czynnik e

−aα

, kt´

ory ”przygniata” rozwi

azanie w miar

e up lywu czasu.

Rozwa˙zane r´

ownanie opisuje proces rozchodzenia si

e ciep la.

Wyk lad 2.

Zagadnienia stacjonarne - metody r´

o ˙znicowe.

Rozpatrujemy r´

ownanie r´

o˙zniczkowe liniowe

(1)

Lu(p) = f (p) dla p ∈ Ω ⊂ R

oraz warunki brzegowe

(2)

u(p) = φ

(p) dla p ∈ Γ

dla k = 1, 2, · · · , l, gdzie ∂Ω = ∪

jest brzegiem obszaru Ω. Operator L, to

operator r´

o˙zniczkowy r´

ownania r´

o˙zniczkowego, operatory l

, k = 1, 2, · · · , l

to operatory warunk´

ow brzegowych. Najprostszy przyk lad takiego opera-

tora l

- to warunek Dirichleta. Operator ten przyporz

adkowuje funkcji u

(argument operatora L) jej ´

slad na cz

e´s´

c brzegu Γ

, na kt´

orym dzia la. Dla

funkcji dostatecznie regularnych okre´slonych na obszarze Ω istnieje operator

sladu na brzeg (lub cz

e´s´

c brzegu obszaru). Operator ten przyporz

adkowuje

funkcji u z dziedzin

a Ω pewn

a funkcj

e okre´slon

a na wspomnianej cz

e´sci

brzegu (mo˙zna sobie wyobra˙za´

c, ˙ze jest to ”obci

ecie” u do Γ

.) Szczeg´

o lowo

m´

owi o tym tak zwane Twierdzenie o ´

Sladzie. Innym rodzajem operatora

jest warunek Neumanna. Taki operator przyporz

adkowuje funkcji u

jej pochodn

a normaln

a zewn

etrzn

a do omawianej cz

e´sci brzegu obszaru Ω.

Jest to jeden z przypadk´

ow wspomnianego wy˙zej Twierdzenia o ´

Sladzie;

potrzeba tu oczywi´scie wy˙zszej regularno´sci funkcji u. Na przyk lad:

u(p) = φ(p), p ∈ ∂Ω warunek Dirichleta,

(p) = ψ(p), p ∈ ∂Ω warunek Neumanna.

Z zagadnieniem (1)(2) zwi

azane s

a r´

o˙zne przestrzenie funkcyjne:

• u ∈ U,

• φ

∈ Φ

, k = 1, 2, · · · , l,

• f ∈ F .

Zak ladamy, ˙ze te przestrzenie s

a wyposa˙zone w normy:

k · k

, k · k

, k = 1, 2, · · · , l.

Mamy

L : U → F, l

: U → Φ

Dla zagadnienia (1)(2) rozpatrujemy jego aproksymacj

e r´

o˙znicow

(3)

= f

(4)

k,h

= φ

k,h

, k = 1, 2, · · · , l.

Tutaj

∈ U

, f

∈ F

, φ

k,h

∈ Φ

k,h

, gdzie U

, F

, Φ

k,h

to przestrzenie funkcji siatkowych. S

a to przestrzenie unormowane,

z normami odpowiednio

k · k

, k · k

k,h

, k = 1, 2, · · · , l.

Podobnie jak dla zagadnienia (1)(2),

: U

→ F

, l

k,h

: U

→ Φ

Przestrzenie funkcji siatkowych s

a zdefiniowane na obszarach siatko-

wych Ω

, Γ

k,h

. Obszary takie powstaj

a poprzez na lo ˙zenie

siatki pros-

tok

atnej, o osiach r´

ownoleg lych do osi uk ladu wsp´

o lrz

ednych na obszar Ω.

ez ly siatki klasyfikujemy jako wewn

etrzne i brzegowe. Punkty brze-

gowe le˙z

a na brzegu Ω, lub w bezpo´srednim jego s

asiedztwie. Je´sli brzeg

siatkowy nie zawiera si

e w ”prawdziwym”brzegu, warunki brzegowe trzeba

przenie´s¸

na brzeg siatkowy. Do tego s lu˙z

a specjalne procedury, o kt´

orych

edzie mowa w dalszej cz

e´sci wyk ladu. Dla obszar´

ow ograniczonych, przestrze-

nie funkcji siatkowych s

a z regu ly sko´

nczonego wymiaru.

Siatk

e charak-

teryzuje liczba h zwana krokiem siatki. Jest to maksymalna d lugo´sk

¸raw

edzi

kostek elementarnych z kt´

orych zbudowana jest siatka. Poniewa˙z jeste´smy

zainteresowani tym, co dzieje si

e, gdy h → 0, nasze rozwa˙zania dotycz

a z

regu ly rodzin siatek zale˙znych od parametru h, gdzie h jest elementem
pewnego zbioru liczb rzeczywistych dodatnich ω, maj

acego jedyny punkt

skupienia w zerze.

Przyk lady norm w przestrzeniach siatkowych. (Dla przestrzeni U

• Norma ”max”. Niech u

= {u(p)|p ∈ Ω

h,∞

= max

p∈Ω

(p)|.

• Norma L

2
h

. Niech u

= {u(p)|p ∈ Ω

h,2

= (h

p∈Ω

(p)|

)

1
2

Ten przyk lad dotyczy obszaru siatkowego w R

, o sta lych krokach h

i h

w kierunku osi x i osi y uk ladu wsp´

o lrz

ednych.

Przestrzenie U i U

, F i F

, Φ

i Φ

k,h

i zagadnienia (1)(2) i (3)(4) nie

a oczywi´scie zupe lnie niezale˙zne od siebie. Om´

owimy teraz zwi

azki kt´

ore

edzy poszczeg´

olnymi parami powinny zachodzi.¸

Przestrzenie funkcji siatkowych stanowi

a aproksymacj

e odpowiadaj

acych

im przestrzeni funkcyjnch U , F i Φ

. Zwi

azek mi

edzy takimi parami przestrzeni

ustalaj

a operatory obci

ecia. Tak wi

ec mamy:

: U → U

: F → F

: Φ

→ Φ

k,h

Niekiedy wygodnie jest wprowadzic r´

ownie˙z operatory przed lu ˙zenia, na

przyk lad

U
h

: U

→ U.

Z regu ly, jako p

U
h

przyjmuje si

e pewne izomorfizmy liniowe przestrzeni U

w przestrze´

n U . Operator p

U
h

spe lnia do pewnego stopnia rol

e odwrotno´sci

operatora obci

ecia.

Niech

= p

U
h

: U → U.

Ten operator okre´sla jako´s´

c aproksymacji przestrzeni U przez rodzin

e tr´

ojek

(5)

, r

, p

U
h

}

h∈ω

Definicja.

Zbie ˙zno´

s´

c aproksymacji.

M´

owimy, ˙ze aproksymacja (5)

przestrzeni U jest zbie ˙zna, je´sli

→ I,

gdy h → 0, silnie

W teorii metod r´

o˙znicowych, na og´

o l nie u˙zywa si

e operator´

ow przed lu˙ze-

nia, gdy˙z wystarczaj

a do jej opisania operatory obci

ecia. Zak lada si

e nato-

miast, ˙ze normy w przestrzeniach funkcji siatkowych s

a zgodne z ich

odpowiednikami w przestrzeniach, kt´

ore one aproksymuj

Definicja. Zgodno´

s´

c norm.

Niech b

edzie dana przestrze´

n unormowana

(U, k · k) i rodzina {U

, k · k

, r

}

h∈ω

. Normy k · k

a zgodne z norm

a k · k

je´sli

∀

u∈U

→ kuk

gdy h → 0.

Zapis ”operatorowy” r´

ownania r´

o ˙znicowego.

Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zde

r´

ownanie okre´slone na obszarze siatkowym Ω

mo˙zna zapisa´

c w nast

epuj

acy

spos´

(6)

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) = f

(p)

p ∈ Ω

∪ Γ

Tutaj:

• N

(p) jest otoczeniem siatkowym punktu p. Takie otoczenie sk lada

e z tych punkt´

ow siatki Ω

, kt´

ore chcemy uwzgl

edni ¸

w r´

ownaniu dla

tego punktu.

• A(p, q) jest pewn

a funkcj

a okre´slon

a na (Ω

∪Γ

)×(Ω

∪Γ

) (je´sli nasze

r´

ownanie jest nieliniowe, to mo˙ze ona tak˙ze zale˙ze´

c od u

). Funkcja

ta okre´sla wsp´

o lczynniki r´

ownania.

Rodzina operator´

ow P

zbiega silnie do operatora P w przestrzeni Banacha X, gdy

h → 0, je´

sli k(P

− P )xk → 0 ∀

x∈X

Ten warunek zgodno´

sci norm zast

epuje warunek zbie˙zno´

sci aproksymacji wyra˙zony

przy u˙zyciu operator´

ow π

Nasze r´

ownanie (6) mo˙ze odpowiada´

c zar´

owno aproksymacji r´

ownania r´

o˙zni-

czkowego, jak i aproksymacji warunk´

ow brzegowych. Wszystko zale˙zy od

definicji N

(p)!

Przyk lad. Dla r´

ownania −∆u(p) = f (p),

dla p ∈ Ω

, u(0) = u(1) = 0

gdzie Ω = [0, 1] tworzymy aproksymacj

e r´

o˙znicow

a na siatce

Ω

= {0, h, 2h, · · · , N h}

gdzie h =

, Γ

= {0, 1}:

−

k−1

− 2u

+ u

k+1

]

= f

, dla k = 1, 2 · · · , N − 1

= u

= 0.

Tutaj N

(p) = {(k − 1)h, kh, (k + 1)h} dla p

= h, 2h · · · , (N − 1)h, za´s

(0) = {0} i N

(N h) = {N h}.

Dla Ω

A(p, q) =











−1

dla q ∈ N

(p) = N

(p) \ {p}

dla q = p

0 dla q´

not ∈ N

(p)

Dla Γ

A(p, q) =

1 dla q = p

0 dla q´

not = p

(p) = f (p) dla p ∈ Ω

(p) = 0 dla p ∈ Γ

Teoria Laxa zbie ˙zno´

sci schemat´

r´

o ˙znicowych

Powr´

o´

cmy do abstrakcyjnego sformu lowania naszego problemu. Dane jest

zagadnienie brzegowe

(1)

Lu = f, u ∈ U, f ∈ F,

(2)

lu = φ, u ∈ U, φ ∈ Φ,

gdzie L : U → F ; l : U → Φ i U , F , Φ s

a pewnymi przestrzeniami

unormowanymi.

Zak ladamy, ˙ze zagadnienie brzegowe (1)(2) jest dobrze

postawione, to znaczy, ˙ze istnieje jednoznaczne rozwi

azanie, kt´

ore zale˙zy w

spos´

ob ci

ag ly od danych zadania. R´

ownaniom (1)(2) przyporz

adkujemy

odpowiedni zestaw r´

owna´

n r´

o˙znicowych (schemat r´

o˙znicowy)

(3)

= f

, u

∈ U

, f

∈ F

(4)

= φ

, , φ

∈ Φ

gdzie U

a unormowanymi przestrzeniami funkcji siatkowych,

okre´slonych na rodzinie obszar´

ow siatkowych Ω

, takich ˙ze h → 0.

Definicja. Zbie ˙zno´

s´

c. Schemat r´

o˙znicowy (3)(4) jest zbie˙zny, je´sli

u − u

→ 0, gdy h → 0,

gdzie u ∈ U jest rozwi

azaniem zagadnienia (1)(2), za´s u

∈ U

, rozwi

azaniem

zagadnienia (3)(4).

Definicja. Aproksymacja lokalna. Schemat (3)(4) aproksymuje zagad-
nienie (1)(2) na rozwi

azaniu u w punkcie p ∈ Ω

z rz

edem q, je´sli

u(p) − f

(p) = O(h

u(p) − φ

(p) = O(h

Definicja. Aproksymacja globalna. Schemat (3)(4) aproksymuje zagad-
nienie (1)(2) na rozwi

azaniu u globalnie z rz

edem q, je´sli

u − f

= O(h

u − φ

= O(h

Dla wyra˙zenia w, r´

owno´

s´

c w = O(h

) oznacza, ˙ze zachodzi oszacowanie kwk ≤ Kh

gdy h → 0, gdzie sta la K nie zale˙zy od h.

Definicja. Stabilno´

s´

c. Schemat (3)(4) jest stabilny, je´sli istnieje h

> 0,

˙ze:

• dla h < h

zagadnienie (3)(4) ma jednoznaczne rozwi

azanie dla dowol-

nych f

∈ F

i φ

∈ Φ

• istnieje sta la M (nie zale˙zna od h) taka, ˙ze dla dowolnego rozwi

azania

zadania (3)(4) zachodzi oszacowanie

≤ M [kf

+ kφ

Twierdzenie Laxa. Je´

sli schemat (3)(4) aproksymuje globalnie zagadnienie

(1)(2) na jego rozwi

azaniu u z rz

edem q ≥ 1 i jest stabilny, to schemat jest

zbie˙zny i zachodzi oszacowanie

u − u

= O(h

Dow´

od. Z za lo˙zenia o aproksymacji wynika, ˙ze

u − f

= O(h

− φ

= O(h

Ponadto

− f

= 0

− φ

= 0.

Dodaj

ac stronami do pierwszego r´

ownania trzecie i do drugiego czwarte po

zmianie znaku pod norm

a, dostaniemy:

u − u

= O(h

u − u

= O(h

Poniewa˙z schemat (3)(4) jest stabilny, to zagadnienie

(5)

u − u

) = O(h

(6)

u − u

) = O(h

(patrz odsy lacz

)) ma jednoznaczne rozwi

azanie r

u − u

i istnieje sta la M

taka, ˙ze

u − u

U
h

≤ M O(h

) = O(h

Uwaga. Warunek zbie˙zno´sci schematu r´

o˙znicowego

u − u

→ 0

odbiega od podanego wcze´sniej warunku zbie˙zno´sci aproksymacji przestrzeni.
W tym ostatnim przypadku por´

ownujemy elementy w przestrzeni U , podczas

gdy tutaj dla ka ˙zdego h, szacowanie odbywa si

e w innej przestrzeni

i innej normie.

Zwr´

o´

cmy jednak uwag

e na to, ˙ze za lo˙zyli´smy r´

ownie˙z

warunek zgodno´

sci norm, kt´

ory sprowadza wszystko ”do wsp´

olnego mi-

anownika”. U˙zyta w Teorii Laxa definicja zbie˙zno´sci - to tak zwana zbie ˙zno´

s´

dyskretna. Powr´

ocimy jeszcze dalej do sprawy wzajemnej zale˙zno´sci wspom-

nianych dw´

och poj

e´

Wyk lad 3.

Stabilno´

s´

c - zbie ˙zno´

s´

Twierdzenie Lax’a m´

owi o tym, ˙ze badanie zbie˙zno´sci schematu mo˙zna

zast

api´

c dwiema prostszymi czynno´sciami:

• badaniem rz

edu schematu,

• badaniem stabilno´

sci schematu.

Badanie rz

edu schematu nie przedstawia na og´

o l wi

ekszych trudno´sci. O wiele

trudniejsze jest stwierdzenie, czy schemat jest stabilny. Zar´

owno poj

ecie

aproksymacji globalnej, jak i poj

ecie stabilno´sci jest zwi

azane z konkretn

norm

a (a w la´sciwie z konkretnymi normami w przestrzeniach F

, Φ

, U

Wobec tego tak˙ze metoda badania stabilno´sci b

edzie zale˙za la od konkretnej

normy.

Stabilno´

s´

c w normie ”max”.

Za lo˙zymy, ˙ze obszar Ω jest ograniczony. Wynika st

ad, ˙ze obszar siatkowy Ω

jest zbiorem sko´

nczonym. We´

zmy pod uwag

e schemat r´

o˙znicowy liniowy

)(p) = f

(p), p ∈ Ω

(1)

)(p) = φ

(p), p ∈ Γ

Schemat ten zapiszemy wykorzystuj

ac poj

ecie otoczenia siatkowego:

(2)

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) = g

(p), p ∈ Ω

∪ Γ

gdzie

(p) =

(p), p ∈ Ω

(p), p ∈ Γ

za´s otoczenia siatkowe dobrane s

a na Ω

i Γ

zgodnie z zale˙zno´sciami (1) .

Twierdzenie 1.(Pewien warunek dostateczny stabilno´sci.)Je´

sli istnieje licz-

ba α > 0 niezale˙zna od h taka, ˙ze

[|A(p, p)| −

q∈N

(p)

|A(p, q)|] ≥ α, ∀

∈ Ω

∪ Γ

gdzie N

(p) = N

(p) \ {p}, to schemat (2) jest stabilny w normie max.

Dow´

od. Za lo˙zymy najpierw, ˙ze istnieje rozwi

azanie u

r´

ownania (2). Udowod-

nimy, ˙ze istnieje sta la M > 0 taka, ˙ze dla normy ”max”

U
h

≤ M [kf

F
h

+ kφ

Φ
h

gdzie

U
h

= max

p∈Ω

(p)|,

F
h

= max

p∈Ω

(p)|,

kφ

Φ
h

= max

p∈Γ

|φ

(p)|.

Poniewa˙z Ω

jest zbiorem sko´

nczonym, to istnieje taki punkt p

∈ Ω

, ˙ze

U
h

= max

p∈Ω

(p)| = |u

)|.

Mamy

≥ |g

)| =

= |

q∈N

)

A(p

, q)u

(q)| = |A(p

, p

) +

q∈N

)

A(p

, q)u

(q)| ≥

≥ [|A(p

, p

)||u

)| −

q∈N

)

|A(p

, q)||u

(q)|] ≥

≥ [|A(p

, p

)||u

)| −

q∈N

)

|A(p

, q)||u

)|] =

= [|A(p

, p

)| −

q∈N

)

|A(p

, q)|]ku

U
h

≥ αku

U
h

Zatem

≥ |g

)| ≥ αku

U
h

, α > 0

i st

(3)

αku

U
h

≤ max

p∈Ω

(p)| + max

p∈Γ

|φ

(p)| = kf

F
h

+ kφ

Φ
h

Poniewa˙z oszacowanie (3) zachodzi dla dowolnego rozwi

azania r´

ownania (2),

ec zachodzi tak˙ze dla r´

ownania jednorodnego, to jest, gdy g

(p) = 0, ∀p.

ad wynika, ˙ze jedynym rozwi

azaniem jednorodnego r´

ownania (2), kt´

ore jest

po prostu uk ladem r´

owna´

n liniowych algebraicznych o macierzy kwadratowej,

jest u

= 0. A wi

ec r´

ownanie (2) ma jednoznaczne rozwi

azanie. Oznacza to

stabilno´s´

c w normie

max

Przyk lad 1. Zbudujemy aproksymacj

e r´

o˙znicow

a r´

ownania

−∆u(p) + cu(p) = f (p), p ∈ Ω,

u(p) = 0, p ∈ ∂Ω.

Tutaj c > 0 jest sta l

a, Ω - to wn

etrze kwadratu [0, L] × [0, L], L > 0. Na

Ω tworzymy siatk

e o sta lym kroku h =

, zaliczaj

ac do brzegu siatkowego

te punkty siatki, kt´

ore le˙z

a na brzegu ∂Ω. Powstanie w ten spos´

ob obszar

siatkowy Ω

o brzegu siatkowym Γ

. Niech p

i,j

= (hi, hj) i u

i,j

≈ u(p

i,j

Nasz schemat dla punktu p

i,j

−

i,j−1

− 2u

i,j

+ u

i,j+1

−

i−1,j

− 2u

i,j

+ u

i+1,j

+ cu

i,j

= f

i,j

dla p

i,j

∈ Ω

, za´s u

i,j

= 0 dla p

i,j

∈ Γ

. Dla punkt´

ow p ∈ Ω

(p) =

∗

za´s dla punkt´

ow p ∈ Γ

(p) = {p}.

W r´

ownaniu

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) = g

(p)

gdy p ∈ Ω

A(p, q) =











c +

dla

q = p

−

dla

q ∈ N

(p)

q 6= p

dla innych

oraz g

(p) = f

(p). Gdy p ∈ Γ

A(p, p) = 1

oraz g

(p) = 0.

