42
3. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów doskonałych
Równanie Bernoulliego wyraża zasadę, że w ruchu ustalonym nieściśliwego płynu idealnego
odbywającym się w polu sił ciężkości, całkowita energia płynu składająca się z energii kinetycznej,
energii potencjalnej ciśnienia i energii położenia jest stała wzdłuż danej linii prądu.
Najczęściej spotykana, algebraiczna postać równania Bernoulliego, wyrażająca zasadę zachowania
energii mechanicznej przedstawia się następująco:
const
z
g
p
g
U
=
+
⋅
+
ρ
2
2
gdzie:
g
U
2
2
-
wysokość prędkości
g
p
⋅
ρ
- wysokość ciśnienia
z -
wysokość położenia (wzniesienie)
Niewiadomymi w równaniu są prędkość U i ciśnienie p, gęstość
ρ
jest znana i niezmienna,
podobnie jak przyspieszenie ziemskie g.
Jeżeli uwzględnimy równanie ciągłości dla przepływu płynów nieściśliwych i przyjmiemy, że
równanie Bernoulliego ważne jest dla średniej linii prądu, otrzymamy:
S
1
U
1
= S
2
U
2
= ... = Q = idem
=
=
+
⋅
+
=
+
⋅
+
...
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
z
g
p
g
U
z
g
p
g
U
ρ
ρ
const
Rozwiązanie powyższych równań pozwoli nam uzyskać wartości prędkości średniej i ciśnienia
panującego w każdym z przekrojów.
Szczególnym przypadkiem prawa zachowania energii, jest prawo Torricellego, określające
prędkość wypływu cieczy ze zbiornika przez mały otwór w ścianie:
43
γ
γ
a
a
p
g
U
h
p
g
U
+
=
+
+
2
2
2
2
2
1
gdzie:
g
⋅
=
ρ
γ
- ciężar właściwy w N/m
3
Z równania ciągłości dla obu przekrojów mamy:
1
2
1
2
2
2
1
1
U
S
S
U
S
U
S
U
=
⇒
⋅
=
⋅
Jeżeli pole przekroju zbiornika jest znacznie większe od pola przekroju wylotu otworu wtedy
możemy pominąć
U
1
i określić prędkość wypływu
U
2
jako:
gh
U
2
2
=
Powyższa zależność została wyznaczona dla przypadku, w którym na powierzchni zbiornika jak i w
przestrzeni do której odbywał się wypływ, panowało ciśnienie atmosferyczne. Prawo Torricellego
można również odnieść do przypadku przepływu cieczy ze zbiornika A do B, w których występują
różne ciśnienia.
+
−
=
h
p
p
g
U
B
A
γ
2
2
Wartości prędkości wypływu np. wody i oleju obliczone z prawa Torricellego są takie same,
ponieważ prawo dotyczy przepływu płynu doskonałego i nie uwzględnia strat przepływu
występujących między przekrojami kontrolnymi, spowodowanych lepkością płynu. W przypadku
płynów lepkich prędkość wypływu jest mniejsza od teoretycznej, a związek pomiędzy prędkością
rzeczywistą U
rz
a teoretyczną przyjęto wyrażać w formie iloczynu:
U
U
rz
⋅
=
α
w którym
α
jest współczynnikiem prędkości, wartość którego zawiera się w granicach
α
= 0.96
÷
0.99.
Bezwładność poruszających się elementów płynu powoduje, że w niewielkiej odległości za
otworem występuje przewężenie strumienia. Zjawisko to nazywane jest kontrakcją strumienia, a
ilościowo określa je bezwymiarowy współczynnik kontrakcji
β
, będący ilorazem najmniejszego
przekroju strumienia f
0
do przekroju otworu f:
f
f
0
=
β
.
44
Wartość współczynnika kontrakcji uzależniona jest głównie od ostrości krawędzi otworu, a także
od kształtu i usytuowania otworu. Dla otworów kołowych o ostrych krawędziach współczynnik
kontrakcji zawiera się w granicach
β
= 0.60
÷ 0.64.
