LABORATORIUM 9

WERYFIKACJA HIPOTEZ

STATYSTYCZNYCH

PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

1.

Test dla dwóch średnich P.G.

2.

Testy dla wskaźnika struktury

3. Testy dla wariancji

DECYZJE

Obszar krytyczny od pozostałej części rozkładu statystyki oddzielony jest przez tzw. wartości krytyczne testu czyli wartości
odczytane z rozkładu statystyki przy danym α, tak aby spełniona była relacja zależna od sposobu sformułowania H

1

.

OBSZAR KRYTYCZNY

LEWOSTRONNY

OBSZAR KRYTYCZNY

Test jednośladowy

(one- tail test)

PRAWOSTRONNY

OBSZAR KRYTYCZNY

Test jednośladowy

(one- tail test)

TEST DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY (PROCENTU)

Populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p . Z
populacji tej wylosowano próbę n-elementową (n>100) próbę. W
oparciu o wynik tej próby zweryfikować hipotezę:

H

o

: p=p

o

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

: p



p

o

, gdzie p

o

jest

hipotetyczna wartość parametru p

Statystyka testowa:

Gdzie m- liczba wyróżnionych elementów w próbie.
Statystyka z ma rozkład N(0,1)

TESTY DLA DWÓCH ŚREDNICH POPULACJI

Przypadek 1.
Dwie populacje generalne o rozkładach normalnych N(µ

1

, σ

1

) i N(µ

2

, σ

2

) .

Odchylenia standardowe σ

1

i σ

2

są znane. W oparciu o wyniki dwu niezależnych

prób, o liczebnościach n

1

i n

2

wylosowanych z tych populacji sprawdzić hipotezę:

H

o

: µ

1

= µ

2

,

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

: µ

1



µ

2

Rozwiązanie: Statystyka testowa: ma rozkład N(0,1)

Rozwiązanie: Statystyka testowa:

Przypadek 2

.

Dwie populacje generalne o rozkładach normalnych N(µ

1

, σ

1

) i N(µ

2

, σ

2

)

Odchylenia standardowe σ

1

i σ

2

są nieznane, ale jednakowe: σ

1

= σ

2

. W oparciu o

wyniki dwu niezależnych prób, o liczebnościach n

1

i n

2

wylosowanych z tych

populacji sprawdzić hipotezą:

H

o

: µ

1

= µ

2

,

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

: µ

1



µ

2

ma rozkład t-Studenta o k= n

1

+ n

2

-2 stopniach swobody.

TESTY DLA DWÓCH ŚREDNICH POPULACJI

Uwaga: Często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako
wyniki pomiarów na tych samych elementach. Typową sytuacją jest
przypadek: wynik x

i

‘przed’ jakąś operacją i wynik y

i

‘po’ niej dla tego

samego ‘i’ . Można wtedy analizować wyniki obu prób jako wyniki jednej
próby różnicowej

z

i

= y

i

- x

i.

Wówczas testujemy hipotezę:

H

o

: µ

z

=0

, gdzie

µ

z

ś

rednia w populacji różnic.

Statystyka testowa:

ma rozkład t-Studenta o k=n-1.

Przypadek 3.
Dwie populacje generalne o rozkładach normalnych lub innych. Odchylenia
standardowe σ

1

i σ

2

są nieznane. W oparciu o wyniki dwu niezależnych dużych

prób, o liczebnościach n

1

i n

2

wylosowanych z tych populacji sprawdzić hipotezę:

H

o

: µ

1

= µ

2

,

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

: µ

1



µ

2

Rozwiązanie: Postępujemy tak samo, jak w Przypadku 1, z tym że przy obliczaniu
wartości statystyki testowej w miejsce σ

1

i σ

2

wstawiamy :

s

1

i s

2

TEST DLA DWÓCH WSKAŹNIKÓW STRUKTURY

Dwie populacje generalne o rozkładach dwupunktowych z
parametrami p

1

i p

2

. W oparciu o wyniki dwu niezależnych prób, o

liczebnościach n

1

i n

2

(n

1

>100 i n

2

>100) wylosowanych z tych

populacji sprawdzić hipotezę, że parametry p

1

i p

2

są jednakowe,

tzn:

H

o

: p

1

=p

2

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

: p

1



p

2

.

