Janus J , Myjak J Wprowadzenie Do Równań Różniczkowych Cząstkowych

Wprowadzenie

do równań różniczkowych cząstkowych

Julian Janus, Józef Myjak

Spis treści

Rozdział 1. Wprowadzenie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rozdział 2. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych

cząstkowych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.

Równanie struny

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.

Drgania elektryczne w przewodnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.

Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.

Równanie przewodnictwa cieplnego w bryle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.

Przepływ cieczy. Równanie ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rozdział 3. Metoda charakterystyk dla równań liniowych pierwszego rzędu

3.1.

Równanie liniowe o stałych współczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.

Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego rzędu . . . . . . . . . . .

3.3.

Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe o n-zmiennych niezależnych . . . . .

3.4.

Metoda charakterystyk dla prawie-liniowego równania różniczkowego
cząstkowego pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.

Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.

Zadania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rozdział 4. Klasyﬁkacja równań liniowych rzędu drugiego. Metoda

charakterystyk

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.

Klasyﬁkacja równań róźniczkowych cząstkowych 2-go rzędu . . . . . . . . . . .

4.2.

Przypadek ogólny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.

Rozwiązywanie równań drugiego rzędu metodą charakterystyk . . . . . . . . .

4.4.

Zadania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.

Rozwiązanie równania struny ograniczonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.

Uzasadnienie metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.

Równanie niejednorodne struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.

Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.

Zadania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rozdział 6. Równanie falowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.

Rozwiązanie równania struny metodą d’Alamberta

. . . . . . . . . . . . . . .

6.2.

Równanie niejednorodne struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.

Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.

Niejednorodne równanie fal kulistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5.

Równanie fal walcowych. Metoda redukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6.

Zadania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe równania Laplace’a oraz równania

przewodnictwa cieplnego

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Spis treści

7.1.

Równanie Laplace’a i Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.

Rozwiązanie podstawowe równania Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.

Równanie Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.

Zasada maksimum

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.

Własność wartości średniej funkcji harmonicznej . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6.

Rozwiązanie podstawowe równania przewodnictwa cieplnego . . . . . . . . . . 100

7.7.

Problem początkowy dla równania ciepła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Rozdział 1

Wprowadzenie

Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów

drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak rów-
nież w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki. Pierwsze
równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J.
D’Alamberta (1717-1783). Było to równanie – według dzisiejszej nomenklatury – typu
hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L.
Euler (1707–1783) sprecyzował warunki określajace jednoznaczność rozwiązania tego
równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Póżniej, kieru-
jąc się sugestiami natury ﬁzycznej, D. Bernulli (1702–1782) przedstawił rozwiązanie
struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J. Fo-
urier (1750-1830) tworząc początki teorii szeregów trygonometrycznych. A.L. Cauchy
(1789-1857) sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane
dzisiaj zagadnieniem Cauchy’ego.

P. Laplace (1749-1827) zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch

mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę równania La-
place’a. S.D. Poisson (1781-1840) rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyj-
nego, w związku z którą wprowadził równanie zwane dziś równaniem Poissona. Tak
więc badania z zakresu mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania
klasy równań noszących dziś nazwę równań eliptycznych. W początkach XIX wieku
G. Green (1793-1841) stworzył ogólne podstawy teorii potencjału rozwijając teorię
elektryczności i magnetyzmu.

Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy doprowa-

dziły natomiast do powstania klasy równań które nazywamy dzisiaj równaniami pa-
rabolicznymi.

Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii

równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy mate-
matycy jak B. Riemann (1826-1866), H. Poincare (1854-1921), E. Picard (1856-1941),
J. Hadamard (1865-1937), E. Goursat (1854-1938). Z polskich matematyków wymienić
należy W. Pogorzelskiego (18 ) oraz autora jednej z pierwszych monograﬁi poświęco-
nych równaniom różniczkowym cząstkowym - M. Krzyżańskiego.

Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami za-

gadnień ﬁzyki i chociaż obecnie zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znako-
mita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk które pierwotnie
opisywały, np. równanie struny, równanie fali kulistej, równanie fali walcowej, rów-

Rozdział 1. Wprowadzenie

nanie przewodnictwa cieplnego, równanie dyfuzji. Wiek XX przyniósł dalszy bujny
rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem
nowych działów matematyki, zwłaszcza analizy funkcjonalnej.

Równanie róźniczkowe cząstkowe, to równanie w którym występuje niewiadoma

funkcja dwóch lub więcej zmiennych niezależnych oraz niektóre jej pochodne cząst-
kowe. Rzędem równania nazywamy najwyższy rząd pochodnej. I tak równaniem róż-
niczkowym cząstkowym pierwszego rzędu nazywamy zależność

F x

, . . . , x

, u, u

, . . . , u

= 0,

(1.1)

gdzie (x

, . . . , x

) ∈ U ⊂ R

, F : U × R

n+1

→ R jest zadaną funkcją, a u : U → R

funkcją szukaną.

Podobnie równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu nazywamy zależ-

ność

F x

, . . . , x

, u, u

, . . . , u

, u

, . . . , u

= 0,

(1.2)

gdzie F jest funkcją daną, a u funkcją szukaną.

Przykład 1.1.

Równanie

+ xu

+ 3u

− xy = 0,

gdzie u jest funkcją zmiennych x i y jest równaniem rzędu drugiego, a

xxy

+ 2u = 0,

jest równaniem rzędu trzeciego.

Rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego rzędu k w obszarze U ⊂ R

nazywamy funkcję u : U → R

, posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu

k, spełniającą równanie w każdym punkcie obszaru U . Rozwiązanie takie nazywamy
rozwiązaniem w sensie klasycznym (lub rozwiązaniem klasycznym). Zastosowania wy-
magają jednak często rozwiązań które nie mają ciągłych pochodnych, lub nie wszędzie
są różniczkowalne lub wreszcie nie wszędzie są ciągłe. Wymaga to wprowadzenia tak
zwanych rozwiązań słabych. W niniejszym tekście ograniczymy się do rozważania wy-
łącznie rozwiązań klasycznych, chociaż z punktu widzenia zatosowań są one daleko
niewystarczające. Postaramy się natomiast sygnalizawać sytuacje w których widać
potrzebę rozważania szerszej klasy rozwiązań, zachęcając w ten sposób Czytelnika do
sięgnięcia po opracowania bardziej zaawansowane.

Przykład 1.2.

Rozważmy równanie

= 4xy.

Po scałkowaniu względem y mamy

= 2xy

+ f (x),

(f jest dowolną funkcją zmiennej x) a po scałkowaniu względem x otrzymujemy

u = x

+ F (x) + G(y),

gdzie F i G są dowolnymi funkcjami klasy C

. Oczywiście są to rozwiązania klasyczne.

W dalszym ciągu będziemy rozważać pewne szczególne przypadki równań różnicz-

kowych cząstkowych.

Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym pierwszego rzędu nazywamy

równanie postaci (1.1), jeśli funkcja F jest liniowa względem funkcji u oraz jej
pochodnych u

, . . . , u

, czyli równanie postaci

i=1

, . . . , x

+ b(x

, . . . , x

)u = f (x

, . . . , x

(1.3)

Jeśli f = 0 to równanie (1.3) nazywamy jednorodnym.

Równaniem różniczkowym cząstkowym quasi–liniowym pierwszego rzędu nazywamy

równanie postaci (1.1) jeśli funkcja F jest liniowa względem funkcji u oraz jej pochod-
nych u

, . . . , u

, czyli równanie postaci

i=1

, . . . , x

, u)u

= f (x

, . . . , x

, u).

(1.4)

Jeśli f = 0 to równanie (1.4) nazywamy równaniem quasi–liniowym jednorodnym.

Zazwyczaj przyjmujemy, że zadane funkcje a

, . . . , a

oraz funkcja f są ciągłe w

rozważanych obszarach.

Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym drugiego rzędu nazywamy równa-

nie postaci (1.2) jeśli funkcja F jest liniowa względem funkji u oraz jej pochodnych,
tzn. równanie postaci

i,j=1

i=1

+ bu = f

(1.5)

gdzie a

, b

dla i, j = 1, . . . , n oraz f są zadanymi funkcjami zmiennych x

, . . . , x

Jeśli f = 0 to równanie (1.5) nazywamy jednorodnym.

Równaniem różniczkowym cząstkowym quasi–liniowym drugiego rzędu nazywamy

równanie postaci (1.2) jeśli funkcja F jest liniowa względem pochodnych drugiego
rzędu funkcji u czyli równanie postaci

i,j=1

, . . . , x

, u)u

+ g x

, . . . , x

, u, u

, . . . u

= 0.

(1.6)

Załóżmy, że rozważamy równanie różniczkowe w obszarze U. Jeśli szukamy rozwią-

zania które na brzegu ∂U obszaru U przyjmuje zadane wartości, to problem ten nazy-
wamy problemem brzegowym. Możemy też szukać rozwiązania dla którego na brzegu

Rozdział 1. Wprowadzenie

obszaru mamy zadane wartości pochodnych lub pochodne w kierunku normalnym do
powierzchni, lub też kombinację tych warunków.

Ze względu na interpretację ﬁzyczną, często wyróżniamy jedną ze zmiennych i

nazywamy czasem. Nie jest to na ogół obojętne, jeśli bowiem równanie różniczkowe
opisuje pewne zjawisko ﬁzyczne, to każda ze zmiennych ma z góry ustaloną interpreta-
cję. Jeśli poszukujemy rozwiązania które w chwili początkowej t = t

przyjmuje zadane

wartości, to rozważany problem nazywamy problemem początkowym albo problemem
Cauchy’ego. Możemy też szukać rozwiązania dla którego w chwili początkowej t = t

mamy zadane wartości pochodnych, lub rozwiązania które w chwili początkowej t = t

spełnia kombinację tych warunków.

Należy wyrażnie zaznaczyć, że nie istnieje ogólna metoda rozwiązywania równań

różniczkowych cząstkowych. Co więcej, stosowane techniki nie tylko zależą od typu
równania, ale również rozpatrywanych warunków początkowych i brzegowych. Dlatego
też badania skupiają się na konkretnych równaniach różniczkowych cząstkowych jak
też konkretnych problemach początkowych i brzegowych, które sa ważne z punktu
widzenia zastosowań w matematyce czy też w innych naukach.

Na koniec zauważmy, że ze względu na oszczędność zapisu sensownym jest wpro-

wadzenie operatorów różniczkowych

L =

i,j=1

∂

∂x

(1.7)

oraz

L =

i,j=1

∂

∂x

i=1

∂

∂x

(1.8)

Jeśli operator L jest określony wzorem (1.8), równanie (1.5) możemy wówczas zapisać
krótko Lu + g = 0.

Szczególnie rozpowszechniony jest operator Laplace’a (tzw. laplasjan)

∆ =

∂

∂x

+ . . . +

∂

∂x

oraz operator Nabla

▽ =

∂

∂x

, . . . ,

∂

∂x

Możemy też spotkać się z operatorem D’Alamberta (dalambercjanem)

= ∆

−

∂

∂t

Zauważmy, że ∆ = ▽ · ▽ = ▽

, przy czym iloczyn rozumiemy tu w sensie iloczynu

skalarnego.

Ze względu na elementarny charakter skryptu, zapis operatorowy będziemy uży-

wać rzadko. Podajemy go głównie ze względu na możliwość korzystania z literatury
bardziej zaawansowanej, gdzie oznaczenia te są raczej standartowe.

Rozdział 2

Przykłady zagadnień prowadzących do
równań różniczkowych cząstkowych

Równania różniczkowe cząstkowe służą jako modele dla opisu szeregu zjawisk po-

cząwszy od ﬁzyki i techniki, poprzez nauki przyrodnicze, ekonomię, medycynę aż
do nauk humanistycznych. I tak np. są one podstawowym narzędziem do opisu za-
gadnień mechaniki, elektrotechniki, hydromechaniki, akustyki czy ﬁzyki kwantowej.
W niniejszym rozdziale podamy przykłady opisu takich zjawisk, mianowicie drgań
struny, drgań elektrycznych w przewodniku, przewodnictwa ciepła oraz przepływu
cieczy lub gazu. Należy podkreślić, że w literaturze nietrudno znaleźć wyprowadzenia
bardziej precyzyjne. Na ogół wymagają one dokładniejszej znajomości zjawiska, jak
też nieco bardziej zaawansowanych narzędzi matematycznych. Ponieważ naszym ce-
lem jest elementarne wprowadzenie do teorii równań różniczkowych, również w tym
rozdziale ograniczymy się do rozważań bardzo uproszczonych.

2.1. Równanie struny

Przez strunę rozumiemy jednorodną elastyczną nić o stałym przekroju. Zakła-

damy, że struna jest zamocowana na osi 0x w punktach 0 i l i pod działaniem sił
naprężenia jest skierowana wzdłuż osi 0x. Przyjmujemy przy tym, że siła naprężenia
w każdym punkcie struny jest stała.

Jeśli pod działaniem siły zewnętrznej struna zostanie wyprowadzona z położenia

równowagi, to pod wpływem sił naprężenia zacznie drgać. W naszych rozważaniach
przyjmujemy, że struna przesuwa się w jednej płaszczyźnie, a punkty struny poruszają
się jedynie w kierunku prostopadłym do osi 0x.

Odchylenie u punktów drgającej struny jest szukaną funkcją dwóch zmiennych nie-

zależnych, współrzędnej x oraz czasu t, czyli u = u(x, t). Oczywiście, siła naprężenia T
jest w każdym punkcie styczna do struny, a ruch struny jest wymuszony jej składową
na oś 0u. Przyjmujemy, że wartość siły natężenia struny jest stała, ponadto rozważamy
tylko takie drgania, dla których amplituda jest mała w stosunku do długości struny.

Rozdział 2. Przykłady równań różniczkowych cząstkowych

Zauważmy, że siła działająca w kierunku osi 0u na element struny M

wyraża

się wzorem

T sin(ϕ + ∆ϕ) − T sin ϕ ∼

= T tg(ϕ + ∆ϕ)

− tg ϕ

= T

∂u(x + ∆x, t)

∂x

−

∂u(x, t)

∂x

= T

∂

u(x + θ∆x, t)

∂

∆x,

(2.1)

dla pewnego θ ∈ [0, 1] oraz ∆x = x

− x

. (Ponieważ założyliśmy, że ϕ jest małe,

wartość sin ϕ zastąpiliśmy watością tg ϕ, która - jak wiadomo - jest równa wartości
pochodnej, a następnie wykorzystaliśmy twierdzenie o wartości średniej).

Z drugiej strony, korzystając z zasady Newtona, siłę działającą w kierunku osi 0u

na element M

możemy wyrazić wzorem

ρ ∆x

∂

∂t

(2.2)

gdzie ρ oznacza gęstość liniową struny.

Porównując (2.1) i (2.2) otrzymamy

∂

∂x

∆x = ρ ∆x

∂

∂t

czyli

∂

∂t

= a

∂

∂x

(2.3)

gdzie współczynnik a =

T /ρ opisuje prędkość rozchodzenia się drgań prostopadłych.

Jest to równanie typu hiperbolicznego.

Zauważmy, że w opisanym modelu spełnione są następujące warunki brzegowe

u(0, t) = 0,

u(l, t) = 0

dla

x ∈ [0, l],

(2.4)

zaś wyprowadzenie struny z polożenia równowagi zadane jest warunkami początko-
wymi

u(x, 0) = ϕ(x),

(x, 0) = ψ(x)

dla t ∈ R

(2.5)

gdzie ϕ i ψ są zadanymi funkcjami, przy czym ϕ(0) = ψ(0).

Jeśli założymy, że na strunę działa siła zewnętrzna F to nietrudno sprawdzić, że

drgania struny opisane są równaniem

∂

∂t

= a

∂

∂x

+ f (x, t),

(2.6)

gdzie f(x, t) = F (x, t)/ρ.

2.2. Drgania elektryczne w przewodnikach

Przypomnijmy, że prąd przepływający w przewodniku scharakteryzowany jest

przez natężenie i = i(x, t) oraz napięcie u = u(x, t), gdzie x oznacza odległość liniową

2.2. Drgania elektryczne w przewodnikach

od początku linii, a t czas. Ponadto, jak zwykle niech R oznacza gęstość liniową
oporności przewodnika, C - gęstość liniową pojemności, L - gęstość liniową indukcji,
a G - gęstość liniową upływności (współczynnik izolacji).

Spadek potencjału przewodnika od punktu x do punktu x + ∆x, czyli

u(x, t) − u(x + ∆x, t) = −

∂u
∂x

(x + θ∆x, t)∆x,

jest spowodowany przez:

iR∆x – spadek napięcia wywołany oporem,

∂i
∂t

∆x – siłę elektromagnetyczną samoindukcji.

Zatem

iR∆x + L

∂i
∂t

∆x = −

∂u
∂x

∆x.

Stąd

∂u
∂x

+ L

∂i
∂t

+ iR = 0.

(2.7)

Podobnie, spadek natężenia na odcinku od x do x + ∆x w czasie ∆t, czyli

i(x, t) − i(x + ∆x, t)

∆t = −

∂i

∂x

(x + θ∆x, t)∆x∆t,

jest równy sumie:

C x

∂u

∂t

∆ ∆t – prądu przeplywającego przez rozważany odcinek,

G u ∆x∆t – strat prądu.

Zatem

∂u

∂t

∆x∆t + Gu∆x∆t = −

∂i
∂t

∆x∆t.

Stąd

∂i

∂x

+ C

∂u

∂t

+ Gu = 0.

(2.8)

Zespół równań (2.7), (2.8) nazywamy równaniami linii elektrycznej.

Różniczkując równanie (2.7) względem x a równanie (2.8) względem t otrzymamy

∂

∂x

+ L

∂

∂x∂t

+ R

∂i
∂t

= 0,

(2.9)

∂

∂t∂x

+ C

∂

∂t

+ G

∂u

∂t

= 0.

(2.10)

Jeśli przyjmiemy R ∼

= 0, G ∼

= 0, tzn.założymy, że linia jest bez samoindukcji i bez

upływnienia, to

∂

∂x

− LC

∂

∂t

= 0,

Rozdział 2. Przykłady równań różniczkowych cząstkowych

lub

∂

∂t

= a

∂

∂x

(2.11)

gdzie a = 1/

√

LC. Otrzymaliśmy zatem ponownie równanie postaci (2.3).

2.3. Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie

Rozważmy zagadnienie rozchodzenia się ciepła w pręcie jednorodnym. Niech u =

u(x, t) oznacza temperaturę w chwili t w punkcie x. Ilość ciepła przechodząca przez
sekcję pręta w punkcie x w przedziale czasowym ∆t wynosi

Q = k

∂u
∂x

S∆t,

gdzie k jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego a S powierzchnią przekroju
pręta. Jeśli Q

oznacza ilość ciepła przepływająca przez sekcję pręta w punkcie x = x

a Q

przez sekcję w punkcie x = x

, czyli

= k

∂u
∂x

x=x

S∆t,

= k

∂u
∂x

x=x

S∆t,

∆Q

− Q

= kS∆t

∂u

∂x

, t) −

∂u
∂x

, t)

kS∆t

∂

∂x

+ θ(x

− x

), t

∆x ∼

= kS

∂

∂x

, t

∆x∆t,

dla pewnego θ ∈ [0, 1] oraz ∆x = x

− x

Ciepło ∆Q powoduje zmianę temperatury odcinka [x

, x

] o wielkość ∆u, przy

czym

∆Q = cρS∆x∆u,

gdzie c oznacza ciepło właściwe a ρ gęstość właściwą pręta. Uwzględniając, że

∆u = u(x, t + ∆t) − u(x, t) =

∂u

∂t

(x, t + e

θ∆t)∆t ∼

∂u

∂t

(x, t)∆t,

równanie bilansu cieplnego możemy zapisać w postaci

∂

∂x

(x, t)∆x∆t = cρS

∂u

∂t

(x, t)∆x∆t.

Stąd

∂u

∂t

= a

∂

∂x

gdzie a

= k/(cρ). Jest to równanie typu parabolicznego.

2.4. Równanie przewodnictwa cieplnego w bryle

Rozważmy teraz zagadnienie rozchodzenia się ciepła w jednorodnej i izotropowej

bryle trójwymiarowej V o powierzchni S. Ilość ciepła przepływającego w jednostce
czasu przez element powierzchni ∆S wyraża się wzorem

Q = k

∂u
∂n

∆S,

gdzie k jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego a n oznacza normalną do po-
wierzchni S. Ponieważ

∂u
∂n

= n grad u,

ilość ciepła która przechodzi przez element powierzchni ∆S w czasie ∆t wyraża się
wzorem

Q = k ngrad u ∆S∆t.

Zatem przez powierzchnie S w czasie ∆t przechodzi natępująca ilość ciepła

Q = ∆t

k n grad u dS.

Przepływające ciepło powoduje zmianę temperatury ∆u = ∂u/(∂t)∆t. Przyrost ciepła
elementu bryły ∆V = ∆x∆y∆z w czasie ∆t wyraża się wzorem

c ∆V ρ ∆u = c ρ ∆V

∂u

∂t

∆t,

gdzie c oznacza ciepło właściwe a ρ gęstość właściwą bryły. Przyrost ciepła w bryle
V w czasie ∆t wyraża się wzorem

Q = ∆t

ZZZ

cρ

∂u

∂t

dxdydz.

Równanie bilansu cieplnego ma zatem postać

∆t

k n grad udS = ∆t

ZZ Z

∂u

∂t

dxdydz.

Po uproszczeniu przez ∆t i wykorzystaniu twierdzenia Gaussa – Ostrogradzkiego
otrzymamy

ZZ Z

div k grad u

dxdydz =

ZZ Z

cρ

∂u

∂t

dxdydz,

czyli

Z ZZ

div k grad u

− cρ

∂u

∂t

dxdydz = 0.

Rozdział 2. Przykłady równań różniczkowych cząstkowych

Ponieważ ostatnia równość zachodzi dla dowolnego obszaru V o dostatecznie reularnej
powierzchni, przy zołożeniu ciągłości wyrażeń podcałkowych otrzymamy

div k grad u

− cρ

∂u

∂t

= 0

lub

∂u

∂t

= a

div k grad u

gdzie a

= k/(cρ).

Ostatecznie otrzymane równanie możemy zapisać w postaci

∂u

∂t

= a

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

(2.12)

lub używając symbolu laplasjanu ∆ =

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

, w postaci

∂u

∂t

= a

∆u.

Jest to również równanie typu parabolicznego.

Jeśli w rozważanym obszarze znajdują się źródła ciepła opisane funkcją g(x, y, z, t),

wówczas można pokazać, że równanie przewodnictwa cieplnego przyjmie postać

cρ

∂u

∂t

− div k grad u

= g(x, y, z, t).

Jeśli temperatura nie zmienia się w czasie równanie przewodnictwa cieplnego ma

postać

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

= 0.

(2.13)

Równanie (2.13) nosi nazwę równania Laplace’a. Jest to równanie typu eliptycznego.

Aby znaleźć temperaturę ciała, wystarczy znać temperaturę na powierzchni, czyli

u(x, y, z) = ϕ(x, y, z)

dla (x, y, z) ∈ S.

oraz prędkość przepływu ciepła przez powierzchnię, czyli

∂u
∂n

(x, y, z) = ψ(x, y, z)

dla (x, y, z) ∈ S,

gdzie n oznacza wektor normalny do powierzchni. Ponieważ warunki te są zadane na
brzegu obszaru, problem ten nazywamy problemem brzegowym a wymienione warunki
warunkami brzegowymi.

2.5. Przepływ cieczy. Równanie ciągłości

Niech V będzie zadanym obszarem jednospójnym o regularnej powierzchni S.

