ĆWICZENIA 11 – TEORIA (

prosta i płaszczyzna )

1

Uwaga: Wszystkie informacje zawarte w tych materiałach dotyczyć będą przestrzeni R

3

.

I PŁASZCZYZNA

Płaszczyzna to jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej.
Pojęcie płaszczyzny jest nam wpajane od dziecka, poprzez obrazowanie płaszczyzny jako karty papieru,
powierzchni stołu, czy ogólniej - płaskiego pola, rozciągających się "w nieskończoność".

Definicja 1

W geometrii analitycznej płaszczyznę definiujemy jako zbiór punktów spełniających pewne równanie.

Równanie to można zapisać w różnej postaci, między innymi jako:

1)

równanie ogólne,

2)

równanie normalne,

3)

równanie odcinkowe,

4)

równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty.

Zanim przejdziemy do omawiania poszczególnych postaci równania płaszczyzny zauważmy, że

•

przez trzy niewspółliniowe punkty przestrzeni (tzn. nie leżące na jednej prostej) przechodzi tylko
jedna płaszczyzna

•

przez daną prostą i punkt nie leżący na niej przechodzi tylko jedna płaszczyzna

•

przez dwie proste przecinające się w jednym punkcie przechodzi tylko jedna płaszczyzna

•

prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie

•

płaszczyzna jest zbiorem punktów przestrzeni jednakowo oddalonych od dwu ustalonych punktów

•

każdy punkt płaszczyzny należy do nieskończenie wielu prostych

•

prosta w przestrzeni może:

•

nie mieć punktów wspólnych z daną płaszczyzną – nazywamy ją wtedy równoległą do
płaszczyzny

•

mieć jeden punkt wspólny

•

być zawarta w tej płaszczyźnie

II RÓWNANIE OGÓLNE PŁASZCZYZNY

Niech dany będzie punkt P

1

(x

1

, y

1

, z

1

) oraz wektor v=[A, B, C]

T

.

Jak widać, przez punkt P

1

można przeprowadzić dokładnie jedną

płaszczyznę

π

prostopadłą do wektora v.

Jeżeli na płaszczyźnie

π

obierzemy dowolny punkt P

2

(x, y, z) to

wówczas wektor v

π

=[ x-x

1

, y-y

1

, z-z

1

]

T

o początku w punkcie P

1

i

końcu w punkcie P

2

będzie również prostopadły do wektora v.

Czyli

v

⊥π

⇒

v

⊥

v

π

.

Korzystając z warunku prostopadłości wektorów
(v

⊥

v

π

⇔

v

o

v

π

= 0) otrzymujemy, że

v

⊥

v

π

⇔

A (x-x

1

) +B(y-y

1

)+C(z-z

1

) = 0

co można zapisać inaczej

Ax +By +Cz-Ax

1

-By

1

-Cz

1

=0

π

v

P

1

P

2

v

π

D

ĆWICZENIA 11 – TEORIA (

prosta i płaszczyzna )

2

Definicja 2

Równanie płaszczyzny postaci

π

: Ax +By +Cz+D=0,

gdzie D = -Ax

1

-By

1

-Cz

1

nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny.

Definicja 3

Wektor v=[A, B, C]

T

prostopadły do płaszczyzny

π

nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny.

III RÓWNANIE NORMALNE PŁASZCZYZNY

Definicja 4

Równanie płaszczyzny postaci

π

: x cos

α

+ y cos

β

+ z cos

χ

+

δ

=0,

gdzie cos

2

α

+cos

2

β

+ cos

2

χ

= 1 nazywamy równaniem normalnym płaszczyzny.

Wartości cos

α

, cos

β

i cos

χ

interpretowane są jako cosinusy kierunkowe wektora prostopadłego do

płaszczyzny, czyli cosinusy kątów jakie tworzy on odpowiednio z osią OX, OY i OZ.

Uwaga: Aby z równania ogólnego płaszczyzny o wektorze kierunkowym v=[A, B, C]

T

uzyskać postać

normalną płaszczyzny należy równanie to podzielić przez długość wektora v.

IV RÓWNANIE ODCINKOWE PŁASZCZYZNY

Jeżeli płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu współrzędnych i jednocześnie nie jest
równoległa do żadnej z osi układu, to wówczas możemy zapisać równanie tej płaszczyzny w postaci
odcinkowej. Zaletą tego zapisu jest to, że podaje on punkty przecięcia płaszczyzny z osiami
współrzędnych układu, czyli punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

Definicja 5
Równanie płaszczyzny postaci

π

:

1

=

+

+

c

z

b

y

a

x

nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.

Uwaga: Aby przejść z postaci ogólnej lub normalnej płaszczyzny do postaci odcinkowej, można
zastosować wzory:

a = -D/A = -

δ

/ cos

α

,

b = -D/ B = -

δ

/ cos

β

,

c = -D/C = -

δ

/ cos

χ

.

