Równania ró»niczkowe cz¡stkowe
Zadanie 1. Rozwi¡za¢ r-nie ró»niczkowe ∂ 2 u + ex cos y = 0 z warunkami u( x, 0) = ex, u(0 , y) = cos y.
∂x∂y
Warunek zgodno±ci jest speªniony, poniewa»:
u( x, 0) = ex ⇒ u(0 , 0) = e 0 = 1 ,
u(0 , y) = cos y ⇒ u(0 , 0) = cos 0 = 1.
Rozwi¡zanie:
∫
∂ 2 u + ex cos y = 0 /
dx
∂x∂y
∫
∂u + ex cos y + C( y) = 0 /
dy
∂y
u + ex sin y + C 1( y) + D( x) = 0 , gdzie C′ ( y) = C( y), funkcje C
1
1( x) i D( x) s¡ klasy C 1.
Zatem rozwi¡zanie jest postaci:
u( x, y) = −ex sin y − C 1( y) − D( x) .
Rozwi¡zanie ma speªnia¢ podane warunki, zatem
u( x, 0) = −ex sin 0 − C 1(0) − D( x) = −C 1(0) − D( x) = ex, u(0 , y) = −e 0 sin y − C 1( x) − D(0) = − sin y − C 1( x) − D(0) = cos y.
Nale»y z tych warunków znale¹¢ wyra»enie −C 1( y) − D( x). Dodajemy stronami powy»sze równania i otrzymujemy
−C 1(0) − D( x) − sin y − C 1( x) − D(0) = ex − cos y,
−C 1( x) − D( x) = ex − cos y + sin y + C 1(0) + D(0) .
Z warunku zgodno±ci mamy
u(0 , 0) = −C 1(0) − D(0) = 1 ,
czyli st¡d mamy
C 1(0) + D(0) = − 1 .
Wstawiamy to do wzoru na wyra»enie −C 1( y) − D( x) i otrzymujemy
−C 1( x) − D( x) = ex − cos y + sin y − 1 , zatem rozwi¡zaniem danego równania z podanymi warunkami jest funkcja
u( x, y) = −ex sin y + ex − cos y + sin y − 1 .
Zadanie 2. Rozwi¡za¢ r-nie ró»niczkowe ∂ 2 u − ey ∂u = 0 z warunkami u( x, 0) = x 2, u(0 , y) = y.
∂x∂y
∂x
Warunek zgodno±ci jest speªniony poniewa»
u( x, 0) = x 2 ⇒ u(0 , 0) = 02 = 0 ,
u(0 , y) = y ⇒ u(0 , 0) = 0 .
Rozwi¡zanie:
∫
∂ 2 u − ∂u
ey
= 0 /
dx
∂x∂y
∂x
1
∂y
Rozwi¡zujemy to równanie jest równanie ró»niczkowe liniowe zwyczajne niejednorodne. Aby je rozwi¡za¢, najpierw nale»y rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe liniowe jednorodne:
∂u − eyu = 0
∂y
∂u = eyu
∂y
du = eydy
u
ln |u| = ey + C 1( x)
bo C 1( x) jest staª¡ wzgl¦dem zmiennej y. Mamy
u = eey eC 1( x) = eey C 2( x) ,
gdzie C 2( x) = eC 1( x). Stosujemy teraz metod¦ uzmiennienia staªej, czyli C 2 = C 2( x, y) wstawiamy do równania ró»niczkowego niejednorodnego i wyliczamy funkcj¦ C 2:
u( x, y) = C 2( x, y) eey
∂u = C′ ( x, y) eey + C 2( x, y) eeyey
∂y
2 y
C′ ( x, y) eey + C
2 y
2( x, y) eey ey − ey C 2( x, y) eey = C ( y) C′ ( x, y) eey = C( y)
2 y
C′ ( x, y) = C( y) e−ey = D( y) 2 y
Poniewa» C( y) jest dowoln¡ funkcj¡ zmiennej y, to je±li pomno»ymy j¡ przez e−ey to nadal b¦dzie dowoln¡
funkcj¡ zmiennej y, któr¡ mo»emy nazwa¢ D( y).
∫
C 2( x, y) =
D( y) dy = E( y) + F ( x) , gdzie E′( y) = D( y). (Funkcja F ( x) jest funkcja zmiennej x wi¦c jest staª¡ wzgl¦dem zmiennej y.) Rozwi¡zanie równania ró»niczkowego jest postaci:
u( x, y) = ( E( y) + F ( x)) eey .
Rozwi¡zanie ma speªnia¢ warunki pocz¡tkowe, zatem
u( x, 0) = ( E(0) + F ( x)) ee 0 = ( E(0) + F ( x)) e = x 2 , u(0 , y) = ( E( x) + F (0)) eey = y.
Szukamy elementu E( y) + F ( x), zatem z pierwszego równania wyliczymy F ( x), a z drugiego E( y).
F ( x) = x 2 e− 1 − E(0)
E( x) = ye−ey − F (0)
Dodajemy stronami te równania i mamy
E( x) + F ( y) = x 2 e− 1 − E(0) + ye−ey − F (0) .
Z warunku zgodno±ci u(0 , 0) = ( E(0) + F (0)) e = 0, czyli E(0) + F (0) = 0, zatem rozwi¡zaniem podanego równania ró»niczkowego z danymi warunkami jest funkcja
u( x, y) = ( x 2 e− 1 + ye−ey ) eey = x 2 eey− 1 + y.