Załóżmy, że przez obszar V przepływa ciecz lub gaz z prędkością v = v(x, y, z, t).
Niech ρ oznacza gęstość przepływającej substancji.

2.5. Przepływ cieczy. Równanie ciągłości

Przez element powierzchni ∆S w czasie ∆t przepływa

∆Q = ρ v ∆S ∆t

substancji, gdzie n ozncza wektor normalny do powierzchni S. Stąd przez powierzchnię
S w czasie ∆t przepłynie

∆Q = ∆t

Z Z

ρ n v dS

substancji.

Z drugiej strony ilość substancji w bryle V wynosi

Q =

Z ZZ

ρ dxdydz.

Przyrost substancji w czasie ∆t spowodowany zmianą gęstości wyraża się wzorem

∆Q =

Z ZZ

ρ(x, y, z, t + ∆t) dxdydz −

ZZ Z

ρ(x, y, z, t) dxdydz ∼

ZZZ

∂ρ

∂t

∆t dxdydz.

Równanie bilansu ilości substancji ma zatem postać

∆t

Z Z

ρ n v dS = ∆t

Z ZZ

∂ρ

∂t

dxdydz.

Wykorzystując twierdzenie Gaussa – Ostrogradzkiego otrzymamy

ZZ Z

div(ρ v)dxdydz =

ZZ Z

∂ρ

∂t

dxdydz.

Stąd wynika natychmiast tak zwane równanie ciągłości

∂ρ

∂t

− div(ρ v) = 0.

Jeśli przyjmimy, że

v =

−k

grad P,

∂ρ

∂t

= λ

∂P

∂t

gdzie P oznacza ciśnienie, a λ współczynnk przepuszczalności, to

∂P

∂t

= div (k gradP ),

lub

∂P

∂t

k
λ

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

(2.14)

Jeśli rozważana substancja jest nieściśliwa, wówczas

∂P

∂t

= 0, a równanie (2.14) przyj-

mie postać

div (grad u) = 0,

lub

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

= 0.

Ponownie otrzymaliśmy równanie Laplace’a.

Rozdział 3

Metoda charakterystyk dla równań liniowych
pierwszego rzędu

W rozdziale tym omówimy rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych

pierwszego rzędu metodą charakterystyk. Metoda ta polega na sprowadzeniu roz-
wiązania równania różniczkowego cząstkowego do rozwiązania układu równań róż-
niczkowych zwyczajnych, tzw. równań charakterystyk. W tym celu znajduje się roz-
wiązanie równania wyjściowego wzdłuż pewnych krzywych, a następnie pokazuje się,
że powierzchnia utworzona w stosowny sposób z tak skonstruowanych krzywych (cha-
rakterystyk) jest rozwiązaniem równania wyjściowego.

Wpierw sformułujemy idee tej metody na prostym przykładzie równania linio-

wego o stałych współczynnikach, następnie rozwiniemy ją dla przypadku równania
liniowego o współczynnikach funkcyjnych. W ostatnim paragraﬁe podamy uzasad-
nienie teoretyczne dla nieco ogólniejszej sytuacji, mianowicie dla przypadku równań
quasi-liniowych. Metoda ta może być również stosowana dla przypadku nieliniowych
równań róźniczkowych, ale jej teoretyczne uzasadnienie jest bardziej złożone. Zainte-
resowanego Czytelnika odsyłamy do licznych monograﬁi, np. [].

3.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach

Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu o stałych

współczynnikach

+ bu

= c,

(x, y) ∈ D ⊂ R

(3.1)

Niech u będzie rozwiązaniem równania (1.1) w obszarze D. Rozważmy krzywą Γ
zawartą w D daną równaniami

x = x(t), y = y(t),

t ∈ I.

Oczywiście wzdłuż krzywej Γ rozwiązanie u przyjmuje wartości

z(t) = u x(t), y(t)

t ∈ I,

a pochodna względem zmiennej t wyraża się wzorem

∂u
∂x

∂u
∂y

(3.2)

Rozdział 3. Metoda charakterystyk

Załóżmy, że krzywa Γ jest tak dobrana, że

= a,

= b.

(3.3)

Stąd i z faktu, że u jest rozwiązaniem równania (3.1) wynika, że prawa strona relacji
(3.2) jest równa c, czyli

= c.

(3.4)

Rozwiązując równanie (3.3) z warunkami początkowymi: x(0) = 0, y(0) = y

, otrzy-

mamy

x = at,

y = bt + y

lub po wyrugowaniu parametru t

= y −

(3.5)

Rozwiązanie równania (3.4) ma postać

z = ct + K.

(3.6)

Przypomnijmy, że funkcja (3.6) jest rozwiązaniem równania (3.1) wzdłuż krzywej Γ.
Jeśli zatem stałą K zastąpimy dowolną funkcją która na krzywej Γ przyjmuje stałą
wartość, co symbolicznie możemy zapisać K = F (y

), to funkcja

z = ct + F (y

będzie w dalszym ciągu spełniać równanie (3.1) wzdłuż krzywej Γ. Rozważmy teraz
funkcje

u(x, y) =

x + F y −

(3.7)

gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Bezpośredni rachunek
pokazuje, że funkcja ta jest rozwiązaniem równania (3.1). Istotnie

+ bu

= a

−

′

y −

+ bF

′

y −

= c.

Tak więc, aby znaleźć rozwiązania równania (3.1), wystarczy rozwiązać układ rów-

nań liniowych (3.3), (3.4) ze stosownymi waunkami początkowymi, np. x(0) = 0,
y(0) = y

(ogólniej możemy przyjąć x(0) = x

, y(0) = y

). Równania te noszą nazwę

równań charakterystyk.

Przykład 3.1.

Znaleźć rozwiązanie równania

+ 2u

= 0,

x ≥ 0,

(3.8)

spełniające warunek początkowy

u(0, y) = f (y),

(3.9)

gdzie f jest zadaną funkcją różniczkowalną.

3.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach

Rozwiązując równania charakterystyk

= 1,

= 2

z warunkami początkowymi x(0) = 0, y(0) = y

otrzymamy

x = t,

y = 2t + y

lub po wyrugowaniu t

y = 2x + y

Równanie (3.4) przyjmuje postać

= 0,

a jego rozwiązanie możemy zapisać w postaci

z = F (y

gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Zgodnie z wzorem (3.7)
całka ogólna równania (3.8) ma postać

u(x, y) = F (y − 2x).

Rozwiązanie to winno spełniać warunek początkowy (3.9), czyli

u(0, y) = F (y) = f (y).

Wynika stąd, że rozwiązaniem problemu (3.8), (3.9) jest funkcja

u(x, y) = f (y − 2x).

W szczególności, jeśli f(y) = 1/(1 + y

) to rozwiązaniem tego problemu jest funkcja

u(x, y) =

1 + (y − 2x)

Przykład 3.2.

Znaleźć rozwiązanie równania

+ au

= 0,

x ≥ 0, y ≥ 0 (a>0),

(3.10)

spełniające warunki

u(x, 0) = f (x),

u(0, y) = g(y),

(3.11)

gdzie f i g są funkcjami różniczkowalnymi i ponadto f(0) = g(0).

Zgodnie z poprzednimi przykładami całka ogólna równania (3.10) ma postać

u(x, y) = F (y − ax),

gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej.

Rozdział 3. Metoda charakterystyk

Rozważmy zbiory D

(x, y) ∈ R

: x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ ax

oraz D

(x, y) ∈

: x ≥ 0, y > ax

. Zauważmy, że w zbiorze D

rozwiązanie równania (3.10) winno

spełniać warunek u(x, 0) = f(x), zaś w zbiorze D

warunek u(0, y) = g(y). Wynika

stąd, że rozwiązaniem problemu (3.10), (3.11) jest funkcja

u(x, y) =







f x −

y
a

jeśli x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ ax;

g(y − ax), jeśli x ≥ 0, y > ax.

Przykład 3.3.

Znaleźć rozwiązanie równania

+ 3u

= 0,

x ≥ 0, y ≥ 0,

spełniające warunki

u(x, 0) =

cos x,

dla x > 0,

u(0, y) =

2y + 1, jeśli 0 ≤ y ≤ 1;
0,

jeśli y > 1.

Nietrudno sprawdzić, że całka ogólna równania wyjściowego ma postać

u(x, y) = F (y − 3x),

zaś rozwiązanie spełniające zadane warunki początkowo-brzegowe ma postać

u(x, y) =







cos(x −

y
3

jeśli x > 0, 0 < y < 3x,

2(y − 3x) + 1, jeśli x > 0, 3x ≤ y ≤ 1,
0,

jeśli x > 0, y > max{1, 3x}.

Opisaną tu metodę możemy stosować również w przypadku, gdy współczynniki

a,b,c są funkcjami zmiennych x i y. Równanie tego typu rozwiążemy w następnym
przykładzie.

Przykład 3.4.

Znaleźć rozwiązanie równania

+ yu

= λu,

spełniające warunek początkowy

u(0, y) = f (y),

gdzie f jest funkcją różniczkowalą.

Rozwiązując równania charakterystyk

= 1,

= y,

3.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach

z warunkami początkowymi x(0) = 0, y(0) = y

otrzymamy

x = t,

y = y

Równanie (3.4) przyjmuje tym razem postać

= λz.

Rozwiązując to równanie otrzymamy

z = Ke

λt

Ponieważ stała K jest dobrana dla charakterystyki y

= ye

−x

w miejsce K możemy

wstawić F (y

), czyli

z = F (y

λt

gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną. Zgodnie z poprzednimi razważaniami
funkcja

u(x, y) = F ye

−x

λx

jest rozwiązaniem równania wyjściowego. Uwzględniając warunek początkowy mamy

u(0, y) = F (y) = f (y).

Zatem szukane rozwiązanie ma postać

u(x, y) = f ye

−x

λx

Przykład 3.5.

Znaleźć rozwiązanie równania

+ u

= 0,

x, y ∈ R

spełniające warunki

u(0, y) =

√

dla y > 0,

u(x, 0) = 0,

dla x > 0.

Równania charakterystyk mają postać

= 1,

= z

= 0.

Z równania

= 0 wynika, że funkcja z = u(x(t), y(t)) jest stała wzdłuż charakte-

rystyk. Wykorzystując ten fakt, po rozwiązaniu równań charakterystyk z warunkami
początkowymi x(0) = 0, y(0) = y

, otrzymamy

x = t,

y = z

t + y

z = F (y

Stąd

y = z

x + y

Rozdział 3. Metoda charakterystyk

Wstawiając w miejsce z funkcje u rozwiązanie równania wyjściowego możemy zatem
zapisać w postaci uwikłanej

u = F (y − xu

Wykorzystując warunek początkowy otrzymamy

u(0, y) = F (y) =

√

Zauważmy, że dla funkcji F (y) = √y również drugi z żądanych warunków jest speł-
niony, bowiem u(x, 0) = F (0) =

√

0 = 0. Zatem rozwiązanie naszego problemu mo-

żemy zapisać w postaci uwikłanej

u =

y − xu

dla y − xu

≥ 0.

Wyznaczając z ostatniego równania u otrzymamy

u =

1 + x

dla x ≥ 0, y ≥ 0.

Przykład 3.6.

Rozważmy teraz liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierw-

szego rzędu o stałych współczynnikach

+ bu

+ cu

= α,

(x, y, z) ∈ V ⊂ R

Jak poprzednio szukamy rozwiązania wzdłuż krzywej Γ ⊂ V danej równaniami

x = x(t), y = y(t), z = z(t) t ∈ I.

Załóżmy, że krzywa Γ jest tak dobrana, że

= a,

= b,

= c,

Rozwiązując ostatni układ równań z warunkami początkowymi: x(0) = 0, y(0) = y

z(0) = z

otrzymamy

x = at,

y = bt + y

z = ct + z

lub po wyrugowaniu parametru t równanie krawędziowe krzywej Γ

y −

x = y

z −

x = z

Zauważmy, że wzdłuż krzywej Γ rozwiązanie r:ownania przyjmuje wartość v(t) =
u x(t), y(t), z(t)

, przy czym zgodnie z równaniem wyjściowym

= α.

Stąd

v = αt + K.

3.2. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego rzędu

Ponieważ stała K jest dobrana do krzywej Γ, możemy fakt ten wyrazić formułą K =
F (y

, z

), gdzie F jest dowolną różniczkowalną funkcją dwóch zmiennych, czyli

v = αt + f (x

, y

Wstawiając w miejsce v funkcje u i pamiętając, że t = x/a otrzymamy

u(x, y, z) =

x + F y −

x, z −

Nietrudno sprawdzić, że tak określona funkcja jest rozwiązaniem równania wyjścio-
wego.

3.2. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego

rzędu

Przeanalizujemy jeszcze raz zaproponowaną w poprzednim paragraﬁe metodę w

wersji nieco zmodyﬁkowanej. Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierw-
szego rzędu

a(x, y)u

+ b(x, y)u

+ c(x, y)u = f (x, y),

(3.12)

gdzie a, b, c, f są funkcjami ciągłymi w obszarze D ⊂ R

. Załóżmy ponadto, że

funkcje a i b nie zerują się równocześnie w żadnym punkcie zbioru D.

Celem znalezienia rozwiązań równania (3.12) dokonajmy zmiany zmiennych

ξ = ϕ(x, y),

η = ψ(x, y),

(x, y) ∈ D

(3.13)

tak dobranej, aby po zmianie zmiennych równanie (3.12) zredukowało się do równania
różniczkowego zwyczajnego.

Załóżmy chwilowo, że taka zmiana zmiennych istnieje i ponadto, że z równań (3.13)

możemy lokalnie wyznaczyć x i y jako funkcje zmiennych ξ i η, czyli

x = x(ξ, η),

y = y(ξ, η),

przy czym tak określone funkcje x i y posiadają pochodne cząstkowe względem ξ i η.
Połóżmy

w(ξ, η) = u x(ξ, η), y(ξ, η)

Wracając do zmiennych wyjściowych x i y otrzymamy

u(x, y) = w ξ(x, y), η(x, y)

Stąd

= w

+ w

= w

+ w

Podstawiając ostatnie związki do równania (3.12) otrzymamy

(aξ

+ bξ

+ (aη

+ bη

+ cw = f.

Rozdział 3. Metoda charakterystyk

Zauważmy, że wyjściowe żądanie będzie spełnione, jeśli funkcje η dobierzemy tak, aby

aη

+ bη

= 0,

(3.14)

(lub funkcje ξ tak aby aξ

+ bξ

= 0). Niech η będzie rozwiązaniem równanie (3.14).

Kładąc

η(x, y) = K,

gdzie K jest dowolną stałą, otrzymamy

dη = η

dx + η

dy = 0.

(3.15)

Jeśli η

6= 0, z warunków (3.14), (3.15) wynika, że

dy
dx

(3.16)

Równanie (1.16) nazywamy równaniem charakterystyk równania (3.12). Rodzinę krzy-
wych ψ(x, y) = K, będącą rozwiązaniem ogólnym równania (3.16) nazywamy rodziną
charakterystyk równania (3.12).

Niech ψ(x, y) = K będzie rozwiązaniem równania ogólnym (3.16). Kładąc

ξ = x,

η = ψ(x, y)

równanie (3.12) sprowadzimy do równania

ea(ξ, η)w

+ ea(ξ, η)w = e

f (ξ, η)

(3.17)

gdzie

ea(ξ, η) = a x(ξ, η), y(ξ, η)

= a ξ, y(ξ, η)

eb(ξ, η) = b x(ξ, η), y(ξ, η)

= b ξ, y(ξ, η)

f (ξ, η) = f x(ξ, η), y(ξ, η)

= f ξ, y(ξ, η)

Niech w będzie rozwiązaniem równania (3.17). Połóżmy

u(x, y) = w ξ(x, y), η(x, y)

(x, y) ∈ D.

Nietrudno sprawdzić, że tak określona funkcja u jest rozwiązaniem równania (3.12).

Zauważmy jeszcze, że równania charakterystyk (3.16) możemy zapisać w postaci

układu równań

= a,

= b.

(3.18)

Przykład 3.7.

Rozwiązać równanie

+ 2xyu

= u,

(x, y) ∈ R

(3.19)

z warunkiem początkowym

u(0, y) = y

y ∈ R.

(3.20)

3.2. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego rzędu

Rozwiązując równanie charakterystyk

dy
dx

= 2xy,

otrzymamy

y = Ce

lub ye

−x

= C.

Kładąc

ξ = x,

η = ye

−x

mamy

= w

− 2xye

−x

= e

−x

a po podstawieniu do równia wyjściowego otrzymamy

= w.

Stąd

w = Ke

Ponieważ stała K może zależeć od η, przyjmijmy K = F (η), gdzie F jest dowolną
funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Zatem

w = F (η)e

Zgodnie z poprzednimi uwagami funkcja

u(x, y) = F ye

−x

jest rozwiązaniem równania (3.19). Uwzględniając warunek początkowy (3.20) mamy

u(0, y) = F (y) = y

Zatem rozwiązaniem problemu (3.19), (3.20) jest funkcja

u(x, y) = y

−3x

= y

x−3x

Przykład 3.8.

Rozważmy równanie

+ 2x

− u = x

(3.21)

Rozwiązując równanie charakterystyk

dy
dx

= 2x

otrzymamy y = x

+ C. Zmiana zmiennych

ξ = x,

η = y − x

Rozdział 3. Metoda charakterystyk

prowadzi do równania

−

1
ξ

w = ξe

Rozwiązując to równanie otrzymamy

w = ξe

+ ξF (η),

gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Wracając do zmiennych
wyjściowych znajdziemy całkę ogólną równania (3.21):

u(x, y) = xe

+ xF (y − x

Załóżmy wpierw, że szukamy rozwiązania równania (3.21), które na krzywej y = x

przyjmuje wartość sin x, czyli

u(x, x

) = xe

+ xF (0) = sin x.

Oznacza to, że musimy znaleźć taką stałą C aby

+ xC = sin x.

Ponieważ jest to niemożliwe, postawiony problem nie posiada rozwiązania.

Załóżmy teraz, że szukamy rozwiązania równania (3.21), które na krzywej y = x

przyjmuje wartość xe

− 4x, czyli

u(x, x

) = xe

+ xF (0) = xe

− 4x.

Wynika stąd, że F (0) = −4. Założony warunek jest więc spełniony, jeśli F jest dowolną

funkcją różniczkowalną taką, że F (0) = −4. Oznacza to, że problem ten posiada

nieskończenie wiele rozwiązań.

Załóżmy wreście, że szukamy rozwiązania równania (3.21), które na krzywej y =

+ x przyjmuje wartość cos x, czyli

u(x, x

+ x) = xe

+ xF (x) = cos x.

Zauważmy, że warunek ten zachodzi, jeśli F (x) =

1
x

cos x − e

. Zatem szukane roz-

wiązanie ma postać

u(x, y) = xe

y − x

cos(y − x

) − xe

y−x

Warto odnotować, że krzywa y = x

jest charakterystyką, natomiast krzywa y =

+ x nie jest charakterystyką równania (3.21). Z tym faktem - jak zobaczymy w

następnym paragraﬁe - związana jest kwestia jednoznaczności lub niejednoznaczności
rozwiązań problemu początkowego.

3.3. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe o n-zmiennych niezależnych

3.3. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe o n-zmiennych

niezależnych

Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe 1-go rzędu o n-zmiennych nie-

zależnych

, . . . , x

)

∂u

∂x

+ a

, . . . , x

)

∂u

∂x

+ . . . + a

, . . . , x

)

∂u

∂x

= 0,

(3.22)

gdzie a

, . . . , a

są funkcjami klasy C

określonymi w zbiorze Ω ⊂ R

Rozważmy ponadto odpowiadający mu układ równań charakterystyk

= a

, . . . , x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3.23)

= a

, . . . , x

Deﬁnicja 3.1. Funkcje u = u(x

, . . . , x

) klasy C

w zbiorze Ω nazywamy całką

pierwszą układu równań (3.23) jeżeli dla dowolnego rozwiązania

= x

(t), . . . , x

= x

(t),

t ∈ I,

układu równań (3.23)

u x

(t), . . . , u

(t)

= const

dla

t ∈ I.

Bezpośrednim rachunkiem nietrudno sprawdzić iż zachodzi następująca:

Uwaga 3.1. Niech f jest funkcją klasy C

, a u całką pierwszą układu (3.23).

Wówczas funkcja v = f u(x

, . . . , x

)

jest również całą pierwszą układu (3.23).

Podobnie, jeśli funkcje u

, . . . , u

są całkami pierwszymi uładu (3.23) a F jest

funkcją k zmiennych klasy C

, to funkcja v = F u

, . . . , x

), . . . , u

, . . . , x

)

jest również całką pierwszą układu (3.23)

Twierdzenie 3.1. Funkcja u : Ω → R klasy C

jest całką pierwszą układu równań

(3.23) wtedy i tylko wtedy gdy jest rozwiązaniem równania (3.22).

Dowód. Warunek konieczny. Niech u będzie całką pierwszą układu równań

(3.23). Niech x(t) = x

(t), . . . , x

(t)

, t ∈ I, będzie rozwiązaniem układu równań

(3.23) przechodzącym w chwili t

przez punkt

x= (

, . . . ,

) ∈ Ω. Oczywiście

u x

(t), . . . , x

(t)

= const

dla

t ∈ I.

Zatem du = 0, czyli

∂u

∂x

(t), . . . , x

(t)

′

(t) + . . . +

∂u

∂x

(t), . . . , x

(t)

′

(t) = 0,

t ∈ I.

W szczególności dla t = t

mamy

∂u

∂x

(

x) a

(

x) + . . . +

∂u

∂x

(

x) a

(

x) = 0.

Rozdział 3. Metoda charakterystyk

Ponieważ

jest dowolnym punktem zbioru Ω, funkcja u jest rozwiązaniem równania

(3.22) w Ω.

Warunek wystarczający. Niech u = u(x

, . . . , x

) będzie rozwiązaniem równa-

nia (3.22), a

= x

(t), . . . , x

= x

(t), t ∈ I, rozwiązaniem układu równań

(3.23). Oczywiście

i=1

(t), . . . , x

(t)

∂u

∂x

(t), . . . , x

(t)

= 0.

Ponieważ

′

(t) = a

(t), . . . , x

(t)

i = 1, . . . , n,

zatem

i=1

′

(t)

∂u

∂x

(t), . . . , x

(t)

= 0,

czyli

u( x

(t), . . . , x

(t)

= 0.

Oznacza to, że

u x

(t), . . . , x

(t)

= const

dla

t ∈ I,

co kończy dowód twierdzenia 3.1.

Deﬁnicja 3.2. Funkcje u

, . . . , u

∈ C

(Ω) nazywamy funkcyjnie niezależnymi w

zbiorze Ω jeśli dla dowolnego x ∈ Ω

∂u

∂x

(x), . . . ,

∂u

∂x

(x)

. . . . . . . . . . . .

. . . . . .

∂u

∂x

(x), . . . ,

∂u

∂x

(x)

6= 0

Zauważmy, że jeśli u

, . . . , u

są funkcyjnie niezależne w zbiorze Ω to dla dowol-

nego x ∈ Ω równość

(x) + . . . + λ

(x) = 0

zachodzi tylko wówczas, gdy λ

= . . . = λ

= 0.

