5 rednie 2011 2012 id 39633 Nieznany

Prof. dr Franciszek Kubiczek

e-mail:

fkub@onet.eu

Rok akademicki 2011/2012

ŚREDNIE (PRZECIĘTNE)

REDNIE (PRZECIĘTNE)

AVERAGE (MEAN)

PYTANIA

Ile wynosi średni PKB na 1 mieszkańca w Polsce i UE ?

Ile wynosi średni PKB na 1 mieszkańca w poszczególnych województwach, podregionach,

w Polsce?

Ile wynosi średnie wynagrodzenie w Polsce, w poszczególnych branżach, w spółce,

województwach?

Jakie są średnie dochody jednostek samorządu terytorialnego?

Ile wynosi średnia wartość eksportu na 1 mieszkańca w Polsce i UE ?

Ile wynosi średni wiek Polaków; jakie jest przeciętne dalsze trwanie życia?

Ustawa o finansach publicznych

Przepis będzie obowiązywał od 2014 r. dot. liczenia dopuszczalnego poziomu długu

jednostki samorządu terytorialnego.

Jak wynika z art. 243 ust 3 ustawy o finansach publicznych z 27 sierpnia 2009 r.

„Rada (sejmik) nie może uchwalić budżetu, którego realizacja spowoduje, że w roku

budżetowym oraz w każdym roku następującym po roku budżetowym

relacja łącznie kwot

przypadających w danym roku budżetowym:

Spłat rat kredytów i pożyczek (wraz z odsetkami),

Wykupów papierów wartościowych (wraz z odsetkami),

Potencjalnych spłat kwot wynikających z udzielonych poręczeń i gwarancji

- do planowanych dochodów ogółem budżetu przekroczy

średnią arytmetyczną z

obliczonych dla ostatnich trzech lat relacji jej dochodów bieżących powiększonych o

dochody ze sprzedaży majątku oraz pomniejszonych o wydatki bieżące, do dochodów

ogółem budżetu.

ŚREDNIE (Average)

Klasyczne

(classic)

– obliczane są ze

wszystkich wartości jednostek w

zbiorowości

Arytmetyczna

(arithmetic)

Geometryczna

(geometric)

Harmoniczna

(harmonic)

Potęgowa

(power)

Ruchoma

(moving)

Wykładnicza

(exponential)

Chronologiczna

(chronological)

Pozycyjne

(order)

– są to wartości

pewnych jednostek zbiorowości wybranych

ze względu na ich szczególną pozycję w tej

zbiorowości

Mediana

(median)

Dominanta

(mode)

Kwantyle

(quantiles)

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA

Definicja:

Suma wartości cechy podzielona przez liczbę jednostek zbiorowości statystycznej, czyli

wartość cechy przypadająca na jedną jednostkę.

Wzór:

–

––

–

cecha np. cena wyrobu na

-tym rynku

–

––

–

liczebność np. ilość sprzedanego wyrobu

na i-tym rynku (wagi)

p q

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA

NIEWAśONA

(prosta)

(unweighted, simple)

WAśONA

(weighted)

liniowo (linear)
wykładniczo (exponential)

wagi są różne
wagami mogą być także częstości

(frequency)

wagi = 1
wagi

(weight)

są równe

1. ŚREDNIA CENA

( 1 )

( 2 )

( 3 )

[ zł / szt ]

[ szt ]

[ zł ]

Pierwszy

1 250

1 000

1 250 000

Drugi

1 150

1 100

1 265 000

Trzeci

1 300

900

1 170 000

Czwarty

1 050

2 500

2 625 000

Piąty

1 050

2 000

2 100 000

Szósty

1 350

800

1 080 000

Siódmy

1 200

1 150

1 380 000

Ósmy

1 200

1 440 000

Dziewiąty

1 150

1 322 500

Dziesiąty

1 200

950

1 140 000

OGÓŁEM

12 750

14 772 500

ŚREDNIA Nieważona

1 190

ŚREDNIA Ważona

1 159

Ilości

Wartość

Sprzedaży

RYNEK

Ceny

2. ŚREDNIA CENA

( 1 )

( 2 )

( 3 )

[ zł / szt ]

[ szt ]

[ zł ]

Pierwszy

1 250

600

750 000

Drugi

1 150

1 100

1 265 000

Trzeci

1 300

400

520 000

Czwarty

1 050

1 200

1 260 000

Piąty

1 050

1 500

1 575 000

Szósty

1 350

200

270 000

Siódmy

1 200

1 150

1 380 000

Ósmy

1 200

1 440 000

Dziewiąty

1 150

1 322 500

Dziesiąty

1 200

950

1 140 000

OGÓŁEM

9 450

10 922 500

ŚREDNIA Nieważona

1 190

ŚREDNIA Ważona

1 156

Ilości

Wartość Sprzedaży

RYNEK

Ceny

3. PKB Mazowsza wg podregionów

( 1 )

( 2 )

( 3 )

[ zł /mieszk ]

tys. osób

[ tys. zł ]

1 ciech.płocki

35 336

623

22 014 328

ostroł.siedl

24 700

747

18 450 900

radomski

24 014

621

14 912 694

Warszawa

98 854

1 717

169 732 318

5 w-wski wsch

27 226

769

20 936 794

6 w-wski zach

39 645

756

29 971 620

OGÓŁEM

5 233

276 018 654

ŚREDNIA Nieważona

24 978

ŚREDNIA Ważona

52 746

Ludność

PKB wartość

Podregion

PKB/mieszk

4. Średni PKB UE Krajów kandydackich

( 1 )

( 2 )

( 3 )

[ euro]

[ tys. osób ]

[ tys. euro ]

Chorwacja

10 678

4 436

47 367 608

Macedonia

2 832

2 045

5 791 440

Turcja

7 100

70 586

501 160 600

Albania

AL.

2 479

3 170

7 858 430

Bośnia i H.

3 288

3 843

12 635 784

Czarnogóra

4 478

627

2 807 706

Serbia

4 010

7 366

29 537 660

Kosowo

1 595

2 153

3 434 035

Islandia

32 587

315

10 264 905

OGÓŁEM

94 541

620 858 168

ŚREDNIA Nieważona

7 672

ŚREDNIA Ważona

6 567

Ludność

PKB

Kraje

PKB/mieszk.

5. Średni PKB UE i Krajów kandydackich

( 1 )

( 2 )

( 3 )

[ euro]

[ tys. osób ]

[ tys. euro ]

Chorwacja

10 678

4 436

47 367 608

Macedonia

2 832

2 045

5 791 440

Turcja

7 100

70 586

501 160 600

Albania

AL.

2 479

3 170

7 858 430

Bośnia i H.

3 288

3 843

12 635 784

Czarnogóra

4 478

627

2 807 706

Serbia

4 010

7 366

29 537 660

Kosowo

1 595

2 153

3 434 035

Islandia

32 587

315

10 264 905

UE 27

25 142

497 649

12 511 891 158

OGÓŁEM

592 190

13 132 749 326

ŚREDNIA Nieważona

9 419

ŚREDNIA Ważona

22 177

Ludność

PKB

Kraje

PKB/mieszk.

6. Średnia dzietność UE Krajów kandydackich

( 1 )

( 2 )

( 3 )

dziecko/kobietę

[ tys. osób ]

Chorwacja

1,5

4 436

6654,0

Macedonia

1,5

2 045

3067,5

Turcja

2,1

70 586

148230,6

Albania

AL.

1,3

3 170

4121,0

Bośnia i H.

1,2

3 843

4611,6

Czarnogóra

1,8

627

1128,6

Serbia

1,4

7 366

10312,4

Kosowo

3,2

2 153

6889,6

Islandia

2,2

315

693,0

OGÓŁEM

94 541

185708,3

ŚREDNIA Nieważona

1,6

ŚREDNIA Ważona

2,0

Ludność

Kraje

dzietność

7. Średnia dzietność UE i Krajów kandydackich

( 1 )

( 2 )

( 3 )

dziecko/kobietę

[ tys. osób ]

Chorwacja

1,5

4 436

6654,0

Macedonia

1,5

2 045

3067,5

Turcja

2,1

70 586

148230,6

Albania

AL.

1,3

3 170

4121,0

Bośnia i H.

1,2

3 843

4611,6

Czarnogóra

1,8

627

1128,6

Serbia

1,4

7 366

10312,4

Kosowo

3,2

2 153

6889,6

Islandia

2,2

315

693,0

UE 27

1,5

497 649

746473,5

OGÓŁEM

592 190

932181,8

ŚREDNIA Nieważona

1,8

ŚREDNIA Ważona

1,6

Ludność

Kraje

dzietność

8. PKB wg regionów i województw

Ludność

PKB/

PKB

mieszk.