Mniejsze wartości rzeczywistej prędkości wypływu U
rz
i pola przekroju strumienia f
0
powodują, że
i rzeczywisty strumień objętości cieczy wypływającej przez mały otwór jest mniejszy od
teoretycznego. Iloraz rzeczywistego strumienia objętości do strumienia teoretycznego nazywamy
współczynnikiem przepływu
:
V
V
rz
&
&
=
µ
.
W prosty sposób można udowodnić, że:
β
α
µ
⋅
=
.
Wartość współczynnika przepływu przy wypływie z otworu o ostrych krawędziach zależy głównie
od wartości współczynnika kontrakcji i mieści się w granicach
µ = 0.60 ÷ 0.62.
PRZYKŁADOWE ZADANIA
Zadanie 3.1 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.1, str. 47)
Obliczyć, z jaką prędkością U
1
będzie przepływać woda przez
mały otwór znajdujący się w ściance zbiornika. Nad zwierciadłem
wody w zbiorniku i na wylocie z otworu panuje ciśnienie
atmosferyczne. Otwór znajduje się ma wysokości h = 5 m. Poziom
wody w zbiorniku jest stały.
Dane:
Wyznaczyć:
p
0
= p
1
= p
a
U
1
h = 5 m
Rozwiązanie:
Obierzmy dwa przekroje: 0-0 na powierzchni cieczy oraz 1-1 na wylocie ze zbiornika. Dla tych
dwóch przekrojów ułożymy równanie Bernoulliego. Jako poziom odniesienia przyjmijmy oś
otworu:
1
1
2
1
0
0
2
0
2
2
z
g
p
g
U
z
g
p
g
U
+
+
=
+
+
ρ
ρ
gdzie p
0
= p
1
= p
a
, z
0
= h, z
1
= 0. W przypadku h = const prędkość U
0
= const. Po uwzględnieniu
tych warunków równanie przybierze postać
0
2
2
0
2
1
+
+
=
+
+
g
p
g
U
h
g
p
g
a
a
ρ
ρ
skąd
s
m
gh
U
h
g
U
9
.
9
5
81
.
9
2
2
,
2
1
2
1
=
⋅
⋅
=
=
=
45
Zadanie 3.2
(poz. bibl. [3], zad. 3.1.2, str. 48)
Z dużego otwartego zbiornika wypływa woda przez
przewód składający się z dwóch odcinków o średnicach
d
1
= 30 mm, d
2
= 20 mm. Oś przewodu znajduje się w
odległości h = 4 m od zwierciadła wody w zbiorniku.
Obliczyć prędkości U
1
, U
2
oraz ciśnienia p
1
i p
2
panujące
w określonych odcinkach przewodu. Ciśnienie
atmosferyczne p
a
= 100 kN/m
2
.
Dane:
Wyznaczyć:
d
1
= 30 mm
U
1
, U
2
, p
1
, p
2
d
2
= 20 mm
h = 4 m
p
a
=100 kN/m
2
=100000
Pa
Rozwiązanie:
Obieramy dwa przekroje: 0-0 na powierzchni wody w zbiorniku i 2-2 na wylocie. Układamy dla
nich równanie Bernoulliego:
0
2
2
2
2
2
0
+
⋅
+
=
+
⋅
+
g
p
g
U
h
g
p
g
U
a
a
ρ
ρ
W równaniu tym mamy dwie niewiadome prędkości: U
0
i U
2
. W przypadku dużego zbiornika
można przyjąć U
0
= 0. Przy tym założeniu znajdziemy:
s
m
gh
U
85
.
8
4
81
.
9
2
2
2
=
⋅
⋅
=
=
Prędkość U
1
obliczamy z równania ciągłości:
2
1
Q
Q
=
gdzie Q
1
=(πd
1
2
/4)U
1
– strumień objętości w przewodzie o średnicy d
1
, Q
2
=(πd
2
2
/4)U
2
- strumień
objętości w przewodzie o średnicy d
2
, a więc:
,
4
4
2
2
2
1
2
1
U
d
U
d
π
π
=
skąd
s
m
d
d
U
U
94
.
