Wykład 6

Równania różnicowe rzędu 1

1. Zajmiemy się pokrótce równaniami, w których zmienna niezależna t przyjmuje tylko wartości całkowite,
przy czym bez ograniczeń możemy przyjąć, że
.

Kierunek zmian wartości funkcji
w równaniu różniczkowym (3.1) wyznaczała pochodna
, której obecnie, po przejściu od czasu ciągłego do skokowego, odpowiada iloraz różnicowy

,

gdzie

, natomiast

Zastępując w równaniu różniczkowym (3.1) pochodną
ilorazem różnicowym i pamiętając, że
otrzymujemy równanie różnicowe rzędu 1:

, (6.1)

w którym
, N jest zbiorem liczb całkowitych nieujemnych. Wyrażenie
nazywamy pierwszą różnicą wyrazu (funkcji)
. operator
nazywamy operatorem różnicowym. Równanie różnicowe (3.25) można zapisać w równoważnej postaci rekurencyjnej.

(6.1')

gdzie
.

Rozwiązaniem równania różnicowego (6.1) lub równoważnego równania rekurencyjnego (6.1') nazywamy każdy ciąg
,
który po podstawieniu do tego równania zamienia je w tożsamość.

Np. rozwiązaniem równania różnicowego

(6.2)

jest ciąg

.

Łatwo jednak zauważyć, że rozwiązaniem tego równania jest także każdy ciąg postaci

, (6.3)

gdzie c jest dowolną stałą rzeczywistą.

Widzimy, ze podobnie jak równania różniczkowe, również równania różnicowe mają całą rodzinę rozwiązań zależnych od stałej c.

Rodzinę takich rozwiązań nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania różnicowego.

Weźmy dowolny punkt

Podstawiając
do (6.3) otrzymujemy rozwiązanie

równania (6.2) spełniające warunek początkowy

(6.4)

Rozwiązanie
równania różnicowego (6.1) (lub równoważnego równania rekurencyjnego (6.1')) spełniające warunek (6.4) nazywamy jego rozwiązaniem szczególnym. Warunek (6.4) nazywamy warunkiem początkowym rozwiązania.

□ Twierdzenie 6.1. Jeżeli w równaniu różnicowym (6.1) funkcja f jest określona na
, to równanie to (tym samym także równanie rekurencyjne (6.1)) ma
jednoznaczne rozwiązanie określone na N spełniające warunek początkowy (6.4).

■

2. Metoda iteracyjnego wyznaczania rozwiązania równań różnicowych

Mając warunek początkowy (6.4) i korzystając z postaci rekurencyjnej (6.1') otrzymujemy:

∶

Procedura ta pozwala na numeryczne wyznaczenie rozwiązania szczególnego każdego równania różnicowego rzędu 1 typu (6.1) spełniającego warunek początkowy (6.4).

Przykład 1˚

,

Przedstawiając to równanie w postaci rekurencyjnej otrzymujemy:

,

gdzie
pamiętając, że
otrzymujemy:

itd.

Ogólny wzór:

,

(zob. (6.3)).

Przykład 2˚

,

lub inaczej

,

mamy

∶

=

Stosując procedurę iteracyjną możemy próbować szukać postaci ogólnej (analitycznej) rozwiązania równania różnicowego (jak w przykładzie 2˚), ale metoda ta nie gwarantuje, ze postać taką znajdziemy.

3. Metoda analityczna rozwiązywania liniowych równań różnicowych rzędu 1 ze stałymi współczynnikami

Weźmy równanie różnicowe liniowe niejednorodne ze stałym współczynnikiem a :

,
. (6.5)

Odpowiada mu równanie jednorodne

(6.6)

□ Twierdzenie 6.2. Jeżeli ciąg
jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego (6.6), a ciąg
jakimkolwiek rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego (6.5), to ciąg

+

jest rozwiązaniem ogólnym równania różnicowego niejednorodnego (6.5).

■

Rozwiązanie ogólne
równania jednorodnego (6.6) łatwo otrzymać przedstawiając je w postaci rekurencyjnej:

,

i przyjmując
. Mamy:

,

,

∶

, (6.7)

gdzie c jest dowolną stałą rzeczywistą.

Rozwiązania szczególnego rozszerzenia niejednorodnego (6.5) szukamy stosując metodę uzmienniania stałej c , tzn. w postaci
(i przyjmując w (6.7) c=1). Podstawiając funkcję

(6.8)

do równoważnego z (6.5) równania rekurencyjnego

(6.5')

mamy:

,

a stąd

czyli przyjmując
otrzymujemy:

=

∶

lub ogólnie:

,
. (6.9)

Podstawiając (6.9) do (6.8) dostajemy następujące rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego (6.5):

,
(6.10)

.

Rozwiązaniem ogólnym niejednorodnego równania różnicowego (6.5) jest ciąg

,
,
(6.11)

Podstawiając
do (6.11) otrzymamy rozwiązanie szczególne spełniające warunek początkowy (6.4).

Gdy
oraz
, wtedy rozwiązanie ogólne równania

(6.12)

redukuje się do postaci:

(6.13)

Rozwiązanie szczególne spełniające warunek początkowy
ma postać

(6.14)

Wreszcie, gdy w równaniu (6.5) mamy
, to jego rozwiązaniem ogólnym jest ciąg:

(zob. zad. 1b)

Przykład 3˚ Dynamikę lokat kapitałowych (wykład 2, przykład 2˚) opisuje równanie różnicowe

,
(6.15)

gdzie
jest saldem wpłat (
) i wypłat (
) w okresie (np. dniu t ),
oznacza stan konta bankowego,
jest stopą oprocentowania lokaty. Niech
.

a) Jeżeli
, wtedy rozwiązaniem równania (6.15) z warunkiem początkowym (początkową lokatą)

jest ciąg

.

2. Jeżeli
   

wtedy

.

Wówczas
, gdy
, oraz
, gdy
.

c) Jeżeli saldo lokat liniowo rośnie:
(

to

i zawsze
.

4. Zadania

1. Stosując metodę iteracyjną wyznacz pierwszych 5 wyrazów ciągu
- rozwiązania równania różnicowego:

a)
,

b)
,

c)
,

d)
,

e)
,
oraz

2. Znajdź ogólne rozwiązania równania różnicowego

a)

b)

c)

d)

e)

4