Analiza wariancji

Źródło: Aczel A. D. Statystyka w zarządzaniu

©

Barbara Gładysz

Źródło: Aczel A. D. Statystyka w zarządzaniu

Analiza wariancji jednoczynnikowa

©

Barbara Gładysz

Populacja

Pole

trójk

ą

ty

1

4

2

5

3

7

4

8

kwadraty

1

10

kwadraty

1

10

2

11

3

12

4

13

kółka

1

1

2

2

3

3

©

Barbara Gładysz

Populacja

Pole

trójk

ą

ty

1

4

2

5

3

7

4

8

SUMA

24

Ś

rednia

6

kwadraty

1

10

2

11

2

11

3

12

4

13

SUMA

Ś

rednia

kółka

1

1

2

2

3

3

SUMA

Ś

rednia

©

Barbara Gładysz

Populacja

Pole

trójkaty

1

4

2

5

3

7

4

8

SUMA

24

Ś

rednia

6

kwadraty

1

10

2

11

Średnie
w populacjach

3

12

4

13

SUMA

46

Ś

rednia

11,5

kółka

1

1

2

2

3

3

SUMA

6

Ś

rednia

2

©

Barbara Gładysz

Wariancje
w populacjach

Populacja

Pole

trójkaty

1

4

-2

4

2

5

-1

1

3

7

1

1

4

8

2

4

SUMA

24

10

Ś

rednia

6

3,333

MAX

kwadraty

1

10

-1,5

2,25

(

)

2

x

x

−

x

x

−

2

11

-0,5

0,25

3

12

0,5

0,25

4

13

1,5

2,25

SUMA

46

5

Ś

rednia

11,5

1,667

kółka

1

1

-1

1

2

2

0

0

3

3

1

1

SUMA

6

2

Ś

rednia

2

1

MIN

©

Barbara Gładysz

Test Bartlett’a równości wariancji

ZAŁ.: k populacji o rozkładach normalnych

(

)

i

i

N

δ

µ

,

Liczno

ść

prób:

k

i

n

i

,...,

2

,

1

,

=

2

2

2

2

1

0

...

:

k

H

δ

δ

δ

=

=

=

:

H

Nie wszystkie wariancje są równe.

:

1

H

Nie wszystkie wariancje są równe.

©

Barbara Gładysz

(

)

(

)













−

−

−

=

Χ

∑

=

k

i

i

i

s

n

s

k

n

c

1

2

2

2

ˆ

log

1

ˆ

log

303

,

2

∑

=

=

n

i

i

n

n

1

(

)

1

2

−

Χ

k

-rozkład

gdzie:

(

)

,

...

1

1

3

1

k

k

n

k

n

n

gdy

c

=

=

+

=

−

+

(

)













−

−

−

+

=

∑

=

−

+

k

i

i

k

k

k

n

n

c

1

1

3

1

1

1

1

1

(

)

2

1

2

ˆ

1

1

ˆ

i

k

i

i

s

n

k

n

s

∑

=

−

−

=

©

Barbara Gładysz

Obszar krytyczny testu:

Obszar krytyczny testu:

©

Barbara Gładysz

Test Bartlett’a równości wariancji

ZAŁ.: k populacji o rozkładach normalnych

(

)

i

i

N

δ

µ

,

Liczno

ść

prób:

k

i

n

i

,...,

2

,

1

,

=

2

2

2

2

1

0

...

:

k

H

δ

δ

δ

=

=

=

:

H

Nie wszystkie wariancje są równe.

:

1

H

Nie wszystkie wariancje są równe.

(

)

(

)

68

,

0

ˆ

log

1

ˆ

log

303

,

2

1

2

2

2

=













−

−

−

=

Χ

∑

=

k

i

i

i

s

n

s

k

n

c

( )

99

,

5

2

68

,

0

2

05

,

0

=

Χ

<

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
o równo

ś

ci wariancji

.

0

H

©

Barbara Gładysz

Analiza wariancji jednoczynnikowa

:

1

H

Nie wszystkie średnie są równe.

