Równania ró»niczkowe cz¡stkowe

Zadanie 1. Rozwi¡za¢ r-nie ró»niczkowe ∂ 2 u + ex cos y = 0 z warunkami u( x, 0) = ex, u(0 , y) = cos y.

∂x∂y

Warunek zgodno±ci jest speªniony, poniewa»:

u( x, 0) = ex ⇒ u(0 , 0) = e 0 = 1 ,

u(0 , y) = cos y ⇒ u(0 , 0) = cos 0 = 1.

Rozwi¡zanie:

∫

∂ 2 u + ex cos y = 0 /

dx

∂x∂y

∫

∂u + ex cos y + C( y) = 0 /

dy

∂y

u + ex sin y + C 1( y) + D( x) = 0 , gdzie C′ ( y) = C( y), funkcje C

1

1( x) i D( x) s¡ klasy C 1.

Zatem rozwi¡zanie jest postaci:

u( x, y) = −ex sin y − C 1( y) − D( x) .

Rozwi¡zanie ma speªnia¢ podane warunki, zatem

u( x, 0) = −ex sin 0 − C 1(0) − D( x) = −C 1(0) − D( x) = ex, u(0 , y) = −e 0 sin y − C 1( x) − D(0) = − sin y − C 1( x) − D(0) = cos y.

Nale»y z tych warunków znale¹¢ wyra»enie −C 1( y) − D( x). Dodajemy stronami powy»sze równania i otrzymujemy

−C 1(0) − D( x) − sin y − C 1( x) − D(0) = ex − cos y,

−C 1( x) − D( x) = ex − cos y + sin y + C 1(0) + D(0) .

Z warunku zgodno±ci mamy

u(0 , 0) = −C 1(0) − D(0) = 1 ,

czyli st¡d mamy

C 1(0) + D(0) = − 1 .

Wstawiamy to do wzoru na wyra»enie −C 1( y) − D( x) i otrzymujemy

−C 1( x) − D( x) = ex − cos y + sin y − 1 , zatem rozwi¡zaniem danego równania z podanymi warunkami jest funkcja

u( x, y) = −ex sin y + ex − cos y + sin y − 1 .

Zadanie 2. Rozwi¡za¢ r-nie ró»niczkowe ∂ 2 u − ey ∂u = 0 z warunkami u( x, 0) = x 2, u(0 , y) = y.

∂x∂y

∂x

Warunek zgodno±ci jest speªniony poniewa»

u( x, 0) = x 2 ⇒ u(0 , 0) = 02 = 0 ,

u(0 , y) = y ⇒ u(0 , 0) = 0 .

Rozwi¡zanie:

∫

∂ 2 u − ∂u

ey

= 0 /

dx

∂x∂y

∂x

1

∂u − eyu = C( y)

∂y

Rozwi¡zujemy to równanie jest równanie ró»niczkowe liniowe zwyczajne niejednorodne. Aby je rozwi¡za¢, najpierw nale»y rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe liniowe jednorodne:

∂u − eyu = 0

∂y

∂u = eyu

∂y

du = eydy

u

ln |u| = ey + C 1( x)

bo C 1( x) jest staª¡ wzgl¦dem zmiennej y. Mamy

u = eey eC 1( x) = eey C 2( x) ,

gdzie C 2( x) = eC 1( x). Stosujemy teraz metod¦ uzmiennienia staªej, czyli C 2 = C 2( x, y) wstawiamy do równania ró»niczkowego niejednorodnego i wyliczamy funkcj¦ C 2:

u( x, y) = C 2( x, y) eey

∂u = C′ ( x, y) eey + C 2( x, y) eeyey

∂y

2 y

C′ ( x, y) eey + C

2 y

2( x, y) eey ey − ey C 2( x, y) eey = C ( y) C′ ( x, y) eey = C( y)

2 y

C′ ( x, y) = C( y) e−ey = D( y) 2 y

Poniewa» C( y) jest dowoln¡ funkcj¡ zmiennej y, to je±li pomno»ymy j¡ przez e−ey to nadal b¦dzie dowoln¡

funkcj¡ zmiennej y, któr¡ mo»emy nazwa¢ D( y).

∫

C 2( x, y) =

D( y) dy = E( y) + F ( x) , gdzie E′( y) = D( y). (Funkcja F ( x) jest funkcja zmiennej x wi¦c jest staª¡ wzgl¦dem zmiennej y.) Rozwi¡zanie równania ró»niczkowego jest postaci:

u( x, y) = ( E( y) + F ( x)) eey .

Rozwi¡zanie ma speªnia¢ warunki pocz¡tkowe, zatem

u( x, 0) = ( E(0) + F ( x)) ee 0 = ( E(0) + F ( x)) e = x 2 , u(0 , y) = ( E( x) + F (0)) eey = y.

Szukamy elementu E( y) + F ( x), zatem z pierwszego równania wyliczymy F ( x), a z drugiego E( y).

F ( x) = x 2 e− 1 − E(0)

E( x) = ye−ey − F (0)

Dodajemy stronami te równania i mamy

E( x) + F ( y) = x 2 e− 1 − E(0) + ye−ey − F (0) .

Z warunku zgodno±ci u(0 , 0) = ( E(0) + F (0)) e = 0, czyli E(0) + F (0) = 0, zatem rozwi¡zaniem podanego równania ró»niczkowego z danymi warunkami jest funkcja

u( x, y) = ( x 2 e− 1 + ye−ey ) eey = x 2 eey− 1 + y.