42

3. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów doskonałych

Równanie Bernoulliego wyraża zasadę, że w ruchu ustalonym nieściśliwego płynu idealnego

odbywającym się w polu sił ciężkości, całkowita energia płynu składająca się z energii kinetycznej,
energii potencjalnej ciśnienia i energii położenia jest stała wzdłuż danej linii prądu.

Najczęściej spotykana, algebraiczna postać równania Bernoulliego, wyrażająca zasadę zachowania
energii mechanicznej przedstawia się następująco:

const

z

g

p

g

U

=

+

⋅

+

ρ

2

2

gdzie:

g

U

2

2

-

wysokość prędkości

g

p

⋅

ρ

- wysokość ciśnienia

z -

wysokość położenia (wzniesienie)

Niewiadomymi w równaniu są prędkość U i ciśnienie p, gęstość

ρ

jest znana i niezmienna,

podobnie jak przyspieszenie ziemskie g.
Jeżeli uwzględnimy równanie ciągłości dla przepływu płynów nieściśliwych i przyjmiemy, że
równanie Bernoulliego ważne jest dla średniej linii prądu, otrzymamy:

S

1

U

1

= S

2

U

2

= ... = Q = idem

=

=

+

⋅

+

=

+

⋅

+

...

2

2

2

2

2

2

1

1

2

1

z

g

p

g

U

z

g

p

g

U

ρ

ρ

const

Rozwiązanie powyższych równań pozwoli nam uzyskać wartości prędkości średniej i ciśnienia
panującego w każdym z przekrojów.

Szczególnym przypadkiem prawa zachowania energii, jest prawo Torricellego, określające
prędkość wypływu cieczy ze zbiornika przez mały otwór w ścianie:

43

γ

γ

a

a

p

g

U

h

p

g

U

+

=

+

+

2

2

2

2

2

1

gdzie:

g

⋅

=

ρ

γ

- ciężar właściwy w N/m

3

Z równania ciągłości dla obu przekrojów mamy:

1

2

1

2

2

2

1

1

U

S

S

U

S

U

S

U

=

⇒

⋅

=

⋅

Jeżeli pole przekroju zbiornika jest znacznie większe od pola przekroju wylotu otworu wtedy
możemy pominąć

U

1

i określić prędkość wypływu

U

2

jako:

gh

U

2

2

=

Powyższa zależność została wyznaczona dla przypadku, w którym na powierzchni zbiornika jak i w
przestrzeni do której odbywał się wypływ, panowało ciśnienie atmosferyczne. Prawo Torricellego
można również odnieść do przypadku przepływu cieczy ze zbiornika A do B, w których występują
różne ciśnienia.













+

−

=

h

p

p

g

U

B

A

γ

2

2

Wartości prędkości wypływu np. wody i oleju obliczone z prawa Torricellego są takie same,
ponieważ prawo dotyczy przepływu płynu doskonałego i nie uwzględnia strat przepływu
występujących między przekrojami kontrolnymi, spowodowanych lepkością płynu. W przypadku
płynów lepkich prędkość wypływu jest mniejsza od teoretycznej, a związek pomiędzy prędkością
rzeczywistą U

rz

a teoretyczną przyjęto wyrażać w formie iloczynu:

U

U

rz

⋅

=

α

w którym

α

jest współczynnikiem prędkości, wartość którego zawiera się w granicach

α

= 0.96

÷

0.99.
Bezwładność poruszających się elementów płynu powoduje, że w niewielkiej odległości za
otworem występuje przewężenie strumienia. Zjawisko to nazywane jest kontrakcją strumienia, a
ilościowo określa je bezwymiarowy współczynnik kontrakcji

β

, będący ilorazem najmniejszego

przekroju strumienia f

0

do przekroju otworu f:

f

f

0

=

β

.

44

Wartość współczynnika kontrakcji uzależniona jest głównie od ostrości krawędzi otworu, a także
od kształtu i usytuowania otworu. Dla otworów kołowych o ostrych krawędziach współczynnik
kontrakcji zawiera się w granicach

β

= 0.60

÷ 0.64.

