Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 7

7. Praca i energia

7.1 Wstęp

Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest określenie ruchu punktu, jeżeli znana

jest siła działająca na ten punkt. W pierwszym kroku wyznaczamy przyspieszenie

a = F/m

Gdy m i F stałe to a też jest stałe i wtedy możemy prosto obliczyć prędkość

v

=

v

0

+ at

i położenie

x =

v

0

t + at

2

/2

Zagadnienie jest bardziej złożone gdy F nie jest stała. Trzeba posługiwać się bardziej
skomplikowaną matematyką (całkowanie). Mamy często do czynienia z takimi siłami
np. siła grawitacji między dwoma ciałami zależy od ich odległości, siła wywierana
przez rozciągniętą sprężynę zależy od stopnia rozciągnięcia.
Postępowanie pozwalające określić ruch punktu prowadzi nas do pojęcia pracy, energii
i twierdzenia o pracy i energii. Zagadnienia związane z energią są tak istotne (szeroko
rozumiana ekonomia, ekologia, zasoby energii itd.), że ich znajomość jest konieczna dla
wszelkich rozważań zarówno ekonomicznych, technologicznych jak i społecznych. Pro-
blemy energii (jej różne formy ich konwersja itd.) będą odtąd przewijać się stale przez
wykłady. Z energią związana jest najważniejsza chyba zasada całej fizyki -

zasada za-

chowania energii

. Nakłada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzy-

stanie. Będzie ona centralnym tematem większości działów fizyki omawianych na
wykładach. W mechanice zasada zachowania energii pozwala obliczać w bardzo prosty
sposób ruch ciał bez konieczności korzystania z zasad dynamiki Newtona.

7.2 Praca wykonana przez stałą siłę

W najprostszym przypadku, siła F jest stała, a punkt porusza się w kierunku działa-

nia siły. Wtedy

W = F·s = Fs cos

α

(7.1)

(Iloczyn dwóch wektorów daje liczbę).
Zastanówmy się czy kąt

α może być różny od zera? Odpowiedź jest twierdząca, bo sta-

ła siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego.
Oczywiście muszą działać jeszcze inne siły (np. ciężar, tarcie). Gdyby działała tylko
jedna to i tak ciało nie musiałoby poruszać się w kierunku jej działania np. rzut ukośny
(tylko grawitacja).
Wzór Fs cos

α określa jedynie pracę wykonaną przy przemieszczaniu punktu przez jed-

ną siłę. Pracę wykonaną przez inne należy obliczyć oddzielnie i potem je zsumować.

7-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Zwróćmy uwagę, że gdy

α = 0 otrzymujemy pierwszy wzór Fs. Gdy α = 90° to z rów-

nania wynika, że W = 0.

Przykłady

(a) i (b) W = 0 bo

α = 90°, (c) i (d) bo przesunięcie s = 0.

Jednostką pracy jest w układzie SI dżul (J), 1J = 1N·1m.

Q

R

F

v=const

Q

N

Q

R

1

R

2

a)

b)

c)

d)

Często używa się jednostki elektronowolt 1eV = 1.6·10

-19

J.

Przykład 2

Sanki o masie 5 kg są ciągnięte ze stałą prędkością po poziomej powierzchni (rysunek).
Jaka praca zostanie wykonana na drodze s = 9 m, jeśli współczynnik tarcia kinetyczne-
go wynosi 0.2, a sznurek, za który ciągniemy tworzy kąt 45

° z poziomem?

mg

F

T

R

α

Pracę obliczamy z zależności:

W = Fs cos

α

Aby obliczyć pracę musimy znaleźć F. Z warunku stałej prędkości (w kierunku pozio-
mym)

Fcos

α - T = 0

a dla kierunku pionowego

Fsin

α +R - mg = 0

Nacisk na podłoże (równy reakcji podłoża) wynosi mg - Fsin

α, więc siła tarcia wynosi

7-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

T =

µ (mg - Fsinα)

Te równania pozwalają wyliczyć F (eliminując T).

F =

µmg/(cosα+µsinα)

więc praca

W = Fs cos

α = µmgs cosα/(cosα+µsinα)

7.3 Praca wykonana przez siłę zmienną

Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia F(x), której kierunek jest zgodny

z osią x. Szukamy pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia x

1

do

położenia x

2

. Jak skorzystać ze wzoru W = Fs cos

α czyli co podstawić za F, skoro war-

tość jej zmienia się (rysunki poniżej)?

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

25

30

35

40

45

50

F (

x)

X

Zaczynamy od przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie na n jednakowych
odcinków

∆x (rysunek poniżej). Wewnątrz takiego przedziału przyjmujemy (to jest to

przybliżenie), że siła jest stała (prawie) i możemy teraz policzyć pracę na tym odcinku
∆x: ∆W

i

= F

i

∆x, gdzie F

i

jest wartością siły na tym odcinku. Zwróćmy uwagę, że od

strony czysto formalnej (geometria) liczenie pracy jest równoważne liczeniu sumy po-
wierzchni prostokątów o szerokości

∆x i wysokości F

i

. Następnie możemy zsumować

prace na kolejnych odcinkach (zsumować pola prostokątów) i otrzymać pracę całkowi-
tą.