MSTr

F

=

-rozkład F-Snedecora o (r-1,n-r) stopniach swobody

r

H

µ

µ

µ

=

=

=

...

:

2

1

0

MSE

MSTr

F

=

- średnie odchylenie kwadratowe między populacjami

- średnie odchylenie kwadratowe błędu losowego

gdzie:

MSTr

MSE

-rozkład F-Snedecora o (r-1,n-r) stopniach swobody

Obszar krytyczny testu:

©

Barbara Gładysz

i

n

j

ij

i

n

x

x

i

∑

=

Średnia w populacji (i)

r

n

Średnia z całej próby

n

x

x

r

i

n

j

ij

i

∑∑

=

=

1

©

Barbara Gładysz

(

)

∑∑

=

=

−

=

r

i

n

j

i

ij

i

x

x

SSE

1

1

2

r

n

SSE

MSE

−

=

Suma odchyleń kwadratowych od średnich w populacjach

Średnie odchylenie kwadratowe od średnich w populacjach

(

)

∑

=

−

=

r

i

i

i

x

x

n

SSTr

1

2

1

−

=

r

SSTr

MSTr

Suma odchyleń kwadratowych między populacjami

Średnie odchylenie kwadratowe od średnich między populacjami

©

Barbara Gładysz

Populacja

Pole

trójkaty

1

4

-2

4

6

0,826

2

5

-1

1

6

0,826

3

7

1

1

6

0,826

4

8

2

4

6

0,826

kwadraty

1

10

-1,5

2,25

11,5

21,076

2

11

-0,5

0,25

11,5

21,076

3

12

0,5

0,25

11,5

21,076

i

ij

x

x

−

(

)

2

i

ij

x

x

−

(

)

2

x

x

i

−

i

x

4

13

1,5

2,25

11,5

21,076

kółka

1

1

-1

1

2

24,099

2

2

0

0

2

24,099

3

3

1

1

2

24,099

SUMA

76

SSE=

17

SSTr

159,909

ś

rednia

n=11

6,909

x

8

17

=

−

=

r

n

SSE

MSE

95

,

79

2

9

,

159

1

=

=

−

=

r

SSTr

MSSTr

62

,

37

125

,

2

95

,

79

=

=

=

MSE

MSTr

F

©

Barbara Gładysz

62

,

37

95

,

79

=

=

=

MSTr

F

Analiza wariancji jednoczynnikowa

3

2

1

0

:

µ

µ

µ

=

=

H

:

1

H

Nie wszystkie średnie są równe.

62

,

37

125

,

2

95

,

79

=

=

=

MSE

MSTr

F

Poziom istotności testu

05

,

0

=

α

Wartość krytyczna F (3-1,11-3)=4,46

05

,

0

37,62 > 4,46 ->

odrzucamy hipotezę o równości średnich

©

Barbara Gładysz

©

Barbara Gładysz

Test Tuckeya jednorodno

ś

ci

dla jednakowych liczebno

ś

ci w grupach

(

)

MSE

q

r

n

r

T

=

−

,

Statystyka testowa dla ró

ż

nic studentyzowanych

(

)

i

n

MSE

q

r

n

r

T

α

α

=

−

,

Wnioskowanie:

(

)

(

)







→

−

<

→

−

>

−

równe

ś

rednie

r

n

r

T

rózne

ś

rednie

r

n

r

T

x

x

j

i

,

,

α

α

Test Tuckeya jednorodno

ś

ci

dla ró

ż

nych liczebno

ś

ci w grupach

(

)

MSE

q

r

n

r

T

,

=

−

Statystyka testowa dla ró

ż

nic studentyzowanych

(

)

( )

i

n

MSE

q

r

n

r

T

min

,

α

α

=

−

Wnioskowanie:

(

)

(

)







→

−

<

→

−

>

−

równe

ś

rednie

r

n

r

T

rózne

ś

rednie

r

n

r

T

x

x

j

i

,

,

α

α

Test Tuckeya jednorodno

ś

ci

dla jednakowych liczebno

ś

ci w grupach

(

)

