Weryfikacja modelu.

Założenia Gaussa-Markowa

•Związek pomiędzy zmienną objaśnianą y a zmiennymi objaśniającymi x , x ,K, x ma charakter liniowy 1

2

k

•W

• a

W rto

t ści

c

i z

mi

m e

i nnyc

y h o

bja

j śnia

i ją

j cyc

y h s

ą u

sta

t lo

l ne (

nie

i s

ą l

o

l sowe)

.

•Składniki losowe ε dla poszczególnych wartości zmiennych objaśniających mają rozkład normalny o wartości oczekiwanej zero i stałej wariancji N ( , 0 δε )

•Składniki losowe nie są ze sobą skorelowane.

© Barbara Gładysz

Test normalności (test 6 – Davida-Hellwiga).

H : Składnik losowy ma rozkład ma rozkład normalny N ( ; 0 S )

0

ε

1) Konstruujemy cele, dzieląc odcinek [0,1] na n rozłącznych odcinków o długości 1/n.

2) Wyznaczamy wartości dystrybuanty hipotetycznej reszt modelu F(e ) i sprawdzamy, i

do których cel wpadają.

3) Wyznaczamy liczbę pustych cel k Obszar krytyczny testu jest dwustronny [0 , k ] U [k , n-1]

1

2

© Barbara Gładysz

Produkcja

Zużycie

surowca

x

y

1

8

2

13

yˆ = 7,4 + 1

,

2 4 ⋅ x

3

14

4

17

25

5

18

6

20

20

7

22

15

ciewrous 10

5

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

produkcja

© Barbara Gładysz

yˆ = 7,4 + 1

,

2 4 ⋅ x

Produkcja

Zużycie

Przewidywane

Reszty

Surowca

zużycie

surowca

Rozkład reszt

x

y

yê

2

1

8

9,57

-1,57

1

0

2

13

11,71

1,29

-1 0

2

4

6

8

3

14

13,86

0,14

-2

4

17

16,00

1,00

produkcja

5

18

18,14

-0,14

6

20

20,29

-0,29

7

22

22,43

-0,43

© Barbara Gładysz

Stand.

Produkcja

Zużycie

Przewidywane

Reszty

reszty.

Dystrybuanta

Nr celi

Surowca

zużycie

surowca

e

e





=

e

F

x

y

yê

S

0

,

1 2





ε

 Sε 

1

8

9,57

-1,57

-1,65

0,049

1

2

13

11,71

1,29

1,35

0,912

7

3

14

13,86

0,14

0,15

0,56

4

4

17

16,00

1,00

1,05

0,853

6

5

18

18,14

-0

- ,14

-0

- ,15

0,44

4

6

20

20,29

-0,29

-0,30

0,382

3

7

22

22,43

-0,43

-0,45

0,326

3

1,001

0,858

0,715

tana 0,572

ub

try 0,429

syd 0,286

0,143

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

produkcja

© Barbara Gładysz

H : Składnik losowy ma rozkład ma rozkład normalny N ( , 0

1.02)

0

Liczba pustych cel: k=2

Dla α=0,05

Obszar krytyczny:

[0] U [4 , 6]

K=2 ∉ [0] U [4 , 6]

Nie ma podstaw do odrzucamy hipotezy H 0

© Barbara Gładysz

Test normalności dla dużej liczby obserwacji TEST 2

χ

H : Składnik losowy ma rozkład ma rozkład normalny N ( ; 0 S )

0

ε

r

2

(

)

2

χ = ∑ n n p

i −

⋅ i

2

- rozkład χ ( r − )

1

1

n p

i=

⋅ i

,r - liczba klas szeregu rozdzielczego, n

- ilość obserwacji w i-tej klasie, ni ≥

)

8

(

5

i

p

-prawdopodobieństwo hipotetyczne zaobserwowania wartości składnika losowego i

-w i-tej klasie.