Mniejsze wartości rzeczywistej prędkości wypływu U

rz

i pola przekroju strumienia f

0

powodują, że

i rzeczywisty strumień objętości cieczy wypływającej przez mały otwór jest mniejszy od
teoretycznego. Iloraz rzeczywistego strumienia objętości do strumienia teoretycznego nazywamy
współczynnikiem przepływu

:

V

V

rz

&

&

=

µ

.

W prosty sposób można udowodnić, że:

β

α

µ

⋅

=

.

Wartość współczynnika przepływu przy wypływie z otworu o ostrych krawędziach zależy głównie
od wartości współczynnika kontrakcji i mieści się w granicach

µ = 0.60 ÷ 0.62.

PRZYKŁADOWE ZADANIA

Zadanie 3.1 (poz. bibl. [3], zad. 3.1.1, str. 47)

Obliczyć, z jaką prędkością U

1

będzie przepływać woda przez

mały otwór znajdujący się w ściance zbiornika. Nad zwierciadłem
wody w zbiorniku i na wylocie z otworu panuje ciśnienie
atmosferyczne. Otwór znajduje się ma wysokości h = 5 m. Poziom
wody w zbiorniku jest stały.

Dane:

Wyznaczyć:

p

0

= p

1

= p

a

U

1

h = 5 m

Rozwiązanie:

Obierzmy dwa przekroje: 0-0 na powierzchni cieczy oraz 1-1 na wylocie ze zbiornika. Dla tych
dwóch przekrojów ułożymy równanie Bernoulliego. Jako poziom odniesienia przyjmijmy oś
otworu:

1

1

2

1

0

0

2

0

2

2

z

g

p

g

U

z

g

p

g

U

+

+

=

+

+

ρ

ρ

gdzie p

0

= p

1

= p

a

, z

0

= h, z

1

= 0. W przypadku h = const prędkość U

0

= const. Po uwzględnieniu

tych warunków równanie przybierze postać

0

2

2

0

2

1

+

+

=

+

+

g

p

g

U

h

g

p

g

a

a

ρ

ρ

skąd

s

m

gh

U

h

g

U

9

.

9

5

81

.

9

2

2

,

2

1

2

1

=

⋅

⋅

=

=

=

45

Zadanie 3.2

(poz. bibl. [3], zad. 3.1.2, str. 48)

Z dużego otwartego zbiornika wypływa woda przez
przewód składający się z dwóch odcinków o średnicach
d

1

= 30 mm, d

2

= 20 mm. Oś przewodu znajduje się w

odległości h = 4 m od zwierciadła wody w zbiorniku.
Obliczyć prędkości U

1

, U

2

oraz ciśnienia p

1

i p

2

panujące

w określonych odcinkach przewodu. Ciśnienie
atmosferyczne p

a

= 100 kN/m

2

.

Dane:

Wyznaczyć:

d

1

= 30 mm

U

1

, U

2

, p

1

, p

2

d

2

= 20 mm

h = 4 m
p

a

=100 kN/m

2

=100000

Pa

Rozwiązanie:

Obieramy dwa przekroje: 0-0 na powierzchni wody w zbiorniku i 2-2 na wylocie. Układamy dla
nich równanie Bernoulliego:

0

2

2

2

2

2

0

+

⋅

+

=

+

⋅

+

g

p

g

U

h

g

p

g

U

a

a

ρ

ρ

W równaniu tym mamy dwie niewiadome prędkości: U

0

i U

2

. W przypadku dużego zbiornika

można przyjąć U

0

= 0. Przy tym założeniu znajdziemy:

s

m

gh

U

85

.

8

4

81

.

9

2

2

2

=

⋅

⋅

=

=

Prędkość U

1

obliczamy z równania ciągłości:

2

1

Q

Q

=

gdzie Q

1

=(πd

1

2

/4)U

1

– strumień objętości w przewodzie o średnicy d

1

, Q

2

=(πd

2

2

/4)U

2

- strumień

objętości w przewodzie o średnicy d

2

, a więc:

,

4

4

2

2

2

1

2

1

U

d

U

d

π

π

=

skąd

s

m

d

d

U

U

94

.