( 1 )

( 2 )

( 3 )

osoby

zł

[ mln zł ]

38 186 860

33 462

1 290 339

Region Centralny

RCe

PL1

7 770 883

45 704

355 163

Łódzkie

ŁÓDZ

PL11

2 538 451

31 140

79 047

Mazowieckie

MAZO

PL12

5 232 432

52 770

276 115

Region Południowy

RPo

PL2

7 942 799

33 111

262 992

Małopolskie

MAŁO

PL21

3 304 337

28 878

95 423

Śląskie

ŚLĄS

PL22

4 638 462

36 126

167 569

Region Wschodni

RWs

PL3

6 715 080

25 828

173 439

Lubelskie

LUBE

PL31

2 154 892

28 709

61 865

Podkarpackie

PODK

PL32

2 102 742

23 101

48 575

Świętokrzyskie

ŚWIĘ

PL33

1 268 271

26 763

33 943

Podlaskie

PODL

PL34

1 189 175

24 434

29 056

Region Północno-Zachodni

RPnZ

PL4

6 118 410

32 639

199 698

Wielkopolskie

WIEL

PL41

3 414 185

34 934

119 271

Zachodniopomorskie

ZACH

PL42

1 693 520

30 357

51 410

Lubuskie

LUBU

PL43

1 010 705

28 709

29 016

Region Południowo-Zachodni

RPsZ

PL5

3 907 015

33 983

132 772

Dolnośląskie

DOLN

PL51

2 877 121

35 989

103 545

Opolskie

OPOL

PL52

1 029 894

28 379

29 227

Region Północny

RPn

PL6

5 732 673

29 005

166 275

Kujawsko-pomorskie

KUPO

PL61

2 069 575

28 926

59 865

Warmińsko-Mazurskie

WAMA

PL62

1 427 587

24 814

35 424

Pomorskie

POMO

PL63

2 235 511

31 754

70 986

Ogółem

OPIS

Skrót / NUTS

Śred / Σ

WŁASNOŚCI (attribute) ŚREDNIEJ

Suma wartości cech jest równa iloczynowi średniej arytmetycznej cechy i

liczebności zbiorowości, np. suma płac jest równa iloczynowi średniej płacy i liczbie

pracowników

Jest zawsze większa od minimum i mniejsza od maksimum, np. średnia płaca jest

zawsze wyższa od płacy minimalnej i mniejsza od płacy najwyższej

Suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej wynosi zero, np. suma

różnic (dodatnich i ujemnych) płacowych w stosunku do średniej płacy jest zawsze

równa zero

Na poziom średniej duży wpływ wywierają wartości skrajne

Średnia jest właściwą miarą dla zbiorowości względnie jednorodnych (o niewielkim

zróżnicowaniu)

WŁASNOŚCI ŚREDNIEJ cd.

Jeżeli wszystkie wartości zmiennej powiększymy, pomniejszymy, pomnożymy

lub podzielimy przez pewną liczbę stałą to średnia będzie równa sumie, różnicy,

iloczynowi lub ilorazowi średniej i tej stałej.

Np. - Jeżeli każdej pielęgniarce podwyższa się wynagrodzenie o 203 zł, to dokładnie

o tę kwotę zwiększy się także ich średnie wynagrodzenie

- Jeżeli chcemy średnią cenę w zł przeliczyć na cenę w innej walucie np. w euro,

to nie musimy każdej poszczególnej ceny przeliczać kursem walutowym, wystarczy

jeśli tę średnią cenę w zł podzielimy przez kurs zł/euro.

Obliczanie średniego PKB (wg PPS) na mieszkańca dla krajów członkowskich UE-15

1997

2007

1997

2007

1997

2007

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 1 ) x ( 3 )

( 2 ) x ( 4 )

PORTUGALIA

10 313

10 559

14 240

19 000

146 857 120

200 621 000

GRECJA

10 443

11 172

12 790

23 600

133 565 970

263 659 200

HISZPANIA

39 197

44 475

15 510

26 200

607 945 470

1 165 245 000

WŁOCHY

57 269

59 131

19 800

25 400

1 133 926 200

1 501 927 400

FRANCJA

57 753

63 392

19 210

27 200

1 109 435 130

1 724 262 400

FINLANDIA

5 099

5 288

19 270

28 800

98 257 730

152 294 400

NIEMCY

81 539

82 315

20 920

28 600

1 705 795 880

2 354 209 000

SZWECJA

8 816

9 113

19 830

30 400

174 821 280

277 035 200

Wlk. BRYTANIA

58 500

60 852

19 890

29 700

1 163 565 000

1 807 304 400

BELGIA

10 131

10 584

21 630

29 400

219 133 530

311 169 600

DANIA

5 216

5 447

23 300

29 900

121 532 800

162 865 300

AUSTRIA

8 040

8 299

21 540

30 800

173 181 600

255 609 200

HOLANDIA

15 424

16 358

21 820

32 600

336 551 680

533 270 800

IRLANDIA

3 598

4 315

20 130

37 400

72 427 740

161 381 000

LUXEMBURG

407

476

33 690

66 300

13 711 830

31 558 800

371 745

391 776

7 210 708 960 10 902 412 700

19 397

27 828

Kraje

SUMA UE - 15

ŚREDNIA UE - 15

PKB

[ x 1000 ]

Ludność

[ x 1000 ]

PKB na Mieszkańca

Obliczanie średniego PKB (wg PPS) na mieszkańca dla krajów członkowskich UE-15

1997

2009

1997

2009

1997

2009

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 1 ) x ( 3 )

( 2 ) x ( 4 )

PORTUGALIA

10 313

10 627

14 240

18 500

146 857 120

196 599 500

GRECJA

10 443

11 260

12 790

21 900

133 565 970

246 594 000

HISZPANIA

39 197

45 828

15 510

24 500

607 945 470

1 122 786 000

WŁOCHY

57 269

60 045

19 800

24 000

1 133 926 200

1 441 080 000

FRANCJA

57 753

64 367

19 210

25 300

1 109 435 130

1 628 485 100

FINLANDIA

5 099

5 326

19 270

26 100

98 257 730

139 008 600

NIEMCY

81 539

82 002

20 920

27 300

1 705 795 880

2 238 654 600

SZWECJA

8 816

9 256

19 830

28 400

174 821 280

262 870 400

Wlk. BRYTANIA

58 500

61 595

19 890

27 400

1 163 565 000

1 687 703 000

BELGIA

10 131

10 750

21 630

27 200

219 133 530

292 400 000

DANIA

5 216

5 505

23 300

27 700

121 532 800

152 488 500

AUSTRIA

8 040

8 355

21 540

28 800

173 181 600

240 624 000

NIDERLANDY

15 424

16 486

21 820

30 700

336 551 680

506 120 200

IRLANDIA

3 598

4 456

20 130

30 200

72 427 740

134 571 200

LUXEMBURG

407

494

33 690

63 000

13 711 830

31 122 000

371 745

396 352

7 210 708 960

10 321 107 100

19 397

26 040

ŚREDNIA UE - 15

[ x 1000 ]

Kraje

SUMA UE - 15

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

2007 - PKB na 1 mieszkańca krajów członkowskich UE - 15

1997 - PKB na 1 mieszkańca krajów członkowskich UE - 15

PKB na 1 mieszkańca krajów członkowskich UE - 15

Obliczanie średniego PKB (wg PPS) na mieszkańca dla krajów członkowskich UE-12

1997

2007

1997

2007

1997

2007

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 1 ) x ( 3 )

( 2 ) x ( 4 )

BUŁGARIA

8 340

7 801

5 400

9 300

45 036 000

72 549 300

RUMUNIA

22 582

21 711

5 100

10 500

115 168 200

227 965 500

ŁOTWA

2 480

2 319

5 300

14 400

13 144 000

33 393 600

POLSKA

38 639

38 191

7 300

13 400

282 064 700

511 759 400

LITWA

3 707

3 446

6 900

14 800

25 578 300

51 000 800

ESTONIA

1 462

1 351

7 500

16 900

10 965 000

22 831 900

SŁOWACJA

5 379

5 380

9 600

16 700

51 638 400

89 846 000

WĘGRY

10 301

10 117

9 100

15 600

93 739 100

157 825 200

MALTA

374

400

10 600

19 300

3 964 400

7 720 000

Rep. CZESKA

10 309

10 211

12 100

20 000

124 738 900

204 220 000

SŁOWENIA

1 987

1 996

12 800

22 200

25 433 600

44 311 200

CYPR

741

730

15 700

22 600

11 633 700

16 498 000

106 301

103 653

803 104 300

1 439 920 900

7 555

13 892

Kraje

SUMA UE - 12

ŚREDNIA UE - 12

PKB

[ x 1000 ]

Ludność

[ x 1000 ]

PKB na Mieszkańca

Obliczanie średniego PKB (wg PPS) na mieszkańca dla krajów członkowskich UE-12

1997

2009

1997

2009

1997

2009

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 1 ) x ( 3 )

( 2 ) x ( 4 )

BUŁGARIA

8 340

7 606

5 400

10 800

45 036 000

82 144 800

RUMUNIA

22 582

21 498

5 100

10 400

115 168 200

223 579 200

ŁOTWA

2 480

2 261

5 300

11 400

13 144 000

25 775 400

POLSKA

38 639

38 135

7 300

14 300

282 064 700

545 330 500

LITWA

3 707

3 350

6 900

12 500

25 578 300

41 875 000

ESTONIA

1 462

1 340

7 500

14 800

10 965 000

19 832 000

SŁOWACJA

5 379

5 412

9 600

16 900

51 638 400

91 462 800

WĘGRY

10 301

10 031

9 100

14 900

93 739 100

149 461 900

MALTA

374

414

10 600

18 400

3 964 400

7 617 600

Rep. CZESKA

10 309

10 467

12 100

19 000

124 738 900

198 873 000

SŁOWENIA

1 987

2 032

12 800

20 600

25 433 600

41 859 200

CYPR

741

797

15 700

23 200

11 633 700

18 490 400

106 301

103 343

803 104 300

1 446 301 800

7 555

13 995

ŚREDNIA UE - 12

[ x 1000 ]