3
03
.
0
02
.
0
85
.
8
2
2
1
2
2
1
=
=
=
Aby obliczyć ciśnienie p
1
w przewodzie o średnicy d
1
, obieramy dodatkowy przekrój 1-1 i
układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 oraz 1-1:
0
2
2
1
2
1
2
0
+
⋅
+
=
+
⋅
+
g
p
g
U
h
g
p
g
U
a
ρ
ρ
Z równania tego, przyjmując U
0
= 0, znajdziemy p
1
:
g
U
g
p
h
g
p
a
2
2
1
1
−
⋅
+
=
⋅
ρ
ρ
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
−
+
⋅
⋅
=
2
94
.
3
1000
100000
4
81
.
9
1000
2
2
2
1
1
U
p
h
g
p
a
ρ
ρ
2
1
.
132
m
kN
=
(ciśnienie absolutne)
46
lub
p
1n
= 32100 N/m
2
(nadciśnienie).
W analogiczny sposób obliczamy ciśnienie p
2
:
2
2
2
2
2
100
2
85
.
8
1000
100000
4
81
.
9
1000
2
m
kN
U
p
h
g
p
a
=
⋅
−
+
⋅
⋅
=
−
+
⋅
⋅
=
ρ
ρ
lub p
2n
= 0
(nadciśnienie).
Zadanie 3.3
(poz. bibl. [3], zad. 3.1.3, str. 48)
Tunel aerodynamiczny z otwartą częścią pomiarową ma wylot o
średnicy d = 500 mm. Do szerokiej części tunelu o średnicy D =
1200 mm podłączono wodny manometr U-rurkowy. Znaleźć
prędkość powietrza U w części pomiarowej tunelu, jeśli wskazanie
manometru wynosi H = 200 mm. Gęstość powietrza ρ
p
= 1.29
kg/m
3
. Pominąć straty tarcia.
Dane:
Wyznaczyć:
d = 500 mm
U
D = 1200 mm
H = 200 mm
ρ
p
= 1.29 kg/m
3
Rozwiązanie:
Obieramy dwa przekroje kontrolne: 1-1 w miejscu podłączenia manometru do szerokiej części
tunelu oraz 2-2 w przestrzeni pomiarowej. Dla tych dwóch przekrojów układamy równanie
Bernoulliego:
g
p
g
U
g
p
g
U
p
a
p
⋅
+
=
⋅
+
ρ
ρ
2
2
2
2
1
2
1
W równaniu tym pominięto wysokość położenia z, gdyż obrana struga jest pozioma.
Niewiadomymi wielkościami są U
1
, U
2
i p
1
.
Z równania ciągłości:
2
1
Q
Q
=
2
2
1
2
4
4
U
d
U
D
π
π
=
otrzymujemy:
2
2
1
=
D
d
U
U
Podstawiając wyrażenie na U
1
do równania Bernoulliego znajdziemy:
(
)
p
a
D
d
p
p
U
U
ρ
−
−
=
=
4
1
2
1
2
Różnica ciśnień:
.
1
g
H
p
p
w
a
⋅
⋅
=
−
ρ
47
Ostatecznie:
.
32
29
.
1
2
.
1
5
.
0
1
1000
2
.
0
81
.
9
2
1
2
4
4
2
s
m
D
d
H
g
U
p
w
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
=
ρ
ρ
Zadanie 3.4
(poz. bibl. [3], zad. 3.1.4, str. 48)
Dwa zbiorniki wypełnione wodą połączono
przewodem o średnicy d = 50 mm. Obliczyć
strumień objętości wody przepływającej z lewego
zbiornika do prawego, jeśli różnica poziomów
wody w zbiornikach jest stała i wynosi H = 2.1 m.
Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty
tarcia).