Zbadamy teraz warunek stabilno´

sci. Dla p ∈ Ω

|A(p, p)| −

q∈N

(p)

|A(p, q)| = c +

− 4

= c > 0,

dla p ∈ Γ

|A(p, p)| = 1 > 0,

zatem α = min{c, 1} > 0.

Oznacza to, ˙ze warunek dostateczny stabilno´sci b

edzie spe lniony, je´sli c >

0. Twierdzenie 1 nie chwyta zatem wa˙znego przypadku naszego zagadnienia,
gdy c = 0.

Przyk lad 2.

Na takim samym obszarze Ω jak w Przyk ladzie 1, dane jest r´

ownanie

r´

o˙zniczkowe

−∆u(p) + cu(p) = f (p), c > 0, p ∈ Ω,

oraz warunek brzegowy ”mieszany”

du(p)

+ βu(p) = φ(p), p ∈ ∂Ω.

Obszar siatkowy Ω

, oraz jego brzeg Γ

a takie same jak poprzednio.

Tworzymy te˙z t

e sam

a aproksymacj

e r´

ownania r´

o˙zniczkowego. Pozostaje

ec do skonstruowania aproksymacja warunku brzegowego. Dla aproksy-

macji pochodnej normalnej zewn

etrznej zastosujemy najpierw pierwsze r´

o˙znice

dzielone w prz´

od lub w ty l, zale˙znie od tego na kt´

orej ´scianie kwadratu le˙zy

punkt p.

∗

· · ·

∗

· · ·

∗

· · ·

Na przyk lad na lewej kraw

edzi kwadratu, warunek brzegowy zaaproksymu-

jemy przez

u(p) − u(q)

+ βu(p) = φ(p).

Mamy wi

ec dla p ∈ Γ

A(p, q) =

+ β

q = p

−δ

q 6= p

przy tym

(p) = {p, q}

Tak samo, jak poprzednio:

A(p, q) =

c +

p = q

−

p 6= q

i dla p ∈ Ω

(p) =

∗

Wida´

c st

ad, ˙ze schemat b

edzie stabilny, gdy znaki β i δ s

a jednakowe. Nasze

twierdzenie nie odpowiada na pytanie o stabilno´s´

c, gdy β = 0.

Powy˙zsza aproksymacja warunku brzegowego ma jednak wad

e: wewn

atrz

obszaru schemat jest aproksymowany z rz

edem 2, za´s na brzegu tylko z

edem 1.

Globalna aproksymacja ma zatem jedynie rz

ad 1.

Zgodnie z

Twierdzeniem Laxa, ta aproksymacja warunku brzegowego mo˙ze spowodowa´

zmniejszenie szybko´sci zbie˙zno´sci ca lego schematu.

Zadanie 1. Zaproponuj inn

a konstrukcj

e warunku brzegowego, tak

a aby

ca ly schemat by l rz

edu 2. Mo˙zna przy tem za lo˙zy´

c, ˙ze r´

ownanie r´

o˙zniczkowe

jest spe lnione tak˙ze na brzegu obszaru. Zbadaj stabilno´s´

Kryterium stabilno´sci w normie

max

wyra˙zone w Twierdzeniu 1 jest

do´s´

c s labe. Widzieli´smy to na przyk ladzie r´

ownania −∆u = f . Dla schemat´

liniowych postaci (2) zbudujemy teraz mocniejsze kryterium.

Wygodnie b

edzie oznaczy´

Ω

= Ω

∪ Γ

Za lo˙zymy, ˙ze ¯

Ω

jest zbiorem sko´

nczonym oraz, ˙ze jest sum

a mnogo´sciow

dw´

och roz l

acznych zbior´

ow Ω

1
h

i Ω

2
h

Ω

= Ω

1
h

∪ Ω

2
h

, Ω

1
h

∩ Ω

2
h

= ∅,

przy czym spe lnione s

a nast

epuj

ace warunki

∀

p∈ ¯

Ω

A(p, p) > 0,

∀

p∈ ¯

Ω

∀

q∈N

(p)

A(p, q) ≤ 0,

∀

p∈ ¯

Ω

q∈N

(p)

A(p, q) ≥ 0.

∀

p∈Ω

1
h

q∈N

(p)

A(p, q) ≥ 0

za´

∀

q∈

(p)

A(p, q) < 0,

∀

p∈Ω

2
h

q∈N

(p)

A(p, q) > 0

za´

∀

q∈

(p)

A(p, q) ≤ 0.

3. Obszar siatkowy ¯

Ω

ma nast

epuj

a w lasno´

s´

c: dla ka ˙zdego

punktu p ∈ Ω

1
h

istnieje punkt s ∈ Ω

2
h

oraz punkty p

∈ Ω

1
h

dla j =

1, 2, · · · , r takie, ˙ze p

∈ N

(p), p

∈ N

), · · · , p

∈ N

r−1

), s ∈

)

Schemat postaci (2),

(2)

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) = g

(p) ∀

p∈ ¯

Ω

kt´

ory posiada w lasno´sci (1)(2)(3) nazywa si

e schematem typu dodat-

niego.

Twierdzenie 2. Niech schemat (2) b

edzie typu dodatniego. Wtedy:

• Je´sli

∀

p∈ ¯

Ω

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) ≥ 0,

to ∀

p∈ ¯

Ω

(p) ≥ 0,

• Je´sli

∀

p∈ ¯

Ω

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) ≤ 0,

to ∀

p∈ ¯

Ω

(p) ≤ 0.

Dow´

od. Przypu´s´

cmy, ˙ze

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) ≥ 0 i, ˙ze istnieje taki punkt

p, ˙ze u(˜

p) < 0. Poniewa˙z ¯

Ω

jest zbiorem sko´

nczonym, to mo˙zna znale´

z´

c taki

punkt p

∈ ¯

Ω

, ˙ze

) = min

p∈N

(p)

(p) < 0.

Mo˙zliwe s

a dwa przypadki:

1. p

∈ Ω

2
h

. Wtedy

q∈N

)

A(p

, q) > 0 i dla q ∈ N

) A(p

, q) ≤ 0, i

wtedy latwo sprawdzi´

c, ˙ze

q∈N

(p)

A(p

, q)u

(q) =

= [

q∈N

)

A(p

, q)]u

) +

q∈N

)

A(p

, q)[u

(q) − u

)] < 0,

ad sprzeczno´s´

c z za lo˙zonym warunkiem

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) ≥ 0.

2. p

∈ Ω

1
h

. Wtedy

q∈N

)

A(p

, q) ≥ 0 i dla q ∈ N

) A(p

, q) < 0, i

wtedy latwo sprawdzi´

c, ˙ze

q∈N

(p)

A(p

, q)u

(q) =

= [

q∈N

)

A(p

, q)]u

) +

q∈N

)

A(p

, q)[u

(q) − u

)] ≤ 0,

co jeszcze nie jest sprzeczne z za lo˙zonym warunkiem

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) ≥ 0.

Poka˙zemy jednak, ˙ze w N

) istnieje taki punkt q

, ˙ze u

) >

). Wtedy b

edzie

q∈N

(p)

A(p

, q)u

(q) =

= [

q∈N

)

A(p

, q)]u

) +

q∈N

)

A(p

, q)[u

(q) − u

)] < 0.

Poka˙zemy teraz, ˙ze istotnie, taki punkt q

∈ N

) istnieje. Zauwa˙zmy

najpierw, ˙ze zgodnie z p.3 definicji schematu typu dodatniego, dla
punkt´

ow p

i s istnieje ci

ag {p

}

j=1,2,···,r

⊂ Ω

1
h

o w lasno´sciach tam

opisanych. Gdyby takiego punktu q

∈ N

) nie by lo, to znaczy loby,

˙ze mo˙znaby przyj

a´

c ∀

q∈N

)

q = p

i wtedy mo˙znaby w konsekwencji

przyj

a´

c p

= p

. Rozumuj

ac w ten spos´

ob, doszliby´smy w ko´

ncu do

wniosku, ˙ze mo˙zna przyj

a´

c, ˙ze s = p

. To z kolei zosta lo wykluczone w

punkcie 1. tego dowodu, gdy˙z s ∈ Ω

2
h

. Ostatecznie widzimy, ˙ze

• albo znajdziemy w N

) punkt q dla kt´

orego u

) < u

(q),

• albo dojdziemy do wniosku, ˙ze u

) = u

(s) < 0, to za´s nie jest

mo˙zliwe, gdy˙z s ∈ Ω

2
h

. Zatem zawsze w N

) musi istnie´

c q

) > u

) = min

p∈ ¯

Ω

(p) < 0.

Wniosek 1. Je´

sli schemat (2) jest typu dodatniego i

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) = 0 ∀

p∈ ¯

Ω

∀

p∈ ¯

Ω

(p) = 0.

Dow´

od. Wynika bezpo´srednio z Twierdzenia 2.

Wniosek 2. Schemat (2) typu dodatniego ma zawsze jednoznaczne rozwi

azanie

(p), p ∈ ¯

Ω

Dow´

od.

Jest tak, poniewa˙z r´

ownanie (2) jednorodne, ma tylko zerowe

rozwi

azanie. (Patrz Wniosek 1.)

Wniosek 3. Niech schemat (2) b

edzie typu dodatniego i rozpatrzmy drugi

schemat, kt´

ory r´

o˙zni si

e od niego tylko praw

a stron

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) = g

(p), p ∈ ¯

Ω

q∈N

(p)

A(p, q)v

(q) = G

(p), p ∈ ¯

Ω

Je´

sli ∀

p∈ ¯

Ω

(p) ≤ G

(p), to,

(p) ≤ v

(p), ∀

p∈ ¯

Ω

Dow´

od. Odejmijmy od drugiego r´

ownania - pierwsze. Teraz mo˙zemy zas-

tosowa´

c Twierdzenie 2.

Wniosek 4. Przypu´

s´

cmy, ˙ze istnieje funkcja siatkowa

: ¯

Ω

→ R

taka, ˙ze:

1. ∃

,(M niezale˙zne od h), ˙ze ∀

p∈ ¯

Ω

0 ≤ Ψ

(p) ≤ M ,

q∈N

(p)

A(p, q)Ψ

(q) ≥ 1, ∀

p∈ ¯

Ω

Wtedy schemat typu dodatniego

q∈N

(p)

A(p, q)u

(q) = g

(p), ∀

p∈ ¯

Ω

jest stabilny w normie

max

Dow´

od. Niech v

(p) = Kψ

(p), gdzie K = max

p∈Ω

(p)|, oraz niech

(p) =

q∈N

(p)

A(p, q)v

(q) =

= K

q∈N

(p)

A(p, q)ψ

(q) ≥ K =

= max

p∈ ¯

Ω

(p)|, ∀p ∈ ¯

Ω

Zatem

−G

(p) ≤ g

(p) ≤ G

(p), ∀

p∈ ¯

Ω

ad na mocy Wniosku 3

−v

(p) ≤ u

(p) ≤ v

(p), ∀

p∈ ¯

Ω

lub

(p)| ≤ v

(p) = max

p∈ ¯

Ω

(p)|ψ

(p) ≤ M max

p∈ ¯

Ω

(p)|.

Ta ostatnia nier´

owno´s´

c oznacza stabilno´s´

c w normie

max

kuk

= max

p∈ ¯

Ω

(p)| ≤ M max

p∈ ¯

Ω

(p)| ≤

≤ M [max

p∈Ω

(p)| + max

p∈Γ

|φ

(p)|] =

= M [kf

+ kψ

Wyk lad 4.

Sumowanie ”przez cz

e´

sci”.

Na przedziale [a, b] dana jest siatka punkt´

= a, x

= x

+ jh, j = 0, 1, · · · , N + 1, h =

b − a

N + 1

oraz dwie funkcje siatkowe

= {u

, u

, · · · , u

N +1

= {v

, v

, · · · , v

N +1

Niech

∆u

= u

k+1

− u

r´

o˙znica ”w prz´

od”,

∇u

= u

− u

k−1

r´

o˙znica ”w ty l”.

Nietrudno zauwa˙zy´

c, ˙ze

j=1

∆u

= −

j=1

∇v

+ v

N +1

− v

Je´sli v

= 0 i u

N +1

= 0, to

j=1

∆u

= −

j=1

∇v

Ca lkowa nier´

owno´

s´

c Friedrichsa.

Niech u : [0, L] → R b

edzie funkcj

a r´

o˙zniczkowaln

a. Mamy wtedy dla t ∈

[0, L]

u(t) = u(0) +

(s)ds.

Za l´

o˙zmy, ˙ze u spe lnia (lewostronnie) warunek brzegowy Dirichleta u(0) = 0.

Wtedy u(t) =

(s)ds, i st

|u(t)|

≤

1ds

(s)|

ds = t

(s)|

ds ≤ tku

2
0

gdzie k · k

oznacza norm

e przestrzeni L

(0, L). St

ad ostatecznie

kuk

2
0

|u(s)|

ds ≤

2
0

Otrzymali´smy w ten spos´

ob ca lkow

a nier´

owno´

s´

c Friedrichsa:

Je´

sli u(0) = 0, to

(∗)

kuk

2
0

≤

2
0

W przestrzeni C

([0, L]) |u|

= ku

jest seminorm

a, ale w jej pod-

przestrzeni C

([0, L]) funkcji spe lniaj

acych jednorodny warunek brzegowy

Dirichleta (wystarczy lewostronnie!), | · |

jest norm

Przestrzenie Sobolewa.

Niech (a, b) b

edzie przedzia lem. Zerowa przestrze´

n Sobolewa:

(a, b) = L

(a, b).

Aby zdefiniowa´

c przestrze´

n H

(a, b) okre´slimy najpierw przestrze´

n G

([a, b])

funkcji u : [a, b] → R ci

ag lych i maj

acych w [a, b] pochodn

a ca lkowaln

a z

kwadratem. W G

([a, b]) okre´slimy iloczyn skalarny

(u, v)

= (u, v)

+ (u

, v

)

i zwi

azan

a z nim norm

kuk

= (u, u)

1
2

gdzie (u, v)

u(s)v(s)ds jest iloczynem skalarnym w przestrzeni L

(a, b).

Przestrze´

n Sobolewa H

(a, b), to uzupe lnienie przestrzeni G

([a, b])

w normie k · k

Przez C

∞

(a, b) oznaczymy przestrze´

n funkcji okre´slonych na przedziale (a, b),

kt´

ore maj

a wszystkie pochodne ci

ag le, za´s przez C

∞

(a, b) ⊂ C

∞

(a, b) jej

podprzestrze´

n funkcji o no´sniku zwartym, zawartym w (a, b).

Przestrze´

n Sobolewa H

(a, b), to uzupe lnienie przestrzeni C

∞

(a, b)

w normie k · k

Mamy nast

epuj

ace inkluzje:

(a, b) ⊂ H

(a, b).

W przestrzeni G

([a, b]), a wi

ec tak˙ze i w przestrzeni H

(a, b) |u|

= ku

jest seminorm

a (zastan´

ow si

e dlaczego?). Natomiast w H

(a, b), |u|

jest

norm

a r´

ownowa ˙zn

a normie k · k

. Wynika to z nier´

owno´sci Friedrichsa:

Oczywi´scie |u|

2
1

= ku

2
0

≤ kuk

2
0

+ ku

2
0

. Z drugiej strony, z nier´

owno´sci

Friedrichsa:

|u|

2
1

≤ kuk

2
1

≤ (1 +

)|u|

2
1

Uog´

olnienia.

Niech Ω ⊂ R

edzie obszarem ograniczonym o brzegu

kawa lkami g ladkim. Analogicznie jak wy˙zej okre´slimy najpierw przestrze´

( ¯

Ω) funkcji ci

ag lych u : ¯

Ω → R, kt´

ore maj

a pierwsze pochodne cz

astkowe

ca lkowalne z kwadratem na ¯

Ω. W przestrzeni G

( ¯

Ω) okre´slimy iloczyn skalar-

(u, v)

= (u, v)

j=1

(

∂

∂x

∂

∂x

i zwiazan

a z nim norm

e k · k

Uzupe lnienie przestrzeni G

( ¯

Ω) w normie k · k

, to przestrze´

Sobolewa H

(Ω).

Podobnie, uzupe lnienie w tej samej normie k · k

przestrzeni

∞

(Ω) funkcji o no´

sniku zwartym, zawartym w Ω, maj

acych wszys-

tkie pochodne cz

astkowe ci

ag le w obszarze Ω, to przestrze´

n Sobole-

wa H

(Ω).

Wy ˙zsze pochodne. Oznaczmy przez α wielowskaznik, to jest wektor α =
[i

, i

, · · · , i

] o wsp´

o lrz

ednych ca lkowitych. Niech |α| =

d
j=1

. Niech

u =

∂

|α|

∂x

· · · ∂x

Mo˙zna uwa˙za´

c H

(a, b) za zbi´

or tych element´

ow przestrzeni H

(a, b), kt´

ore spe lniaj

jednorodny warunek Dirichleta.

Okre´slimy G

( ¯

Ω) jako przestrze´

n funkcji u : ¯

Ω → R kt´

ore s

a klasy C

k−1

, za´s

ich k-te pochodne cz

astkowe s

a ca lkowalne z kwadratem na ¯

Ω. Na G

( ¯

Ω)

zdefiniujemy iloczyn skalarny

(u, v)

|α|≤k

u, D

oraz odpowiadaj

a mu norm

e k · k

Uzupe lnienie G

( ¯

Ω) w normie k · k

, to przestrze´

n H

(Ω). Podob-

nie, uzupe lnienie w tej normie przestrzeni C

∞

(Ω), to H

(Ω).

Mamy w ten spos´

ob dwie skale przestrzeni Sobolewa:

· · · H

(Ω) ⊂ H

k−1

(Ω) ⊂ · · · ⊂ H

(Ω),

oraz

· · · H

(Ω) ⊂ H

k−1

(Ω) ⊂ · · · ⊂ H

(Ω)

przy czym dla ka˙zdego k

(Ω) ⊂ H

(Ω).

Uwagi.

• Elementy przestrzeni H

(a, b), to funkcje ci

ag le.

Naszkicujemy tutaj dow´

od tego faktu. Je´sli u ∈ G

([a, b]), to ∀

x,y

∈

[a, b]

u(y) − u(x) =

(s)ds.

ad (nier´

owno´s´

c Schwarza)

(∗)

|u(y) − u(x)| ≤

(|y − x|)kuk

Pami

etamy, ˙ze G

([a, b]) jest zbiorem g

estym w H

(a, b). We´

zmy wi

dowolny ci

ag Cauchy’ego w G

([a, b]). Z nier´

owno´sci (*) wynika, ˙ze

elementy tego ci

agu s

a jednakowo ci

ag le w normie sup, a da si

e tak˙ze

udowodni´

c, ˙ze s

a one wsp´

olnie ograniczone. Mo˙zna zatem zastosowa´

Twierdzenie Ascoli-Arzela, z kt´

orego wynika, ˙ze z takiego ci

agu wybie-

rzemy podci

ag jednostajnie zbie˙zny do funkcji ci

ag lej. Wyci

agamy te˙z

wniosek, ˙ze wszystkie takie podci

agi s

a zbie˙zne do tej samej granicy,

kt´

a identyfikujemy z elementem przestrzeni H

(a, b).

Takiego faktu nie da si

e udowodni´

c dla H

(Ω), je´sli Ω jest obszarem w

, gdzie d > 1.

• Twierdzenie o ´

sladzie.Niech Ω ⊂ R

edzie obszarem ograniczonym,

o brzegu ∂Ω kawa lkami g ladkim, bez ostrzy. Wtedy istnieje operator

sladu

γ : H

(Ω) → L

(∂Ω)

taki, ˙ze

∃

C>0

∀

v∈H

(Ω)

kγvk

0,∂Ω

≤ Ckvk

1,Ω

∀

v∈G

( ¯

Ω)

γv(p) = v(p), p ∈ ∂Ω.

