Adam Kucharski

Zbiór zadań z badań operacyjnych

Wydanie drugie

Łódź 2012

ISBN 978-83-934591-1-7

Spis treści

1. Programowanie liniowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Programowanie liniowe w liczbach całkowitych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Zadanie transportowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka

. . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Gry dwuosobowe o sumie wypłat zero

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Zarządzanie projektami

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Odpowiedzi do zadań

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Programowanie liniowe

Zadanie 1

Zamkowa zbrojownia produkuje dwa rodzaje halabard: A i B, które stały się jej przebojem eks-

portowym. Jednostkowy zysk osiągany na halabardzie A równa się 1 dukatowi, a na halabardzie

B 3 dukatom. W procesie produkcji wykorzystywane są dwa surowce o kluczowym znaczeniu:

stal i drewno. Ich zużycie w kg na jedną halabardę A oraz B a także limity zapasów w magazynie

zawiera tabela:

Halabarda A

Halabarda B

Zapas [t]

Stal

Drewno

Podczas produkcji stali zużywa się rudę. Normy technologiczne wymagają 2 jednostek tego

surowca na każdą sztukę A oraz na każdą sztukę B. Należy zużyć co najmniej 10000 jednostek

rudy, aby uzyskać odpowiednią stal. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk

ze sprzedaży obu rodzajów halabard do ościennych księstw.

Zadanie 2 (Jędrzejczyk, Kukuła)

Rafineria ropy naftowej kupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2 w cenach odpowiednio: 7

i 14 zł za jednostkę przerobową. Proces technologiczny, odbywający się w wieży rektyfikacyjnej

daje trzy produkty: benzynę, olej napędowy i odpady. Z jednostki przerobowej ropy R1 otrzy-

mujemy 16 hl benzyny, 20 hl oleju napędowego i 24 hl odpadów. Z jednostki przerobowej ropy

R2 otrzymujemy 48 hl benzyny, 10 hl oleju napędowego i 14 hl odpadów. Ile należy kupić ropy

R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej 48 000 hl benzyny oraz 20 000 hl oleju napędowego

przy minimalnym koszcie zakupu surowca. Zdolność przerobowa wieży rektyfikacyjnej, mierzona

łączną objętością wszystkich produktów wynosi 144 000 hl.

Zadanie 3

Nowopowstająca sieć marketów ogłosiła przetarg na dostawę wózków. Zamówienie obejmuje

wózki dwóch rodzajów: duże i małe. Firma, która wygrała przetarg zaoferowała cenę za swoje

wyroby na poziomie odpowiednio 150 i 100 złotych. Do wyprodukowania wózków niezbędne

są pręty stalowe. Na jeden duży wózek potrzeba ich 10 kg zaś na mały 8 kg. Zapas prętów

poczyniony na poczet zamówienia wynosi 2,5 tony. Drugim niezbędnym surowcem jest tworzywo

sztuczne. Zużywa się go 100 dag na wózek duży i 50 dag na mały, a zapas wynosi 200 kg.

Kontrakt wymaga, aby dużych wózków było przynajmniej dwa razy tyle, co małych. Opracować

1. Programowanie liniowe

plan produkcji zapewniający maksymalny przychód przy wynegocjowanych cenach.

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Należy wyprodukować wyłącznie duże wózki;

2. Zużyte zostanie 2240 kg prętów;

3. Zapas tworzywa sztucznego nie zostanie wykorzystany w całości;

4. Zwiększenie zapasu prętów o 1 tonę podniesie przychód maks. o 160 zł;

5. Zwiększenie proporcji na rzecz dużych wózków spowoduje wzrost przychodu;

6. Przy cenie dużych wózków wynoszącej 180 zł ilość wytworzonych małych wózków nie ulegnie

zmianie;

7. Przy cenie za mały wózek równej 50 zł rozwiązanie może ulec zmianie;

8. Zwiększenie zapasu tworzywa sztucznego o 20 kg podniesie przychód o 320 zł.

Zadanie 4

Trener przed zawodami podejmuje decyzję odnośnie zakupu odpowiednich odżywek dla zawod-

ników. Do wyboru ma dwie: Vitarevival i Komandirskaja. Z uwagi na ograniczone zasoby finan-

sowe, w jakie został wyposażony, szkoleniowiec musi dążyć do jak najniższych kosztów zakupu.

Cena jednego opakowania Vitarevival wynosi 2 euro, a Komandirskaja 3 euro. Podstawą wybo-

ru jest zawartość trzech składników: S1, S2 i S3. Ich zawartość w jednym opakowaniu odżywki

podaje tabela:

Składnik

Vitarevival

Komandirskaja

Wiadomo, że organizm potrzebuje co najmniej 10 jednostek S1 i co najwyżej 14 jednostek S2

oraz co najwyżej 18 jednostek S3. Opracować plan zaopatrzenia zawodników minimalizujący

łączne koszty zakupu.

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Należy kupić tylko jedną odżywkę;

2. Składnik S1 zostanie dostarczony w minimalnej ilości;

3. Składnik S2 zostanie dostarczony w maksymalnej ilości;

4. Zwiększenie limitu składnika S1 o jednostkę podniesie koszt minimalny o 4 zł;

5. Dodatkowe 10 jednostek limitu S2 podniesie koszt minimalny o 10 zł;

6. Przy cenie Vitarevival wynoszącej 2,5 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;

7. Potrzeba 15 jednostek limitu składnika S3 by otrzymać koszt minimalny;

8. Jeżeli limit S2 wynosić będzie 30 jednostek wycena dualna nie ulegnie zmianie.

Zadanie 5

Dwóch programistów pracuje nad kodem źródłowym modułu pewnego programu. Pierwszy z

nich pisze 400 a drugi 300 linii kodu dziennie. Podczas pracy piją sporo kawy: odpowiednio

2 i 3 kubki dziennie. Aby utrzymać formę muszą wypić łącznie co najmniej 20 kubków. Za

każdy dzień pracy dostają po 100 zł, przy czym ich całkowite wynagrodzenie nie może spaść

poniżej 1500 zł i przekroczyć 4000 zł. Dodatkowo przygotowują procedury pozwalające włączyć

tworzony przez nich moduł do większego systemu. Pierwszy przygotowuje 40 a drugi 60 linii

dziennie. Łącznie procedury te mają zająć maksymalnie 700 linii. Ile dni potrzebuje pierwszy

programista a ile drugi, aby napisać program przy założeniu, że długość otrzymanego kodu ma

być jak najmniejsza?

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Obaj programiści poświęcą na program tyle samo czasu;

2. Minimalna długość kodu to 4000 linii;

3. W czasie pracy programiści wypiją łącznie 35 kaw;

4. Otrzymają wynagrodzenie w wysokości 2500 zł;

5. Dodatkowa złotówka dolnej granicy wynagrodzenia podniesie długość kodu o 6 linii;

6. Zwiększenie o 10 linii długości dodatkowych procedur skróci program główny o 50 linii;

7. Gdy drugi programista napisze 350 linii dziennie rozwiązanie optymalne zmieni się;

8. Gdy pierwszy programista napisze 350 linii dziennie rozwiązanie optymalne nie zmieni się.

Zadanie 6

Fabryka farb produkuje 3 typy farb A, B i C. Do ich wyrobu potrzeba 3 składników c1, c2,

c3, których zapasy wynoszą odpowiednio 8000, 9000, 10000 kg. Wykorzystanie poszczególnych

składników (w kg) do wszystkich typów prezentuje tabela:

Składnik

Farba A

Farba B

Farba C

Zamówienia na typ A oznaczają, że produkcja nie może spaść poniżej 1100 kg. Jaka powinna

być struktura produkcji aby fabryka osiągnęła maksymalny zysk jeżeli zysk jednostkowy na

poszczególnych typach farb wynosi odpowiednio 3, 2, 5 PLN.