Statystyka testowa:

gdzie: m

1

i m

2

oznaczają ilość wyróżnionych elementów w obu próbach, a

:

z- ma rozkład N(0,1)

TEST DLA WARIANCJI POPULACJI

Populacja generalna ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanych parametrach µ i σ.
Z populacji tej wylosowano próbę n-elementową próbę, na jej podstawie sprawdzić
hipotezę:

H

o

: wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

: ,

gdzie

jest hipotetyczną wartością wariancji

Rozwiązanie: Statystyka testowa:

Statystyka ta ma rozkład χ

2

z k=n-1 stopniami swobody

TEST DLA DWÓCH WARIANCJI POPULACJI

Dane są dwie populacje generalne o rozkładach normalnych N(µ

1

, σ

1

) i N(µ

2

,

σ

2

) . Ich parametry są nieznane. W oparciu o wyniki dwu niezależnych prób, o

liczebnościach n

1

i n

2

wylosowanych z tych populacji sprawdzić hipotezę:

H

o

:

wobec hipotezy alternatywnej:

H

1

:

Statystyka testowa

: ma rozkład F-Snedecora z k

1

=n

1

-1 oraz

k

2

=n

2

-1 stopniami swobody.

Gdy

F



F



odrzucamy H

o

TEST DLA DWÓCH WARIANCJI POPULACJI

Przykład 10: Dokonano po 5 niezależnych pomiarów
ciśnienia w komorze spalania silnika rakietowego dla dwóch
rodzajów paliwa; A i B. Dla A otrzymano wyniki w kG/cm

2

:

40,32; 39,85; 41,17; 40,62; 40,04. Dla B: 51,07; 49,60;
50,45; 50,59; 50,29. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić
hipotezę o jednakowym odchyleniu standardowym ciśnienia
uzyskiwanego obu rodzajami paliwa.

Rozwiązanie:

H

o

:

H

1

:

F= 1,06 ; F

α

= 4,39

Ponieważ F < F

α

więc nie ma podstaw do

odrzucenia hipotezy zerowej

ĆWICZENIA

1.

Spośród studentów AGH wylosowano niezależnie do próby 200
studentów i zapytano ich czy palą i ile dziennie palą papierosów. 152
studentów z nich stwierdziło, ze pali systematycznie, a wariancja z tej
próby wypalanych papierosów wynosi s

2

=50 (papierosów)

2

. Na

poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezy:

a)

palących studentów na AGH jest 60 %,

b)

odchylenie standardowe liczby wypalanych dziennie papierosów
wynosi 5.

5G.p.87, z. 2.62, p. 78 z. 2.46

2.

Wykonano pomiary porowatości 8-miu wylosowanych kształtek
ceramicznych przed i po modyfikacji polegającej na dodatkowym
procesie spiekania, uzyskano następujące wyniki porowatości w [%]:

przed modyfikacją: 21, 17, 20, 26, 23, 22, 21 , 18

po modyfikacji: 16, 13, 14, 21, 19, 18, 26, 17

Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że modyfikacja

zmniejsza porowatość tych wyrobów. Zastosować test dla par na
różnicach wyników.

(G.p.70 z. 2.23)

ĆWICZENIA c.d

3. Przy kontroli pracy dwu central telefonicznych stwierdzono , że na 200

połączeń w centrali A 16 było omyłkowych. Natomiast na 100 połączeń
w centrali B złych połączeń było 10. Na poziomie istotności α=0,05
zweryfikować hipotezę, że procent złych połączeń jest jednakowy w
obu centralach telefonicznych.

|z| = 1,21<1,96=z

α

nie ma podstaw do odrzucenia H

o

4.

Wykonano pomiary porowatości 8-miu wylosowanych kształtek
ceramicznych przed i po modyfikacji polegającej na dodatkowym
procesie spiekania, uzyskano następujące wyniki porowatości w [%]:

przed modyfikacją: 21, 17, 20, 26, 23, 22, 21 , 18

po modyfikacji: 16, 13, 14, 21, 19, 18, 26, 17

Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że modyfikacja

zmniejsza porowatość tych wyrobów. Zastosować test dla par na
różnicach wyników.

(G.p.70 z. 2.23)

5.

W celu porównania regularności wyników sportowych dwu
oszczepników , wylosowano 20 wyników rzutu oszczepem zawodnika
A i 16 wyników zawodnika B. Dla zawodnika A s

A

= 2,65 m, a dla B

s

B

=4,80 m. Na poziomie istotności α=0,10 sprawdzić hipotezę o

większej regularności wyników zawodnika A.

F=3,32> 1,86=F

α ;

; H

o

odrzucić.