Dow´

od. Dow´

od przeprowadzimy w przypadku, gdy d = 2, oraz gdy Ω

jest prostok

atem o ´scianach r´

ownoleg lych do osi uk ladu wsp´

o lrz

ednych.

Taki obszar ma brzeg kawa lkami g ladki, to znaczy, ˙ze daje si

e rozbi´

c na

sko´

nczon

a liczb

e kawa lk´

ow, kt´

ore dadz

a si

e sparametryzowa´

c w przy

pomocy funkcji klasy C

. Ten brzeg jest tak˙ze pozbawiony ostrzy, co

oznacza, ˙ze w ˙zadnym punkcie dwa kawa lki brzegu nie maj

a wsp´

olnej

stycznej. Latwo uog´

olni´

c ten dow´

od na przypadek brzegu ∂Ω opisanego

innymi krzywymi.

∗

Ω

∗

Ω

∗

Niech u ∈ G

( ¯

Ω), wtedy kuk

< ∞. Niech p = (x

, y) (punkt le˙z

acy na

brzegu) i po l´

o˙zmy

φ(t) = u(x

+ t, y).

Wtedy

(t) = u

+ t, y),

oraz

φ(t) = φ(0) +

(s)ds.

ad dla r > 0

rφ(0) =

φ(t)dt −

(s)dsdt.

Po zmianie kolejno´sci ca lkowania w ca lce podw´

ojnej dostaniemy

rφ(0) =

φ(t)dt −

(r − s)φ

(s)ds.

Stosuj

ac nier´

owno´s´

c (x + y)

≤ 2x

+ 2y

i potem nier´

owno´s´

c Schwarza,

dostaniemy kolejno

φ(0)

≤ 2[

1φ(t)dt]

+ 2[

(s)ds]

≤

≤ 2r

φ(t)

dt +

(s)

ds,

oraz

u(x

, y)

≤

u(x

+ t, y)

dt +

+ s, y)

ds.

Po sca lkowaniu wzgl

edem y w przedziale [a, b] (patrz rysunek) dostaniemy

u(x

, y)

dy ≤

kuk

2
0,Ω

rku

2
0,Ω

Zatem

kγuk

2
0,Γ

a,b

≤ C(Ω

)kuk

2
1,Ω

i st

ad otrzymujemy dla dowolnego elementu u ∈ G

( ¯

Ω)

kγuk

2
0,∂Ω

≤ C(Ω)kuk

2
1,Ω

Wykorzystuj

ac g

esto´

s´

c G

( ¯

Ω) w H

(Ω) i zupe lno´

s´

c przestrzeni L

(∂Ω),

wnioskujemy, ˙ze operator ´

sladu γ jest okre´slony na ca lej przestrzeni

(Ω) i, ˙ze odwzorowuje on przestrze´

n H

(Ω) w (cz

e´s´

c) przestrzeni

(∂Ω) a wi

ec γ : H

(Ω) → L

(∂Ω).

R´

o ˙znicowa nier´

owno´

s´

c Friedrichsa. Ta nier´

owno´s´

c jest odpowiednikiem

ca lkowej nier´

owno´sci Friedrichsa. Jest przydatna przy badaniu stabilno´sci

schemat´

ow r´

o˙znicowych. Wyprowadzimy j

a w przypadku jednowymiarowym.

Niech na przedziale [0, L] dana b

edzie siatka punkt´

ow o sta lym kroku

= x

+ kh, k = 0, 1, · · · , N + 1, h =

N +1

oraz funkcja siatkowa

= {u

, u

, · · · , u

N +1

Mamy

= u

+ (u

− u

) + (u

− u

) + · · · + (u

− u

k−1

= u

+ h

k−1

j=0

∆u

a wi

ec, je´sli u

= 0, to

= h

k−1

j=0

∆u

ad, po zastosowaniu nier´

owno´sci Schwarza

| =

k−1

j=0

1 ·

∆u

≤

√

v
u
u
u
t

k−1

j=0

(

∆u

)

Zatem

≤ kh · h

j=0

(

∆u

)

oraz st

N +1

k=0

≤ h

N +1

k=0

j=0

(

∆u

)

= h

N + 1

(N + 2)h

j=0

(

∆u

)

Otrzymali´smy w ten spos´

ob oszacowanie dla dyskretnej normy L

2
0,h

= h

N +1

k=0

≤ L

2
1,h

gdzie |u

2
1,h

= h

N
j=0

(

∆u

)

. Jest to r´

o˙znicowa forma nier´

owno´sci Friedrichsa.

Uog´

olnienie. Niech ¯

Ω

= Ω

∪ Γ

edzie obszarem siatkowym w R

. Oz-

naczmy jeszcze

Ω

+
h

= {p ∈ ¯

Ω

|p ∈ ¯

Ω

⇒ p + e

∈ ¯

Ω

gdzie e

jest wersorem i−tej osi uk ladu wsp´

o lrz

ednych, za´s h

- krokiem siatki

w kierunku tej osi.

Je´

sli u

: ¯

Ω

→ R, oraz u

(p) = 0 dla p ∈ Γ

, to

2
0,h

≤ C(Ω)h

p∈Ω

+
hi

(

∆u

(p)

)

gdzie C(Ω) jest sta l

a zale˙zn

a tylko od obszaru Ω.

Wyk lad 5.

Oszacowania a priori. Stabilno´

s´

c w normach typu L

Rozwa˙zmy nast

epuj

acy bardzo prosty przyk lad zagadnienia brzegowego

(1)

−u

(t) + cu(t) = f (t)

t ∈ (a, b), c ≤ 0

(2)

u(a) = u(b) = 0.

Za l´

o˙zmy, ˙ze istnieje rozwi

azanie klasyczne u, pomn´

o˙zmy stronami r´

ownanie

(1) przez u i sca lkujmy w przedziale [a, b]. Ca lkuj

ac przez cz

e´sci otrzymamy

(3) −u

(b)u(b) + u

(a)u(a) +

(t))

dt + c

(u(t))

dt =

f (t)u(t)dt,

za´s st

ad, wykorzystuj

ac warunki brzegowe

|u|

2
1

+ ckuk

2
0

f (t)u(t)dt ≤ K

kf k

kuk

≤ K

kf k

|u|

≤ K

kf k

kuk

W ten spos´

ob dostajemy tak zwane oszacowanie a priori rozwi

azania u

|u|

≤ K

kf k

lub

kuk

≤ K

kf k

lub te˙z

kuk

≤ K

kf k

Oszacowania te oznaczaj

a, ˙ze rozwi

azanie zale˙zy w spos´

ob ci

ag ly od danych

zadania. M´

owimy, ˙ze zadanie (1)(2) jest dobrze postawione.

Przypu´s´

cmy teraz, ˙ze zagadnienie (1)(2) zosta lo zaaproksymowane na

siatce

= a, t

= t

+ kh, k = 0, 1, · · · , N + 1

przez schemat r´

o˙znicowy

−

∇∆u

+ cu

= f

, k = 1, 2, · · · , N,

= u

N +1

= 0.

Post

epuj

ac w spos´

ob analogiczny, jak w przypadku zagadnienia r´

o˙zniczkowego

(1)(2), po uwzgl

ednieniu wzoru na sumowanie przez cz

e´sci oraz nier´

owno´sci

Friedrichsa w wersji r´

o˙znicowej, dostaniemy

j=0

(

∆u

)

+ ch

N +1

k=0

2
k

N +1

k=0

za´s st

ad otrzymamy oszacowania

≤ Ckf

0,h

gdzie jako k · k

mo˙zna przyj

a´

c ka˙zd

a z norm k · k

0,h

lub k · k

1,h

. Zauwa˙zmy od

razu, ˙ze z tej ostatniej nier´

owno´sci wynika istnienie jednoznacznego rozwi

aza-

nia naszego schematu (mamy bowiem do czynienia z uk ladem r´

owna´

n alge-

braicznych liniowych o macierzy kwadratowej!). Ten fakt, oraz otrzymane
oszacowanie oznaczaj

a stabilno´

s´

c schematu w ka˙zdej z wymienionych wy˙zej

norm siatkowych.

Nier´

owno´

sci macierzowe. Normy energetyczne.

Niech A b

edzie macierz

a kwadratow

a, rzeczywist

a. Je´

sli dla ka ˙z-

dego wektora x 6= 0 mamy (Ax, x) > 0, to m´

owimy, ˙ze A > 0, lub ˙ze

macierz jest okre´

slona dodatnio. Je´

sli natomiast dla macierzy A i

B zachodzi zwi

azek A − B > 0, to m´

owimy, ˙ze A > B. Zauwa ˙zmy, ˙ze

relacja > dla macierzy jest jedynie porz

adkiem cz

e´

sciowym. Ana-

logicznie, okre´

slamy nier´

owno´

s´

c nie ostr

a dla macierzy w oparciu o

poj

ecie macierzy okre´

slonej nie ujemnie. Macierz A jest okre´

slona

nie ujemnie, je´

sli dla ka ˙zdego wektora x, (Ax, x) ≥ 0.

Normy Energetyczne.

Niech B b

edzie macierz

a kwadratow

a wymiaru N × N , rzeczywist

a, sy-

metryczn

a i dodatnio okre´slon

a. W naszej przestrzeni wektorowej mamy

iloczyn skalarny (u, v) =

N
j=1

Przy pomocy macierzy B mo˙zemy

okre´sli´

c nowy iloczyn skalarny (u, v)

= (Bu, v), oraz zwi

azan

a z nim norm

kuk

(u, u)

. Jest to norma energetyczna zwi

azana z macierz

a B.

Zapis macierzowy schemat´

ow r´

o ˙znicowych.

Niekiedy jest wygodnie zapisa´

c schemat r´

o˙znicowy (liniowy) w postaci

uk ladu r´

owna´

n algebraicznych liniowych

= g

De facto jest to rodzina uk lad´

ow, gdzie h ∈ ω ⊂ R, gdzie ω jest rozwa˙zanym

zbiorem indeks´

ow h; jedynym jego punktem skupienia jest 0. Znajomo´s´

w lasno´sci macierzy A

mo˙ze by´

c pomocna przy badaniu stabilno´sci rozwa˙za-

nego schematu. Istotnie:
Je´

sli rodzina macierzy A

, h ∈ ω jest wsp´

olnie jednostajnie dodatnio okre´

slona,

to znaczy, je´

sli

∃

γ>0

˙ze ∀

h∈ω

i ∀

6=0

, (A

, u

)

≥ γku

2
h

to schemat jest stabilny w normie k · k

Dow´

od. Mamy:

, u

)

= (A

, u

)

≥ γku

2
h

i st

≤

Uwaga. Je´sli sta la γ jest bardzo ma la, to sta la w warunku stabilno´sci

edzie bardzo du˙za. Oznacza to, ˙ze rozwi

azanie u

mo˙ze by´

c bardzo wra˙zliwe

ze wzgl

edu na zaburzenia g

. Wtedy mo˙ze by´

c wygodnie zastosowa´

c inn

norm

2
h

= (A

, A

)

= (A

, S

)

gdzie A

= S

(taka macierz S

zawsze istnieje i jest symetryczna i dodatnio

okre´slona, oraz komutuje z macierz

a A

). Mamy wi

2
h

= (S

, S

)

= (A

, S

)

≥ γku

2
A

za´s st

ad ostatecznie

≤

√

W ten spos´

ob zmniejszyli´smy sta l

a stabilno´sci.

Mo˙zna podobny efekt uzyska´

c tak˙ze inaczej. Niech B

= B

> 0, i przypu´s´

my, ˙ze

∃

α≥0

nie zale˙zne od h, takie, ˙ze (A

, u

)

≥ α(B

, u

)

Wtedy mamy:

αku

2
B

= α(B

, u

)

≤ (A

, u

)

= (g

, u

)

= (B

−1

, u

)

= (B

−1

, B

)

≤

−1

, g

)

−1

, B

)

= kg

−1

i st

≤

−1

Wyk lad 6

Przyk lad (agitacja) Rozwa˙zamy dobrze nam znane zagadnienie brzegowe

(1)

−u

(t) + cu(t) = f (t), t ∈ (o, 1)

(2)

u(0) = 0, u(1) = 0.

Niech V = C

([0, 1]) i niech V

= {v ∈ V | v(0) = v(1) = 0}. Pomno˙zymy

stronami r´

ownanie (1) przez v ∈ V

i sca lkujemy w przedziale (0, 1) wyko-

rzystuj

ac wz´

or na ca lkowanie przez cz

e´sci oraz uwzgl

edniaj

ac fakt, ˙ze wyraz

brzegowy znika; otrzymamy

(t)v

(t) + cu(t)v(t))dt =

f (t)v(t)dt.

Oznaczmy:

a(u, v) =

(t)u

(t) + cu(t)v(t))dt,

lv =

f (t)v(t)dt.

Zauwa˙zmy, ˙ze

a : V × V → R jest form

a dwuliniow

a nad V

l : V → R jest form

a liniow

a nad V .

Zatem, zagadnienie (1)(2) zast

apili´smy innym zagadnieniem

(3)

znajd´

z u ∈ V

, takie, ˙ze ∀

v∈V

a(u, v) = lv.

Jest to r´

ownanie wariacyjne. Zagadnienie (3) jest sformu lowaniem uo-

g´

olnionym zagadnienia (1),(2). Rzeczywi´scie, mo˙zemy uwa˙za´

c (3) za uog´

ol-

nienie (1),(2), gdy˙z rozwi

azanie klasyczne u zagadnienia (1)(2), je´sli istnieje,

to spe lnia r´

ownanie wariacyjne (3), za´s nie ka˙zde rozwi

azanie r´

ownania war-

iacyjnego (3) musi spe lnia´

c (1)(2). Zauwa˙zmy, ˙ze rozwi

azania r´

ownania war-

iacyjnego (3) nie musz

a by´

c dwukrotnie r´

o˙zniczkowalne: mog

a by´

c tylko

jeden raz r´

o˙zniczkowalne!

We´

zmy teraz pod uwag

e inne zagadnienie brzegowe

(4)

−u

(t) + cu(t) = f (t), t ∈ (0, 1),

(5)

(0) = a, u

(1) = b.

Warunki brzegowe (5) mo˙zemy interpretowa´

c tak: zadana jest pochodna nor-

malna zewn

etrzna do brzegu obszaru Ω = (0, 1), a wi

ec jest to warunek brze-

gowy Neumanna.

Post

apimy teraz w podobny spos´

ob jak poprzednio. Pomno˙zymy stro-

nami r´

ownanie (4), tym razem jednak przez dowolny element przestrzeni

V = C

([0, 1]). Po sca lkowaniu przez cz

e´sci w przedziale (0, 1), otrzymamy

(t)v

(t) + cu(t)v(t))dt =

f (t)v(t)dt − av(0) + bv(1).

Mo˙zemy teraz napisa´

c r´

ownanie wariacyjne

(6)

a(u, v) = lv + gv,

gdzie

a : V × V → R,

l, g : V → R,

a(u, v) =

(t)v

(t) + cu(t)v(t))dt,

lv =

f (t)v(t)dt,

gv = bv(1) − av(0).

R´

ownania wariacyjne (3) i (6) maj

a nast

epuj

a w lasno´s´

c: je´

sli prawa

strona r´

ownania r´

o˙zniczkowego f jest ci

ag la w (0, 1) i je´

sli

u ∈ C

jest

rozwi

azaniem, to u spe lnia odpowiednio (1)(2), lub (4)(5).

Sprawd´

zmy to na przyk lad dla (6). Niech najpierw v ∈ V

. Poniewa˙z

u ∈ C

to w (6) mo˙zemy ponownie sca lkowa´

c przez cz

e´sci i otrzymamy

(−u

(t) + cu(t) − f (t))v(t)dt = 0, ∀

v∈V

Ze wzgl

edu na to, ˙ze v(0) = v(1) = 0, mamy g(v) = 0. Poniewa˙z

−u

(t) + cu(t) − f (t), t ∈ (0, 1)

jest funkcj

a ci

ag l

a, to warunek znikania ca lki dla wszystkich v ∈ V

poci

aga

(7)

−u

(t) + cu(t) = f (t), t ∈ (0, 1),

a wi

ec spe lnione jest r´

ownanie r´

o˙zniczkowe (4). Wybierzmy teraz v ∈ V ;

mno˙z

ac stronami r´

ownanie (4) przez v ∈ V i ca lkuj

ac przez cz

e´sci otrzymamy

a(u, v) = lv + u

(1)v(1) − u

(0)v(0).

Po odj

eciu stronami r´

ownania (6), otrzymamy

(1) − b)v(1) − (u

(0) − a)v(0) = 0.

Mo˙zemy teraz dobra´

c v ∈ V tak, aby najpierw v(0) = 1,

v(1) = 0, oraz

nast

epnie tak, aby v(0) = 0, v(1) = 1; otrzymamy

(0) = a, u

(1) = b.

Widzimy wi

ec, ˙ze spe lniony jest r´

ownie˙z warunek Neumanna.

W lasno´

sci form a i l

Stosuj

ac nier´

owno´s´

c Schwarza wyprowadzimy latwo nast

epuj

ace nier´

owno´sci

|a(u, v)| ≤ M kuk

kvk

oraz

|lv| ≤ Lkvk

≤ Lkvk

gdzie M i L s

a sta lymi. Nier´

owno´sci te oznaczaj

a ci

ag lo´

s´

c (ograniczono´

s´

rozwa˙zanych form.

Nie trudno te˙z oszacowa´

c wyra˙zenie a(u, u) z do lu:

a(u, u) =

(t)

+ cu(t)

)dt ≥ min{1, c}

(t)

) + u(t)

)dt ≥ γkuk

2
1

gdzie γ = min{1, c} w tym przypadku. Ta ostatnia nier´

owno´s´

c oznacza

koercywno´

s´

c formy a w przestrzeni V .

Sformu lowania (3) i (6) s

a uog´

olnione w tym sensie, ˙ze od rozwi

azania

nie wymagaj

a jego dwukrotnej r´

o˙zniczkowalno´sci. Formalnie wystarczy przy-

nale˙zno´s´

c do V = C

([0, 1]).

Jednak nie potrafimy udowodni´

c istnienia

i jednoznaczno´sci rozwi

azania tak postawionego zadania.

Potrzebne jest

tu jeszcze wi

eksze rozszerzenie przestrzeni V

, lub V w ten spos´

ob, aby

uzyska´

c ich zupe lno´s´

c w sensie naturalnej dla tych przestrzeni normy k · k

Tak

a przestrzeni

a jest H

(0, 1) dla zadania (3), za´s H

(0, 1) dla zadania

(6). Ze wzgl

edu na g

esto´s´

c V

lub odpowiednio V w przestrzeni H

(0, 1),

wzgl

ednie H

(0, 1), oraz ze wzgl

edu na ograniczono´s´

c rozpatrywanych form

a i l, formy te mo˙zna przed lu˙zy´

c w spos´

ob zachowuj

acy ci

ag lo´s´

c i koercywno´s´

na przestrzenie H

(0, 1) i H

(0, 1).

Doszli´smy w ten spos´

ob do pe lnego sformu lowania uog´

olnionego.

Niech (V, (·, ·)) b

edzie rzeczywist

a przestrzeni

a Hilberta.

Dana jest forma dwuliniowa

a : V × V → R,

• ci

ag la: ∃

M >0

, taka, ˙ze ∀

u,v∈V

|a(u, v)| ≤ M kukkvk,

• i koercywna: ∃

γ>0

taka, ˙ze ∀

u∈V

γkuk

≤ a(u, u)

oraz forma liniowa

l : V → R

ag la: ∃

L≥0

∀

v∈V

|lv| ≤ Lkvk.

(∗)

Poszukujemy u ∈ V

takiego, ˙ze a(u, v) = lv,

∀

v∈V

Dla rozpatrywanych uprzednio przyk lad´

ow nale˙zy przyj

a´

c H

(0, 1) dla

zadania (3), za´s H

(0, 1) dla zadania (6).

Zajmiemy si

e teraz spraw

a istnienia i jednoznaczno´sci rozwi

azania zagad-

nienia (∗).