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Należy produkować wyłącznie farby typu A i C;

2. Limit składnika C1 zostanie wykorzystany w całości;

3. Limit zamówienia na typ A nie zostanie przekroczony;

4. Zwiększenie limitu składnika C3 o jednostkę podniesie zysk maksymalny o 2 zł;

1. Programowanie liniowe

5. Dodatkowe 20 jednostek limitu C2 podniesie zysk maksymalny o 40 zł;

6. Przy zysku jednostkowym z typu A równym 7 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;

7. Przy zysku jednostkowym z typu B równym 1 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;

8. Jeżeli limit dla składnika C1 wynosić będzie 3000 jednostek wycena dualna ulegnie zmianie.

Zadanie 7

Akwarysta amator rozważa zakup pokarmu dla rybek. Pod uwagę bierze trzy marki: Rybex, Ba-

byshark i DXVC15. Dla właściwego rozwoju pupilów hobbysty znaczenie ma zawartość pewnych

składników odżywczych oznaczonych jako S1, S2 i S3. W poniższej tabeli znalazły się: zawartość

składników w każdym rodzaju pokarmu oraz cena jednego dekagrama.

Cena [zł]

Rybex

Babyshark

DXVC15

3,5

Rybkom należy dostarczyć co najmniej 10 jednostek S1 oraz co najmniej 9 jednostek S3. Zawar-

tość S2 powinna być nie większa niż 20 jednostek, ale jednocześnie nie może go być mniej niż 8

jednostek. Opracować plan zakupów pokarmów, tak aby łączny koszt zakupu był minimalny.

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Należy kupić wszystkie marki pokarmu;

2. Limit składnika S1 zostanie dostarczony w minimalnej ilości;

3. Limit składnika S3 zostanie przekroczony;

4. Zwiększenie limitu składnika S3 o jednostkę podniesie koszt minimalny o 2 zł;

5. Dodatkowe 20 jednostek limitu S1 podniesie koszt minimalny o 12 zł;

6. Przy cenie Rybexu równej 7 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;

7. Przy cenie Babyshark równej 7 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;

8. Jeżeli limit dla składnika S3 wynosić będzie 30 jednostek wycena dualna nie ulegnie zmianie.

Zadanie 8

Importer planuje wprowadzenie na rynek herbaty powstającej z mieszanki trzech różnych ga-

tunków tego krzewu. W przeliczeniu na 1 tonę sprowadzenie herbaty 1-go gatunku kosztuje 250

zł, 2-go gatunku 210 zł a 3-go gatunku 300 zł, przy czym koszt zakupu nie powinien przekro-

czyć 8000 zł. Herbata musi przejść obróbkę w specjalnych komorach oraz charakteryzować się

określoną zawartością garbników. Czas obróbki i zawartość garbników w zależności od gatunku

podaje tabela:

Herbata 1

Herbata 2

Herbata 3

Czas przebywania w komorze [min]

Zawartość garbnika [mg/100g]

Dostępny czas pracy komory wynosi 200 godzin. Walory smakowe wymagają, aby garbnika w

mieszance znalazło się co najmniej 350 mg/100g. Gotowy do sprzedaży produkt ma wyróżniać

się specyficznym aromatem, który zapewnia obecność herbaty 1-go gatunku. Jej 100g zawiera

15 mg stosownej substancji zaś w mieszance powinno znaleźć się co najmniej 120 mg aromatu

na 100g. Opracować plan zakupu poszczególnych gatunków zapewniający minimum kosztów.

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Należy kupić herbatę 1 i 2 gatunku;

2. Łączny koszt zakupu będzie niższy o 2550 zł od planowanego;

3. Zawartość garbnika w mieszance wyniesie 350 mg;

4. Zwiększenie wymaganej ilości garbnika podniesie koszt zakupu o 20 zł;

5. Dodatkowe 10 godz. limitu pracy komory obniży koszt o 20 zł;

6. Przy cenie herbaty 1 wynoszącej 300 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;

7. Jeżeli wymagana zawartość aromatu wyniesie 240 mg limit garbnika będzie przekroczony;

8. Jeżeli cena herbaty 3 wzrośnie o 100 zł rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie.

Zadanie 9

Student ma rozwiązać podczas sprawdzianu 3 zadania. Decydujące znaczenie ma czas ich roz-

wiązania, który powinien być jak najkrótszy (tak, aby pozostał jeszcze czas na zinterpretowanie

wyników). Wiadomo, że na cały sprawdzian przewidziano 60 minut. Rozwiązanie pierwszego za-

dania powinno zająć nie więcej niż 30 minut, lecz potrwa przynajmniej 20 minut. Rozwiązanie

zarówno zadania drugiego jak i trzeciego zajmie za każdym razem co najmniej 10 minut. Ile

czasu należy przeznaczyć na poszczególne zadania?

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Na rozwiązanie wszystkich zadań potrzeba 60 min.;

2. Rozwiązanie zadania 1 potrwa 15 min.;

3. Wykorzystano całkowicie czas przeznaczony na zadanie 1;

4. Dodatkowa jednostka czasu przeznaczona na zadanie 2 podniesie czas rozwiązywania spraw-

dzianu o 2 min.;

5. Wydłużenie czasu sprawdzianu o 2 min. spowoduje, że rozwiązanie zadań zajmie 2 min.

więcej;

6. Dodatkowe 10 min. przeznaczona na zadanie 3 podniesie czas rozwiązywania sprawdzianu o

10 min.;

7. Jeżeli łączny czas sprawdzianu wyniesie 70 min. zmienna dualna nie ulegnie zmianie;

1. Programowanie liniowe

8. Jeżeli czas na zadanie 3 wyniesie 35 min. zmienna dualna nie ulegnie zmianie.

Zadanie 10

Otwarto nową fabrykę zajmującą się montażem telewizorów. Podstawowy asortyment produkcji

stanowią telewizory 32 i 36 oraz 42 calowe. Jednostkowy zysk ze sprzedaży oraz czas pracy

specjalistycznej linii montażowej (mającej kluczowe znaczenie dla produkcji) podaje tabela:

Telewizor 32 cale

Telewizor 36 cali

Telewizor 42 cale

Czas pracy [min]

Zysk z 1 szt. [zł]

250

400

500

Limit pracy linii montażowej to 8000 godzin. Zarząd oczekuje, że zysk ze sprzedaży w anali-

zowanym okresie nie spadnie poniżej 100 000 zł. Z analiz rynku wynika, że udział telewizorów

32 calowych powinien wynieść przynajmniej 20% ogólnej wielkości produkcji, lecz tego modelu

należy wytworzyć nie więcej niż 1000 sztuk. Z uwagi na wcześniejsze zamówienia należy wypro-

dukować co najmniej 500 szt. odbiorników 36 calowych. Opracować plan produkcji zapewniający

maksymalny zysk ze sprzedaży (zakładamy, że sprzedana zostanie cała produkcja).