Kraje

SUMA UE - 12

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

2007 - PKB na 1 mieszkańca krajów członkowskich UE - 12

1997 - PKB na 1 mieszkańca krajów członkowskich UE - 12

PKB na 1 mieszkańca krajów członkowskich UE - 12

SYMBOLE KRAJÓW UE

BUŁGARIA

RUMUNIA

ŁOTWA

POLSKA

LITWA

ESTONIA

SŁOWACJA

WĘGRY

MALTA

PORTUGALIA

Rep. CZESKA

SŁOWENIA

GRECJA

EL/

CYPR

HISZPANIA

WŁOCHY

FRANCJA

FINLANDIA

NIEMCY

SZWECJA

Wlk. BRYTANIA

BELGIA

DANIA

AUSTRIA

HOLANDIA

IRLANDIA

LUXEMBURG

Obliczanie średniego PKB (wg PPS) na mieszkańca dla krajów członkowskich UE 27

1997

2007

1997

2007

1997

2007

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 1 ) x ( 3 )

( 2 ) x ( 4 )

BUŁGARIA

8 340

7 801

5 400

9 300

45 036 000

72 549 300

RUMUNIA

22 582

21 711

5 100

10 500

115 168 200

227 965 500

ŁOTWA

2 480

2 319

5 300

14 400

13 144 000

33 393 600

POLSKA

38 639

38 191

7 300

13 400

282 064 700

511 759 400

LITWA

3 707

3 446

6 900

14 800

25 578 300

51 000 800

ESTONIA

1 462

1 351

7 500

16 900

10 965 000

22 831 900

SŁOWACJA

5 379

5 380

9 600

16 700

51 638 400

89 846 000

WĘGRY

10 301

10 117

9 100

15 600

93 739 100

157 825 200

MALTA

374

400

10 600

19 300

3 964 400

7 720 000

PORTUGALIA

10 313

10 475

14 240

19 000

146 857 120

199 025 000

Rep. CZESKA

10 309

10 211

12 100

20 000

124 738 900

204 220 000

SŁOWENIA

1 987

1 996

12 800

22 200

25 433 600

44 311 200

GRECJA

10 443

11 041

12 790

23 600

133 565 970

260 567 600

CYPR

741

730

15 700

22 600

11 633 700

16 498 000

HISZPANIA

39 197

42 345

15 510

26 200

607 945 470

1 109 439 000

WŁOCHY

57 269

57 888

19 800

25 400

1 133 926 200

1 470 355 200

FRANCJA

57 753

62 130

19 210

27 200

1 109 435 130

1 689 936 000

FINLANDIA

5 099

5 220

19 270

28 800

98 257 730

150 336 000

NIEMCY

81 539

82 532

20 920

28 600

1 705 795 880

2 360 415 200

SZWECJA

8 816

8 976

19 830

30 400

174 821 280

272 870 400

Wlk. BRYTANIA

58 500

59 694

19 890

29 700

1 163 565 000

1 772 911 800

BELGIA

10 131

10 396

21 630

29 400

219 133 530

305 642 400

DANIA

5 216

5 398

23 300

29 900

121 532 800

161 400 200

AUSTRIA

8 040

8 140

21 540

30 800

173 181 600

250 712 000

HOLANDIA

15 424

16 258

21 820

32 600

336 551 680

530 010 800

IRLANDIA

3 598

4 028

20 130

37 400

72 427 740

150 647 200

LUXEMBURG

407

452

33 690

66 300

13 711 830

29 967 600

PKB

[ x 1000 ]

Ludność

[ x 1000 ]

PKB na Mieszkańca

Kraje

Obliczanie średniego PKB (wg PPS) na mieszkańca dla krajów członkowskich UE 27

1997

2007

1997

2007

1997

2007

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 1 ) x ( 3 )

( 2 ) x ( 4 )

478 046

488 626

8 013 813 260

12 154 157 300

16 764

24 874

100,0%

371 745

384 973

7 210 708 960

10 714 236 400

19 397

27 831

115,7%

111,9%

106 301

103 653

803 104 300

1 439 920 900

7 555

13 892

45,1%

55,8%

63 415

68 044

355 124 000

741 679 600

5 200

10 900

31,0%

43,8%

Kraje

PKB

[ x 1000 ]

Ludność

[ x 1000 ]

PKB na Mieszkańca

SUMA UE - 27

ŚREDNIA UE - 27

Turcja

SUMA UE - 15

ŚREDNIA UE - 15

SUMA UE - 12

ŚREDNIA UE - 12

Obliczanie średniego PKB (wg PPS) na mieszkańca dla krajów członkowskich UE 27

1997

2009

1997

2009

1997

2009

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 1 ) x ( 3 )

( 2 ) x ( 4 )

478 046

499 695

8 013 813 260

11 767 408 900

16 764

23 549

100,0%

371 745

396 352

7 210 708 960

10 321 107 100

19 397

26 040

115,7%

110,6%

106 301

103 343

803 104 300

1 446 301 800

7 555

13 995

45,1%

59,4%

63 415

71 517

355 124 000

815 294 940

5 200

11 400

31,0%

48,4%

SUMA UE - 27

ŚREDNIA UE - 27

Turcja

SUMA UE - 15

ŚREDNIA UE - 15

SUMA UE - 12

ŚREDNIA UE - 12

Kraje

PKB

[ x 1000 ]

Ludność

[ x 1000 ]

PKB na Mieszkańca

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

2007 - PKB na 1 mieszkańca krajów członkowskich UE - 27

1997 - PKB na 1 mieszkańca krajów członkowskich UE - 27

PKB na 1 mieszkańca krajów członkowskich UE - 27

ŚREDNIA GEOMETRYCZNA - PROSTA

Jest pierwiastkiem n-tego stopnia z iloczynu danych zmiennych

Wzór:

Stosuje się najczęściej do obliczania wskaźnika średniego tempa zmian (wzrostu),

a więc gdy zjawiska (procesy) ujmowane są dynamicznie

-1

........

ŚREDNIA GEOMETRYCZNA - PROSTA

252

272

221

211

377

306

136

235

385

Przykład Polska

Dynamika eksportu w latach 2002-2007

rok poprzedni=100

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Średnia

2001-07

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

[ ]

1,035

1,147

1,174 1,096

1,136

1,150 1,122

Polska

1,136

1,306

1,377

1,211

1,221

1,272

1,252

Republika Czeska

1,151

1,269

1,358

1,181

1,216

1,285

1,241

Wegry

1,126

1,237

1,290

1,129

1,197

1,277

1,208

Słowacja

1,145

1,519

1,265

1,151

1,312

1,379

1,289

Francja

1,046

1,175

1,154

1,050

1,100

1,123

1,107

Hiszpania

1,071

1,265

1,167

1,049

1,117

1,191

1,141

Niemcy

1,079

1,216

1,218

1,073

1,150

1,180

1,151

Wielka Brytania

1,022

1,100

1,137

1,094

1,156

0,971

1,078

OECD

Kraje

Dynamika PKB w latach 2002-2007

rok poprzedni=100

2 002

2 003

2 004

2 005

2 006

2 007

Średnia

2007/

2001-07

2000

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

( 8 )

[ ]

1,014 1,019 1,031 1,025 1,029 1,024 1,024

1,164

Polska

1,014 1,039 1,053 1,036 1,062 1,067

1,045

1,319

Republika Czeska

1,019 1,036 1,045 1,063 1,068 1,060

1,048

1,359

Wegry

1,041 1,042 1,048 1,040 1,041 1,011

1,037

1,296

Słowacja

1,048 1,047 1,052 1,065 1,085 1,104

1,067

1,523

Francja

1,010 1,011 1,025 1,019 1,022 1,022

1,018

1,134

Hiszpania

1,027 1,031 1,033 1,036 1,039 1,037

1,034

1,265

Niemcy

1,000 0,998 1,012 1,008 1,030 1,025

1,012

1,087

Wielka Brytania

1,021 1,028 1,028 1,021 1,028 1,030

1,026

1,195

OECD

Kraje

ŚREDNIA GEOMETRYCZNA TIMOFIEJUKA

1. Dane wyjściowe

Lata

Warianty

873

200

174

152

132

115

100

900

200

180

160

140

120

100

967

200

190

205

157

115

100

III

1100

200

100

700

200

100

SUMA

2000

1999

1998

1997

1996

1995

PRZYKŁAD

1. ŚREDNIE TEMPO WZROSTU

a) ZWYKŁE (średnia nieważona)

b) TIMOFIEJUK (średnia ważona)

wg tablic

Poziom w 2000 r. wg

14,9 %

16,1 %

18,9 %

III

24,1 %

6,2 %

1,149

= 200

1,161

= 211

1,189

= 238

1,241

= 294

1,062

= 135

1. Timofiejuk – Zeszyty metodyczne GUS nr 75 (II wydanie, W-wa 1999 r.)

Średnia geometryczna ważona uwzględnia przebieg zjawiska, a nie ogranicza

się tylko do wartości krańcowych (początkowej i końcowej), jak w przypadku średniej

nieważonej.