3

03

.

0

02

.

0

85

.

8

2

2

1

2

2

1

=













=













=

Aby obliczyć ciśnienie p

1

w przewodzie o średnicy d

1

, obieramy dodatkowy przekrój 1-1 i

układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 oraz 1-1:

0

2

2

1

2

1

2

0

+

⋅

+

=

+

⋅

+

g

p

g

U

h

g

p

g

U

a

ρ

ρ

Z równania tego, przyjmując U

0

= 0, znajdziemy p

1

:

g

U

g

p

h

g

p

a

2

2

1

1

−

⋅

+

=

⋅

ρ

ρ

=

⋅

−

+

⋅

⋅

=

−

+

⋅

⋅

=

2

94

.

3

1000

100000

4

81

.

9

1000

2

2

2

1

1

U

p

h

g

p

a

ρ

ρ

2

1

.

132

m

kN

=

(ciśnienie absolutne)

46

lub

p

1n

= 32100 N/m

2

(nadciśnienie).

W analogiczny sposób obliczamy ciśnienie p

2

:

2

2

2

2

2

100

2

85

.

8

1000

100000

4

81

.

9

1000

2

m

kN

U

p

h

g

p

a

=

⋅

−

+

⋅

⋅

=

−

+

⋅

⋅

=

ρ

ρ

lub p

2n

= 0

(nadciśnienie).

Zadanie 3.3

(poz. bibl. [3], zad. 3.1.3, str. 48)

Tunel aerodynamiczny z otwartą częścią pomiarową ma wylot o
średnicy d = 500 mm. Do szerokiej części tunelu o średnicy D =
1200 mm podłączono wodny manometr U-rurkowy. Znaleźć
prędkość powietrza U w części pomiarowej tunelu, jeśli wskazanie
manometru wynosi H = 200 mm. Gęstość powietrza ρ

p

= 1.29

kg/m

3

. Pominąć straty tarcia.

Dane:

Wyznaczyć:

d = 500 mm

U

D = 1200 mm
H = 200 mm
ρ

p

= 1.29 kg/m

3

Rozwiązanie:

Obieramy dwa przekroje kontrolne: 1-1 w miejscu podłączenia manometru do szerokiej części
tunelu oraz 2-2 w przestrzeni pomiarowej. Dla tych dwóch przekrojów układamy równanie
Bernoulliego:

g

p

g

U

g

p

g

U

p

a

p

⋅

+

=

⋅

+

ρ

ρ

2

2

2

2

1

2

1

W równaniu tym pominięto wysokość położenia z, gdyż obrana struga jest pozioma.
Niewiadomymi wielkościami są U

1

, U

2

i p

1

.

Z równania ciągłości:

2

1

Q

Q

=

2

2

1

2

4

4

U

d

U

D

π

π

=

otrzymujemy:

2

2

1













=

D

d

U

U

Podstawiając wyrażenie na U

1

do równania Bernoulliego znajdziemy:

(

)

p

a

D

d

p

p

U

U

ρ



























−

−

=

=

4

1

2

1

2

Różnica ciśnień:

.

1

g

H

p

p

w

a

⋅

⋅

=

−

ρ

47

Ostatecznie:

.

32

29

.

1

2

.

1

5

.

0

1

1000

2

.

0

81

.

9

2

1

2

4

4

2

s

m

D

d

H

g

U

p

w

=

⋅



























−

⋅

⋅

⋅

=



























−

⋅

⋅

=

ρ

ρ

Zadanie 3.4

(poz. bibl. [3], zad. 3.1.4, str. 48)

Dwa zbiorniki wypełnione wodą połączono
przewodem o średnicy d = 50 mm. Obliczyć
strumień objętości wody przepływającej z lewego
zbiornika do prawego, jeśli różnica poziomów
wody w zbiornikach jest stała i wynosi H = 2.1 m.
Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty
tarcia).