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Należy produkować wszystkie typy telewizorów;

2. Osiągnięty zysk przekroczy 1 mln zł;

3. Udział produkcji odbiorników 32 cal. wyniesie 20%;

4. Zwiększenie udziału produkcji odbiorników 32 cal. spowoduje spadek zysku;

5. Dodatkowe 100 godz. limitu pracy maszyn zwiększy zysk o 50 tys. zł;

6. Przy zysku z telewizorów 42 cal. równym 500 zł struktura produkcji ulegnie zmianie;

7. Przy zysku z telewizorów 42 cal. równym 300 zł struktura produkcji nie ulegnie zmianie;

8. Jeżeli limit produkcji telewizorów 32 cal. wzrośnie o 3000 szt. zmienna dualna ulegnie zmianie.

Zadanie 11

Złożono zamówienie na 4 części po cenach odpowiednio: 85, 90, 70, 80 zł. Do produkcji potrzebny

jest półfabrykat, którego zapas wynosi 1000 kg. Jednostkowe zużycie (w kg) tego półfabrykatu

wynosi dla poszczególnych części: 5, 2, 3, 2. Łącznie części 1 i 3 należy wytworzyć co najmniej

25 sztuk. Części 2 i 4 należy wyprodukować łącznie co najmniej 20 sztuk. Części 4 ma powstać

nie więcej niż 50% łącznej sumy części 1, 2 i 3. Opracować plan zamówienia gwarantujący jak

najniższy koszt jego realizacji.

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Czy uda się wyprodukować wszystkie części?

2. Zostanie zużyte 125 kg półfabrykatu;

3. Jeżeli suma części 1 i 3 wzrośnie o jednostkę koszt minimalny wzrośnie o 66,67 zł;

4. Jeżeli suma części 2 i 4 wzrośnie o 10 szt. koszt minimalny wzrośnie o 86,67 zł;

5. Przy cenie części 1 równej 75 zł rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie;

6. Przy cenie części 2 równej 100 zł zmienne dualne mogą ulec zmianie;

7. Jeżeli zapas półfabrykatu spadnie o połowę produkowane będą te same typy części;

8. Jeżeli suma części 2 i 4 spadnie o 10 szt. zmienna dualna nie ulegnie zmianie.

Zadanie 12

Pewne wydawnictwo planuje wprowadzić na rynek 2 tytuły nowych autorów. Zysk planowany

na pierwszym z nich wyniesie 20 zł a na drugim 30 zł. Całkowity zysk ze sprzedaży książek wy-

nieść ma przynajmniej 30 tys. zł. Udział nakładu pierwszej z książek nie powinien przekroczyć

20% sumy nakładów obydwu tytułów. Zgodnie z polityką firmy autor dostaje 2 zł od każdego

sprzedanego egzemplarza, ale zarząd na poczet tych wydatków przygotował 10000 zł. i nie ma

zamiaru zwiększyć tej kwoty. Jeden egzemplarz książki pierwszej wymaga zużycia 100 arkuszy

wydawniczych papieru zaś jeden egzemplarz książki drugiej wymaga zużycia 125 arkuszy papie-

ru. Zakupiono 5 ton papieru (1 tona wystarcza na wydrukowanie 100 000 arkuszy). Zakładamy,

że wszystkie egzemplarze zostaną sprzedane. Opracować plan wydawniczy zapewniający mak-

symalny zysk ze sprzedaży.

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Należy wydać oba tytuły;

2. Autor pierwszej książki dostanie 8000 zł;

3. Osiągnięty zysk będzie równy zakładanym planom;

4. Zapas papieru nie zostanie wykorzystany w całości;

5. Dodatkowa tona zapasu papieru podniesie maksymalny zysk o 24 000 zł;

6. Przy cenie książki pierwszej wynoszącej 30 zł rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;

7. Jeżeli kwota przeznaczona dla autorów wyniesie 6000 zł zmienna dualna ulegnie zmianie;

8. Jeżeli zysk z 1 egz. drugiej książki spadnie o 2 zł wydane zostaną oba tytuły.

Zadanie 13

Zbudować plan produkcji maksymalizujący przychód ze sprzedaży trzech produktów A, B, C

(zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana). Przychód jednostkowy obliczany jest jako

suma kosztów produkcji pojedynczego produktu oraz nakładanej marży. W procesie produkcji

kluczowe znaczenie mają 2 surowce S1 i S2 oraz dostępny czas pracy maszyn. Jednostkowe

wartości kosztów, marży czasu pracy i zużycia surowców podaje tabela:

Produkt

Koszt [zł]

Marża [zł]

S1 [kg]

S2 [litr]

Czas pracy [min]

1. Programowanie liniowe

Zapas surowca S1 wynosi 3,3 t, surowca S2 100 hl. Normy technologiczne wymagają, aby S2

zużyć co najmniej 20 hl. Dostępny limit czasu pracy maszyn wynosi 500 godzin.

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Należy wyprodukować 800 szt. wyrobu C;

2. Surowiec S1 zostanie wykorzystany w całości;

3. Surowiec S2 zostanie wykorzystany w całości;

4. Zwiększenie limitu czasu pracy o 1 godz. podniesie zysk o 600 zł;

5. Przy przychodzie z wyrobu A równym 20 zł struktura produkcji nie ulegnie zmianie;

6. Jeżeli zapas S1 wzrośnie o 100 kg, optymalny zysk wzrośnie o 1000 zł;

7. Niewykorzystane pozostanie około 317 godzin czasu pracy;

8. Jeżeli zapas S2 wzrośnie o 10 hl zmienna dualna nie ulegnie zmianie.

Zadanie 14

Hurtownia sprzętu AGD ma w swojej ofercie między innymi pralki dwóch wiodących na rynku

producentów. Sprzedawane one są odpowiednio po 1100 i 1200 zł/szt. Planuje się, że łącznie pra-

lek obu producentów uda się sprzedać przynajmniej 200 sztuk, przy czym żaden z producentów

nie dostarczy więcej niż 300 sztuk. Aby zainteresować klientów przewidziano akcję promocyjną

o całkowitym budżecie wynoszącym 3600 zł. Na jedną pralkę producenta pierwszego przypadnie

20 zł na promocję a drugiego 10 zł. Opracować plan sprzedaży pralek obu producentów charak-

teryzujący się maksymalnym przychodem.

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Należy sprowadzić 3000 pralek producenta pierwszego;

2. Maksymalny przychód nie przekroczy 400 tys. zł;

3. Budżet na promocję zostanie wykorzystany w całości;

4. Założenie odnośnie minimum sprzedaży pralek nie zostanie przekroczone;

5. Przy cenie pralek 1-go producenta równej 1500 zł należy nadal zamówić u niego 30 sztuk;

6. Przy cenie pralek 2-go producenta równej 1500 zł funkcja celu ulegnie zmianie;

7. Jeżeli minimum sprzedaży pralek wyniesie 300 szt., sprzedawane będą pralki obu producen-

tów;

8. Jeżeli wydatki na promocję wzrosną o 1400 zł, zmienna dualna nie ulegnie zmianie.

Zadanie 15

Inwestora interesują trzy przylegające do siebie działki, pierwsza o pow. 510 m

, druga 490 m

a trzecia 450 m

. Firma planuje wykupić łącznie co najmniej 1000 m

. Negocjacje prowadzono

oddzielnie z poszczególnymi właścicielami. Zaoferowano ceny za 1m2 wynoszące odpowiednio:

200, 180, 170 zł. Opracować plan wykupienia stosownej powierzchni tak, aby łączny koszt zakupu

był jak najmniejszy.

