Hydrologia, rok III, wykład 8
1/14
Infiltracja
• Jest to proces wsiąkania wody przez powierzchnię terenu do gruntu.
• Czynniki determinujące infiltrację:
– porowatość gruntu,
– przewodność hydrauliczna,
– aktualna zawartość wody w gruncie
(stopień uwilgotnienia gruntu).
θ
(h)
front
uwilgotnienia
strefa
uwilgotnienia
g
ł
ę
b
o
k
o
ś
ć
strefa
przewodzenia
strefa nasycenia
zawarto
ść
wilgoci
θ
0
Strefy wilgotno
ś
ci w czasie infiltracji
Hydrologia, rok III, wykład 8
2/14
• NatęŜenie infiltracji – ilość wody, która wnika do gruntu przez jego
powierzchnię (np. wyraŜona w [mm/h]).
• Potencjalne natęŜenie infiltracji – natęŜenie w warunkach pełnego
nasycenia.
• aktualne natęŜenie infiltracji
≤
potencjalne natęŜenie infiltracji
• Infiltracja skumulowana (sumowa) – ilość wody, która infiltruje w
określonym przedziale czasu, tzn. od przyjętego umownie momentu
t = 0 do chwili t 〈0, t〉:
• Z powyŜszej definicji wynika zaleŜność:
τ
τ
d
f
t
F
t
∫
=
0
)
(
)
(
F
–
infiltracja skumulowana,
f
–
nat
ęŜ
enie infiltracji,
τ
–
zmienna całkowania.
dt
t
dF
t
f
)
(
)
(
=
Hydrologia, rok III, wykład 8
3/14
Równania opisujące proces infiltracji
• Równanie Hortona (1933)
– Horton zauwaŜył, Ŝe natęŜenie infiltracji zmienia się w czasie
wykładniczo; rozpoczyna się od pewnej wartości f
0
i zmniejsza się do
stałej wartości f
c
:
( )
(
)
t
k
c
c
e
f
f
f
t
f
−
⋅
−
+
=
0
k
– stała zanikania
f
c
– maksymalna infiltracja w stanie nasycenia
(zale
Ŝ
y od rodzaju gruntu:
gliny – 1
÷
3 mm/h, piaski – 7
÷
11 mm/h),
f
0
– infiltracja pocz
ą
tkowa
(zale
Ŝ
y od rodzaju gruntu i jego wilgotno
ś
ci)
Hydrologia, rok III, wykład 8
4/14
– ZaleŜność tę moŜna interpretować jako rozwiązanie równania Richardsa
przy D = const i K = const:
– Równanie Hortona reprezentuje strumień masy wody wnikający w
procesie dyfuzji przez powierzchnię:
2
2
z
D
t
∂
∂
=
∂
∂
θ
θ
z
D
t
f
∂
∂
−
=
θ
)
(
f
f
t
k
k
k > k
θ θ
<
θ
θ
1
1
2
2
2
2
3
3
0
c
f
f
0
c
f
F(t)
f(t)
t
0
c
c
f(t) = f + (f - f )e =
dF
dt
-k t
.
Zale
Ŝ
no
ść
infiltracji
od parametru
k
Nat
ęŜ
enie infiltracji
i infiltracja skumulowana
Hydrologia, rok III, wykład 8
5/14
• Równanie Phillipa (1969)
– Przyjmując parametry równania Richardsa K oraz D zmienne, Phillip
rozwiązał je, stosując transformację Boltzmana. Otrzymał równanie
skumulowanej infiltracji F(t) w postaci nieskończonego szeregu, które
moŜna zaaproksymować wyraŜeniem:
– NatęŜenie infiltracji jest równe:
– Przy t
→ ∞
, f (t)
→
K, czyli infiltracja przyjmuje wartość stałą.