Dane:

Wyznaczyć:

d = 50 mm

Q

1

H = 2.1 m

Rozwiązanie:

Obieramy pierwszy przekrój kontrolny 0-0 na poziomie zwierciadła wody w lewym zbiorniku, a
przekrój drugi 1-1 na wylocie z przewodu do zbiornika prawego. Wprowadzamy dodatkową
niewiadomą h; jest to głębokość zanurzenia wylotu przewodu do zbiornika prawego. Układamy dla
tych przekrojów równanie Bernoulliego. Za poziom odniesienia przyjmujemy poziom wylotu z
przewodu.

.

0

2

2

2

1

2

0

+

⋅

+

+

=

+

+

⋅

+

g

g

h

p

g

U

h

H

g

p

g

U

a

a

ρ

ρ

ρ

Jeśli H = const, to prędkość U

0

= 0. Otrzymujemy wtedy:

g

g

h

p

g

U

h

H

g

p

a

a

⋅

⋅

⋅

+

+

=

+

+

⋅

ρ

ρ

ρ

2

2

1

Po uproszczeniu widzimy, że wprowadzona wielkość h zredukowała się, a prędkość:

.

2

1

gH

U

=

Strumień objętości:

s

dm

s

m

gH

d

U

S

Q

3

3

2

2

1

6

.

12

0126

.

0

1

.

2

81

.

9

2

4

05

.

0

2

4

=

=

⋅

⋅

⋅

=

=

⋅

=

π

π

Zadanie 3.5

(poz. bibl. [3], zad. 3.1.11, str. 50)

W zbiorniku znajduje się woda, która wypływa przez
przewód pionowo do góry. Odległość między
poziomem cieczy w zbiorniku a wylotem H

= 2 m.

Nadciśnienie panujące w zbiorniku p

n

= 50 kN/m

2

.

Obliczyć prędkość wypływu wody oraz wysokość h na
jaką wzniesie się strumień. Przekrój 2-2 obrany jest na
takiej wysokości, aby prędkość U

2

= 0. Wodę traktować

jako płyn idealny (straty tarcia w przewodzie oraz opór
powietrza pominąć). Gęstość wody przyjąć ρ = 1000 kg/m

3

.

48

Dane:

Wyznaczyć:

H

= 2 m

U

1

, h

p

n

= 50 kN/m

2

U

2

= 0

ρ = 1000 kg/m

3

Rozwiązanie

a) Dla przekrojów 0-0 i 1-1 z równania Bernoulliego określamy prędkość U

1

przy założeniu że

poziom odniesienia znajduje się na poziomie wylotu z przewodu:

g

p

g

U

H

g

p

p

g

U

a

n

a

⋅

+

=

+

⋅

+

+

ρ

ρ

2

2

2

1

2

0

Dla H

= const U

0

= 0, zatem:













⋅

+

=

g

p

H

g

U

n

ρ

2

1

b) Wysokość h obliczamy z równania Bernoulliego ułożonego dla przekrojów 1-1 i 2-2:

,

2

2

2

2

2

1

h

g

p

g

U

g

p

g

U

a

a

+

⋅

+

=

⋅

+

ρ

ρ

skąd:

.

7

81

.

9

1000

50000

2

2

2

1

m

g

p

H

g

U

h

n

≈

⋅

+

=

⋅

+

=

=

ρ

Zadanie 3.6

(poz. bibl. [3], zad. 3.1.15, str. 51)

Woda z lewego zbiornika przepływa przez otwór w bocznej
ściance o średnicy d

1

do prawego zbiornika, z którego z kolei

przez otwór o średnicy d

2

do atmosfery. Mając stałą różnicę

poziomów wody w zbiornikach H = 1 m oraz głębokość
zanurzenia drugiego otworu h

2

= 1.5 m, obliczyć prędkość

przepływu w poszczególnych otworach oraz stosunek średnic.
Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty tarcia).

Dane:

Wyznaczyć:

H

= 1 m

U

1

, U

2

, d

1

/d

2

h

2

= 1.5 m,

Rozwiązanie:

Układamy równania Bernoulliego:
a) Dla przekrojów 0-0 i 1-1:

,

2

2

2

1

2

0

g

h

g

p

g

U

h

H

g

p

g

U

a

a

⋅

⋅

⋅

+

+

=

+

+

⋅

+

ρ

ρ

ρ

przy czym U

0

= 0, h – założona głębokość położenia otworu o średnicy d

1

; stąd:

,

4

.