Dane:
Wyznaczyć:
d = 50 mm
Q
1
H = 2.1 m
Rozwiązanie:
Obieramy pierwszy przekrój kontrolny 0-0 na poziomie zwierciadła wody w lewym zbiorniku, a
przekrój drugi 1-1 na wylocie z przewodu do zbiornika prawego. Wprowadzamy dodatkową
niewiadomą h; jest to głębokość zanurzenia wylotu przewodu do zbiornika prawego. Układamy dla
tych przekrojów równanie Bernoulliego. Za poziom odniesienia przyjmujemy poziom wylotu z
przewodu.
.
0
2
2
2
1
2
0
+
⋅
+
+
=
+
+
⋅
+
g
g
h
p
g
U
h
H
g
p
g
U
a
a
ρ
ρ
ρ
Jeśli H = const, to prędkość U
0
= 0. Otrzymujemy wtedy:
g
g
h
p
g
U
h
H
g
p
a
a
⋅
⋅
⋅
+
+
=
+
+
⋅
ρ
ρ
ρ
2
2
1
Po uproszczeniu widzimy, że wprowadzona wielkość h zredukowała się, a prędkość:
.
2
1
gH
U
=
Strumień objętości:
s
dm
s
m
gH
d
U
S
Q
3
3
2
2
1
6
.
12
0126
.
0
1
.
2
81
.
9
2
4
05
.
0
2
4
=
=
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
=
π
π
Zadanie 3.5
(poz. bibl. [3], zad. 3.1.11, str. 50)
W zbiorniku znajduje się woda, która wypływa przez
przewód pionowo do góry. Odległość między
poziomem cieczy w zbiorniku a wylotem H
= 2 m.
Nadciśnienie panujące w zbiorniku p
n
= 50 kN/m
2
.
Obliczyć prędkość wypływu wody oraz wysokość h na
jaką wzniesie się strumień. Przekrój 2-2 obrany jest na
takiej wysokości, aby prędkość U
2
= 0. Wodę traktować
jako płyn idealny (straty tarcia w przewodzie oraz opór
powietrza pominąć). Gęstość wody przyjąć ρ = 1000 kg/m
3
.
48
Dane:
Wyznaczyć:
H
= 2 m
U
1
, h
p
n
= 50 kN/m
2
U
2
= 0
ρ = 1000 kg/m
3
Rozwiązanie
a) Dla przekrojów 0-0 i 1-1 z równania Bernoulliego określamy prędkość U
1
przy założeniu że
poziom odniesienia znajduje się na poziomie wylotu z przewodu:
g
p
g
U
H
g
p
p
g
U
a
n
a
⋅
+
=
+
⋅
+
+
ρ
ρ
2
2
2
1
2
0
Dla H
= const U
0
= 0, zatem:
⋅
+
=
g
p
H
g
U
n
ρ
2
1
b) Wysokość h obliczamy z równania Bernoulliego ułożonego dla przekrojów 1-1 i 2-2:
,
2
2
2
2
2
1
h
g
p
g
U
g
p
g
U
a
a
+
⋅
+
=
⋅
+
ρ
ρ
skąd:
.
7
81
.
9
1000
50000
2
2
2
1
m
g
p
H
g
U
h
n
≈
⋅
+
=
⋅
+
=
=
ρ
Zadanie 3.6
(poz. bibl. [3], zad. 3.1.15, str. 51)
Woda z lewego zbiornika przepływa przez otwór w bocznej
ściance o średnicy d
1
do prawego zbiornika, z którego z kolei
przez otwór o średnicy d
2
do atmosfery. Mając stałą różnicę
poziomów wody w zbiornikach H = 1 m oraz głębokość
zanurzenia drugiego otworu h
2
= 1.5 m, obliczyć prędkość
przepływu w poszczególnych otworach oraz stosunek średnic.
Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty tarcia).
Dane:
Wyznaczyć:
H
= 1 m
U
1
, U
2
, d
1
/d
2
h
2
= 1.5 m,
Rozwiązanie:
Układamy równania Bernoulliego:
a) Dla przekrojów 0-0 i 1-1:
,
2
2
2
1
2
0
g
h
g
p
g
U
h
H
g
p
g
U
a
a
⋅
⋅
⋅
+
+
=
+
+
⋅
+
ρ
ρ
ρ
przy czym U
0
= 0, h – założona głębokość położenia otworu o średnicy d
1
; stąd:
,
4
.