Średnia ważona (tempa wzrostu) spełnia warunek zgodności sumy wartości zjawisk

w badanym okresie.

W przypadku zastosowania średniej nieważonej (tempa wzrostu) otrzymujemy

w wyniku krańcową wartość zjawiska (w ostatnim okresie), nie jest natomiast spełniony

warunek sumy wartości zjawisk w badanym okresie.

ŚREDNIA GEOMETRYCZNA WAśONA (TIMOFIEJUKA)

ŚREDNIA POTĘGOWA

Jest pierwiastkiem n-tego stopnia ze średniej arytmetycznej zmiennej

w potędze n-tego stopnia

Wzór:

Średnia potęgowa Średnia kwadratowa

Stosowana częściej w fizyce i naukach przyrodniczych

Odchylenie standardowe ma postać średniej kwadratowej

(quadratic mean, square

mean)

p =

i=1

P =

i=1

PRZYKŁAD

Na danym terenie istnieją kwadratowe działki o różnych powierzchniach.

Chcemy teren podzielić na równe działki o tej samej ich liczbie.

Jeśli chcemy obliczyć powierzchnię nowych działek, wystarczy podzielić sumę

powierzchni wszystkich działek przez ich liczbę. Proste!

Chcemy jednak poznać od razu wielkość boku tych nowych działek.

Poszukiwany bok to pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów boków (dotychczasowych

różnych działek) podzielony przez liczbę działek.

Gdyby np. chodziło o poszukiwanie wielkości promienia kuli wtedy stosujemy pierwiastek

trzeciego stopnia

I stąd średnia potęgowa!

W ekonomii średnia ta stosowana jest bardzo rzadko.

ŚREDNIA HARMONICZNA

Wzór:

nieważona

ważona

Stosuje się wówczas, gdy wartości zmiennych (x) podane są w jednostkach względnych,

np. prędkość w km/godz., gęstość zaludnienia w osobach/km

, wydajność pracy

w zł/pracownika, pracochłonność w min./szt.

H =

i=1

ŚREDNIA HARMONICZNA

Jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności wartości zmiennych

Zawsze można obliczyć średnią arytmetyczną zamiast harmonicznej o ile prawidłowo

zastosujemy wagi

Stosować będziemy tę średnią, której obliczenie jest łatwiejsze

PRZYKŁAD (

)

Gęstość zaludnienia

(density of population)

w dwóch miastach (N=2)

po 60.000 mieszkańców

(każde) wynosi odpowiednio

= 400 i x

= 600 osób/km

Ile wynosi średnia gęstość zaludnienia w tych miastach traktowanych jako agregat?

Gdyby obliczyć średnią arytmetyczną nieważoną to:

(400 + 600):2 = 500 osób/km

Zły wynik!

ROZWIĄZANIE

Łączna powierzchnia miast wynosi:

60 000 osób : 400 osób/km

= 150 km

60 000 osób : 600 osób/km

= 100 km

Średnia wynosi więc:

120 000 osób : 250 km

= 480 osób/km

Wg średniej harmonicznej:

2:(1/400 + 1/600) = 480 osób/km

i tak powinno być !

PRZYKŁAD (2)

Ciężarówka pokonała 1/6 drogi z prędkością 100 km/h, 1/3 drogi z prędkością 80 km/h

i ½ drogi z 50 km/h. Długość drogi = 100 km.

Jaka była średnia prędkość?

Gdyby obliczyć

wg średniej arytmetycznej ważonej

to:

1/6 x 100 + 1/3 x 80 + 1/2 x 50 = 65 km/h

To zły wynik!

ROZWIĄZANIE

1-szy odcinek 16 km : 100 km/h = 0,16 h

2-gi odcinek 34 km : 80 km/h = 0,425 h

3-ci odcinek 50 km : 50 km/h = 1,00 h

Razem = 1,585 h

Średnia prędkość: 100 km : 1,585 h = 63,1 km/h

Wg średniej harmonicznej:

100 km : (1/6 :100 km/h + 1/3 :80 km/h + 1/2 :50 km/h)=63,1 km/h

i tak powinno być !

Prosta średnia ruchoma (krocząca)

Liniowo ważona średnia ruchoma (krocząca)

Średnia ruchoma wyrównana wykładniczo

Średnie krótko i długoterminowe

Stosowanie dwóch lub trzech średnich kroczących równocześnie

Wykorzystanie liczb Fibonacciego

ŚREDNIE RUCHOME (KROCZĄCE)

MOVING AVERAGES

ŚREDNIA RUCHOMA PROSTA

Wzór:

= (y

+ y

i+1

+ y

i+2

):3

(

):3

itd.

gdzie:

- średnia ruchoma

, y

, ..., y

- wartości szeregu czasowego

okres = 3 - jest przykładowy

Długość okresu (tzw. kroku), wynikać powinna z analizy specyfiki przebiegu danego zjawiska

(procesu). Wybór zależy od analityka, który ma do dyspozycji odpowiednie kryteria.

Wyróżnia się średnie kroczące na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie:

Długoterminowe: 100 sesji ( SK-100 )

Średnioterminowe: 45 sesji ( SK-45 )

Krótkoterminowe: 15 sesji ( SK-15 )

Uwaga na średnie krótkoterminowe! Mogą dostarczać fałszywych sygnałów.

ŚREDNIE KROCZĄCE NA GPW

„Starzenie” się danych.

„Nowszym” danym (cenom) przypisujemy większą wagę niż „starszym”

Np. w przypadku średniej o długości kroku = 4, możemy aktualnej cenie przypisać

wagę = 0,4, wcześniejszej = 0,3, starszej = 0,2 i najstarszej = 0,1.

Suma wag musi wynosić 1,0.

Istnieją różne sposoby (algorytmy) nadawania wag.

Wzór: p = p

x 0,1 + p

x 0,2 + p

x 0,3 + p

x 0,4

ŚREDNIA RUCHOMA WAśONA LINIOWO

Wyliczenie średniej ruchomej ważonej liniowo

na podstawie hipotetycznej historii notowań akcji Firmy X

Suma

Średnia

Wag

Cen

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 8 )

( 9 )

[ ]

60,0

40,0

39,0

36,0

43,8

Wagi 1

0,10

0,20

0,30

0,40

1,00

40,1

Wagi 2

0,25

1,00

43,8

Wagi 3

0,40

0,30

0,20

0,10

1,00

47,4

Wagi 4

0,50

0,10

0,30

1,00

48,7

Wagi 5

0,40

0,25

0,10

0,25

1,00

46,9

Cena Akcji firmy X

Wagi

ŚREDNIA RUCHOMA WAśONA OBROTAMI

Jeśli obroty akcjami na różnych sesjach są bardzo zróżnicowane, obliczając średnią

ruchomą ceny z poszczególnych sesji powinniśmy ważyć je obrotami (wolumenem) na

tych sesjach.

Wzór na średnią ruchomą o długości kroku = 4:

p(1)=(p

+ p

gdzie:

– cena na sesji i = 1,…,4 (długość kroku = 4 tylko przykładowo)

- wolumen obrotów na sesji i

Służy do ustalania zależności między notowaniami akcji dwóch spółek lub akcji danej

spółki a np. WIG-20 lub innymi indeksami

Wskaźnik oblicza się po każdej sesji.

gdzie:

–

––

– kolejny numer sesji, dla której wyznaczana jest wartość wskaźnika RS

(k)

–

––

– średnia cena akcji pierwszej ze spółek wyliczona z ostatnich k sesji

(k)

–

––

– średnia cena akcji drugiej (innej) spółki lub np. WIG wyliczona z ostatnich k sesji

RS – WSKAŹNIK WZGLĘDNEJ SIŁY AKCJI

Relative strenght

(k)

RS – WSKAŹNIK WZGLĘDNEJ SIŁY AKCJI

Relative strenght

Można ocenić, czy cena akcji danej spółki rośnie wolniej lub szybciej niż innej lub

innych spółek.

Rosnąca linia (na wykresie) RS oznacza, że cena akcji danej spółki rośnie szybciej niż

przeciętna innej lub innych spółek, co daje możliwość uzyskania na rynku wzrostowym

większych zysków niż przeciętnie. W okresie bessy rosnąca linia oznacza, że pomimo

spadku na rynku, akcje danej spółki rosną lub spadają wolniej niż przeciętnie na

rynku.

RS wskazuje na możliwość wykorzystania tendencji wzrostowej dla jednej spółki do

zakupu akcji innej spółki.

Aby wzmocnić sygnały generowane przez RS, oblicza się także średnią ruchomą tego

wskaźnika.

RSI - WSKAŹNIK RELATYWNEJ SIŁY

Relative strenght index

Autor J. Welles Wilder (1978 r.)