4

1

81

.

9

2

2

1

s

m

gH

U

=

⋅

⋅

=

=

49

b) Dla przekrojów 3-3 i 2-2

,

2

2

2

2

2

2

3

g

p

g

U

h

g

p

g

U

a

a

⋅

+

=

+

⋅

+

ρ

ρ

U

3

= 0, zatem:

s

m

gh

U

45

.

5

5

.

1

81

.

9

2

2

2

2

=

⋅

⋅

=

=

c) Z równania ciągłości znajdziemy:

11

.

1

4

.

4

45

.

5

1

2

2

1

=

=

=

U

U

d

d

Zadanie 3.7

(poz. bibl. [3], zad. 3.1.18, str. 52)

Ze zbiornika prostokątnego o przekroju a×b = 2 m ×1.2 m
przez przewód wypływa woda do atmosfery. Wysokość
wody w zbiorniku H

= 1.2 m. Średnice przewodu: d

1

= 100

mm, d

2

= 70 mm, d

3

= 50 mm. Określić strumień objętości

wypływającej wody i ciśnienia w przekrojach 1-1 i 2-2.
Płyn jest doskonały (h

1

= 0.5 m i h

2

= 2.4 m).

Dane:

Wyznaczyć:

a

= 2 m, b = 1.2 m

Q, p

1

, p

2

H = 1.5 m
d

1

= 100 mm

d

2

= 70 mm

d

3

= 50 mm

h

1

= 0.5 m

h

2

= 2.4 m

Rozwiązanie:

a) Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 3-3:

.

2

)

(

2

3

2

3

2

1

0

2

0

g

p

g

U

h

h

H

g

p

g

U

⋅

+

=

+

+

+

⋅

+

ρ

ρ

Ponieważ p

0

= p

3

= p

a

, równanie to uprości się do postaci:

.

2

2

2

3

2

1

2

0

g

U

h

h

H

g

U

=

+

+

+

Z równania ciągłości S

0

ּU

0

= S

3

ּU

3

znajdziemy:

.

4

2

3

3

0

3

3

0

b

a

d

U

S

S

U

U

⋅

=

=

π

Podstawiamy do równania Bernoulliego:

50

g

u

h

h

H

ab

d

g

u

2

4

2

2

3

2

1

2

2

3

2

3

=

+

+

+













π

,

4

1

2

2

1

2

2

3

2

3

h

h

H

ab

d

g

u

+

+

=





























−

π

skąd:

(

)

(

)

s

m

b

a

d

h

h

H

g

U

29

.

9

9999

.

0

328

.

86

2

.

1

2

4

05

.

0

1

4

.

2

5

.

0

5

.

1

81

.

9

2

4

1

2

2

2

2

2

3

2

1

3

=

=





















⋅

⋅

⋅

−

+

+

⋅

=















⋅

−

+

+

=

π

π

Strumień objętości wyniesie:

s

m

U

d

U

S

Q

U

3

3

2

3

3

3

0182

.

0

29

.

9

001963

.

0

4

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

π

b) Prędkości w poszczególnych odcinkach przewodu:

,

74

.

4

07

.

0

05

.

0

29

.

9

2

2

2

3

3

2

s

m

d

d

U

U

=













=













=

.

32

.

2

1

.

0

05

.

0

29

.

9

2

2

1

3

3

1

s

m

d

d

U

U

=













=













=

c) Ciśnienia w przekrojach 2-2 i 1-1:
Z równania Bernoulliego dla przekrojów 2-2 i 3-3:

,

,

2

2

3

3

2

3

2

2

2

2

a

p

p

gdzie

g

p

g

U

h

g

p

g

U

=

⋅

+

=

+

⋅

+

ρ

ρ

a

p

h

g

U

U

p

+

⋅

⋅

−

−

=

2

2

2

2

3

2

2

)

(

ρ

ρ

Pa

p

108372

100000

23544

31916

100000

4

.