Obszar krytyczny

© Barbara Gładysz

− ⋅

2

n

n

n p

Φ( xi ) p = Φ x − Φ x n ⋅

( i

i )

p

i

( i) ( i)

i

i

Klasa : od

do

n ⋅ pi

(−∞) -0,54903 16 0,290175 0,290175

15,08911

0,054989

-0,54903

0,254428

15

0,59292

0,302745

15,74273

0,035042

0,254428

1,05788

12

0,845346

0,252426

13,12617

0,096621

(+ ∞)

1,05788

7

1

0,154654

8,04199

0,135009

SUMA=

0,32166

© Barbara Gładysz

reszty

reszty

reszty

reszty

stand.

ni

stand.

ni

stand.

ni

stand.

ni

-1,94

-0,52

0,26

1,33

-1,90

-0,47

0,27

1,34

-1,75

-0,47

0,29

1,45

-1,22

-0,39

0,29

1,63

-1,12

-0,33

0,30

1,77

-0,97

-0,28

0,45

2,15

-0,88

-0,26

0,73

2,54

7

-0,86

-0,18

0,86

-0,83

-0,18

0,93

-0,

0 79

7

-0,

0 14

1

0,

0 96

9

Std. składniki resztowe

-0,73

0,08

1,02

-0,66

0,09

1,07

12

3

2,25

-0,63

0,16

1,5

-0,62

0,19

0,75

-0,60

0,24

15

0

-0,55

16

0

10

20

30

40

50

60

-0,75

-1,5

-2,25

© Barbara Gładysz

Test normalności dla dużej liczby obserwacji TEST 2

χ

H : Składnik losowy ma rozkład ma rozkład normalny N ( ; 0 S )

0

ε

r

( n

n p

i −

⋅ )2

2

χ = ∑

i

∑

= 3

,

0 2

2 (

)

- rozkład χ ( r −1

n p

i=

⋅

1

n

i

3

,

0 2

2

< χα (2) = 9

,

5 91

Nie ma podstaw do odrzucamy hipotezy H 0

© Barbara Gładysz

Symetria składnika losowego.

(test 12).

1

H : p+ =

0

2

1

H : p+ ≠

1

2

m

1

−

n

2

t =

rozkła

ł d t

-

t St

S u

t denta

t t(n-

n 1)

1

m 

m 

1 −



n 

n 

n −1

gdzie:

m – liczba dodatnich reszty modelu, n- liczba obserwacji.

Obszar krytyczny

© Barbara Gładysz

1

H : p+ =

Rozkład reszt

0

2

2

1

H : p

1

+ ≠

1

2

0

-1 0

2

4

6

8

m

1

3

1

−

−

-2

produkcja

n

2

7

2

t =

=

= 3

,

0 5

m 

m 

3 

3 

1−



1− 

n 

n 

7 

7 

n −1

7 −1

t = 3

,

0 5 < t

=

0,05 (6)

Obszar krytyczny

,

2 45

Nie ma podstaw do odrzucamy hipotezy H 0

Reszty są symetryczne

© Barbara Gładysz

Losowość reszt modelu (test 3 - Liczby serii).

H :

Reszty modelu są losowe

0

1) Porządkujemy reszty chronologicznie lub według rosnących wartości pe

p w

e n

w e

n j

e

j zmie

i n

e n

n e

n j

e

j ob

o j

b a

j ś

a ni

n a

i j

a ą

j ce

ą

j

ce .

j

2) Wyznaczamy liczbę serii L reszt tych samych znaków.

Obszar krytyczny testu jest dwustronny [2 , l ] U [l , n]

1

2

Statystyka L ma asymptotyczny rozkład normalny

 2 ⋅ m ⋅ ( n − m) 2 ⋅ m ⋅ ( n − m)⋅ (2 ⋅ m ⋅ ( n − m) − n) 



N 

+ ,

1



2

n

n ⋅ ( n − )



1



© Barbara Gładysz

Rozkład reszt 2

1

H : Reszty modelu są losowe 0

0

-1 0

2

4

6

8

-2

produkcja

Liczbę serii L = 3

Dla α=0,05

Obszar krytyczny:

[-] U [7]

L=3 ∉ [-] U [7]

Nie ma podstaw do odrzucamy hipotezy H 0

© Barbara Gładysz