86
MATEMATYKA
ROZDZIAŁ V
WYBRANE ZAGADNIENIA ALGEBRY
LINIOWEJ
I. Macierze i wyznaczniki
1. Macierze – podstawowe określenia
Definicja 1.
Macierzą rzeczywistą wymiaru
m n
×
, gdzie ,
m n
N
∈
, ( są liczbami naturalnymi),
nazywamy tablicę prostokątną złożoną z
m n
⋅
liczb rzeczywistych ustawionych w m
wierszach i n kolumnach zapisaną w następujący sposób:
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
...
j
n
j
n
i
i
i j
in
m
m
m j
m n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋱
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋱
⋮
Uwaga.
Macierze oznaczamy dużymi literami alfabetu : ,
,
,
A B C X itp. Element macierzy A
stojący w i- tym wierszu oraz w j – tej kolumnie oznaczamy przez
i j
a .
Macierz
A można także zapisywać w postaci
i j
m n
A
a
×
=
lub
i j
A
a
=
, gdy znamy jej
wymiar.
Przykład 1.
Macierze
1
0
3
5
7
2
,
8
1
0
9
−
,
1
2
8
3
0
1
−
−
mają odpowiednio wymiary 2 3
×
oraz 2 2
×
oraz 3 2
×
.
Równość macierzy
Macierze
i j
m n
A
a
×
=
i
i j
m n
B
b
×
=
są równe wtedy i tylko wtedy, gdy
i j
i j
a
b
=
dla
każdego 1 i
m
≤ ≤
oraz 1
j
n
≤ ≤
. Zapis: A
B
=
.
87
Rodzaje macierzy
1. Macierz zerowa taka macierz, której wszystkie elementy są równe 0.
Oznaczamy ją przez O
m n
×
lub przez O.
O
0
0
0
0
n kolumn
=
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋮
m wierszy
2. Macierz kwadratowa to macierz, której liczba wierszy równa się liczbie kolumn. Liczbę
wierszy (kolumn) nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej. Elementy macierzy,
które mają ten sam numer wiersza i kolumny , tworzą tzw. przekątną macierzy kwadratowej.
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋯
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋯
3. Macierzą trójkątną dolną stopnia n (
2
n
≥
) nazywamy macierz kwadratową, w której
wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0 .
11
21
22
1
2
0
0
0
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
⋯
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋯
Macierzą trójkątną górną stopnia n (
2
n
≥
) nazywamy macierz kwadratową, w której
wszystkie elementy stojące pod główną przekątną są równe 0 .
11
12
1
22
2
0
0
0
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
⋯
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋯
4. Macierzą diagonalną lub przekątniową stopnia n nazywamy macierz kwadratową, w
której wszystkie elementy nie stojące na głównej przekątnej są równe 0.
11
22
0
0
0
0
0
0
nn
a
a
a
⋯
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋯
88
Macierzą jednostkową stopnia n nazywamy macierz diagonalną, w której wszystkie
elementy głównej przekątnej są równe 1. Oznaczamy ja przez
n
I lub I , gdy znamy jej
stopień.
1
0
0
0
1
0
0
0
1
n
I
=
⋯
⋯
⋮
⋮ ⋱ ⋮
⋯
Tak więc:
2
1
0
0
1
I
=
,
3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
I
=
, itd.
5. Macierz kolumnowa (wektor kolumnowy) to macierz postaci:
11
21
1
m
a
a
a
⋮
m wierszy.
Macierz wierszowa (wektor wierszowy) to macierz postaci:
[
]
11
12
1n
n kolumn
a
a
a
⋯
2. Działania na macierzach
Definicja 2. (suma macierzy)
Niech
i j
A
a
=
oraz
i j
B
b
=
będą macierzami wymiaru
m n
×
. Sumą macierzy A i B
nazywamy macierz
i j
m n
C
c
×
=
, której elementy są określone wzorem:
def
i j
i j
i j
c
a
b
=
+
dla 1
, 1
i
m
j
n
≤ ≤
≤ ≤
, (elementy macierzy C są sumami odpowiednich elementów
macierzy A i macierzy B ).
Piszemy wtedy C
A
B
= +
.
Przykład 2.
Obliczyć sumę podanych macierzy:
1
2
3
5
6
7
A
=
,
0
2
1
4
3
2
B
−
=
−
.
Mamy:
1 0
2 2
3 1
1
4
2
5 4
6 3
7 2
9
9
5
A
B
+
+
−
+ =
=
+
+
−
.
Definicja 3. (iloczyn macierzy przez liczbę)
Niech
i j
A
a
=
będzie macierzą wymiaru
m n
×
, oraz niech
α
będzie liczbą rzeczywistą.
Iloczynem macierzy A przez liczbę
α
nazywamy macierz
i j
m n
C
c
×
=
, której elementy są
określone wzorem:
def
i j
i j
c
a
= α⋅
dla 1
, 1
i
m
j
n
≤ ≤
≤ ≤
, (każdy element macierzy A mnożymy przez liczbę
α
).
Piszemy wtedy C
A
= α ⋅
.
89
Przykład 3.
Obliczyć
A
α ⋅
, gdzie
3
4
4
8
24
,
16
0
12
A
−
−
α = −
=
.
Mamy:
( )
3
4
− ⋅
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
3
4
4
4
3
3
3
4
4
4
4
8
24
4
8
24
3
6
18
16
0
12
16
0
12
12
0
9
− ⋅ −
− ⋅
− ⋅ −
−
−
−
=
=
− ⋅
− ⋅
− ⋅
−
−
.
Definicja 4. (iloczyn macierzy)
Niech macierz
i j
A
a
=
ma wymiar m k
×
, a macierz
i j
B
b
=
wymiar k n
×
.
Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz
i j
C
c
=
wymiaru
m n
×
, której elementy
są określone wzorem:
1 1
2 2
...
def
i j
i
j
i
j
i k k j
c
a b
a b
a b
=
+
+ +
dla 1
, 1
i
m
j
n
≤ ≤
≤ ≤
. Piszemy wtedy C
A B
= ⋅
.
Uwaga.
Element
i j
c iloczynu macierzy A i B otrzymujemy sumując iloczyny odpowiednich sobie
elementów
i
−
tego wiersza macierzy
A oraz j
−
tej kolumny macierzy
B.
Traktując
i
−
wiersz macierzy
A jako wektor (wierszowy) zaś j
−
tą kolumnę jako wektor
(kolumnowy) widzimy, że element
i j
c jest tzw. iloczynem skalarnym tych wektorów.
Iloczyn macierzy
A i B można obliczyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest
równa liczbie wierszy macierzy
B .
Przykład 4.
a) Dane są macierze:
1
2
1
1
2
0
1
3
2
1
1
1
,
1
0
1
3
2
1
0
2
A
B
−
−
=
−
=
−
−
. Macierz
A ma wymiary 3 4
×
, macierz
B
ma wymiar 4 2
×
, więc można utworzyć iloczyn
A B
⋅
, ale nie można utworzyć iloczynu
B A
⋅
.
( )( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
2
1
1
2
0
1
3
2
1
1
1
1
0
1
3
2
1
0
2
1 1
1
1
2 1 0 0
1 2
1 3 2 0 0 2
4
1
2 1 1
1
1 1
1 0
2 2 1 3 1 0
1 2
2
5 .
1 1 3
1
2 1
1 0 1 2 3 3
2 0
1 2
4
9
A B
−
−
⋅ =
− ⋅
=
−
−
⋅ + −
− + ⋅ + ⋅
⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅
−
=
⋅ + ⋅ − + ⋅ + − ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅
=
⋅ + ⋅ − + − ⋅ + − ⋅
⋅ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅
−
Iloczyn A B
⋅
jest macierzą o wymiarach 3 2
×
.
90
b) Dla macierzy
1
2
0
3
,
7
3
1 2
A
B
=
=
−
obliczyć A B
⋅
oraz B A
⋅
.
( )
( )
1 0 2
1
1 3 2 2
1
2
0
3
2
7
7 0 3
1
7 3 3 2
7
3
1 2
3
27
A B
⋅ + ⋅ −
⋅ + ⋅
−
⋅ =
⋅
=
=
⋅ + −
⋅ + ⋅
−
−
.
( )
( )
0 1 3 7
0 2 3 3
0
3
1
2
21 9
1 1 2 7
1 2 2 3
1 2
7
3
13
4
B A
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅
⋅ =
⋅
=
=
− ⋅ + ⋅
− ⋅ + ⋅
−
.
Widzimy więc, że A B
B A
⋅ ≠ ⋅
.
Wniosek. Mnożenie macierzy nie jest na ogół przemienne tj. A B
B A
⋅ ≠ ⋅
.
Dla macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia wykonalne są zarówno działania
A B
⋅
jak i B A
⋅
.
c) Obliczyć iloczyny
2
A I
⋅
oraz
2
I
A
⋅
, gdzie
2
3
1
4
A
=
−
, zaś
2
1
0
0
1
I
=
,
(jest macierzą jednostkową stopnia drugiego).