Twierdzenie 3.2. W otoczeniu dowolnego punktu

, . . . ,

∈ Ω nie będącym

punktem równowagi układu (3.23), istnieje n − 1 całek pierwszych funkcyjnie nieza-
leżnych u

, . . . , u

n−1

tego układu. Ponadto, jeśli u jest całką pierwszą układu (3.23)

w tym otoczeniu, to

u(x

, . . . , x

) = F u

, . . . , x

), . . . , u

, . . . , x

)

(3.24)

gdzie F jest funkcją klasy C

3.3. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe o n-zmiennych niezależnych

Dowód tego twierdzenia został przedstawiony w dodatku A (zob. ). Z twierdzenia

3.2 wynika, że dowolne rozwiązanie równania (3.22) ma postać (3.24). Aby zatem
znaleźć całkę ogólną równania (3.22) wystarczy znaleźć n − 1 funkcyjnie niezależnych

całek pierwszych układu równań charakterystyk (3.23).

Zauważmy, że układ równań (3.23) możemy zapisać w postaci:

= · · · =

d λ

+ . . . + λ

(3.25)

gdzie λ

, . . . , λ

∈ R.

Przykład 3.9.

Znaleźć całkę ogólną równania

+ yu

+ z

= 0.

Równanie charakterystyk możemy zapisać w postaci:

Rozwiązując równania:

otrzymamy

y/x = C

1/z

= C

Łatwo sprawdzić, że funkcje:

= y/x,

= xe

1/z

są liniowo niezależnymi całkami pierwszymi układu równań charakterystyk, a zatem
szukana całka ogólna ma postać

u = F y/x, xe

1/z

gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowlną dwóch zmiennych.

Przykład 3.10.

Znaleźć całkę ogólną równania

(y + z)u

+ yu

+ (x − y)u

= 0.

Równania charakterystyk mają postać:

y + z

x − y

Rozwiązując równania:

d(x + z)

x + z

d(x − y)

x − y

Rozdział 3. Metoda charakterystyk

otrzymamy

(x + z)/y = C

(x − y)

− z

= C

Funkcje ψ

= (x+z)/y, ψ

= (x−y)

−z

są liniowo niezależnymi całkami pierwszymi

układu równań charakterystyk, zatem całka ogólna równania wyjściowego ma postać:

u = F (x + z)/y, (x − y)

− z

gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną dwóch zmiennych.

Rozważmy teraz równanie niejednorodne

, . . . , x

, u)

∂u

∂x

+ . . . + a

, . . . , x

, u)

∂u

∂x

= f (x

, . . . , x

, u),

(3.26)

gdzie a

, . . . , a

są funkcjami klasy C

określonymi w zbiorze Ω ⊂ R

Szukamy rozwiązania w postaci uwikłanej

V (x

, . . . , x

, u) = 0,

(3.27)

gdzie V jest funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu
punktu

w= (

, . . . ,

u). Załóżmy, że

∂V

∂u

6= 0. Z twierdzenia o pochodnej

funkcji uwikłanej w otoczeniu punktu

otrzymamy

∂u

∂x

= −

∂V

∂x

. ∂V

∂u

i = 1, . . . , n

Podstawiając ostatnie wielkości do równania (3.26) mamy

, . . . , x

, u)V

+ . . . + a

, . . . , x

, u)V

+ f (x

, . . . , x

, u)V

= 0.

(3.28)

Równania charakterystyk równania (3.28) mają postać:

, . . . , x

, u)

= . . . =

, . . . , x

, u)

f (x

, . . . , x

, u)

(3.29)

Niech ψ

, . . . , ψ

będą funkcyjnie niezależnymi całkami pierwszymi układu równań

(3.29), a zgodnie z poprzednimi uwagami całka ogólna równania (3.28) ma postać

V = F (ψ

, . . . , ψ

gdzie F jest dowolną funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe. Zgodnie ze
wzorem (3.27)

F (ψ

, . . . , ψ

) = 0

(3.30)

jest całką ogólną równania (3.26).

Przykład 3.11.

Znaleźć całkę ogólną równania

+ yu

+ z

= u

3.4. Metoda charakterystyk dla prawie liniowego równania

Równanie charakterystyk możemy zapisać w postaci:

Rozwiązując równania:

otrzymamy

ln y − x = C

1/z + x = C

1/u

+ 2x = C

Łatwo sprawdzić, że funkcje:

= ln y − /x,

= 1/z + x,

= 1/u

+ 2x,

są liniowo niezależnymi całkami pierwszymi układu równań charakterystyk. Zatem
szukana całka ogólna ma postać:

F ln y − x, 1/z + x, 1/u

+ 2x

= 0,

gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną trzech zmiennych.

3.4. Metoda charakterystyk dla prawie-liniowego równania

różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu

Rozważmy prawie-liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu

a(x, y, u)u

+ b(x, y, u)u

= c(x, y, u),

(x, y) ∈ D,

(3.31)

gdzie a, b, c są funkcjami klasy C

w zbiorze Ω ⊂ R

. Niech D = {(x, y) : (x, y, z) ∈

Ω dla pewnego z ∈ R}. Zakładamy ponadto, że funkcje a i b nie zerują się równocze-

śnie w żadnym punkcie obszaru Ω.

Przypomnijmy, że rozwiązaniem równania (3.31) w zbiorze D nazywamy funkcje

u ∈ C

(D), spełniającą dla każdego (x, y) ∈ D równanie (3.31). Rodzinę wszystkich

rozwiązań równania (3.31) nazywamy całką ogólną tego równania.

Jeśli funkcja u jest rozwiązaniem równania (3.22) w zbiorze D, to powierzchnia

S dana równaniem z = u(x, y), (x, y) ∈ D nazywa się powierzchnią całkową lub
wykresem rozwiązania równania (3.31).

Zauważmy, że dla dowolnego punktu P

= (x

, y

, z

) ∈ S wektor ~n(x

, y

) =

, y

), u

, y

), −1

jest wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie P

Ponieważ u jest rozwiązaniem równania (3.31), zatem

a(P

, y

) + b(P

, y

) − c(P

) = 0,

(3.32)

co oznacza, że wektor a(P

), b(P

), c(P

)

jest prostopadły do wektora u

, y

), −1

, a zatem jest styczny do wykresu rozwiązania u w punkcie P

Rozdział 3. Metoda charakterystyk

Rozważmy układ równań

= a(x, y, z),

= b(x, y, z),

= c(x, y, z).

(3.33)

Krzywe, które są rozwiązaniami układu (3.33), nazywami charakterystykami rów-

nania (3.31), a same równania (3.36), równaniami charakterystyk.

Pokażemy, że jeśli dane jest rozwiązanie u równania (3.31) określone w zbiorze

D, to przez dowolny punkt powierzchni całkowej S danej równaniem z = u(x, y),
(x, y) ∈ D, przechodzi dokładnie jedna charakterystyka. Na odwrót, mając daną

rodzinę charakterystyk, możemy za ich pomocą skonstruować rozwiązanie równania.

Obserwacja 3.1. Załóżmy, że przez dowolny punkt powierzchnia S klasy C

danej równaniem z = u(x, y), (x, y) ∈ D, przechodzi charakterystyka równania (3.31)
całkowicie leżąca na S. Wówczas funkcja u jest rozwiązaniem równania (3.31) w zbio-
rze D.

Istotnie, zgodnie z przyjętym założeniem, przez dowolny punkt P = (x, y, u(x, y))

powierzchni S, przechodzi charakterystyka γ równania (3.31) leżąca na S. Oczywi-
ście wektor ~

w(P ), styczny do krzywej γ w punkcie P , leży na płaszczyżnie stycz-

nej do powierzchni S w punkcie P , a zatem jest prostopadły do wektora ~n(x, y) =
(u

(x, y), u

(x, y), −1). Zgodnie z równaniami (3.33)

w(P ) = big(a(x, y, u(x, y)), b(x, y, u(x, y)), c(x, y, u(x, y))

Oczywiście iloczyn skalarny wektorów ~n(x, y) i ~

w(P ) jest równy zeru, czyli

a x, y, u(x, y)

(x, y) + b x, y, u(x, y)

(x, y) − c x, y, u(x, y)

= 0.

Ponieważ ostatnia równość zachodzi dla dowolnego (x, y) ∈ D, oznacza to, że u jest

rozwiązaniem równania (3.31) w zbiorze D.

Obserwacja 3.2. Załóżmy, że funkcja z = u(x, y), (x, y) ∈ D, jest rozwiąza-

niem równania (3.31). Niech S będzie powierzchnią całkową odpowiadającą temu roz-
wiązaniu. Niech γ będzie charakterystyką równania (3.31) przechodzącą przez punkt
(x

, y

, z

) ∈ S. Wówczas krzywa γ leży całkowicie na powierzchni S.

Istotnie, niech γ(t) = x(t), y(t), z(t)

, t ∈ I, będzie rozwiązaniem układu równań

zwyczajnych (3.33) z warunkami początkowymi x(t

) = x

, y(t

) = y

, z(t

) = z

Rozważmy funkcje U : I → R daną wzorem

U (t) = z(t) − u x(t), y(t)

Oczywiście U(t

) = 0. Różniczkując funkcje U względem t i uwzględniając fakt, że γ

jest rozwiązaniem układu (3.33) otrzymamy

′

(t)

′

(t) − u

x(t), y(t)

′

(t) − u

x(t), y(t)

′

(t)

c x(t), y(t), z(t)

− u

x(t), y(t)

a x(t), y(t), z(t)

− u

x(t), y(t)

b x(t), y(t), z(t)

3.4. Metoda charakterystyk dla prawie liniowego równania

Ponieważ z(t) = U(t) + u x(t), y(t)

mamy

′

(t)

x(t), y(t), U (t) + u(x(t), y(t))

−u

x(t), y(t)

x(t), y(t), U (t) + u(x(t), y(t))

(3.34)

− u

x(t), y(t)

x(t), y(t), U (t) + u(x(t), y(t))

Z faktu, że u jest rozwiązaniem równania (3.31), wynika, że funkcja U = 0 jest całka
równania (3.34). Ponieważ prawa strona równania (3.27) jest klasy C

(względem

zmiennej t) - zgodnie z teorią równań różniczkowych zwyczajnych - funkcja U = 0
jest jedynym rozwiązaniem spełniającym warunek początkowy U(t

) = 0. Zatem

z(t) − u(x(t), y(t)) = 0 dla t ∈ I, co oznacza, że wykres krzywej γ leży całkowicie na

powierzchni S. Dowód obserwacji 3.2 został zakończony.

Mając daną krzywą γ : I → R

zadaną równaniami

γ(s) = γ

(s), γ

(s)

(3.35)

szukamy rozwiązania równania (3.31) takiego, aby jego wykres zawierał krzywą γ, to
znaczy, aby zachodził warunek

(s) = u (γ

(s), γ

(s)

s ∈ I.

(3.36)

Twierdzenie 3.3. Niech γ : I → R

będzie funkcją klasy C

i niech s

∈ I.

Załóżmy, że współczynniki a, b, c równania (3.31) są klasy C

w pewnym otoczeniu

punktu P

= (x

, y

, z

) = γ

), γ

)

i ponadto

′

)

′

)

a(x

, y

, z

) b(x

, y

, z

)

6= 0.

(3.37)

Wówczas problem (3.31), (3.36) posiada dokładnie jedno rozwiązanie w pewnym oto-
czeniu U punktu (x

, y

), przy czym rozwiązanie to spełnia warunek u(x

, y

) = z

Dowód. Ponieważ funkcje a, b, c są klasy C

w otoczeniu punktu P

, istnieje

otoczenie J = (s

− δ, s

+ δ) ⊂ I punktu s

takie, że dla dowolnego s ∈ J układ

(3.33) z warunkami początkowymi

x(0) = γ

(s),

y(0) = γ

(s),

z(0) = γ

(s)

posiada dokładnie jedno rozwiązanie

x(t) = X(s, t),

y(t) = Y (s, t),

z(t) = Z(s, t).

(3.38)

Z teorii równań różniczkowych zwyczajnych i przyjętych założeń wynika, że funkcje X,
Y , Z posiadają ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu ∆ punktu (s

, 0) ∈

. Zauważmy jeszcze, że w otoczeniu tym funkcje X, Y , Z spełniają równania

= a(X, Y, Z),

= b(X, Y, Z)),

= c(X, Y, Z)).

(3.39)

Rozdział 3. Metoda charakterystyk

oraz warunki początkowe

X(s, 0) = γ

(s),

Y (s, 0) = γ

(s),

Z(s, 0) = γ

(s).

(3.40)

Na mocy powyższych obserwacji oraz zależności (3.40) i (3.39) mamy

, 0) = γ

′

, 0) = γ

′

)

oraz

, 0) = a(x

, y

, z

, 0) = b(x

, y

, z

Wykorzystując ostatnie równości, warunek (3.37) możemy zapisać w postaci

, 0) Y

, 0)

, ))

, 0)

6= 0,

która mówi, że dla odwzorowania ∆ ∋ (s, t) → (X(s, t), Y (s, t)) spełnione są założe-

nia twierdzenia o funkcji odwrotnej. Istnieją zatem otoczenie U punktu (x

, y

) oraz

funkcje S, T : U → R klasy C

takie, że

x = X S(x, y), T (x, y)

y = Y S(x, y), T (x, y)

(3.41)

i ponadto

S(x

, y

) = s

T (x

, y

) = 0.

(3.42)

Rozważmy funkcje u : U → R daną wzorem

u(x, y) = Z S(x, y), T (x, y)

(3.43)

gdzie Z jest funkcją określoną w zbiorze ∆ wzorami (3.38). Pokażemy, że tak określona
funkcja u jest rozwiązaniem równania (3.31) w zbiorze U.

Różniczkując równość (3.43) względem zmiennych x i y otrzymamy

= Z

+ Z

= Z

+ Z

(3.44)

Następnie różniczkując równości (3.41) względem zmiennych x i y otrzymamy

1 = X

+ X

0 = X

+ X

0 = Y

+ Y

1 = Y

+ Y

skąd nietrudno wyliczyć, że

− Y

− X

3.4. Metoda charakterystyk dla prawie liniowego równania

Wykorzystując ostatnie równości oraz związki (3.39) i (3.44) otrzymamy

a(x, y, u)u

+ b(x, y, u)u

= X

+ Z

+ Y

+ Z

+ X

− X

− Y

= Y

− X

= Z

= c(x, y, u),

co oznacza, że funkcja u jest rozwiązaniem równania (3.31) w zbiorze U. Korzystając
z (3.43), (3.42) i (3.40) otrzymamy

u(x

, y

) = Z S(x

, y

), T (x

, y

)

= Z(s

, 0) = γ

) = z

Pozostaje sprawdzić, że rozwiązanie to jest określone jednoznacznie. Niech v będzie

dowolnym rozwiązaniem równania (3.31) zawierającym krzywą γ. Na mocy obserwacji
3.2 charakterystyka równania (3.31) przechodząca przez dowolny punkt krzywej γ
leży całkowicie na powierzchni całkowej z = v(x, y). W szczególności wynika stąd, że
powierzchnia

x = X(s, t),

y = Y (s, t),

z = Z(S, t),

(s, t) ∈ ∆,

leży całkowicie na powierzchni całkowej z = v(x, y), co oznacza, że lokalnie rozwiąza-
nia u i v pokrywają się. Dowód twierdzenia został zakończony.

Rozpatrzmy teraz przypadek

′

) γ

′

)

a(P

)

b(p

)

= 0,

(3.45)

czyli

b(p

) γ

′

) − a(P

) γ

′

) = 0.

(3.46)

Po zróżniczkowanie (1.29) i podstawieniu s = s

otrzymamy

′

) = u

, y

) γ

′

) + u

, y

)γ

′

(3.47)

a z (1.22) wynika natychmiast, że

c(P

) = a(P

) u

, y

) + b(P

) u

, y

(3.48)

Z równości (3.36), (3.37) i (3.38) wynika, że wektory γ

′

), γ

′

), γ

′

)

oraz

a(P

), b(P

), c(P

)

są równoległe, co oznacza, że γ jest charakterystyką równania

(3.31). Zauważmy, że w tym przypadku problem (3.31), (3.36) posiada nieskończe-
nie wiele rozwiązań. Istotnie, biorąc krzywą γ∗ przecinającą krzywą γ i spełniającą

warunek (3.36) otrzymamy - zgodnie z poprzednim rezultatem - dokładnie jedno roz-
wiązanie zawierające krzywe γ i γ∗. Ponieważ takich krzywych γ∗ może być nieskoń-

czenie wiele, otrzymamy nieskończenie wiele rozwiązań. Dowód twierdzenia 3.3 został
zakończony.

Rozdział 3. Metoda charakterystyk

3.5. Przykłady

Przykład 3.12.

Znaleźć rozwiązanie równania

+ yu

= u,

przechodzące przez krzywą x = s, y = s + 1, z = 2.

Metoda 1. Rozwiązując równanie charakterystyk

= x,

= y,

= u,

otrzymamy

x = Ae

y = Be

u = Ce

Załóżmy, że charakterystyka przechodzi przez punkt (s, s + 1, 2) dla t = 0. Wynika
stąd, że

A = s,

B = s + 1,

C = e.

Zatem

x = se

y = (s + 1)e

u = 2e

Eliminując z tego układu s i t, otrzymamy

u = 2(y − x).

Metoda 2. Rozwiązując równanie charakterystyk

dx
dx

y
x

otrzymamy y = Cx. Zmiana zmiennych

ξ = x, η =

y
x

sprowadza równanie wyjściowe do postaci

dξ

= w.

Rozwiązując to równanie otrzymamy

w = ξ F (η),

gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Wracają do zmiennych
wyjściowych otrzymamy całkę ogólną równania

u(x, y) = x F

y
x

Uwzględniając warunek początkowy otrzymamy

2 = s F

s+1

3.5. Przykłady

Kładąc t = (s + 1)/s, czyli s = 1/(t − 1), otrzymamy

2 =

t − 1

F (t).

Zatem F (t) = 2(t − 1). Stąd szukane rozwiązanie ma postać

u(x, y) = 2

y
x

− 1

x = 2(y − x).

Metoda 3. Rozwiązując równanie charakterystyk

otrzymamy rodzinę charakterystyk

y
x

= C

u
x

= C

Stąd i z równań zadanej krzywej

x = s,

y = s + 1,

u = 2,

eliminując x, y, u i s znajdujemy związek między stałymi C

i C

, a mianowicie

= 2(C

− 1).

Podstawiając w miejsce C

i C

stosowne funkcje otrzymamy

u
x

= 2

− 1

Stąd

u = 2(y − 1).

Metoda 4. Ponieważ funkcje ψ

= y/x, ψ

= u/x są całkami pierwszymi układu

równań charakterystyk, zgodnie z wzorem (3.30) całka ogólna równania wyjściowego
ma postać

F (y/x, u/x) = 0,

gdzie F jest dowolną różniczkowalną funkcją dwóch zmiennych. Aby znaleźć całkę
szczególną przechodzącą przez zadaną krzywą należy wyznaczyć funkcje F . W tym
celu wystarczy wyznaczyć związek pomiędzy C

= ψ

i C

= ψ

. Możemy go uzyskać

rugując s, x, y, u z równań

y/x = C

u/x = C

x = s,

y = s + 1,

u = 2.

Zauważmy, że metoda ta pokrywa się z metodą poprzednią.

Przykład 3.13.

Znaleźć rozwiązanie równania

+ uu

= u

które na krzywej y = ln x przyjmuje wartość u = 1, tzn. u(x, ln x) = 1.

Rozdział 3. Metoda charakterystyk

Rozwiązując równanie charakterystyk

= 1,

= u,

= u

otrzymamy

x = t + A,

y = ln |C − t| + B,

u = 1/(C − t).

Przyjmując, że dla t = 0 charakterystyki przechodzą przez punkt (s, ln s, 1), możemy
wyznaczyć stałe

A = s,

C = 1,

B = ln s.

Zatem

x = t + s,

y = ln |1 − t| + ln s,

u = 1/(1 − t).

Eliminując z tego układu t i s otrzymamy szukane rozwiązanie w postaci uwikłanej

x +

− 1 = |u|e

Przykład 3.14.

Znaleźć rozwiązanie ogólne równania

− 4x

= yu

W celu znalezienia całek pierwszych układu równań charakterystyk

−4x

rozwiążmy równania

−4x

Po scałkowaniu otrzymamy

+ y

= C

x +

= C

Ponieważ funkcje

= 2x

+ y

, ψ

= x + 1/u są funkcyjnie niezależnymi całkami

pierwszymi układu równań charakterystyk, szukane rozwiązanie ogólne ma postać:

F 2x

+ y

, x + 1/u

= 0.

3.6. Zadania

1. Znaleźć rozwiązania następujących problemów Cauchy’ego:

a) yu

+ u

= 2,

u(0, y) = y

;

b) xu

+ yu

= 1,

u(0, y) = tgx, u(x, 0) = x;

3.6. Zadania

2. Znaleźć rozwiązania następujących równań:

a) 3u

+ 5u

− xyu = 0;

b) u

− u

+ yu = 0;

c) u

+ 4u

− xu = x;

d) x

− 2u

− xu = x

;

e) x

+ xyu

+ xu = x − y;

f) xu

+ u

= e

3. Znaleźć rozwiązanie równania

3yu

− 2xu

= 0

spełniające warunek:
a) u(x, y) = x

na prostej y = x;

b) u(x, y) = 1 na krzywej 3y

− 2x

= 4;

c) u(x, y) = 2x na krzywej 2x

− 3y

= 4.

4. Znaleźć rozwiązanie równania

− 6u

= x

spełniające warunek:
a) u(x, y) = e

na prostej y = −6x + 2,

b) u(x, y) = 1 na paraboli y = −x

c) u(x, y) = −4x na prostej y = −6x.

5. Znaleźć rozwiązanie równania

+ 8u

− u = 1

spełniające warunek:
a) u(x, y) = cosx na prostej y = 3x,
b) u(x, y) = x na prostej y = 2x,
c) u(x, y) = 1 − x na paraboli y = x

6. Znaleźć rozwiązanie równania

+ x

= xy

spełniające warunek:
a) u(x, y) = 4x na krzywej y = x

3/2

b) u(x, y) = x

na krzywej 3y

= 2x

c) u(x, y) =

1
2

na krzywej y = 0.

7. Znaleźć rozwiązania problemów:

a) u

− xu

= 4, u(x, y) = 0 dla y = 2x;

b) xu

+ yu

= xyu, u(x, y) = 1 dla y = x

;

c) (x + u)u

+ (y + u)u

= 0, u(x, y) = x + 1 dla y = 2x;

b) u

− y

= 1/(sinu), u(x, y) = 0 dla y = x

;

c) u

+ y

= (cosu), u(x, y) = 0 dla x = y

;

d) x

− yu

= u, u(x, y) = 0 dla y = x

− 1;

e) u

− y

= u, u(x, y) = e

dla y = 1/x;

Rozdział 4

Klasyﬁkacja równań liniowych rzędu
drugiego. Metoda charakterystyk

4.1. Klasyﬁkacja równań róźniczkowych cząstkowych 2-go

rzędu

Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

(x, y)u

+ 2a

(x, y)u

+ a

+ F (x, y, u, u

, u

) = 0,

(4.1)

gdzie a

, a

są funkcjami określonymi w zbiorze D ⊂ R

, nie zerującymi się

równocześnie w żadnym punkcie tego zbioru, u jest szukaną funkcją klasy C

zmien-

nych x i y, a F jest zadaną funkcją pięciu zmiennych. Zauważmy, że przy przyjętych
założeniach - na mocy twierdzenia Schwarza - pochodne mieszane funkcji u są sobie
równe, tzn. u

= u

Pokażemy, że dokonując stosownej zmiany zmiennych, możemy równanie (4.1)

doprowadzić do postaci, w której współczynnik przy pochodnej mieszanej przyjmie
wartość zero. Postać taką nazywamy postacią kanoniczną, przy czym: jeśli pozostałe
współczynniki przy pochodnych drugiego rzędu są różne od zera i mają ten sam
znak, równanie nazywamy typu eliptycznego, jeśli są znaków różnych, typu hiperbo-
licznego, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników przy pochodnych drugiego rzędu
jest równy zeru, natomiast pochodne pierwszego rzędu względem tych zmiennych nie
znikają, typu parabolicznego. Należy podkreślić, że typ równania nie zależy od sposobu
sprowadzenia do postaci kanonicznej. Okazuje się, że jest on niezmiennikiem względem
przekształceń nieosobliwych.Tak więc równania

+ u

= 0,

− u

= 0,

+ u

= 0

są odpowiednio typu eliptycznego, hiperbolicznego i parabolicznego.