4

,

3

125

,

2

04

,

4

,

=

=

=

−

MSE

q

r

n

r

T

Statystyka testowa dla ró

ż

nic studentyzowanych

(

)

4

,

3

3

125

,

2

04

,

4

,

=

=

=

−

i

n

MSE

q

r

n

r

T

α

α

Wnioskowanie:

rózne

pola

x

x

rózne

pola

x

x

rózne

pola

x

x

t

kw

t

ko

kw

ko

→

>

=

−

→

>

=

−

→

>

=

−

4

,

3

5

,

5

4

,

3

4

4

,

3

5

,

9

Test Tuckeya jednorodno

ś

ci

Analiza wariancji dwuczynnikowa

(z n powtórzeniami)

(z n powtórzeniami)

©

Barbara Gładysz

LOKALIZACJA (A)

MARKA

(B)

I

II

III

Centrum

41

31

35

39

28

32

43

33

36

43

33

36

Peryferia

27

19

27

31

22

23

26

23

25

Cena produktu w zale

ż

no

ś

ci od lokalizacji sklepu i firmy produkcyjnej

Ź

ródło: Mercik J., Szmigiel Cz. Ekonometria

©

Barbara Gładysz

Test Hartley’a równości wariancji

2

2

2

2

1

0

...

:

k

H

δ

δ

δ

=

=

=

:

H

Nie wszystkie wariancje są równe.

(

)

i

i

N

δ

µ

,

5

...

2

1

≥

=

=

=

=

n

n

n

n

k

ZAŁ.: k populacji o rozkładach normalnych

Liczno

ść

prób:

:

1

H

Nie wszystkie wariancje są równe.

-rozkład H (n ,k-1 )

Obszar krytyczny testu:

2

min

2

max

ˆ

ˆ

S

S

H

=

©

Barbara Gładysz

2

23

2

22

2

21

2

13

2

12

2

11

0

:

δ

δ

δ

δ

δ

δ

=

=

=

=

=

H

:

1

H

Nie wszystkie wariancje są równe.

LOKALIZACJA

(A)

FIRMA

(B)

I

II

III

Centrum

4

6,33

4,33

Peryferia

7

4,33

4

wariancje

2

ˆ

i

s

75

,

1

4

7

2

min

2

max

=

=

=

S

S

H

Wartość krytyczna H (6,3-1)=266

1,75 < 266 ->

nie ma postaw do odrzucenia hipotezy o równości wariancji

05

,

0

UWAGA: n<5 !

©

Barbara Gładysz

Test Bartlett’a równości wariancji

ZAŁ.: k populacji o rozkładach normalnych

(

)

i

i

N

δ

µ

,

Liczno

ść

prób:

k

i

n

i

,...,

2

,

1

,

=

2

2

2

2

1

0

...

:

k

H

δ

δ

δ

=

=

=

:

H

Nie wszystkie wariancje są równe.

:

1

H

Nie wszystkie wariancje są równe.

©

Barbara Gładysz

(

)

(

)













−

−

−

=

Χ

∑

=

k

i

i

i

s

n

s

k

n

c

1

2

2

2

ˆ

log

1

ˆ

log

303

,

2

∑

=

=

n

i

i

n

n

1

(

)

1

2

−

Χ

k

-rozkład

gdzie:

(

)

,

...

1

1

3

1

k

k

n

k

n

n

gdy

c

=

=

+

=

−

+

(

)













−

−

−

+

=

∑

=

−

+

k

i

i

k

k

k

n

n

c

1

1

3

1

1

1

1

1

(

)

2

1

2

ˆ

1

1

ˆ

i

k

i

i

s

n

k

n

s

∑

=

−

−

=

©

Barbara Gładysz

LOKALIZACJA

(A)

FIRMA

(B)

I

II

III

Centrum

4

6,33333

4,33333

Peryferia

7

4,33333

4

wariancje

2

ˆ

i

s

(

)

99

,

4

ˆ

1

1

ˆ

2

1

2

=

⋅

−

−

=

∑

=

i

k

i

i

s

n

k

n

s

(

)

(

)

03

,

1

ˆ

log

1

ˆ

log

303

,

2

1

2

2

2

=













−

−

−

=

Χ

∑

=

k

i

i

i

s

n

s

k

n

c

( )

07

,

11

5

2

05

,

0

=

Χ

<

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
o równo

ś

ci wariancji

.