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Działki druga i trzecia zostaną wykupione w całości;

2. Minimalny koszt zakupu przekroczy 150 000 zł;

3. Podniesienie dolnej granicy łącznej powierzchni do 1100 m

spowoduje wzrost kosztów o 200

zł;

4. Działka 1 zostanie wykupiona w całości;

5. Przy cenie za pierwszą działkę równej 250 zł/m

rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie;

6. Przy cenie równej 250 zł/m

za trzecią działkę, wykupimy tę działkę w całości;

7. Gdyby działka druga była większa o 50 m

zmienna dualna nie uległaby zmianie;

8. Gdyby działka pierwsza była większa o 50 m

należałoby wykorzystać wszystkie działki.

Zadanie 16

Opracować strukturę produkcji lodów trzech rodzajów A, B i C zapewniającą maksymalny

zysk ze sprzedaży (zakładamy, że cała produkcja znajdzie nabywców). Jednostkowe zyski z 1

porcji danego rodzaju lodów oraz zużycie podstawowych składników czyli mleka i cukru zawiera

poniższa tabela. Zapas mleka wynosi 5 litrów zaś cukru 5 kg.

Rodzaj A

Rodzaj B

Rodzaj C

Zysk jednostkowy [zł]

3,5

Zużycie mleka [ml]

Zużycie cukru [g]

Lody B i C zawierają w swoim składzie czekoladę (jej zapas wynosi 1 kg), przy czym na jedną

porcję rodzaju B zużywa się 4 g a na jedną porcję rodzaju C 1 g tego składnika. Wymagane

jest, aby lodów B sprzedać co najmniej 100 szt.

Na podstawie otrzymanych wyników zweryfikuj poprawność podanych stwierdzeń (TAK lub NIE)

tam gdzie to konieczne podając stosowne uzasadnienie:

1. Lody rodzaju A nie będą wytwarzane;

2. Maksymalny zysk przekroczy 500 zł;

3. Zapas mleka zostanie wykorzystany w całości;

4. Zapas cukru zostanie wykorzystany w połowie;

5. Zwiększenie wymagań co do produkcji lodów B o 10 szt. spowoduje wzrost zysku o 10 zł;

6. Zwiększenie zapasu czekolady o 0,5 kg spowoduje spadek zysku;

7. Jeżeli zysk jednostkowy z lodów B wzrośnie o 1 zł zysk maksymalny nie ulegnie zmianie;

8. Jeżeli zapas mleka wzrośnie o 1 litr struktura produkcji ulegnie zmianie.

2. Programowanie liniowe w liczbach całkowitych

Każde zadanie rozwiązać jako zadanie programowania liniowego w liczbach cał-

kowitych.

Zadanie 1

Podjęto się realizacji zamówienia na 4 części, których jednostkowy koszt wytworzenia wynosi

odpowiednio: 85, 70, 70, 80 zł. Do produkcji potrzebny jest półfabrykat, którego zapas wynosi

1000 kg. Jednostkowe zużycie tego półfabrykatu wynosi dla poszczególnych części: 5, 2, 3, 2

kilograma. Łącznie części 1 i 3 należy wytworzyć co najmniej 25 sztuk. Części 2 i 4 należy

wyprodukować łącznie co najmniej 20 sztuk. Części 2 ma powstać nie więcej niż 30% łącznej

wielkości produkcji. Opracować plan realizacji zamówienia gwarantujący jak najniższy koszt jego

realizacji.

Zadanie 2

Pewne wydawnictwo planuje wprowadzić na rynek 2 tytuły nowych autorów. Zysk planowany

na pierwszym z nich wyniesie 20 zł a na drugim 30 zł. Całkowity zysk ze sprzedaży książek

wynieść ma przynajmniej 30 tys. zł. Udział nakładu pierwszej z książek nie powinien prze-

kroczyć 20% sumy nakładów obydwu tytułów. Zgodnie z polityką firmy autor dostaje 7 zł od

każdego sprzedanego egzemplarza, ale zarząd na poczet tych wydatków przygotował 10000 zł.

i nie ma zamiaru zwiększyć tej kwoty. Jeden egzemplarz książki pierwszej wymaga zużycia 100

arkuszy wydawniczych papieru zaś jeden egzemplarz książki drugiej wymaga zużycia 125 arkuszy

papieru. Zakupiono 5 ton papieru (1 tona wystarcza na wydrukowanie 100 000 arkuszy). Zakła-

damy, że wszystkie egzemplarze zostaną sprzedane. Opracować plan wydawniczy zapewniający

maksymalny zysk ze sprzedaży.

Zadanie 3

Hurtownia sprzętu AGD ma w swojej ofercie między innymi pralki dwóch wiodących na rynku

producentów. Sprzedawane one są odpowiednio po 1100 i 1200 zł/szt. Planuje się, że łącznie pra-

lek obu producentów uda się sprzedać przynajmniej 200 sztuk, przy czym żaden z producentów

nie dostarczy więcej niż 250 sztuk. Aby zainteresować klientów przewidziano akcję promocyjną

o całkowitym budżecie wynoszącym 3600 zł. Na jedną pralkę producenta pierwszego przypad-

nie 16 zł na promocję a drugiego 11 zł. Opracować plan sprzedaży pralek obu producentów

charakteryzujący się maksymalnym przychodem.

Zadanie 4

Niewielki zakład produkuje torby sportowe trzech rodzajów. Łączny koszt wytworzenia wszyst-

kich toreb nie może być większy niż 9000 zł. Po doliczeniu do kosztu marży otrzymamy przychód,

którego całkowita wartość ma wynieść co najmniej 10 tys. zł. Dostępny czas pracy robotnic, któ-

re szyją torby wynosi łącznie 100 roboczogodzin. Tabela poniżej zawiera jednostkowe wartości

kosztu, marży oraz czasu pracy potrzebnego do uszycia toreb.

Torba 1

Torba 2

Torba 3

Koszt jednost.

Marża jednost.

Czas pracy [min.]

Wiadomo ponadto, że po analizie sprzedaży z okresów poprzednich podjęto decyzję, iż udział

toreb drugiego rodzaju w ogólnej wielkości produkcji ma wynieść co najmniej 20%. Opracować

strukturę produkcji pozwalającą na osiągnięcie jak najniższego kosztu produkcji przy podanych

założeniach.

Zadanie 5

Firma produkująca materiały szkolne i biurowe ma w swojej ofercie dwa rodzaje tradycyjnych

kredek. Zysk osiągany z 1 pudełka kredek pierwszego rodzaju wynosi 5 zł, a z 1 pudełka kredek

drugiego rodzaju 6 zł. Do produkcji wykorzystuje się dwa podstawowe surowce: drewno i wy-

pełnienie grafitowe. Normy zużycia surowców oraz czas pracy maszyn w przeliczeniu na jedno

pudełko kredek danego rodzaju wraz z dostępnymi limitami podaje tabela.

Kredki rodz. 1

Kredki rodz. 2

Drewno [dag.]

Grafit [dag.]

Czas pracy [min.]

Firma dysponuje następującymi zapasami surowców: 120 kg drewna i 50 kg grafitu. Dostępny,

maksymalny czas pracy maszyn wynosi 120 godzin. Dodatkowo wymaga się, aby kredek 2 ro-

dzaju wyprodukować co najmniej 3 razy tyle co kredek 1 rodzaju. Opracować plan produkcji,

zapewniający maksymalny łączny zysk.