2

81

.

9

1000

2

)

74

.

4

29

.

9

(

1000

2

2

2

=

+

−

=

+

⋅

⋅

−

−

=

Z równania Bernoulliego dla przekrojów 1-1 i 3-3:

(

)

a

p

h

h

g

U

U

p

+

+

⋅

−

−

=

2

1

2

1

2

3

1

2

)

(

ρ

ρ

(

)

Pa

p

113510

100000

28449

41959

100000

4

.

2

5

.

0

81

.

9

1000

2

)

32

.

2

29

.

9

(

1000

2

2

1

=

+

−

=

+

+

⋅

−

−

=

51

Zadanie 3.8

(poz. bibl. [3], zad. 3.1.10, str. 50)

Woda o temperaturze t = 40

0

C wypływa ze zbiornika przez przewód z

przewężeniem. Obliczyć stosunek średnic d/D, dla którego wystąpi
kawitacja w przewężeniu przewodu. Przyjąć H

= 400 mm, h

= 800 mm,

p

a

= 90 kN/m

2

. Dla wody o temperaturze 40

0

C ciśnienie wrzenia wynosi

p

w

= 7520 N/m

2

.

Dane:

Wyznaczyć:

H

=

400

mm

d/D

h

= 800 mm

p

a

= 90 kN/m

2

p

w

= 7520 N/m

2

Rozwiązanie:

Obieramy przekroje: 0-0 na powierzchni zwierciadła wody, 1-1 w przewężeniu, i 2-2 na wylocie do
atmosfery. Z równania ciągłości mamy:

1

2

2

2

1

2

2

1

4

4

U

U

D

d

U

D

U

d

Q

Q

=

⋅

=

⋅

=

π

π

Z równania Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 2-2 wyznaczamy U

2

:

g

p

g

U

h

H

g

p

g

U

a

a

ρ

ρ

+

=

+

+

+

2

2

2

2

2

0

,

Przy założeniu, że U

0

= 0 mamy:

)

(

2

2

h

H

g

U

+

=

Z równania Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1 wyznaczamy U

1

przy założeniu że ciśnienie w

tym przekroju równe jest ciśnieniu wrzenia p

w

:













⋅

−

+

+

=

+

=

+

+

+

g

p

p

h

H

g

U

g

p

g

U

h

H

g

p

g

U

w

a

w

a

ρ

ρ

ρ

2

2

2

2

2

1

2

1

2

0

Stosunek średnic wyniesie wtedy:

64

,

0

2

4

=

⋅

−

+

+

+

=

g

p

p

h

H

h

H

D

d

w

a

ρ

52

Zadanie 3.9

(poz. bibl. [3], zad. 3.1.13, str. 50)

Woda ze zbiornika wypływa przez przewód rozgałęziający.
Średnice rozgałęzień przewodów wylotowych są równe i
wynoszą d = 25 mm. Odległość h = 1,2 m. Jaka musi być
wysokość H wody w zbiorniku, aby strumień objętości
wody wypływającej przez przewód górny był dwa razy
mniejszy od strumienia objętości wody płynącej przez
przewód dolny. Obliczyć strumienie objętości Q

1

i Q

2

.

Wodę traktować jako płyn idealny (pominąć straty tarcia).

Dane:

Wyznaczyć:

d =

25

mm

H, Q

1

, Q

2

.

h = 1,2 m
Q

2

= 2 Q

1

Rozwiązanie:

Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1:

h

g

p

g

U

H

g

p

g

U

a

a

+

+

=

+

+

ρ

ρ

2

2

2

1

2

0

Zakładając, że U

0

= 0, U

1

wynosi:

)

(

2

1

h

H

g

U

−

=

Z równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 2-2 otrzymamy U

2

:

)

(

2

2

h

H

g

U

+

=

Wysokość H wyliczamy z zależności między strumieniami objętości:

Q

2

= 2ּQ

1,

)

(

2

4

2

)

