X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A

KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN

I KOMITETU NAUKI PZITB

Opole – Krynica

2002

Joanna JANKOWSKA-SANDBERG

1

Szymon PAŁ KOWSKI

2

PARAMETRYCZNA ANALIZA

ZWICHRZENIA SPRĘ Ż YSTEGO KRATOWNIC

1. Wprowadzenie

Praktyczne wskazó wki dotyczące długości wyboczeniowej prętó w kratownic podano np.
w [1]. W przypadku rozpatrywania wyboczenia z płaszczyzny kratownicy moż na wg tych
wytycznych długość wyboczeniową pasa przyjmować ró wną odległości między bocznymi
stęż eniami kratownicy. To zalecenie normowe prowadzi na ogó ł do bezpiecznego, ale też
często do nieekonomicznego projektowania kratownic. Opiera się ono bowiem na uprosz-
czonym traktowaniu pasa kratownicy jako pręta przegubowo podpartego, ściskanego stałą
siłą na całej długości i nie powiązanego z pozostałymi elementami kratownicy.

Istnieje bardzo duż a analogia między zjawiskiem zwichrzenia kratownicy a dobrze

znanym zjawiskiem zwichrzenia belki zginanej. To drugie zagadnienie ma, jak wiadomo,
bardzo obszerną literaturę (por. np. [2,3]), gdy tymczasem zjawisku zwichrzenia kratownic
jest poświęcona bardzo mała liczba prac. Na podstawie tych prac, np. [4,5,6], moż na
stwierdzić , ż e rzeczywista długość wyboczeniowa ściskanego pasa kratownicy (lub jego siła
krytyczna) zależ y nie tylko od rozstawu bocznych stęż eń kratownicy, ale takż e od takich
czynnikó w, jak np.:

-

rozkład siły normalnej na długości pasa (w kratownicach swobodnie podpartych jest on

w przybliż eniu paraboliczny),

-

rodzaj skratowania oraz jego sztywność w stosunku do sztywności ściskanego pasa,

-

sposó b połączenia skratowania z pasem (sztywny lub przegubowy),

-

rodzaj obciąż enia kratownicy (obciąż enie pasa dolnego lub gó rnego).

W artykule przedstawiono wybrane wyniki dość obszernej analizy numerycznej

uwzględniającej wpływ wymienionych parametró w na wartość obciąż enia krytycznego
kratownicy (na długość wyboczeniową ściskanego pasa kratownicy). Wyniki te mają pewną
wartość zaró wno poznawczą, jak i praktyczną i mogą być wykorzystane przy racjonalnym
wymiarowaniu kratownic.

1

Dr inż ., Katedra Konstrukcji Metalowych Politechniki Koszalińskiej

2

Prof. dr hab. inż ., Katedra Konstrukcji Metalowych Politechniki Koszalińskiej

192

2. Opis metody rozwiązania

Do analizy numerycznej przyjęto kratownicę przedstawioną na rys. 1. Założ ono, ż e pasy
kratownicy oraz jej skratowanie są wykonane z kwadratowych przekrojó w rurowych.
Szczegó łowe obliczenia wykonano dla następujących danych liczbowych:

·

rozpiętość kratownicy l = 6m,

·

wysokość h = 0,6 m,

·

pasy kratownicy: rura 25

´

25

´

2 (A = 1,44 cm

2

, I

x

= 1,6345 cm

4

),

·

słupki i krzyż ulce: 20

´

20

´

2 (A = 1,84 cm

2

, I

x

= 0,7872 cm

4

).

Do obliczeń przyjęto dwa rodzaje obciąż enia kratownicy przedstawione na rys. 1a oraz

1b. Pierwszy rodzaj jest typowy np. dla przypadku obciąż enia śniegiem, a drugi – dla
przypadku obciąż enia wiatrem. W celu wykazania wpływu stęż enia pasa gó rnego (np. za
pomocą niepodatnych płatwi) na wartości obciąż enia krytycznego kratownicy uwzględniano
w obliczeniach zmienny rozstaw stęż eń tego pasa od wartości ró wnej rozpiętości kratownicy
do wartości ró wnej rozpiętości między sąsiednimi węzłami kratownicy. Ponadto w
obliczeniach uwzględniono dwa rodzaje połączenia skratowania z pasami kratownicy:
połączenie idealnie przegubowe oraz sztywne połączenie prętó w w węzłach.