Twierdzenie Laxa - Milgrama. Niech (V, (·, ·)) b

edzie rzeczywist

a przestrzeni

Hilberta,

a : V × V → R,

form

a dwuliniow

a ograniczon

a i koercywn

l : V → R

form

a liniow

a ograniczon

Wtedy r´

ownanie wariacyjne (∗) ma jednoznaczne rozwi

azanie u ∈ V .

Dow´

od. Ustalmy chwilowo u ∈ V ;

v 7→ a(u, v)

dla ka˙zdego u ∈ V ustalonego jest funkcjona lem liniowym nad V . Zatem
mamy operator

A : V → V

Au = a(u, ·),

gdzie V

oznacza przestrze´

n dualn

a do przestrzeni V , to jest przestrze´

wszystkich funkcjona l´

ow liniowych i ograniczonych nad przestrzeni

a V .

Dla przestrzeni Hilberta V zachodzi Twierdzenie Riesza:

Istnieje izomorfizm liniowy (izometria)

τ : V

→

taki, ˙ze dla ka˙zdego f ∈ V

, τ f = v

∈ V i kf k = kv

k, oraz dla ka˙zdego

v ∈ V

f v = (v

, v).

Mamy wi

ec a(u, v) = (τ (Au), v), a wi

ec a(u, v) = lv mo˙zna zapisa´

r´

ownowa˙znie

(τ (Au), v) = (τ (l), v).

Zatem nasze zadanie (∗) jest r´

ownowa˙zne r´

ownaniu operatorowemu

(∗∗)

Au = l.

Zauwa˙zmy, ˙ze operator A jest liniowy i ograniczony. Liniowo´s´

c wynika

bezpo´srednio z liniowo´sci a.
Udowodnimy ograniczono´s´

c A. Mamy

kAuk =

= sup

kwk=1

|Auw| = sup

kwk=1

(τ (Au), w) = sup

kwk=1

|a(u, w)| ≤ M kukkwk = M kuk,

gdzie M jest sta l

a ci

ag lo´sci formy a. To oznacza, ˙ze norma A jest ograniczona

z g´

ory przez M . Teraz poka˙zemy, ˙ze r´

ownanie Au = l ma jednoznaczne

rozwi

azanie. Zastosujemy, twierdzenie Banacha o punkcie sta lym.

Niech

Φ(v) = v + ρτ (l − Av),

gdzie ρ > 0; mamy

Φ : V → V.

Udowodnimy, ˙ze mo˙zna tak dobra´

c ρ, ˙ze Φ b

edzie odwzorowaniem zw

e˙za-

acym. Stad wyniknie, istnienie jedynego u ∈ V , takiego, ˙ze u = Φ(u), a

ec Au = l.

Niech v

, v

∈ V .

Φ(v

) − Φ(v

) = v

− v

− ρτ (A(v

− v

)).

ad:

kΦ(v

) − Φ(v

= kv

− v

+ ρ

kτ (A(v

− v

))k

− 2a(v

− v

, v

− v

Teraz skorzystamy z ograniczono´sci i koercywno´sci formy a.

kΦ(v

) − Φ(v

≤

≤ kv

− v

+ ρ

− v

− 2ργkv

− v

= [M

− 2ργ + 1]kv

− v

A wi

kΦ(v

) − Φ(v

)k ≤ Lkv

− v

gdzie L

= M

− 2ργ + 1. Widzimy, ˙ze je´sli 0 < ρ <

2γ

, to 0 ≤ L < 1.

Wyk lad 7.

Metoda Ritza - Galerkina. (Sformu lowanie abstrakcyjne.) Niech V, (·, ·)
b

edzie przestrzeni

a Hilberta. Niech {V

}

h∈ω

, V

⊂ V b

edzie rodzin

a pod-

przestrzeni sko´

nczonego wymiaru przestrzeni V . B

edziemy chcieli, aby dla

tej rodziny by lo spe lnione nast

epuj

ace

Za lo ˙zenie. (W lasno´

s´

c aproksymacji) Rodzina podprzestrzeni {V

}

h∈ω

przestrzeni V , ma w lasno´

s´

c aproksymacji je´sli

∀

u∈V

∀

h∈ω

∃v

(u) ∈ V

, ˙ze kv

(u) − uk → 0, gdy h → 0.

R´

ownanie przybli ˙zone. Nasze sformu lowanie wariacyjne

(1)

Poszukujemy u ∈ V takiego, ˙ze a(u, v) = lv ∀

v∈V

”obetniemy” do przestrzeni V

; to znaczy zamienimy (1) przez

(2)

Poszukujemy u

∈ V

takiego, ˙ze a(u

, v

) = lv

∀

∈V

Jest to r´

ownanie przybli˙zone - Metoda ”Ritza - Galerkina”.

Poniewa˙z przestrzenie V

a sko´

nczonego wymiaru, to s

a one przestrzeniami

Hilberta (s

a zupe lne!).

Ponadto formy a i l zachowuj

a swoje w lasno´sci

ograniczono´

sci i koercywno´

sci w przestrzeniach V

, ze sta lymi M i γ

niezale˙znymi od h. Zatem dla zagadnienia (2) funkcjonuje Twierdzenie Laxa-
Milgrama, sk

ad wynika, ˙ze (2) ma zawsze jednoznaczne rozwi

azanie.

Co to jest naprawd

e zagadnienie (2)?

Niech

= span{φ

h
1

, φ

h
2

, · · · , φ

h
N

gdzie elementy φ

h
j

, j = 1, 2, · · · , N

a liniowo niezale˙zne. St

ad wynika, ˙ze

j=1

h
j

, i ze wzgl

edu na liniowo´s´

c form a i l, r´

ownanie (2) mo˙zemy

zapisa´

c r´

ownowa˙znie:

(3)

j=1

a(φ

h
j

, φ

h
k

= lφ

h
k

, k = 1, 2, · · · , N

lub, u˙zywaj

ac zapisu macierzowego

(4)

c = l,

gdzie

= (a

k,j

)

k,j=1,2,···,N

, a

k,j

= a(φ

h
j

, φ

h
k

)

jest macierz

a wymiaru N

× N

c = [c

, c

, · · · , c

]

jest wektorem, kt´

orego poszukujemy, za´s

l = [lφ

h
1

, lφ

h
2

, · · · , lφ

h
N

]

Inaczej m´

owi

ac, Metoda Ritza-Galerkina polega ostatecznie na rozwi

azaniu

uk ladu r´

owna´

n algebraicznych liniowych (4).

Zbie ˙zno´

s´

c. Interesuje nas, czy

− uk → 0, gdy h → 0,

gdzie u jest rozwi

azaniem (1), za´s u

jest rozwi

azaniem (2), i jak szybko

ku − u

k d

a˙zy do zera. B

edziemy zak lada´

c, ˙ze formy a i l s

a ograniczone, za´s

forma a jest r´

ownie˙z koercywna.

Lemat 1. Metoda Ritza-Galerkina jest stabilna.

Dow´

od. Rozwi

azanie u

r´

ownania (2) istnieje i jest jedyne; wykorzystuj

koercywno´s´

c i ograniczono´s´

c form otrzymamy

γku

≤ a(u

, u

) = |lu

| ≤ klkku

za´s st

ad wynika

k ≤

klk

Ta nier´

owno´s´

c oznacza stabilno´s´

Lemat 2. Je´

sli u ∈ V jest rozwi

azaniem r´

ownania (1), za´

s u

∈ V

jest

rozwi

azaniem r´

ownania (2), to

(5)

a(u − u

, v

) = 0 ∀

∈V

Komentarz. Gdyby forma a by la symetryczna, (to znaczy, gdyby ∀

u,v∈V

a(u, v) =

a(v, u)), to wz´

or (5) oznacza lby, ˙ze u

jest rzutem ortogonalnym w sensie iloczynu

skalarnego (·, ·)

, gdzie (u, v)

= a(u, v), elementu u na podprzestrze´

n V

dla tego

iloczynu skalarnego. Zatem, dla normy generowanej przez ten iloczyn skalarny u

by lby najlepsz

a aproksymacj

a w przestrzeni V

elementu u ∈ V .

Dow´

od. Mamy:

a(u, v

) = lv

u(u

, v

) = lv

∀v

∈ V

, wi

ec odejmuj

ac stronami powy˙zsze r´

owno´sci otrzymamy tez

Twierdzenie C´

ea. Dla rozwi

aza´

n u ∈ V i u

∈ V

r´

owna´

n (1) i (2) zachodzi

oszacowanie

ku − u

k ≤

inf

∈V

ku − v

gdzie M i γ s

a sta lymi ci

ag lo´

sci i koercywno´

sci formy a.

Dow´

od. Wykorzystuj

ac koercywno´s´

c formy a i Lemat 2 otrzymamy

γku − u

≤ a(u − u

, u − u

) = a(u − u

, u) − a(u − u

, u

) =

= a(u − u

, u) − a(u − u

, v

)

gdzie v

∈ V

jest dowolnym elementem. St

ku − u

k ≤

ku − v

Bior

ac po obu stronach ostatniej r´

owno´sci inf

∈V

otrzymamy tez

ku − u

k ≤

inf

∈V

ku − v

Wniosek. Je´

sli podprzestrzenie V

maj

a w lasno´

s´

c aproksymacji, to me-

toda Ritza-Galerkina jest zbie˙zna.

Dow´

od. Istotnie, dla u ∈ V ∃v

(u) ∈ V

takie, ˙ze ku − v

(u)k → 0. Zatem

ku − u

k ≤

inf

∈V

ku − v

k ≤ ku − v

(u)k → 0.

Twierdzenie C´

ea wskazuje na to, ze jako´s´

c konkretnej wersji Metody

Ritza-Galerkina zale˙zy od tego jak zostan

a wybrane przestrzenie sko´

nczonego

wymiaru V

. M´

owi

ac o jako´sci danej wersji metody mamy na my´sli przede

wszystkim

• szybko´s´c zbie˙zno´sci u

do u gdy h → 0,

• posta´c macierzy A

uk ladu r´

owna´

n (4); macierz ta jest na og´

o l bardzo

du˙zego wymiaru. Zatem bardzo istotn

a pozytywn

a jej cech

a by laby jej

pasmowo´

s´

Metoda Elementu Sko´

nczonego (MES) - Finite Element Method

(FEM) jest tak

a realizacj

a Metody Ritza-Galerkina kt´

ora

• pozwala uzyskiwa´c oszacowania szybko´sci zbie˙zno´sci,

• produkuje macierze A

uk ladu (4) o budowie pasmowej.

Wyk lad 8.

Metoda Elementu Sko´

nczonego.

Konforemna Metoda Elementu

Sko´

nczonego jest szczeg´

olnym przypadkiem Metody Ritza-Galerkina; Metod

Elementu Sko´

nczonego otrzymujemy dobieraj

ac w specjalny spos´

ob pod-

przestrzenie sko´

nczonego wymiaru V

. Metoda Elementu Sko´

nczonego jest

konforemna, je´sli dla ka˙zdego h ∈ ω, V

⊂ V .

Przestrzeni

a V , w tym przy-

padku, jest najcz

e´sciej jedna z przestrzeni Sobolewa H

(Ω), lub H

(Ω).

Metod

e Elementu Sko´

nczonego opiszemy dla nieco uproszczonego przy-

padku, gdy obszar Ω ⊂ R

jest wielo´

scianem d−wymiarowym ograni-

czonym, to jest sko´

nczon

a sum

a mnogo´sciow

a simpleks´

ow.

Rozwa˙zmy rodzin

e triangulacji zbioru ¯

Ω,

= {T

, T

, · · · , T

Liczba M i zbiory T

zale˙z

a od parametru h ∈ ω, co nie zosta lo uwzgl

ednione

w oznaczeniach, aby ich nie komplikowa´

c. Rodzina τ

nie musi sk lada´

c si

z simpleks´

ow. Rozwa˙za si

e r´

ownie˙z rozk lady zbioru ¯

Ω na innego rodzaju

podzbiory.

Dla ustalenia uwagi tutaj b

edziemy m´

owi´

c o triangulacjach,

pami

etaj

ac jakie warunki powinien spe lnia´

c taki rozk lad.

Rodzina τ

jest regularna je´sli istniej

a dwie sta le dodatnie κ i β, niezale˙zne

od h i takie, ˙ze

• βh ≤ h

≤ h, gdzie h

, to ´srednica simpleksu T ∈ τ

, za´s h =

max

T ∈τ

•

≥ κ, gdzie ρ

jest promieniem kuli wpisanej w T .

Element.

Element, to tr´

ojka

{T, P

, Σ

gdzie

• T ∈ τ

Rozwa˙za si

e r´

ownie˙z wersj

e niekonforemn

a MES. Wtedy warunek V

⊂ V

∀

h∈ω

nie jest spe lniony. Do MES niekonforemnej nie stosuje si

e przedstawiona wy˙zej teoria

zbie˙zno´

sci oparta na twierdzeniu C´

ea.

• P

to przestrze´

n liniowa sko´

nczonego wymiaru, funkcji okre´slonych na

zbiorze T ; zwykle wymaga si

e ˙zeby przestrze´

n P

zawiera la wszystkie

wielomiany stopnia ≤ s, dla pewnego s-naturalnego.

• Σ

to tak zwany zbi´

or stopni swobody elementu. Zbi´

or Σ

jest sko´

czonym uk ladem liniowo niezale˙znych funkcjona l´

ow nad przestrzeni

= {φ

h
1

, φ

h
2

, · · · , φ

h
N

Funkcjona ly φ

h
1

, · · · , φ

h
N

maj

a nast

epuj

a w lasno´

s´

c interpolacji: dla

dowolnego uk ladu liczb α

, α

, · · · , α

, r´

ownania

h
j

(P ) = α

, j = 1, 2, · · · , N

wyznaczaj

a jednoznacznie element P ∈ P

Baza dualna. Baz

e dualn

a budujemy wyznaczaj

ac elementy P

, P

, · · · , P

z przestrzeni P

przy pomocy uk ladu r´

owna´

h
j

) = δ

k,j

k, j = 1, 2, · · · , N

Ze wzgl

edu na warunki, kt´

ore spe lniaj

a stopnie swobody, baza dualna zawsze

istnieje, i jest jedyna.

Zauwa˙zmy, ˙ze maj

ac baz

e dualn

a mo˙zemy bardzo latwo wyznaczy´

c tak

zwany ”interpolant”, to jest taki element P ∈ P

, kt´

ory dla dowolnego

uk ladu liczb α

, α

, · · · , α

spe lnia warunki ”interpolacji”:

h
j

(P ) = α

, j = 1, 2, · · · , N

Widzimy, ˙ze

P =

j=1

W przypadku, gdy funkcjona ly φ

h
j

”wybijaj

a” warto´s´

c funkcji w zadanych

punktach jest to prawdziwa interpolacja. Niech bowiem x

h
1

, x

h
2

, · · · , x

h
N

r´

o˙znymi punktami T . Niech

h
j

(P ) = P (x

h
j

), j = 1, 2, · · · , N

Je´sli {P

, P

, · · · , P

} jest baz

a dualn

a, to

h
k

(P ) = P (x

h
k

) =

j=1

h
k

)α

= α

Przestrzenie MES. Przestrzenie V

tworzymy ”sklejaj

ac” w odpowiedni

spos´

ob funkcje z przestrzeni P

. Otrzymujemy funkcje v

: Ω → R, v

∈ V

takie, ˙ze dla ka˙zdego T ∈ τ

h|T

∈ P

Je´sli chcemy uzyska´

c konforemn

a MES, to sklejanie poszczeg´

olnych cz

e´sci v

powinno by´

c takie, ˙zeby v

∈ V . U˙zywaj

ac tych przestrzeni V

, kt´

ore w tym

przypadku nazywa si

e Przestrzeniami Elementu Sko´

nczonego, wygodnie jest

pos lugiwa´

c si

e ich bazami. Przy tworzeniu tych baz cz

esto wykorzystujemy

bazy dualne na poszczeg´

olnych elementach.

W naszych rozwa˙zaniach najcz

e´sciej wykorzystywali´smy przestrzenie So-

bolewa H

(Ω) lub H

(Ω) jako przestrze´

n V . Og´

olnie, przestrzenie Sobolewa

(Ω) najcz

e´sciej w takiej roli wyst

epuj

a. Tote˙z ich w lasno´sci b

a dla nas

najistotniejsze.

Interpolant. Prawdziwe jest nast

epuj

ace twierdzenie, kt´

ore podajemy tu

bez dowodu

Twierdzenie. (Bramble-Hilbert) Niech Ω ⊂ R

i u ∈ H

(Ω), gdzie s ≥ 2.

Niech τ

edzie regularn

a rodzin

a triangulacji obszaru Ω. Wtedy w ka˙zdym

tr´

ojk

acie T ∈ τ

mo˙zna znale´

z´

c takie punkty

, p

, · · · , p

i jedyny taki wielomian P

T,s−1

stopnia nie wi

ekszego od s − 1, ˙ze

T,s−1

) = u(p

) j = 1, 2, · · · , l

(Jest to wielomian interpolacyjny Lagrange’a). Wielomiany P

T, s−1

dla po-

szczeg´

olnych T ∈ τ

mo˙zna tak ”sklei´

c”, ˙ze powstanie ”splajn” zwany tak˙ze

”interpolantem” I

(u). Mamy wtedy:

• I

(u) ∈ H

(Ω) dla pewnego m

≤ s

• ∀ T ∈ τ

(u)

= P

T,s−1

∈ P

• je´sli m ≤ m

, to dla interpolantu zachodzi oszacowanie

(∗)

ku − I

(u)k

Ω,m

≤ Ch

s−m

|u|

Ω,s

gdzie sta la C nie zale˙zy od h, za´

s |·|

Ω,s

jest s-t

a seminorm

a z przestrzeni

Sobolewa H

(Ω).

Nier´

owno´s´

c (∗) z Twierdzenia Brambla-Hilberta wskazuje na to, czego mo˙zna

oczekiwa´

c po metodach typu MES. Je´sli bowiem, na przyk lad V = H

(Ω),

u ∈ H

(Ω), m < s, gdzie u jest rozwi

azaniem zadania r´

o˙zniczkowego, u

∈

jest rozwi

azaniem zadania przybli˙zonego przez MES oraz I

(u) ∈ V

⊂

(Ω), to z Twierdzenia C´

ea wynika

ku − u

Ω,m

≤

inf

∈ V

ku − v

Ω,m

≤

ku − I

(u)k

Ω,m

≤ Ch

s−m

|u|

Ω,s

Mamy st

ad oszacowanie szybko´sci zbie˙zno´sci metody, w zale˙zno´sci od tego, w

jakiej normie k·k

Ω,m

chcemy to oszacowanie otrzyma´

c, oraz od regularno´

sci

rozwi

azania u.

Dla przestrzeni MES, kt´

orej elementami s

a ”splajny” to jest funkcje

kawa lkami wielomianowe, mo˙zemy naog´

o l konstruowa´

c bazy, kt´

orych elemen-

tami s

a funkcje o ma lych no´

snikach. Niech

, Φ

, · · · , Φ

edzie tak

a w la´snie baz

a przestrzeni V

. Gdy forma dwuliniowa

a : V × V → R

jest form

a ca lkow

a, to elementy a

i,j

= a(Φ

, Φ

) macierzy A

uk ladu r´

owna´

algebraicznych liniowych A

c = ¯

l, otrzymanego w konsekwencji stosowania

MES, b

a znika ly dla i i j r´

o˙zni

acych si

e dostatecznie du˙zo. Oznacza to, ˙ze

macierz A

ma budow

e pasmow

Przyk lady - patrz Zadania z ´

cwicze´

Wyk lad 9.

Pytanie. Niech

• V = H

(Ω),

• rodzina triangulacji τ

= {T

, T

, · · · , T

• ELEMENT= {T, P

, Σ

}, gdzie P

sk lada si

e z wielomian´

ow stopnia

≤ s,

• V

-przestrze´

n elementu sko´

nczonego, v

∈ V

⇒ v

h|T

∈ P

Kiedy przestrzenie V

a konforemne?

Aby m´

oc odpowiedzie´

c na to pytanie, trzeba jeszcze co´s powiedzie´

c o prze-

strzeniach Sobolewa. B

edzie to twierdzenie o tych przestrzeniach, kt´

ore tu

podamy bez dowodu.