4
1
81
.
9
2
2
1
s
m
gH
U
=
⋅
⋅
=
=
49
b) Dla przekrojów 3-3 i 2-2
,
2
2
2
2
2
2
3
g
p
g
U
h
g
p
g
U
a
a
⋅
+
=
+
⋅
+
ρ
ρ
U
3
= 0, zatem:
s
m
gh
U
45
.
5
5
.
1
81
.
9
2
2
2
2
=
⋅
⋅
=
=
c) Z równania ciągłości znajdziemy:
11
.
1
4
.
4
45
.
5
1
2
2
1
=
=
=
U
U
d
d
Zadanie 3.7
(poz. bibl. [3], zad. 3.1.18, str. 52)
Ze zbiornika prostokątnego o przekroju a×b = 2 m ×1.2 m
przez przewód wypływa woda do atmosfery. Wysokość
wody w zbiorniku H
= 1.2 m. Średnice przewodu: d
1
= 100
mm, d
2
= 70 mm, d
3
= 50 mm. Określić strumień objętości
wypływającej wody i ciśnienia w przekrojach 1-1 i 2-2.
Płyn jest doskonały (h
1
= 0.5 m i h
2
= 2.4 m).
Dane:
Wyznaczyć:
a
= 2 m, b = 1.2 m
Q, p
1
, p
2
H = 1.5 m
d
1
= 100 mm
d
2
= 70 mm
d
3
= 50 mm
h
1
= 0.5 m
h
2
= 2.4 m
Rozwiązanie:
a) Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 3-3:
.
2
)
(
2
3
2
3
2
1
0
2
0
g
p
g
U
h
h
H
g
p
g
U
⋅
+
=
+
+
+
⋅
+
ρ
ρ
Ponieważ p
0
= p
3
= p
a
, równanie to uprości się do postaci:
.
2
2
2
3
2
1
2
0
g
U
h
h
H
g
U
=
+
+
+
Z równania ciągłości S
0
ּU
0
= S
3
ּU
3
znajdziemy:
.
4
2
3
3
0
3
3
0
b
a
d
U
S
S
U
U
⋅
=
=
π
Podstawiamy do równania Bernoulliego:
50
g
u
h
h
H
ab
d
g
u
2
4
2
2
3
2
1
2
2
3
2
3
=
+
+
+
π
,
4
1
2
2
1
2
2
3
2
3
h
h
H
ab
d
g
u
+
+
=
−
π
skąd:
(
)
(
)
s
m
b
a
d
h
h
H
g
U
29
.
9
9999
.
0
328
.
86
2
.
1
2
4
05
.
0
1
4
.
2
5
.
0
5
.
1
81
.
9
2
4
1
2
2
2
2
2
3
2
1
3
=
=
⋅
⋅
⋅
−
+
+
⋅
=
⋅
−
+
+
=
π
π
Strumień objętości wyniesie:
s
m
U
d
U
S
Q
U
3
3
2
3
3
3
0182
.
0
29
.
9
001963
.
0
4
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
π
b) Prędkości w poszczególnych odcinkach przewodu:
,
74
.
4
07
.
0
05
.
0
29
.
9
2
2
2
3
3
2
s
m
d
d
U
U
=
=
=
.
32
.
2
1
.
0
05
.
0
29
.
9
2
2
1
3
3
1
s
m
d
d
U
U
=
=
=
c) Ciśnienia w przekrojach 2-2 i 1-1:
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 2-2 i 3-3:
,
,
2
2
3
3
2
3
2
2
2
2
a
p
p
gdzie
g
p
g
U
h
g
p
g
U
=
⋅
+
=
+
⋅
+
ρ
ρ
a
p
h
g
U
U
p
+
⋅
⋅
−
−
=
2
2
2
2
3
2
2
)
(
ρ
ρ
Pa
p
108372
100000
23544
31916
100000
4
.
2
81
.