2
2
3
1
4
A I
⋅ =
−
( )
( )
2 1 3 0
2 0 3 1
1
0
2
3
1 1 4 0
1 0 4 1
0
1
1
4
A
⋅ + ⋅
⋅ + ⋅
⋅
=
=
=
− ⋅ + ⋅
− ⋅ + ⋅
−
,
2
1
0
0
1
I
A
⋅ =
( )
( )
1 2 0
1
1 3 0 4
2
3
2
3
0 2 1
1
0 3 1 4
1
4
1 4
A
⋅ + ⋅ −
⋅ + ⋅
⋅
=
=
=
⋅ + ⋅ −
⋅ + ⋅
−
−
.
Uwaga
Iloczyn macierzy przez odpowiednią macierz jednostkową daję tę samą macierz. Zatem
macierz jednostkowa przy mnożeniu macierzy zachowuje się jak jedynka przy mnożeniu liczb
rzeczywistych tj. 1
1
a
a
a
⋅ = ⋅ =
. Uzasadnia to nazwę „macierz jednostkowa”.
Własności działań na macierzach
Niech
,
,
A B C będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru oraz niech ,
α β
będą
liczbami rzeczywistymi. Wtedy:
1. A
B
B
A
+ = +
, (przemienność) ; 2.
(
) (
)
A
B C
A B
C
+
+
=
+
+
, (łączność);
3. A
+
O
=
O A
+
A
=
, O - macierz zerowa ; 4.
( )
A
A
+ − =
O ;
5.
(
)
A B
A
B
α⋅
+
= α ⋅ + α ⋅
; 6.
(
)
A
A
A
α + β ⋅ = α⋅ +β⋅
;
7. 1 A
A
⋅ =
; 8.
( )
(
)
A
A
αβ ⋅ = α ⋅ β⋅
.
9. Niech macierz A ma wymiar m k
×
, a macierze
B i C wymiar k n
×
. Wtedy
(
)
A B C
A B
A C
⋅
+
= ⋅ + ⋅
.
10. Niech macierze A i B ma wymiar m k
×
, a macierz
C wymiar k n
×
. Wtedy
(
)
A
B C
A C
B C
+
⋅ = ⋅ + ⋅
.
11. Niech macierz A ma wymiar m k
×
, a macierze
B wymiar k n
×
, oraz niech
α
będzie liczbą rzeczywistą . Wtedy
(
) (
)
(
)
A
B
A B
A B
α⋅
= α⋅ ⋅ = α ⋅ ⋅
.
91
12. Niech macierz A ma wymiar m k
×
, macierz B ma wymiar k l
×
, a macierz C
wymiar l n
×
. Wtedy
(
)
(
)
A B C
A B C
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
.
12. Niech macierz A ma wymiar
m n
×
. Wtedy
n
m
A I
I
A
A
⋅ =
⋅ =
,
gdzie
,
n
m
I
I
są odpowiednio macierzami jednostkowymi stopnia n oraz m.
Potęgowanie macierzy
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n , zaś k liczbą naturalną . Wówczas potęgę
naturalną
k
A
określamy następująco:
1
...
k
k
k czynników
A
A A
A
A
A
−
= ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅
.
Przykład 5.
Dla macierzy
2
2
1
1
A
=
obliczyć
2
3
,
A
A
,
4
A
i ogólnie
k
A
.
Mamy:
2
2
2
2
2
6
6
2
2
3
3
1
1
1
1
3
3
1
1
A
A
=
=
=
=
,
( )
3
2
2
2
3
3
3 3
3
A
A A
A A
A
A
A
=
=
⋅ =
=
=
,
( )
4
3
2
2
2
2
3
3
3
3 3
3
A
A A
A A
A
A
A
=
=
⋅ =
=
=
,
Ogólnie:
1
3
k
k
A
A
−
=
.
Macierz transponowana
Definicja 5.
Niech
i j
A
a
=
będzie macierzą wymiaru
m n
×
.
Macierzą transponowaną macierzy A
nazywamy macierz
i j
B
b
=
wymiaru
n m
×
określoną wzorem:
def
i j
j i
b
a
=
Dla 1
, 1
i
n
j
m
≤ ≤
≤ ≤
. Macierz transponowaną macierzy
A oznaczamy przez
T
A .
Uwaga.
Przy transponowaniu, kolejne wiersze macierzy wyjściowej stają się kolejnymi kolumnami
macierzy transponowanej. Transponowanie polega więc na zamianie odpowiednich wierszy
na odpowiednie kolumny.
Przykład 6.
Napisać macierz transponowaną macierzy
1
2
0
3
5
4
A
−
=
−
.
Mamy:
1
3
2
5
0
4
T
A
= −
−
.
92
Własności transpozycji macierzy
1. Niech A i B będą macierzami wymiaru
m n
×
. Wtedy
(
)
T
T
T
A
B
A
B
+
=
+
.
2. Niech A będzie macierzą wymiaru
m n
×
oraz niech
α
będzie liczbą rzeczywistą.
Wtedy
( )
T
T
A
A
=
oraz
( )
T
T
A
A
α
= α
.
3. Niech A będzie macierzą wymiaru m k
×
a macierz B wymiaru k n
×
. Wtedy
(
)
T
T
T
A B
B
A
⋅
=
⋅
.
Macierze symetryczne i antysymetryczne
Definicja 6.
Niech A będzie macierzą kwadratową.
1. Macierz A jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
T
A
A
=
.
2. Macierz A jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
T
A
A
= −
.
Uwaga.
Macierz jest symetryczna, gdy jej elementy położone symetrycznie względem głównej
przekątnej są sobie równe. Macierz jest antysymetryczna, gdy jej elementy położone
symetrycznie względem głównej przekątnej różnią się tylko znakiem, a jej elementy na
głównej przekątnej są równe 0.
Przykład 7.
Macierz
1
2
4
2
3
7
4
7
5
A
=
jest symetryczna , a macierz
0
3
4
3
0
9
4
9
0
B
= −
−
−
jest
antysymetryczna.
Własności macierzy symetrycznych i antysymetrycznych
1. Niech A będzie dowolną macierzą kwadratową. Wtedy
a) macierz
T
A
A
+
jest symetryczna ,
b) macierz
T
A
A
−
jest antysymetryczna .
2. Niech A będzie dowolną macierzą. Wtedy
T
A A
⋅
i
T
A
A
⋅
są symetryczne.
3. Każdą macierz kwadratową można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy
symetrycznej i antysymetrycznej:
(
) (
)
1
1
2
2
T
T
A
A
A
A
A
=
+
+
−
.
93
3. Wyznaczniki
Definicja 7. (definicja indukcyjna wyznacznika)
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
i j
A
a
=
stopnia n nazywamy liczbę rzeczywistą
oznaczoną symbolem det A , określoną wzorem indukcyjnym w następujący sposób:
1. Jeżeli macierz
[ ]
11
A
a
=
ma stopień
1
n
=
, to
11
det A
a
=
.
2. Jeżeli macierz
A ma stopień
2
n
=
tj.
11
12
21
22
a
a
A
a
a
=
to
11
12
11 22
12
21
21
22
det
a
a
A
a a
a a
a
a
=
=
−
.
3. Niech macierz
A stopień
2
n
≥
. Skreślmy w macierzy
A i
−
ty wierz oraz
j
−
tą
kolumnę. Pozostałe elementy tworzą macierz stopnia
1
n
−
. Załóżmy, że potrafimy
obliczyć jej wyznacznik (założenie indukcyjne) i oznaczmy ten wyznacznik przez
i j
M .
(jest on również stopnia
1
n
−
) .Nazywamy go
minorem macierzy.
Liczbę
( )
1
i j
i j
i j
A
M
+
= −
Nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu
i j
a
.
Wówczas wyznacznik det A można obliczyć jednym ze wzorów:
1.
11
12
1
1
21
22
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
det
det
...
...
...
...
...
...
j
n
j
n
i
i
i
i
i j
i j
i n
i n
i
i
i j
i n
n
n
n j
n n
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a A
a A
a A
a A
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
+
+
+ +
⋮
⋮
⋱
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋱
⋮
.
Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów i
−
tego
wiersza i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace`a
wyznacznika względem i
−
wiersza.
Lub
2.
11
12
1
1
21
22
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
...
...
...
...
det
det
...
...
...
...
...
...
j
n
j
n
j
j
j
j
i j
i j
n j
n j
i
i
i j
in
n
n
n j
n n
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a A
a A
a A
a A
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
+
+
+ +
⋮
⋮
⋱
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋱
⋮
.
94
Inaczej mówiąc, wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów j
−
tej
kolumny i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace`a
wyznacznika względem j
−
tej kolumny.
Uwaga.
Przy obliczaniu wyznacznika wybieramy dowolny wiersz lub dowolną kolumnę.
