Zależność liniowa

Estymator zgodny

współczynnika korelacji

(

)(

)

1

−

−

=

∑

=

y

y

x

x

r

n

i

i

i

Zał. Cechy X, Y mają dwuwymiarowy rozkład normalny

(

)

(

)

1

1

1

2

1

2

1

≤

≤

−

−

−

=

∑

∑

=

=

=

r

y

y

x

x

r

n

i

i

n

i

i

i

Produkcja

x

Zu

ż

ycie

Surowca

y

1

8

10

15

20

25

s

u

ro

w

ie

c

2

13

3

14

4

17

5

18

6

20

7

22

0

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

produkcja

©

Barbara Gładysz

r(X,Y)=0,98

Test istotności współczynnika korelacji

Zał.:

1. Cechy X, Y mają dwuwymiarowy rozkład normalny

(

)

0

,

:

0

=

Y

X

H

ρ

(

)

0

,

:

1

≠

Y

X

H

ρ

2

−

=

n

r

t

2

1

2

−

−

=

n

r

r

t

Obszar krytyczny dwustronny

- rozkład t-Studenta
o (n-2) stopniach swobody

Test istotności współczynnika korelacji

Zał.:

1. Cechy X, Y mają dwuwymiarowy rozkład normalny

(

)

0

,

:

0

=

Y

X

H

ρ

(

)

0

,

:

1

≠

Y

X

H

ρ

89

,

10

2

7

98

,

0

2

2

2

=

−

=

−

=

n

r

t

89

,

10

2

7

98

,

0

1

2

1

2

2

=

−

−

=

−

−

=

n

r

t

( )

57

,

2

5

89

,

10

05

,

0

=

>

=

t

t

Odrzucamy hipotezę na korzyść

0

H

1

H

Współczynnik korelacji jest istotnie różny od zera

Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów

KMNK

(

)

(

)

min

2

2

→

+

−

=

=

∑

∑

n

n

x

a

a

y

e

Q

(

)

(

)

min

1

2

1

0

1

2

→

+

−

=

=

∑

∑

=

=

t

t

t

t

x

a

a

y

e

Q

Regresja liniowa

(

)(

)









−

−

=

∑

=

y

y

x

x

a

n

n

i

i

i

1

1

(

)



















−

=

−

=

∑

=

x

a

y

a

x

x

a

n

i

i

1

0

1

2

1

Produkcja

x

Zu

ż

ycie

Surowca

y

Przewidywane

zu

ż

ycie

surowca

Reszty

e

1

8

9,57

-1,57

yˆ

x

y

⋅

+

=

14

,

2

4

,

7

ˆ

0

5

10

15

20

25

0

1

2

3

4

5

6

7

8

produkcja

s

u

ro

w

ie

c

2

13

11,71

1,29

3

14

13,86

0,14

4

17

16,00

1,00

5

18

18,14

-0,14

6

20

20,29

-0,29

7

22

22,43

-0,43

©

Barbara Gładysz