3. Zadanie transportowe

Zadanie 1

Trzy punkty skupu dostarczają złom do trzech hut. Punkty dysponują odpowiednio 25, 26 i 24

tonami złomu, podczas gdy huty mogą przyjąć: 29, 26 i 20 tony. Macierz jednostkowych kosztów

przewozu (zł) jest następująca:

C =













Opracować plan dostaw złomu minimalizujący łączne koszty transportu używając metody kąta

północno-zachodniego.

Zadanie 2

Trzech rolników dostarcza mleko do trzech mleczarni. Rolnicy owi dostarczają odpowiednio 200,

150, 220 hl mleka. Poszczególne mleczarnie mogą przyjąć następujące ilości: 100, 300 i 150

hl. Koszty przewiezienia jednego hl mleka (zł) między rolnikami a mleczarniami przedstawia

macierz:

C =













Opracować plan dostarczenia całego mleka tak, aby łączny koszt przewozu był jak najmniejszy

(wykorzystać metodę kąta północno-zachodniego).

Zadanie 3

Trzy cementownie zaopatrują w cement cztery budowy. Cementownie dysponują odpowiednio

20, 30 i 40 tonami cementu, podczas gdy zapotrzebowanie na budowach wynosi: 15, 20, 20 i 30

ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca:

C =













Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego

Zadanie 4

Czterech producentów dostarcza do 2 kontrahentów wyroby metalowe. Dysponują oni odpowied-

nio 50, 30, 45 i 23 tonami wyrobów, podczas gdy zapotrzebowanie wynosi u każdego z odbiorców

po 60 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca:

C =



















Z powodu remontu, droga między drugim producentem a drugim odbiorcą jest całkowicie nie-

przejezdna. Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta

północno-zachodniego.

Zadanie 5

Trzy autobusy muszą rozwieźć ludzi w trzy różne miejsca. Pojemności autobusów, liczbę osób

mających znaleźć się w punktach docelowych oraz macierz kosztów jednostkowych (zł) podaje

poniższa tabela:

Miejsce 1

Miejsce 2

Miejsce 3

Autobus 1

2,5

3,0

1,5

Autobus 2

1,2

1,3

3,0

Autobus 3

3,2

3,3

4,0

Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego.

Zadanie 6

Dwa duże gospodarstwa rolne zaopatrują w buraki cukrowe cztery punkty skupu. W tym roku

pierwsze gospodarstwo dostarczy 75 a drugie 60 ton buraków. Punkty skupu skłonne są przyjąć

odpowiednio: 40, 30, 32, 29 ton buraków. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest

następująca:

Punkt skupu 1

Punkt skupu 2

Punkt skupu 3

Punkt skupu 4

Gospodarstwo 1

2,5

2,3

2,7

2,3

Gospodarstwo 2

2,9

3,0

2,1

Na trasie z gospodarstwa 2 do trzeciego punktu skupu zorganizowano objazd, w związku z czym

można na tej trasie przewieźć do 25 ton ładunku. Opracować plan dostaw minimalizujący koszty

transportu używając metody kąta północno-zachodniego.

3. Zadanie transportowe

Zadanie 7

Konserwy z trzech wojskowych magazynów mają trafić do trzech jednostek. Z magazynu pierw-

szego wyjedzie 20, z drugiego 30, a z trzeciego 24 tony konserw. Do jednostek ma trafić odpo-

wiednio: 28, 26, 20 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca:

C =













Trasa z magazynu 1 do jednostki 3 jest całkowicie nieprzejezdna Opracować plan dostaw mini-

malizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego.

Zadanie 8

Producenci serialu „A jak alabaster” zamówili u dwóch dostawców elementy dekoracji, które

tymczasowo mają znaleźć się w jednym z czterech magazynów wytwórni. Dostawca 1 może

zapewnić 200 a drugi 180 kg owych elementów. W pierwszym magazynie ma się znaleźć 120,

w drugim 60, w trzecim 130 a w czwartym 70 kg elementów. Z powodu koczowania licznej

grupy fanów, trasa od pierwszego dostawcy do trzeciego magazynu jest nieprzejezdna. Macierz

jednostkowych kosztów przewozu jest następująca:

C =

Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego.

Zadanie 9

W związku z oczekiwaną serią kontroli sanepidu właściciel zakładów mięsnych musi zabrać część

wędlin z objętych kontrolą zakładów i zawieźć je do dwóch firm zajmujących się utylizacją. Pierw-

sza z nich jest w stanie przyjąć 16, a druga 17 ton wędlin. Z każdego zakładu należy usunąć

po 11 ton wędlin. Na drodze z pierwszego zakładu do pierwszej firmy należy pokonać most,

przez który na raz przejedzie tylko 5 ton wędliny. Macierz jednostkowych kosztów transportu

jest następująca:

C =













4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i

ryzyka

Wszystkie zaprezentowanych poniżej zagadnienia przeanalizować pod kątem podej-

mowania decyzji w warunkach niepewności i ryzyka.

Zadanie 1

Zarząd firmy musi podjąć decyzję odnośnie wielkości produkcji. Przeprowadzone analizy wskazu-

ją na możliwość wystąpienia jednego z trzech stanów rynku, rzutujących na wysokość osiąganego

zysku (tys. zł). Stosowne dane zawiera poniższa tabela.

Stany rynku

Skłonność do

bycia optymistą

Decyzja 1

0,4

Decyzja 2

-10

0,4

P (s

)

0,3

0,2

0,5

P (s

) – prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu rynku

Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to

konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami.

1. Według kryterium optymisty najlepsza jest decyzja 2.

2. Według kryterium minimalnego żalu najlepsza jest decyzja 1.

Zadanie 2

Shrek wybiera się w odwiedziny do teściów, mieszkających w Zasiedmiogórogrodzie. Pogoda ma

duży wpływ na szybkość podróżowania. Spodziewamy się trzech możliwych stanów warunków

pogodowych, które przekładają się na liczbę pokonywanych dziennie mil. Stosowne dane zawiera

poniższa tabela.

Stany warunków pogodowych

Droga z zachodu

Droga z północy

P (s

)

0,3

0,2

0,5

P (s

) – prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu pogody

4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka

UWAGA! Potraktować powyższą macierz jako macierz strat.

Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to

konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami.

1. Według kryterium minimalnego żalu najlepszą decyzją jest droga z zachodu.

2. Według kryterium Laplace’a najlepszą decyzją jest droga z zachodu.

3. Według kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości najlepszą decyzją jest droga z północy.

Zadanie 3

Należy dokonać wyboru asortymentu stoiska cukierniczego oferującego jeden z trzech możliwych

wypieków w zależności od sposobu reakcji konkurencji. Poniższa tabela zawiera dzienną [zł]

wartość sprzedanych wyrobów.

Konkurencja

Skłonność do

Asortyment

bycia optymistą

Pączki

120

100

130

0,3

Kremówki

110

120

0,3

Napoleonki

0,6

P (s

)

0,2

0,1

0,5

0,2

P (s

) – prawdopodobieństwo wystąpienia danej reakcji konkurencji

Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to

konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami.

1. Według kryterium pesymisty najlepszą decyzją jest wybór pączków.

2. Według kryterium Hurwicza najlepszą decyzją jest wybór kremówek.

3. według kryterium minimalnego oczekiwanego żalu najlepszą decyzją jest wybór napoleonek.