Wyznacznik det A oznaczamy też symbolem
11
1
1
n
n
n n
a
a
a
a
⋯
⋮
⋱
⋮
⋯
.
W literaturze
podawane są równoważne definicje wyznacznika tzw. permutacyjne
określenie wyznacznika i definicja
aksjomatyczna.
Przykład 8.
Obliczyć wyznaczniki:
a)
5
3
1
6
; b)
2
4
1
1
0
1
2
2
3
−
.
Rozwiązanie.
a)
5
3
5 6 3 1
27
1
6
= ⋅ − ⋅ =
;
b) Rozwijamy wyznacznik względem drugiego wiersza (gdyż jego drugim elementem jest
liczba 0):
( )
( )
( )( )
2 1
2 2
2 3
2
4
1
4
1
2 1
2
4
1
0
1
1
1
0
1
1
1
2
3
2 3
2
2
2
2
3
+
+
+
− = ⋅ −
+ ⋅ −
+ −
−
=
( )(
) (
)
1 4 3 1 2
2 2 4 2
14
= −
⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = −
.
Metoda Sarrusa obliczania wyznaczników macierzy stopnia trzeciego.
Metoda ta polega na dopisaniu dwóch pierwszych kolumn macierzy z prawej strony tej
macierzy i na obliczeniu 6 iloczynów z elementów tej macierzy według następującego
schematu:
Otrzymujemy wtedy:
11
12
13
21
22
23
11 22
33
12
23 31
13
21 32
31
32
33
31 22 13
32
23 11
33
21 12
.
a
a
a
a
a
a
a a a
a a a
a a a
a
a
a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
−
−
−
−
95
Przykład 9.
Dla wyznacznika b) z przykładu 8 mamy:
+ + +
− − −
2
4
1
2
4
1
0
1 1
0
2
2
3
2
2
−
i
( )
( )
2
4
1
1
0
1
2 0 3 4
1 2 1 1 2 1 0 2 2
1 2 3 1 4
14
2
2
3
− = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = −
.
Uwaga. Podany wyżej sposób obliczania wyznaczników nie przenosi się na wyznaczniki
wyższych stopni.
Interpretacja geometryczna wyznaczników 2-go i 3-go stopnia
1. Niech D oznacza równoległobok rozpięty na wektorach
[ ]
[ ]
,
,
,
u
a b
v
c d
=
=
, (rys.)
Pole tego równoległoboku wyraża się wzorem:
det
a
b
D
ad
bc
c
d
=
=
−
,
(jest równe wartości bezwzględnej wyznacznika, którego wiersze tworzą współrzędne
wektorów
,
u
v
).
2. Niech V oznacza równoległościan rozpięty na wektorach
[
]
[
]
[
]
, ,
,
, ,
,
, ,
u
a b c
v
d e f
w
g h i
=
=
=
, (rys.)
Objętość
V
tego równoległościanu wyraża się wzorem:
det
a
b
c
V
d
e
f
g
h
i
=
,
(jest równa wartości bezwzględnej wyznacznika, którego wiersze tworzą współrzędne
wektorów
,
,
u
v
w
).
96
Własności wyznaczników
1. Wyznacznik, w którym jeden wiersz lub jedna kolumna składa się z samych zer, jest
równy zeru.
2. Wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy wyznacznikowi jej macierzy
transponowanej tj.
det
det
T
A
A
=
.
3. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez zamianę dwóch wierszy lub kolumn,
wówczas
det
det
B
A
= −
.
4. Jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów
jednego wiersza lub kolumny przez
c
, to
det
det
B
c
A
= ⋅
.
Wniosek.
Jeżeli stopień macierzy A jest równy
n
, to
(
)
det
det
n
c A
c
A
⋅
=
.
5. Wyznacznik nie zmieni swojej wartości, gdy do elementów jednego wiersza (kolumny)
dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną
stałą.
6. Niech
i j
A
a
=
będzie macierzą stopnia
n
. Wówczas:
1
1
2
2
det
,
...
0
,
i
j
i
j
i n
j n
A dla i
j
a A
a A
a A
dla i
j
=
+
+ +
=
≠
oraz
1
1
2
2
det
,
...
0
.
i
j
i
j
ni
n j
A dla i
j
a A
a A
a A
dla i
j
=
+
+ +
=
≠
Oznacza to, że suma elementów jakiegoś wiersza (kolumny) pomnożonych przez
odpowiednie dopełnienia algebraiczne elementów innego wiersza (kolumny) jest równa 0,
zaś suma elementów jakiegoś wiersza (kolumny) pomnożonych przez
odpowiednie dopełnienia algebraiczne elementów tego samego wiersza (kolumny) jest
równa det
A ,(rozwinięcie Laplace`a) .
7. Twierdzenie 1. ( Cauchy`ego)
Wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych jest iloczynem ich wyznaczników:
(
)
det
det
det
A B
A
B
⋅
=
⋅
.
8. Twierdzenie 2.
Jeżeli elementy macierzy nad główną przekątną są równe 0, tzn.
0
i j
a
=
dla j
i
>
, to
11 22
det
...
i j
n n
a
a a
a
=
,
czyli wyznacznik jest iloczynem wyrazów głównej przekątnej.
Równanie charakterystyczne i wartości własne macierzy
Niech
i j
A
a
=
będzie macierzą kwadratową stopnia
n
, I
−
macierz jednostkowa tego
samego stopnia.
Macierz A
I
− λ
,
R
λ ∈
, nazywamy macierzą charakterystyczną macierzy A , zaś
wyznacznik
(
)
det A
I
− λ −
wielomianem charakterystycznym
tej macierzy.
97
11
12
1
11
12
1
21
22
2
21
22
2
1
2
1
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
n n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
I
a
a
a
a
a
a
− λ
− λ
− λ =
− λ
=
− λ
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
⋯ ⋯ ⋱ ⋯
⋯
⋯
⋯
.
Definicja 8
Równaniem charakterystycznym macierzy A nazywamy równanie:
(
)
det
0
A
I
− λ =
,
a pierwiastki tego równania nazywamy wartościami własnymi macierzy A.
W rozpisanej formie równanie to ma postać:
(
)
11
12
1
21
22
2
1
2
det
0
n
n
n
n
n n
a
a
a
a
a
a
A
I
a
a
a
− λ
− λ
− λ =
=
− λ
⋯
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
⋯
.
Przykład 10
Dla danej macierzy
4
3
1
2
A
=
a)
obliczyć jej wielomian charakterystyczny,
b)
wyznaczyć wartości własne tej macierzy .
Rozwiązanie.
a)
Wielomian charakterystyczny :
(
)
(
)(
)
2
4
3
det
4
2
1 3
6
5
1
2
A
I
− λ
− λ =
= − λ
− λ − ⋅ = λ − λ +
− λ
,
b)
Wartości własne obliczamy z równania charakterystycznego:
2
6
5
0
λ − λ + =
. Pierwiastkami tego równania są liczby:
1
2
1 ,
5
λ =
λ =
.
4. Macierz odwrotna
Macierz kwadratową A nazywamy nieosobliwą (regularną), gdy det
0
A
≠
.
Jeżeli det
0
A
=
, to macierz nazywamy osobliwą.
Definicja 9.
Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej A nazywamy macierz oznaczoną symbolem
1
A
−
taką, że
1
1
A A
A
A
I
−
−
⋅
=
⋅ =
,
gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego stopnia.
Uwaga. Macierz odwrotna, o ile istnieje, jest wyznaczona w jednoznaczny sposób.
98
Twierdzenie 3.
Macierz odwrotna macierzy kwadratowej A istnieje wtedy i tylko wtedy gdy A jest
macierzą nieosobliwą tj. det
0
A
≠
.
Wyznacznikowy sposób wyznaczania macierzy odwrotnej
Oznaczmy przez D macierz zbudowaną z dopełnień algebraicznych
i j
A elementów
i j
a
macierzy
i j
A
a
=
stopnia n tj.
i j
D
A
=
.
Definicja 10.
Macierzą dołączoną
d
A macierzy kwadratowej
i j
A
a
=
nazywamy transponowaną
macierz macierzy dopełnień algebraicznych tj.
d
T
A
D
=
.
Twierdzenie 4.
Jeżeli A jest macierzą nieosobliwą, to
1
1
det
d
A
A
A
−
=
.
Przykład 11
Obliczyć macierz odwrotną danej macierzy za pomocą wyznaczników:
1
1
0
2
0
4
1
3
1
A
−
=
−
−
.
Rozwiązanie.
1
1
0
det
det
2
0
4
10
0
1
3
1
A
−
=
= − ≠
−
−
. Macierz A jest więc nieosobliwa i istnieje macierz
odwrotna.
Obliczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A:
( )
( )
( )
1 1
1 2
1 3
11
12
13
0
4
2
4
2
0
1
12 ;
1
2 ;
1
6 ;
3
1
1
1
1 3
A
A
A
+
+
+
= −
= −
= −
= −
= −
=
−
−
−
−
( )
( )
( )
2 1
2 2
2 3
21
22
23
1
0
1
0
1
1
1
1 ;
1
1 ;
1
2;
3
1
1
1
1
3
A
A
A
+
+
+
−
−
= −
= −
= −
= −
= −
= −
−
−
−
−
( )
( )
( )
3 1
3 2
3 3
31
32
33
1
0
1
0
1
1
1
4 ;
1
4 ;
1
2
0
4
2
4
2
0
A
A
A
+
+
+
−
−
= −
= −
= −
= −
= −
=
.
Macierz dopełnień algebraicznych
12
2
6
1
1
2
4
4
2
D
−
−
= −
−
−
−
−
, zaś macierz dołączona
99
12
1
4
2
1
4
6
2
2
d
T
A
D
−
−
−
=
= −
−
−
−
.
Macierzą odwrotną jest macierz
1
12
1
4
1, 2
0,1
0, 4
1
2
1
4
0, 2
0,1
0, 4
10
6
2
2
0, 6
0, 2
0, 2
A
−
−
−
−
= −
−
−
− =
−
−
−
.
Własności macierzy odwrotnej
1.
1
1
det
det
A
A
−
=
; 2.
( )
1
1
;
A
A
−
−
=
3.
( ) ( )
1
1
T
T
A
A
−
−
=
;
4.
(
)
1
1
1
A B
B
A
−
−
−
⋅
=
⋅
;
5.
( )
1
1
1
A
A
−
−
α
=
α
; 6.
( ) ( )
1
1
n
n
A
A
−
−
=
, (
n
−
potęga macierzy
A
)
Znajdowanie macierzy odwrotnej za pomocą przekształceń elementarnych
Definicja 11.
Niech A będzie macierzą stopnia
2
n
≥
.
Przekształceniami elementarnymi na wierszach
macierzy A nazywamy:
1)
zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy ;
2)
pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera ;
3)
dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im elementów innego
wiersza pomnożonych przez dowolną stałą.
Macierze otrzymywane z danej macierzy w wyniku przekształceń elementarnych nazywamy
macierzami równoważnymi.
Niech A będzie macierzą nieosobliwą, Aby znaleźć macierz odwrotną macierzy A
postępujemy w następujący sposób.
Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkową I tego samego stopnia.
Otrzymujemy tzw. macierz blokową postaci A I
. Przy pomocy ciągu przekształceń
elementarnych sprowadzamy macierz blokową A I
do postaci I B
. Wówczas
otrzymana macierz B jest macierzą odwrotną macierzy A tj.
1
B
A
−
=
. Możemy to zapisać
za pomocą następującego schematu:
1
przeksztalcenia
elementarne
A I
I A
−
→
.
100
Przykład 12
Wyznaczyć macierz odwrotną macierzy
1
2
0
2
3
0
1
1 1
−
za pomocą przekształceń elementarnych.
Rozwiązanie.
Wykonujemy ciąg przekształceń elementarnych na wierszach macierzy blokowej:
3
2
2
1
3
1
2
1
2
0 1
0
0
1
2
0 1
0
0
1
2
0 1
0
0
2
3
0 0
1
0
0
1 0 2
1
0
0
1 0 2
1
0
1
1 1 0
0
1
0
3 1 1 0
1
0
0
1 5
3 1
w
w
w
w
w
w
−
−
−
→
−
−
→
−
−
→
−
−
−
−
1
2
2
2
1
0
0 3
2
0
0
1
0 2
1 0
0
0
1 5
3 1
w
w
w
+
−
−
→
−
−
. Zatem
1
1
2
0
3
2
0
2
3
0
2
1 0
1
1 1
5
3 1
−
−
=
−
−
−
.
5. Rząd macierzy
Niech
A będzie dowolną macierzą wymiaru
m n
×
oraz niech
(
)
1
min
,
k
m n
≤ ≤
, gdzie
(
)
,
min
,
.
m
gdy
m
n
m n
n
gdy
m
n
≤
=
>
Minorem stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej, która
powstała przez skreślenie m k
−
wierszy oraz n k
−
kolumn.
Przykład 13
a) W macierzy
1
2
0
3
4
7
A
=
wyznaczyć wszystkie minory stopnia 2
−
go.
Skreślając trzecią kolumnę otrzymujemy minor
1
2
4 6
2
3
4
= − = −
, skreślając drugą
kolumnę otrzymujemy minor
1
0
7
3 7
=
, skreślając zaś pierwszą kolumnę otrzymujemy
minor
2
0
14
4
7
=
.
b) W macierzy
1
3
2
0
2
6
1
3
4
5
0
2
A
=
−
−
wyznaczyć jeden minor stopnia 3
−
go oraz jeden
minor stopnia 2
−
go.
101
Skreślając np. trzecią kolumnę otrzymujemy minor stopnia 3
−
go:
1
3
0
2
6
3
21
4
5
2
=
−
,
zaś skreślając np. kolumnę trzecią i czwartą oraz trzeci wiersz otrzymujemy minor stopnia
2
−
go:
1
3
0
2
6
=
.
Definicja 12
Rzędem macierzy A nazywamy największy stopień niezerowego minora tej macierzy
i oznaczmy go przez
rz A .
Uwaga.
Przyjmujemy, ze rząd dowolnej macierzy zerowej jest równy 0.
Rząd macierzy oznacza się także przez
( )
r A lub rank
( )
A
.
Własności rzędu macierzy
1. Rząd macierzy A o wymiarach
m n
×
spełnia nierówności:
(
)
0
min
,
rz A
m n
≤
≤
.
2. Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia
n
nieosobliwą ( det
0
A
≠
). Wówczas
rząd tej macierzy jest równy jej stopniowi tj. rz A
n
=
.
3. Rząd macierzy transponowanej jest równy rzędowi macierzy wyjściowej tj.
( )
T
rz A
rz A
=
.
Przykład 14
1. Macierz
1
2
0
3
4
7
A
=
z przykładu 13 a) ma rząd równy 2 , gdyż największy stopień
niezerowego minora jest 2. Zatem
2.
rz A
=
2. Macierz
1
3
2
0
2
6
1
3
4
5
0
2
A
=
−
−
z przykładu 13 b) ma rząd 3 , gdyż największy stopień
niezerowego minora jest równy 3. Więc
3
rz A
=
.
Twierdzenie 5
Podane poniżej przekształcenia elementarne na macierzy nie zmieniają jego rzędu:
1.
zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy (kolumn) ;
2.
pomnożenie dowolnego wiersza (kolumny)przez liczbę różną od zera;
3.
dodanie do ustalonego wiersza (ustalonej kolumny) innego wiersza (kolumny)
pomnożonego przez dowolna stałą.
102
Twierdzenie 6
Niech macierz A ma wymiar
m n
×
a macierz B wymiar k l
×
. Wtedy rząd macierzy
blokowej C postaci:
| 0
|
0
|
m l
k n
A
C
B
×
×
= − −
− −
,
gdzie 0
, 0
m l
k n
×
×
są macierzami zerowymi, wyraża się wzorem:
rz C
rz A rz B
=
+
.
Zadania
Zadanie1.
Dane są macierze:
3
1
2
1
0
3
4
2
1
A
= −
,
1
2
3
4
0
1
1
2
2
B
=
−
,
2
0
0
1
1
1
C
=
,
2
0
1
1
D
=
.
Wyznaczyć macierze:
a)
(
)
2 A B C
−
⋅
; b)
T
C
; c)
2
D
.
Odpowiedzi.
a)
11
1
7
5
18
2
−
; b)
2
0 1
0
1 1
; c)
4
0
3
1
.
Zadanie 2.
Sprawdzić równość
(
)
T
T
T
A B
B
A
⋅
=
⋅
dla macierzy:
3
2 1
2
1 1
A
=
oraz
1
1
3
2
2 1
3
2 1
B
=
.
Zadanie 3.
Obliczyć podane iloczyny macierzy:
a)
3
4
5
3
29
2
3
1
2 18
3
5
1
0
3
−
−
⋅
−
−
−
; b)
sin
cos
sin
cos
cos
sin
cos
sin
α
α
β
β
⋅
α
α
β
β
;
c)
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
−
−
−
⋅
−
−
−
.
103
Odpowiedzi. a)
1
0
0
1
1 0
−
;
b)
(
)
(
)
(
)
(
)
cos
sin
sin
sin
cos cos
sin
cos
cos sin
;
sin
cos
cos sin
sin
cos
cos cos
sin
sin
α − β
α + β
α
β +
α
β
α
β +
α
β
=
α + β
α −β
α
β +
α
β
α
β +
α
β
c)
6
6
−
.
Zadanie 4.