V PŁASZCZYZNA PRZECHODZĄCA PRZEZ TRZY PUNKTY

W przestrzeni

R

3

istnieje tylko jedna płaszczyzna przechodząca przez trzy niewspółliniowe punkty,

dlatego można ją jednoznacznie wyznaczyć. Niech zatem P

1

(x

1

, y

1

, z

1

), P

2

(x

2

, y

2

, z

2

) i P

3

(x

3

, y

3

, z

3

) będą

punktami płaszczyzny

π

. Współrzędne dowolnego innego punktu należącego do

π

możemy zapisać jako

P(x, y, z).
Aby wyznaczyć równanie płaszczyzny

π

wyznaczmy najpierw składowe współrzędne wektorów o

początku w punkcie P

1

i końcach w punktach P

2,

P

3

i P:

v

1

=[ x-x

1

, y-y

1

, z-z

1

]

T

,

v

2

=[ x

2

-x

1

,

2

y-y

1

, z

2

-z

1

]

T

,

v

3

=[ x

3

-x

1

, y

3

-y

1

,

3

z-z

1

]

T

.

ĆWICZENIA 11 – TEORIA (

prosta i płaszczyzna )

3

Jak wiadomo (ćwiczenia 10) trzy wektory są współpłaszczyznowe tylko wówczas, gdy ich iloczyn
mieszany jest równy 0. Zatem aby wyznaczyć równanie szukanej płaszczyzny należy rozwiązać
równanie:

(

)

0

1

3

1

3

1

3

1

2

1

2

1

2

1

1

1

3

2

1

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

×

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

v

v

v

o

.

VI ODLEGŁOŚĆ PUNKTU OD PŁASZCZYZNY

Odległość punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny

π

obliczamy ze

wzoru :

2

2

2

0

0

0

|

|

C

B

A

D

Cz

By

Ax

d

+

+

+

+

+

=

=| x

0

cos

α

+ y

0

cos

β

+ z

0

cos

χ

+

δ

|.

VII KĄT MIĘDZY DWOMA PŁASZCZYZNAMI

Weźmy dwie płaszczyzny o równaniach normalnych postaci

π

1

: A

1

x +B

1

y +C

1

z+D

1

=0

π

2

: A

2

x +B

2

y +C

2

z+D

2

=0

Wektory normalne tych płaszczyzn to odpowiednio

π

1

:

v

1

=[A

1

,B

1

,C

1

]

T

π

2

:

v

2

=[A

2

,B

2

,C

2

]

T

Możemy zauważyć, że kąt między płaszczyznami jest taki sam
jak kąt między ich wektorami normalnymi, dlatego można go
obliczyć ze wzoru

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

|

|

|

|

cos

C

B

A

C

B

A

C

C

B

B

A

A

C

C

B

B

A

A

+

+

⋅

+

+

+

+

=

⋅

+

+

=

v

v

ϕ

Uwaga: Aby sprawdzić, czy płaszczyzny są równoległe bądź prostopadłe wystarczy zbadać
równoległość bądź prostopadłość ich wektorów normalnych. Zagadnienia te zostały opisane w
materiałach do ćwiczeń 11.

P

0

π

π

1

π

2

v

1

v

2

ϕ

ϕ

ĆWICZENIA 11 – TEORIA (

prosta i płaszczyzna )

4

VIII PROSTA

W geometrii analitycznej prostą określamy jako zbiór
punktów

spełniających

pewne

równanie

liniowe.

Równanie to można zapisać w różnej postaci, między
innymi jako

•

równanie kierunkowe,

•

równanie parametryczne,

•

równanie krawędziowe.

Definicja 5
Równanie kierunkowe prostej l przechodzącej przez
punkt P

1

(x

1

, y

1

, z

1

) i równoległej do wektora v=[a, b, c]

T

jest postaci:

l:

c

z

z

b

y

y

a

x

x

1

1

1

−

=

−

=

−

.

Wektor v nazywamy wektorem kierunkowym prostej,
natomiast

jego

składowe

–

współczynnikami

kierunkowymi

prostej.

IX KĄT MIĘDZY PROSTĄ I

PŁASZCZYZNĄ

Kąt nachylenia

ψ

prostej

l

:

c

z

z

b

y

y

a

x

x

1

1

1

−

=

−

=

−

do płaszczyzny

π

:

Ax

+By +Cz+D=0,

jest to kąt ostry, który tworzy prosta l ze swoim
rzutem l’ na płaszczyznę

π

. Kąt ten obliczamy ze

wzoru:

2

2

2

2

2

2

|

|

sin

2

cos

c

b

a

C

B

A

Cc

Bb

Aa

+

+

⋅

+

+

+

+

=

=













−

ψ

ψ

π

Uwaga: Aby sprawdzić, czy płaszczyzna i prosta
są równoległe bądź prostopadłe należy zbadać prostopadłość bądź równoległość wektora normalnego
v=[A, B, C]

T

płaszczyzny i wektora kierunkowego v

1

=[a, b, c]

T

prostej. Zauważmy że:

π

||l

⇔

v

⊥

v

1

⇔

v

°

v

1

=0

π⊥

l

⇔

v||v

1

⇔

v

×

v

1

=0

P

1

v

v=[A, B, C]

T

l

l’

ψ

ψ

ψ

ψ ψ

ψ

π

−

2