(

2

4

2

2

h

H

g

d

h

H

g

d

−

⋅

⋅

=

+

⋅

π

π

Stąd:

m

h

H

2

3

5 =

=

Strumienie objętości wyniosą:

s

dm

h

H

g

d

U

d

Q

s

dm

h

H

g

d

U

d

Q

3

2

2

2

2

3

2

1

2

1

89

,

3

)

(

2

4

4

95

,

1

)

(

2

4

4

=

+

⋅

=

⋅

=

=

−

⋅

=

⋅

=

π

π

π

π

Zadanie 3.10

W dnie stalowego zbiornika znajduje się ostrokrawędziowy otwór o średnicy d = 2 cm przez który
wypływa woda. Poziom wody w zbiorniku jest stały i znajduje się na wysokości h = 1.5 m od dna.
Wyznaczyć współczynnik przepływu jeżeli wiadomo, że w ciągu 5-ci minut wypłynęło ze zbiornika
330 litrów wody. Obliczyć współczynnik kontrakcji otworu przy założeniu, że współczynnik
prędkości wynosi

α

= 0.95.

53

Dane:

Wyznaczyć:

d = 2 cm

µ, β

h = 1,5 m
t = 5 min
V = 330 l
α = 0.95

Rozwiązanie:

Współczynnik przepływu obliczamy ze wzoru definicyjnego:

V

V

rz

&

&

=

µ

.

Rzeczywisty strumień objętości wynosi:

s

m

t

V

V

rz

3

3

0011

.

0

60

5

10

330

=

⋅

⋅

=

=

−

&

.

Strumień objętości teoretyczny liczymy jako iloczyn pola otworu i prędkości teoretycznej
obliczonej ze wzoru Torricellego:

s

m

gh

d

U

f

V

3

2

2

0017

.

0

42

.

5

000314

.

0

5

.

1

81

.

9

2

4

02

.

0

14

.

3

2

4

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

π

&

.

Wtedy:

65

.

0

647

.

0

0017

.

0

0011

.

0

≈

=

=

µ

Współczynnik kontrakcji liczymy z kolei ze wzoru:

68

.

0

684

.

0

95

.

0

65

.

0

≈

=

=

=

α

µ

β

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA

Zadanie 3.11

(poz. bibl. [3], zad. 3.2.5, str. 55)

W przewód o średnicy D = 100 mm wstawiono zwężkę
Venturiego. Do zwężki podłączono manometr rtęciowy.
Obliczyć strumień objętości wody przepływającej przez
przewód jeśli różnica poziomów rtęci w manometrze H =
200 mm. Nad rtęcią w jednym i drugim ramieniu znajduje
się woda. Średnica przewężenia zwężki d = 50 mm.

Odpowiedź:

Q = 0.01429 m

3

/s

Zadanie 3.12

(poz. bibl. [3], zad. 3.2.4, str. 55)

W celu zmierzenia prędkości przepływających przez przewód spalin
wstawiono do niego statyczną rurkę Pitota i podłączono ją do
manometru spirytusowego. Różnica poziomów wynosił H = 5 mm.
Temperatura spalin t = 400

o

C. Gęstość spalin w warunkach

normalnych

ρ

0

= 1.29 kg/m

3

. (Średnica d rurki Pitota jest dużo

mniejsza od średnicy przewodu D). Przyjąć

ρ

m

= 827 kg/m

3

.

Wskazówka: W warunkach normalnych: t = 0

o

C, p = 760 mm Hg

(1013 hPa).

Odpowiedź:

U

0

= 12.45 m/s

54

Zadanie 3.13

(poz. bibl. [3], zad. 3.2.3, str. 54)

Określić strumień objętości Q za pomocą zwężki Venturiego o
wymiarach D = 100 mm, d = 50 mm wstawionej do poziomego
przewodu którym płynie woda, jeśli różnica wskazań ciśnień
na wlocie do zwężki i w przewężeniu wynosi H = 50 mm.

Odpowiedź:

Q = 2 dm

3

/s

Zadanie 3.14

(poz. bibl. [3], zad. 3.2.9, str. 56)

Na jaką wysokość h podniesie się rtęć w rurce podłączonej jednym
końcem do zwężki Venturiego a drugim do otwartego naczynia z
rtęcią, jeśli zwężkę umieścimy w powietrzu przepływającym z
prędkością U = 40 m/s. Wymiary zwężki: D = 80 mm, d = 40 mm.