Rys. 1. Schemat kratownicy przyjętej do analizy

Wartość bifurkacyjnego obciąż enia krytycznego rozważ anej kratownicy, i odpo-

wiadającą temu obciąż eniu wartość maksymalnej siły ściskającej w pasie kratownicy,
określano na podstawie tzw. kryterium wyznacznikowego, polegającego na poszukiwaniu
takiego obciąż enia (obciąż enia krytycznego), któ remu odpowiada zerowa wartość globalnej
macierzy sztywności ustroju. Znajomość siły ściskającej w pasie kratownicy w chwili
wyboczenia ustroju pozwala na łatwe wyznaczenie wspó łczynnika długości wyboczeniowej

m

pasa kratownicy zgodnie ze wzorem

cr

N

EI

l

p

m

=

, (1)

w któ rym:
– EI – sztywność pasa na zginanie,
– N

cr

– siła krytyczna w pasie kratownicy.

h

l

a)

b)

193

3. Wyniki obliczeń numerycznych

Obliczone wg wzoru (1) wartości wspó łczynnika długości wyboczeniowej

m

(l

e

=

m×

l),

z uwzględnieniem zmiennych parametró w omó wionych w p. 2, zestawiono w tablicach 1
i 2, przy czym tab. 1 obejmuje przypadek obciąż enia przedstawiony na rys. 1a (wartości

m

dotyczą pasa gó rnego), a tab. 2 – przypadek obciąż enia 1b (wartości

m

dotyczą pasa

dolnego). Założ ono przy tym, ż e wymienione rodzaje obciąż eń mogą działać zaró wno na pas
dolny, jak i na pas gó rny. W tablicach tych uwzględniono dodatkowo stosunek sztywności na
zginanie pasa gó rnego do dolnego (EI

g

/EI

d

).

Tablica 1. Wartości wspó łczynnika wyboczeniowego μ (obc. wg rys. 1a)

EI

g

/EI

d

Rodzaj
stęż eń
kratownicy

Rodzaj
obciąż e-
nia

Połączenie
skratowania
z pasami

0.1

0.33

1

3

6.5

15

przegubowe 0.617 0.637 0.660 0.856 1.003 1.163

gó rą

sztywne

0.197 0.308 0.376 0.493 0.578 0.680

przegubowe 0.454 0.512 0.555 0.680 0.746 0.793

stęż one
skrajne
węzły
kratownicy
wg rys. 1

dołem

sztywne

0.179 0.282 0.346 0.448 0.517 0.588

przegubowe 0.365 0.366 0.370 0.434 0.464 0.483

gó rą

sztywne

0.163 0.192 0.223 0.288 0.338 0.388

przegubowe 0.326 0.328 0.332 0.388 0.413 0.428

dodatkowe
stęż enie
pasa
gó rnego w
środku rozp.

dołem

sztywne

0.156 0.179 0.205 0.260 0.303 0.345

przegubowe 0.215 0.215 0.216 0.227 0.232 0.235

gó rą

sztywne

0.158 0.166 0.175 0.198 0.211 0.222

przegubowe 0.208 0.209 0.210 0.220 0.224 0.226

stęż ony co
drugi węzeł
pasa
gó rnego

dołem

sztywne

0.154 0.163 0.171 0.193 0.205 0.214

przegubowe 0.113 0.113 0.113 0.116 0.116 0.117

gó rą

sztywne

0.108 0.108 0.108 0.113 0.115 0.116

przegubowe 0.113 0.113 0.113 0.116 0.116 0.117

stęż ony
każ dy węzeł
pasa
gó rnego

dołem

sztywne

0.108 0.108 0.108 0.113 0.115 0.116

Na podstawie przedstawionych wynikó w moż na wyciągnąć kilka wnioskó w praktycznych.