9
1000
2
)
74
.
4
29
.
9
(
1000
2
2
2
=
+
−
=
+
⋅
⋅
−
−
=
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 1-1 i 3-3:
(
)
a
p
h
h
g
U
U
p
+
+
⋅
−
−
=
2
1
2
1
2
3
1
2
)
(
ρ
ρ
(
)
Pa
p
113510
100000
28449
41959
100000
4
.
2
5
.
0
81
.
9
1000
2
)
32
.
2
29
.
9
(
1000
2
2
1
=
+
−
=
+
+
⋅
−
−
=
51
Zadanie 3.8
(poz. bibl. [3], zad. 3.1.10, str. 50)
Woda o temperaturze t = 40
0
C wypływa ze zbiornika przez przewód z
przewężeniem. Obliczyć stosunek średnic d/D, dla którego wystąpi
kawitacja w przewężeniu przewodu. Przyjąć H
= 400 mm, h
= 800 mm,
p
a
= 90 kN/m
2
. Dla wody o temperaturze 40
0
C ciśnienie wrzenia wynosi
p
w
= 7520 N/m
2
.
Dane:
Wyznaczyć:
H
=
400
mm
d/D
h
= 800 mm
p
a
= 90 kN/m
2
p
w
= 7520 N/m
2
Rozwiązanie:
Obieramy przekroje: 0-0 na powierzchni zwierciadła wody, 1-1 w przewężeniu, i 2-2 na wylocie do
atmosfery. Z równania ciągłości mamy:
1
2
2
2
1
2
2
1
4
4
U
U
D
d
U
D
U
d
Q
Q
=
⋅
=
⋅
=
π
π
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 2-2 wyznaczamy U
2
:
g
p
g
U
h
H
g
p
g
U
a
a
ρ
ρ
+
=
+
+
+
2
2
2
2
2
0
,
Przy założeniu, że U
0
= 0 mamy:
)
(
2
2
h
H
g
U
+
=
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1 wyznaczamy U
1
przy założeniu że ciśnienie w
tym przekroju równe jest ciśnieniu wrzenia p
w
:
⋅
−
+
+
=
+
=
+
+
+
g
p
p
h
H
g
U
g
p
g
U
h
H
g
p
g
U
w
a
w
a
ρ
ρ
ρ
2
2
2
2
2
1
2
1
2
0
Stosunek średnic wyniesie wtedy:
64
,
0
2
4
=
⋅
−
+
+
+
=
g
p
p
h
H
h
H
D
d
w
a
ρ
52
Zadanie 3.9
(poz. bibl. [3], zad. 3.1.13, str. 50)
Woda ze zbiornika wypływa przez przewód rozgałęziający.
Średnice rozgałęzień przewodów wylotowych są równe i
wynoszą d = 25 mm. Odległość h = 1,2 m. Jaka musi być
wysokość H wody w zbiorniku, aby strumień objętości
wody wypływającej przez przewód górny był dwa razy
mniejszy od strumienia objętości wody płynącej przez
przewód dolny. Obliczyć strumienie objętości Q
1
i Q
2
.
Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty tarcia).
Dane:
Wyznaczyć:
d =
25
mm
H, Q
1
, Q
2
.
h = 1,2 m
Q
2
= 2 Q
1
Rozwiązanie:
Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1:
h
g
p
g
U
H
g
p
g
U
a
a
+
+
=
+
+
ρ
ρ
2
2
2
1
2
0
Zakładając, że U
0
= 0, U
1
wynosi:
)
(
2
1
h
H
g
U
−
=
Z równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 2-2 otrzymamy U
2
:
)
(
2
2
h
H
g
U
+
=
Wysokość H wyliczamy z zależności między strumieniami objętości:
Q
2
= 2ּQ
1,
)
(
2
4
2
)
(
2
4
2
2
h
H
g
d
h
H
g
d
−
⋅
⋅
=
+
⋅
π
π
Stąd:
m
h
H
2
3
5 =
=
Strumienie objętości wyniosą:
s
dm
h
H
g
d
U
d
Q
s
dm
h
H
g
d
U
d
Q
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
89
,
3
)
(
2
4
4
95
,
1
)
(
2
4
4
=
+
⋅
=
⋅
=
=
−
⋅
=
⋅
=
π
π
π
π
Zadanie 3.10
W dnie stalowego zbiornika znajduje się ostrokrawędziowy otwór o średnicy d = 2 cm przez który
wypływa woda. Poziom wody w zbiorniku jest stały i znajduje się na wysokości h = 1.5 m od dna.