0

H

©

Barbara Gładysz

Obszar krytyczny testu:

Obszar krytyczny testu:

©

Barbara Gładysz

a – liczba poziomów czynnika A,
b – liczba poziomów czynnika B,
n – liczba obserwacji w klasie.

ANALAZA WARIANCJI DWUCZYNNIKOWA

−

ijk

x

k - ta obserwacja dla poziomu i czynnika A oraz poziomu j czynnika B

©

Barbara Gładysz

..

..

2

..

1

0

...

:

a

H

µ

µ

µ

=

=

=

:

1

H

.

.

.

2

.

.

1

.

0

...

:

b

H

µ

µ

µ

=

=

=

Nie wszystkie powy

ż

sze równo

ś

ci zachodz

ą

.

:

1

H

Nie wszystkie powy

ż

sze równo

ś

ci zachodz

ą

.

Wpływ czynnika B na warto

ść

oczekiwan

ą

badanej cechy

.

Wpływ czynnika A na warto

ść

oczekiwan

ą

badanej cechy

.

0

...

:

.

.

12

.

11

0

=

=

=

=

ab

H

µ

µ

µ

:

1

H

Nie wszystkie powy

ż

sze równo

ś

ci zachodz

ą

.

:

1

H

Nie wszystkie powy

ż

sze równo

ś

ci zachodz

ą

.

Ł

ą

czny wpływ czynników A i B na warto

ść

oczekiwan

ą

badanej cechy

.

©

Barbara Gładysz

abn

X

X

a

i

b

j

n

k

ijk

∑∑∑

=

bn

X

X

b

j

n

k

ijk

i

∑∑

=

..

-

warto

ść

ś

rednia dla wszystkich obserwacji,

-

warto

ść

ś

rednia dla poziomu i czynnika

A,

an

X

X

a

i

n

k

ijk

j

∑∑

=

.

.

-

warto

ść

ś

rednia dla poziomu j czynnika B,

n

X

X

n

k

ijk

ij

∑

=

.

-

warto

ść

ś

rednia dla poziomu i czynnika A

oraz dla poziomu j czynnika B.

©

Barbara Gładysz

LOKALIZACJA (A)

MARKA (B)

I

II

III

Centrum

41

31

35

39

28

32

43

33

36

41,00

30,67

34,33

35,33

Peryferia

27

19

27

31

22

23

26

23

25

28,00

21,33

25,00

24,78

34,50

26,00

29,67

30,06

©

Barbara Gładysz

SSE

SSAB

SSB

SSA

SST

+

+

+

=

(

)

∑∑∑

=

=

=

−

=

a

i

b

j

ijk

n

k

X

X

SST

1

1

2

1

(

)

∑

=

−

=

a

i

i

X

X

bn

SSA

1

2

..

(

)

∑

−

=

b

X

X

an

SSB

2

gdzie:

- ł

ą

czna suma kwadratów odchyle

ń

,

- suma kwadratów odchyle

ń

dla czynnika A,

- suma kwadratów odchyle

ń

dla czynnika B,

(

)

∑

=

−

=

j

j

X

X

an

SSB

1

.

.

(

)

∑∑

=

=

+

−

−

=

a

i

b

j

j

i

ij

X

X

X

X

n

SSAB

1

1

2

.

.

..

.

(

)

∑∑∑

=

=

=

−

=

a

i

b

j

n

k

ij

ijk

X

X

SSE

1

1

1

2

.

- suma kwadratów odchyle

ń

dla czynnika B,

- suma kwadratów odchyle

ń

dla interakcji AxB,

- suma kwadratów odchyle

ń

dla bł

ę

du.

©

Barbara Gładysz

(

)

(

) (

)

(

)

94

,

792

05

,

30

25

...