Obliczyć podane wyznaczniki:
a)
3
2
8
5
−
−
; b)
1
2
5
2
5
2 1
2
−
−
+
+
; c)
1
2
3
4
5
0
3
0
0
−
−
; d)
0
5
1
4
2
0
0
0
0
3
0
0
0
7
2
5
−
−
−
.
Odpowiedzi.
a) 1
−
; b) 2
−
; c) 45 ; d) 78 .
Zadanie 5.
Znaleźć macierze odwrotne podanych macierzy metodą wyznacznikową;
a)
3
2
1
1
A
=
; b)
2
5
7
6
3
4
5
2
3
A
=
−
−
.
Odpowiedzi.
a)
1
1
2
1
3
A
−
−
=
−
; b)
1
1
1
1
38
41
34
27
29
24
A
−
−
= −
−
−
.
Zadanie6.
Znaleźć macierze odwrotne podanych macierzy za pomocą przekształceń elementarnych:
a)
1
2
0
2
3
0
1
1
1
A
=
−
; b)
2
0
0
4
0
0
0
1
0
2
0
0
1
0
1
0
A
=
−
.
Odpowiedzi.
a)
1
3
2
0
2
1
0
5
3
1
A
−
−
=
−
−
; b)
1
2
1
1
2
1
2
2
0
0
0
0
0
2
0
1
0
1
0
0
A
−
−
=
−
.
104
II. Układy równań liniowych
1. Ogólna postać układu równań liniowych
Układ m równań o n niewiadomych
1
2
,
,...,
n
x x
x ma następującą postać:
11 1
12
2
1
1
21 1
22
2
2
2
1 1
2
2
...
,
...
,
...........................................
...
.
n
n
n
n
m
m
mn
n
m
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+ +
=
Uwaga.
Jeżeli w układzie występuje niewielka liczba niewiadomych , to oznaczamy je literami:
,
, , ,
, ,....
x y z t u w
Z układem równań związane są następujące macierze:
1. Macierz układu równań ,utworzona jest ze współczynników przy niewiadomych, mająca
postać:
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
m
m
m n
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
=
⋯
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
⋯
.
Wskaźniki i oraz j w elemencie
i j
a oznaczają, że ten element znajduje się w
i
−
tym
równaniu przy
j
−
tej niewiadomej.
2
. Macierz wyrazów wolnych( kolumnowa ) utworzona z wyrazów wolnych mająca postać :
1
2
m
b
b
B
b
=
⋮
.
3.
Macierz niewiadomych (kolumnowa ) utworzona z niewiadomych :
1
2
m
x
x
X
x
=
⋮
.
105
4. Macierz uzupełniona (rozszerzona):
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
n
n
m
m
m n
m
a
a
a
b
a
a
a
b
U
A B
a
a
a
b
=
=
⋯
⋯
⋮
⋯
⋱
⋯
⋮
⋯
.
Wówczas powyższy układ równań liniowych możemy zapisać w postaci macierzowej:
A X
B
⋅ =
.
Przykład 1
Dany jest układ równań:
2
3
2,
5
2
7
1,
3
8
9
0.
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
+
− + =
− +
− =
+
− + =
Napisać macierze odpowiadające temu układowi i zapisać go w postaci macierzowej.
Rozwiązanie.
1. Macierz układu:
3
2
3
1
5
1
2
7
3
8
1
9
A
−
=
−
−
−
;
2. Macierz wyrazów wolnych :
2
1
0
B
=
;
3. Macierz niewiadomych:
x
y
X
z
t
=
4. Macierz uzupełniona:
3
2
3
1 2
5
1
2
7 1
3
8
1
9 0
U
−
=
−
−
−
;
5. Postać macierzowa układu:
3
2
3
1
2
5
1
2
7
1
3
8
1
9
0
x
y
z
t
−
−
− ⋅
=
−
.
106
Definicja 1( układ jednorodny i niejednorodny )
Układ równań liniowych postaci:
A X
⋅ =
O ,
gdzie A jest macierzą wymiaru
m n
×
, natomiast O jest macierzą zerową wymiaru
1
m
×
,
nazywamy
układem jednorodnym.
Układ równań liniowych postaci:
A X
B
⋅ =
,
gdzie A jest macierzą wymiaru
m n
×
, natomiast B jest
macierzą niezerową wymiaru
1
m
×
, nazywamy
układem niejednorodnym.
Uwaga. Macierz B jest niezerowa, gdy co najmniej jeden z jej elementów jest różny od zera.
Definicja 2
Rozwiązaniem układu równań liniowych A X
B
⋅ =
nazywamy każdy ciąg n liczb;
(0)
(0)
(0)
1
2
,
,...,
n
x
x
x
, które po wstawieniu do układu równań w miejsce odpowiednich
niewiadomych
1
2
,
,...,
n
x
x
x przekształcają te równania w tożsamości.
Inaczej: wektor (kolumnowy)
(0)
1
(0)
(0)
2
(0)
n
x
x
X
x
=
⋮
spełnia równanie macierzowe
(0)
A X
B
⋅
=
.
Uwaga.
Dla wygody zapisu wektor, będący rozwiązaniem ,przedstawiamy w postaci
(0)
(0)
(0)
1
2
,
,...,
T
n
x
x
x
.
Jednym z rozwiązań układu jednorodnego A X
⋅ =
O jest macierz zerowa
[
]
0 , 0 ,..., 0
T
X
=
.
Przykład 2
Układ równań
2
3
8
5
4
11
x
y
z
x
y
z
+
− =
+
+
=
spełniają liczby:
1,
2 ,
0
x
y
z
=
=
=
, gdyż
2 1 3 2 0
8
1 5 2 4 0 11
⋅ + ⋅ − =
+ ⋅ + ⋅ =
. Zatem wektor
[
]
1, 2, 0
T
spełnia równanie macierzowe:
1
2
3
1
8
2
1
5
4
11
0
−
⋅
=
.
Klasyfikacja układów równań liniowych
Zbiór wszystkich rozwiązań układu równań liniowych nazywamy
zbiorem rozwiązań
układu równań liniowych.
Dla każdego układu równań liniowych zachodzi dokładne jeden z trzech poniższych
przypadków:
a)
Zbiór rozwiązań układu równań jest zbiorem pustym, tzn. układ nie ma żadnego
rozwiązania. Układ taki nazywamy
układem sprzecznym.
107
b)
Zbiór rozwiązań układu równań zawiera dokładnie jeden element, tzn. układ ma
dokładnie jedno rozwiązanie . Układ taki nazywamy układem oznaczonym.
c)
Zbiór rozwiązań układu równań zawiera dokładnie nieskończenie wiele elementów,
tzn. układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Układ taki nazywamy układem nieoznaczonym.
Uwaga.
Układ równań, który ma rozwiązanie (jedno lub nieskończenie wiele) nazywamy układem
zgodnym.
Definicja 3
Dwa układy równań liniowych nazywamy układami równoważnymi, jeżeli mają te same
zbiory rozwiązań.
2. Układy Cramera
Definicja 4
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych postaci:
11 1
12
2
1
1
21 1
22
2
2
2
1 1
2
2
...
,
...
,
...........................................
...
,
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+ +
=
w którym macierz układu
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
n
n
n n
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
=
⋯
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
⋯
jest nieosobliwą macierzą kwadratową stopnia
n
, ( det
0
A
≠
).
Uwaga.
W układzie Cramera liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.
W zapisie macierzowym układ ma postać:
A X
B
⋅ =
, gdzie
[
]
1
2
,
,...,
T
n
X
x x
x
=
,
[
]
1
2
,
,...,
T
n
B
b b
b
=
, det
0
A
≠
.
Twierdzenie 1
Układ Cramera
A X
B
⋅ =
ma
dokładnie jedno rozwiązanie, które wyraża się wzorem:
1
X
A
B
−
=
⋅
,
gdzie
1
A
−
jest macierzą odwrotną macierzy
A .
Rozpisując elementy tych macierzy i porównując je, otrzymujemy następujący
Wniosek.
Układ Cramera ma
dokładnie jedno rozwiązanie, które wyraża się za pomocą następujących
wzorów, zwanych wzorami Cramera:
1
2
1
2
det
det
det
,
,...,
det
det
det
n
n
A
A
A
x
x
x
A
A
A
=
=
=
,
gdzie macierz
j
A
powstaje z macierzy A przez zastąpienie w niej kolumny o numerze j
108
kolumną wyrazów wolnych tj.
kolumna wyrazów wolnych
↓
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
n
def
n
j
n
n
n
nn
a
a
b
a
a
a
b
a
A
a
a
b
a
=
⋯
⋯
⋯
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋱
⋮
⋯
⋯
.
↓
j – ta kolumna
Przykład 3
a) Rozwiązać układ równań stosując wzory Cramera:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
2
3
0.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+ + =
− − = −
− + =
Rozwiązanie.
Jest to układ Cramera, gdyż
1
1
1
det
2
1
1
6
0
1
1
1
A
=
−
− = − ≠
−
.