( )
t
K
t
S
t
F
⋅
+
⋅
=
2
/
1
S
– tzw. sorpcyjno
ść
gruntu (
S = f (
ψ
)
),
K
– wsp. przewodno
ś
ci hydraulicznej
K
t
S
dt
dF
t
f
+
⋅
⋅
=
=
−
2
/
1
2
1
)
(
Hydrologia, rok III, wykład 8
6/14
• Równanie Greena-Ampta
– ZałoŜenie: uproszczony obraz procesu infiltracji
pow.
gruntu
strefa nawil
Ŝ
ona
o przewodno
ś
ci K
front
uwilgotnienia
zawarto
ść
wilgoci
w gruncie
θ
h
0
L
z
n
e
r
i
θ
∆θ
θ
Q
n
– porowato
ść
gruntu
(
θ
=
n
gdy
s
= 1)
θ
r
– stała retencja gruntu,
θ
i
– pocz
ą
tkowa zawarto
ść
wilgoci,
Q
e
– porowato
ść
efektywna
Hydrologia, rok III, wykład 8
7/14
– Bilans masy:
• Do gruntu o początkowej wilgotności
θ
i
infiltruje przez powierzchnię
woda. Po przejściu frontu uwilgotnienia grunt jest nasycony, a jego
wilgotność jest równa
θ
= n.
• Całkowita ilość wody w warstwie gruntu o grubości L pomniejszona o jej
ilość w chwili początkowej wynosi:
• Jest ona równa skumulowanej infiltracji F(t):
– Równanie dynamiczne (prawo Darcy) ma postać:
– co oznacza, Ŝe prędkość filtracji w kierunku z równa jest natęŜeniu infiltracji f.
(
)
i
w
n
L
V
θ
−
⋅
=
( )
(
)
θ
θ
∆
⋅
=
−
⋅
=
L
n
L
t
F
i
f
z
h
K
w
=
∂
∂
−
=
i
n
θ
θ
−
=
∆
Hydrologia, rok III, wykład 8
8/14
– Rozpatrując przekroje na powierzchni gruntu i na czole rozkładu
uwilgotnienia moŜna napisać:
– Po podstawieniu otrzymuje się:
– PoniewaŜ L = F(t)/
∆
θ
, to
– Z definicji infiltracji skumulowanej wynika:
1
2
2
1
z
h
z
h
K
f
−
−
=
z
1
= 0
i
h
1
= h
0
≈
0
z
2
= L
i
h
2
= –L –
ψ
+
⋅
≈
−
−
−
=
L
L
K
L
L
h
K
f
ψ
ψ
)
(
0
+
∆
⋅
=
+
∆
⋅
=
1
)
(t
F
K
F
F
K
f
θ
ψ
θ
ψ
+
∆
⋅
=
=
1
F
K
dt
dF
f
θ
ψ
Hydrologia, rok III, wykład 8
9/14
– Funkcję F(t) moŜna wyznaczyć przez scałkowanie powyŜszego
równania:
– Po obliczeniu całek otrzymujemy:
– Jest to równanie Greena-Ampta definiujące infiltrację skumulowaną.
Równanie to jest nieliniowe – F(t) wyznacza się, rozwiązując je metodą
iteracji prostej lub metodą Newtona.
dt
K
dF
F
F
⋅
=
⋅
∆
+
θ
ψ
dt
K
dF
F
F
F
⋅
=
⋅
∆
⋅
+
∆
⋅
−
∆
⋅
+
∆
⋅
+
θ
ψ
θ
ψ
θ
ψ
θ
ψ
dt
K
dF
F
t
t
F
⋅
=
⋅
∆
⋅
+
∆
⋅
−
∫
∫
0
)
(
0
1
θ
ψ
θ
ψ
t
K
t
F
t
F
⋅
=
∆
⋅
−
∆
⋅
+
∆
⋅
−
))
ln(
)
)
(
(ln(
)
(
θ
ψ
θ
ψ
θ
ψ
t
K
t
F
t
F
⋅
+
∆
⋅
+
⋅
∆
⋅
=
θ
ψ
θ
ψ
)
(
1
ln
)
(
lub
Hydrologia, rok III, wykład 8
10/14
– NatęŜenie infiltracji obliczamy z równania wyjściowego, wykorzystując
wyliczoną wartość F(t):
– Równanie Greena-Ampta wymaga znajomości następujących
parametrów:
• współczynnika filtracji K,
• porowatości gruntu n,
• potencjału wilgotności
ψ
.