05

,

30

31

05

,

30

41

2

2

2

1

3

1

3

1

2

2

=

−

+

+

−

+

−

=

−

=

∑∑∑

=

=

=

i

j

k

ijk

X

X

SST

(

)

(

) (

)

[

]

39

,

501

05

,

30

78

,

24

05

,

30

33

,

35

3

3

2

2

1

2

..

=

−

+

−

⋅

=

−

=

∑

=

a

i

i

X

X

bn

SSA

(

)

(

) (

) (

)

[

]

∑

=

−

+

−

+

−

⋅

⋅

=

−

=

b

j

j

X

X

an

SSB

1

2

2

2

2

.

.

05

,

30

67

,

29

05

,

30

00

,

26

05

,

30

50

,

34

3

2

(

)

=

+

−

−

=

∑∑

=

=

a

i

b

j

j

i

ij

X

X

X

X

n

SSAB

1

1

2

.

.

..

.

(

)

(

)

[

]

44

,

13

05

,

30

67

,

29

78

,

24

00

,

25

...

05

,

30

50

,

34

33

,

35

00

,

41

3

2

2

=

+

−

−

+

+

+

−

−

⋅

=

(

)

(

) (

)

(

)

60

25

25

..

41

39

41

41

2

2

2

2

1

3

1

3

1

2

.

=

−

+

+

−

+

−

=

−

=

∑∑∑

=

=

=

i

j

k

ij

ijk

X

X

SSE

©

Barbara Gładysz

Ź

ródło zmienności

Suma

kwadratów

odchyleń

Liczba

stopni

swobody

Ś

rednie odchylenie

kwadratowe

Wartość

statystyki

F-Snedecora

Czynnik A

SSA

a-1

Czynnik B

SSB

b-1

Interakcja

SSAB

(a-1)(b-1)

1

−

=

a

SSA

MSA

1

−

=

b

SSB

MSB

(

)( )

−

−

=

SSAB

MSAB

MSE

MSA

F

=

MSE

MSB

F

=

MSAB

F

=

Błąd

SSE

ab(n-1)

Suma

SST

abn-1

(

)( )

1

1

−

−

=

b

a

MSAB

( )

1

−

=

n

ab

SSE

MSE

MSE

F

=

©

Barbara Gładysz

Ź

ródło

zmienności

Suma
kwadratów
odchyleń

Liczba
stopni
swobody

Ś

rednie

odchylenie
kwadratowe

Statystyka
F-
Snedecora

Istotnoś
ć

F

Lokalizacja
(A)

501,39

1

501,39

100,28

~0,000

Marka (B)

218,11

2

109,06

21,81

0,0001

Interakcja

13,44

2

6,72

1,34

0,2973

Interakcja

13,44

2

6,72

1,34

0,2973

Błąd

60

12

5

Całkowita

792,94

17

©

Barbara Gładysz

Obszar krytyczny.

©

Barbara Gładysz

Ł

ą

czny wpływ lokalizacji i marki (A x B)

na warto

ść

oczekiwan

ą

ceny

.

.

23

.

12

.

11

0

...

:

µ

µ

µ

=

=

=

H

:

1

H

Nie wszystkie powy

ż

sze równo

ś

ci

zachodz

ą

.

1

( )

89

,

3

12

,

2

05

,

0

=

F

<

=

34

,

1

F

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
o braku ł

ą

cznego wpływu lokalizacji i marki na cen

ę

.

0

H

©

Barbara Gładysz

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

Centrum

Peryferia

ś

rednia

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

I

II

III

ś

rednia

©

Barbara Gładysz

Wpływ lokalizacji (A)

na warto

ść

oczekiwan

ą

ceny

.

..

2

..

1

0

:

µ

µ

=

H

..

2

..

1

1

:

µ

µ

≠

H

>

=

28

,

100

F

( )

75

,

4

12

,

1

05

,

0

=

F

Odrzucamy hipotez

ę

na korzy

ść

hipotezy

Lokalizacja sklepu ma wpływ na cen

ę

.

0

H

1

H

©

Barbara Gładysz

Wpływ marki (B)

na warto

ść

oczekiwan

ą

ceny

.