Twierdzenie. Przestrze´

n H

(Ω) jest identyczna ze zbiorem wszystkich ta-

kich element´

ow v ∈ L

(Ω), ˙ze D

v ∈ L

(Ω) dla α = [i

, i

, · · · , i

]

i |α| ≤ m,

gdzie

∂

|α|

∂x

· · · ∂x

jest pochodn

a dystrybucyjn

a (s lab

a).

O dystrybucjach.

Znamy ju˙z zbi´

or C

∞

(Ω)wszystkich funkcji maj

acych

wszystkie pochodne ci

ag le i no´sniki zwarte, zawarte w zbiorze otwartym Ω.

W C

∞

(Ω) wprowadza si

e topologi

e przestrzeni liniowej lokalnie wypuk lej.

Opiszemy kr´

otko jaka to topologia.

• Dla ka˙zdego zbioru zwartego K ⊂ Ω, dla wszystkich funkcji z C

∞

(Ω) o

no´

sniku w K tworzymy ci

ag seminorm

K,j

(φ) =

sup

x∈K,|α|≤j

φ(x)|, j = 0, 1, 2, · · · .

W ten spos´

ob dla ka˙zdego takiego zbioru K mamy przestrze´

n funkcyjn

liniow

a, lokalnie wypuk l

ecej szczeg´

o l´

ow na ten temat - patrz np. Kˆ

osaku Yosida ”Functional Analysis”,

Springer-Verlag 1966, pp 27-30.

• Mo˙zna pokaza´

c, ˙ze topologia przestrzeni zwi

azanej ze zbiorem zwartym K

jest indukowana przez topologi

e takiej przestrzeni zwi

azanej ze zbiorem

zwartym K

, je´

sli K

⊂ K

⊂ Ω. W ten spos´

ob w C

∞

(Ω) tworzy si

tak zwan

a topologi

e granicy prostej. Zbi´

or otwarty dla w takiej topologii,

to taki zbi´

or, kt´

orego przeci

ecie z ka˙zd

a podprzestrzeni

a zwi

azan

a z dowol-

nym zbiorem zwartym K ⊂ Ω jest otwarty. Taka topologia ”widzi” fakt, ˙ze
elementy C

∞

(Ω) maj

a wszystkie pochodne ci

ag le.

Dystrybucja na Ω, to funkcjona l liniowy i ci

ag ly T nad przestrzeni

a C

∞

(Ω),

T : C

∞

(Ω) → R.

Przyk lad 1. Niech f ∈ L

(Ω) i φ ∈ C

∞

(Ω); niech

(φ) =

Ω

f (x)φ(x)dΩ.

Jest to dystrybucja przyporz

adkowana elementowi f ∈ L

(Ω).

Przyk lad 2. Niech f ∈ C

([a, b]), n ≥ 1 i φ ∈ C

∞

((a, b)); niech

(φ) =

f (x)φ(x)dx.

Mamy f

(x)φ(x) + f (x)φ

(x) = [f (x)φ(x)]

i st

(φ) =

(x)φ(x)dx = −T

(φ

gdy˙z funkcje φ maj

a no´sniki zwarte w przedziale otwartym (a, b).

Komentarz.

Dystrybucja T

odpowiada funkcji f .

Zamiast my´

sle´

c o funkc-

jach mo˙zemy my´

sle´

c o dystrybucjach im przyporz

adkowanych.

W tym sensie

mo˙zemy uwa˙za´

c dystrybucje za ”uog´

olnione funkcje”. T

- to dystrybycja przy-

porz

adkowana pochodnej f

; powy˙zszy wz´

or sugeruje nast

epuj

a og´

oln

a definicj

Definicja pochodnej dystrybucji. Pochodna D

dystrybucji

T : C

∞

(Ω) → R,

gdzie Ω ⊂ R

i α = [i

, i

, · · · , i

], to dystrybucja

T : C

∞

(Ω) → R,

taka, ˙ze

T (φ) = (−1)

|α|

T (D

(φ))

dla ka˙zdego φ ∈ C

∞

(Ω).

Komentarz. Je´

sli b

edziemy traktowa´

c ”zwyk le” funkcje jako dystrybucje, mo˙zemy

m´

owi´

c o pochodnych dystrybucyjnych (s labych) dowolnego rz

edu dla zupe lnie

dowolnych funkcji.

Mo˙zemy teraz wyja´sni´

c, co to znaczy

”pochodna dystrybucyjna D

elementu v ∈ L

(Ω)

nale ˙zy do L

(Ω)”

Znaczy to poprostu, ˙ze istnieje taki element w ∈ L

(Ω), ˙ze

(φ) = (−1)

|α|

φ) = (−1)

|α|

Ω

φdΩ =

Ω

wφdΩ,

dla dowolnego elementu φ ∈ C

∞

(Ω).

Przyk lad dystrybucji. Niech Ω = R, i niech

(t) =

0 dla t < x
1 dla t ≥ x

Jest to tak zwana funkcja Heviside’a. Znajdziemy pochodn

a s lab

a funkcji

. Dystrybucja przyporz

adkowana H

(φ) =

∞

−∞

(t)φ(t)dt.

Mamy

= T

(φ) = −T

(φ

) = −

∞

−∞

(t)φ

(t)dt =

= −

∞

(t)dt = φ(x),

gdy˙z φ(∞) = 0; a wi

ec,

(φ) = φ(x).

Pochodna dystrybucyjna funkcji H

”wybija” warto´s´

c argumentu φ w

punkcie x. T

e dystrybucj

e nazywa si

e ”delt

a Dirac’a” i oznacza si

e sym-

bolem δ

. W sensie s labym:

= δ

(φ) = φ(x).

Dystrybucja δ

nie nale˙zy do L

(Ω).

Teraz mo ˙zemy odpowiedzie´

c na pytanie o konforemno´

s´

c przestrzeni

elementu sko´

nczonego V

dla V = H

(Ω).

Na postawione pytanie

odpowiada poni˙zsze Twierdzenie, kt´

ore podaje warunek dostateczny na kon-

foremno´s´

c przestrzeni elementu sko´

nczonego.

Przypomnijmy uprzednio sformu lowane za lo˙zenia.

• V = H

(Ω),

• Ω jest wielo´scianem d-wymiarowym,

• Elementy przestrzeni elementu sko´

nczonego V

a ”kawa lkami wielomianami”

stopnia ≤ s. Dok ladniej: dla ka˙zdego elementu T triangulacji τ

h|T

jest wielomianem (d-zmiennych) stopnia ≤ s.

Twierdzenie. Je´

sli v

∈ V

jest funkcj

a ci

ag l

a na Ω, to v

∈ H

(Ω).

Dow´

od. Trzeba udowodni´

c, ˙ze z ci

ag lo´sci v

wynika, ˙ze dla j = 1, 2, · · · , d

pochodne dystrybucyjne

∂v

∂x

nale˙z

a do L

(Ω). Niech dla p ∈ T , w

T,i

(p) =

∂v

∂x

(p) dla i = 1, 2, · · · , d gdzie

= {T

, T

, · · · , T

Funkcje w

T,i

na ka˙zdym simpleksie T s

a oczywi´scie dobrze okre´slone, gdy˙z

na T jest wielomianem stopnia ≤ s. Ponadto je´sli zdefiniujemy w

, i =

1, 2, · · · , d na Ω tak, ˙ze

i|T

(p) = w

T,i

(p) dla p ∈ T,

to otrzymamy w

∈ L

(Ω) dla i = 1, 2, · · · , d. Jest tak, gdy˙z w

pozostaje

nieokre´slone tylko na zbiorze wewn

etrznych ´scian wielo´scianu Ω, za´s zbi´

ten jest d-wymiarowej miary zero.

Z Twierdzenia Greena i Twierdzenia Gaussa wynika, ˙ze na ka˙zdym sim-

pleksie T mamy:

i,T

φdT =

∂v

∂x

φdT = −

∂φ

∂x

dT +

∂T

φdS, i = 1, 2, · · · , d,

gdzie n

, n

, · · · , d to sk ladowe wersora normalnego zewn

etrznego do ∂T i

φ ∈ C

∞

(Ω). We´

zmy teraz pod uwag

e dwa simpleksy T

i T

, stykaj

ace si

wsp´

oln

a ´scian

a S. Na tej wsp´

olnej scianie S:

• v

, jest ci

ag la,

• n

i = 1, 2, · · · , d pochodz

ace od T

i T

r´

o˙zni

a si

e znakiem.

Zsumujemy teraz stronami

T ∈τ

· · · powy˙zszy wz´

or. Otrzymamy dla

i = 1, 2, · · · , d:

Ω

φdΩ = −

Ω

∂φ

∂x

dΩ =

∂

∂x

(φ)

Co sta lo si

e z ca lkami po brzegach? Ze wzgl

edu na to, co dzieje si

e na ka˙zdej

wsp´

olnej ´scianie S, ca lki po brzegach wewn

etrznych simpleks´

ow znikn

a i

pozosta laby tylko ca lka po ∂Ω, gdyby nie funkcje φ, kt´

ore maj

a no´sniki zwarte

w zbiorze otwartym Ω. Ostatecznie nie zostaje nic! Jak zauwa˙zyli´smy ju˙z
wcze´sniej, w

∈ L

(Ω), i = 1, 2, · · · , d. Ze wzgl

edu na definicj

e ”nale˙zenia”

pochodnej s labej do L

(Ω), uwaga ta ko´

nczy dow´

od twierdzenia.

Wyk lad 10.

Grzechy wobec Metody Elementu Sko´

nczonego.

Opisana tutaj metoda Elementu Sko´

nczonego dzia la poprawnie pod warun-

kiem zachowania wszystkich przyj

etych za lo˙ze´

n. Jednak nie zawsze mo˙zemy,

ad´

z te˙z nie zawsze chcemy, te za lo˙zenia spe lni´

c. Dotyczy to najcz

e´sciej:

• Stosowania tych samych form a i l w sformu lowaniu oryginalnym i przy-

bli˙zonym naszego zadania. U˙zycie innych form okre´slaj

acych ”przy-

bli˙zone” r´

ownanie wariacyjne, to jest pierwszy z grzech´

ow. Do pope l-

nienia tego grzechu mo˙ze zmusi´

c nas brak mo˙zliwo´sci dok ladnego ”anal-

itycznego” obliczenia ca lek potrzebnych do wyznaczenia form a i l.
Mo˙zemy by´

c zmuszeni do zastosowania kwadratur numerycznych. Nie-

kiedy tak˙ze mo˙ze by´

c nam wygodniej u˙zy´

c kwadratury numerycznej ni˙z

oblicza´

c analitycznie skomplikowane ca lki, szczeg´

olnie je´sli kwadratura

numeryczna daje wynik z dok ladno´sci

a tego samego rz

edu co r´

ownanie

aproksymuj

ace nasze zadanie oryginalne.

• Zachowania konforemno´sci metody, to znaczy budowania przestrzeni

elementu sko´

nczonego w taki spos´

ob, aby przestrzenie V

by ly pod-

przestrzeniami przestrzeni V , na kt´

orej jest okre´slone zadanie orygi-

nalne. Ten grzech zwykle jest pope lniany z rozmys lem. Niekiedy ze
wzgl

edu na charakter rozwi

azania zadania oryginalnego, a w szczeg´

olno-

´sci ze wzgl

edu na jego nisk

a regularno´s´

c, lepiej jest stosowa´

c wersj

niekonforemn

a Metody Elementu Sko´

nczonego.

Rozpatrzmy te dwa przypadki

Zachowanie konforemno´

sci, ale zmienione formy a i l dla zadania

przybli ˙zonego.

Niech V b

edzie przestrzeni

a Hilberta, V

⊂ V rodzin

a jej podprzestrzeni

sko´

nczonego wymiaru.

Zadanie ”oryginalne”: szukamy u ∈ V takiego, ˙ze

a(u, v) = lv ∀v ∈ V.

Zadania ”przybli˙zone”: szukamy u

∈ V

, takich, ˙ze

, v

) = l

∀v

∈ V

Zak ladamy, ˙ze forma dwuliniowa a jest ci

ag la i koercywna ze sta lymi odpowied-

nio M i γ; o formach a

zak ladamy, ˙ze s

a jednakowo ci

ag le i jednakowo

koercywne, to znaczy, ze istniej

a sta le M i γ nie zale˙zne od h, takie ˙ze

, v

)| ≤ M ku

kkv

γku

≤ a

, u

Przy tych za lo˙zeniach z Twierdzenia Lax’a - Milgrama wynika, ˙ze zar´

owno

zadanie ”oryginalne”, jak i zadania ”przybli˙zone” maj

a jednoznaczne rozwi

zania. Jednak przedstawiona dotychczas teoria zbie˙zno´sci oparta o Twierdze-
nie C´

ea nie funkcjonuje. Twierdzenie C´

ea trzeba zst

api´

c czym´s innym.

Pierwszy Lemmat Stranga. Niech u i u

a odpowiednio rozwi

azaniem

zadania ”oryginalnego” i ”przybli˙zonego”. Przy przyj

etych za lo˙zeniach ist-

nieje sta la C taka, ˙ze

ku − u

k ≤

≤ C{ inf

∈V

[ku − v

k + sup

∈V

|a(v

, w

) − a

, w

] + sup

∈V

|lw

− l

}

Komentarz. Zbie˙zno´

s´

c b

edzie zachowana przy odpowiednich warunkach aproksy-

macji na lo˙zonych na podprzestrzenie V

, pod warunkiem, ˙ze wyra˙zenia zawieraj

ace

a, a

oraz l i l

po prawej stronie nier´

owno´

sci, d

a˙z

a do zera. Zauwa˙zmy tak˙ze, ˙ze

e´

s´

c prawej strony przed kt´

a stoi znak inf jest zwi

azany zar´

owno z aproksymacj

przestrzeni V , przez V

, jak i z aproksymacj

a formy a przez formy a

. Pozosta la

e´

s´

c prawej strony dotyczy aproksymacji l przez l

Dow´

od. Najpierw szacujemy ku

− v

k, gdzie v

∈ V

jest dowolnym ele-

mentem, wykorzystuj

ac koercywno´s´

c a

. Niech w

= u

− v

. Wtedy

γku

−v

≤ a

−v

, u

−v

) = a(u−v

, w

)−a(u−v

, w

)+a

−v

, w

γku

− v

≤ a(u − v

, w

) + a(v

, w

) − a

, w

) − a(u, w

) + a

, w

Dziel

ac stronami przez kw

k i dobieraj

ac odpowiednio sta l

a C

otrzymamy

−v

k ≤ C

[ku−v

k+ sup

∈V

|a(v

, w

) − a

, w

]+ sup

∈V

|lw

− l

Poniewa˙z ku

− uk ≤ ku

− v

k + ku − v

k, po dodaniu do obu stron ku − v

i dobraniu nowej sta lej C otrzymamy

ku−u

k ≤ C{[ku−v

k+ sup

∈V

|a(v

, w

) − a

, w

]+ sup

∈V

|lw

− l

Po obu stronach teraz bierzemy inf

∈V

ku − u

k ≤

≤ C{ inf

∈V

[ku − v

k + sup

∈V

|a(v

, w

) − a

, w

] + sup

∈V

|lw

− l

Je´

sli mamy do czynienia z niekonforemno´

sci

a Metody Elementu

Sko´

nczonego trzeba Twierdzenie C´

ea zast

api´

c Drugim Lemmatem Stranga.

Drugi Lemmat Stranga. Niech:

• V -przestrze´

n Hilberta,

• a : V × V → R forma dwuliniowa ci

ag la ze sta l

a ci

ag lo´

sci M i koercy-

wna ze sta l

a koercywno´

sci γ > 0,

• l : V → R forma liniowa ci

ag la,

• V

rodzina przestrzeni liniowych sko´

nczonego wymiaru, unormowanych,

z normami k · k

odpowiednio. Zak ladamy, ˙ze normy k · k

a okre´

slone

na przestrzeniach V + V

• a

: (V + V

) × (V + V

) → R rodzina form dwuliniowych ci

ag lych

ze sta l

a ci

ag lo´

sci M nie zale˙zn

a od h i koercywnych na V

ze sta l

koercywno´

sci γ > 0 niezale˙zn

a od h,

γkv

2
h

≤ a

, v

)

dla v

∈ V

• l

: V

→ R rodzina form liniowych ci

ag lych.

V + V

, to przestrze´

n element´

ow postaci v + v

, gdzie v ∈ V i v

∈ V

Rozpatrujemy:
zadanie ”oryginalne”:
poszukujemy u ∈ V spe lniaj

acego r´

ownanie wariacyjne

a(u, v) = lv ∀

v∈V

oraz zadanie ”przybli ˙zone”:
poszukujemy u

∈ V

spe lniaj

acego r´

ownanie wariacyjne

, v

) = l

∀

∈V

Przy przyj

etych za lo˙zeniach istnieje sta la C, taka, ˙ze

ku − u

≤ C[ inf

∈V

ku − v

+ sup

∈V

(u, w

) − l

Dow´

od. Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze z Twierdzenia Laxa - Milgrama wynika

istnienie jednoznacznych rozwi

aza´

n u i u

, zar´

owno dla zagadnienia ”orygi-

nalnego”, jak i dla zagadnie´

n ”przybli˙zonych”. Wykorzystuj

ac teraz koercy-

wno´s´

c a

szacujemy u

− v

= w

dla dowolnego v

∈ V

γku

− v

2
h

≤ a

− v

, w

) =

= a

(u − v

, w

) − a

(u − v

, w

) + a

− v

, w

) =

= a

(u − v

, w

) + l

− a

(u, w

γku

− v

≤ M ku − v

+ sup

∈V

(u, w

) − l

Podobnie jak w dowodzie Pierwszego Lemmatu Stranga dodajemy stronami
ku − v

, i po dobraniu sta lej C oraz wzi

eciu inf

∈V

po obu stronach,

otrzymujemy tez

ku − u

≤ C[ inf

∈V

ku − v

+ sup

∈V

(u, w

) − l

Z Drugiego Lemmatu Stranga wynika zbie˙zno´sc metody, pod warun-

kiem, ˙ze przestrzenie V

maj

a odpowiednie w lasno´

sci aproksymacyjne dla

przestrzeni V , oraz pod warunkiem, ˙ze wyra˙zenie w tezie, rozpoczynaj

ace si

od sup

∈V

a˙zy do zera, gdy h → 0.

Uwagi dotycz

ace realizacji algorytm´

ow Metody Elementu Sko´

czonego.

• Element bazowy. Wszystkie simpleksy wchodz

ace w sk lad triangu-

lacji τ

tworzymy na og´

o l, dokonuj

ac przekszta lcenia afinicznego sim-

pleksu bazowego ˆ

T . Dla przestrzeni R

, ˆ

T to tr´

ojk

at dany przez nier´

ow-

no´sci

0 ≤ x + y ≤ 1,

x ≥ 0, y ≥ 0.

• Wspomniane wy˙zej przekszta lcenie afiniczne jest postaci F (ˆ

p) = B ˆ

p+b,

gdzie ˆ

p ∈ ˆ

T , B jest macierz

a, za´s b wektorem. Nie trudno zauwa˙zy´

˙ze

cond(B) = kBkkB

−1

k ≤

gdzie ρ

i ρ

, to odpowiednio ´srednice sfer wpisanych simpleks´

ow T i

T , za´s h

i h

´srednice tych simpleks´

ow. Dow´

od pozostawiamy jako

zadanie. Nier´

owno´s´

c ta wskazuje na to, ˙ze je´sli triangulacja jest regu-

larna, to wsp´

o lczynnik uwarunkowania przekszta lcenia afinicznego F

jest ograniczony, gdy˙z ρ

i h

, jako wymiary zwi

azane z simpleksem

wzorcowym, s

a ustalone.

• Przez to przekszta lcenie afiniczne odwzorowujemy ca ly element

{ ˆ

T , P

, Σ

}

na element

{T, P

, Σ

Warto wi

ec zastanowi´

c si

e, jaka jest posta´

c poszczeg´

olnych sk ladnik´

tego elementu przekszta lconego.

Wyk lad 11.