Obliczamy kolejno:
1
0
1
1
det
3
1
1
6
0
1
1
A
= −
−
− =
−
;
2
1
0
1
det
2
3
1
0
1
0
1
A
=
−
− =
;
3
1
1
0
det
2
1
3
6
1
1
0
A
=
−
− = −
−
.
Stąd
1
2
3
1
2
3
det
det
det
1 ,
0 ,
1
det
det
det
A
A
A
x
x
x
A
A
A
=
= −
=
=
=
=
.
b) Podany układ równań rozwiązać metodą macierzy odwrotnej:
2
3
7
3
4
5
2
5
18
x
y
z
x
y
z
x
y
z
−
+
= −
+
+
=
+
+
=
.
Rozwiązanie.
Rozwiązanie X układu Cramera postaci A X
B
⋅ =
wyznaczamy ze wzoru
1
X
A
B
−
=
⋅
.
W naszym przypadku
1
2
3
3
1
4
2
5
1
A
−
=
;
7
5
18
B
−
=
;
x
X
y
z
=
; det
10
A
=
.
109
1
19 17
11
1
5
5
5
10
13
9
7
A
−
−
−
=
−
−
. ( Obliczenie macierzy odwrotnej pozostawiamy czytelnikowi).
Otrzymujemy
1
19 17
11
7
2
1
5
5
5
5
3 .
10
13
9
7
18
1
x
X
y
A
B
z
−
−
−
−
=
=
⋅ =
−
⋅
=
−
−
Zatem
2,
3,
1
x
y
z
=
=
= −
.
Metoda eliminacji Gaussa dla układów Cramera
Niech A X
B
⋅ =
będzie układem Cramera, w którym
A jest macierzą stopnia n .
Rozwiązanie tego układu znajdujemy w następujący sposób:
1. tworzymy macierz uzupełnioną (rozszerzoną) układu: U
A B
=
,
2. przekształcamy macierz uzupełnioną do postaci I X
, gdzie I
−
macierz
jednostkowa , wykonując na jej wierszach następujące przekształcenia elementarne:
a)
zamiana między sobą dwóch dowolnych wierszy ;
b) pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera ;
c)
dodawanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im elementów
innego wiersza pomnożonych przez dowolną stałą.
Wówczas wektor X pojawiający się na końcu postępowania jest szukanym rozwiązaniem
układu.
Wynika to z następującego twierdzenia
Twierdzenie 2
Przekształcenia elementarne przeprowadzają dany układ w układ mu równoważny
(mający ten sam zbiór rozwiązań).
Przedstawia to następujący schemat:
przeksztalcenia elementarne
na wierszach
A B
I X
→
Przykład 4
Rozwiązać podane układy Cramera metodą eliminacji Gaussa:
a)
5
2
3
6
15
x
y
x
y
+
=
− +
=
; b)
2
3
7
3
4
5
2
5
18
x
y
z
x
y
z
x
y
z
−
+
= −
+
+
=
+
+
=
.
Rozwiązanie.
a) Przekształcamy macierz uzupełnioną (rozszerzoną) danego układu równań:
110
2
1
3
1
5
2
3 6 15
w
w
+
→
−
2
:21
1
5
2
0
21 21
w
→
1
2
5
1
5 2
0
1 1
w
w
−
→
1
0
3
0
1
1
−
.
Ostatni zapis oznacza, że
1
0
3
0
1
1
x
y
x
y
⋅ + ⋅ = −
⋅ + ⋅ =
,
Zatem
3 ,
1
x
y
= −
=
.
b) Przekształcamy macierz uzupełnioną (rozszerzoną) danego układu równań:
2
1
3
1
3
2
1
2
3
7
3
1
4
5
2
5
1 18
w
w
w
w
−
−
−
−
→
2
:7
1
2
3
7
0
7
5 26
0
9
5 32
w
−
−
−
→
−
3
2
9
5
26
7
7
1
2
3
7
0
1
0
9
5 32
w
w
−
−
−
−
→
−
10
3 7
:
5
26
7
7
10
10
7
7
1
2
3
7
0
1
0
0
w
−
−
−
→
−
5
2
3
7
1
2
3
5
26
7
7
2
3
1
2
3
7
0
1
0
0
1
1
w
w
w
w
w
+
+
−
−
−
−
→
−
1
0
0
2
0
1
0
3
0
0
1
1
−
.
Wynika stąd, że
2 ,
3 ,
1.
x
y
z
=
=
= −
3. Dowolne układy równań liniowych
Twierdzenie 3 (Kroneckera – Capellego)
Układ równań liniowych A X
B
⋅ =
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy
A
jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej U
A B
=
tj. rz A rzU
=
.
Wniosek
Niech A X
B
⋅ =
będzie układem równań liniowych z
n
niewiadomymi. Wówczas:
1. jeżeli rz A
rz A B
≠
, to układ jest sprzeczny ( nie ma rozwiązań) ;
2. jeżeli rz A
rz A B
n
=
=
, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie ( jest oznaczony) ;
3. jeżeli rz A
rz A B
k
n
=
= <
, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od
n k
−
parametrów ( jest nieoznaczony) ;
Załóżmy, że układ A X
B
⋅ =
jest układem równań liniowych z
n
niewiadomymi i że układ
ten ma rozwiązanie tj.
min( , )
rz A
rz A B
k
m n
=
= ≤
.
Wtedy układ ten rozwiązujemy w następujący sposób:
1) W macierzy A wyszukujemy minor stopnia k różny od zera.
2) Skreślamy z układu te równania, których współczynniki nie należą do wybranego
minora.
111
3) Z powstałego w ten sposób układu przenosimy na druga stronę te składniki
(tzn. niewiadome wraz ze współczynnikami) , których współczynniki nie wchodzą
w skład wybranego minora.
4) Za niewiadome przeniesione na drugą stronę przyjmujemy dowolne parametry.
Otrzymany układ równań jest układem Cramera i rozwiązujemy go np.za pomocą
wzorów Cramera.
Przykład 5
Zbadać, czy dane układy równań mają rozwiązanie.
a)
3
2
2
3
3
3
4
6.
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+ =
− +
+
=
− +
+
=
; b)
2
3
2
1
3
2.
x
y
z
x
y
z
x
z
+ +
=
− −
=
− =
Rozwiązanie.
a)
Macierz
1
1
1
2
2
3
1 3
4
A
= −
−
, macierz uzupełniona
1
1
1 3
2
2
3 3
1
3
4 6
U
= −
−
.
Obliczamy wyznacznik macierzy A :
1
1
1
det
2
2
3
0
1 3
4
A
= −
=
−
. Oznacza to, że
3
rz A
<
.
Z macierzy A wybieramy minor stopnia drugiego skreślając trzeci wiersz i trzecią kolumnę
i obliczamy go:
2
1
1
4
0
2
2
M
=
= ≠
−
. A więc
2
rz A
=
.
Obliczamy następnie minory stopnia 3-go utworzone z macierzy uzupełnionej
1
1
1 3
2
2
3 3
1
3
4 6
U
= −
−
(zawierające kolumnę wyrazów wolnych) :
1
1
3
2
2
3
0
1 3
6
−
=
−
;
1
3
1
2
3
3
0
1 6
4
−
=
−
;
3 1
1
3
2
3
0
6
3
4
=
. Ponieważ wszystkie minory stopnia 3-go są równe 0, więc
rząd macierzy uzupełnionej jest mniejszy od 3. Minor stopnia drugiego
2
1
1
4
0
2
2
M
=
= ≠
−
jest równocześnie minorem macierzy uzupełnionej ( powstałym przez skreślenie dwóch
ostatnich kolumn i trzeciego wiersza). Zatem rząd macierzy uzupełnionej jest też równy 2.
Z twierdzenia Kroneckera - Capellego wynika, że układ jest zgodny (ma rozwiązanie).
Odrzucamy trzecie równanie, gdyż jego współczynniki nie wchodzą w skład minora
2
M
.
Otrzymujemy układ równań:
3
2
2
3
3.
x
y
z
x
y
z
+
+ =
− +
+
=
112
Ponieważ współczynniki przy niewiadomej z nie wchodzą w skład minora
2
M
, więc
przyjmujemy ją jako parametr (niewiadomą swobodną) tj.
,
z
R
= α α ∈
.
Układ równań
3
2
2
3 3
x
y
x
y
+
= − α
− +
= − α
jest układem Cramera i ma rozwiązanie:
(
)
1
3
4
x
=
+ α
,
(
)
1
9 5
,
4
y
R
=
− α
α ∈
, zależne
od jednego parametru
α
. Zatem wyjściowy układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie
wiele rozwiązań).
b)
Macierz
2
1
1
1
1
2
3
0
1
A
=
−
−
−
, macierz uzupełniona
2
1
1 3
1
1
2 1
3
0
1 2
U
=
−
−
−
.