.

3

.

.

2

.

.

1

.

0

:

µ

µ

µ

=

=

H

:

1

H

Nie wszystkie powy

ż

sze równo

ś

ci

zachodz

ą

.

>

=

8

,

21

F

( )

89

,

3

12

,

2

05

,

0

=

F

Odrzucamy hipotez

ę

na korzy

ść

hipotezy

Marka ma wpływ na cen

ę

.

0

H

1

H

©

Barbara Gładysz

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

I

II

III

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

Centrum

Peryferia

III

ś

rednia

©

Barbara Gładysz

Obliczenia w Excelu

©

Barbara Gładysz

©

Barbara Gładysz

©

Barbara Gładysz

Analiza wariancji dwuczynnikowa

PRZYKŁAD INTERAKCJI

©

Barbara Gładysz

POLE

FIGURA KOLOR
(A)

(B)

4

trójkąt

czerwony

5

trójkąt

czerwony

7

trójkąt

czarny

8

trójkąt

czarny

8

trójkąt

czarny

10

kwadrat

czarny

11

kwadrat

czarny

12

kwadrat

czarny

13

kwadrat

czerwony

1

koło

czerwony

2

koło

czerwony

3

koło

czarny

©

Barbara Gładysz

Table of Least Squares Means for Col_1

with 95,0 Percent Confidence Intervals

--------------------------------------------------------------------------------

Stnd. Lower Upper

Level Count Mean Error Limit Limit

--------------------------------------------------------------------------------

GRAND MEAN 11 6,58333

Col_2

ko³o 3 2,25 0,433013 1,1369 3,3631

kwadrat 4 11,5 0,353553 10,5912 12,4088

trójk¹t 4 6,0 0,353553 5,09116 6,90884

Col_3

czarny 5 7,0 0,333333 6,14314 7,85686

czerwony 6 6,16667 0,288675 5,4246 6,90873

Col_2 by Col_3

ko³o czarny 1 3,0 0,707107 1,18232 4,81768

ko³o czerwony 2 1,5 0,5 0,214706 2,78529

kwadrat czarny 2 10,5 0,5 9,21471 11,7853

kwadrat czerwony 2 12,5 0,5 11,2147 13,7853

trójk¹t czarny 2 7,5 0,5 6,21471 8,78529

trójk¹t czerwony 2 4,5 0,5 3,21471 5,78529

--------------------------------------------------------------------------------

The StatAdvisor

---------------

This table shows the mean Col_1 for each level of the factors. It

also shows the standard error of each mean, which is a measure of its

sampling variability. The rightmost two columns show 95,0% confidence

intervals for each of the means. You can display these means and

intervals by selecting Means Plot from the list of Graphical Options.

©

Barbara Gładysz

Analysis of Variance for Col_1 - Type III Sums of Squares

--------------------------------------------------------------------------------

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value

--------------------------------------------------------------------------------

MAIN EFFECTS

A:Col_2 145,0 2 72,5 145,00 0,0000

B:Col_3 1,78571 1 1,78571 3,57 0,1174

INTERACTIONS

AB 13,0 2 6,5 13,00 0,0104

RESIDUAL 2,5 5 0,5

--------------------------------------------------------------------------------

TOTAL (CORRECTED) 176,909 10

--------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------

All F-ratios are based on the residual mean square error.

The StatAdvisor

---------------

The ANOVA table decomposes the variability of Col_1 into

contributions due to various factors. Since Type III sums of squares

(the default) have been chosen, the contribution of each factor is

measured having removed the effects of all other factors. The

P-values test the statistical significance of each of the factors.

Since 2 P-values are less than 0,05, these factors have a

statistically significant effect on Col_1 at the 95,0% confidence

level.