Wst

ep. B

edzie nam potrzebne kilka poj

e´

c z Analizy Funkcjonalnej. Przy-

pomnijmy.

• OPERATOR DUALNY. Niech X, Y b

a przestrzeniami Banacha,

A : X → Y , operatorem liniowym i ograniczonym. Symbolem X

oznaczamy przestrze´

n dualn

a do X, to jest przestrze´

n Banacha wszyst-

kich funkcjona l´

ow liniowych i ograniczonych okre´slonych na X. Norma

w X

, to zwyk la norma funkcjona lu. Elementy przestrzeni X

edziemy

oznaczali symbolami x

, y

· · ·. Zamiast pisa´c x

(x) dla x

∈ X

i x ∈ X

edziemy cz

esto pisa´

c < x

, x >; zatem x

(x) =< x

, x >.

Niech x ∈ X i y

∈ Y

, b

a dowolnymi elementami. Zauwa˙zmy, ˙ze

< y

, Ax > okre´sla funkcjona l liniowy nad X, mo˙zemy wi

ec napisa´

< y

, Ax >=< A

, x >,

gdzie A

: Y

→ X

. W ten spos´

ob okre´slony zosta l operator A

, zwany

operatorem dualnym (do A).

Latwo sprawdzi´

c, ˙ze A

jest liniowy i

ograniczony, a dok ladniej kA

k = kAk.

• J

ADRA, UZUPE LNIENIA ORTOGONALNE I ZBIORY PO-

LARNE. Przy powy˙zszych za lo˙zeniach:

KerA = {x ∈ X | Ax = 0},

KerA

= {y

∈ Y

| A

= 0} = {y

∈ Y

| < y

, Ax >= 0 ∀ x ∈ X}.

a to j

adra A i A

. J

adro operatora liniowego i ograniczonego jest

domkni

ete.

Je´sli Z ⊂ V , gdzie V jest przestrzeni

a Hilberta, to

⊥

= {v ∈ V | (z, v) = 0 ∀ z ∈ Z}.

Je´sli Z jest podprzestrzeni

a domkni

eta, to Z

⊥

nazywa si

e uzupe lnieniem

ortogonalnym Z.

Je´sli U ⊂ X i U = ¯

U , to U

= {x

∈ X

| < x

, u >= 0 ∀ u ∈ U }

nazywa si

e zbiorem polarnym dla U . Zbi´

or polarny jest domkni

ety.

• PRZESTRZE ´

N BIDUALNA, PRZESTRZE ´

N REFLEKSYW-

NA. Przestrze´

n dualna przestrzeni dualnej, to przestrze´

n bidualna:

)

= X

. Jej elementami s

a funkcjona ly liniowe ograniczone nad

. Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli x

∈ X

, to dla dowolnego ustalonego x ∈ X,

) = x

(x), x

∈ X

, a zatem x 7→ x

definiuje odwzorowanie li-

niowe X w X

. Je´sli to odwzorowanie jest izomorfizmem X i X

, to

przestrzenie X i X

mo˙zna uwa˙za´

c za identyczne. M´

owimy wtedy, ˙ze

przestrze´

n X jest refleksywna. Ka˙zda przestrze´

n Hilberta jest refleksy-

wna.

Zbadajmy co to jest (KerA

)

. Mamy A

: Y

→ X

(KerA

)

= {y

∈ Y

| < y

, y

>= 0 ∀y

∈ Y

takiego, ˙ze < y

, Ax >= 0 ∀ x ∈ X}.

Je´sli przestrze´

n Y jest refleksywna (Y = Y

)

(KerA

)

= {y ∈ Y | < y

, y >= 0 ∀ y

∈ Y

takiego, ˙ze < y

, Ax >= 0 ∀ x ∈ X}.

Zauwa˙zmy, ˙ze wtedy AX ⊂ (KerA

)

Twierdzenie. Niech X i Y b

a refleksywnymi przestrzeniami Banacha,

A : X → Y - operatorem liniowym i ograniczonym. Wtedy

AX = AX w Y ⇔ AX = (KerA

)

Dow´

od. Zauwa˙zmy, ˙ze wystarczy udowodni´

c, ˙ze AX = (KerA

)

. Wiemy

ju˙z, ˙ze AX ⊂ (KerA

)

. Poniewa˙z ka˙zdy zbi´

or polarny jest domkni

ety, to

r´

ownie˙z AX ⊂ (KerA

)

. Przypu´s´

cmy, ˙ze AX 6= (KerA

)

. Wtedy istnieje

taki element y

∈ (KerA

)

, ze y

6∈ AX. Wiadomo, ˙ze wtedy istnieje taki

funkcjona l y

∈ Y

, ˙ze < y

, y

>6= 0, za´s < y

, Ax >= 0, ∀ x ∈ X. Ale

dochodzimy w ten spos´

ob do sprzeczno´sci, gdy˙z je´sli y

∈ (KerA

)

, to musi

by´

c < y

, y

>= 0, je´sli < y

, Ax >= 0 ∀ x ∈ X. Zatem nie mo˙ze by´

AX 6= (kerA

)

Og´

olniejsze r´

ownanie wariacyjne.

Niech U i V b

a przestrzeniami Hilberta. Je´sli nie b

edzie to konieczne,

nie b

edziemy rozr´

o˙znia´

c oznaczeniami norm tych przestrzeni. Niech

a : U × V → R b

edzie form

a dwuliniow

za´s niech l ∈ V

. Ponadto za lo˙zymy, ˙ze

(1)

∃M ≥ 0 ∀ u ∈ U ∀ v ∈ V |a(u, v)| ≤ kukkvk (ci

ag lo´s´

c),

(2)

∃γ > 0 ∀ u ∈ U γkuk ≤ sup

v∈V

a(u, v)

kvk

(warunek inf-sup),

(3)

∀ v ∈ V, v 6= 0 ∃ u ∈ U a(u, v) 6= 0.

Rozwa˙zamy r´

ownanie wariacyjne

(4)

poszukujemy u ∈ U takiego, ˙ze a(u, v) = lv ∀ v ∈ V.

Twierdzenie NNBA (Neˇ

cas, Nirenberg, Babuˇ

ska, Aziz.) Je´

sli spe l-

nione s

a warunki (1), (2), (3), to r´

ownanie wariacyjne (4) ma jednoznaczne

rozwi

azanie u ∈ U dla ka˙zdego l ∈ V

Dow´

od. Wiemy, ˙ze forma a definiuje operator liniowy:

a(u, v) =< Au, v >, A : U → V

• Operator A jest ci

ag ly. Mamy

kAuk =

sup

v∈V, kvk=1

| < Au, v > | =

sup

v∈V, kvk=1

|a(u, v)| ≤

≤

sup

v∈V, kvk=1

M kukkvk = M kuk,

a wi

ec kAk ≤ M.

Gdy X i Y s

a przestrzeniami Hilberta (nas interesuje w la´

snie ten przypadek) latwo

znale´

z´

c funkcjona l y

. Niech P : Y → AX ⊂ Y b

edzie operatorem rzutu ortogonalnego

na podprzestrze´

n domkni

a AX.

Wtedy y

= τ (y

− P y

), gdzie τ : Y → Y

jest

izomorfizmem Riesza. Z definicji P wynika, ˙ze < y

, Ax >= 0 ∀ x ∈ X, natomiast warunek

< y

, y

>6= 0 wynika z nier´

owno´

sci Schwarza i w lasno´

sci bok´

ow tr´

ojk

ata prostok

atnego.

• Odwracalno´

s´

c A. Przypu´s´

cmy, ˙ze A nie jest odwracalny. Wtedy w

U istniej

a dwa elementy r´

o˙zne u

6= u

i Au

= Au

. Mamy wtedy z

warunku ”inf-sup”

γku

− u

k ≤ sup

v∈V

a(u

− u

, v)

kvk

= sup

v∈V

< A(u

− u

), v >

kvk

= 0

a wi

ec u

= u

, wbrew za lo˙zeniu.

• Ci

ag lo´

s´

c A

−1

na AU . Niech l ∈ AU ⊂ V

i niech u = A

−1

l. Wtedy z

warunku ”inf-sup”

γkuk ≤ sup

v∈V

a(u, v)

kvk

= sup

v∈V

< Au, v >

kvk

= sup

v∈V

< l, v >

kvk

= klk.

To oznacza, ˙ze kuk = kA

−1

lk ≤

klk, a wi

ec A

−1

jest ograniczony na

AU .

• Domkni

eto´

s´

c AU . Poniewa˙z U = A

−1

AU to AU jest przeciwobrazem

zbioru domkni

etego U przez funkcj

e ci

ag l

a A

−1

jest wi

ec zbiorem dom-

kni

etym w V

• AU = (KerA

)

. Wynika to z domkni

eto´sci AU (patrz ”Twierdzenie”).

Zatem

AU = {v ∈ V | a(u, v) = 0 ∀ u ∈ U }

⊂ V

• A : U → V

jest odwzorowaniem na ca l

a przestrze´

n V

. Istotnie,

ze wzgl

edu na warunek (3) KerA

= {0}, wi

ec AU = (KerA

)

= V

Teraz zajmiemy si

e ”zagadnieniem przybli˙zonym”. Zastosujemy (kon-

foremn

a) metod

e Ritza-Galerkina. Niech U

⊂ U , V

⊂ V b

a rodzinami

podprzestrzeni sko´

nczonego wymiaru. Trzeba b

edzie za lo˙zy´

c, ˙ze s

a one do-

brane do siebie tak, aby

)

∀ h ∈ ω ∀ u

∈ U

γku

k ≤ sup

∈V

a(u

, v

)

kvk

(mo˙zna za lo˙zy´

c, ˙ze sta la γ jest ta sama co we wzorze (3))

)

∀ h ∈ ω ∀ v

∈ V

6= 0 ∃ u

∈ U

a(u

, v

) 6= 0.

R´

ownanie ”przybli ˙zone”

(5)

poszukujemy u

∈ U

takiego, ˙ze a(u

, v

) = lv

∀ v

∈ V

Poniewa˙z za lo˙zyli´smy spe lnienie warunk´

ow (3’) i (4’), r´

ownanie (5) ma dla

ka˙zdego h ∈ ω jednoznaczne rozwi

azanie u

∈ U

Realizacja.

Przestrzenie U

i V

dobieramy tak, aby by ly tego samego

wymiaru dla ka˙zdego ustalonego h. Niech

= span{φ

h
1

, φ

h
2

, · · · , φ

h
M

= span{ψ

, ψ

, · · · , ψ

Wtedy

j=1

h
j

Nasze r´

ownanie (5) mo˙ze by´

c teraz zapisane tak

(6)

j=1

a(φ

h
j

, ψ

h
j

= lψ

, k = 1, 2 · · · , M

Jest to uk lad r´

owna´

n algebraicznych liniowych

)

= l

o macierzy

= (a

h
i,j

), a

i,j

= a(φ

h
j

, ψ

Odwracalno´s´

c macierzy A

wynika z warunk´

ow (3’)(4’).

Lemmat.

Je´

sli u jest rozwi

azaniem r´

ownania (4), za´

s u

rozwi

azaniem

r´

ownania (5), to

a(u − u

, v

) = 0 ∀ v

∈ V

Dow´

od. Mamy

a(u, v

) = lv

∀ v

∈ V

⊂ V,

oraz

a(u

, v

) = lv

∀ v

∈ V

⊂ V.

Odejmuj

ac stronami te r´

owno´sci otrzymujemy tez

Twierdzenie o zbie ˙zno´

sci. Je´

sli u jest rozwi

azaniem r´

ownania (4), za´

rozwi

azaniem r´

ownania (5), to

ku − u

k ≤ (1 +

) inf

∈U

ku − w

gdzie M i γ jest odpowiednio sta l

a ci

ag lo´

sci i koercywno´

sci formy a.

Dow´

od. Niech w

∈ U

edzie dowolnym elementem U

. Z Lemmatu wynika

a(u − w

+ w

− u

, v

) = 0 ∀ v

∈ V

Stad

a(u − w

, v

) = a(u

− w

, v

) ∀ v

∈ V

Wykorzystuj

ac warunek ”inf-sup”, otrzymamy

γku

− w

k ≤ sup

∈V

a(u

− w

, v

)

= sup

∈V

a(u − w

, v

)

≤ M ku − w

a wi

− w

k ≤

ku − w

Poniewa˙z

− uk ≤ ku

− w

k + ku − w

po dodaniu po obu stronach poprzedniej nier´

owno´sci ku − w

k otrzymamy

ku − u

k ≤ (1 +

)ku − w

za´s bior

ac po obu stronach tej ostatniej nier´

owno´sci inf

∈U

otrzymamy

tez

Wyk lad 12.

POBLEM PUNKTU SIOD LOWEGO.

Niech U i V b

a przestrzeni-

ami Hilberta. Dane s

a dwie formy dwuliniowe a i b

a : U × U → R,

b : U × V → R,

oraz f ∈ U

, g ∈ V

Genez

a problemu punktu siod lowego jest poszukiwanie minimum funkcjo-

na lu nieliniowego

J (u) =

a(u, u)− < f, u >

dla u ∈ U spe lniaj

acych warunek

b(u, µ) =< g, µ >

dla ka˙zdego µ ∈ V .

Utw´

orzmy tak zwan

a funkcj

e Lagrange’a:

L(u, λ) = J (u) + [b(u, λ)− < g, λ >].

Poszukiwanie ekstremum J przy wspomnianym warunku sprowadza si

e do

rozwi

azania uk ladu 2 r´

owna´

∂

∂u

L(u, λ) = 0,

∂

∂λ

L(u, λ) = 0,

gdzie pochodne s

a rozumiane w sensie Fr´

echeta.

Niech F : X → Y , gdzie X i Y s

a przestrzeniami Banacha za´

s h ∈ X jest dowolnym

elementem X. Przypu´

s´

cmy, ˙ze istnieje operator liniowy ograniczony, zale˙zny (na og´

o l w

spos´

ob nieliniowy od x ∈ X), A(x) : X → Y , taki, ˙ze F (x + h) − F (x) = A(x)h + ω(x, h) i

kω(x,h)k

khk

→ 0, gdy h → 0. Wtedy operator A(x) : X → Y nazywa si

e pochodn

a Fr´

echeta

funkcji F w punkcie x ∈ X, za´

s A(x)h ∈ Y nazywa si

e r´

o ˙zniczk

a Fr´

echeta funkcji F w

punkcie x dla przyrostu h ∈ X.

Latwo obliczamy:

∂

∂u

L(u, λ)h = ˆ

a(u, h)− < f, h > +b(h, λ), h ∈ U,

∂

∂λ

L(u, λ)k = b(u, k)− < g, k >, k ∈ V,

gdzie ˆ

a(u, h) =

1
2

[a(u, h) + a(h, u)]. R´

ownania wyznaczaj

ace punkt stacjo-

narny s

a w tym przypadku postaci

a(u, h) + b(h, λ) =< f, h >, ∀ h ∈ U,

b(u, k) =< g, k >, ∀ k ∈ V.

Tutaj ˆ

a jest form

a dwuliniow

a symetryczn

a. Pozbywamy si

e tego warunku

symetrii; uog´

olniaj

ac, b

edziemy nazywali zagadnieniem punktu siod lowego

nast

epuj

acy uk lad dw´

och r´

owna´

n wariacyjnych:

(P S)

poszukujemy pary u ∈ U, λ ∈ V takiej , ˙ze

a(u, h) + b(h, λ) =< f, h >

∀ h ∈ U,

b(u, k) =< g, k >

∀ k ∈ V,

gdzie a i b - to formy dwuliniowe ograniczone, a : U ×U → R, b : U ×V → R,
f ∈ U

, g ∈ V

Wiemy ju˙z, ˙ze formy a i b okre´slaj

a operatory A i B

a(u, h) =< Au, h >, A : U → U

b(u, k) =< Bu, k >, B : U → V

b(k, u) =< Bk, u >=< B

u, k >, B

: V → U

R´

ownania (PS) mo˙zemy zapisa´

c w spos´

ob r´

ownowa˙zny, pos luguj

ac si

e ope-

ratorami A i B

Au + B

λ = f,

(P S

)

Bu = g.

Wygodnie b

edzie jeszcze oznaczy´

W = {w ∈ U | b(w, k) = 0 ∀ k ∈ V } = KerB.

Lemat. Warunki 1, 2, 3 s

a r´

ownowa˙zne:

1. ∃ γ > 0 γkµk ≤ sup

v∈V

b(v, µ)

kvk

2. b(v, µ) =< Bv, µ >

B : U → V

B : W

⊥

→ V

jest izomorfizmem na i

kBvk ≥ γkvk,

3. B

: V → U

: V → W

⊂ U

jest izomorfizmem na i

µk ≥ γkµk.

Dow´

od.

• 1. ⇒ 3.

Mamy b : U × V → R, oraz

γkµk ≤ sup

u∈U

b(u, µ)

kuk

= sup

u∈U

< Bu, µ >

kuk

= sup

u∈U

< B

µ, u >

kuk

= kB

µk,

a wi

ec B

0−1

istnieje i jest ograniczony: B

: V → B

V ⊂ U

. Oznacza

to, ˙ze B

V jest przeciwobrazem przez B

−1

zbioru domkni

etego V . St

wynika, ˙ze B

V = B

V , a wi

ec B

V = (KerB)

= W

. A wi

: V → W

jest izomorfizmem i γkµk ≤ kB

µk.

• 3. ⇒ 1.

Je´sli kB

µk ≥ γkµk, to

sup

u∈U

b(u, µ)

kuk

= sup

u∈U

< B

µ, u >

kuk

= kB

µk ≥ γkµk.

• 3. ⇒ 2.

Mamy b(u, µ) =< B

µ, u >, a poniewa˙z B

: V → W

⊂ U

jest izomorfizmem, to ∀ λ ∈ W

⊂ U

∃ v ∈ V

v = λ. Niech

u ∈ W

⊥

; (u, ·)

jest funkcjona lem nad U , zatem (u, ·)

∈ W

. Istnieje

zatem v ∈ V , B

v = (u, ·)

, a wi

ec, dla takiego v

∀ w ∈ U

< B

v, w >= (u, w)

=< Bw, v >= b(w, v).

Podstawmy w = u ∈ W

⊥

; st

sup

k∈V

b(u, k)

kkk

≥

b(u, v)

kvk

(u, u)

kvk

kuk

kvk

Ale z twierdzenia Riesza wynika, ˙ze kuk = kB

vk ≥ γkvk. Zatem

ostatecznie ∀ u ∈ W

⊥

⊂ U

sup

k∈V

b(u, k)

kkk

= sup

k∈V

< Bu, k >

kkk

= kBuk =

vkkuk

kvk

≥ γkuk.

To znaczy, ˙ze forma b jest ograniczona i spe lnia warunek ”inf-sup”.
Poka˙zemy jeszcze, ˙ze

∀ k ∈ V, k 6= 0 ∃ u ∈ U b(u, k) 6= 0.

Przypu´s´

cmy, ˙ze tak nie jest; wtedy

∃ k 6= 0 ∀ u ∈ U b(u, k) =< Bu, k >=< B

k, u >= 0.

Poniewa˙z jednak B

: V → W

jest izomorfizmem, to B

k = 0

⇒

k = 0. Stad sprzeczno´s´

c z za lo˙zeniem, ˙ze k 6= 0. Zatem na podstawie

Twierdzenia NNBA B : W

⊥

→ V

jest izomorfizmem i kBuk ≥

γkuk, to znaczy, ˙ze 3. ⇒ 2.

• 2. ⇒ 1.

Niech g ∈ V

. Wtedy ∀ µ ∈ V mamy

kµk = sup

g∈V

< g, µ >

kgk

Poniewa˙z B : W

⊥

→ V

jest izomorfizmem, to istnieje u ∈ W

⊥

taki, ˙ze

Bu = g. Zatem

kµk = sup

u∈W

⊥

< Bu, µ >

kBuk

≤ sup

u∈W

⊥

b(u, µ)

γkuk

≤ sup

u∈U

b(u, µ)

γkuk

gdy˙z kBuk ≥ γkuk; to znaczy, ˙ze

γkµk ≤ sup

u∈U

b(u, µ)

kuk

Twierdzenie Franco Brezzi. Je´

sli spe lnione s

a nast

epuj

ace warunki:

∃ α > 0 αkuk ≤ a(u, u) ∀ u ∈ W = Ker B ⊂ U,

∃ γ > 0 γkµk ≤ sup

u∈U

b(u, µ)

kuk

∀ µ ∈ V,

to zagadnienie (P S) ma jednoznaczne rozwi

azanie dla dowolnych f ∈ U

g ∈ V

Dow´

od.