1. Wartość obciąż enia krytycznego powodującego zwichrzenie kratownicy, podobnie jak
w przypadku zwichrzenia belek, w duż ym stopniu zależ y od miejsca działania obciąż enia. Na
podstawie wynikó w przedstawionych w tab. 1 moż na zauważ yć , ż e obciąż eniu gó rnego pasa
kratownicy towarzyszą większe wartości wspó łczynnika

m

(mniejsze wartości obciąż enia

krytycznego) niż w wypadku obciąż enia pasa dolnego. W przypadku np. ssania wiatru
(tab. 2) zachodzi odwrotne zjawisko; obciąż enie pasa gó rnego jest wtedy bardziej korzystne
niż obciąż enie pasa dolnego. Moż na przy tym zauważ yć dość oczywiste zjawisko, ż e –
generalnie – w wypadku przegubowego połączenie skratowania z pasami otrzymuje się
mniejszą wartość obciąż enia krytycznego kratownicy niż w wypadku sztywnego połączenia
prętó w w węzłach.

194

Tablica 2. Wartości wspó łczynnika wyboczeniowego μ (obc. wg rys. 1b)

EI

g

/EI

d

Rodzaj
stęż eń

Rodzaj
obciąż e-
nia

Połączenie
skratowania
z pasami

0.1

0.33

1

3

6.5

15

przegubowe 0.722 0.640 0.531 0.479 0.437 0.400

gó rą

sztywne

0.542 0.461 0.375 0.301 0.244 0.194

przegubowe 0.994 0.797 0.631 0.599 0.580 0.566

stęż one
skrajne
węzły
kratownicy
wg rys. 1

dołem

sztywne

0.605 0.504 0.407 0.330 0.272 0.222

przegubowe 0.680 0.444 0.343 0.339 0.337 0.337

gó rą

sztywne

0.386 0.285 0.234 0.204 0.179 0.158

przegubowe 0.993 0.768 0.560 0.553 0.551 0.551

dodatkowe
stęż enie
pasa
gó rnego w
środku rozp.

dołem

sztywne

0.485 0.358 0.268 0.223 0.191 0.167

przegubowe 0.680 0.440 0.343 0.339 0.337 0.337

gó rą

sztywne

0.386 0.253 0.195 0.170 0.157 0.147

przegubowe 0.990 0.767 0.559 0.553 0.551 0.551

stęż ony co
drugi węzeł
pasa
gó rnego

dołem

sztywne

0.484 0.358 0.268 0.223 0.191 0.166

przegubowe 0.680 0.436 0.340 0.337 0.337 0.336

gó rą

sztywne

0.381 0.244 0.189 0.166 0.152 0.145

przegubowe 0.989 0.767 0.559 0.553 0.551 0.551

stęż ony
każ dy węzeł
pasa
gó rnego

dołem

sztywne

0.479 0.355 0.265 0.221 0.189 0.165

2. Wartość obciąż enia krytycznego kratownicy w duż ym stopniu zależ y od odległości między
stęż eniami bocznymi ściskanego pasa kratownicy, przy czym długość wyboczeniowa tego
pasa jest na ogó ł znacznie mniejsza od odległości między stęż eniami. Okoliczność ta jest
wynikiem tego, ż e skratowanie wspó łpracujące z rozciąganym pasem kratownicy stanowi
pewnego rodzaju podparcie spręż yste ściskanego pasa, co w znacznym stopniu przyczynia się
do wzrostu jego siły krytycznej. Wynika stąd, ż e zalecenie normowe polegające na
utoż samianiu długości wyboczeniowej z odległością między bocznymi stęż eniami ściskanego
pasa kratownicy prowadzi na ogó ł do bezpiecznego, ale jednocześnie do mało ekono-
micznego projektowania kratownic.
3. Na wartość obciąż enia krytycznego kratownicy mają dość istotny wpływ takż e inne
parametry, takie jak np. stosunek sztywności pasó w kratownicy oraz stosunek sztywności
skratowania (w tym sztywności na skręcanie) do sztywności pasó w.

Niektó re wybrane wyniki liczbowe podane w tablicach 1 i 2 przedstawiono dodatkowo

w poglądowy sposó b na rysunkach 2

¸

5. Rysunki te przedstawiają zależ ność wspó łczynnika

wyboczeniowego

m

ściskanego (dolnego lub gó rnego) pasa kratownicy od rodzaju

obciąż enia, rodzaju połączenia skratowania z pasami, odległości między stęż eniami oraz od
stosunku sztywności na zginanie pasó w kratownicy.