Umożliwia ustalenie stanu rynku: wykupiony (dobry moment do sprzedaży) lub

wysprzedany (dobry moment do kupna)

Pomiar wewnętrznej siły danej akcji lub rynku;

RSI umieszczany jest na pionowej skali od 1 do 100

Wartości oscylatora powyżej 70 uznawane są za sygnał do wykupienia rynku, natomiast

poniżej 30 – to sygnał o jego wyprzedaży

Poziom 80 to zwykle hossa, zaś 20 to bessa.

Zalecany okres obliczania wskaźnika: 14 sesji (lub 9), od tego zależy też trafność

wskaźnika

Cel: poszukiwanie w wybranym przedziale czasowym ostatniego okresu siły popytu

i podaży

100

RSI

średni wzrost kursu z k dni

średni spadek kursu z k dni

Autor: Gerald Appel

Posługujemy się dwoma średnimi ruchomymi wykładniczymi 26-sesyjną (jako średnią

dłuższą) i 12-sesyjną (jako średnią krótszą)

Wzajemne położenie dwóch linii (opartych na tych średnich) może służyć do

generowania sygnałów kupna lub sprzedaży

Różnicę między nimi wygładzamy dodatkowo przy pomocy średniej wykładniczej

9-sesyjnej

Wygładzony szereg wartości MACD nazywa się linią sygnału

Za linię równowagi dla MACD przyjmuje się poziom zerowy.

MACD

MOVING AVERAGES CONVERGENCE, DIVERGENCE

lub

gdzie:

i k

– oznaczają krok uśredniania (przy czym zawsze k

)

– to średnie wykładnicze (lub zwykłe) k

i k

okresowe

Obliczenia są wykonywane po każdej sesji w sposób kroczący

Sygnał kupna:

przecięcie dłuższej średniej przez krótszą od dołu

Sygnał sprzedaży:

krótsza średnia przecina dłuższą średnią od góry

MACD

DOMINANTA

(MODA, WARTOŚĆ MODALNA, WARTOŚĆ NAJCZĘSTSZA)

Jest to ta wartość cechy zmiennej, która w danym szeregu występuje najczęściej;

wartość cechy wokół której skupia się najwięcej jednostek;

Szereg musi być uporządkowany !

Obliczana jest i ma sens w rozkładach jednomodalnych

(unimodal)

z umiarkowaną

asymetrią; może jednak być układ wielomodalny

(multimodal)

i wtedy obliczamy kilka

dominant.

W szeregu symetrycznym dominanta jest równa średniej arytmetycznej

W szeregach z przedziałami (jednakowe) klasowymi wskazujemy przedział w którym

występuje dominanta i obliczamy ją przez interpolację wg wzoru:

PRZYKŁAD

Dominantę wskazuje największa

liczebność cechy, tj. 80 małżeństw

Dominanta

= 2 dzieci

Średnia arytmetyczna:

364 : 200 = 1,8 dzieci

364

200

160

L. małżeństw

Liczba dzieci

Rozkład liczby dzieci w małżeństwach

DOMINANTA –

wzór na interpolację

dolny poziom klasy dominanty

rozpiętość klasy dominanty

liczebność klasy dominanty

D p h

d
( q

d (q d

d -1
q

d -1 ) qd+ 1

-
- -+

D p

d-1

)

d+1

)

PRZYKŁAD Z PRZEDZIAŁAMI

Obliczamy wg wzoru ze slajdu nr 45

Wartość dolnej granicy klasy dominanty (4)

Rozpiętość tej klasy

(8-4=

=4)

mnożymy przez iloraz:

Licznik:

różnica między liczebnością klasy

dominanty a liczebnością poprzedniej

(16-12=

=4)

Mianownik:

suma różnic pierwsza jw (tj.4)

i liczebnością klasy dominanty i następnej

(16-10=

=6),

czyli

4+6=

=10

Wartość ilorazu:

4 : 10=

4 : 10=0,4

0,4

Dominanta: 4 + 4 x 0,4=

=5,6 minut

Średnia arytmetyczna: 400:50=

=8 minut

400

ΣΣΣΣ

16-20

126

12-16

100

8 –12

4 – 8

0 - 4

Środek

klas

Liczebność

Klasa

ROZKŁAD CZASU TRWANIA ROZMÓW

TELEFONICZNYCH GOŚCI HOTELOWYCH

W MINUTACH

GRAFICZNY SPOSÓB OBLICZNIA DOMINANTY

100

MEDIANA

Wartość środkowa cechy w uporządkowanym szeregu (np. w kolejności rosnącej)

50% zbiorowości jest mniejsza od mediany i 50% - większa

Jest niewrażliwa na wyniki krańcowe (można dzięki niej ustrzec się wyników

nietypowych, ekstremalnych)

Ułatwieniem dla jej obliczenia jest utworzenie szeregu skumulowanego

Jeżeli występują przedziały klasowe to medianę interpolujemy wg wzoru:

gdzie:

- dolny poziom klasy mediany

– liczba danych, które trzeba minąć po osiągnięciu

żeby dojść do mediany

- liczebność klasy mediany

– rozpiętość przedziału wartości odpowiadającej klasie mediany

PRZYKŁAD

Medianę wyznacza setne małżeństwo, gdyż

200:2=100

200

– to liczebność małżeństw

Mediana = 2 dzieci

, gdyż tyle dzieci posiada

setne małżeństwo w skumulowanym szeregu

Średnia arytmetyczna:

364:200=1,8 dzieci

Dominanta = 2 dzieci

200

190

157

Skumulowana

liczba

małżeństw

Liczba

małżeństw

Liczba

dzieci

ROZKŁAD LICZBY DZIECI W

MAŁśEŃSTWACH

PRZYKŁAD Z PRZEDZIAŁAMI

Mediana mieści się na 25 pozycji

(50:2=25)

Klasa mediany: 4-8 przy liczebności 16
Liczebność skumulowana poprzedzająca klasę

mediany

= 12

Odstęp między pozycją mediany a liczebnością

skumulowaną

25-12=13

Podział klasy mediany na cząstki:

(8-4):16= 0,25

Do dolnej granicy klasy mediany (4) dodajemy 13

cząstek:

4+13 x 0,25=7,25

Mediana = 7,25

ROZKŁAD CZASU TRWANIA ROZMÓW

TELEFONICZNYCH GOŚCI HOTELOWYCH

W MINUTACH

16 - 20

12 - 16

8 – 12

4 – 8

0 - 4

Liczebność

skumulowana

Liczebność

Klasa

KWARTYLE

KWARTYLE -

- PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

Relacje między medianą a średnią

Zróżnicowanie dochodu do dyspozycji gospodarstw domowych

wg grup społeczno – ekonomicznych w 2004 r.

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

[ ]

Średni dochód do dyspozycji

[ zł ]

11 429

12 787

6 877

15 040

11 104

7 974

5 738

Mediana dochodów do dysp.

[ zł ]

9 471

10 287

6 132

10 654

10 294

7 198

4 101

Relacja mediany do średniej

[ % ]

82,87

80,45

89,17

70,84

92,71

90,27

71,47

Średni dochód do dyspozycji

[ zł ]

100,0

111,9

60,2

131,6

97,2

69,8

50,2

Mediana dochodów do dysp.

[ zł ]

100,0

108,6

64,7

112,5

108,7

76,0

43,3

Wyszczególnienie

Emerytów

Rencistów

Niezarobk.

Ogółem

Pracowników

Rolników

Na własny

rachunek

KWARTYLE

KWARTYLE -

- PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

Relacje między medianą a średnią

Zróżnicowanie dochodu do dyspozycji gospodarstw domowych

wg grup społeczno – ekonomicznych w 2007 r.

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

[ ]

Średni dochód do dyspozycji

[ zł ]

15 252

14 856

16 824

20 364

15 996

12 084

Mediana dochodów do dysp.

[ zł ]

11 724

11 232

10 428

14 172

14 004

9 744

Relacja mediany do średniej

[ % ]

76,87

75,61

61,98

69,59

87,55

80,64

Średni dochód do dyspozycji

[ % ]

100,0

97,4

110,3

133,5

104,9

79,2

Mediana dochodów do dysp.

[ % ]

100,0

95,8

88,9

120,9

119,4

83,1

Rencistów

Ogółem

Pracowników

Rolników

Na własny

rachunek

Wyszczególnienie

Emerytów

KWANTYLE

Percentyle

(percentile),

centyle

(centile)

–

po 1% zbiorowości 50-ty to mediana

Decyle

(decile)

–po 10% zbiorowości; 5-ty to mediana

Kwintyle

– po 20% zbiorowości

Kwartyle

(quartile)

– po 25% zbiorowości 2-gi to mediana, 1-szy to 25-ty percentyl,

czyli wartość poniżej której znajduje się ¼ całej zbiorowości

Kwartyl dolny

(lower quartile)

– 25-ty percentyl

Kwartyl środkowy

– mediana

Kwartyl górny

(upper quartile)

– 75-ty percentyl

KWANTYLE

Dwie definicje:

1. kwantyle są to najwyższe wartości cechy w danym przedziale, stąd nie oblicza się

wartości ostatniego kwantyla.

Np. przy obliczaniu decyli pomija się 10. decyl, przy obliczaniu kwartyli – 4. kwartyl.

2. kwantyle są to średnie wartości cechy w danym przedziale, można obliczać wartość

średniej cechy dla każdego kwantyla.