1. Drugie r´

ownanie (PS) jest postaci b(u, k) =< g, k >

∀ k ∈ V . Ze

wzgl

edu na drugi punkt tezy Lemmatu, znajdziemy taki element

∈ W

⊥

˙ze Bu

= g.

2. Teraz poszukujemy w

∈ W = Ker B takiego, ˙ze

a(u

+ w

, v) =< f, v >, ∀ v ∈ W ⊂ U,

lub te˙z inaczej, poszukujemy rozwi

azania w

r´

ownania

a(w

, v) =< f, v > −a(u

, v), ∀ v ∈ W ⊂ U.

Takie w

∈ W istnieje i jest jednoznaczne, gdy˙z nasze r´

ownanie spe lnia

za lo˙zenia Twierdzenia Laxa-Milgrama.

3. Teraz szukamy λ, z r´

ownania

b(v, λ) =< f, v > −a(u

, v) − a(w

, v), ∀ v ∈ U.

Funkcjona l wyst

epuj

acy po prawej stronie oznaczymy symbolem F :

< F, v >=< f, v > −a(u

, v) − a(w

, v).

Z Lemmatu (punkt 3.) wiemy, ˙ze

: V → W

⊂ U

jest izomorfizmem, zatem istnienie rozwi

azania λ jest r´

ownowa˙zne warun-

kowi F ∈ W

, czyli warunkowi

< F, w >= 0 ∀ w ∈ W.

Ale ten warunek jest spe lniony ze wzgl

edu na definicj

e w

w punkcie 2.

tego dowodu.

Aproksymacja zadania (PS). Wybieramy podprzestrzenie sko´

nczonego

wymiaru U

⊂ U , oraz V

⊂ V , oraz definiujemy

= {w ∈ U

| b(w, k) = 0 ∀ k ∈ V

(g) = {w ∈ U

| b(w, k) =< g, k > ∀ k ∈ V

Zauwa˙zmy, ˙ze na og´

o l W

6⊂ W = ker B ⊂ U .

Warunki LBB (Ladyˇ

zenska, Babuˇ

ska, Brezzi). S

a to warunki na lo ˙zone

na podprzestrzenie U

⊂ U i V

⊂ V . Formy

a : U × U → R,

b : U × V → R

a ograniczone i ponadto

(A)

a jest W

-koercywna ∃ α > 0 αku

k ≤ a(u

, u

) ∀ u

∈ W

zak ladamy te˙z, ˙ze forma b spe lnia nast

epuj

acy warunek ”inf-sup”:

(B)

∃ γ > 0, γkµ

k ≤ sup

∈U

b(v

, µ

)

∀ µ

∈ V

Problem ”przybli ˙zony”.

poszukujemy pary (u

, λ

) ∈ U

× V

spe lniaj

acej r´

ownania

(P S

)

a(u

, v) + b(v, λ

) =< f, v >

∀ v ∈ U

b(u

, k) =< g, k >

∀ k ∈ V

Zauwa˙zmy, ˙ze ze wzgl

edu na warunek LBB, dla problemu (P S

) zawsze

istnieje jednoznaczne rozwi

azanie.

Realizacja.

Przypu´s´

cmy, ˙ze znamy bazy dla przestrzeni U

⊂ U i dla

przestrzeni V

⊂ V

= span{φ

, φ

, · · · , φ

= span{ψ

, ψ

, · · · , ψ

Mamy

j=1

φc

j=1

ec ”r´

ownania przybli˙zone” mo˙zemy zapisa´

c w formie macierzowej

gdzie

= (a

k,j

), a

k,j

= a(φ

, φ

= (b

k,j

), b

k,j

= b(φ

, ψ

c = [c

, c

, · · · , c

]

d = [d

, d

, · · · , d

]

f = [< f, φ

>, < f, φ

>, · · · , < f, φ

g = [< g, ψ

>, < g, ψ

>, · · · , < g, ψ

Pierwsze Twierdzenie o zbie ˙zno´

sci. Niech (u, λ) ∈ U × V i (u

, λ

) ∈

× V

a rozwi

azaniami r´

owna´

n (P S) i (P S

) odpowiednio. Wtedy, je´

sli

spe lniony jest warunek LBB, to

ku − u

k + kλ − λ

k ≤ C [

inf

∈W

(g)

ku − w

k + inf

∈V

kλ − µ

k],

gdzie C jest sta l

a niezale˙zn

a od h.

Dow´

od. Odejmijmy stronami odpowiadaj

ace sobie r´

ownania z uk ladu (P S)

i (P S

). Otrzymamy

a(u − u

, v) + b(v, λ − λ

) = 0, ∀ v ∈ U

b(u − u

, k) = 0 ∀ k ∈ V

Zauwa˙zmy od razu, ˙ze z drugiego r´

ownania wynika, ˙ze u − u

∈ W

. Ponadto

z drugiego r´

ownania (P S) i (P S

) wynika, ˙ze odpowiednio, u ∈ W (g), za´s

Zar´

owno φ

, ψ

, jak i M zale˙z

a na og´

o l od h, czego nie uwidaczniamy w notacji, aby

nie komplikowa´

c oznacze´

∈ W

(g). Niech w

∈ W

(g), µ

∈ V

. Odejmuj

ac i dodaj

ac te elementy,

dostaniemy

(∗)

a(u

− w

, v) + b(v, λ − µ

) = a(u − w

, v) + b(v, λ − µ

Podstawmy teraz v = u

− w

∈ W

. Wtedy b(u

− w

, λ

− µ

) = 0, gdy˙z

− w

∈ W

, za´s λ

− µ

∈ V

. Wykorzystuj

ac teraz ci

ag lo´s´

c form a i b,

oraz W

-koercywno´s´

c formy a, otrzymamy

(∗∗)

− w

k ≤ C

[ku − w

k + kλ − µ

k],

gdzie C

jest pewna sta l

a niezale˙zn

a od h.

Wr´

o´

cmy teraz do wzoru (∗). Dziel

ac stronami przez kvk, wykorzystuj

warunek ”inf-sup”, oraz ci

ag lo´s´

c form a i b otrzymamy, dla pewnej sta lej C

kλ

− µ

k ≤ C

[ku − w

k + kλ − µ

k + ku

− w

k].

Teraz podstawiaj

ac (∗∗) do ostatniej nier´

owno´sci, oraz dobieraj

ac odpowied-

nio sta l

a C

, stwierdzamy, ˙ze

kλ

− µ

k ≤ C

[ku − w

k + kλ − µ

k].

Po dodaniu stronami nier´

owno´sci (∗∗), oraz dobraniu sta lej C

, mamy

− w

k + kλ

− µ

k ≤ C

[ku − w

k + kλ − µ

k].

Jeszcze dodajemy stronami ku − w

k + kλ − µ

k, wykorzystujemy po lewej

stronie nier´

owno´s´

c tr´

ojk

ata, oraz dobieramy sta l

a C. Po wzi

eciu po obu

stronach inf

∈W

(g)

, inf

∈V

otrzymamy tez

e twierdzenia.

Pierwsze Twierdzenie o Zbie˙zno´sci, podaje oszacowanie b l

edu dla u w

zale˙zno´sci od ku − w

k oraz kλ − µ

k. Ze wzgl

edu na to, ˙ze W

6⊂ W ,

oszacowania b l

edu dla u nie da si

e odseparowa´

c od b l

edu dla λ. Jest to

niekorzystne, gdy˙z cz

esto w konkretnych przypadkach, aproksymacja dla λ

jest s labsza ni˙z mo˙zliwa do uzyskania aproksymacja u. Dodanie warunku,
zwanego warunkiem C pozwala pozby´

c si

e tego k lopotu. Jednak˙ze za lo˙zenie

warunku C nak lada jeszcze wi

ecej wymaga´

n na dob´

or przestrzeni U

i V

Drugie Twierdzenie o Zbie ˙zno´

sci. Za l´

o˙zmy, ˙ze podprzestrzenie U

⊂ U

i V

⊂ V spe lniaj

a warunki LBB, oraz ˙ze spe lniony jest warunek C

(C)

⊂ W = Ker B.

Wtedy zachodzi nast

epuj

ace oszacowanie:

ku − u

k ≤ C

inf

∈W

(g)⊂U

ku − w

Dow´

od. Podobnie jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia najpierw ode-

jmujemy stronami odpowiednie r´

ownania (P S) i (P S

). Otrzymamy

a(u − u

, v) + b(v, λ − λ

) = 0 ∀ v ∈ U

⊂ U,

b(u − u

, k) = 0 ∀ k ∈ V

∈ V.

Niech w

∈ W

(g); Odejmujemy i dodajemy w

i dostajemy

a(u

− w

, v) = a(u − w

, v) + b(v, λ − λ

Podstawmy teraz v = u

− w

. Zauwa˙zmy, ˙ze ze wzgl

edu na warunek (C)

b(u

− w

, λ − λ

) = 0. Zatem pozostaje tylko

a(u

− w

, u

− w

) = a(u − w

, u

− w

Warunek W

- koercywno´sci formy a, oraz jej ci

ag lo´s´

c daj

a nier´

owno´s´

− w

k ≤ C

ku − w

Po dodaniu stronami ku − w

k, skorzystaniu z nier´

owno´sci tr´

ojk

ata, oraz po

wzi

eciu po obu stronach inf

∈W

(g)

otrzymamy tez

Wa ˙znym przyk ladem zagadnienia punktu siod lowego jest zagad-

nienie Stokesa w postaci uog´

olnionej. Jego wersja klasyczna, to:

−∆u(x) − ∇p(x) = f (x),

divu(x) = 0, x ∈ Ω,

u(x) = 0, x ∈ ∂Ω,

i dodatkowo, dla jednoznaczno´sci

Ω

p(x)dΩ = 0. Zmienn

a u interpretuje si

jako pole pr

edko´sci w obszarze Ω, za´s p-jako ci´snienie.

NRC

ZADANIA Z ´

CWICZE ´

1. Przypomnij definicj

e normy macierzy kwadratowej. Podaj r´

o˙zne real-

izacje normy w zale˙zno´sci od przyj

etej normy w przestrzeni wektorowej.

2. Na siatce r´

ownomiernej zaaproksymuj przez r´

o˙znice dzielone pochodna

pierwsza, druga,... U˙zyj r´

o˙znic w prz´

od i w ty l, r´

o˙znicy centralnej, ...

Zbadaj rz

ad aproksymacji (reszty).

3. Zaaproksymuj przez r´

o˙znice dzielone na siatce kwadratowej operator

r´

o˙zniczkowy

−∆u = −

∂

∂x

u −

∂

∂y

4. Na odcinku [0, 1] zaaproksymuj na siatce r´

ownomiernej r´

ownanie

−u

(x) = f (x)

z warunkami brzegowymi Dirichleta

u(0) = A, u(1) = B.

Wypisz w postaci Ax = b otrzymany uk lad r´

owna´

n algebraicznych lin-

iowych. Udowodnij, ˙ze macierz A jest symetryczna i dodatnio okre´slona.

5. Aproksymacja przestrzeni Banacha (U, k · k), to rodzina tr´

ojek

(∗)

, r

, p

}

h∈ω

gdzie

• (U

, k · k

) h ∈ ω - rodzina przestrzeni (sko´

nczonego wymiaru),

• r

: U → U

- to operatory obci

ecia,

• p

: U

→ U - to operatory przed lu˙zenia.

• Niech u

∈ U

dla ka˙zdego h ∈ ω. Rodzina {u

}

h∈ω

jest zbie ˙zna

dyskretnie do u ∈ U , je´sli

u − u

→ 0,

gdy

h → 0.

Tutaj ω ⊂ R jest zbiorem indeks´

ow h ∈ ω. Zak lada si

e, ˙ze ω ma jedyny

punkt skupienia 0. Aproksymacja (∗) jest zbie ˙zna je´sli π

→

I, gdzie

= p

, gdy h → 0. Aproksymacja (∗) jest stabilna, je´sli operatory

przed lu˙zenia s wsp´

olnie ograniczone.

Udowodnij, ˙ze je´

sli aproksymacja przestrzeni jest zbie ˙zna i

stabilna, to zbie ˙zno´

s´

c dyskretna rodziny {u

}

h∈ω

poci

aga jej

zbie ˙zno´

s´

c w przestrzeni U , to znaczy kp

−uk → 0, gdy h → 0.

Niech U = C([0, 1]) z norma ”sup”. Na przedziale [0, 1] budujemy
siatk

e N + 1 punkt´

ow r´

ownoodleg lych i przyjmujemy U

= R

N+1

norma ”max”. Okre´slamy jako r

”obci

ecia” funkcji z U do zbioru

punkt´

ow siatki, za´s jako p

intepolacj

e przy pomocy lamanej. (Jak

wygl

ada zbi´

or ω?)

Sprawd´

z, ˙ze dla tego przyk ladu zachodzi udowodnione wy ˙zej

twierdzenie.

6. Na siatce kwadratowej na p laszczy´

znie zaaproksymuj r´

o˙znicowo

(a) drug

a pochodn

a mieszan

a (zak ladamy ci

ag lo´s´

c drugich pochod-

nych mieszanych),

(b) laplasjan.

Aproksymowa´

c trzeba w punkcie 0, za´s wolno u˙zywa´

c tylko punkt´

0, 1, 2, 3, 4.

∗

7. Zaaproksymuj r´

o˙znicowo na siatce kwadratowej Ω

∪ Γ

, zbudowanej

na obszarze Ω = [0, L] × [0, L] ⊂ R

w ten spos´

ob, ˙ze brzeg siatkowy

le˙zy na ∂Ω, r´

ownanie

−∆u(p) + b

(p) + b

(p) + cu(p) = f (p)

(a) z warunkiem brzegowym Dirichleta,

(b) z warunkiem brzegowym Robin

u(p) + βu(p) = φ(p)

U˙zyj do aproksymacji pierwszych pochodnych

• r´

o˙znic centralnych,

• r´

o˙znic w prz´

od,

• r´

o˙znic w ty l.

Zbadaj stabilno´s´

c schematu w ka˙zdym z przypadk´

ow, u˙zywaj

ac jako

kryterium Twierdzenia 1 z wyk ladu 3.

8. Na siatce kwadratowej zbudowanej na kwadracie [0, L] × [0, L]

zaaproksymuj r´

ownanie −∆u+cu = f z warunkiem brzegowym Dirich-

leta, u˙zywaj

ac schematu z otoczeniem siatkowym

(p) =

∗

Wypisz uk lad r´

owna´

n algebraicznych liniowych. Zwr´

o´

c uwag

e na struk-

tur

e macierzy uk ladu.

9. Przenie´s na siatk

e warunek brzegowy Dirichleta, u˙zywaj

(a) ekstrapolacji liniowej:

(b) interpolacji liniowej

Punkty oznaczone 1 i 2 le˙za na siatce, za´s punkt oznaczony 0 le˙zy na
prawdziwym brzegu. Aproksymujemy zagadnienie brzegowe

−∆u(p) + cu(p) = f (p), c ≥ 0, p ∈ Ω,

u(p) = φ(p), p ∈ ∂Ω,

(zak ladamy, ˙ze ma ono rozwi

azanie co najmniej klasy C

!) przy po-

mocy schematu z otoczeniem siatkowym

(p) =

∗

dla Ω ⊂ R

, na siatce o sta lym kroku h w obu kierunkach. Zak ladamy

tak˙ze, ˙ze uzyskuje si

e w ten spos´

ob schemat rz

edu 2.

Wyci

agnij stad wnioski dotycz

ace b l

edu inter(extra)polacji: U˙zyj wielo-

mianu interpolacyjnego i wzor´

ow na oszacowania b l

edu interpolacji.

Por´

ownaj wyniki z punktu widzenia stosowalno´sci r´

o˙znych kryteri´

stabilno´sci.

10. Dla zagadnienia

−∆u(p) + cu(p) = f (p), c > 0, p ∈ Ω,

postawionego na kwadracie Ω ⊂ R

o bokach r´

ownoleg lych do osi

uk ladu wsp´

o lrz

ednych, z warunkiem brzegowym Neumanna

u(p) = φ(p), p ∈ ∂Ω

11 d

oznacza tutaj operator pochodnej normalnej do brzegu, skierowanej na zewnatrz

obszaru Ω.

zbudowano schemat r´

o˙znicowy na siatce ze sta lym krokiem h w obu

kierunkach, oparty na takim samym otoczeniu siatkowym dla punkt´

wewn

etrznych jak w poprzednim zadaniu. Niech brzeg siatki b

edzie

zawarty w brzegu obszaru Ω.

Zak ladaj

ac, ˙ze r´

ownanie r´

o˙zniczkowe jest spe lnione tak˙ze na brzegu ∂Ω,

zbuduj aproksymacj

e warunku brzegowego rz

edu przynajmniej 2.

11. Zastosuj kryterium stabilno´sci sformu lowane we wnioskach z Twier-

dzenia 2 z Wyk ladu 3 do zbadania stabilno´sci schematu

−[

(∇∆)

+ (∇∆)

k,l

+ [

(∆ + ∇)

k,l

(∆ + ∇)

k,l

+ cu

k,l

= f

k,l

c ≥ 0,

dla punkt´

ow wewn

etrznych obszaru siatkowego Ω

, z warunkami Dirich-

leta na brzegu obszaru Γ

. Jako obszar przyjmij kwadrat na p laszczy´

znie,

kt´

orego boki s

a r´

ownoleg le do osi uk ladu wsp´

o lrz

ednych, oraz zbuduj

siatk

e o sta lym kroku h w obu kierunkach, kt´

orej brzeg le˙zy na brzegu

obszaru.

12.

(a) Dane jest zagadnienie brzegowe

−u

(t) + cu(t) = f (t), c ≥ 0, t ∈ (a, b),

u(a) = u(b) = 0,

Zak ladaj

ac, ˙ze istnieje rozwi

azanie klasyczne u, udowodnij, ˙ze

spe lnia ono nast

epuj

ace oszacowanie

kuk ≤ M kf k

gdzie k · k oznacza ka˙zda z (semi)norm | · |

, k · k

, za´s M

jest sta la. Zastan´

ow si

e co oznacza to oszacowanie.

(b) Zagadnienie z punktu (a) zaaproksymowano r´

o˙znicowo na siatce

= a + kh, k = 0, 1, · · · , N + 1, h =

b − a

N + 1

i otrzymano schemat

−

∇∆u

+ cu

= f

, k = 1, 2 · · · , N,

= u

N +1

= 0.

Udowodnij, ˙ze schemat jest stabilny zar´

owno w normie k · k

, jak

i w normie k · k

. Zastan´

ow si

e nad dobrymi i z lymi stronami

aproksymacji w ka˙zdej z rozwa˙zanych norm.

13. Dany jest uk lad r´

owna´

n algebraicznych liniowych

Ax = d

o macierzy symetrycznej i dodatnio okre´slonej. Proces iteracyjny Ri-
chardsona jest okre´slony w nast

epuj

acy spos´

− dowolny, x

k+1

= x

+ κr

gdzie r

= d − Ax

jest tak zwanym reziduum na k-tym kroku, za´s

κ to wsp´

o lczynnik relaksacji, kt´

ory dobieramy tak, aby uzyska´

c jak

najlepsz

a zbie˙zno´s´

c procesu.

(a) Wyra´

z przy pomocy w lasno´sci widma macierzy C = I − κA

warunek konieczny i dostateczny zbie˙zno´sci do zera ci

agu macie-

rzy C

, gdy k → ∞. Zastosuj uzyskany wynik dla okre´slenia

warunk´

ow zbie˙zno´s´

ci procesu Richardsona.

