pracownicy panek materialy Wykład 6 właściwy, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE


Wykład 6

Równania różnicowe rzędu 1

1. Zajmiemy się pokrótce równaniami, w których zmienna niezależna t przyjmuje tylko wartości całkowite, 0x01 graphic
przy czym bez ograniczeń możemy przyjąć, że 0x01 graphic
.

Kierunek zmian wartości funkcji 0x01 graphic
w równaniu różniczkowym (3.1) wyznaczała pochodna 0x01 graphic
, której obecnie, po przejściu od czasu ciągłego do skokowego, odpowiada iloraz różnicowy

0x01 graphic
,

gdzie

0x01 graphic
, natomiast 0x01 graphic

Zastępując w równaniu różniczkowym (3.1) pochodną 0x01 graphic
ilorazem różnicowym i pamiętając, że 0x01 graphic
otrzymujemy równanie różnicowe rzędu 1:

0x01 graphic
, (6.1)

w którym 0x01 graphic
, N jest zbiorem liczb całkowitych nieujemnych. Wyrażenie 0x01 graphic
nazywamy pierwszą różnicą wyrazu (funkcji) 0x01 graphic
. operator 0x01 graphic
nazywamy operatorem różnicowym. Równanie różnicowe (3.25) można zapisać w równoważnej postaci rekurencyjnej.

0x01 graphic
(6.1')

gdzie 0x01 graphic
.

Rozwiązaniem równania różnicowego (6.1) lub równoważnego równania rekurencyjnego (6.1') nazywamy każdy ciąg 0x01 graphic
, 0x01 graphic
który po podstawieniu do tego równania zamienia je w tożsamość.

Np. rozwiązaniem równania różnicowego

0x01 graphic
(6.2)

jest ciąg

0x01 graphic
.

Łatwo jednak zauważyć, że rozwiązaniem tego równania jest także każdy ciąg postaci

0x01 graphic
, (6.3)

gdzie c jest dowolną stałą rzeczywistą.

Widzimy, ze podobnie jak równania różniczkowe, również równania różnicowe mają całą rodzinę rozwiązań zależnych od stałej c.

Rodzinę takich rozwiązań nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania różnicowego.

Weźmy dowolny punkt 0x01 graphic

Podstawiając 0x01 graphic
do (6.3) otrzymujemy rozwiązanie

0x01 graphic

równania (6.2) spełniające warunek początkowy

0x01 graphic
(6.4)

Rozwiązanie 0x01 graphic
równania różnicowego (6.1) (lub równoważnego równania rekurencyjnego (6.1')) spełniające warunek (6.4) nazywamy jego rozwiązaniem szczególnym. Warunek (6.4) nazywamy warunkiem początkowym rozwiązania.

Twierdzenie 6.1. Jeżeli w równaniu różnicowym (6.1) funkcja f jest określona na 0x01 graphic
, to równanie to (tym samym także równanie rekurencyjne (6.1)) ma 0x01 graphic
jednoznaczne rozwiązanie określone na N spełniające warunek początkowy (6.4).

2. Metoda iteracyjnego wyznaczania rozwiązania równań różnicowych

Mając warunek początkowy (6.4) i korzystając z postaci rekurencyjnej (6.1') otrzymujemy:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Procedura ta pozwala na numeryczne wyznaczenie rozwiązania szczególnego każdego równania różnicowego rzędu 1 typu (6.1) spełniającego warunek początkowy (6.4).

Przykład 1˚

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Przedstawiając to równanie w postaci rekurencyjnej otrzymujemy:

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
pamiętając, że 0x01 graphic
otrzymujemy:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

itd.

Ogólny wzór:

0x01 graphic
, 0x01 graphic

(zob. (6.3)).

Przykład 2˚

0x01 graphic
, 0x01 graphic

lub inaczej

0x01 graphic
, 0x01 graphic

mamy

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
=0x01 graphic

Stosując procedurę iteracyjną możemy próbować szukać postaci ogólnej (analitycznej) rozwiązania równania różnicowego (jak w przykładzie 2˚), ale metoda ta nie gwarantuje, ze postać taką znajdziemy.

  1. Metoda analityczna rozwiązywania liniowych równań różnicowych rzędu 1 ze stałymi współczynnikami

Weźmy równanie różnicowe liniowe niejednorodne ze stałym współczynnikiem a :

0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (6.5)

Odpowiada mu równanie jednorodne

0x01 graphic
(6.6)

Twierdzenie 6.2. Jeżeli ciąg 0x01 graphic
jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego (6.6), a ciąg 0x01 graphic
jakimkolwiek rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego (6.5), to ciąg

0x01 graphic
+ 0x01 graphic

jest rozwiązaniem ogólnym równania różnicowego niejednorodnego (6.5).