4. OKPI wynosi 117 zł.

Właściciel cukierni w związku ze zbliżającym się długim weekendem spodziewa się dodatko-

wego wzrostu popytu na swoje wyroby. W związku z tym rozważa dwa możliwe scenariusze: duży

(o 40%) i mały (o 10%) wzrost popytu. Konkurencja również jednak również zamierza skorzy-

stać na tej sytuacji. Dlatego oszacowane zostały prawdopodobieństwa zrealizowania się danego

wariantu wzrostu popytu w zależności od reakcji konkurencji. Znalazły się one w poniższej tabeli.

Wzrost popytu

Duży (P

)

0,3

0,8

0,4

0,1

Mały (P

)

0,7

0,2

0,6

0,9

Ocenić wpływ dodatkowej informacji o zmianie popytu na podejmowanie decyzji dotyczącej

asortymentu sprzedaży.

Zadanie 4

Inwestor planuje inwestycję w jedną z trzech akcji. W tym celu oszacował stopę zwrotu w zależ-

ności od jednego z przewidywanych stanów rynku. Stosowne wyniki zawiera tabela.

Stany rynku

Skłonność do

Inwestycja

bycia optymistą

Akcja A

-3

0,3

Akcja B

-5

0,3

Akcja C

0,6

P (s

)

0,7

0,2

0,1

P (s

) – prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu rynku

Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to

konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami.

1. Według kryterium optymisty najlepszą decyzją jest akcja A.

2. Według kryterium pesymisty najlepszą decyzją jest akcja A.

3. Według kryterium minimalnego oczekiwanego żalu najlepszą decyzją jest akcja C.

4. CGPI wynosi 13,8.

Walne zgromadzenia akcjonariuszy wyżej wymienionych spółek podjęły decyzje o wypłacie

dywidend. Ich wysokość uzależniają jednak od przewidywanej sytuacji rynkowej. Zakładając, że

inwestora interesuje łączna kwota otrzymanych dywidend oszacowane zostały prawdopodobień-

stwa uzyskania jednego z trzech wariantów wypłaty w zależności od sytuacji rynkowej. Szacunki

owe znalazły się w poniższej tabeli.

Wysokość

wypłaty

0,1

0,5

0,6

0,2

0,5

0,1

0,7

0,3

Akcje której ze spółek będą najbardziej atrakcyjne po uwzględnieniu dodatkowej informacji na

temat wypłaty dywidend? Przeprowadź stosowną analizę i zinterpretuj jej wyniki.

Zadanie 5

Przygotowywane są obchody z okazji założenia miasta. Firma zainteresowana reklamowaniem

się na tej imprezie musi zadecydować czy lepszym rozwiązaniem będzie rozdawanie ulotek przy

głównym wejściu czy też hostessy powinny wręczać je krążąc po terenie obchodów. Liczba spo-

dziewanych osób zależy od pogody. Poniższa tabela zawiera spodziewane ilości wręczonych ulotek

w zależności od pogody i miejsca.

4. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności i ryzyka

Stany warunków pogodowych

Wejście główne

120

260

150

Teren obchodów

190

220

150

P (s

)

0,1

0,4

0,5

P (s

) – prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu pogody

Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to

konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami.

1. Według kryterium optymisty najlepszą decyzją jest teren obchodów.

2. Według kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości najlepszą decyzją jest wejście główne.

Firma postanowiła uwzględnić w analizie dodatkowe informacje dotyczące spodziewanej fre-

kwencji na festynie. W zależności od warunków pogodowych rozważa trzy warianty frekwencji:

małą (5 tys. osób), średnią (10 tys. osób) i dużą (25 tys. osób). W tabeli poniżej znalazły się

oszacowane wartości prawdopodobieństw wystąpienia danej frekwencji w zależności od pogody.

Frekwencja

Mała (F1)

0,6

0,2

0,1

Średnia (F2)

0,5

0,1

Duża (F3)

0,4

0,3

0,8

Przeanalizować wpływ informacji na temat frekwencji na decyzję o wyborze miejsca rozdawania

ulotek.

Zadanie 6

Zakład wodociągowy planuje uruchomienie dodatkowych ujęć wody. Do wyboru są cztery decy-

zje. Oszacowano zyski (w tys. zł) w zależności od przewidywanego zużycia wody przez klientów

(stany natury). Wyniki zawarto w poniższej tabeli.

Liczba

Stany natury

ujęć

Jedno

-50

Dwa

-10

Trzy

-15

Cztery

-10

P (s

)

0,4

0,3

P (s

) – prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu natury

Zweryfikuj poprawność poniższych stwierdzeń na podstawie wyników zadania. Tam, gdzie to

konieczne, uzasadnij odpowiedź stosownymi obliczeniami.

1. Według kryterium pesymisty, najlepszą decyzją są dwa ujęcia.

2. Według kryterium Laplacea należy wybudować dwa ujęcia.

3. Według kryterium Hurwicza (α = 0,6 dla każdej z decyzji) najlepszą decyzją jest jedno

ujęcie.

4. OKPI wynosi 54.

5. Przy zmianie prawdopodobieństw stanów natury wybór wg kryterium optymisty ulegnie

zmianie.

Za namową i z pomocą władz gminy zakład wystąpił do Ministerstwa Środowiska o przyzna-

nie dofinansowania ze środków pomocy unijnej rozbudowy sieci wodociągowej. Wynajęta firma

oszacowała prawdopodobieństwo otrzymania dotacji w zależności od spodziewanego zużycia wo-

dy przez mieszkańców. Wartości szacunków znajdują się w tabli poniżej.

Przyznanie dotacji

Tak

0,5

0,1

0,8

Nie

0,5

0,9

0,2

Jak na decyzję o uruchomieniu nowych ujęć wody wpłynie dodatkowa informacja o przyznaniu

bądź nie ministerialnej dotacji.

5. Gry dwuosobowe o sumie wypłat zero

Zadanie 1

W grze bierze udział dwóch graczy: A i B. Każdy z nich dysponuje kartami opatrzonymi cyframi

od 1 do 5. Na dany sygnał wybierają jedną kartę i kładą ją na stole. Gracz, który wyłoży kartę

o numerze wyższym o jeden zdobywa 1 punkt, wyższym o dwa – 2 punkty. Jeżeli liczba jest

wyższa, zwycięzca zdobywa 3 punkty. W pozostałych przypadkach gracze dostają po 0 punk-

tów. Zbudować macierz wypłat dla opisanej gry i sprawdzić czy ma ona rozwiązanie w zbiorze

strategii czystych. Jeżeli tak, wyznaczyć te strategie i wartość gry.

Zadanie 2

Gra toczy się pomiędzy dwoma graczami: P

i P

. Każdy z nich ma po jednej monecie 1-, 2-

i 5-złotowej. Jednocześnie wybierają po jednej monecie. Jeżeli wybrane zostały te same typy

monet gracz, P

wygrywa monetę gracza P

, natomiast gdy monety są różne to gracz P

wy-

grywa monetę gracza P

. Zbudować macierz wypłat dla opisanej gry i sprawdzić czy ma ona

rozwiązanie w zbiorze strategii czystych. Jeżeli tak, wyznaczyć te strategie i wartość gry.