Odpowiedź:

h = 0.114 m

Zadanie 3.15

(poz. bibl. [6], zad. 3.1.6, str. 42)

W dnie naczynia cylindrycznego o średnicy D znajduje się otwór którego
średnica jest równa d. Nad cieczą wypełniającą naczynie umieszczono tłok
o ciężarze G, poruszający się szczelnie lecz bez tarcia. Pomijając straty w
otworze wypływowym, określić zależność pomiędzy prędkością U

1

wypływającej cieczy a położeniem tłoka h. Przyjąć gęstość cieczy równą
ρ.

Odpowiedź:

4

4

2

1

1

4

2

D

d

D

G

g

h

U

−













+

⋅

=

ρ

π

Zadanie 3.16

(poz. bibl. [6], zad. 3.1.21, str. 48)

Ze zbiornika ciśnieniowego wypływa woda (o
temperaturze T = 313 K) przez przewód o średnicy D, w
którym znajduje się przewężenie. Średnica przewężenia d
= 0.8D. Przy jakim nadciśnieniu p

n

panującym w

zbiorniku, może wystąpić zjawisko kawitacji? Przyjąć:
wysokość poziomu cieczy w zbiorniku H = 1.2 m,
ciśnienie wrzenia wody w danej temperaturze p

w

= 7.5

kPa, ciśnienie barometryczne p

a

= 101 kPa oraz gęstość

wody ρ = 1000 kg/m

3

. Wszystkie straty pominąć.

Odpowiedź:

(

)

kPa

H

g

p

p

p

w

a

n

53

6938

.

0

=

⋅

⋅

−

−

=

ρ

55

Zadanie 3.17

(poz. bibl. [3], zad. 3.1.6, str. 49)

Woda z większego zbiornika przepływa do zbiornika mniejszego
za pomocą lewara. Różnica poziomów wody w zbiornikach
wynosi h = 3 m. Kolano lewara znajduje się na wysokości H = 6
m. Wyznaczyć: a) jaka musi być średnica przewodu, aby strumień
objętości wody wynosił Q = 27.8 dm

3

/s, b) jakie ciśnienie panuje

w kolanie lewara.



Odpowiedź:

a) d = 68 mm, b) ciśnienie absolutne p

2

= 41140 Pa.

Zadanie 3.18

(poz. bibl. [3], zad. 3.1.8, str. 49)

Na cylindrycznej części wlotu do wentylatora o średnicy D = 200
mm, zasysającego powietrze z atmosfery, umieszczono szklaną
rurkę, której drugi koniec jest zatopiony w naczyniu z wodą.
Obliczyć strumień objętości powietrza przepływającego przez
wentylator jeśli woda w rurce podniosła się do wysokości h =
250 mm. Gęstość powietrza ρ

p

= 1.29 kg/m

3

.

Odpowiedź:

Q = 1.94 m

3

/s.

Zadanie 3.19
Ciecz o gęstości ρ płynie wzdłuż poziomego rurociągu
o zwężającym się przekroju jak na rysunku. Do
rurociągu podłączono manometr różnicowy rtęciowy
mierzący różnicę ciśnień przed i za przewężeniem,
którego wskazanie wynosi H. Obliczyć strumień
objętości cieczy przepływającej przez rurociąg.

Odpowiedź:

(

)

ρ

ρ

π

−

⋅

=

m

gH

d

Q

15

2

2

.

Zadanie 3.20
W ścianie otwartego zbiornika znajduje się mały prostokątny otwór o wymiarach 2 cm

× 1 cm

zanurzony na głębokość h = 1 m poniżej zwierciadła, przez który wypływa woda. Obliczyć, jaka
objętość teoretyczna wody wypłynie przez ten otwór w czasie 1 minuty. O ile litrów będzie
mniejsza objętość rzeczywista przy założeniu, że współczynnik przepływu wynosi

µ

= 0.64.

Odpowiedź:

V = 53 l,

∆

V = 19 l.