195

Rys. 2. Zależ ność wsp. wyboczeniowego μ gó rnego pasa kratownicy

od wybranych parametró w (stęż one są tylko skrajne węzły kratownicy)

Rys.3. Zależ ność wsp. wyboczeniowego μ gó rnego pasa kratownicy od wybranych

parametró w (stęż one są skrajne węzły kratownicy oraz środkowy węzeł pasa gó rnego)

196

Rys. 4. Zależ ność wsp. wyboczeniowego μ dolnego pasa kratownicy

od wybranych parametró w (stęż one są tylko skrajne węzły kratownicy)

Rys. 5. Zależ ność wsp. wyboczeniowego μ dolnego pasa kratownicy od wybranych

parametró w (stęż one są skrajne węzły kratownicy oraz środkowy węzeł pasa gó rnego)

197

4. Wnioski i uwagi koń cowe

W pracy przedstawiono wyniki analizy parametrycznej zwichrzenia spręż ystego pewnej
kratownicy, na podstawie któ rych moż na w racjonalny sposó b określić długość
wyboczeniową ściskanego pasa kratownicy. Wykazano, ż e uwzględnienie wspó łpracy
ściskanego pasa z pozostałymi prętami kratownicy moż e się przyczynić do bardziej
ekonomicznego projektowania dźwigaró w kratowych.

Prezentowana analiza parametryczna zwichrzenia kratownicy z konieczności uwzglę-

dnia tylko kilka wybranych, zdaniem autoró w, istotnych parametró w. Obszerniejsza analiza
obejmująca dodatkowo takie czynniki jak np. ró ż ne rodzaje kratownic i skratowań oraz
zró ż nicowanie przekrojó w elementó w byłaby bardzo uciąż liwa. Postępowanie takie przy
powszechnym obecnie dostępie do programó w komputerowych byłoby też chyba mało
celowe. Wydaje się, ż e bardziej racjonalne w praktyce projektowej jest korzystanie z od-
powiedniego programu, umoż liwiającego rozwiązanie konkretnego zadania z uwzględnie-
niem wszystkich istotnych czynnikó w mających wpływ na wartość obciąż enia krytycznego
kratownic.

Literatura

[1] PN-90/B-03200., Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.
[2] GOSOWSKI B., Stateczność przestrzenna stężonych podłużnie i poprzecznie

pełnościennych elementó w konstrukcji metalowych. Prace Naukowe Instytutu
Budownictwa Politechniki Wrocławskiej, Seria Monografie nr 29, Wrocław 1992.

[3] WEISS S., GIŻEJOWSKI M., Stateczność konstrukcji metalowych. Arkady, Warszawa

1991.

[4] KLÖ PPEL K., FRIEMANN H., REUSCHLING D., Beitrag zur Berechnung der

Stabilitä t beliebig gelagerter zweigurtiger Fachwerkträ ger oder Vollwandträ ger mit
Querschnittverformung gegen Ausweichen aus der Tragwerksebene. Institut fü r Statik
und Stahlbau. Technische Hochschule Darmstadt, Heft 8 (1969).

[5] MISIAK J., Obliczenia konstrukcji prętowych. PWN, Warszawa 1993.
[6] PAŁ KOWSKI Sz., KOŁ ODZIEJ J., Parametryczna analiza zwichrzenia spreż ystego

słupó w złoż onych ściskanych mimośrodowo. Inż. i Bud., nr 11/1988, 401-403.

PARAMETRIC ANALYSIS OF ELASTIC LATERAL BUCKLING

OF TRUSSES

Summary

According to Polish Standard [1] the effective length of the compression chord of a truss
is equal to the distance between bracings of this chord. This recommendation is very
approximative because it neglects an influence of the another trussmember (verticals and
diagonas) on the critical load of the truss. This paper presents the chosen results of
comprehensive numerical analysis that takes into acccount the influence of all essential
parameters on the critical load (effective length) of trusses. The presented results have
theoretical as well as practical aspects and can be applied in designing practice.