KWANTYLE

Są to wartości (w uporządkowanym szeregu) zamykające dany kwantyl, a więc są to

najwyższe wartości w tych przedziałach

W przypadku kwartyli, są to najwyższe wartości w 1, 2 i 3 kwartylu;

mimo więc, że mamy 4 przedziały kwartylowe, wartości kwartylowych mamy 3;

Podobnie w przypadku decyli także są to ostatnie (najwyższe) wartości w poszczególnych

9 decylach, mimo że przedziałów decylowych mamy 10.

Ostatnich wartości w kwantylach czy decylach, nie liczymy, ponieważ są to jednocześnie

najwyższe wartości w danym szeregu wartości cechy.

W praktyce spotyka się jednak także operowanie przedziałami kwantylowymi

i obliczanie wartości średnich (arytmetycznych) w poszczególnych przedziałach.

W takim wypadku, kwartyli mamy 4 (a nie 3), a decyli 10 (a nie 9), lecz są to wartości

średnie w tych przedziałach, a nie wartości najwyższe, jak zwykle wyznacza się te

wartości.

KWANTYLE

PRZYKŁAD- 100 NAJBOGATSZYCH POLAKÓW

mln zł

mln zł Lp

mln zł

mln zł Lp

mln zł

130

150

160

200

210

240

285

380

470

1500

130

150

160

200

220

240

285

380

590

2100

130

155

170

200

220

240

290

390

640

2100

135

155

170

200

220

250

295

400

780

2800

135

155

170

200

225

255

295

400

800

2800

135

160

180

205

225

260

300

400

800

2900

140

160

180

210

230

260

350

420

900

3000

140

160

180

210

235

265

350

420

990

3200

150

160

190

210

240

270

350

450

1100

3400

150

160

190

210

240

285

350

470

1300

100

6200

Średnia decyli

mediana

kwartyl

decyl

137,5

156,5

175

204,5

837

3000

226,5

256,5

315

411

Mediana

150

137,5

160

156,5

190

175

170

150,8

210

204,5

240

226,5

240

209,2

240

285

256,5

350

315

400

306,6

470

411

1300

837

100

6200

3000

6200

1621,2

Decyle / średnia

Kwartyle / średnia

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

100

Mediana

Decyle

Kwartyle

Średnia arytmetyczna 57 195 mln zł : 100 =571,95 mln zł

mln zł

ŚREDNIA

WYKRES

Zróżnicowanie dochodów netto gospodarstw domowych wg grup

społeczno-ekonomicznych w 2003

Decyle dla miesięcznego dochodu netto w zł na osobę

( 1 )

( 2 )

( 3 )

Pracownicy

250,00

1 250,0

5,00

Rolnicy

150,00

750,0

5,00

Pracownicy użytkujący gospodarstwo rolne

216,66

940,0

4,34

Emeryci i renciści

233,33

1 000,0

4,29

Pracujący na własny rachunek

260,00

1 500,0

5,77

OGÓŁEM

245,00

1 200,0

4,90

Decyl dziewiąty

Iloraz Decyl dziewiąty /

Decyl pierwszy

GRUPA SPOŁECZNO-EKONOMICZNA

Decyl pierwszy

Zróżnicowanie dochodów netto gospodarstw domowych wg typu

gospodarstwa w 2003 r.

Decyle dla miesięcznego dochodu netto w zł na osobę

( 1 )

( 2 )

( 3 )

JEDNORODZINNE: małżeństwa bez dzieci

500,00

1 500,0

3,00

Małżeństwa z 1 dzieckiem

283,33

1 166,7

4,12

Małżeństwa z 2 dzieci

225,00

875,0

3,89

Małżeństwa z 3 i więcej dzieci

140,00

600,0

4,29

Rodziny niepełne

240,00

1 000,0

4,17

WIELORODZINNE

225,00

804,2

3,57

OGÓŁEM

245,00

1 200,0

4,90

Decyl dziewiąty

Iloraz Decyl dziewiąty /

Decyl pierwszy

TYP GOSPODARSTWA

Decyl pierwszy

Zróżnicowanie dochodów netto gospodarstw domowych wg województw w 2003

Decyle dla miesięcznego dochodu netto w zł na osobę

( 1 )

( 2 )

( 3 )

Dolnośląskie

PL51

228,57

1 300,0

5,69

Kujawsko-pomorskie

PL61

196,00

1 100,0

5,61

Lubelskie

PL31

250,00

1 035,0

4,14

Lubuskie

PL43

250,00

1 250,0

5,00

Łódzkie

PL11

240,00

1 100,0

4,58

Małopolskie

PL21

271,43

1 134,0

4,18

Mazowieckie

PL12

275,00

1 500,0

5,45

Opolskie

PL52

266,66

1 166,0

4,37

Podkarpackie

PL32

216,66

1 050,0

4,85

10 Podlaskie

PL34

233,33

1 000,0

4,29

11 Pomorskie

PL63

253,33

1 250,0

4,93

12 Śląskie

PL22

300,00

1 200,0

4,00

13 Świętokrzyskie

PL33

233,33

1 007,0

4,32

14 Warmińsko-mazurskie

PL62

187,50

1 000,0

5,33

15 Wielkopolskie

PL41

234,00

1 100,0

4,70

16 Zachodniopomorskie

PL42

225,00

1 190,0

5,29

OGÓŁEM

245,00

1 200,0

4,90

Decyl dziewiąty

Decyl dziewiąty /

Decyl pierwszy

WOJEWÓDZTWO

Decyl pierwszy

Zróżnicowanie spożycia towarów i usług na 1 osobę w

gospodarstwach domowych w 2007 r. wg grup kwintylowych

( 1 )

( 2 )

( 3 )

żywność i napoje bezalkoholowe

158,81

298,1

1,88

alkohol i wyroby tytoniowe

12,94

37,4

2,89

odzież i obuwie

20,35

96,9

4,76

użytk. mieszkania i energia

73,32

246,2

3,36

wyposaż. Mieszkania

19,20

93,2

4,85

zdrowie

13,51

78,3

5,79

transport

28,63

170,7

5,96

łączność

19,45

72,1

3,71

rekreacja i kultura

21,14

143,4

6,78

edukacja

3,07

24,4

7,93

restauracje i hotele

5,53

40,5

7,32

pozostałe

17,06

95,5

5,60

OGÓŁEM

555,73

2 688,4

4,84

Kwintyl piąty

Kwintyl

piaty/kwintyl

pierwszy

Towary i usługi

Kwintyl pierwszy

Zróżnicowanie spożycia towarów i usług na 1 osobę w

gospodarstwach domowych w 2009 r. wg grup kwintylowych

( 1 )

( 2 )

( 3 )

żywność i napoje bezalkoholowe

240,08

328,3

1,37

alkohol i wyroby tytoniowe

14,86

44,3

2,98

odzież i obuwie

21,06

107,2

5,09

użytk. mieszkania i energia

93,01

312,4

3,36

wyposaż. Mieszkania

20,15

111,9

5,55

zdrowie

18,03

91,3

5,07

transport

33,97

216,3

6,37

łączność

22,42

73,0

3,25

rekreacja i kultura

28,88

173,9

6,02

edukacja

3,55

24,8

6,99

restauracje i hotele

6,31

55,9

8,86

pozostałe

21,05

109,8

5,21

OGÓŁEM

643,37

3 140,3

4,88

Kwintyl piąty

Kwintyl

piaty/kwintyl

pierwszy

Towary i usługi

Kwintyl pierwszy

UE 27 PKB na osobę: obliczenie mediany, kwartyli i decyli w 2007 r

Liczba

PKB/osoba

ludności

2007

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

[ mln osób ]

[ % ]

[ PPS/osoba ]

488,6

100,0

24 874

50,0

25,0

10,0

Bułgaria

7,8

1,6

9 300

Rumunia

21,7

4,4

6,0

10 500

Polska

38,2

7,8

13,9

13 400

Łotwa

2,3

0,5

14,3

14 400

Litwa

3,4

0,7

15,0

14 800

Węgry

10,1

2,1

17,1

15 600

Słowacja

5,4

1,1

18,2

16 700

Estonia

1,4

0,3

18,5

16 900

Portugalia

10,5

2,1

20,6

19 000

Malta

0,4

0,1

20,7

19 300

Rep. Czeska

10,2

2,1

22,8

20 000

Słowenia

2,0

0,4

23,2

22 200

Cypr

0,7

0,1

23,4

22 600

Grecja

11,0

2,3

25,6

23 600

Włochy

57,9

11,8

37,5

25 400

Hiszpania

42,3

8,7

46,1

26 200

Francja

62,1

12,7

58,8

27 200

Niemcy

82,5

16,9

75,7

28 600

Finlandia

5,2

1,1

76,8

28 800

Belgia

10,4

2,1

78,9

29 400

Wielka Brytania

59,7

12,2

91,1

29 700

Dania

5,4

1,1

92,3

29 900

Szwecja

9,0

1,8

94,1

30 400

Austria

8,1

1,7

95,8

30 800

Niderlandy

16,3

3,3

99,1

32 600

Irlandia

4,0

0,8

99,9

37 400

Luksemburg

0,5

0,1

100,0

66 300

Ogółem

Kraje członkowskie

Kwartyl

PKB

Decyl PKB

Skrót

Struktura

ludności

Kumulacja

ludności

Mediana

PKB

KWARTYLE

KWARTYLE -

- PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

UE 27 PKB na osobę: obliczenie mediany, kwartyli i decyli w 2007 r

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

100

Kumulacja ludności

[ PPS/osoba ]

PKB/osoba

Kwartyl dolny

Mediana

Kwartyl górny

Średnia

KWARTYLE

KWARTYLE -

- PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

UE 27 PKB na osobę: obliczenie mediany, kwartyli i decyli w 1997 r.