Rozwiązanie ogólne 0x01 graphic
równania jednorodnego (6.6) łatwo otrzymać przedstawiając je w postaci rekurencyjnej:

0x01 graphic
, 0x01 graphic

i przyjmując 0x01 graphic
. Mamy:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
, (6.7)

gdzie c jest dowolną stałą rzeczywistą.

Rozwiązania szczególnego rozszerzenia niejednorodnego (6.5) szukamy stosując metodę uzmienniania stałej c , tzn. w postaci 0x01 graphic
(i przyjmując w (6.7) c=1). Podstawiając funkcję

0x01 graphic
(6.8)

do równoważnego z (6.5) równania rekurencyjnego

0x01 graphic
(6.5')

mamy:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
,

a stąd

0x01 graphic

czyli przyjmując 0x01 graphic
otrzymujemy:

0x01 graphic

0x01 graphic
=0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

lub ogólnie:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (6.9)

Podstawiając (6.9) do (6.8) dostajemy następujące rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego (6.5):

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
(6.10)

0x01 graphic
.

Rozwiązaniem ogólnym niejednorodnego równania różnicowego (6.5) jest ciąg

0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
(6.11)

Podstawiając 0x01 graphic
do (6.11) otrzymamy rozwiązanie szczególne spełniające warunek początkowy (6.4).

Gdy 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, wtedy rozwiązanie ogólne równania

0x01 graphic
(6.12)

redukuje się do postaci:

0x01 graphic
(6.13)

Rozwiązanie szczególne spełniające warunek początkowy 0x01 graphic
ma postać

0x01 graphic
(6.14)

Wreszcie, gdy w równaniu (6.5) mamy 0x01 graphic
, to jego rozwiązaniem ogólnym jest ciąg:

0x01 graphic

(zob. zad. 1b)

Przykład 3˚ Dynamikę lokat kapitałowych (wykład 2, przykład 2˚) opisuje równanie różnicowe

0x01 graphic
, 0x01 graphic
(6.15)

gdzie 0x01 graphic
jest saldem wpłat (0x01 graphic
) i wypłat (0x01 graphic
) w okresie (np. dniu t ), 0x01 graphic
oznacza stan konta bankowego, 0x01 graphic
jest stopą oprocentowania lokaty. Niech 0x01 graphic
.

a) Jeżeli 0x01 graphic
, wtedy rozwiązaniem równania (6.15) z warunkiem początkowym (początkową lokatą)

0x01 graphic

jest ciąg

0x01 graphic
.

  1. Jeżeli 0x01 graphic

wtedy

0x01 graphic
.

Wówczas 0x01 graphic
, gdy 0x01 graphic
, oraz 0x01 graphic
, gdy 0x01 graphic
.

c) Jeżeli saldo lokat liniowo rośnie: 0x01 graphic
(0x01 graphic

to

0x01 graphic

i zawsze 0x01 graphic
.

4. Zadania

1. Stosując metodę iteracyjną wyznacz pierwszych 5 wyrazów ciągu 0x01 graphic
- rozwiązania równania różnicowego:

a) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

b) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

c) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

d) 0x01 graphic
, 0x01 graphic

e) 0x01 graphic
, 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

2. Znajdź ogólne rozwiązania równania różnicowego

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

d) 0x01 graphic

e) 0x01 graphic

4



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
WYKŁAD 3 Właściwości materiałów
matematyka wykłady z równan różniczkowych
równania różniczkowe, Akademia Morska -materiały mechaniczne, szkoła, Mega Szkoła, SEMESTR II, Matma
B Bożek wykłady równania różniczkowe
Druzga, wytrzymałość materiałów Ć, równanie różniczkowe osi odkształconej zadania
Równania różniczkowe sciąga, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka
Równania różniczkowe, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, Sprawozdania, studia, Matematyka, MATEM
Wykład 2 równania różnicowe transformata Z
5 Choroby przemiany materii – czynniki ryzyka i profilaktyka, pracownia zabiegów higienicznych, wykł
RRiC1, Polibuda, Archiwum, Matematyka, Materialy dodatkowe, równania różniczkowe
Dwanaście wykładów z metod numerycznych równań różniczkowych cząstkowych
Matematyka calki rownania rozniczkowe, Polibuda, Archiwum, Matematyka, Materialy dodatkowe, równa
Krych M Zagadnienie dwóch ciał Fragmenty wykladu z równań różniczkowych
Szereg potegowy przyklady ogarnijtemat.com, SiMR inżynierskie, Semestr 2, Równania różniczkowe, Wykł
Skrypt Wyklad równania różniczkowe
Wyklad 5 ROWNANIA ROZNICZKOWE IN EKOL

więcej podobnych podstron