(b) zak ladaj

ac, ˙ze widmo macierzy A jest uporz

adkowane jak ni˙zej

≤ λ

≤ · · · ≤ λ

wyznacz taka warto´s´

c κ przy kt´

orej zbie˙zno´s´

c procesu Richardsona

jest najszybsza.

z wsp´

o lczynnik zbie˙zno´sci procesu

Richardsona poprzez wsp´

o lczynnik uwarunkowania macierzy

14. Do iteracji Richardsona dla uk ladu Ax = d wprowad´

z precondit-

ing w nast

epuj

acy spos´

ob: niech M = M

> 0 i niech macierz

M b

edzie bliska macierzy A. Oznaczmy przez C pierwiastek z M :

M = CC.

Ponadto za l´

o˙zmy, ˙ze potrafimy latwo rozwi

aza´

c uk lad

M z = r. Utw´

orzmy nowy uk lad C

−1

y = C

−1

d, kt´

ory oznaczymy

Ay = ˜

(a) Zastan´

ow si

e, dlaczego ten nowy uk lad mo˙ze mie´

c mniejszy wsp´

o l-

czynnik uwarunkowania ni˙z uk lad oryginalny.

(b) Zauwa˙z, ˙ze x = C

−1

ac kolejne

wektory procesu przez y

, za´s rezidua przez s

(d) Wzoruj

ac si

e na zale˙zno´sci mi

edzy x i y utw´

orz nowe wektory

i nowe rezidua z nimi zwi

azane r

, wykorzystuj

ace macierz

A, macierz M i wektor d. Stanowczo pozb

ad´

z si

e macierzy C

−1

W trakcie procesu dopuszczamy rozwi

azywanie uk ladu r´

owna´

n z

macierz

a M .

15. Roz l´

o˙zmy macierz A:

A = L + D + U,

gdzie L, D, U , to odpowiednio cz

e´s´

c pod diagonal

a, diagonala i cz

e´s´

nad diagonal

(a) Iteracja Jacobiego:

+ Dx

k+1

+ U x

= d.

Udowodnij, ˙ze je´sli

∃

0 ≤ ρ < 1 ∀

i6=j

i,j

i,i

< ρ,

to iteracja Jacobiego jest zbie˙zna do rozwi

azania uk ladu.

(b) Gauss-Seidel:

(L + D)x

k+1

+ U x

= d.

Wykorzystuj

ac Twierdzenie o Postaci Kanonicznej (patrz

ni˙zej), udowodnij, ˙ze iteracja Gaussa -Seidel’a zbiega, gdy

A = A

> 0.

kanonicznej, gdy

k+1

− x

+ Ax

= d.

tutaj B jest macierz

a odwracalna, za´s τ > 0, to wsp´

o lczynnik

relaksacji. Zauwa˙z, ˙ze proces ten mo˙ze zawiera´

c w sobie precon-

diting. Zachodzi twierdzenie:

Twierdzenie o Postaci Kanonicznej. Je´

sli

• A = A

> 0

• B −

τ
2

A > 0

to proces jest zbie˙zny w normie energetycznej:

kx − x

→ 0.

Udowodnij Twierdzenie o Postaci Kanonicznej.

(d) Zbadaj zbie˙zno´s´

c procesu pod - nad relaksacji:

(D + ωL)x

k+1

= [(1 − ω)D − U ω]x

+ ωd.

Tutaj Ax = d, A = A

> 0, za´s ω, to parametr dodatni. Gdy

ω < 1, proces nazywa si

e pod-relaksacja, gdy ω > 1 nad-relaksacja.

Dla ω = 1, to proces Gaussa-Seidel’a.

16. Niech u ∈ C

(Ω), gdzie Ω ⊂ R

jest obszarem o brzegu dostatecznie

regularnym.

(a) Znajd´

z div∇u.

(b) Niech v ∈ C

(Ω) i niech w ∈ [C

(Ω)]

. Udowodnij, ˙ze

Ω

vdiv(w)dΩ =

Ω

div(vw)dΩ −

Ω

∇vwdΩ.

Zastosuj

Twierdzenie Gaussa. Niech u ∈ [C

(Ω)]

. Wtedy

Ω

div(u)dΩ =

∂Ω

u ndS,

gdzie n jest wersorem normalnym do brzegu ∂Ω, skierowanym na
zewn

atrz obszaru.

aby otrzyma´

c wz´

or na ca lkowanie przez cz

e´

sci

−

Ω

v∆udΩ = −

∂Ω

udS +

Ω

∇v∇udΩ.

or do utworzenia sformu lowania uog´

olnionego

dla r´

ownania:

−∆u(p) + cu(p) = f (p), p ∈ Ω

z warunkiem jednorodnym Dirichleta, oraz z warunkiem (niejed-
norodnym) Neumanna. Pami

etaj o Twierdzeniu o ´

Sladzie!.

(d) Powt´

orz to samo dla r´

ownania typu eliptycznego

−

i,j=1

∂

∂x

i,j

∂

∂x

]u + cu = f,

z warunkiem Dirichleta jednorodnym.

(e) Wyprowad´

z odpowiednik ”naturalnego” warunku Neumanna w

tym przypadku.

17. Niech

a : V × V → R

edzie form

a dwuliniow

a ci

ag l

a, koercywn

a i symetryczn

a, za´s

l : V → R

form

a liniow

a ci

ag l

a nad przestrzeni

a Hilberta V .

Okre´slimy funkcjona l

J (v) =

a(v, v) − lv.

(a) Udowodnij, ˙ze warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby

J (u) = min

v∈V

J (v)

jest

a(u, v) = lv, ∀v ∈ V.

(b) Udowodnij, ˙ze J osi

aga zawsze jedyne minimum globalne w V .

18. Niech K ⊂ V b

edzie zbiorem wypuk lym i domkni

etym w przestrzeni

Hilberta V , a : V × V → R form

a dwuliniow

a ci

ag l

a, symetryczn

a, i

koercywn

a nad V , l : V → R form

a liniow

a ci

ag l

a nad V . Udowodnij

nast

epuj

a wersj

e Twierdzenia Lax’a - Milgrama:

Twierdzenie. W K istnieje jedyny punkt u, w kt´

orym funkcjona l J

osi

aga minimum.

Wskaz´

owka. Udowodnij najpierw, ˙ze funkcjona l J jest ograniczony z do lu

na zbiorze K przez liczb

e −

klk

2γ

, gdzie γ, to sta la koercywno´

sci. Nast

epnie

okre´

sl ci

ag element´

∈ K, J (v

) = c

∈ R,

gdzie c

jest ci

agiem minimalizuj

acym, to jest d

a˙z

acym do kresu dolnego

funkcjona lu J. Udowodnij, ˙ze ka˙zdy taki ci

ag {v

} jest ci

agiem Cauchy’ego.

19. Przy za lo˙zeniach poprzedniego zadania, udowodnij, ˙ze u ∈ K jest punk-

tem w kt´

orym funkcjona l J osi

aga minimum wtedy i tylko wtedy, gdy

spe lnia on nast

epuj

a nier´

owno´

s´

c wariacyjn

a(u, v − u) ≥ l(v − u) ∀v ∈ K.

Wskaz´

owka.

• Zauwa˙z, ˙ze a(u,v) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni Hilberta V .

• Zauwa˙z, ˙ze norma w V i norma wprowadzona przez form

e a s

a r´

ownowa-

˙zne.

• Wyra´

z funkcjona l l poprzez nowy iloczyn skalarny (Twierdzenie Rie-

sza!).

• Zauwa˙z, ˙ze minimalizacja funkcjona lu J na K, to to samo co znalezie-

nie w K elementu najlepszej aproksymacji, w sensie nowej normy, dla
znalezionej reprezentacji Riesza funkcjona lu l.

• Znajd´

z warunek geometryczny, (analogiczny do takiego warunku dla

rzutu ortogonalnego na podprzestrze´

n) dla rzutu ortogonalnego na

zbi´

or K.

20. Zbadaj elementy: {T, P

, Σ

}, V = H

(Ω), Ω ∈ R

. Wyznacz bazy

dualne, zbadaj konforemno´s´

c, zbuduj bazy w przestrzeni elementu sko´

czonego.

(a) T - tr´

ojk

at o wierzcho lkach p

, p

;

-wielomiany dw´

och

zmiennych, stopnia ≤ 1; Σ

: φ

(P ) = P (p

) j = 0, 1, 2.

(b) T - tr´

ojk

at; p

j = 0, 1, 2, ´srodki bok´

ow, P

- jak wy˙zej Σ

- jak

wy˙zej.

j = 0, 1, 2, 3;

: wielomiany

dw´

och zmiennych stopnia nie wi

ekszego ni˙z 2;

: jak wy˙zej

(cztery elementy).

21. Dla funkcji f (x) = |x| znajd´

z przynajmniej dwie pochodne dystry-

bucyjne.

22. Do rozwi

azania uk ladu r´

owna´

n algebraicznych liniowych

Ax = d

o macierzy A symetrycznej i dodatnio okre´slonej zastosowano Metod

Gradient´

ow Sprz

e ˙zonych - w skr´

ocie CG. Metoda iteracyjna CG

polega na minimalizacji funkcjona lu

J (x) =

Ax − x

na ka˙zdym kroku iteracji. Minimalizacji dokonujemy zawsze w przes-
trzeni wymiaru 1.

Warto sobie zapami

eta´

c, ˙ze metoda CG charakteryzuje si

e znacznie

lepszym wsp´

o lczynnikiem zbie˙zno´sci ni˙z metody iteracyjne dotychczas

om´

owione. Wiemy na przyk lad, ˙ze dla iteracji Richardsona wsp´

o lczynnik

zbie˙zno´sci wynosi

q =

cond(A) − 1

cond(A) + 1

Dla metody CG mamy

q =

cond(A) − 1

cond(A) + 1

Przy bardzo du˙zych warto´sciach cond(A) pojawienie si

e pierwiastka ma

du˙ze znaczenie!

(a) Iteracj

e zaczynamy od dowolnego punktu x

. Wybieramy wektor

= r

= d − Ax

(b) Je´sli ju˙z okre´slili´smy x

i p

, to wybieramy

k+1

= x

+ α

gdzie α

jest tak dobrane, ˙ze

J (x

+ α

) = min

α∈R

J (x

+ αp

Kolejny wektor p

k+1

okre´slamy przy pomocy warunk´

k+1

= r

− α

k+1

= r

k+1

+ β

gdzie p

T
k

k+1

= 0.

Nale˙zy:

• wyliczy´c wsp´

o lczynniki α

i β

• pokaza´c, ˙ze prawdziwe s

a tak˙ze takie (numerycznie dogodniejsze)

wzory

T
k

k+1

• pokaza´c, ˙ze na ka˙zdym kroku iteracji minimalizuje si

kx − x

• pokaza´c, ˙ze algorytm znajduje dok ladne rozwi

azanie uk ladu po n

krokach, gdzie n jest wymiarem zadania.

23. Bardzo proste zagadnienia ewolucyjne. Zajmiemy si

e najpierw

zagadnieniem Cauchy’ego dla bardzo prostego r´

ownania hiperbolicz-

nego pierwszego rz

edu.

+ µu

= 0, u(0, x) = φ(x), t ≥ 0, x ∈ R,

gdzie µ jest sta la.

(a) Udowodnij, ˙ze je´sli φ ∈ C

, to rozwi

azaniem jest

u(t, x) = φ(x − µt).

Zinterpretuj ten wynik jako przemieszczaj

a si

e fal

(b) Metoda Fouriera badania stabilno´

sci schemat´

ow r´

o ˙znico-

wych polega na tym, ˙ze poszukujemy rozwi

azania schematu r´

o˙zni-

cowego w postaci

n
k

= γ

iαk

gdzie α jest dowolna liczba rzeczywista, u

n
k

≈ u(kh, nτ ), h > 0 to

krok ”przestrzenny”, za´s τ > 0 to krok ”czasowy”. Po wstawieniu
tego wyra˙zenia do schematu, wyliczamy γ w zale˙zno´sci od α. Je´sli
z tego zwi

azku wynika, ˙ze

|γ(α)| ≤ 1 ∀ α ∈ R,

to schemat jest stabilny w pewnej normie dyskretnej (patrz tak˙ze
dalsze zadania).

Zbadaj stabilno´

s´

c nast

epuj

acych schemat´

ow r´

o ˙znicowych

i zinterpretuj ich po lo ˙zenie na siatce, zbadaj ich rz

ad:

i. Schematy Upwind.

n+1
k

− u

n
k

= λµ[u

n
k

− u

n
k−1

gdzie λ =

τ
h

, za´s τ > 0 to krok ”czasowy”, a h > 0 to krok

”przestrzenny”. Wielko´s´

c λ > 0 nale˙zy traktowa´

c jako sta la.

Trzeba zauwa˙zy´

c, ˙ze stabilno´s´

c schematu zale˙zy zar´

owno od

znaku µ (dla jakich µ ten schemat jest dobry?), jak i od
warto´sci λ. Znajd´

z warunek jaki powinna spe lnia´

c sta la λ.

Zinterpretuj ten fakt z punktu widzenia postaci siatki. Skon-
struuj schemat dobry dla dla µ o przeciwnym znaku. Je´sli
stabilno´s´

c schematu zale˙zy od warto´sci λ, to taki schemat

nazywa si

e warunkowo stabilny.

ii. ”Pozornie” lepszy schemat.

n+1
k

= u

n
k

µ[u

n
k+1

− u

n
k−1

iii. Schemat Laxa - Friedrichsa.

n+1
k

n
k−1

+ u

n
k+1

µ[u

n
k+1

− u

n
k−1

iv. R´

ownanie typu parabolicznego.

= au

, a > 0, 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t,

warunek pocz

atkowy

u(0, x) = φ(x), x ∈ [0, L], L > 0,

warunki brzegowe

u(t, 0) = ψ

(t), u(t, L) = ψ

(t).

Przy pomocy metody Fouriera zbadaj stabilno´s´

c schematu z

parametrem 0 ≤ σ ≤ 1

n+1
k

= u

n
k

+ λa[σ(u

n
k−1

− 2u

n
k

+ u

n
k+1

+(1 − σ)(u

n+1
k−1

− 2u

n+1
k

+ u

n+1
k+1

)],

λ =

Schemat dla σ = 0 jest otwarty. Trzeba zauwa˙zy´

c, ˙ze dla

pewnych warto´sci σ (dla jakich?) schemat jest warunkowo
stabilny, dla innych jest stabilny bezwarunkowo. Zauwa˙z jaka
jest stabilno´s´

c schematu otwartego. Zauwa˙z, ˙ze schemat zam-

kni

ety wymaga rozwi

azania na ka˙zdym kroku czasowym uk la-

du r´

owna´

n algebraicznych liniowych. Wypisz ten uk lad. Zas-

tan´

ow si

e jak mo˙znaby go rozwi

azywa´

c numerycznie. Zbadaj

ad schematu w zale˙zno´sci od σ. (Uwaga na punkt σ =

1
2

Wyciagnij wnioski co do budowy siatki, w przypadku gdy
schemat jest tylko warunkowo stabilny.

sci

schemat´

ow 2-poziomowych. Schemat dwupoziomowy jest w

postaci kanonocznej, je´sli

n+1

− u

+ Au

= f

gdzie u

oznacza ca le rozwi

azanie schematu na n-tym poziomie

czasowym, A i B s

a macierzami odpowiedniego wymiaru, f

jest

wektorem. Zak lada si

e, ˙ze A = A

> 0.

Mo˙zna udowodni´

c, ˙ze schemat jest stabilny (w normie mieszanej:

2
h

dla zmiennych przestrzennych, max dla zmiennej t), je´sli

∃ ∈ (0, 1] ˙ze B ≥ I +

Zbadaj stabilno´s´

c schematu z zadania 23(b)iv. przy pomocy tego

kryterium. Zastosuj t

e sama metod

e w przypadku, gdy wsp´

o lczyn-

nik a = a(x) > 0 (zale˙zy od x).

24. DFT - Dyskretna Transformata Fouriera. Niech

= {u

, u

, · · · , u

N −1

}

edzie ci

agiem liczbowym. Ci

ag ten przed lu˙zamy ”w obie strony” w

spos´

ob periodyczny, to znaczy tak, ˙ze dla dowolnego s ca lkowitego u

k+sN

DFT ci

agu u

, to ci

F u

= ˆ

= {ˆ

, ˆ

, · · · , ˆ

N −1

gdzie

N −1

j=0

−i

2πkj

k = 0, 1, · · · , N − 1.

Odwrotna DFT (IDFT) ci

agu u

, to ci

= {ˇ

, ˇ

, · · · , ˇ

N −1

}

gdzie

N −1

j=0

2πjk

, k = 0, 1, · · · , N − 1.

(a) Odwrotno´

s´

c. Udowodnij, ˙ze F

−1

= ˇ

(b) Przesuni

ecie. Niech

·+p

= {u

, u

1+p

, u

2+p

, · · · , u

N −1+p

gdzie p jest liczba ca lkowita. Udowodnij, ˙ze

·+p

) = v

= {v

, v

, · · · , v

N −1

gdzie

= e

2π

2
0,h

= h

N −1

j=0

Udowodnij, ˙ze

kˆ

0,h

√

0,h

(d) Dla schematu r´

o˙znicowego dwupoziomowego, otwartego postaci

n+1
k

j=−r

n
k+j

z warunkiem pocz

atkowym

0
k

= φ

k = · · · , −1, 0, 1, · · ·

periodycznym o okresie N , znajd´

z DFT.

(e) Udowodnij, ˙ze dla ka˙zdego n = 0, 1, 2, · · ·

n
k

= (γ

)

0
k

gdzie γ

jest pewna liczba zespolona zale˙zna od k.

(f) Wypisz posta´

c γ

jako funkcji k.

(g) Wyra´

z u

poprzez ˆ

(h) Na podstawie przeprowadzonych rozwa˙za´

n w poprzednich punk-

tach zadania, uzasadnij, dlaczego w Metodzie Fouriera badania
stabilno´sci schemat´

ow r´

o˙znicowych omawianego typu, poszuku-

jemy rozwi

azania schematu w formie

n
k

= γ(α)

iαk

∀ α ∈ R.

(i) Udowodnij, ˙ze warunek |γ(α)| ≤ 1 poci

aga stabilno´s´

c schematu

rozwa˙zanej wy˙zej postaci w normie

k = max

0≤n

0,h

LITERATURA

Podstawowe ´

zr´

od la, na kt´

orych opiera si

e ten tekst to:

1. Dietrich Braess ”Finite Elements” Second edition, Cambridge Uni-

versity Press, 2001

2. Maksymilian Dryja, Janina i Micha l Jankowscy ”Przegl

ad Metod i

Algorytm´

ow Numerycznych” Wydawnictwa Naukowo – Techniczne,

Warszawa 1982

3. Kˆ

osaku Yosida ”Functional Analysis” Springer – Verlag, 1966

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metody Komputerowe i Numeryczne, Równania różniczkowe zwyczajne
19-21, Rozwiązanie numeryczne równań różniczkowych przy rozwinięciu w szereg Taylora
Janus J , Myjak J Wprowadzenie Do Równań Różniczkowych Cząstkowych
Równania różniczkowe cząstkowe 2
Metody Komputerowe i Numeryczne, Równania różniczkowe zwyczajne
Metody numeryczne Rownanie rozniczkowe
Urbański P Równania Rózniczkowe Cząstkowe
matematyka wykłady z równan różniczkowych
Numeryczne rozwiazywanie zagadnien poczatkowych równan i układów równan rózniczkowych zwyczajnych
B Bożek wykłady równania różniczkowe
pracownicy panek materialy Wykład 6 właściwy, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Równania różniczkowe sciąga, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka
Równania różniczkowe, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka, MATEM
Metody jednokrokowe rozwiązywania równań różniczkowych, aaa, studia 22.10.2014, całe sttudia, III se
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE METOD PRZEWIDYWAŃ
Sprawozdanie równanie różniczkowe, Automatyka i robotyka air pwr, VI SEMESTR, Metody numeryczne
Wykład 2 równania różnicowe transformata Z

więcej podobnych podstron