Obliczamy wyznacznik macierzy A :
2
1
1
det
1
1
2
0
3
0
1
A
=
−
− =
−
. Oznacza to, że
3
rz A
<
.
Aby znaleźć rząd macierzy uzupełnionej , wybieramy z tej macierzy minor stopni trzeciego
złożony z dwóch pierwszych kolumn i kolumny wyrazów wolnych i obliczamy go.
Mamy:
2
1
3
1
1
1
6
0
3
0
2
−
= ≠
.
Zatem
3
rzU
=
.Oznacza to, że rz A
rzU
≠
, czyli dany układ jest sprzeczny.
Jednorodne układy równań
Przypomnijmy, że
układ równań liniowych jednorodnych ma postać:
A X
⋅ =
O ,
gdzie A jest macierzą wymiaru
m n
×
, natomiast
O jest macierzą zerową wymiaru
1
m
×
.
lub postać:
11 1
12
2
1
21 1
22
2
2
1 1
2
2
...
0 ,
...
0 ,
...........................................
...
0.
n
n
n
n
m
m
mn
n
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+ +
=
Układ ten ma zawsze rozwiązanie zerowe
[
]
0, 0,..., 0
T
X
=
(nigdy nie jest sprzeczny).
Rozwiązanie
(0)
(0)
(0)
(0)
1
2
,
,...,
n
X
x
x
x
=
nazywamy niezerowym, gdy co najmniej jedna z liczb
(0)
,
1, 2,..., ,
j
x
j
n
=
jest różna od zera.
113
Twierdzenie 4
Układ jednorodny ma tylko jedno rozwiązanie zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
rz A
n
=
, (
n
−
liczba niewiadomych).
Przykład 6
Znaleźć rozwiązanie układu jednorodnego
2
0
3
7
0
5
0.
x
y
x
y
x
y
+
=
+
=
− +
=
Rozwiązanie.
Macierz
1
2
3
7
5
1
A
=
−
. Wybieramy z macierzy A minor stopnia drugiego, skreślając trzeci
wiersz i obliczmy go:
1
2
1
0
3 7
= ≠
. Zatem
2
rz A
=
. Odrzucamy trzecie równanie, gdyż
jego współczynniki nie wchodzą w skład minora
1
2
3 7
.
Układ równań
2
0
3
7
0
x
y
x
y
+
=
+
=
jest więc układem Cramera. Stosując wzory Cramera,
stwierdzamy, że jedynym rozwiązaniem jest rozwiązanie zerowe:
1
0
3 0
0
0 ,
1
2
1
3 7
x
=
= =
0
2
0
7
0
0.
1
2
1
3 7
y
=
= =
Interesującym problemem jest znajdowanie niezerowych rozwiązań jednorodnego układu
równań. W ogólnym przypadku stosujemy twierdzenie Kroneckera – Capellego.
Przykład 7
Znaleźć niezerowe rozwiązania jednorodnego układu równań:
0
2
0.
x
y
z
x
y
z
+ − =
− + =
Rozwiązanie.
Skreślając w macierzy
1
1
1
2
1
1
A
−
=
−
trzecią kolumnę otrzymujemy minor stopnia 2-go:
1
1
3
0
2
1
= − ≠
−
. Zatem
2
rz A
=
. Rząd macierzy uzupełnionej
1
1
1 0
2
1
1 0
U
−
=
−
jest
także równy 2. Przyjmujemy niewiadomą
z jako parametr tj.
,
z
= α
(gdyż współczynniki
stojące przy tej niewiadomej nie wchodzą w skład tego minora).
114
Otrzymujemy układ równań (Cramera) :
2
.
x
y
x
y
+ = α
− = −α
, który ma nieskończenie wiele
rozwiązań zależnych od jednego parametru, danych wzorami:
0 ,
,
,
x
y
z
R
=
= α
= α α ∈
.
Rozwiązania niezerowe otrzymujemy dla
0.
α ≠
W przypadku układów o tej samej liczbie równań i niewiadomych sformułujemy odrębne
twierdzenie.
Twierdzenie 5
Jednorodny układ równań liniowych
A X
⋅ =
O , w którym liczba równań jest równa liczbie
niewiadomych i wynosi
n , ma rozwiązania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
det
0
A
=
.
Przykład 8
Zbadać, ile rozwiązań ma jednorodny układ równań:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
5
4
0,
2
3
2
0,
3
3
0.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
=
+
+
=
−
+
=
Rozwiązanie.
Macierz
4
5
4
2
3
2
3
1 3
A
−
=
−
. Sprawdzamy, że det
0
A
=
. Wyznaczymy teraz rząd macierzy A.
Zauważmy, ze minor drugiego stopnia powstały z macierzy A przez skreślenie trzeciego
wiersza i trzeciej kolumny (w lewym górnym rogu):
4
5
22
0
2
3
−
=
≠
. Wynika stąd, że
2
rzA
=
. Odrzucają
c równanie trzecie i przyjmując
3
x
= α
jako parametr, otrzymujemy
układ Cramera:
1
2
1
2
4
5
4 ,
2
3
2 .
x
x
x
x
−
= − α
+
= − α
Jego rozwiązaniem są liczby:
1
2
3
,
0 ,
,
x
x
x
R
= −α
=
= α α ∈
. Zatem rozpatrywany
układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (jest
układem nieoznaczonym).
Metoda eliminacji Gaussa dla dowolnych układów równań
liniowych
Niech A X
B
⋅ =
będzie dowolnym układem równań liniowych, gdzie A jest macierzą
o wymiarach
m n
×
.
Podane poniżej przekształcenia na
wierszach macierzy uzupełnionej A B
przeprowadzają
ten układ na układ
równoważny:
1.
zamiana między sobą wierszy;
2.
mnożenie wiersza przez stałą różną od zera;
115
3.
dodawanie do ustalonego wiersza innego wiersza wyraz po wyrazie;
4.
skreślenie wiersza złożonego z samych zer;
5.
skreślenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych.
Dodatkowo otrzymuje się układ równoważny, jeżeli w macierzy A zamienimy miejscami
dwie kolumny przy jednoczesnej zamianie niewiadomych.
Przekształcenia te nazywamy równoważnymi przekształceniami układów równań
Metoda eliminacji Gaussa.
Niech A X
B
⋅ =
będzie dowolnym układem równań liniowych, gdzie A jest macierzą
o wymiarach
m n
×
. Wówczas układ ten rozwiązujemy następująco:
1. budujemy macierz rozszerzoną układu
1
2
...
niewiadome
n
x
x
x
↓
↓
↓
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
;
n
n
m
m
m n
m
a
a
a
b
a
a
a
b
A B
a
a
a
b
=
⋯
⋯
⋮
⋯
⋱
⋯
⋮
⋯
2. na macierzy uzupełnionej dokonujemy równoważnych przekształceń układu sprowadzając
ją do postaci:
1
2
1
parametry
niewiadome
r
r
n
x
x
x
x
x
+
↓
↓
↓
↓
↓
′ ′
′
′
′
1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
0
0
|
0
1
0
|
|
0
0
1
|
|
0
0
0
|
0
0
r
n
r
n
r
r r
r n
r
z
s
s
z
s
s
A B
z
s
s
z
+
+
+
+
′ ′
=
−
− − − −
−
−
−
⋯
⋯
⋯
⋯
⋮
⋮
⋮ ⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
⋯
⋯
⋯
⋯
,
przy czym ostatni wiersz może nie pojawić się wcale albo wystąpi ze współczynnikiem
1
0.
r
z
+
≠
Wówczas,
a) jeżeli
1
0
r
z
+
≠
, to układ jest sprzeczny;
b) jeżeli ostatni wiersz macierzy A B
′ ′
nie pojawi się i
n
r
=
, to układ A X
B
⋅ =
jest
równoważny układowi Cramera (układ oznaczony) i jego jedyne rozwiązanie ma postać:
1
1
2
2
,
,...,
n
n
x
z
x
z
x
z
=
=
=
.
c) jeżeli ostatni wiersz macierzy A B
′ ′
nie pojawi się i
n
r
>
, to układ A X
B
⋅ =
ma
nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony), przy czym r spośród niewiadomych
oznaczonych symbolami
1
2
,
,...,
r
x
x
x
′ ′
′
zależy od pozostałych
n r
−
niewiadomych
oznaczonych symbolami
1
2
,
,...,
r
r
n
x
x
x
+
+
′
′
′
w następujący sposób:
116
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
r
r
n
r
r
r
n
r
r r
r r
r n
n
r
r
s
s
s
x
x
z
s
s
s
x
x
z
s
s
s
x
x
z
+
+
+
+
+
+
+
+
′
′
′
′
=
−
′
′
⋯
⋯
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
⋯
.
Uwaga. Liczba r jest rzędem macierzy A .
Przykład 9.
