Hydrologia, rok III, wykład 8

1/14

Infiltracja

• Jest to proces wsiąkania wody przez powierzchnię terenu do gruntu.

• Czynniki determinujące infiltrację:

– porowatość gruntu,
– przewodność hydrauliczna,
– aktualna zawartość wody w gruncie

(stopień uwilgotnienia gruntu).

θ

(h)

front
uwilgotnienia

strefa

uwilgotnienia

g

ł

ę

b

o

k

o

ś

ć

strefa

przewodzenia

strefa nasycenia

zawarto

ść

wilgoci

θ

0

Strefy wilgotno

ś

ci w czasie infiltracji

Hydrologia, rok III, wykład 8

2/14

• Natężenie infiltracji – ilość wody, która wnika do gruntu przez jego

powierzchnię (np. wyrażona w [mm/h]).

• Potencjalne natężenie infiltracji – natężenie w warunkach pełnego

nasycenia.

• aktualne natężenie infiltracji

≤

potencjalne natężenie infiltracji

• Infiltracja skumulowana (sumowa) – ilość wody, która infiltruje w

określonym przedziale czasu, tzn. od przyjętego umownie momentu
t = 0 do chwili t 〈0, t〉:

• Z powyższej definicji wynika zależność:

τ

τ

d

f

t

F

t

∫

=

0

)

(

)

(

F

–

infiltracja skumulowana,

f

–

nat

ęż

enie infiltracji,

τ

–

zmienna całkowania.

dt

t

dF

t

f

)

(

)

(

=

Hydrologia, rok III, wykład 8

3/14

Równania opisujące proces infiltracji

• Równanie Hortona (1933)

– Horton zauważył, że natężenie infiltracji zmienia się w czasie

wykładniczo; rozpoczyna się od pewnej wartości f

0

i zmniejsza się do

stałej wartości f

c

:

( )

(

)

t

k

c

c

e

f

f

f

t

f

−

⋅

−

+

=

0

k

– stała zanikania

f

c

– maksymalna infiltracja w stanie nasycenia

(zale

ż

y od rodzaju gruntu:

gliny – 1

÷

3 mm/h, piaski – 7

÷

11 mm/h),

f

0

– infiltracja pocz

ą

tkowa

(zale

ż

y od rodzaju gruntu i jego wilgotno

ś

ci)

Hydrologia, rok III, wykład 8

4/14

– Zależność tę można interpretować jako rozwiązanie równania Richardsa

przy D = const i K = const:

– Równanie Hortona reprezentuje strumień masy wody wnikający w

procesie dyfuzji przez powierzchnię:

2

2

z

D

t

∂

∂

=

∂

∂

θ

θ

z

D

t

f

∂

∂

−

=

θ

)

(

f

f

t

k

k

k > k

θ θ

<

θ

θ

1

1

2

2

2

2

3

3

0

c

f

f

0

c

f

F(t)

f(t)

t

0

c

c

f(t) = f + (f - f )e =

dF
dt

-k t

.

Zale

ż

no

ść

infiltracji

od parametru

k

Nat

ęż

enie infiltracji

i infiltracja skumulowana

Hydrologia, rok III, wykład 8

5/14

• Równanie Phillipa (1969)

– Przyjmując parametry równania Richardsa K oraz D zmienne, Phillip

rozwiązał je, stosując transformację Boltzmana. Otrzymał równanie
skumulowanej infiltracji F(t) w postaci nieskończonego szeregu, które
można zaaproksymować wyrażeniem:

– Natężenie infiltracji jest równe:

– Przy t

→ ∞

, f (t)

→

K, czyli infiltracja przyjmuje wartość stałą.

( )

t

K

t

S

t

F

⋅

+

⋅

=

2

/

1

S

– tzw. sorpcyjno

ść

gruntu (

S = f (

ψ

)

),

K

– wsp. przewodno

ś

ci hydraulicznej

K

t

S

dt

dF

t

f

+

⋅

⋅

=

=

−

2

/

1

2

1

)

(

Hydrologia, rok III, wykład 8

6/14

• Równanie Greena-Ampta

– Założenie: uproszczony obraz procesu infiltracji

pow.
gruntu

strefa nawil

ż

ona

o przewodno

ś

ci K

front
uwilgotnienia

zawarto

ść

wilgoci
w gruncie

θ

h

0

L

z

n

e

r

i

θ

∆θ

θ

Q

n

– porowato

ść

gruntu

(

θ

=

n

gdy

s

= 1)

θ

r

– stała retencja gruntu,

θ

i

– pocz

ą

tkowa zawarto

ść

wilgoci,

Q

e

– porowato

ść

efektywna

Hydrologia, rok III, wykład 8

7/14

– Bilans masy:

• Do gruntu o początkowej wilgotności

θ

i

infiltruje przez powierzchnię

woda. Po przejściu frontu uwilgotnienia grunt jest nasycony, a jego
wilgotność jest równa

θ

= n.

• Całkowita ilość wody w warstwie gruntu o grubości L pomniejszona o jej

ilość w chwili początkowej wynosi:

• Jest ona równa skumulowanej infiltracji F(t):

– Równanie dynamiczne (prawo Darcy) ma postać:

– co oznacza, że prędkość filtracji w kierunku z równa jest natężeniu infiltracji f.