Rozważmy przekształcenie

ξ = ϕ(x, y),

η = ψ(x, y),

(x, y) ∈ D.

(4.2)

Załóżmy, że funkcje ϕ i ψ są klasy C

w zbiorze D i ponadto istnieje przekształcenie

x = x(ξ, η),

y = y(ξ, η),

(4.3)

Rozdział 4. Klasyﬁkacja równań liniowych rzędu drugiego

odwrotne do przekształcenia (4.2). Przypomnijmy, że jeśli jakobian przekształcenia
(4.2) jest różny od zera, to przekształcenie takie nazywamy przekształceniem nieoso-
bliwym. Przekształcenie nieosobliwe jest zawsze odwracalne.

Kładąc

w(ξ, η) = u x(ξ, η), y(ξ, η)

otrzymamy

u(x, y) = w ξ(x, y), η(x, y)

(x, y) ∈ D.

Stąd

= w

+ w

= w

+ w

= w

ξξ

+ 2w

ξη

+ w

ηη

+ w

= w

ξξ

+ w

ξη

+ ξ

+ w

ηη

+ w

= w

ξξ

+ 2w

ξη

+ w

ηη

+ w

Jeśli położymy

= a

+ 2a

+ a

= a

+ a

+ ξ

+ a

(4.4)

= a

+ 2a

+ a

to równanie (4.1) po zastosowaniu przekształcenia (4.3) przyjmie postać

ξξ

+ 2ea

ξη

+ ea

ηη

+ e

F (ξ, η, w, w

, w

) = 0,

gdzie współczynniki ea

, ea

są funkcjami zmiennych ξ i η.

Założmy, że przekształcenie (4.2) jest tak dobrane, iż ea

= 0 oraz ea

= 0.

Równość ea

= 0 oznacza, że

+ 2a

+ a

= 0.

(4.5)

Podobnie równość ea

= 0 oznacza, że jest spełnione równanie (4.5) z funkcją η w

miejsce ξ.

Uwaga 4.1. Jeśli funkcja ξ = ϕ(x, y), ϕ

6= 0, jest całką równania (4.5), to rodzina

funkcji

ϕ(x, y) = C

jest całką ogólną równania

− 2a

dy
dx

+ a

= 0.

(4.6)

Istotnie, niech ξ = φ(x, y) będzie całką równania (4.5). Załóżmy, że ξ

6= 0. Dzieląc

równanie (4.5) przez ξ

otrzymamy

+ 2a

+ a

= 0.

(4.7)

4.1. Klasyﬁkacja równań róźniczkowych cząstkowych 2-go rzędu

Rozważmy rodzinę ϕ(x, y) = C. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji

uwikłanej, otrzymamy

dy
dx

= −

(4.8)

Podstawiając ostatnią równość do równania (4.7) otrzymamy równanie (4.6), co ozna-
cza, że ϕ(x, y) = C jest całką ogólną tego równania.

Uwaga 4.2. Jeśli rodzina funkcji ϕ(x, y) = C jest całką ogólną równania (4.6), to

funkcja ξ = ϕ(x, y) całką ogólną równanie (4.5).

Załóżmy, że ϕ(x, y) = C jest całką ogólną równania (4.6). Z twierdzenia o po-

chodnej funkcji uwikłanej otrzymamy wzór (4.8). Podstawiając zależność (4.8) do
równania (4.6) otrzymamy (4.7), a w konsekwencji (4.5), co kończy dowód.

Z powyższych obserwacji wynika, że przyjmując za funkcje ϕ i ψ w przekształceniu

(4.2) całki równania (4.6) zredukujemy równanie (4.1) do postaci

ξη

= ¯

F ξ, η, w, w

, w

a po podzieleniu przez ea

do postaci

ξη

= e

F ξ, η, w, w

, w

(4.9)

Równanie (4.6) nazywamy równaniem charakterystyk równania (4.1). Zauważmy

jeszcze, że warunek ϕ

6= 0 w powyższych obserwacjach nie jest ograniczający. Istot-

nie, jeśli chcemy aby rozważane przekształcenie było nieosobliwe, pochodne cząstkowe
ϕ

i ϕ

funkcji ϕ nie mogą zerować się równocześnie, zatem jedna z nich jest różna

od zera. Jeśli ϕ

6= 0, argument jest analogiczny.

Rozważmy teraz skojarzone z równaniem (4.2) równanie kwadratowe

− 2a

λ + a

= 0.

(4.10)

Jak wiadomo, rozwiązanie tego równania względem λ zależy od wyróżnika

δ =

= a

− a

przy czym należy rozważyć trzy przypadki: δ < 0, δ = 0 i δ > 0.

Przypadek δ < 0. Załóżmy, że δ(x, y) > 0 dla (x, y) ∈ D. Równanie (4.10)

posiada wówczas dwa rozwiązania o wartościach rzeczywistych: λ

= a

−

|δ|

= a

|δ|

. Niech ϕ i ψ będą odpowiednio rozwiązaniami równań

dy
dx

= λ

(x, y),

dy
dx

= λ

(x, y).

Zgodnie z poprzednimi obserwacjami przekształcenie

ξ = ϕ(x, y),

η = ψ(x, y),

(x, y) ∈ D

Rozdział 4. Klasyﬁkacja równań liniowych rzędu drugiego

sprowadza równanie (4.1) do postaci (4.9), gdzie funkcja e

F zawiera wszystkie wyrazy

z pochodnymi niższego rzędu.

Dokonując kolejnej zmiany zmiennych

s = (ξ + η)/2,

t = (ξ − η)/2

i kładąc

v(s, t) = w ξ(s, t), η(s, t)

= w(s + t, s − t),

otrzymamy

w(ξ, η) = v (ξ + η)/2, (ξ − η)/2

Stąd

= (v

+ v

)/2,

= (v

− v

)/2,

ξη

= (v

− v

)/4.

Po uwzględnieniu ostatnich zależności równanie (4.9) przyjmuje postać

− v

= b

F (s, t, v, v

, v

gdzie podobnie jak poprzednio funkcja b

F zawiera wszystkie wyrazy o pochodnych

niższego rzędu. Jest to więc równanie typu hiperbolicznego.

Przypadek δ = 0. Załóżmy, że δ(x, y) = 0 dla (x, y) ∈ D. Oznacza to, że

− a

= 0, czyli a

√

. Korzystając z ostatniej równości otrzymamy

= a

+ 2a

+ a

√

= a

√

+ ξ

+ a

√

Zatem ea

= 0 implikuje ea

= 0. Jeśli zatem za funkcje ξ przyjmiemy rozwiązanie

równania (4.6) a za η dowolną funkcje funkcyjnie niezależną od ξ, to po zmianie
zmiennych równanie (4.1) przyjmie postać

ηη

= e

F η, η, w, w

, w

Jeśli przy tym po prawej stronie nie znika termin w

jest to równanie typu parabo-

licznego.

Oczywiście najprostrze wydaje się podstawienie ξ = ξ(x, y), η = y lub ξ = x,

η = η(x, y), gdzie ξ i η są całkami równania (4.6).

Przypadek δ > 0. Załóżmy, że δ(x, y) < 0 dla (x, y) ∈ D. W tym przypadku

równanie (4.10) posiada dwa rozwiązania o wartościach zespolonych: λ

= a

√

, λ

= a

− i

√

. Niech Φ i Ψ będą odpowiednio rozwiązaniami

równań

dy
dx

= λ

(x, y),

dy
dx

= λ

(x, y).

4.1. Klasyﬁkacja równań róźniczkowych cząstkowych 2-go rzędu

Oznaczmy przez ϕ część rzeczywistą funkcji Φ, a przez ψ jej część urojoną. Oczywiście

Φ = ϕ + iψ,

Ψ = ϕ − iψ.

Rozważmy teraz zmianę zmiennych

ξ = Φ(x, y),

η = Ψ(x, y),

(x, y) ∈ D.

Mamy

= ϕ

+ iψ

= ϕ

+ iψ

= ϕ

− iψ

= ϕ

− iψ

Zgodnie z wzorami (4.4) otrzymamy

= a

+ 2a

+ a

+ 2a

+ a

− a

+ 2a

+ a

+ 2i a

+ a

(ϕ

+ ϕ

) + a

Stąd i z równości eα

= 0 wynika natychmiast, że

+ 2a

+ a

= a

+ 2a

+ a

(4.11)

+ a

(ϕ

+ ϕ

) + a

= 0.

(4.12)

Z zależności (4.11), (4.12) wynika, że stosując zmianę zmiennych

ξ = ϕ(x, y),

η = ψ(x, y),

gdzie ϕ i ψ są odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną całki Φ, otrzymamy zależ-
ności: ea

= ea

, ea

= 0. Zatem przekształcenie to sprowadza nasze równanie do

postaci

ξξ

+ w

ηη

= e

F ξ, η, w, w

, w

Jest to zatem równanie typu eliptycznego.

Typ równania zależy zatem od wyróżnika δ. Korzystając z wzorów (4.4) nietrudno

sprawdzić, że

− ea

= a

− a

− ξ

skąd wynika natchmiast, że typ równania jest niezmiennikiem względem przekształceń
nieosobliwych.

Zauważmy też, że znak wyróżnika δ może się zmieniać w zależności od punktu

(x, y) ∈ D. Niech D

= {(x, y) ∈ D : δ(x, y) > 0}, D

= {(x, y) ∈ D : δ(x, y) = 0)},

= {(x, y) ∈ D : δ(x, y) < 0}. Zatem w obszarze D

równanie jest typu hiperbo-

licznego, w obszarze D

typu parabolicznego a w obszarze D

typu eliptycznego.

Przykład 4.1.

Rozważmy równanie

− xyu

= 0.

Ponieważ δ = xy jest równe zero na osiach x = 0 i y = 0, dodatnie w pierwszej i trzeciej
ćwiartce, ujemne w drugiej i czwartej ćwiartce, równanie to jest typu parabolicznego
na osiach x = 0 i y = 0 z wyłączeniem początku układu, typu hiperbolicznego w
pierwszej i trzeciej ćwiartce oraz typu eliptycznego w drugiej i czwartej ćwiartce.

Rozdział 4. Klasyﬁkacja równań liniowych rzędu drugiego

Przykład 4.2.

Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie

− 2xyu

+ y

= 0.

Zauważmy, że δ = 0, czyli jest to równanie typu parabolicznego.

Jeśli x = 0, y 6= 0, przyjmuje ono postać

= 0.

Jeśli y = 0, x 6= 0, przyjmuje postać

= 0.

Załóżmy teraz, że x 6= 0, y 6= 0. Równanie charakterystyk ma postać

+ 2xy

dy
dx

+ y

= 0,

czyli

dy
dx

+ y

= 0.

Całką równania

dy
dx

−y

jest funkcja

y = C/x.

Podstawiając

ξ = x,

η = xy

otrzymamy

= w

+ yw

= xw

= w

ξξ

+ 2yw

ξη

+ y

ηη

= xw

ξη

+ xyw

ηη

+ w

= x

ηη

a po podstawieniu tych wielkości do równania wyjściowego otrzymamy

ξξ

− 2xyw

= 0,

czyli

ξξ

2η

Przykład 4.3.

Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie

+ 2u

− 3u

+ 3u

+ 2u

= 0.

4.1. Klasyﬁkacja równań róźniczkowych cząstkowych 2-go rzędu

Równanie charakterystyk ma postać

− 2

dy
dx

− 3 = 0.

Rozwiązując równanie

− 2λ − 3 = 0

znajdziemy jego pierwiastki: λ

= −1 i λ

= 3. Całkami ogólnymi równań

dy
dx

= −1,

dy
dx

= 3

są rodziny funkcji

x + y = C

3x − y = C

Stosując podstawienie

ξ = x + y,

η = 3x − y

i kładąc

w(ξ, η) = u x(ξ, η), y((ξ, η)

mamy

u(x, y) = w ξ(x, y), η(x, y)

Zatem

= w

+ 3w

= w

− w

= w

ξξ

+ 6w

ξη

+ 9w

ηη

= w

ξξ

+ 2w

ξη

− 3w

ηη

= w

ξξ

− 2w

ξη

+ w

ηη

Wstawiając te wielkości do równania wyjściowego otrzymamy

ξη

= 0.

Podstawiając z kolei

s = (ξ + η)/2,

t = (ξ − η)/2

i kładąc

v(s, t) = w ξ(s, t), η(s, t)

= w(s + t, s − t),

otrzymamy

− v

3
2

−

1
4

= 0.

Przykład 4.4.

Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie

+ 2x

+ 2xyu

+ yu

= 0.

Rozdział 4. Klasyﬁkacja równań liniowych rzędu drugiego

Ponieważ wyróznik δ = −x

może przyjmować zarówno wartość zero jak i watości

ujemne, należe rozpatrzeć dwa przypadki: δ = 0 i δ < 0.

Jeśli δ = 0, wówczas albo x = 0, y 6= 0 i równanie przyjmuje postać

= 0,

albo y = 0, x 6= 0, i równanie przyjmuje postać

= 0.

Rozważmy teraz przypadek gdy δ < 0. Rozwiązując równanie

− 2xyλ + 2x

= 0

znajdziemy λ

= (1 − i)x/y oraz λ

= (1 + i)x/y.

Rozwiązując równania

dy
dx

= (1 − i)

x
y

oraz

dy
dx

= (1 + i)

x
y

otrzymamy rozwiązania

Φ = x

− y

− ix

Ψ = x

− y

+ ix

Stosując zmianę zmiennych

ξ = x

− y

η = x

otrzymamy

= 2xw

+ 2xw

= −2yw

= 4x

ξξ

+ 2w

ξη

+ w

ηη

+ 2w

= −4xy w

ξξ

+ w

ηη

= 4y

ξξ

− 2w

Wstawiając uzyskane wielkości do równania wyjściowego, otrzymamy

ξξ

+ w

ηη

−

η − ξ

2η

= 0.

Na zakończenie tego paragrafu zauważmy, że dobierając stosowne przekształcenie

nie tylko możemy doprowadzić równanie do postaci kanonicznej, ale również znacznie
go uprościć. Na przykład, w przypadku równania liniowego o stałych współczynnikach,
stosując przekształcenie

u = ve

αx+βy

i dobierając odpowiednio α i β możemy pozbyć się wyrazów z pierwszą pochodną.
Rozważmy równanie

− u

3
2

−

1
4

= 0.

4.2. Przypadek ogólny

(Zauważmy, że jest to postać kanoniczna równania z przykładu 4.3). Stosując powyż-
sze podstawienie otrzymamy:

= (v

+ αv)e

αx+βy

= (v

+ βv)e

αx+βy

= (v

+ 2αv

+ α

v)e

αx+βy

= (v

+ 2βv

+ β

v)e

αx+βy

Podstawiając powyższe wielkości do równania wyjściowego otrzymamy po uporząd-
kowaniu

− v

+ 2α +

3
2

− 2β +

1
4

+ α

− β

3
2

α −

1
4

v = 0.

Przyjmując α = −

3
4

, β = −

1
8

otrzymamy

− v

−

v = 0.

4.2. Przypadek ogólny

Rozważmy prawie-liniowe równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego

i,j=1

, . . . , x

+ F (x

, . . . , x

, u, u

, . . . u

) = 0,

(4.13)

gdzie a

, i, j = 1, . . . , n, są funkcjami określonymi na zbiorze U ⊂ R

, niezerującymi

się równocześnie w żadnym punkcie tego zbioru, u jest szukaną funkcją zmiennych
x

, . . . , x

, a F jest funkcją zadaną. Z równaniem (4.13) możemy związać formę kwa-

dratową

i,j=1

, . . . , x

)λ

(4.14)

Z teorii form kwadratowych wiadomo, że dla każdego ustalonego punktu (x

, . . . ,

) ∈ U istnieje przekształcenie postaci

k=1

i = 1, . . . , n

(4.15)

które formę (4.14) sprowadza do postaci kanonicznej,

i=1

(4.16)

tzn. postaci w której występują tylko kwadraty µ

Z twierdzenia Sylwestera-Jacobiego o bezwładności form kwadratowych wynika, że

ilość współczynników dodatnich oraz ujemnych nie zależy od sposobu sprowadzenia do
postaci kanonicznej. Jest ona niezmiennikiem względem przekształceń nieosobliwych.

Rozdział 4. Klasyﬁkacja równań liniowych rzędu drugiego

Oznacza to, że równanie (4.13) poprzez stosowne przekształcenie możemy sprowa-

dzić do postaci kanonicznej

i=1

, . . . , x

+ e

F (x

, . . . , x

, v, v

, . . . v

) = 0,

(4.17)

Mówimy, że równanie (4.13) jest w punkcie (x

, . . . , x

) typu eliptycznego, jeżeli

wszystkie współczynniki ea

w postaci kanonicznej (4.17) są różne od zera i mają ten

sam znak, typu hiperbolicznego jeżeli są różne od zera i występują zarówno współczyn-
niki ujemne jak i dodatnie, typu parabolicznego, jeżeli niektóre współczynniki są równe
zeru a odpowiadające im pochodne pierwszego rzędu nie znikają. Jeśli ponadto współ-
czynniki różne od zera mają ten sam znak, równanie nazywamy paraboliczno-eliptycz-
nym, jeśli znaki różne, paraboliczno-hiperbolicznym.

Jeśli Λ = [λ

, . . . , λ

] oznacza macierz jednowierszową, Λ

macierz transponowaną

a A macierz n × n wymiarową o wyrazach a

, i, j = 1, . . . n, to formę kwadratową

(4.14) możemy zapisać w postaci macierzowej Λ A Λ

. Sprowadzenie formy do postaci

kanonicznej odpowiada przekształceniu macierzy A do postaci diagonalnej, tzn. po-
staci w której poza przekątną występują same zera. Jeśli w macierzy diagonalnej na
przekątnej wszystkie wyrazy są różne od zera i mają ten sam znak, równanie różnicz-
kowe (4.13) jest typu eliptycznego, jeśli są znaków różnych, typu hiperbolicznego, a
jeśli niektóre wyrazy są równe zeru - typu parabolicznego.

4.3. Rozwiązywanie równań drugiego rzędu metodą

charakterystyk

W niniejszym paragraﬁe pokażemy przykłady rozwiązywania równań różniczko-

wych cząstkowych drugiego rzędu za pomocą równań charakterystyk wprowadzonych
w paragraﬁe 2.1.

Przykład 4.5.

Znaleźć rozwiązanie równania

− 3u

+ 2u

= 0,

(4.18)

spełniające warunki początkowe

u(x, 0) = 3x

(x, 0) = 0.

Równanie charakterystyk ma postać

− 2

dy
dx

− 3 = 0,

stąd

dy
dx

= −1 oraz

dy
dx

= 3.

Charakterystykami równania (4.21) są rodziny prostych

x + y = C

3x − y = C

4.3. Rozwiązywanie równań drugiego rzędu metodą charakterystyk

W celu sprowadzenia równania do postaci kanonicznej wprowadzamy nowe zmienne

ξ = x + y,

η = 3x − y.

Mamy

+ 23w

= w

− w

ξξ

+ 6w

ξη

+ 9w

ηη

ξξ

+ 2w

ξη

− 3w

ηη

ξξ

− 2w

ξη

+ w

ηη

Podstawiając uzyskane wielkości do równania wyjściowego otrzymamy

ξη

= 0

Całkując jak w poprzednim przykładzie ostatnie równanie otrzymamy

w(ξ, η) = F (ξ) + G(η),

gdzie F i G są dowolnymi funkcjami klasy C

. Wracając do zmiennych wyjściowych

otrzymamy

u(x, y) = F (x + y) + G(3x − y).

(4.19)

Szukamy teraz funkcji F i G tak aby były spełnione warunki początkowe, czyli

u(x, 0) = F (x) + G(3x) = 3x

(x, 0) = F

′

(x) − G

′

(3x) = 0.

Z równań

′

(x) + 3G

′

(3x) = 6x,

′

(x) − G

′

(3x) = 0,

otrzymamy

′

(3x) =

3
2

a przyjmując t = 3x mamy

′

(t) =

1
2

czyli

G(t) =

1
4

+ C.

Wykorzystując ponownie pierwszy warunek początkowy oraz ostatnią relacje otrzy-
mamy

F (x) = 3x

− G(3x) = 3x

−

9
4

− C =

3
4

− C

Podstawiając uzyskane wartości do wzoru (4.22) otrzymamy szukane rozwiązanie

u(x, y) =

3
4

(x + y)

1
4

(3x − y)

Rozdział 4. Klasyﬁkacja równań liniowych rzędu drugiego

Przykład 4.6.

Znaleźć całkę ogólną równania

− u

y − x

− u

(4.20)

Równanie charakterystyk ma postać

− 1 = 0.

Stąd

dy
dx

= −1 oraz

dy
dx

= 1.

Charakterystykami równania (4.20) są rodziny prostych

x + y = C

x − y = C

Stosując zmianę zmiennych

ξ = x + y,

η = x − y

sprowadzamy równanie wyjściowe do postaci

ξη

= −

1
η

Kładąc v = w

otrzymamy równanie

= −

1
η

Oczywiście stała C może być funkcją zmiennej ξ, czyli C = f(ξ). Zatem

f (ξ)

Po scałkowaniu otrzymamy

w =

1
η

F (ξ) + G(η),

gdzie F jet całką z funkcji f. Wracając do zmiennych wyjściowych otrzymamy

u(x, y) =

x − y

F (x + y) + G(x − y).

Przykład 4.7.

+ y

− 2xyu

+ xu

+ yu

= 0.

(4.21)

4.3. Rozwiązywanie równań drugiego rzędu metodą charakterystyk

Równanie charakterystyk ma postać

+ 2xy

+ y

= 0,

czyli

dy
dx

+ y

= 0.

Rozwiązując równanie

dy
dx

= −

y
x

otrzymamy

yx = C.

Po zmianie zmiennych

ξ = xy,

η = x

równanie (4.21) przyjmie postać

ηη

1
η

= 0.

Kładąc

v = w

otrzymamy

d v
d η

1
η

v = 0.

Całka tego równania ma postać

v =

Ponieważ C może być funkcją η, przyjmując C = F (η) otrzymamy

dη

1
η

F (ξ).

Stąd

w = F (ξ) ln|η| + G(ξ),

a wracając do zmiennych wyjściowych otrzymamy

u(x, y) = F (xy) ln|x| + G(xy).

Rozdział 4. Klasyﬁkacja równań liniowych rzędu drugiego

4.4. Zadania

1. Sprowadzić do postaci kanonicznej równania:

a) u

+ 2u

= 0;

b) u

+ 2u

− 3u

+ 3u

+ 2u

= 0;

c) yu

− xu

= 0;

d) y

+ 2x

+ 2xyu

+ yu

= 0;

e) x

− 3y

+ 2xyu

− 2xu

+ 4yu

= 0.