Liczba

PKB/osoba

ludności

1997

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

[ mln osób ]

[ % ]

[ PPS/osoba ]

478,0

100,0

16 764

50,0

25,0

10,0

Rumunia

22,6

4,7

5 100

Łotwa

2,5

0,5

5,2

5 300

Bułgaria

8,3

1,7

7,0

5 400

Litwa

3,7

0,8

7,8

6 900

Polska

38,6

8,1

15,8

7 300

Estonia

1,5

0,3

16,2

7 500

Węgry

10,3

2,2

18,3

9 100

Słowacja

5,4

1,1

19,4

9 600

Malta

0,4

0,1

19,5

10 600

Rep. Czeska

10,3

2,2

21,7

12 100

Grecja

10,4

2,2

23,9

12 790

Słowenia

2,0

0,4

24,3

12 800

Portugalia

10,3

2,2

26,4

14 240

Hiszpania

39,2

8,2

34,6

15 510

Cypr

0,7

0,2

34,8

15 700

Francja

57,8

12,1

46,9

19 210

Finlandia

5,1

1,1

47,9

19 270

Włochy

57,3

12,0

59,9

19 800

Szwecja

8,8

1,8

61,7

19 830

Wielka Brytania

58,5

12,2

74,0

19 890

Irlandia

3,6

0,8

74,7

20 130

Niemcy

81,5

17,1

91,8

20 920

Austria

8,0

1,7

93,5

21 540

Belgia

10,1

2,1

95,6

21 630

Niderlandy

15,4

3,2

98,8

21 820

Dania

5,2

1,1

99,9

23 300

Luksemburg

0,4

0,1

100,0

33 690

Ogółem

Kraje członkowskie

Kwartyl

PKB

Decyl PKB

Skrót

Struktura

ludności

Kumulacja

ludności

Mediana

PKB

KWARTYLE

KWARTYLE -

- PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

UE 27 PKB na osobę: obliczenie mediany, kwartyli i decyli w 1997 r.

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

30 000

35 000

40 000

100

Kumulacja ludności

[ PPS/osoba ]

PKB/osoba

Kwartyl dolny

Mediana

Kwartyl górny

Średnia

KWARTYLE

KWARTYLE -

- PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

Dochód roczny do dyspozycji w przeliczeniu na osobę w 2004 r.

Nierówności dochodowe gospodarstw domowych

Dochód

Wskaźniki

roczny

( 1 )

( 2 )

zł/osobę

1 Decyle:

2 D1

2 712

3 D2

3 990

4 D3

5 041

5 D4

6 158

6 D5

7 310

7 D6

8 645

8 D7

10 220

9 D8

12 393

10 D9

16 500

11 Wskaźnik zróżnicowania decylowego

12 D9/D1*100

608

13 Wskaźnik wahania decylowego

14 (D9-D1)/M*100

189

15 Wskaźniki dyspersji

16 D1/M*100

17 D9/M*100

226

Miary nierówności

Kwintylowe zróżnicowanie dochodów

Relacja dochodów 5. kwintyla do dochodów 1. kwintyla

1 997 2 004 2 007

( 1 )

( 2 )

( 3 )

4,8

1 Belgia

4,0

3,9

2 Bułgaria

3,7

4,0

6,9

3 Czechy

3,7

3,5

4 Dania

2,9

3,4

3,7

5 Niemcy

3,7

3,8

5,0

6 Estonia

7,2

5,5

7 Irlandia

5,0

4,8

8 Grecja

6,6

5,9

6,0

9 Hiszpania

6,5

5,1

5,3

10 Francja

4,4

4,2

3,8

11 Włochy

5,3

5,7

5,5

12 Cypr

4,3

4,5

13 Łotwa

5,5

6,7

6,3

14 Litwa

5,0

6,9

5,9

15 Luksemburg

3,6

3,9

4,0

16 Wegry

3,3

4,0

3,6

17 Malta

4,6

3,9

3,8

18 Niderlandy

3,6

4,0

19 Austria

3,6

3,8

20 Polska

4,7

6,6

5,3

21 Portugalia

6,7

6,9

6,5

22 Rumunia

4,5

4,8

7,8

23 Słowenia

3,2

3,4

3,3

24 Słowacja

3,9

3,5

25 Finlandia

3,0

3,5

3,7

26 Szwecja

3,0

3,3

3,4

27 Wielka Brytania

4,7

5,3

5,5

28 Islandia
29 Norwegia

EU 27

OPIS

KWARTYLE

KWARTYLE -

- PRZYKŁAD

PRZYKŁAD

Liczba

ludności

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

[ mln osób ]

[ % ]

[ lata ]

[ PPS/osoba ]

487,7 100,0

100,0 74,62

Litwa

3,4

0,7

65,31

Łotwa

2,3

0,5

1,2

65,37

Estonia

1,3

0,3

1,4

67,33

Rumunia

21,7

4,4

5,9

68,68

Węgry

10,1

2,1

7,9

68,69

Bułgaria

7,7

1,6

9,5

68,99

Słowacja

5,4

1,1

10,6

70,17

Polska

38,1

7,8

18,4

70,75

Rep. Czeska

10,2

2,1

20,4

72,92

Słowenia

2,0

0,4

20,9

73,94

Portugalia

10,5

2,1

23,0

74,90

Finlandia

5,2

1,1

24,1

75,59

Dania

5,4

1,1

25,2

75,96

Belgia

10,4

2,1

27,3

76,18

Luksemburg

0,5

0,1

27,4

76,63

Francja

60,2

12,7

40,1

76,68

Austria

8,1

1,7

41,8

76,69

Niemcy

82,6

16,8

58,6

76,71

Cypr

0,7

0,2

58,7

76,82

Grecja

11,1

2,3

61,0

76,82

Hiszpania

42,9

8,8

69,8

76,98

Wielka Brytania

59,9

12,0

81,8

77,08

Włochy

58,2

11,9

93,7

77,12

Malta

0,4

0,1

93,8

77,25

Niderlandy

16,3

3,3

97,1

77,25

Irlandia

4,1

1,1

98,2

77,29

Szwecja

9,0

1,8

100,0

78,49

Decyl PKB

Skrót

Struktura

ludności

Kumulacja

ludności

Mediana

PKB

Ogółem

Kraje

członkowskie

Kwartyl PKB

Trwanie

życia M

UE 27 Długość życia mężczyzn: obliczenie mediany, kwartyli i decyli

100

Kumulacja ludności

[ lata ]

Trwanie życia M

Kwartyl dolny

Mediana

Kwartyl górny

Średnia

UE 27 Długość życia mężczyzn: obliczenie mediany, kwartyli i decyli

Liczba

ludności

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

[ mln osób ]

[ % ]

[ lata ]

[ PPS/osoba ]

487,7

100,0

80,81

Rumunia

21,7

4,4

75,70

Bułgaria

7,7

1,6

6,0

76,24

Łotwa

2,3

0,5

6,5

76,50

Węgry

10,1

2,1

8,5

77,17

Litwa

3,4

0,7

9,2

77,34

Słowacja

5,4

1,1

10,3

78,07

Estonia

1,3

0,3

10,6

78,15

Rep. Czeska

10,2

2,1

12,7

79,25

Polska

38,1

7,8

20,4

79,33

Dania

5,4

1,1

21,5

80,50

Słowenia

2,0

0,4

22,0

80,86

Cypr

0,7

0,2

22,1

81,09

Wielka Brytania

59,9

12,0

34,1

81,12

Portugalia

10,5

2,1

36,2

81,33

Malta

0,4

0,1

36,3

81,39

Grecja

11,1

2,3

38,6

81,63

Irlandia

4,1

1,1

39,7

81,72

Niderlandy

16,3

3,3

43,0

81,72

Belgia

10,4

2,1

45,1

81,85

Niemcy

82,6

16,8

61,9

82,03

Luksemburg

0,5

0,1

62,0

82,24

Austria

8,1

1,7

63,7

82,27

Finlandia

5,2

1,1

64,8

82,51

Włochy

58,2

11,9

76,7

82,77

Szwecja

9,0

1,8

78,5

82,90

Hiszpania

42,9

8,8

87,3

83,66

Francja

60,2

12,7

100,0

83,77

Ogółem

Kraje członkowskie

Kwartyl PKB

Trwanie

życia K

Decyl PKB

Skrót

Struktura

ludności

Kumulacja

ludności

Mediana PKB

UE 27 Długość życia kobiet: obliczenie mediany, kwartyli i decyli

100

Kumulacja ludności

[ lata ]

Trwanie życia K

Kwartyl dolny

Mediana

Kwartyl górny

Średnia

UE 27 Długość życia kobiet: obliczenie mediany, kwartyli i decyli

RELACJE MIĘDZY ŚREDNIMI

Jeżeli: średnia arytmetyczna, dominanta

i mediana są sobie równe to rozkład

(distribution)

zmiennej jest symetryczny

(symmetrical).