©

Barbara Gładysz

Interaction Plot

C

o

l_

1

Col_3

czarny
czerwony

6

9

12

15

Col_2

C

o

l_

1

0

3

6

ko³o

kwadrat

trójk¹t

©

Barbara Gładysz

ANOVA

dla danych zblokowanych

w kwadrat łaci

ń

ski

Dzie

ń

tygodnia

Sklep

1

2

3

4

5

Poniedziałek

B

C

A

D

E

Wtorek

A

D

C

E

B

Ś

roda

C

E

B

A

D

Czwartek

D

B

C

E

A

Pi

ą

tek

E

A

D

B

C

Źródło: Aczel A. D. Statystyka w zarządzaniuc

Rodzaj reklamy

ANOVA

ANOVA

dla danych zblokowanych

Dzie

ń

tygodnia

Sklep

S1

S2

S3

S4

S5

Poniedziałek

B

C

A

D

E

DANE ZBLOKOWANE W KWADRAT ŁACI

Ń

SKI

Wtorek

A

D

C

E

B

Ś

roda

C

E

B

A

D

Czwartek

D

B

E

C

A

Pi

ą

tek

E

A

D

B

C

Źródło: Aczel A. D. Statystyka w zarządzaniuc

Rodzaj reklamy

Dzie

ń

tygodnia

Sklep

S1

S2

S3

S4

S5

Poniedziałek

B=5

C=4

A=6

D=4

E=3

Wtorek

A=7

D=3

C=5

E=2

B=4

Sprzeda

ż

Wtorek

A=7

D=3

C=5

E=2

B=4

Ś

roda

C=4

E=3

B=4

A=8

D=4

Czwartek

D=3

B=5

E=4

C=5

A=7

Pi

ą

tek

E=3

A=7

D=3

B=6

C=5

Dzie

ń

tygodnia

Sklep

Sprzeda

ż

w dniach

tygodnia

S1

S2

S3

S4

S5

SUMA

Poniedziałek

5

4

6

4

3

22

Wtorek

7

3

5

2

4

21

Ś

roda

4

3

4

8

4

23

Czwartek

3

5

4

5

7

24

Pi

ą

tek

3

7

3

6

5

24

Sprzeda

ż

w

sklepach
(SUMA)

22

22

22

25

23

114

Sprzeda

ż

ogółem

Dzie

ń

tygodnia

Sklep

S1

S2

S3

S4

S5

Poniedziałek

B=5

C=4

A=6

D=4

E=3

Wtorek

A=7

D=3

C=5

E=2

B=4

Ś

roda

C=4

E=3

B=4

A=8

D=4

Czwartek

D=3

B=5

E=4

C=5

A=7

Pi

ą

tek

E=3

A=7

D=3

B=6

C=5

REKLAMA

Sklep

S1

S2

S3

S4

S5

SUMA

A

7

7

6

8

7

35

B

5

5

4

6

4

24

C

4

4

5

5

5

23

D

3

3

3

4

4

17

E

3

3

4

2

3

15

E

B

A

H

µ

µ

µ

=

=

=

...

:

0

:

1

H

Nie wszystkie powy

ż

sze równo

ś

ci zachodz

ą

.

- sprzeda

ż

nie zale

ż

y od rodzaju reklamy

- sprzeda

ż

zale

ż

y od rodzaju reklamy

©

Barbara Gładysz

Ź

ródło zmienności

Suma

kwadratów

odchyleń

Liczba

stopni

swobody

Ś

rednie odchylenie

kwadratowe

Wartość

statystyki

F-Snedecora

Bloki -wiersze

SSRB

r-1

MSRB

Bloki - kolumny

SSCB

r-1

MSCB

Zabiegi

SSTr

r-1

MSTr

F=MSTR/MSE

Błąd losowy

SSE

(r-1)(r-2)

MSE

Suma

SST

r

2

-1

©

Barbara Gładysz

OBLICZENIA

• SST= (suma kwadratów wszystkich liczb w tablicy) –

(suma wszystkich liczb w tablicy)^2/r^2

• SSRB = suma kwadratów sum w wierszach/r –

(suma wszystkich liczb w tablicy)^2/r^2

(suma wszystkich liczb w tablicy)^2/r^2

• SSCB = suma kwadratów sum w kolumnach/r –

(suma wszystkich liczb w tablicy)^2/r^2

• SSTr = suma kwadratów sum efektów zabiegów/r –

(suma wszystkich liczb w tablicy)^2/r^2

• SSE = SST – SSRB – SSCB - SSTr

Analiza wariancji

dla danych

zblokowanych w kwadratach łacińskich

:

1

H

Nie wszystkie średnie są równe.