∑

=

∆

=

n

i

i

x

F

W

1

Żeby poprawić to przybliżenie dzielimy przedział (x

1

, x

2

) na więcej (mniejszych) odcin-

ków

∆x (patrz kolejny rysunek).

7-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

30

40

50

F (

x)

X

I teraz znowu powtarzamy procedurę sumowania. Przybliżenie jest lepsze bo siła ma

prawie stałą wartość wewnątrz "małych" przedziałów

∆x (pola powierzchni prostoką-

tów bardziej pokrywają się z polem pod krzywą).

Widać, że rozwiązaniem problemu jest przejście (w granicy)

∆x → 0.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

F (

x)

X

Stosujemy tę samą procedurę obliczając

∑

∫

=

∆

=

→

∆

2

1

2

1

d

lim

0

x

x

x

x

x

x

F

x

F

W

(7.2)

To jest definicja całki. Liczbowo odpowiada to liczeniu pola powierzchni pod krzywą
(w zadanym przedziale - granicach). Odpowiada to też z definicji liczeniu wartości
średniej co zgadza się z intuicyjnym podejściem: W = F

średnia

(x

2

– x

1

)

Trzeba więc albo umieć rozwiązać całkę (albo poszukać w tablicach) lub umieć obli-
czyć pole powierzchni pod krzywą co może być czasem łatwe.
Np. rozważmy sprężynę zamocowaną jednym końcem do ściany i rozciąganą siłą F tak,
że jej koniec przemieszcza się o x.

7-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

F

Siła wywierana przez sprężynę jest siłą przywracającą równowagę i wynosi F = -k x.
Aby rozciągnąć sprężynę musimy przyłożyć siłę równą co do wartości lecz przeciwnie
skierowaną. Tak więc F = k x.
Teraz obliczmy pracę

∫

∫

=

=

=

=

x

x

x

kx

kx

x

kx

x

F

W

0

0

2

0

2

2

2

d

)

(

d

Możemy też wprost obliczyć pole pod wykresem F(x).

F(x)

x

F=kx

kx

x

Pole powierzchni jest polem trójkąta i wynosi

P = (1/2) x·kx = (1/2) kx

2

i zgadza się z wynikiem uzyskanym z obliczenia całki.
To był przypadek jednowymiarowy. Przypadek 2 i 3-wymiarowy są w zasadzie swej
rozpatrywane podobnie ale matematycznie trudniejsze.

7.4 Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii

W przykładzie z sankami mieliśmy do czynienia z ruchem bez przyspieszenia.

Oznaczało to, że wypadkowa siła działająca na ciało wynosi zero. Teraz rozważmy
przypadek gdy ciało porusza się pod wpływem niezrównoważonej siły. Najprostszy
przypadek to stała siła czyli ruch ze stałym przyspieszeniem. Jaką pracę wykonuje ta
siła przy przemieszczeniu ciała na odległość x?
Zakładamy, że kierunek siły F i przyspieszenia a pokrywa się z kierunkiem osi x. Dla
stałego przyspieszenia mamy

7-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

2

2

0

at

t

x

+

= v

oraz

t

a

at

0

0

v

v

v

v

−

=

⇒

+

=

co w połączeniu daje

t

x

2

0

v

v +

=

Wykonana praca jest równa

2

2

2

2

0

2

0

0

v

v

v

v

v

v

m

m

t

t

m

x

ma

Fx

W

−

=











 +











 −

=

=

=

(7.3)

Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy

energią kinetyczną

.

Praca wykonana przez wypadkową siłę F działającą na punkt materialny jest równa
zmianie energii kinetycznej tego punktu

.

W = E

k

– E

k0

(7.4)

To jest twierdzenie o pracy i energii

.

Gdy nie ma zmiany wartości prędkości to nie ma zmiany energii kinetycznej tzn. nie
jest wykonywana praca (np. siła dośrodkowa). Z twierdzenia powyższego wynika, że
jednostki pracy i energii są takie same.

7.5 Moc

Rozważmy czas w jakim wykonywana jest praca. Często interesuje nas

szybkość

wykonania pracy

a nie jej wartość. To jest właśnie

moc

.

Moc średnia: P

średnia

= W/t

Moc chwilowa:

P = dW/dt

Oczywiście gdy moc jest stała w czasie to P

średnia

= P.

Jednostką mocy jest wat. 1W = 1J/1s.
Dla celów praktycznych używa się kW (kilowatów) lub KM (koni mechanicznych przy
czym 1 KM

≈ (3/4) kW.

7-6