2. Zbadać w jakich punktach poniższe równania są typu hiperbolicznego, parabolicz-

nego, eliptycznego:
a) yu

− xu

= 0;

b) y

+ u

= 0;

c) xu

− y

= 0;

d) (1 + y

− (1 + x

+ 2xyu

+ xu

+ yu

= 0;

e) tg

− y

− 2ytgx u

+ tg

x u

= 0.

3. Sprowadzić do postaci kanonicznej i znaleźć całkę ogólną równania:

a) x

+ y

+ 2xyu

= 0;

b) x

+ y

22xyu

+ xu

+ yu

= 0;

c) x

− 3y

− 2xyu

= 0;

d) u

− cos

x u

− 2sinx u

− cos x u

= 0.

4. Znaleźć całkę ogólną równań:

a) yu

− xu

= 0;

b) u

− 4x

− (1/x)u

= 0;

c) 2x u

− 2y u

+ u

− u

= 0;

e) 4y

− e

− 4y

+ (e

/y)u

= 0;

Rozdział 5

Metoda rozdzielania zmiennych

Metoda rozdzielania zmiennych zwana też metodą Fouriera jest jedną z najstar-

szych metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Polega ona na próbie
wyznaczenia rozwiązania danego równania w postaci kombinacji funkcji o mniejszej
ilości zmiennych. Najczęściej szukamy rozwiązania w postaci sumy lub iloczynu funk-
cji. W szczególności, jeśli szukane rozwiązanie u jest funkcją zmiennych x i t, rozwiąza-
nia tego możemy szukać w postaci iloczynu dwóch funkcji z których jedna jest funkcją
zmiennej x druga zmiennej t. Metoda ta jest szczególnie przydatna, jeśli szukamy
rozwiązania w zbiorze ograniczonym o zadanych wartościach na brzegu obszaru. Zin-
terpretujemy to poniźej rozważając kolejno równanie struny ograniczonej jednorodnej
o jednorodnych warunkach brzegowych, równanie struny ograniczonej niejednorodnej
o jednorodnych warunkach brzegowych wreszcie równanie struny z niejednorodnymi
warunkami brzegowymi. Analogiczne przykłady podamy dla równania przewodnictwa
cieplnego.

5.1. Rozwiązanie równania struny ograniczonej

Rozważmy równanie struny

= a

0 ≤ x ≤ l,

t ≥ 0,

(5.1)

z warunkami brzegowymi

u(0, t) = 0,

u(l, t) = 0,

t ≥ 0.

(5.2)

oraz warunkami początkowymi

u(x, 0) = ϕ(x),

(x, 0) = ψ(x),

0 ≤ x ≤ l.

(5.3)

Przyjmujemy przy tym, że ϕ(0) = 0.

Szukamy rozwiązania postaci

u(x, t) = T (t)X(x).

Podstawiając ostatnią funkcje do równania (5.1) otrzymamy

′′

(t)X(x) = a

T (t)X

′′

(x).

Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych

Przyjmując, że T 6= 0 i X 6= 0 możemy ostatnie równanie przekształcić do postaci

′′

(t)

T (t)

= a

′′

(x)

X(x)

Ponieważ lewa strona zależy tylko od t, zaś prawa stona tylko od x, zatem oba ilorazy
muszą być równe stałej. Oznaczając tę stałą przez −λ, ostatnią równość możemy

zapisać w postaci dwóch równań

′′

(t) + λa

T (t) = 0,

′′

(x) + λX(x) = 0.

(5.4)

Ponadto z warunków brzegowych (5.2) wynika natychmiast, że

X(0) = 0,

X(l) = 0.

(5.5)

Przedyskutujemy teraz rozwiązania równań (5.4) w zależności od znaku λ.

Przypadek: λ < 0. Rozwiązania równań mają postać:

T (t) = Ae

√

−λ at

+ Be

−

√

−λ at

X(x) = Ce

√

−λ x

+ De

−

√

−λ x

Z warunków brzegowych (5.5) wynika, że C = D = 0, czyli u(x, t) = 0. Ponieważ
rozwiązanie zerowe nie jest dla nas interesujące, przypadek ten należy odrzucić.

Przypadek: λ = 0. Rozwiązania równań (5.4) mają postać

T (t) = A + Bt,

X(x) = C + Dx.

Uwzględniając warunki brzegowe (5.5) otrzymamy jak poprzednio u(x, t) = 0, a zatem
również ten przypadek należy odrzucić.

Przypadek: λ > 0. Wygodnie jest teraz w równaniu (5.4) symbol λ zastąpić sym-

bolem λ

, czyli zapisać te równania w postaci

′′

(t) + λ

T (t) = 0,

′′

(x) + λ

X(x) = 0.

Rozwiązania mają wówczas postać

T (t) = A cosλ at + B sinλ at,

X(x) = C cosλ x + D sinλ x.

Z warunku X(0) = 0 wynika, że C = 0 a warunek X(l) = 0 daje równość

sinλ l = 0.

Ostatnia równość jest spełniona dla λ

= nπ/l, n ∈ N. Wrtości te nazywamy war-

tościami własnymi. Zauważmy, że tylko dla takich wartości λ może istnieć szukane
rozwiązanie.

Dla n ∈ N położmy

(t) = A

cos

naπ

t + B

sin

naπ

(x) = C

sin

nπ

5.1. Rozwiązanie równania struny ograniczonej

oraz

(x, t) =

cos

naπ

t + B

sin

naπ

sin

nπ

Zauważmy, że tak określona funkcja u

jest rozwiązaniem równania (5.1), spełnia

warunki brzegowe (5.2), ale na ogół nie spełnia warunków początkowych (5.3).

Połóżmy teraz

u(x, t) =

∞

n=1

(x, t).

(5.6)

Załóżmy, że szereg po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny jak również szereg
pierwszych i drugich pochodnych jest jednostajnie zbieżny do odpowiedniej pochodnej
z funkcji u.

Oczywiście

u(x, 0) =

∞

n=1

sin

nπ

Załóżmy dalej, że funkcje ϕ można rozwinąć w szereg sinusów w przedziale [0, l]

ϕ(x) =

∞

n=1

sin

nπ

gdzie

ϕ(s)sin

nπ

sds.

Zauważmy, że pierwszy z warunków początkowych u(0, x) = ϕ(x) jest spełniony, jeśli
A

= α

, czyli

ϕ(s)sin

nπ

sds.

W celu zapewnienia drugiego z warunków początkowych należy policzyć pochodną

względem t.

∂

∂t

u(x, t) =

∞

n=1

naπ

− A

sin

naπ

t + B

cos

naπ

sin

nπ

Stąd

∂

∂t

u(x, 0) =

∞

n=1

naπ

sin

nπ

Rozwijając funkcje ψ w szereg sinusów otrzymamy

ψ(x) =

∞

n=1

sin

nπ

gdzie

ψ(s)sin

nπ

sds.

Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych

Zatem drugi z warunków początkowych (5.3) jest spełniony, jeśli (naπ/l)B

= β

czyli

naπ

ψ(s)sin

nπ

sds.

Szukane rozwiązanie ma zatem postać

u(x, t)

∞

n=1

ϕ(s)sin

nπ

sds cos

naπ

ψ(s)sin

nπ

sds sin

naπ

sin

nπ

(5.7)

Kładąc

+ B

cos e

= A

/ρ

sin e

= B

/ρ

naπ

otrzymamy

(x, t) = α

cos

naπ

(t − ϕ

) sin

nπ

Funkcja u

opisuje drgania harmoniczne (tzw. n-ta harmoniczna) odpowiadające war-

tości własnej λ

= nπ/l, przy czym :

sin

nπ

x − amplituda drgania n-tej harmonicznej:

naπ

− czestotliwość drgania n-tej harmonicznej.

Pamiętając że a

= T /ρ, gdzie T oznacza siłę naprężenia a ρ gęstość, otrzymamy

nπ

Częstotliwość ω

= (π/l)

T /ρ odpowiada tzw. dźwiękowi podstawowemu (zwanemu

też pierwszą harmoniczną). Jest to dźwięk najsilniejszy. Melodia struny zależy nato-
miast od dalszych dźwięków uzupełniających.

Jeśli A

= . . . = A

n−1

= 0 oraz B

= · · · = B

n−1

= 0, natomiast A

lub

6= 0, dźwięk podstawowy odpowiada częstotliwości ω

. Wynika stąd, że dźwięk

struny zależy od warunków początkowych u(x, 0) = ϕ(x),

(x, 0) = ψ(x) oraz

wielkości: l, T i ρ.

5.2. Uzasadnienie metody

Opisane w poprzedniej sekcji postępowanie jest słuszne, jeśli szereg (5.6) oraz

szeregi pierwszych i drugich pochodnych są jednostajnie zbieżne. Teraz podamy proste
warunki przy których zbieżność taka zachodzi.

5.2. Uzasadnienie metody

Przypomnijmy, że

u(x, t) =

∞

n=1

(x, t) =

∞

n=1

cos

anπ

t + B

sin

anπ

sin

nπ

gdzie

ϕ(s)sin

nπ

sds,

anπ

ψ(s)sin

nπ

sds.

Oczywiście

(x, t)| ≤ |A

| + |B

Z równości

∂

∂t

(x, t) =

anπ

− A

sin

naπ

t + B

cos

naπ

sin

nπ

wynika, że

∂

∂t

(x, t)| ≤

naπ

| + |B

Podobnie możemy pokazać, że

∂

∂t

(x, t)

≤

naπ

| + |B

;

∂

∂x

(x, t)

≤

nπ

| + |B

;

∂

∂x

(x, t)

≤

nπ

| + |B

Aby uzyskać jednostajną zbieżność wspomnianych wyżej szeregów wystarczy po-

kazać, że zbieżne są szeregi liczbowe

∞

n=1

| oraz

∞

n=1

dla

k = 0, 1, 2.

Pokażemy teraz zbieżność szeregu

∞

n=1

przy dodatkowym założeniu, że funkcja ϕ posiada czwartą pochodną, pochodna ta
jest funkcją całkowalną i ponadto ϕ(0) = ϕ(l) = 0 oraz ϕ

′′

(0) = ϕ

′′

(l) = 0.

Przyjmując λ

= (nπ)/l mamy

ϕ(s)sinλ

sds.

Całkując czterokrotnie przez części otrzymamy

ϕ(s) sinλ

s ds = −

ϕ(s) cos λ

′

(s) cosλ

s ds

Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych

′

(s) cosλ

s ds = −

′

(s) sin λ

−

′′

(s) sinλ

s ds

= −

′′

(s) sinλ

s ds = −

′′

(s) cos λ

′′′

(s) cosλ

s ds

′′′

(s) cosλ

s ds =

′′′

(s) sin λ

−

(s) sinλ

s ds

Stąd

| =

(s) sinλ

s ds

≤

|ϕ

(s)| ds =

gdzie

C =

|ϕ

(s)| ds.

W konsekwencji

∞

n=1

| ≤ C

∞

n=1

skąd wynika natychmiast, że szereg

∞
n=1

| jest zbieżny. Analogicznie możemy

pokazać, że szereg

∞

n=1

| jest zbieżny. Oczywiście, przy przyjętych założeniach,

również szeregi

∞
n=1

n|A

| oraz

∞
n=1

n|B

| są zbieżne. Oznacza to, że metoda za-

stosowana w poprzedniej sekcji przy przyjętych założeniach o funkcjach ϕ i ψ jest
poprawna.

Uwaga 5.1. Z teorii szeregów Fouriera wiadomo, że przyjęte tu założenia o funk-

cjach ϕ i ψ można znacznie osłabić.

5.3. Równanie niejednorodne struny

Rozważmy niejednorodne równanie struny

= a

+ f (x, t),

0 ≤ x ≤ l,

t ≥ 0,

(5.8)

z warunkami brzegowymi

u(0, t) = 0,

u(l, t) = 0,

t ≥ 0.

(5.9)

oraz warunkami początkowymi

u(x, 0) = ϕ(x),

(x, 0) = ψ(x),

0 ≤ x ≤ l.

(5.10)

Szukamy rozwiązania postaci

u(x, t) =

∞

n=1

(t) sin

nπ

(5.11)

5.3. Równanie niejednorodne struny

gdzie ω

, n ∈ N, są nieznanymi funkcjami które będziemy starali się wyznaczyć tak,

aby uzyskać szukane rozwiązanie. Zapiszmy funkcje f, ϕ i ψ w postaci szeregów Fo-
uriera

f (x, t) =

∞

n=1

(t) sin

nπ

(5.12)

ϕ(x) =

∞

n=1

sin

nπ

ψ(x) =

∞

n=1

sin

nπ

(5.13)

gdzie

(t) =

f (s, t)sin

nπ

s ds,

ϕ(s) sin

nπ

s ds,

ψ(s) sin

nπ

s ds.

Podstawiając (5.11) i (5.12) do (5.8) otrzymamy

∞

n=1

′′

(t) + a

ω(t) − γ

(t)

sin λ

x = 0,

(5.14)

gdzie λ

= nπ/l.

Z kolei podstawiając (5.11), (5.12) do warunków początkowych (5.10) otrzymamy

∞

n=1

(0) − α

sin λ

x = 0.

(5.15)

oraz

∞

n=1

′

(0) − β

sin λ

x = 0.

(5.16)

Warunki (5.14), (5.15) i (5.16) są spełnione, jeśli dla dowolnego n ∈ N

′′

(t) + a

ω(t) = γ

(t),

(0) = α

′

(0) = β

Rozwiązując ostatni problem otrzymamy

(t)

cos aλ

t +

aλ

sin aλ

t −

aλ

(s) sin λ

s ds · cos aλ

aλ

(s) cos aλ

sds · sin aλ

cos aλ

t +

aλ

sin aλ

t +

aλ

(s) sin aλ

(t − s) ds.

Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych

Podstawiając ostatni związek do wzoru (5.11) otrzymamy

u(x, t) =

∞

n=1

cos aλ

t +

aλ

sin aλ

sin λ

∞

n=1

aλ

(s) sin aλ

(t − s) sin λ

x ds.

Kładąc

G(x, s, t, τ ) =

∞

n=1

sin λ

τ sin aλ

(t − s) sin λ

rozwiązanie u możemy zapisać w postaci

u(x, t) =

∞

n=1

cos λ

t +

sin λ

x +

G(x, s, t, τ )f (τ, t)dsdτ.

Przykład 5.1.

Rozważmy równanie

= a

+ f (x),

0 ≤ x ≤ l,

t ≥ 0,

(5.17)

z warunkami brzegowymi

u(0, t) = α,

u(l, t) = β,

t ≥ 0.

(5.18)

oraz warunkami początkowymi

u(x, 0) = ϕ(x),

(x, 0) = ψ(x),

0 ≤ x ≤ l.

(5.19)

Szukamy rozwiązania w postaci sumy

u(x, t) = w(x) + v(x, t),

gdzie w jest rozwiązaniem problemu

+ f (x) = 0,

w(0) = α, w(l) = β,

(5.20)

zaś funkcja v jest rozwiązaniem równania

= a

spełniającym warunki początkowe

v(x, 0) = ϕ(x) − w(x),

(x, 0) = ψ(x)

oraz warunki brzegowe

v(0, t) = 0,

v(l, t) = 0.

Rozwiązanie ostatniego problemu zostało podane w sekcji 5.1 (zob. wzór (5.7)). Wy-
starczy zatem znaleźć rozwiązanie problemu (5.19), które - jak łatwo sprawdzić -
wyraża się wzorem

w(x) = α +

(β − α) +

f (s)dsdt −

f (s)dsdt.

5.4. Przykłady

Przykład 5.2.

(Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie ograniczo-

nym z jednorodnymi warunkami brzegowymi). Rozważmy równanie

= a

0 ≤ x ≤ l,

t ≥ 0,

(5.21)

z warunkami brzegowymi

u(0, t) = 0,

u(l, t) = 0,

t ≥ 0.

(5.22)

oraz warunkiem początkowym

u(x, 0) = ϕ(x),

0 ≤ x ≤ l.

(5.23)

Szukamy rozwiązania postaci

u(x, t) = X(x)T (t).

Po podstawieniu do równania (5.21) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

′′

′

= −λ,

czyli

′′

+ λX = 0,

′

+ a

λT = 0.

Z warunków brzegowych (5.22) wynika, że

X(0) = 0,

X(l) = 0.

Ponieważ dla λ ≤ 0 otrzymujemy rozwiązanie zerowe, przyjmujemy λ > 0. Rozwią-

zując powyższe równania otrzymamy:

X(x) = A cos

√

λx + B sin

√

λx,

T (t) = Ce

−a

λt

Z warunku X(0) = 0 wynika, że A = 0, zaś warunek X(l) = 0 implikuje

sin

√

λl = 0.

Ostatnie równanie jest spełnione dla

λ = λ

nπ

n = 1, 2, . . . .

Zatem dla dowolnego n ∈ N funkcja

(x, t) = B

−

nπ

sin

nπ

jest rozwiązaniem równania (5.21) spełniającym warunki brzegowe (5.22). Rozwiąza-
nie to na ogół nie spełnia warunku początkowego (5.23).

Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych

Rozważmy funkcje

u(x, t) =

∞

n=1

(x, t).

Podobnie jak w sekcji 5.2 można sprawdzić, że przy stosownych założeniach funkcja
(5.24) spełnia równanie (5.21) oraz warunki brzegowe (5.22). Powstaje pytanie, czy
można tak dobrać stałe B

aby był spełniony również warunek początkowy (5.23).

W tym celu rozwińmy funkcje ϕ wprzedziale [0, l] w szereg sinusów

ϕ(x) =

∞

n=1

sin

nπ

gdzie

∞

n=1

ϕ(s) sin

nπ

sds.

Ponieważ

u(x, 0) =

∞

n=1

sin

nπ

warunek (5.23) jest spełniony, jeśli

= α

n = 1, 2, . . . .

W konsekwencji

u(x, t)

∞

n=1

ϕ(s) sin

nπ

s ds e

−

nπ

sin

nπ

∞

n=1

−

nπ

sin

nπ

s sin

nπ

ϕ(s) ds.

Kładąc

G(x, s, t) =

∞

n=1

−

nπ

sin

nπ

s sin

nπ

otrzymamy

u(x, t) =

G(x, s, t)ϕ(s) ds.

Przykład 5.3.

(Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie ograniczo-

nym z niejednorodnymi warunkami brzegowymi). Rozważmy równanie

= a

dla

0 ≤ x ≤ l,

t ≥ 0,

(5.24)

z warunkami brzegowymi

u(0, t) = b,

u(l, t) = ct,

dla t ≥ 0.

oraz warunkiem początkowym

u(x, 0) = 0,

dla

0 ≤ x ≤ l.

5.4. Przykłady

Powyższy problem możemy sprowadzić do jednorodnych warunków brzegowych

kładąc

u(x, t) = v(x, t) + b +

ct − b

Istotnie, podstawiając wielkości

= v

do problemu wyjściowego otrzymamy równanie

= a

−

(5.25)

z warunkami brzegowymi

v(0, t) = 0,

v(l, t) = 0

(5.26)

oraz warunkiem początkowym

v(x, 0) = b(

− 1).

(5.27)

Szukamy rozwiązania równania (5.25) postaci

v(x, t) =

∞

n=1

(t) sin

nπ

(5.28)

gdzie ω

są niewiadomymi funkcjami które należy wyznaczy". Podstawiajć (5.28) oraz

rozwinięcie

x =

∞

n=1

sin

nπ

gdzie

x sin

nπ

x dx =

nπ

(−1)

n+1

(5.29)

do równania (5.25) otrzymamy

∞

n=1

′

(t) +

anπ

(t) + α

sin

nπ

x = 0.

Stąd

′

(t) + λ

(t) + α

= 0,

(5.30)

gdzie

nπ

(5.31)

Podstawiając natomiast (5.28) do (5.25) po uwzględnieniu rozwinięcia

− 1

∞

n=1

sin

nπ

Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych

gdzie

− 1

sin

nπ

x dx = −

nπl

(5.32)

otrzymamy

∞

n=1

(0) − β

sin

nπ

x = 0,

co implikuje ω

(0) = β

. Rozwiązując równanie (5.30) z warunkiem początkowym

(0) = β

otrzymamy

(t) = β

−a

2
n

−

Podstawiając uzyskaną wielkość do wzoru (5.27) otrzymamy rozwiązanie problemu
(5.25), (5.26), (5.28)

v(x, t) =

∞

n=1

−a

2
n

−

sin

nπ

gdzie λ

, α

oraz β

są dane wzorami (5.31), (529), (5.32).

Przykład 5.4.

(Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie nieograni-

czonym). Rozważmy równanie

= a

x ∈ R,

t ≥ 0,

(5.33)

z warunkiem początkowym

u(x, 0) = ϕ(x),

x ∈ R.

(5.34)

Szukamy rozwiązania postaci

u(x, t) = X(x) T (t).

Po podstawieniu do równania (5.33) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

′′

′

= −λ

czyli

′′

+ λ

X = 0,

′

+ a

T = 0.

Rozwiązując powyższe równania otrzymamy:

X(x) = A cos λx + B sin λx,

T (t) = Ce

−a

Dla dowolnego λ ∈ R funkcja

u(x, t, λ) = e

−λ

A(λ) cos λx + B(λ) sin λx

5.4. Przykłady

jest rozwiązaniem równania (5.33). Na ogół rozwiązanie to nie spełnia warunku po-
czątkowego (5.34). Rozważmy teraz funkcje

u(x, t) =

+∞

u(x, t, λ)dλ =

+∞

−λ

A(λ) cos λx + B(λ) sin λx

dλ.

Funkcja ta jest oczywiście rozwiązaniem równania (5.33). Żądamy, aby spełniała ona
również warunek początkowy (5.34), czyli

u(x, 0) =

+∞

A(λ) cos λx + B(λ) sin λx

dλ = ϕ(x).

Jeśli ϕ jest funkcją całkowalną, to zgodnie z wzorem Fouriera (zob. dodatek )

ϕ(x) =

+∞

dλ

+∞

−∞

ϕ(s) cos λ(s − x) ds.

Wstawiając ostatnią równość do poprzedniego wzoru i uwzględniając związek
cos λ(s − x) = cos λs cos λx − sin λs sin λx otrzymamy

A(λ) =

+∞

ϕ(s) cos λs ds,

B(λ) =

+∞

ϕ(s) sin λs ds.

Ostatecznie więc rozwiązanie równania wyjściowego ma postać

u(x, t) =

+∞

−∞

ϕ(s) e

−λ

cos λ(x − s) ds dλ.

Przykład 5.5.

(Drgania membrany prostokątnej). Rozważmy równanie

= a

+ u

(x, y) ∈ [0, l] × [0, l],

(5.35)

spełniające warunki brzegowe

u(0, y, t) = 0, u(l, y, t) = 0,

y ∈ [0, l], t > 0,

(5.36)

u(x, 0, t) = 0 u(x, l, t) = 0,

x ∈ [0, l], t > 0,

(5.37)

oraz warunki początkowe

u(x, y, 0) = cxy(l − x)(l − y)),

(x, y, 0) = 0,

x, y ∈ [0, l].

(5.38)

Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych

Problem ten opisuje drgania membrany prostokątnej, unieruchomionej na brzegu,

o zadanym kształcie początkowym.

Szukamy rozwiązania postaci

u(x, y, t) = X(x) Y (y) T (t).