Wyznaczyć współczynnik przepływu jeżeli wiadomo, że w ciągu 5-ci minut wypłynęło ze zbiornika
330 litrów wody. Obliczyć współczynnik kontrakcji otworu przy założeniu, że współczynnik
prędkości wynosi
α
= 0.95.
53
Dane:
Wyznaczyć:
d = 2 cm
µ, β
h = 1,5 m
t = 5 min
V = 330 l
α = 0.95
Rozwiązanie:
Współczynnik przepływu obliczamy ze wzoru definicyjnego:
V
V
rz
&
&
=
µ
.
Rzeczywisty strumień objętości wynosi:
s
m
t
V
V
rz
3
3
0011
.
0
60
5
10
330
=
⋅
⋅
=
=
−
&
.
Strumień objętości teoretyczny liczymy jako iloczyn pola otworu i prędkości teoretycznej
obliczonej ze wzoru Torricellego:
s
m
gh
d
U
f
V
3
2
2
0017
.
0
42
.
5
000314
.
0
5
.
1
81
.
9
2
4
02
.
0
14
.
3
2
4
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
π
&
.
Wtedy:
65
.
0
647
.
0
0017
.
0
0011
.
0
≈
=
=
µ
Współczynnik kontrakcji liczymy z kolei ze wzoru:
68
.
0
684
.
0
95
.
0
65
.
0
≈
=
=
=
α
µ
β
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
Zadanie 3.11
(poz. bibl. [3], zad. 3.2.5, str. 55)
W przewód o średnicy D = 100 mm wstawiono zwężkę
Venturiego. Do zwężki podłączono manometr rtęciowy.
Obliczyć strumień objętości wody przepływającej przez
przewód jeśli różnica poziomów rtęci w manometrze H =
200 mm. Nad rtęcią w jednym i drugim ramieniu znajduje
się woda. Średnica przewężenia zwężki d = 50 mm.
Odpowiedź:
Q = 0.01429 m
3
/s
Zadanie 3.12
(poz. bibl. [3], zad. 3.2.4, str. 55)
W celu zmierzenia prędkości przepływających przez przewód spalin
wstawiono do niego statyczną rurkę Pitota i podłączono ją do
manometru spirytusowego. Różnica poziomów wynosił H = 5 mm.
Temperatura spalin t = 400
o
C. Gęstość spalin w warunkach
normalnych
ρ
0
= 1.29 kg/m
3
. (Średnica d rurki Pitota jest dużo
mniejsza od średnicy przewodu D). Przyjąć
ρ
m
= 827 kg/m
3
.
Wskazówka: W warunkach normalnych: t = 0
o
C, p = 760 mm Hg
(1013 hPa).
Odpowiedź:
U
0
= 12.45 m/s
54
Zadanie 3.13
(poz. bibl. [3], zad. 3.2.3, str. 54)
Określić strumień objętości Q za pomocą zwężki Venturiego o
wymiarach D = 100 mm, d = 50 mm wstawionej do poziomego
przewodu którym płynie woda, jeśli różnica wskazań ciśnień
na wlocie do zwężki i w przewężeniu wynosi H = 50 mm.
Odpowiedź:
Q = 2 dm
3
/s
Zadanie 3.14
(poz. bibl. [3], zad. 3.2.9, str. 56)
Na jaką wysokość h podniesie się rtęć w rurce podłączonej jednym
końcem do zwężki Venturiego a drugim do otwartego naczynia z
rtęcią, jeśli zwężkę umieścimy w powietrzu przepływającym z
prędkością U = 40 m/s. Wymiary zwężki: D = 80 mm, d = 40 mm.