Następujące układy równań liniowych rozwiązać metodą eliminacji Gaussa:
a)
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
0
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
− +
−
=
+
+
=
; b)
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
2
2
2
4
6
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+ +
=
− +
+
− +
=
−
−
+ −
=
; c)
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
2
3
2
2
3
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
− +
+
=
−
−
=
−
−
=
.
Rozwiązanie.
Przekształcenia będziemy zapisywali po prawej stronie macierzy oznaczając wiersze przez
1
2
3
4
,
,
,
,...
w
w
w
w
a) dokonujemy przekształceń na macierz uzupełnionej:
2
1
3
1
1
1
1 0
1 2
1 0
1
2
3 2
( 1)
w
w
w
w
−
−
+
+ −
→
1
2
3
1
1
1 0
0
3
0 0
0 1
2 2
w
→
→
3
2
1 1
1 0
0
1
0 0
0 1
2 2
( 1)
w
w
+ −
→
1
3
2
1
1
1 0
0
1
0 0
0
0
2 2
w
→
→
1
3
1
1
1 0
( 1)
0
1
0 0
0
0
1 1
w
w
+ −
→
1
2
1
1
0
1
( 1)
0
1
0
0
0
0
1
1
w
w
−
+ −
→
→
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
−
→
1
2
2
1
2
3
1
2
3
0
0
1
0
0
0
0
0
1.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+ ⋅ + ⋅ = −
⋅ +
+ ⋅ =
⋅ + ⋅ +
=
Układ ma jedno rozwiązanie:
1
2
3
1 ,
0 ,
1
x
x
x
= −
=
=
.
b) dokonujemy przekształceń na macierz uzupełnionej:
2
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
2
2
2
1
4
1
6
3
( 2)
w
w
w
w
−
−
+
→
−
−
−
+ −
1
2
3
1
3
3
1
1
1
1
1
1
0
3
4
0
3
3
0
3
6
1
8
1
w
w
→
−
−
−
−
−
117
→
1
2
4
3
8
1
1
3
2
3
3
3
1
1
1
1
1
1
( 1)
0
1
0
1
1
0
1
2
( 1)
w
w
w
w
+ −
→
−
+ −
1
1
1
3
3
2
4
3
5
3
2
1
4
3
3
3
3
3
2
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
w
w
w
−
+
→
−
→
7
5
2
6
6
3
4
4
2
3
3
3
5
1
2
2
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
2
w
w
−
−
→
−
7
5
2
6
6
3
7
2
11
3
3
3
5
1
2
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
−
−
−
−
→
7
5
2
1
2
3
4
5
6
6
3
7
2
11
1
2
3
4
5
3
3
3
5
1
1
2
3
4
5
2
2
1
0
0
0
1
0
0
0
0
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
⋅ + ⋅ + ⋅ +
+
= −
⋅ + ⋅ + ⋅ −
−
=
⋅ + ⋅ + ⋅ +
+
= −
.
Przyjmujemy, że niewiadome
4
5
,
x
x są parametrami tj.
4
5
,
,
,
x
x
R
= α
= β α β∈
.
Układ ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów,
(układ nieoznaczony).
Rozwiązania te dane są wzorami;
7
5
2
1
6
6
3
7
2
11
2
3
3
3
5
1
3
2
2
,
,
2.
x
x
x
= − α − β −
= + α + β +
= − α − β −
c) dokonujemy przekształceń na macierz uzupełnionej:
1
4
2
4
3
4
4
1
1
1
1
2
1
2
3
2
2
2
3
1
0
1
1
1
0
w
w
w
w
w
w
w
w
+
+
−
−
−
−
−
−
−
→
1
1
2
2
4
4
3
2
0
0
2
0
1
2
2
0
1
1
0
2
0
2
2
2
w
w
w
w
w
+
−
+
−
−
−
→
→
2
3
2
4
2
1
0
0
1
( 1)
0
1
0
0
0
1
1
0
4
0
4
0
2
w
w
w
w
w
−
−
−
−
−
−
−
→
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
−
.
Ostatniemu wierszowi tej macierzy odpowiada równanie:
1
2
3
0
0
0
2
x
x
x
⋅ + ⋅ + ⋅ = −
, które jest
równaniem sprzecznym. Zatem układ równań jest sprzeczny.
118
Zadania
Zadanie1.
Korzystając z wzorów Cramera znaleźć rozwiązanie podanych układów równań liniowych:
a)
5
2
6
3
4
x
y
x
y
−
=
+
=
; b)
2
3
14
4
3
7
2
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
− =
− +
=
.
Odpowiedzi. a)
14
2
,
;
11
11
x
y
=
=
b)
1 ,
2 ,
3
x
y
z
=
=
=
.
Zadanie 2.
Rozwiązać podane układy stosując metodę macierzy odwrotnej:
a)
2
3
3
2
x
y
x
y
− =
+ =
; b)
5
2
2
3
3
2
1
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+ + =
+
+ =
+
+ =
.
Odpowiedzi. a)
1 ,
1
x
y
=
= −
; b)
2 ,
0 ,
7
x
y
z
= −
=
=
.
Zadanie3.
Znaleźć rozwiązania podanych jednorodnych układów równań:
a)
0
2
3
3
0
4
2
0
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+ +
=
− +
−
=
− +
−
=
; b)
0
3
4
2
0
4
5
2
0
x
y
z
u
x
y
z
u
x
y
z
u
+ +
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
.
Odpowiedzi.
a)
6
1
5
5
,
,
,
x
y
z
R
= − α
= α
= α α ∈
.
b)
6
3 ,
5
2
,
,
,
,
x
y
z
u
R
= − α − β
= α + β
= α
= β α β∈
.
Zadanie 4.
Stosując twierdzenie Kroneckera – Capellego rozwiązać podane układy równań
:
a)
1
2
1
x
y
z
u
x
y
z
u
+ + + =
+ − − =
; b)
2
2
3
2
2
3
1
0
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+ +
=
− +
+
=
−
−
=
− −
=
;
Odpowiedzi.
a)
2
2 ,
1 3
3
,
,
,
,
x
y
z
u
R
= α + β
= − α − β
= α
= β α β∈
.
b)
1 ,
0 ,
1
x
y
z
=
=
=
.
119
Zadanie 5.
Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiązać podane układy równań:
a)
1
2
3
4
2
3
4
1
2
3
4
2
1
3
3
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
+
=
+
−
=
+
+
−
=
; b)
2
1
3
2
3
5
3
x
y
z
u
x
y
z
u
x
y
z
u
+
− − =
+
+ +
=
+
− +
=
.
c)
2
3
14
3
2
10
6
2
3
5
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+ =
+
+
=
+
−
=
.
Odpowiedzi.
a)
1
2
3
4
2
2 ,
1 3
3
,
,
,
,
x
x
x
x
R
= α − β
= − α + β
= α
= β α β∈
.
b) układ sprzeczny.
c)
1 ,
2 ,
3
x
y
z
=
=
=
.
120
BIBLOGRAFIA
1.
Banaś J. , Podstawy matematyki dka ekonomistów,
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2005.
2. Gawinecki J. , Matematyka dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Handlu i Prawa
w Warszawie, 2000.
3. Gewert M. , Skoczylas Algebra liniowa 1, Definicje, twierdzenia, wzory,
Oficyna Wydawnicza Gis, Wrocław ,2006
4. Gewert M. , Skoczylas Algebra liniowa 1, przykłady i zadania,
Oficyna Wydawnicza Gis, Wrocław ,2006
5
.
Gurgul H. , Suder M. Matematyka dla kierunków ekonomicznych ,
Oficyna a Wolter Kluwer business , Kraków .2009.
6. Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN , Warszawa 1975.
Opracował: dr Franciszek Bogowski
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
3 3 Matematyka s3 WSB 2009 2010 Nieznany (2)
6 6 Matematyka s6 WSB 2009 2010 Nieznany
4 4 Matematyka s4 WSB 2009 2010 Nieznany (2)
Cala prawda o grypie 2009 2010 Nieznany
Łamigłówki liczbowe 2009- 2010 Etap I, ĆWICZENIA OGÓLNOUSPRAWNIAJĄ, Matematyka, Łamigłówki liczbowe
prawo pracy skrypt 2009 2010 id Nieznany
2009 2010 wojewodzkiid 26845 Nieznany (2)
2009 2010 STATYSTYKA TESTY PARA Nieznany
Łamigłówki liczbowe 2009 - 2010 Etap II, ĆWICZENIA OGÓLNOUSPRAWNIAJĄ, Matematyka, Łamigłówki liczbow
Etap rejonowy 2009 2010 arkusz Nieznany
2009 2010 STATYSTYKA ANOVAid 26 Nieznany (2)
Łamigłówki liczbowe 2009 - 2010 Etap II Rozwiązania, ĆWICZENIA OGÓLNOUSPRAWNIAJĄ, Matematyka, Łamigł
Szkolne Zawody Matematyczne 2009 - 2010, Klasa IV(1)
więcej podobnych podstron