Jeżeli A > M > D – rozkład

o asymetrii prawostronnej

Jeżeli A < M < D - rozkład

o asymetrii lewostronnej

100

A = M = D

RELACJE MIĘDZY ŚREDNIMI

Wg K. Pearsona dla rozkładów nie nadmiernie asymetrycznych i zalecany przez

statystyków angielskich

A – D = 3(A – M),

tzn.

różnica między średnią arytmetyczną a dominantą jest trzy razy większa niż różnica

między średnią arytmetyczną a medianą.

Znając wartość dwóch miar możemy obliczyć trzecią, np.

D = A – 3(A – M)

albo

D = 3M – 2A

W rozkładach wysoce asymetrycznych stosowanie tych wzorów prowadzi jednak do

dużych błędów.

Pearson Karl (1857 – 1936)

Angielski matematyk, filozof i biolog. Jeden z twórców współczesnej statystyki.

W latach 1884 – 1891 profesor matematyki stosowanej i mechaniki, w latach 1891 - 1911

geometrii a w latach 1911 – 1933 – eugeniki na Uniwersytecie w Londynie.

Pracował głównie nad zastosowaniem metod statystycznych w rozwiązywaniu problemów

biologicznych, zwłaszcza w analizie zjawisk zmienności i dziedziczności.

Założyciel (wraz z biologiem W.F.R. Weldonem; 1901) i naczelny redaktor (przez 35 lat)

głównego angielskiego czasopisma statystycznego Biotermika.

PKB wg podregionów

UWAGI I PRZESTROGI

Ludność

PKB/

Ludność

Mediana

Kwartyle

Kwintyle

Decyle

mieszk.

Skumulowana

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

( 8 )

osoby

zł

[ ]

38 186 860 33 462 100,0

Przemyski

394 585

19 338

1,03

Bialski

306 609

19 623

0,80

1,84

Nowosądecki

770 834

19 882

2,02

3,85

Chełmsko-zamojski

645 609

19 953

1,69

5,55

Łomżyński

407 976

20 366

1,07

6,61

Puławski

489 269

20 616

1,28

7,90

Krośnieński

481 959

20 621

1,26

9,16

Tarnowski

461 346

20 742

1,21

10,37

20 742

Ełcki

284 051

21 263

0,74

11,11

Stargardzki

374 565

21 411

0,98

12,09

Nyski

406 791

21 440

1,07

13,16

Suwalski

275 899

22 254

0,72

13,88

Krakowski

682 366

22 447

1,79

15,66

Grudziądzki

531 424

22 977

1,39

17,06

Gdański

518 808

23 019

1,36

18,41

Elbląski

529 716

23 426

1,39

19,80

Sandomiersko-jędrzejewski

493 126

23 642

1,29

21,09

23 642

Radomski

620 939

24 014

1,63

22,72

Sieradzki

452 447

24 170

1,18

23,90

Tarnobrzeski

613 845

24 502

1,61

25,51

24 502

NTS3

Ogółem

Podregiony

NTS2

PKB wg podregionów

Ludność

PKB/

Ludność

Mediana

Kwartyle

Kwintyle

Decyle

mieszk.

Skumulowana

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

( 8 )

osoby

zł

[ ]

38 186 860 33 462 100,0

Włocławski

775 964

24 673

2,03

27,54

Ostrołęcko-siedlecki

747 162

24 700

1,96

29,50

Skierniewicki

370 570

24 715

0,97

30,47

24 715

Oświęcimski

634 245

24 938

1,66

32,13

Koniński

653 003

25 189

1,71

33,84

Starogardzki

493 131

25 841

1,29

35,13

Wałbrzyski

673 081

25 855

1,76

36,90

Kaliski

669 631

25 975

1,75

38,65

Słupski

480 883

26 042

1,26

39,91

Pilski

409 610

26 044

1,07

40,98

26 044

Rzeszowski

612 353

26 095

1,60

42,58

Jeleniogórski

575 506

26 342

1,51

44,09

Bytomski

455 071

26 631

1,19

45,28

Warszawski wschodni

768 561

27 226

2,01

47,30

Koszaliński

591 969

27 232

1,55

48,85

Olsztyński

613 820

27 659

1,61

50,45

27 659

NTS3

Ogółem

Podregiony

NTS2

PKB wg podregionów

Ludność

PKB/

Ludność

Mediana

Kwartyle

Kwintyle

Decyle

mieszk.

Skumulowana

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

( 8 )

osoby

zł

[ ]

38 186 860 33 462 100,0

Leszczyński

546 031

28 019

1,43

51,88

Częstochowski

529 486

28 314

1,39

53,27

Zielogórski

627 580

28 493

1,64

54,91

Łodzki

378 973

28 550

0,99

55,91

Kielecki

775 145

28 758

2,03

57,94

Białostocki

505 300

28 952

1,32

59,26

Wrocławski

547 479

29 054

1,43

60,69

29 054

Gorzowski

383 125

29 062

1,00

61,70

Piotrkowski

596 629

29 129

1,56

63,26

Lubelski

713 405

29 535

1,87

65,13

Szczeciński

321 042

30 383

0,84

65,97

Rybnicki

637 180

32 572

1,67

67,64

Bielski

655 861

32 842

1,72

69,35

Opolski

623 103

32 913

1,63

70,99

32 913

Sosnowiecki

714 339

34 680

1,87

72,86

Ciechanowsko-płocki

623 230

35 336

1,63

74,49

Gliwicki

497 448

36 335

1,30

75,79

36 335

NTS3

Ogółem

Podregiony

NTS2

PKB wg podregionów

Ludność

PKB/

Ludność

Mediana

Kwartyle

Kwintyle

Decyle

mieszk.

Skumulowana

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

( 8 )

osoby

zł

[ ]

38 186 860 33 462 100,0

Bydgosko-toruński

762 187

37 428

2,00

77,79

Poznański

583 175

37 998

1,53

79,31

Warszawski zachodni

755 685

39 645

1,98

81,29

39 645

Łódź

739 832

41 452

1,94

83,23

Szczecin

405 944

43 115

1,06

84,29

Trójmiejski

742 689

45 208

1,94

86,24

Katowicki

762 944

48 115

2,00

88,24

Tyski

386 133

48 142

1,01

89,25

Legnicko-głogowski

448 494

50 328

1,17

90,42

50 328

Wrocław

632 561

51 407

1,66

92,08

Kraków

755 546

51 898

1,98

94,06

Poznań

552 735

67 045

1,45

95,50

Warszawa

1 716 855

98 854

4,50

100,00

98 854

NTS3

Ogółem

Podregiony

NTS2

UWAGI I WSKAZÓWKI

Największą rolę odgrywa średnia arytmetyczna (ważona), zwłaszcza w zbiorowościach

o niewielkim rozproszeniu (zmienności)

W zbiorowościach, w których występują bardzo duże lub bardzo małe wartości,

analitycy czasami modyfikują obliczanie średniej arytmetycznej przy opuszczenie lub

wyłączenia jakiegoś procentu (np. 5%) najmniejszych i największych wartości;

otrzymany wynik nazywany jest średnią obciętą

Każda spośród średnich ma swoisty sens logiczny i musi być logicznie interpretowana

UWAGI I WSKAZÓWKI

Średnich nie można dowolnie zastępować, należy je dostosować do rodzaju

(charakteru) zjawiska, które analizujemy

Przykład z płacami w przedsiębiorstwie: prezes 20.000 zł i 9 pracowników po 2.000 zł;

średnia 3.800 zł, ale mediana i dominanta to 2.000 zł i one prawidłowo ukazują

rzeczywistość

Uzupełnieniem średnich są miary rozproszenia

Reguła 3 Sigm (omówienie w następnym wykładzie)

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kalendarium UJ 2011 2012 id 230 Nieznany
biol prob styczen 2012 id 87360 Nieznany
PPS 2011 W7 id 381592 Nieznany
chemia 3 etap gim 2012 id 11187 Nieznany
EiZI Projekt GiG4 2012 id 15450 Nieznany
Analiza kosztow 2012 id 60726 Nieznany (2)
Calki, IB i IS, 2011 12 id 1073 Nieznany
Egzamin 2011 algebra id 151848 Nieznany
BAL 2011 cwicz6 id 78938 Nieznany (2)
pp A1 2012 id 381123 Nieznany
AMB ME 2011 wyklad01 id 58945 Nieznany (2)
czerwiec 2012 2 id 128513 Nieznany
PA termin 3 2012 id 345017 Nieznany
dwujezyczna 2012 id 144693 Nieznany
6 ZKM marzec 19 2012 id 44004 Nieznany (2)
alfik 2012 3 id 56900 Nieznany
4OS 2011 w5 id 39385 Nieznany
marzec 2011 wybrane id 281154 Nieznany
BAL 2011 cwicz 3 id 78934 Nieznany (2)

więcej podobnych podstron