Po podstawieniu do równania (5.35) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

′′

(t)

T (t)

′′

(x)

X(x)

′′

(y)

Y (y)

Poniewaę˚

poszczególne składniki w powyższym równaniu są funkcjami jednej zmien-

nej, więc każdy ze składników musi przyjmować wartości stałe. Dostajemy zatem
równania:

′′

(x)

X(x)

= −λ

′′

(y)

Y (y)

= −λ

′′

(t)

T (t)

= −λ

− λ

Po uwzględnieniu warunków (5.36) oraz (5.37) otrzymamy następujące problemy brze-
gowe:

′′

(x) + λ

X(x) = 0,

X(0) = 0, X(l) = 0

oraz

′′

(y) + λ

Y (y) = 0,

Y (0) = 0, Y (l) = 0.

Rozwiązując powyższe problemy otrzymamy

(x) = A

sin λ

n = 1, 2, . . . ,

(y) = B

sin λ

m = 1, 2, . . . ,

gdzie λ

= nπ/l, λ

= mπ/l.

Rozwiązując zaś równanie

′′

(t) + a

+ λ

T (t) = 0,

otrzymamy

(t)

= A

cos a

+ λ

t + B

sin a

+ λ

= A

cos

aπ

+ m

t + B

sin

aπ

+ m

Dla m, n ∈ N funkcja

(x, y, t) =

cos

aπ

+ m

t + B

sin

aπ

+ m

sin

nπ

x sin

mπ

jest rozwiązaniem problemu (5.35) spełniającym warunki brzegowe (5.36) i (5.37). Na
ogół nie spełnia ona warunków początkowych (5.38). Rozważmy teraz funkcje

u(x, y, t) =

∞

n,m=1

(x, y, t).

5.4. Przykłady

Jeśli szereg występujący po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny oraz szeregi dru-
gich pochodnych są jednostajnie zbieżne, to funkcja u jest rozwiązaniem równania
(5.35). W oczywisty sposób spełnia ona warunki brzegowe (5.36) i (5.37). Pozostaje
dobrać stałe A

oraz B

tak aby zachodziły warunki początkowe (5.38). Z wa-

runku u

(x, y, 0) = 0 wnioskujemy, że B

= 0 dla n, m ∈ N, natomiast z warunku

u(x, y, 0) = cx(l − x)(l − y) wynika, że A

= c α

, gdzie

x(l − x) sin

nπ

xdx =,

y(l − y) sin

mπ

ydy = .

Przykład 5.6.

(Równanie Laplace’a). Rozważmy równanie Laplace’a

+ u

= 0

(x, y) ∈ (0, π) × (0, ∞),

(5.39)

spełniające warunki:

u(0, y) = 0,

u(π, y) = 0,

y ∈ (0, ∞)

(5.40)

oraz

u(x, 0) = 1 −

x
π

u(x, ∞) = 0,

x ∈ (0, π).

(5.41)

Szukamy rozwiązania postaci

u(x, y) = X(x) Y (y).

(5.39) Po podstawieniu do równania (5.39) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy

′′

(x)

x(x)

= −

′′

(y)

y(y)

Równość ta może zachodzić tylko wówczas gdy obie strony są równe pewnej stałej,
powiedzmy −λ. Otrzymujemy zatem następujące równania różniczkowe:

′′

(x) + λX(x) = 0,

′′

(y) − λY (y) = 0.

Z warunków (5.40) i (5.41) wynika natomiast, że X(0) = 0, X(π) = 0, Y (+∞) = 0.

Rozważmy problem

′′

(x) + λX(x) = 0,

X(0) = 0, X(π) = 0.

Dla λ ≤ 0 problem ten posiada rozwiązanie zerowe. Załóżmy więc, że λ > 0. Wówczas

X(x) = A cos

√

λx + B sin

√

λx

Z warunków brzegowych wynika, że A = 0 oraz sin

√

λx = 0. Zatem rozwiązanie

niezerowe istnieje dla λ = n

, n ∈ N. Zauważmy teraz, że rozwiązanie problemu

′′

(y) − n

Y (y) = 0,

Y (+∞) = 0

Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych

ma postać

(y) = Ce

−ny

Wynika stąd, że dla dowolnego n ∈ N funkcja

(x, y) = C

−ny

sin nx.

jest rozwiązaniem problemu (5.39) spełniającym warunki brzegowe. Na ogół rozwią-
zanie to nie spełnia warunku początkowego. Połóżmy więc

u(x, y) =

∞

n=1

−ny

sin nx.

Funkcja ta spełnia równanie (5.39) oraz warunki brzegowe (5.40). Aby spełniała ona
również warunek początkowy wystarczy przyjąć

1 −

x
π

sin nx =

nπ

Szukane rozwiązanie ma zatem postać

u(x, y) =

∞

n=1

nπ

−ny

sin nx.

5.5. Zadania

1. Znaleźć rozwiązanie równania

= a

0 < x < l, t > 0,

spełniające warunki:
a) u(0, t) = u(l, t) = 0, dla t > 0, u(x, 0) = 1, u

(x, 0) = x dla x ∈ (0, l);

b) u(0, t) = u(l, t) = 0, dla t > 0, u(x, 0) = x

, u

(x, 0) = 0 dla x ∈ (0, l);

c) u(0, t) = u(l, t) = 0, dla t > 0, u(x, 0) = x(l − x), u

(x, 0) = 0 dla x ∈ (0, l);

d) u(0, t) = u(π, t) = 0, dla t > 0, u(x, 0) = x/π, u

(x, 0) = −a x

/π

− x/π

dla x ∈ (0, π);

e) u(0, t) = t

, u(l, t) = t

, dla t > 0, u(x, 0) = sin x, u

(x, 0) = 0 dla x ∈ (0, l).

2. Znaleźć rozwiązanie równania

= a

+ e

0 < x < l, t > 0,

spełniające warunki

u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = sin x, u

(x, 0) = x.

5.5. Zadania

3. Znaleźć rozwiązanie równania

= a

+ 6t,

0 < x < l, t > 0,

spełniające warunki

u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = x, u

(x, 0) = 1.

4. Znaleźć rozwiązanie równania

= a

+ xe

−t

0 < x < l, t > 0,

spełniające warunki

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, u(x, 0) = 0, u

(x, 0) = 0

5. Znaleźć rozwiązanie równania

= a

0 < x < l, t > 0,

spełniające mieszane warunki brzegowe

u(0, t) = 0,

u(l, t) = 2u

(l, t), t > 0,

oraz warunki początkowe

u(0, x) = 1,

(x, 0) = 1 + x,

0 < x < l.

6. Znaleźć rozwiązanie równania

= a

0 < x < l, t > 0,

spełniające warunki brzegowe

u(0, t) = bt,

u(l, t) = ct, t > 0,

oraz warunek początkowy

u(0, x) = 0,

0 < x < l.

(Problem ten opisuje rozkład temperatury w pręcie jednorodnym o długości l jeśli
w chwili początkowej temperatura wynosi 0, a na końcach pręta zmienia się liniowo
z czasem, zgodnie z wzorem u(0, t) = bt, u(l, t) = ct).

Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych

7. Znaleźć rozwiązanie równania

= a

0 < x < l, t > 0,

spełniające warunki brzegowe

u(0, t) = 0,

u(l, t) = 0, t > 0,

oraz warunek początkowy

u(x, 0) = cx(l − x),

0 < x < l.

8. Znaleźć rozwiązanie równania

= a

0 < x < l, t > 0,

spełniające warunki brzegowe

u(0, t) = 0,

u(l, t) = 0, t > 0,

oraz warunek początkowy

u(0, x) =

je´sli 0 < x ≤ l/2;

1 − x, je´sli l/1 < x < l.

9. Posługując się rozkładem u = v + w dobrać funkcje w tak aby problem

= u

, u(0, t) = λ(t), u(l, t) = ν(t), u(x, 0) = ϕ(x), u

(x, 0) = ψ(x)

sprowadzić do równania niejednorodnego, spełniającego jednorodne warunki brze-
gowe.

10. Rozwiązać problem

+ u

= 0,

0 < x < a, 0 < y < b,

u(x, 0) = U,

u(x, b) = 0,

u(0, y) = 0,

u(a, y) = 0.

(Problem ten opisuje rozkład potencjału pola elektrycznego u(x, y) wewnątrz pro-
stokąta, jeśli na jednym z boku potencjał jest równy U, a pozostałe boki są uzie-
mione).

11. Rozwiązać problem

+ u

= 0,

0 < x < 1, 0 < y < 2,

u(x, 0) = 0,

u(x, 2) = α,

u(0, y) = β,

u(1, y) = 0.

Rozdział 6

Równanie falowe

W rozdziale IV zauważyliśmy, że równanie typu hiperbolicznego o dwóch zmien-

nych niezależnych możemy sprowadzić do postaci w

ξη

= F (ξ, η, w

, w

). W wielu

przypadkac równanie takie udaje się rozwiązać np. metodą charakterystyk. Zadanie
jest w szczególności proste, jeśli prawa strona ostatniego równania jest równa zeru.
Zauważmy, że w przeciwieństwie do poprzedniego rozdziału obszar w którym roz-
ważany problem jest dowolny, a sytuacja najwygodniejsza gdy szukamy rozwiązania
określonego w całej przestrzeni. Metoda ta zastosowana do równania struny nosi nazwę
metody d’Alamberta.

6.1. Rozwiązanie równania struny metodą d’Alamberta

Rozważmy równanie struny

= a

a 6= 0,

(6.1)

w obszarze D = {(x, t) ∈ R

: t ≥ 0} spełniające warunki początkowe:

u(x, 0) = ϕ(x),

(

x, 0) = ψ(x),

x ∈ R.

(6.2)

Równanie charakterystyk w naszym przypadku ma postać

− a

= 0.

Rozwiązując równania

= a,

otrzymamy

x − at = C

x + at = C

Stosując podstawienie

ξ = x − at,

η = x + at,

równanie wyjściowe sprowadzimy do postaci

∂

∂ξ∂η

= 0.

Rozdział 6. Równanie falowe

Całkując względem ξ otrzymamy

∂w

∂η

= f (η),

a następnie całkując względem η otrzymamy

w(ξ, η) =

f (η)dη + G(ξ) = F (η) + G(ξ),

gdzie F i G są dowolnymi funkcjami klasy C

. Wracając do zmiennych wyjściowych

otrzymamy

u(x, t) = F (x − at) + G(x + at).

(6.3)

Fale zadane odpowiednio funkcjami F i G nazywa się falami prostymi. Wykorzystując
warunki początkowe otrzymamy

u(x, 0) = F (x) + G(x) = ϕ(x),

(x, 0) = −aF

′

(x) + aG

′

(x) = ψ(x).

Rozwiązując układ równań

F (x) + G(x) = ϕ(x),

−F

′

(x) + G

′

(x) =

1
a

ψ(x),

otrzymamy

′

(x) =

1
2

′

(x) +

ψ(x),

a po scałkowaniu w przedziale [x

, x]

G(x) =

1
2

ϕ(x) −

1
2

ϕ(x

) +

ψ(s)ds + G(x

Z pierwszego natomiast równania mamy

F (x) = ϕ(x) − G(x) =

1
2

ϕ(x) −

ψ(s)ds +

1
2

ϕ(x

) − G(x

Postawiając uzyskane wzory na F i G do (1.3) otrzymamy

u(x, t) =

1
2

ϕ(x − at) + ϕ(x + at)

−

x−at

ψ(s)ds +

x+at

ψ(s)ds,

a po redukcji całek

u(x, t) =

1
2

ϕ(x − at) + ϕ(x + at)

x+at

x−at

ψ(s)ds.

(6.4)

Uzyskany w ten sposób wzór (6.4) na rozwiązanie problemu początkowego (6.1), (6.2)
nosi nazwę wzoru d’Alamberta.

6.1. Rozwiązanie równania struny metodą d’Alamberta

Uwaga 6.1. Zw wzoru (6.4) wynika natychmiast, że rozwiązanie problemu (6.1),

(6.2) zależy w sposób ciągły od warunków początkowych. Istotnie, niech u

będzie

rozwiązaniem równania (6.1) odpowiadającym położeniu początkowemu ϕ

oraz pręd-

kości początkowej ψ

zaś u

rozwiązaniem odpowiadającym położeniu początkowemu

oraz prędkości początkowej ψ

. Załóżmy, że

|ϕ

(x) − ϕ

(x)| < δ,

|ψ

(x) − ψ

(x)| < δ dla x ∈ R.

Wykorzystując wzór (6.4) łatwo sprawdzić, że

(x, t) − u

(x, t)| < (1 + t)δ dla x ∈ R.

Uwaga 6.2. Z liniowości operacji różniczkowania widać natychmiast, że jeśli

ϕ = ϕ

+ ϕ

ψ = ψ

+ ψ

to rozwiązanie problemu (6.1), (6.2) możemy przedstawić jako sumę u = u

+ u

gdzie u

jest rozwiązaniem równania (6.1) spełniającym warunki początkowe

u(x, 0) = ϕ

(x),

(x, 0) = ψ

(x)(x),

a u

jest rozwiązaniem problemu (6.1) spełniającym warunki początkowe

u(x, 0) = ϕ

(x),

(x, 0) = ψ

(x).

Własność tę nazywamy liniowością.

Zauważmy jeszcze, że jeśli ϕ = 0, rozwiązanie problemu (6.1), (6.2) przyjmuje

postać

u(x, t) =

x+at

x−at

ψ(s)ds,

(6.5)

a jeśli ψ = 0, postać

u(x, t) =

ϕ(x − at) + ψ(x + at)

(6.6)

Uwaga 6.3. Zinterpretujemy teraz rozwiązanie ogólne równania (6.1) dane wzo-

rem (6.3). Rozważmy wpierw przypadek G = 0. Wówczas

u(x, t) = F (x − at).

Zauważmy, że na prostej x − at = x

amplituda fali jest stała i wynosi F (x

), przy

czym fala rozchodzi się z prędkością a w kierunku dodatnim osi Ox.

Podobnie, jeśli F = 0, równanie fali ma postać

u(x, t) = G(x + at),

amplituda fali jest stała na prostej x + at = x

i wynosi G(x

), a fala rozchodzi się z

prędkości a w kierunku ujemnym osi Ox

Rozdział 6. Równanie falowe

Przypuśćmy teraz, że funkcje F i G są równe zeru poza przedziałem [α, β]. Wów-

czas fala prosta zadana funkcją F (x −at) w płaszczyźnie Oxt przesuwa się w obszarze
D

wyznaczonym prostymi x − at = α, x − at = β, t ≥ 0, a fala zadana funkcją

G(x + at) przesuwa się w obszarze D

wynaczonym prostymi x + at = α, x + at = β,

t ≥ 0 (zob. rys.). Rzutując funkcje na oś Ox możemy stwierdzić, że fala prosta opisana

funkcją F (x −at) przesuwa się wzdłuż osi Ox z prędkością a w kierunku dodatnim osi
Ox, zaś fala prosta opisana funkcją G(x + at) przesuwa się wzdłuż osi Ox z prędkością
a w kierunku ujemnym osi Ox,

Przykład 6.1.

Rozważmy przypadek, gdy prędkość początkowa ψ = 0, a położe-

nie początkowe ϕ ma pstać

ϕ(x) =







x − α, je´sli − α ≤ x ≤ 0;
α − x, je´sli 0 < x ≤ α;
0,

je´sli |x| > α.

Zgodnie z uwagą 6.2 rozwiązanie wyraża się wzorem (6.6). Nietrudno sprawdzić, że
u(x, 0) = ϕ(x) oraz

u x, α/(2a)











x/2 + 3α/4,

je´sli − 3α/2 ≤ x ≤ α/2;

α/2,

je´sli |x| ≤ α/2;

−x/2 − 3α/4, je´sli α/2 ≤ x ≤ 3α/2;
0,

je´sli |x| > 3α/2.

Pozostawiamy Czytelnikowi wyznaczenie wartości u(x, α/a) oraz u(x, 2α/a). Wartości
funkcji u(x, t) dla t = 0, t = α/(2a), t = α/a oraz t = 2α/a zostały przedstawione na
rys.

Uwaga 6.4. Jeśli funkcje ϕ i ψ są nieparzyste, to

u(0, t) =

ϕ(at) + ϕ(−at)

−at

ψ(s)ds = 0.

Jeśli funkcje ϕ i ψ są parzyste, to

∂

∂x

u(0, t) =

′

(at) + ϕ

′

(−at)

−at

′

(s)ds =

ψ(at) − ψ(−at)

= 0.

Wykorzystaliśmy tutaj oczywisty fakt, że ϕ

′

jako pochodna funkcji parzystej jest

funkcją nieparzystą. Warunki zauważone w tej uwadze wykorzystamy dla rozwiązania
równania struny na półosi dodatniej (zobacz poniżej przykład 6.2).

Przykład 6.2.

Rozważmy równanie (6.1) dla x > 0. Załóżmy, że zachodzą wa-

runki (6.2) dla x > 0. Oczywiście w tym przypadku z wzoru (6.4) nie możemy sko-
rzystać bezpośrednio, bowiem funkcje ϕ i ψ nie są określone dla x < 0.

Przypadek 1. Załóżmy jeszcze dodatkowo, że

u(0, t) = 0

dla t > 0.

6.1. Rozwiązanie równania struny metodą d’Alamberta

Wykorzystując uwagę 6.4 możmy rozszerzyć funkcje ϕ i ψ na prostą R jako funkcje
nieparzyste. Połóżmy

Φ(x) =

ϕ(x),

dla x > 0;

−ϕ(−x), dla x < 0,

Ψ(x) =

ψ(x),

dla x > 0;

−ψ(−x), dla x < 0.

Rozwiązanie równania (6.1) z warunkami początkowymi

u(x, 0) = Φ(x),

(x, 0) = Ψ(x)

dla

x ∈ R,

zgodnie z formułą (6.4) wyraża się wzorem

u(x, x) =

Φ(x + at) + Φ(x − at)

x+at

x−at

Ψ(s)ds.

(6.7)

Zatem wzór na rozwiązanie problemu wyjściowego ma ostatecznie postać

u(x, t) =











ϕ(x+at)+ϕ(x−at)

x+at

x−at

ψ(s)ds,

x > 0, at < x;

ϕ(x+at)−ϕ(x−at)

x+at

at−x

ψ(s)ds,

x > 0, at > x;

Przypadek 2. Załóżmy teraz, że

(0, t) = 0

dla t > 0.

Wykorzystując ponownie uwagę 6.4 rozszerzamy funkcje ϕ i ψ na R jako funkcje
parzyste, czyli

Φ(x) =

ϕ(x),

dla x > 0;

ϕ(−x), dla x < 0,

Ψ(x) =

ψ(x),

dla x > 0;

ψ(−x), dla x < 0.

Podobnie jak w przypadku 1 rozwiązanie równania (6.1) z warunkami początko-

wymi

u(x, 0) = Φ(x),

(x, 0) = Ψ(x)

dla x ∈ R,

wyraża się wzorem (6.7). Stąd wzór na rozwiązanie problemu wyjściowego ma postać:

u(x, t) =











ϕ(x+at)+ϕ(x−at)

x+at

x−at

ψ(s)ds,

x > 0, at < x;

ϕ(x+at)−ϕ(x−at)

x+at

at−x

ψ(s)ds,

x > 0, at > x;

Rozdział 6. Równanie falowe

6.2. Równanie niejednorodne struny

Rozważmy niejednorodne równanie struny

= u

+ f (x, t),

x ∈ R, t > 0

(6.8)

z warunkami początkowymi

u(x, 0) = ϕ(x),

(x, 0) = ψ(x),

x ∈ R.

(6.9)

Zauważmy wpierw, iż na mocy liniowości operacji różniczkowania wynika, rozwią-

zanie u problemu (6.8), (6.9) możemy zapisać jako sumę u = u

+ u

, gdzie u

jest

rozwiązaniem problemu

= a

u(x, 0) = ϕ(x),

(x, 0) = ψ(x),

zaś u

jest rozwiązaniem problemu

= u

+ f (x, t),

u(x, 0) = 0,

(x, 0) = 0,

x ∈ R.

(6.10)

W celu znalezienia rozwiązania problemu (6.10) rozważmy wpierw równanie

= a

x ∈ R, t ≥ τ ≥ 0,

(6.11)

z warunkami początkowymi

w(x, τ ; τ ) = 0,

∂w

∂t

(x, τ ; τ ) = f (x, τ ),

x ∈ R.

(6.12)

Ponieważ warunek początkowy jest zadany w chwili t

= τ , rozwiązanie problemu

(6.11), (6.12) zależy od τ, co symbolicznie zapisujemy w(·, · ; τ). Zgodnie z uwagą 6.2

rozwiązanie tego problemu ma postać

w(x, t; τ ) =

x+a(t−τ )

x−a(t−τ )

f (s, τ ) ds.

(6.13)

(Istotnie, wystarczy dokonać zmiany s = t − τ a następnie wykorzystać wzór (6.5)).

Lemat 6.1. Funkcja

v(x, t) = a

w(x, t; τ ) dτ

(6.14)

jest rozwiązaniem problemu (6.10).

6.2. Równanie niejednorodne struny

Dowód. Różniczkując funkcje v względem t otrzymamy

∂

∂t

v(x, t) = a

w(x, t; t) + a

∂

∂t

w(x, t; τ )dτ = a

∂

∂t

w(x, t; τ )dτ

oraz

∂

∂t

v(x, t)

∂

∂t

w(x, t; t) + a

∂

∂t

w(x, t; τ )dτ

f (x, t) + a

∂

∂t

w(x, t; τ )dτ,

zaś różniczkując dwukrotnie funkcje v względem x otrzymamy

∂

∂x

v(x, t) = a

∂

∂x

w(x, t; τ )dτ.

Wykorzystując uzyskane wzory mamy

∂

∂t

v(x, t) −

∂

∂x

v(x, t) = f (x, t) +

h ∂

∂t

w(x, t; τ ) − a

∂

∂x

w(x, t; τ )

dτ.

Ponieważ funkcja w jest rozwiązaniem równania (6.11), wyrażenie pod całką jest
równe zeru, skąd wynika, że funkcja v spełnia równanie (6.8). W oczywisty sposób
v(x, 0) = 0, v

(x, 0) = 0 dla x ∈ R. Zatem dowód lematu 6.2 jest zakończony.

Po uwzględnieniu relacji (6.13) i (6.14) oraz wzoru (6.4), rozwiązanie problemu

(6.8), (6.9) możemy zapisać w postaci

u(x, t) =

ϕ(x + at) + ϕ(x − at)

x+at

x−at

ψ(s)ds +

a
2

x+a(t−τ )

x−a(t−τ )

f (s, τ )dsdτ.

Przykład 6.3.

Rozważmy równanie

= a

x > 0

z warunkami początkowymi

u(x, 0) = 0,

(x, 0) = 0

dla

x > 0

oraz warunkiem brzegowym

u(0, t) = χ(t)

dla t > 0.

Rozdział 6. Równanie falowe

Zgodnie z wzorem (6.3)

u(x, t) = F (x − at) + G(x + at).

Dla x > 0 z warunku u(x, 0) = 0 otrzymamy F (x) + G(x) = 0, czyli

G(x) = −F (x) dla x > 0.

Zatem

u(x, t) = F (x − at) − F (x + at)

dla

x > 0, t > 0.

Z kolei z warunku u

(x, 0) = 0 wynika, że F

′

(x) = 0 dla x > 0, a w konsekwencji

F (x) = 0

dla x > 0.

Wykorzystując ostatni warunek mamy

u(0, t) = F (−at) − F (at) = F (−at).

Stąd i z warunku u(0, t) = χ(t) dla t > 0 otrzymujemy

F (−at) = χ(t),

a kładąc s = −at otrzymamy

F (s) = χ(−s/a)

dla s < 0.

W konsekwencji

u(x, t) =







χ(t − x/a), je´sli x ≤ at

je´sli x > at

Przykład 6.4.