+
∆
⋅
⋅
=
1
)
(
)
(
t
F
K
t
f
θ
ψ
Hydrologia, rok III, wykład 8
11/14
– Stopień nasycenia gruntu o wilgotności
θ
i
:
– PoniewaŜ
jest porowatością efektywną, zaś n –
θ
i
=
∆
θ
, to
– Z kolei zaleŜność s = f (
ψ
) definiuje równanie Brooksa-Corey’a:
– Parametry: n,
θ
e
,
ψ
, K do wzoru G – A dla róŜnych rodzajów gruntu
moŜna znaleźć w tablicach.
λ
ψ
ψ
=
b
s
Parametry wyznaczane empirycznie:
λ
- zale
Ŝ
y od rozkładu uziarnienia gruntu
ψ
b
- zale
Ŝ
y od rozmiaru porów
r
r
i
n
s
θ
θ
θ
−
−
=
0
≤
s
≤
1 – stopie
ń
nasycenia gruntu wod
ą
,
n
– porowato
ść
gruntu,
θ
r
– retencja stała gruntu.
e
r
n
θ
θ
=
−
(
)
e
s
θ
θ
⋅
−
=
∆
1
Hydrologia, rok III, wykład 8
12/14
• Równania Hortona, Phillipa oraz Greena-Ampta opisują filtrację w
warunkach nasycenia warstwy powierzchniowej gruntu (opad jest
większy od infiltracji).
• W rzeczywistości nasycenie warstwy powierzchniowej następuje po
pewnym czasie od momentu rozpoczęcia opadu. Czas ten nazywany
jest czasem nasycenia t
p
.
z
t > t
t = t
t < t
p
p
p
n
powierzchnia
gruntu
θ
• Czas nasycenia moŜna określić
zakładając, Ŝe:
–
opad zaczyna się nagle i trwa bez
zmian,
– zanim nastąpi nasycenie, cały opad
infiltruje do gruntu,
– natęŜenie infiltracji potencjalnej jest
funkcją infiltracji skumulowanej,
– nasycenie następuje, gdy natęŜenie
infiltracji potencjalnej f jest mniejsze
lub równe natęŜeniu opadu.
Profile uwilgotnienia gruntu przed,
w trakcie i po nasyceniu
Hydrologia, rok III, wykład 8
13/14
• Zgodnie z równaniem Greena-Ampta f = f(F):
• Infiltracja skumulowana w chwili
t
=
tp
jest równa:
• zaś natęŜenie infiltracji jest równe natęŜeniu opadu:
• Po podstawieniu do równania G – A mamy:
+
∆
⋅
=
1
F
K
f
θ
ψ
K
−
współczynnik filtracji,
ψ
−
potencjał wilgotno
ś
ciowy,
∆
θ
−
ró
Ŝ
nica wilgotno
ś
ci pocz
ą
tkowej i maksymalnej.
I
– nat
ęŜ
enie opadu,
t
p
– czas nasycenia,
F
p
– infiltracja skumulowana
+
⋅
∆
⋅
⋅
=
1
p
t
I
K
I
θ
ψ
)
(
K
I
I
K
t
p
−
⋅
∆
⋅
⋅
=
θ
ψ
I
f
=
p
p
t
I
F
⋅
=
sk
ą
d otrzymujemy:
Hydrologia, rok III, wykład 8
14/14
opad
infiltracja
rzeczywista
infiltracja
skumulowana
suma opadu: I dt = I t
t
t
t
p
F
I
infiltracja
potencjalna
f
F = I t
p
p
.
.
.
∫
0
t