Zadanie 3

Dwóch graczy A i B wybrało z talii kart trzy karty: 1, 6 i 10. Gra polega na jednoczesnym

okazaniu przez każdego z nich wybranej karty. Wygrywa starsza karta a zwycięzca zdobywa

liczbę punktów równą różnicy między nominałami kart. Wyjątkiem jest wybranie pary 10 gdyż

wówczas gracz A zdobywa 5 punktów. Zbudować macierz wypłat dla opisanej gry i sprawdzić czy

ma ona rozwiązanie w zbiorze strategii czystych. Jeżeli tak, wyznaczyć te strategie i wartość gry.

Zadanie 4

Dla podanych poniżej macierzy wypłat wyznaczyć punkt siodłowy i odpowiadające mu strategie.

(a)







−2

−2 2







(b)







−1 1

−3 2 −2







(c)













(d)

Na podst. Rogalska D. (1991), s. 243

Zadanie 5

Przeprowadzić redukcję macierzy wypłat i określić strategie optymalne dla następujących gier:

(a)























(b)



















(c)







−3

−2







(d)







−2 7

−1 2 −3 1

−1 3 −1 0







Zadanie 6

Rozwiązać poniższe gry jako zadania programowania liniowego.

(a)

−3

(b)

(c)







−1

−2

−1







(d)

6. Zarządzanie projektami

Zadanie 1

Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w ty-

godniach) zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj termin jego

zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres Gant-

ta.

Czynność

Czynności bezp.

Czas trwania

poprzedzające

Brak

D, E

F, G

1. Które czynności tworzą ścieżkę krytyczną?

2. Po ilu tygodniach zakończy się przedsięwzięcie?

3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynność A opóźni się o 2 tygodnie?

4. Podaj NWK dla czynności H.

Zadanie 2

Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w miesią-

cach) zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj oczekiwany termin

jego zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres

Gantta. Czy termin dyrektywny, wynoszący 30 miesięcy można uznać za ryzykowny?

Czynność

Czynności bezp.

Optymistyczny

Najb. prawdop.

Pesymistyczny

poprzedzające

czas trwania

Brak

F, G, H

1. Które czynności tworzą ścieżkę krytyczną?

2. Jaki jest oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia?

3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynność D opóźni się o 2 miesiące?

4. Czy termin dyrektywny, wynoszący 30 miesięcy można uznać za ryzykowny?

Zadanie 3

Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w dniach)

zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj oczekiwany termin je-

go zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres

Gantta.

6. Zarządzanie projektami

Czynność

Czynności bezp.

Optymistyczny

Najb. prawdop.

Pesymistyczny

poprzedzające

czas trwania

Brak

C, D

F, H

1. Jaki jest oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia?

2. Podaj NPK dla czynności C.

3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynność A opóźni się o 3 dni?

4. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że termin dyrektywny wyniesie 86 dni?

Zadanie 4

Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w ty-

godniach) zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj termin jego

zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres Gant-

ta.

Czynność

Czynności bezp.

Czas trwania

poprzedzające

Brak

H, I, J, K

1. Podaj termin ukończenia przedsięwzięcia.

2. Które czynności mają największą rezerwę czasu?

3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynności B i C opóźnią się o 1 tydzień każda?

4. Która czynność krytyczna wykonywana będzie w 19 tygodniu trwania przedsięwzięcia?

Zadanie 5

Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w dniach)

zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj termin jego zakończenia.

Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres Gantta.

6. Zarządzanie projektami

Czynność

Czynności bezp.

Czas trwania

poprzedzające

Brak

C, D

E, F

I, J

1. Podaj termin ukończenia przedsięwzięcia.

2. Które czynności tworzą ścieżkę krytyczną?

3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynności B i E opóźnią się o 1 dzień każda?

4. Które czynności wykonywane będą w 12 dniu trwania przedsięwzięcia?

Zadanie 6

Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w godzi-

nach) zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj oczekiwany termin

jego zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres

Gantta.

Czynność

Czynności bezp.

Optymistyczny

Najb. prawdop.

Pesymistyczny

poprzedzające

czas trwania

Brak

C, E

F, G, H

I, J

1. Jaki jest oczekiwany termin zakończenia przedsięwzięcia?

2. Które czynności tworzą ścieżkę krytyczną?

3. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że termin dyrektywny wyniesie 71 godzin?

4. Która czynność ma największą rezerwę czasu?

Zadanie 7

Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w dniach)

zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj oczekiwany termin je-

go zakończenia. Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres

Gantta.

6. Zarządzanie projektami

Czynność

Czynności bezp.

Optymistyczny

Najb. prawdop.

Pesymistyczny

poprzedzające

czas trwania

Brak

B, D

E, F

I, J

1. Jaki jest oczekiwany termin ukończenia przedsięwzięcia?

2. Czy termin dyrektywny wynoszący 21 dni może zostać uznany za harmonogram asekuranta?

3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynność K opóźni się o 3 dni?

4. Która czynność niekrytyczna wykonywana będzie w 12 dniu trwania przedsięwzięcia?

Zadanie 8

Dane jest przedsięwzięcie rozpisane na poszczególne czynności, których czas trwania (w dniach)

zawiera tabela. Wyznacz ścieżkę krytyczną tego przedsięwzięcia i podaj termin jego zakończenia.

Dla każdej czynności określ: NWP, NPP, NWK, NPK, ZC. Naszkicuj wykres Gantta.

Czynność

Czynności bezp.

Czas trwania

poprzedzające

Brak

1. Podaj czynności tworzące ścieżkę krytyczną.

2. Jaki jest termin ukończenia przedsięwzięcia?

3. Kiedy zakończy się przedsięwzięcie jeśli czynności B i D opóźnią się się o 2 dni każda?

4. Podaj NWP dla czynności E.

Zadanie 9

Dla pewnego przedsięwzięcia złożonego z czynności, których czas trwania mierzony jest w godzi-

nach zebrano dane na temat kosztów bezpośrednich (w zł). Stosowane dane znalazły się w tabeli

poniżej. Przeprowadzić analizę kosztowo-czasową oraz wskazać termin końcowy o najniższych

kosztach całkowitych. Wiadomo, że funkcja kosztów pośrednich ma postać: KP = 20t

+ 10.

6. Zarządzanie projektami

Czas trwania

Koszt

Czynność

normalny

graniczny

normalny

graniczny

g
ij

100

110

150

120

135

140

Zadanie 10

Dla pewnego przedsięwzięcia złożonego z czynności, których czas trwania mierzony jest w

godzinach zebrano dane na temat kosztów bezpośrednich (w tys. zł). Stosowane dane znala-

zły się w tabeli poniżej. Przeprowadzić analizę kosztowo-czasową oraz wskazać termin końco-

wy o najniższych kosztach całkowitych. Wiadomo, że funkcja kosztów pośrednich ma postać:

KP = 15t

+ 50.

Na podst. Miszczyńska D., Miszczyński M. (2002), s. 153

Czas trwania

Koszt

Czynność

normalny

graniczny

normalny

graniczny

g
ij

100

130

Zadanie 11

Dla pewnego przedsięwzięcia złożonego z czynności, których czas trwania mierzony jest w dniach

zebrano dane na temat kosztów bezpośrednich (w tys. zł). Stosowane dane znalazły się w tabeli

poniżej. Przeprowadzić analizę kosztowo-czasową oraz wskazać termin końcowy o najniższych

kosztach całkowitych. Wiadomo, że funkcja kosztów pośrednich ma postać: KP = 2t

+ 10.