Znaleźć rozwiązanie problemu

= a

+ f (x, t),

x > 0, t > 0,

spełniające warunki początkowe

u(x, 0) = 0,

(x, 0) = 0

dla

x > 0

oraz warunek brzegowy

u(0, t) = χ(t)

dla t > 0.

Szukane rozwiązanie jest równe sumie rozwiązania problemu (6.8), (6.9) oraz rozwią-
zania problemu z przykładu 6.3.

6.3. Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania

Przykład 6.5.

(Drgania struny ograniczonej). Rozważmy równanie struny

= a

0 ≤ x ≤ l, t > 0,

spełniające warunki początkowe

u(x, 0) = ϕ(x),

(x, 0) = ψ(x)

dla

0 ≤ x ≤ l

oraz warunek brzegowy

u(0, t) = u(l, t) = 0

dla

t > 0.

Połóżmy

Φ(x) =

ϕ(x),

je´sli 0 ≤ x ≤ l;

−ϕ(−x), je´sli − l ≤ x < 0,

Ψ(x) =

ψ(x),

je´sli 0 ≤ x ≤ l;

−ψ(−x), je´sli − l ≤ x < 0.

a następnie przedłużmy funkcje Φ i Ψ na całą oś Ox jako funkcje okresowe o okresie
2l. Wykorzystując wzór (6.7) otrzymamy rozwiązanie postawionego problemu.

6.3. Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania

Rozważmy równanie fal kulistych

= a

∆u,

(x, y, z) ∈ V,

t ≥ 0

(6.15)

z warunkami początkowymi

u(x, y, z, 0) = ϕ(x, y, z),

(x, y, z, 0) = ψ(x, y, z),

(x, y, z) ∈ V,

(6.16)

gdzie laplasjan ∆ =

∂

, a V jest podzbiorem otwartym przestrzeni R

Technika rozwiązania zaprezentowana poniżej polega na przekształcenia równa-

nia o trzech zmiennych na jednowymiarowe równanie falowe. Redukcję tę uzyskamy
wprowadzjąc tak zwane średnie sferyczne.

Przypuśćmy, że problem (6.15), (6.16) posiada rozwiązanie u w obszarze Ω =

V ×[0, ∞). Niech P

= (x

, y

, z

) ∈ V i niech r > 0 będą takie, że kula B(P

, r) ⊂ V .

Niech S(P

, r) będzie sferą o środku w punkcie P

i promieniu r. Połóżmy

u(r, t) =

4πr

S(P

,r)

u(ξ, η, ζ, t) dS,

(6.17)

gdzie po prawej stronie występuje całka powierzchniową po sferze S(P

, r). Wielkość

u(r, t) oznacza wartość średnią funkcji u na sferze S(P

, r) w chwili t.

Zapiszmy równanie sfery S(P

, r) we współrzędnych sferycznych

ξ = x

+ r cos α, cos β,

ζ = y

+ r sin α cos β,

ζ = z

+ r sin β,

Rozdział 6. Równanie falowe

gdzie 0 ≤ α ≤ 2π, −π/2 ≤ ψ ≤ π/2. Przypomnijmy też, że element powierzch-

niowy dS po przejściu na współrzędne sferyczne wyraża się wzorem

dS = r

cos β dα dβ.

Zamieniając we wzorze (6.17) całkę powierzchniową na całkę iterowaną otrzymamy

u(r, t) =

4π

2π

−

u(x

+ r cos α cos β, y

+ sin α cos β, z

+ r sin β, t) cos β dα dβ,

lub krótko

u(r, t) =

4πr

S(P

,r)

u dS =

4π

2π

−

u cos β dα dβ.

(6.18)

Oczywiście

u(0, t) = u(x

, y

, z

, t).

(6.19)

Całkując równanie (6.15) po kuli B(P

, r) otrzymamy

Z ZZ

B(P

,r)

dxdydz = a

ZZ Z

B(P

,r)

∆udxdydz,

a po zastosowaniu do prawej strony wzoru Gaussa-Ostrogradzkiego

ZZ Z

B(P

,r)

dxdydz = a

Z Z

S(P

,r)

∂u
∂n

dS,

gdzie

∂

∂n

oznacza pochodną funkcji u w kierunku normalnej zewnętrznej do po-

wierzchni S(P

, r). Ponieważ normalna zewnętrzna do kuli ma kierunek zgodny z

wektorem r

∂u
∂n

∂u

∂r

mamy

Z ZZ

B(P

,r)

cos ψ dxdydz = a

Z Z

S(P

,r)

∂

∂r

udS.

Po wprowadzeniu współrzędnych sferycznych i zamianie całek na całki iterowane
otrzymamy

2π

−

cos ψ dϕ dψ = a

2π

−

∂u

∂r

cos ψ dϕ dψ.

Różniczkując ostatnią równość względem r i dzieląc przez 4πr

otrzymamy

4π

2π

−

cos ψ dϕ dψ =

∂

∂r

4π

2π

−

∂u

∂r

cos ψ dϕdψ

6.3. Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania

Zapisując różniczkowanie względem t na zewnątrz całki i wprowadzając wartości śred-
nie sferyczne (zob. (6.17)) otrzymamy

∂

∂t

−

∂

∂r

∂e

∂r

= 0.

(6.20)

Ponieważ

∂

∂r

∂

∂r

u + r

∂e

∂r

= 2

∂e

∂r

+ r

∂

∂r

zatem

∂

∂r

∂e

∂r

= r

∂e

∂r

+ r

∂

∂r

= r

∂

(re

∂r

W konsekwencji równanie (6.20) przyjmuje postać

∂

∂t

−

∂

∂r

= 0,

a po pomnożeniu przez r

∂

(re

∂t

− a

∂

∂r

= 0

Kładąc

v(r, t) = re

u(r, t)

otrzymamy

∂

∂t

= a

∂

∂r

dla r > 0, t > 0.

(6.21)

Uśredniając również warunki początkowe (6.16) otrzymamy

u(r, 0) = e

ϕ(r) =

4πr

S(P

,r)

ϕ(ξ, η, ζ, t)dS,

(r, 0) = e

ψ(r) =

4πr

S(P

,r)

ψ(ξ, η, ζ, t)dS,

Zatem funkcja v jest rozwiązaniem równania (6.21) spełniającym warunki

v(r, 0) = r e

ϕ(r),

(r, 0) = r e

ψ(r),

v(0, t) = 0

dla r > 0, t ∈ R.

(6.22)

Wykorzystując metodę d’Alamberta rozwiązanie ogólne równania (6.21) możemy za-
pisać w postaci

v(r, t) = F (t + r/a) + G(t − r/a)

Z warunku v(t, 0) = 0 wynika, że G(t) = −F (t) dla t ∈ R. W konsekwencji

v(r, t) = F (t + r/a) − F (t − r/a).

Przechodząc w oczywistej równości

u(r, t) =

1
r

v(t, r) =

1
a

F(t + r/a) − F(t)

r/a

F (t) − F (t − r/a)

r/a

Rozdział 6. Równanie falowe

z r do zera, otrzymamy

u(0, t) =

2
a

′

(t).

(6.23)

Sumując równości

∂

∂r

(re

u) =

∂v
∂r

1
a

′

t +

r
a

1
a

′

t −

r
a

∂

∂t

(re

u) =

∂v

∂t

= F

′

t +

− F

′

t −

r
a

otrzymamy

∂

∂r

(re

u) +

∂

∂t

(re

u) =

2
a

′

t +

r
a

Przyjmując t = 0, r = at

i wykorzystując równości (6.23) i (6.19) otrzymamy

∂

∂r

(re

u) +

∂

∂t

(re

t=0, r=at

2
a

′

) = e

u(0, t

) = u(x

, y

, z

, t

Stąd i ze wzoru (6.17) mamy

u(x

, y

, z

, t

) =

4π

∂u

∂r

S(P

,r)

dS +

1
a

S(P

,r)

1
r

∂u

∂t

t=0, r=at

Uwzględniając wrunki początkowe (6.16) oraz fakt, że

∂

∂r

1
a

∂

∂t

jeśli r = at, otrzymamy

u(x

, y

, z

, t

) =

4πa

∂

∂t

Z Z

S(P

,at)

dS +

Z Z

S(P

,at)

Przypomnijmy, że punkt (x

, y

, z

) ∈ V oraz t

> 0 były ustalone dowolnie. Zatem

opuszczając wskaźnik 0 otrzymamy wartość rozwiązania u dla dowolnych (x, y, z) ∈ V

oraz t > 0 w postaci tak zwanego wzoru Kirchhoﬀa

u(x, y, z, t) =

4πa

∂

∂t

S(P,at)

ϕ(ξ, η, ζ)

dS +

S(P,at)

ψ(ξ, η, ζ)

lub po zastosowaniu transformacji

ξ = x + at cos α cos β,

η = y + at sin α cos β,

ζ = z + at sin β,

6.4. Niejednorodne równanie fal kulistych

gdzie 0 ≤ α ≤ 2π, −π/2 ≤ β ≤ π/2,

u(x, y, z, t) =

4π

∂

∂t

2π

−

tϕ ξ((α, β), η(α, β), ζ(α, β)

cos β dα dβ

2π

−

tψ ξ((α, β), η(α, β), ζ(α, β)

cos β dα dβ

Przypomnijmy, że wzór Kirchhoﬀa otrzymaliśmy przy założeniu, że problem (6.15),

(6.16) posiada rozwiązanie. Na odwrót, jeśli założymy, że funkcja ϕ jest klasy C

a funkcja ψ klasy C

to nietrudno pokazać, że funkcja u dana wzorem Kirchhoﬀa

jet rozwiązaniem problemu (6.15), (6.16). Oczywiście rozwiązanie to jest określone
jednoznacznie. Pokazaliśmy zatem następujące twierdzenie.

Twierdzenie 6.1. Jeśli funkcja ϕ jest klasy C

a funkcja ψ klasy C

w zbiorze

V , to w obszarze Ω = {(x, y, z, t) : (x, y, z) ∈ V, t > 0} istnieje dokładnie jedno roz-
wiązanie problemu (6.15), (6.16), przy czym jest ono określone następującym wzorem
Kirchhoﬀa

u(x, y, z, t) =

4πa

∂

∂t

S(P,at)

dS +

S(P,at)

4π

∂

∂t

2π

−

tϕ cos β dα dβ +

2π

−

tψ cos β dα dβ

Zauważmy, że pierwsza wersja wzoru Kirchhoﬀa podana jest we współrzędnych kar-
tezjańskich, zaś druga we współrzędnych biegunowych.

6.4. Niejednorodne równanie fal kulistych

Rozważmy niejednorodne równanie fal kulistych

− a

∆u = f (x, y, z, t),

(x, y, z) ∈ V,

t ≥ 0

(6.24)

z warunkami początkowymi

u(x, y, z, 0) = ϕ(x, y, z),

(x, y, z, 0) = ψ(x, y, z),

(x, y, z) ∈ V,

(6.25)

gdzie f i ψ są funkcjami klasy C

, a ϕ klasy C

w zbiorze V .

W celu rozwiązania problemu (6.24), (6.25) rozbijamy go na dwa problemy od-

dzielne:

= a

∆u,

(x, y, z) ∈ V,

t ≥ 0,

(6.26)

u(x, y, z, 0) = ϕ(x, y, z),

(x, y, z, 0) = ψ(x, y, z),

(x, y, z) ∈ V

(6.27)

Rozdział 6. Równanie falowe

oraz

− a

∆u = f (x, y, z, t),

(x, y, z) ∈ V,

t ≥ 0

(6.28)

u(x, y, z, 0) = 0,

(x, y, z, 0) = 0,

(x, y, z) ∈ V,

(6.29)

Rozwiązanie problemu (6.26), (6.27) dane jest wyprowadzonym w poprzedniej

sekcji wzorem Poissona (zob. twierdzenie 6.1). Aby znaleźć rozwiązanie problemu
(6.28), (6.29) rozważmy problem pomocniczy

= a

∆u,

(x, y, z) ∈ V,

t ≥ τ > 0,

(6.30)

v(x, y, z, τ ) = 0,

(x, y, z, τ ) = f (x, y, z, τ ),

(x, y, z) ∈ V.

(6.31)

Ponieważ rozwiązanie problemu (6.30), (6.31) zależy od τ, będziemy zaznaczać to
pisząc v(·, ·, ·, · ; τ). Wykorzystując wzór Kirchhoﬀa, rozwiązanie problemu (6.30),

(6.31) możemy zapisać w postaci:

v(x, y, z, t ; τ ) =

4πa

S P,a(t−τ )

f (ξ, η, ζ, τ )

t − τ

Połóżmy

w(x, y, z, t) =

v(x, y, z, t ; τ )dτ =

4πa

Z Z

S(P,a(t−τ ))

f (ξ, η, ζ, τ )

t − τ

dτ

4π

2π

π/2

−π/2

(t − τ)f ξ(α, β), η(α, β), ζ(α, β

, τ ) cos β dα dβ

dτ

Pokażemy, że funkcja w jest rozwiązaniem problemu (6.28), (6.29). Istotnie, za-

uważmy wpierw, że

∂w

∂t

(x, y, z, t) =

v(x, y, z, t; t) +

(x, y, z, t ; τ )dτ =

(x, y, z, t ; τ )dτ ;

∂

∂t

(x, y, z, t) =

(x, y, z, t; t) +

(x, y, z, t ; τ )dτ

f (x, y, z, t) +

(x, y, z, t ; τ )dτ ;

(∆w)(x, y, z, t)

(∆v)(x, y, z, t ; τ )dτ.

Zatem

− a

∆w = f (x, y, z, t) +

− a

∆v

dτ = f (x, y, z, t),

6.5. Równanie fal walcowych. Metoda redukcji

co oznacza, że funkcja v spełnia równanie (6.28). Ponieważ w oczywisty sposób funkcja
v spełnia również warunki początkowe (6.29), jest ona rozwiązaniem problemu (6.28),
(6.29).

Zgodnie z zasadą liniowości rozwiązanie problemu (6.24), (6.25) możemy uzyskać

jako sumę rozwiązań problemu (6.26), (6.27) oraz problemu (6.28), (6.29), czyli

u(x, y, z, t) =

4π

∂

∂t

2π

−

tϕ ξ(α, β), η(α, β), ζ(α, β

cos β dα dβ

2π

−

tψ ξ(α, β), η(α, β), ζ(α, β

cos β dα dβ

4πa

Z Z

S P,a(t−τ )

f (ξ, η, ζ, τ )

t − τ

dτ

6.5. Równanie fal walcowych. Metoda redukcji

Rozważmy równanie fali dla n = 2

− a

∆u = 0,

(x, y) ∈ D

(6.32)

z warunkami początkowymi

u(x, y, 0) = ϕ(x, y),

(x, y, 0) = ψ(x, y)

(6.33)

gdzie D ⊂ R

∆ =

∂

∂x

∂

∂y

Okazuje się, że nie widać prostego podstawienia które pozwoliłoby zredukować

problem dwuwymiarowy do problemu jenowmiarowego. Posłużymy się więc następu-
jącym chwytem. Rozważamy nasz problem w przestrzeni trójwymiarowej przyjmując,
że funkcje występujące w równaniu nie zależą od zmiennej z. Mianowicie połużmy

u(x, y, z, t) = u(x, y, t),

ϕ(x, y, z, t) = ϕ(x, y, t)),

ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, t).

Niech eu będzie rozwiązaniem problemu

− a

∆e

u = 0,

(x, y, z) ∈ V, t > 0,

u(x, y, z, 0) = e

ϕ(x, y, z),

(x, y, z, 0) = e

ψ (x, y, z),

(x, y, z) ∈ V,

gdzie V = D × R.

Niech P

= (x

, y

) ∈ D i niech K(P

, at) będzie kulą w przestrzeni R

o środku

w punkcie P

i promieniu at. Niech e

S( e

, at) i e

K( e

, at), gdzie e

= (x

, y

, z

∈ R, oznacza odpowiednio sferę i kulę w przestrzeni R

. Niech e

P = (ξ, η, ζ) będzie

punktem bieżącym na sferze e

S( e

, at).

Rozdział 6. Równanie falowe

Na mocy wzoru Kirchhoﬀa

u(x

, y

, z

, t) =

4πa

∂

∂t

S( e

,at)

ϕ(ξ, η, ζ)

dS +

S( e

,at)

ψ(ξ, η, ζ)

(6.34)

Niech ∆S będzie elementem powierzchni na sferze e

S( e

, at), a ∆σ jego rzutem na

powierzchnię ζ = 0 (zob. rys. ). Oczywiście

∆σ = ∆S cos γ,

gdzie

cos γ =

| e

P e

| e

P e

| e

P e

| = at,

| e

P e

| =

(at)

− (x

− ξ)

− (y

− η)

Uwzględniając powyższe zależności oraz deﬁnicje funkcji e

ϕ i e

ψ, po zamianie całek

powierzchniowych na całki podwójne, otrzymamy

S( e

,at)

ϕ(ξ, η, ζ)

dS = a

Z Z

K(P

,at)

ϕ(ξ, η)dξdη

(at)

− (x

− ξ)

− (y

− η)

S( e

,at)

ψ(ξ, η, ζ)

dS = a

K(P

,at)

ψ(ξ, η)dξdη

(at)

− (x

− ξ)

− (y

− η)

Ponieważ punkt (x

, y

) ∈ D był dobrany dowolnie, możemy opuścić wskaźnik 0.

Ponadto, uwzględniając w równaniu (6.34) związek u(x

, y

, t) = e

u(x

, y

, z

, t) oraz

ostatnie równości, otrzymamy rozwiązanie problemu (6.32), (6.33) w postaci tzw.
wzoru Poissona:

u(x, y, t) =

2πa

∂

∂t

Z Z

K(P,at)

ϕ(ξ, η)dξdη

(at)

− (x − ξ)

− (y − η)

Z Z

K(P,at)

ψ(ξ, η)dξdη

(at)

− (x − ξ)

− (y − η)

Przykład 6.6.

Znaleźć rozwiązanie niejenorodnego równania fali płaskiej

− a

∆u + f (x, y, t),

(x, y, t) ∈ Ω = R

× [0, ∞)

spełniające warunki początkowe

u(x, y, 0) = ϕ(x, y),

(x, y, 0) = ψ(x, y).

6.6. Zadania

Zgodnie z zasadą liniowości rozwiązanie tego problemu możemy przedstawić jako sumę
rozwiązania problemu (6.32), (6.33) oraz problemu

= a

∆w + f (x, y, t),

w(x, y, 0) = 0, w

(x, y, 0) = 0.

Stosując postępowanie przedstawioną w sekcji 6.4 i 6.5 nietrudno sprawdzić, że szu-
kane rozwiązanie ostatniego problemu można przedstawić w postaci

w(x, y, t) =

4πa

K P,a(t−τ )

f (ξ, η, τ )dξdη

(at)

− (x − ξ)

− (y − η)

dτ.

Zatem szukane rozwiązanie ma postać:

u(x, y, t) =

4πa

∂

∂t

K(P,at)

ϕ(ξ, η)dξdη

(at)

− (x − ξ)

− (y − η)

K(P,at)

ψ(ξ, η)dξdη

(at)

− (x − ξ)

− (y − η)

4πa

Z Z

K P,a(t−τ )

f (ξ, η, τ )dξdη

(at)

− (x − ξ)

− (y − η)

dτ.

Uwaga 6.5. Metodę przedstawioną w sekcji 6.4 moźna zastosować do równania

falowego z dowolną większą od 3 nieparzystą ilością zmiennych przestrzennych, a
metodę przedstawioną w sekcji 6.5 dla równania falowego z dowolną parzystą ilością
zmiennych przestrzennych.

6.6. Zadania

1. Znaleźć rozwiązanie równania

= 9u

x ∈ R, t > 0,

spełniające warunki początkowe:
a) u(x, 0) = e

, u

(x, 0) = 2x;

b) u(x, 0) = x, u

(x, 0) = x

;

2. Znaleźć rozwiązanie równania

= a

x > 0, t > 0,

spełniające warunki:

Rozdział 6. Równanie falowe

a) u(x, 0) = cos x, u

(x, 0) = 2x dla x > 0, u

(0, t) = 0 dla t > 0 ;

b) u(x, 0) = cos x, u

(x, 0) = cos 2x + cos 3x dla x > 0, u(0, t) = 0 dla t > 0 ;

c) u(x, 0) = 0, u

(x, 0) = 0 dla x > 0,

u(0, t) = α(t) dla t > 0;

3. Znaleźć rozwiązanie równania

= u

+ e

x > 0, t > 0,

spełniające warunki początkowe:
a) u(x, 0) = x, u

(x, 0) = 1;

4. Znaleźć rozwiązanie równania

= 4u

+ sin 2t,

x ∈ R, t > 0,

spełniające warunki początkowe:
a) u(x, 0) = 0, u

(x, 0) = 1.

5. Znaleźć rozwiązanie równania

= u

+ x − t,

x > 0, t > 0,

spełniające warunki początkowe:
a) u(x, 0) = 2x, u

(x, 0) = −5x.

6. Znaleźć rozwiązanie równania

= 9u

+ x

x > 0, t > 0,

spełniające warunki początkowe:
a) u(x, 0) = x

, u

(x, 0) = x

;

7. Korzystając ze wzoru Kirchhoﬀa znaleźć rozwiązanie równania fali kulistej

+ u

−

= 0,

spełniające warunki początkowe:
a) u(x, y, z, 0) = x

, u

(x, y, z, 0) = y − z;

b) u(x, y, z, 0) = x − y

, u

(x, y, z, 0) = x + z;

8. Znaleźć rozwiązanie niejednorodnego równania fali kulistej

∆u −

spełniające warunki początkowe:
a) u(x, y, z, 0) =, u

(x, y, z, 0) =;

b) u(x, y, z, 0) =, u

(x, y, z, 0) =;

6.6. Zadania

9. Korzystając ze wzoru Poissona znaleźć rozwiązanie równania

+ u

−

= 0,

spełniające warunki początkowe:
a) u(x, y, 0) = x + y, u

(

x, y, 0) = x

;

b) u(x, y, 0) = sin 3x cos y, u

(x, y, 0) = xy;

10. Znaleźć rozwiązanie niejednorodnego równania fali płaskiej

∆u −

spełniające warunki początkowe:
a) u(x, y, 0) =, u

(x, y, 0) =;

b) u(x, y, 0) =, u

(x, y, 0) =;

Rozdział 7

Rozwiązania podstawowe równania Laplace’a
oraz równania przewodnictwa cieplnego

7.1. Równanie Laplace’a i Poissona

Niewątpliwie do najważniejszych równań różniczkowych cząstkowych należy rów-

nanie Laplace’a

∆u = 0,

x ∈ U ⊂ R

(7.1)

oraz równanie Poissona

∆u = f,

(7.2)

gdzie u jest szukaną funkcją określoną na U, x = (x

, . . . , x

), ∆u =

∂

+ . . . +

∂

oznacza laplasjan, a f jest zadaną funkcją.

Równanie to spotykamy przy opisie licznych zjawisk. Przypomnijmy niektóre z

nich:

(i). Ustalony stan pola cieplnego. Jak widzieliśmy w sekcji 3.4 zjawisko rozchodze-

nia się ciepła jest opisane równaniem u

− ∆u = 0. W przypadku pola stacjonarnego,

tzn. takiego, że rozkład temperatury nie zmienia się w czasie, funkcja u nie zależy od
czasu i spełnia równanie Laplace’a (7.1). Jeśli występują przy tym źródła ciepła, to
spełnia ona równanie Poissona (7.2), gdzie funkcja f opisuje źródła ciepła.