(

)

i

w

n

L

V

θ

−

⋅

=

( )

(

)

θ

θ

∆

⋅

=

−

⋅

=

L

n

L

t

F

i

f

z

h

K

w

=

∂

∂

−

=

i

n

θ

θ

−

=

∆

Hydrologia, rok III, wykład 8

8/14

– Rozpatrując przekroje na powierzchni gruntu i na czole rozkładu

uwilgotnienia można napisać:

– Po podstawieniu otrzymuje się:

– Ponieważ L = F(t)/

∆

θ

, to

– Z definicji infiltracji skumulowanej wynika:

1

2

2

1

z

h

z

h

K

f

−

−

=

z

1

= 0

i

h

1

= h

0

≈

0

z

2

= L

i

h

2

= –L –

ψ













+

⋅

≈

−

−

−

=

L

L

K

L

L

h

K

f

ψ

ψ

)

(

0













+

∆

⋅

=













+

∆

⋅

=

1

)

(t

F

K

F

F

K

f

θ

ψ

θ

ψ













+

∆

⋅

=

=

1

F

K

dt

dF

f

θ

ψ

Hydrologia, rok III, wykład 8

9/14

– Funkcję F(t) można wyznaczyć przez scałkowanie powyższego

równania:

– Po obliczeniu całek otrzymujemy:

– Jest to równanie Greena-Ampta definiujące infiltrację skumulowaną.

Równanie to jest nieliniowe – F(t) wyznacza się, rozwiązując je metodą
iteracji prostej lub metodą Newtona.

dt

K

dF

F

F

⋅

=

⋅

∆

+

θ

ψ

dt

K

dF

F

F

F

⋅

=

⋅













∆

⋅

+

∆

⋅

−

∆

⋅

+

∆

⋅

+

θ

ψ

θ

ψ

θ

ψ

θ

ψ

dt

K

dF

F

t

t

F

⋅

=

⋅













∆

⋅

+

∆

⋅

−

∫

∫

0

)

(

0

1

θ

ψ

θ

ψ

t

K

t

F

t

F

⋅

=

∆

⋅

−

∆

⋅

+

∆

⋅

−

))

ln(

)

)

(

(ln(

)

(

θ

ψ

θ

ψ

θ

ψ

t

K

t

F

t

F

⋅

+













∆

⋅

+

⋅

∆

⋅

=

θ

ψ

θ

ψ

)

(

1

ln

)

(

lub

Hydrologia, rok III, wykład 8

10/14

– Natężenie infiltracji obliczamy z równania wyjściowego, wykorzystując

wyliczoną wartość F(t):

– Równanie Greena-Ampta wymaga znajomości następujących

parametrów:

• współczynnika filtracji K,
• porowatości gruntu n,
• potencjału wilgotności

ψ

.













+

∆

⋅

⋅

=

1

)

(

)

(

t

F

K

t

f

θ

ψ

Hydrologia, rok III, wykład 8

11/14

– Stopień nasycenia gruntu o wilgotności

θ

i

:

– Ponieważ

jest porowatością efektywną, zaś n –

θ

i

=

∆

θ

, to

– Z kolei zależność s = f (

ψ

) definiuje równanie Brooksa-Corey’a:

– Parametry: n,

θ

e

,

ψ

, K do wzoru G – A dla różnych rodzajów gruntu

można znaleźć w tablicach.

λ

ψ

ψ













=

b

s

Parametry wyznaczane empirycznie:

λ

- zale

ż

y od rozkładu uziarnienia gruntu

ψ

b

- zale

ż

y od rozmiaru porów

r

r

i

n

s

θ

θ

θ

−

−

=

0

≤

s

≤

1 – stopie

ń

nasycenia gruntu wod

ą

,

n

– porowato

ść

gruntu,

θ

r

– retencja stała gruntu.

e

r

n

θ

θ

=

−

(

)

e

s

θ

θ

⋅

−

=

∆

1

Hydrologia, rok III, wykład 8

12/14

• Równania Hortona, Phillipa oraz Greena-Ampta opisują filtrację w

warunkach nasycenia warstwy powierzchniowej gruntu (opad jest
większy od infiltracji).

• W rzeczywistości nasycenie warstwy powierzchniowej następuje po

pewnym czasie od momentu rozpoczęcia opadu. Czas ten nazywany
jest czasem nasycenia t

p

.

z

t > t

t = t

t < t

p

p

p

n

powierzchnia
gruntu

θ

• Czas nasycenia można określić

zakładając, że:

–

opad zaczyna się nagle i trwa bez

zmian,

– zanim nastąpi nasycenie, cały opad

infiltruje do gruntu,

– natężenie infiltracji potencjalnej jest

funkcją infiltracji skumulowanej,

– nasycenie następuje, gdy natężenie

infiltracji potencjalnej f jest mniejsze
lub równe natężeniu opadu.

Profile uwilgotnienia gruntu przed,

w trakcie i po nasyceniu

Hydrologia, rok III, wykład 8

13/14

• Zgodnie z równaniem Greena-Ampta f = f(F):

• Infiltracja skumulowana w chwili

t

=

tp

jest równa:

• zaś natężenie infiltracji jest równe natężeniu opadu:

• Po podstawieniu do równania G – A mamy:













+

∆

⋅

=

1

F

K

f

θ

ψ

K

−

współczynnik filtracji,

ψ

−

potencjał wilgotno

ś

ciowy,

∆

θ

−

ró

ż

nica wilgotno

ś

ci pocz

ą

tkowej i maksymalnej.

I

– nat

ęż

enie opadu,

t

p

– czas nasycenia,

F

p

– infiltracja skumulowana















+

⋅

∆

⋅

⋅

=

1

p

t

I

K

I

θ

ψ

)

(

K

I

I

K

t

p

−

⋅

∆

⋅

⋅

=

θ

ψ

I

f

=

p

p

t

I

F

⋅

=

sk

ą

d otrzymujemy:

Hydrologia, rok III, wykład 8

14/14

opad

infiltracja
rzeczywista

infiltracja
skumulowana

suma opadu: I dt = I t

t

t

t

p

F

I

infiltracja
potencjalna

f

F = I t

p

p

.

.

.

∫

0

t