MSTr

F

=

-rozkład F-Snedecora o (r-1,(r-1)(r-2)) stopniach swobody

r

H

µ

µ

µ

=

=

=

...

:

2

1

0

MSE

MSTr

F

=

- średnie odchylenie kwadratowe względem zabiegów

- średnie odchylenie kwadratowe błędu losowego

gdzie:

MSTr

MSE

-rozkład F-Snedecora o (r-1,(r-1)(r-2)) stopniach swobody

Obszar krytyczny testu:

©

Barbara Gładysz

PODSUMOWANIE

Licznik

Suma

Ś

rednia

Wariancja

Poniedziałek

5

22

4,4

1,3

Wtorek

5

21

4,2

3,7

Ś

roda

5

23

4,6

3,8

Czwartek

5

24

4,8

2,2

Pi

ą

tek

5

24

4,8

3,2

S1

5

22

4,4

2,8

S2

5

22

4,4

2,8

S3

5

22

4,4

1,3

S4

5

25

5

5

S5

5

23

4,6

2,3

ANALIZA WARIANCJI

Ź

ródło wariancji

SS

df

MS

F

Warto

ść

-p

Test F

Bloki – wiersze

dni tygodnia

1,36

4

0,34

Bloki – kolumny

sklepy

1,36

4

0,34

Zabiegi

Zabiegi

reklama

48,96

4

12,24

22,67

1,60483E-05

3,259167

Bł

ą

d

6,48

12

3,465

Razem

58,16

24

67

,

22

24

,

12

=

=

=

MSTr

F

E

D

C

B

A

H

µ

µ

µ

µ

=

=

=

=

:

0

:

1

H

Nie wszystkie średnie są równe.

67

,

22

465

,

3

24

,

12

=

=

=

MSE

MSTr

F

Poziom istotności testu

05

,

0

=

α

Wartość krytyczna F (5-1,(5-1)(5-2))=3,26

05

,

0

22,67 > 3,26 ->

odrzucamy hipotezę o równości średnich

©

Barbara Gładysz

Analiza wariancji

ulosowiony, całkowicie zblokowany plan eksperymentu

:

1

H

Nie wszystkie średnie są równe.

MSTr

F

=

-rozkład F-Snedecora o (r-1,(r-1)(r-2)) stopniach swobody

r

H

µ

µ

µ

=

=

=

...

:

2

1

0

MSE

MSTr

F

=

- średnie odchylenie kwadratowe względem zabiegów

- średnie odchylenie kwadratowe błędu losowego

gdzie:

MSTr

MSE

-rozkład F-Snedecora o (r-1,(r-1)(r-2)) stopniach swobody

Obszar krytyczny testu:

©

Barbara Gładysz

Ź

ródło zmienności

Suma

kwadratów

odchyleń

Liczba

stopni

swobody

Ś

rednie odchylenie

kwadratowe

Wartość

statystyki

F-Snedecora

Bloki

SSBL

n-1

MSRB

Zabiegi

SSTr

r-1

MSTr

F=MSTR/MSE

Błąd losowy

SSE

(n-1)(r-1)

MSE

Błąd losowy

SSE

(n-1)(r-1)

MSE

Suma

SST

nr-1

©

Barbara Gładysz

H0: Nie ma ró

ż

nicy w przeci

ę

tnej ocenie aktorek w opinii społecznej

Losowy porz

ą

dek prezentacji aktorek

pierwszy wybrany widz

Aktorka B

Aktorka C

Aktorka A

drugi wybrany widz

Aktorka C

Aktorka B

Aktorka A

trzeci wybrany widz

Aktorka A

Aktorka C

Aktorka B

czwarty wybrany widz

Aktorka B

Aktorka A

Aktorka C

…

……………………………