Czas trwania

Koszt

Czynność

normalny

graniczny

normalny

graniczny

g
ij

6. Zarządzanie projektami

Zadanie 12

Na podstawie dokonanych przez ekspertów nowych ocen czasów trwania oraz kosztów dla czyn-

ności zmodyfikowano dane dotyczące przedsięwzięcia z zadania poprzedniego. Zmienione da-

ne znalazły się w tabeli poniżej. Graf powiązań pozostaje bez zmian. Przeprowadzić analizę

kosztowo-czasową oraz wskazać termin końcowy o najniższych kosztach całkowitych. Wiadomo,

że nowa funkcja kosztów pośrednich ma postać: KP = 3t

+ 10.

Czas trwania

Koszt

Czynność

normalny

graniczny

normalny

graniczny

g
ij

Odpowiedzi do zadań

Programowanie liniowe

Zadanie 1

= 0, H

= 10000, f

max

= 30000

Zadanie 2

= 600, R

= 800, f

min

= 15400

Zadanie 3

= 160, W

= 80, f

max

= 32000

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 4

= 5, X

= 0, f

min

= 10

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 5

= 10, X

= 5, f

min

= 5500

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 6

= 1100, X

= 1750, X

= 3400,

max

= 23800

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 7

R = 0, B = 2,8, D = 2,4, f

min

= 19,6

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 8

= 8, H

= 0, H

= 11,5, f

max

= 5450

Odpowiedzi do zadań

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 9

= 20, Z

= 10, Z

= 10, f

min

= 40

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 10

T V 32 = 1000, T V 36 = 500, T V 42 = 3500,

max

= 2200000

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 11

= 0, CZ

= 5, CZ

= 25, CZ

= 15,

min

= 3400

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 12

= 0, A

= 4000, f

max

= 12000

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 13

= 0, X

= 800, X

= 500, f

max

= 16500

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 14

= 30, P

= 300, f

max

= 393000

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 15

= 60, D

= 490, D

= 450, f

min

= 176700

Pytanie

Odpowiedź

Zadanie 16

= 50, L

= 100, L

= 0, f

max

= 650

Pytanie

Odpowiedź

Programowanie liniowe w liczbach całkowitych

Zadanie 1

= 0, x

= 13, x

= 25, x

= 7, f

min

= 3220

Zadanie 2

= 0, N

= 1428, f

max

= 42840

Zadanie 3

= 53, P

= 250, f

max

= 358300

Zadanie 4

= 133, T

= 34, T

= 0, f

min

= 8520

Zadanie 5

= 232, K

= 696, f

max

= 5336

Zadanie transportowe

Zadanie 1

Zadanie zamknięte, K

min

= 332, jedyne rozwiązanie, 3 iteracje.

opt















Zadanie 2

Zadanie otwarte, K

min

= 1100, istnieją jeszcze dwa inne rozwiązania, 3 iteracje.

opt








150








Zadanie 3

Zadanie otwarte, K

min

= 825, jedyne rozwiązanie, 3 iteracje.

opt















Odpowiedzi do zadań

Zadanie 4

Zadanie otwarte, K

min

= 2037, jedyne rozwiązanie, 4 iteracje.

opt























Zadanie 5

Zadanie zamknięte, K

min

= 187,3, istnieje jeszcze jedno rozwiązanie, 3 iteracje.

opt















Zadanie 6

Zadanie otwarte, K

min

= 302,1, jedyne rozwiązanie, 3 iteracje.

opt









Zadanie 7

Zadanie zamknięte, K

min

= 270, jedyne rozwiązanie, 3 iteracje.

opt















Zadanie 8

Zadanie zamknięte, K

min

= 5150, istnieją jeszcze dwa rozwiązania, 3 iteracje.

opt





120

130





Zadanie 9

Zadanie zamknięte, K

min

= 127, istnieją jeszcze dwa rozwiązania, 4 iteracje.

opt















Gry dwuosobowe o sumie wypłat zero

Zadanie 1

A =















−1 −2 −3 −3

−1 −2 −3

−1 −2

−1















∗

v = 0

Zadanie 2

A =








−1 −1

−2

−5 −5








brak punktu siodłowego, v ∈< −1, 1 >

Zadanie 3

A =








−5 −9

−4








∗

v = 4

Zadanie 4

∗

v = 1, x

∗

v = 2

∗

v = 2, x

∗

v = 3

Zadanie 5

A =









∗

v = 13

A =

∗

v = 4

Zadanie 6

Rozwiązania zadań PL. Należy je przeliczyć na wynik gry.

(a)

opt
1

= 0,3333

opt

= 0

opt

= 0,3333

opt
2

= 0,1667

opt

= 0

opt

= 0,1667

min

= g

max

= 0,5

Odpowiedzi do zadań

(b)

opt
1

= 1

opt

= 1

opt

= 0

opt
2

= 1

opt

= 1

min

= g

max

= 2

(c)

opt
1

= 0

opt

= 0

opt
2

= 0,25

opt

= 0,3333

opt
3

= 0,25

opt

= 0,1667

min

= g

max

= 0,5

(d )

opt
1

= 0,02

opt

= 0,02

opt

= 0

opt
2

= 0,02

opt

= 0,02

min

= g

max

= 0,04

Literatura

— Ekonometria i badania operacyjne (2009), red. Gruszczyński M., Kuszewski T., Podgórska

M., PWN, Warszawa

— Kukuła K. (red.) (2008), Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa

— Miszczyńska D., Miszczyński M. (2002) Wybrane metody badań operacyjnych, Wydawnictwo

WSEH w Skierniewicach, Skierniewice

— Rogalska D. (1991) Programowanie liniowe. Algorytmy i zadania, Wydawnictwo UŁ, Łódź

Document Outline

Programowanie liniowe
Programowanie liniowe w liczbach caªkowitych
Zadanie transportowe
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewno±ci i ryzyka
Gry dwuosobowe o sumie wypªat zero
Zarz¡dzanie projektami
Odpowiedzi do zada«

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
badanie pomp skrypt
badania operacyjne, badania operacyjne - skrypt z PUTINF, Sieci neuronowe
09 Badania obserwacyjne I i II zadania 17, Medycyna Weterynaryjna, II Rok, EPIDEMIOLOGIA
badanie aktywow jednostki zadania
Laboratorium TWN - Cw01 - Badanie odgromnikow - Skrypt , Studia dzienne - semestr IV
Badania Operacyjne II - zadania na kolokwium, Badnia Operacyjne II
09 Badania obserwacyjne I i II zadania 17, Względne mierniki współzależności w badaniach obserwacyjn
07 Badania przegladowe I i II zadania 15, Testy diagnostyczne
badanie oper odw, Politechnika Poznańska, Mechatronika, Semestr 04, Elektrotechnika analogowa i cyfr
07 Badania przegladowe I i II zadania 15, Medycyna Weterynaryjna, II Rok, EPIDEMIOLOGIA
badania operacyjne skrypt kaczyński
eb1 zadania ze skryptu
Badania operacyjne, zadanie id Nieznany (2)
Zadanie370, Informatyka i Ekonometria 2 rok, badania operacyjne, sciagniete z internetu
[C] Badania Operacyjne Zadania (2009 03 01)
Zadanie 4, Nauka, Doktorat II rok, Metody ilościowe w badaniach naukowych
BO zadania rozne zestaw1, ZiIP Politechnika Poznańska, Badania Operacyjne

więcej podobnych podstron

Badania oper skrypt zadania

Document Outline