Odpowiedź:
h = 0.114 m
Zadanie 3.15
(poz. bibl. [6], zad. 3.1.6, str. 42)
W dnie naczynia cylindrycznego o średnicy D znajduje się otwór którego
średnica jest równa d. Nad cieczą wypełniającą naczynie umieszczono tłok
o ciężarze G, poruszający się szczelnie lecz bez tarcia. Pomijając straty w
otworze wypływowym, określić zależność pomiędzy prędkością U
1
wypływającej cieczy a położeniem tłoka h. Przyjąć gęstość cieczy równą
ρ.
Odpowiedź:
4
4
2
1
1
4
2
D
d
D
G
g
h
U
−
+
⋅
=
ρ
π
Zadanie 3.16
(poz. bibl. [6], zad. 3.1.21, str. 48)
Ze zbiornika ciśnieniowego wypływa woda (o
temperaturze T = 313 K) przez przewód o średnicy D, w
którym znajduje się przewężenie. Średnica przewężenia d
= 0.8D. Przy jakim nadciśnieniu p
n
panującym w
zbiorniku, może wystąpić zjawisko kawitacji? Przyjąć:
wysokość poziomu cieczy w zbiorniku H = 1.2 m,
ciśnienie wrzenia wody w danej temperaturze p
w
= 7.5
kPa, ciśnienie barometryczne p
a
= 101 kPa oraz gęstość
wody ρ = 1000 kg/m
3
. Wszystkie straty pominąć.
Odpowiedź:
(
)
kPa
H
g
p
p
p
w
a
n
53
6938
.
0
=
⋅
⋅
−
−
=
ρ
55
Zadanie 3.17
(poz. bibl. [3], zad. 3.1.6, str. 49)
Woda z większego zbiornika przepływa do zbiornika mniejszego
za pomocą lewara. Różnica poziomów wody w zbiornikach
wynosi h = 3 m. Kolano lewara znajduje się na wysokości H = 6
m. Wyznaczyć: a) jaka musi być średnica przewodu, aby strumień
objętości wody wynosił Q = 27.8 dm
3
/s, b) jakie ciśnienie panuje
w kolanie lewara.
Odpowiedź:
a) d = 68 mm, b) ciśnienie absolutne p
2
= 41140 Pa.
Zadanie 3.18
(poz. bibl. [3], zad. 3.1.8, str. 49)
Na cylindrycznej części wlotu do wentylatora o średnicy D = 200
mm, zasysającego powietrze z atmosfery, umieszczono szklaną
rurkę, której drugi koniec jest zatopiony w naczyniu z wodą.
Obliczyć strumień objętości powietrza przepływającego przez
wentylator jeśli woda w rurce podniosła się do wysokości h =
250 mm. Gęstość powietrza ρ
p
= 1.29 kg/m
3
.
Odpowiedź:
Q = 1.94 m
3
/s.
Zadanie 3.19
Ciecz o gęstości ρ płynie wzdłuż poziomego rurociągu
o zwężającym się przekroju jak na rysunku. Do
rurociągu podłączono manometr różnicowy rtęciowy
mierzący różnicę ciśnień przed i za przewężeniem,
którego wskazanie wynosi H. Obliczyć strumień
objętości cieczy przepływającej przez rurociąg.
Odpowiedź:
(
)
ρ
ρ
π
−
⋅
=
m
gH
d
Q
15
2
2
.
Zadanie 3.20
W ścianie otwartego zbiornika znajduje się mały prostokątny otwór o wymiarach 2 cm
× 1 cm
zanurzony na głębokość h = 1 m poniżej zwierciadła, przez który wypływa woda. Obliczyć, jaka
objętość teoretyczna wody wypłynie przez ten otwór w czasie 1 minuty. O ile litrów będzie
mniejsza objętość rzeczywista przy założeniu, że współczynnik przepływu wynosi
µ
= 0.64.
Odpowiedź:
V = 53 l,
∆
V = 19 l.