(ii). Bezwirowy ruch cieczy. Przypuśćmy, że w pewnym ograniczonym obszarze

występuje ruch cieczy nieściśliwej o prędkości v. Jeśli ruch cieczy jest bezwirowy, to
prędkość v ma potencjał ϕ. Jeśli ponadto pole jest beźródłowe, to ∆ϕ = 0. Podobnie
potencjał ϕ ustalonego pola elektrycznego spełnia równanie Laplace’a.

(iii). Pole elektrostatyczne. Przypuśćmy, że dane jest pole elektrostatyczne ładun-

ków stacjonarnych i niech ρ(x, y, z) oznacza gęstość objętościową ładunków. Można
pokazać, że potencjał elektrostatyczny pola ϕ spełnia równanie ∆ϕ = −4πρ, tzn. rów-

nanie Poissona. Gdy brak jest ładunków przestrzennych, potencjał spełnia równanie
Laplace’a.

W literaturze nietrudno znaleźć wiele dalszych zjawisk które opisane są równa-

niami Laplace’a lub Poissona (zob. np. [Feynman, Leighton, Sands, Feynmana wy-
kłady z ﬁzyki])

Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe

7.2. Rozwiązanie podstawowe równania Laplace’a

Zastosujemy tutaj dość typowy dla teorii równań różniczkowych sposób postępo-

wania. Najpierw znajdziemy stosunkowo proste rozwiązania równania wyjściowego, a
następnie – przy pomocy tego rozwiązania – będziemy konstruuować dalsze rozwiąza-
nia, które spełniają żądane warunki, np. początkowe lub brzegowe. Takie rozwiązanie
początkowe nazywamy rozwiązaniem podstawowym lub fundamentalnym.

Ponieważ równanie Laplace’a jest symetryczne względem zmiennych, a w konse-

kwencji niezmiennicze względem obrotów, rozsądnym wydaje się szukać rozwiązań
radialnych, tzn. rozwiązań zależnych tylko od odległości od początku układu.

Spróbujemy zatem znaleźć rozwiązanie równania (7.1) postaci

u(x

, . . . , x

) = v(r),

gdzie r = kxk =

+ . . . x

Zauważmy, że dla r 6= 0

∂r

∂x

i = 1, . . . , n.

Zatem

∂u

∂x

= v

′

(r)

∂u

∂x

= v

′′

(r)

+ v

′

(r)

−

i = 1, . . . , n.

Nietrudno teraz sprawdzić, że

∆u = v

′′

(r) +

n − 1

′

(r).

Należy zatem rozwiązać równanie

′′

(r) +

n − 1

′

(r) = 0.

Stąd

′

(r) =

n−1

gdzie A jest dowolną stałą. Rozwiązując ostatnie równanie otrzymamy

v(r) =







A log r + B,

dla n = 2;

−2

+ B,

dla n ≥ 3,

gdzie A i B są dowolnymi stałymi. Ze względu na dalsze zastosowania wygodnie jest
przyjąć B = 0, natomiast A = −1/(2π) dla n = 2 oraz A = 1/ n(n − 2)α(n)

dla

n ≥ 3, gdzie α(n) oznacza objętość kuli jednostkowej w przestrzeni R

. Przyjmujemy

zatem następującą deﬁnicje:

Deﬁnicja 7.1. Rozwiązaniem podstawowym równania Laplace’a (7.1) nazywamy

funkcję

Φ(x) =







−

2π

log kxk,

dla n = 2;

n(n−2)α(n)

kxk

−2

, dla n ≥ 3.

7.3. Równanie Poissona

Przykład 7.1.

Dla n = 2 rozwiązanie podstawowe ma postać

Φ(x, y) =

2π

log

+ y

Funkcję tę nazywamy również potencjałem logarytmicznym. Dla n = 3 rozwiązanie
podstawowe ma postać

Φ(x, y, z) =

4π

+ y

+ z

Rozwiązanie to nosi też nazwę potencjału newtonowskiego.

Deﬁnicja 7.2. Funkcję klasy C

w obszarze U, spełniającą w tym obszarze rów-

nanie Laplace’a, nazywamy funkcją harmoniczną w U.

Funkcje harmoniczne posiadają wiele interesujących własności. Niektóre z nich po-

damy w sekcji 7.4. Istnieją też ścisłe związki między funkcjami harmonicznymi dwu
zmiennych a funkcjami analitycznymi jednej zmiennej zespolonej. Mianowicie, część
rzeczywista i część urojona funkcji analitycznej f(z) = u(x, y) + iv(x, y) zmiennej
zespolonej z = x + iy są funkcjami harmonicznymi (dokładniej funkcjami harmo-
nicznymi sprzężonymi). Na odwrót, mając daną funkcję harmoniczną, możemy ła-
two skonstruować odpowiadającą jej funkcję analityczną. Stąd też niektóre własności
funkcji harmonicznych są natychmiastową konsekwencją stosownych własności funkcji
zmiennej zespolonej i na odwrót.

7.3. Równanie Poissona

Zauważmy, że funkcja Φ dana wzorem (7.3) jest harmoniczna dla x 6= 0. Jeśli

początek układu przesuniemy do punktu y, to funkcja x 7→ Φ(x−y) jest harmoniczna

dla x 6= y. Zauważmy ponadto, że jeśli f : X → R jest zadaną funkcją, to x 7→
Φ(x −y)f(y) jest również funkcją harmoniczna dla x 6= y. Można by zatem oczekiwać,

że funkcja

u(x) =

Φ(x − y) f(y)dy

(7.3)

będzie rozwiązaniem równania (7.1). Okazuje się, że tak nie jest. Wynika to stąd, że
funkcja x 7→ Φ(x−y) ma osobliwość w punkcie x = y, a zatem nie możemy z operacją

różniczkowania wejść pod całkę. Pokażemy natomiast, że dla dostatecznie regularnej
funkcji f wzór (7.3) określa rozwiązanie równania Poissona.

Twierdzenie 7.1. Załóżmy, że funkcja f ∈ C

) i jest równa zeru poza pewną

kulą (tzn. posiada nośnik zwarty). Niech u będzie dane wzorem (7.3). Wówczas
(i)

u ∈ C

);

(ii)

∆u = f

Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe

Dowód. Ad (i). Podstawiając z = x − y w całce (7.3) otrzymamy

u(x) =

Φ(z) f (x − z)dz.

(7.4)

Niech e

= (0, . . . , 1, . . . , 0) będzie wektorem którego i-ta składowa jest równa 1 a

pozostałe 0. Mamy

u(x + he

) − u(x)

Φ(z)

f (x + he

− z) − f(x − z)

dz.

Przechodząc z h → 0 otrzymamy

∂u

∂x

Φ(z)

∂f

∂x

(x − z)dz.

Analogicznie dostaniemy, że

∂

∂x

Φ(z)

∂

∂x

(x − z)dz.

Wynika stąd, że u ∈ C

Ad (ii). Różniczkując wzór (7.4) otrzymamy

∆u(x) =

Φ(z) ∆

f (x − z)dz = I

+ I

(7.5)

gdzie

B(0,ε)

Φ(z)∆

f (x − z)dz,

\B(0,ε)

Φ(z)∆

f (x − z)dz.

(Symbol ∆

oznacza laplasjan względem zmiennej x).Ponieważ funkcja Φ ma osobli-

wość w punkcie 0, będziemy szacować całkę (7.4) w obszarach B(0, ε) oraz R

\B(0, ε).

Nietrudno sprawdzić, że

| ≤ k∆

f k

∞

B(0,ε)

Φ(z)

dy ≤







Cε

log ε,

jeśli n = 2;

Cε

jeśli n ≥ 3,

gdzie C jest stosownie dobraną stałą.

Przed przystąpieniem do szacowania całki I

przypomnijmy dwa użyteczne w dal-

szym ciągu wzory:

∆u = grad u · grad u = ∇u · ∇u,

∂u
∂n

= grad u · n = ∇u · n,

7.3. Równanie Poissona

gdzie symbol ” · ” oznacza iloczyn skalarny, a n wektor normalny do powierzchni

całkowania.

Całkując I

przez części zgodnie z wzorem (patrz dodatek), otrzymany

\B(0,ε)

Φ(z)∆

f (x − z)dz =

∂B(0,ε)

Φ(z)

∂f
∂n

(x − z)dS(z)

−

\B(0,ε)

∇Φ(z) · ∇

f (x − z) dz.

Połóżmy

∂B(0,ε)

Φ(z)

∂f
∂n

(x − z)dS(z),

\B(0,ε)

∇Φ(z) · ∇

f (x − z) dz.

Oszacujemy teraz całki J

i J

. Nietrudno sprawdzić, że

| ≤ k

∂f
∂n

∞

∂B(0,ε)

|Φ(z)|dS(z) ≤







Cε log ε,

jeśli n = 2;

Cε,

jeśli n ≥ 3,

gdzie C jest stosownie dobraną stałą. Wynika stąd, że J

→ 0 dla ε → 0.

Całkując ponownie przez części całkę J

, a następnie wykorzystując fakt, że ∆Φ(z) =

0 dla z 6= 0, otrzymujemy

\B(0,ε)

∆Φ(y)f (x − y)dy −

∂B(0,ε)

∂Φ(y)

∂n

f (x − y)dS(y)

−

∂B(0,ε)

∂Φ(y)

∂n

f (x − y)dS(y).

Zauważmy, że na sferze B(0, ε) wektor normalny n = z/kzk = z/ε, zatem

∂Φ(z)

∂n

= ∇Φ(z) · n = −

nα(n)

kzk

z
ε

= −

nα(n)ε

n−1

Wynika stąd, że

nα(n)ε

n−1

∂B(0,ε)

f (z)dS(z).

Ponieważ nα(n)ε

n−1

jest powierzchnią sfery jednostkowej w przestrzeni R

, prawa

strona ostatniego wzoru określa średnią wartość funkcji f na sferze ∂B(0, ε) i wobec
ciągłości funkcji f całka J

dąży do f(x) gdy ε → 0 . Ponieważ I

→ 0 oraz J

→ 0

gdy ε → 0, teza twierdzenia jest natychmiastową konsekwencją równości (7.5).

Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe

7.4. Zasada maksimum

Twierdzenie 7.2. Niech D będzie otwartym ograniczonym podzbiorem przestrzeni

. Załóżmy, że funkcja u jest ciągła w D, posiada pochodne cząstkowe 2-go rzędu w

D i ponadto

∆u = f

u = g

∂D,

gdzie f : D → R, g : ∂D → R są danymi funkcjami ciągłymi. Jeśli f ≥ 0, to funkcja
u osiąga maksimum na ∂D.

Proof. Załóżmy wpierw, że f > 0. Ponieważ D jest zbiorem zwartym, u jako

funkcja ciągła osiąga w tym zbiorze maksimum. Przypuśćmy, że maksimum to jest
osiągnięte w punkcie (x

, y

) ∈ D. Oczywiście

∂u
∂x

, y

) = 0,

∂u
∂y

, y

) = 0,

∂

∂x

, y

) ≤ 0,

∂

∂y

, y

) ≤ 0.

W szczególności wynika stąd, że ∆(x

, y

) ≤ 0, co jest sprzeczne z założeniem, że

f (x

, y

) > 0. Zatem (x

, y

) ∈ ∂D.

Przypuśćmy teraz, że f ≥ 0. Dla n ∈ N rozważmy funkcję v

: D → R daną

wzorem

(x, y) = u(x, y) + (x

+ y

)/n.

Oczywiście v

→ u w zbiorze D, oraz

∆v

= ∆u + 4/n = 4/n > 0

w D.

Na mocy poprzedniej obserwacji v

osiąga maksimum na brzegu obszaru ∂D, po-

wiedzmy w punkcie (x

, y

). Ponieważ ∂D jest zbiorem zwartym, istnieje podciąg

{(x

, y

)}

k≥1

ciągu {(x

, y

)}, zbieżny do pewnego punktu (˜x, ˜y) ∈ ∂D.

Niech (x, y) ∈ D. Oczywiście

u(x, y)

< u(x, y) + (x

+ y

)/n

= v

(x, y)

≤ v

, y

) = u(x

, y

) + (x

+ y

)/n

Przechodząc z k → ∞ otrzymamy u(x, y) ≤ u(˜x, ˜y). Ponieważ (x, y) jest dowolnym

punktem w D, teza twierdzenia 7.2, wynika natychmiast.

Przykład 7.2.

Rozważmy równanie ∆u = 0 w kole jednostkowym x = ρ cos θ, y =

ρ sin θ, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ < 2π z warunkiem brzegowym u(1, θ) = sin θ dla 0 ≤ θ < 2π.

Zgodnie z twierdzeniem 7.2 rozwiązanie naszego problemu przyjmuje wartość maksy-
malną na brzegu okręgu. Wynika stąd, że −1 ≤ u(x, y) ≤ 1.

Uwaga 7.1. Jeśli obszar D nie jest ograniczony, teza twierdzenia 7.2 nie musi

zachodzić. Istotnie, funkcja u = e

sin x jest harmoniczna w obszarze D = {(x, y) :

o < x < π, y > 0}, ale w oczywisty sposób nie osiąga maksimum na brzegu tego

obszaru.

Uwaga 7.2. Zauważmy, że dowód twierdzenia 7.2 pozostaje ważny dla przypadku

gdy u jest funkcją n zmiennych. W rozdziale 9 pokażemy, że zasada maksimum za-
chodzi również dla dość szerokiej klasy równań eliptycznych i parabolicznych.

7.5. Własność wartości średniej funkcji harmonicznej

Niech U ⊂ R

będzie zbiorem otwartym i niech f będzie funkcją harmoniczną w

U . Wówczas dla dowolnego x ∈ U oraz kuli B(x, r) ⊂ U, wartość u(x) jest równa

średniej wartości funkcji u na sferze ∂B(x, r) oraz średniej wartości funkcji u na kuli
B(x, r).

Twierdzenie 7.3. (Własność wartości średniej). Jeśli u ∈ C

(D) jest funkcją

harmoniczną, to

u(x) =

∂B(x,r)

u dS =

B(x,r)

u dy,

(7.6)

dla dowolnej kuli B(x, r) ⊂ U, gdzie S

oznacza powierzchnię a V

objętość kuli

B(x, r).

Proof. Połóżmy

ϕ(r) =

∂B(x,r)

u(y) dS(y).

(7.7)

Podstawiając y = x + rz otrzymamy

ϕ(r) =

∂B(0,1)

u(x + rz) dS(z).

Różniczkując ostatni wzór względem r a następnie wracając do zmiennych wyj-

ściowych otrzymamy

′

(r)

∂B(0,1)

∇u(x + rz) · z dS(z)

∂B(x,r)

∇u(y) ·

y − x

dS(y) =

∂B(x,r)

∂u
∂n

(y)dS(y),

gdzie n oznacza wektor normalny do powierzchni ∂B(x, r), czyli n =

y−x

. Po zasto-

sowaniu twierdzenia Greena do ostatniej całki otrzymamy

′

(r) =

B(x,r)

∆u(y) dy = 0,

bowiem ∆u = 0. Oznacza to, że ϕ jest funkcją stałą. Przechodząc z r → 0 w prawej

stronie wzoru (7.7) otrzymamy u(x), co oznacza, że ϕ(r) = u(x), dla dowolnego r > 0,
takiego, że B(x, r) ⊂ U. Oznacza to, że w (7.6) pierwsza równość jest spełniona.

Z kolei po przejściu na współrzędne biegunowe otrzymamy

B(x,r)

u(y) dy =

∂B(x,s)

udS

ds =

ϕ(s)S

ds = u(x)

ds = V

u(x),

co daje drugą równość we wzorze (7.6) i kończy dowód.

100

Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe

7.6. Rozwiązanie podstawowe równania przewodnictwa

cieplnego

Równanie przewodnictwa cieplnego, zwane też równaniem dyfuzji, opisuje w jaki

sposób zmienia się w czasie gęstość u pewnej wielkości, np. ciepła lub stężenia chemicz-
nego. Przykłady zjawisk które możemy opisać tego typu równaniem zostały podane
w rozdziale 2.

Rozważmy przypadek jednorodnego równania przewodnictwa cieplnego

= ∆u,

(7.8)

gdzie u : R

→ R, t > 0, x = (x

, . . . , x

) ∈ U, a symbol ∆ =

n
i=1

∂

∂x

2
i

oznacza

operator Laplace’a (laplasjan).

Chociaż zaproponowaną poniżej metodę można bez żadnych istotnych zmian sto-

sować dla dowolnego n ≥ 1, dla uproszczenia zapisu ograniczymy się do n = 1, czyli

do równania

= a

x ∈ R

(7.9)

Zauważmy, że jeśli funkcja u = u(x, t) jest rozwiązaniem równania (7.9), to również

funkcja u = u(λx, λ

t), dla dowolnego λ ∈ R, jest również rozwiązaniem równania

(7.9). Nasuwa się stąd pomysł, aby szukać rozwiązań wzdłuż krzywych wyznaczonych
przez ten stosunek, czyli rozwiązań postaci

u(x, t) = v

(7.10)

Prosty rachunek daje

= v

′

−

= v

′

= v

′′

+ v

′

Podstawiając uzyskane wielkości do równania (7.9) otrzymamy

′′

′

= 0.

Kładąc z = x

/t otrzymamy

4zv

′′

(z) + (2 + z)v

′

(z) = 0.

Rozwiązując ostatnie równanie otrzymujemy

v(z) = A

√

−s/4

ds + B.

Zatem funkcja

u(x, t) = A

√

−s/4

ds + B,

(7.11)

7.7. Problem początkowy dla równania ciepła

101

gdzie A i B są dowolnymi stałymi, jest rozwiązaniem równania (7.9) dla x ∈ R oraz
t > 0. Rozwiązanie to ma dość niewygodną postać całkową. Różniczkując funkcje
(7.11) względem zmiennej x otrzymamy

u(x, t) =

∂u
∂x

(x, t) =

√

−

Oczywiście tak uzyskana funkcja jest również rozwiązaniem równania (7.9) w zbiorze
D = {(x, t) : x ∈ R, t > 0}. Wygodnie jest – co będzie widać z dalszych rozważań –

przyjąc A = 1/(4

√

π). Funkcję

Φ(x, t) =











√

4πt

−

, jeśli x ∈ R, t > 0;

jeśli x ∈ R, t < 0,

(7.12)

nazywamy rozwiązaniem podstawowym równania (7.9). Zauważmy, że dla t = 0 funkcja
Φ ma osobliwość, ponadto w punktach (0,t) jest nieciągła.

Dla n > 2 przez rozwiązanie podstawowe równania (7.8) rozumiemy funkcję

Φ(x, t) =











(

√

4πt)

−

kxk

jeśli x ∈ R

, t > 0;

jeśli x ∈ R

, t < 0,

(7.13)

gdzie kxk =

+ . . . + x

Zauważmy na koniec, że dobór stałej A jest podyktowany następującym faktem

Lemat 7.1. Dla każdego t > 0

Φ(x, t)dx = 1.

Dowód. Istotnie

Φ(x, t)dx =

√

4πt

−

kxk

√

4πt

−

2
1

· . . . ·

−

2
n

√

4πt

√

4πt

= 1

7.7. Problem początkowy dla równania ciepła

Skonstruowane w poprzedniej sekcji rozwiązanie podstawowe równania ciepła wy-

korzystamy teraz dla znalezienia rozwiązania problemu Cauchy’ego, czyli problemu
początkowego

− ∆u = 0

dla (x, t) ∈ R

× (0, ∞),

u(x, 0) = g(x)

dla x ∈ R

102

Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe

gdzie g jest zadaną funkcją. Przypomnijmy, że dla t 6= 0 funkcja Φ dana wzorem (7.13)

jest rozwiązniem równania (7.8). Nietrudno sprawdzić, że dla dowolnie ustalonego
z ∈ R

również funkcja (x, t) 7→ Φ(x − z, t) jest rozwiązaniem równania (7.8) dla

t 6= 0.

Rozważmy teraz funkcję u : R

× (0, ∞) → R

daną wzorem

u(x, t) =

Φ(x − z, t)g(z)dz =

√

4πt

−

kx−zk

g(z)dz.

(7.14)

Twierdzenie 7.4. Załóżmy, że g ∈ C(R

) ∩L

∞

). Niech funkcja u będzie dana

wzorem (7.14). Wówczas:
(i)

u ∈ C

∞

× (0, ∞)

;

(ii) u

− ∆u = 0 w R

× (0, ∞);

(iii) lim

(x,t)→(x

, 0+)

u(x, t) = g(x

, 0).

Dowód. Ad (i). Ponieważ dla dowolnego δ > 0 funkcja 1/ t

n/2

−kxk

/(4t)

jest

klasy C

∞

w zbiorze R

× (δ, 1/δ), a jej pochodne są jednostajnie ograniczone, zatem

u ∈ C

∞

× (δ, 1/δ)

. Ponieważ δ > 0 było dowolne, funkcja u jest klasy C

∞

zbiorze R

× (0, ∞)’

Ad(ii). Ponieważ funkcja Φ jest rozwiązaniem równania (7.8), zatem

(x, t) − ∆u(x, t) =

− ∆

(x − zt)g(z)dz = 0 dla x ∈ R

, t > 0.

Ad (iii). Niech x

∈ R

oraz ε > 0. Dobierzmy δ > 0 tak, aby

g(x) − g(x

)

< ε

dla x ∈ B(x

, δ).

Korzystając z lematu 7.1 mamy

u(x, t) − g(x

) =

Φ(x − z, t)

g(z) − g(x

)

dz.

Połóżmy

B(x

,δ)

Φ(x − z, t)

g(z) − g(x

)

dz,

\B(x

,δ)

Φ(x − z, t)

g(z) − g(x

)

dz.

Uwzględniając lemat 7.1 otrzymamy

k ≤ ε

B(x

,δ)

Φ(x − z, t) dz ≤ ε.

7.7. Problem początkowy dla równania ciepła

103

Zauważmy, że jeśli kx − x

k ≤ δ/2 oraz kz − x

k > δ, to

kz − x

k ≤ |z − xk + kx − x

k < kz − xk + δ/2 ≤ kz − xk + kz − x

k/2

i w konsekwencji

kz − xk ≥

1
2

kz − x

Zatem, jeśli kx − x

k < δ/2, to

| ≤ 2kgk

∞

\B(x

,δ)

Φ(x − z, t) dz

n/2

\B(x

,δ)

−

kz−xk

dz ≤

n/2

\B(x

,δ)

−

kz−xok

dz,

gdzie C = 2kgk

∞

√

4π)

. Zauważmy, że prawa strona ostatniej nierówności dąży

do zera gdy t → ∞. Zatem dla t dostatecznie dużych oraz kx − x

k < δ/2 mamy

|u(x, t) − g(x

)| ≤ |I

| + |I

| < 2ε.

Ponieważ ε > 0 było dowolne, warunek (iii) został pokazany.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
11Rownania rozniczkowe, 3.Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzone do równań różniczkowych
Równania różniczkowe cząstkowe 2
Dwanaście wykładów z metod numerycznych równań różniczkowych cząstkowych
Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych
Urbański P Równania Rózniczkowe Cząstkowe
Myjak J Równania różniczkowe
Równania różniczkowe, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU DRUGIEGO SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ RZĘDU PIE
J Niedoba W Niedoba Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe
Myjak J Równania różniczkowe
Wykład 1 inżynierskie Wprowadzenie do zarządzania operacyjnego
Wprowadzenie do medycyny rozwojowej 1
PD W1 Wprowadzenie do PD(2010 10 02) 1 1
Wprowadzenie do psychologii
Wprowadzenie do filozofii
(1) Wprowadzenie do nauki o finansach 1id 778 ppt
wprowadzenie do systemu win i podst sieci

więcej podobnych podstron