1

Wyznaczanie współczynnika intensywności naprężeń

metodami optycznymi – materiały pomocnicze

oprac. dr inż. Ludomir J.Jankowski

Wstęp

Mechanika pękania to nauka o inicjacji i rozwoju szczelin (pęknięć) powstających w

różnych warunkach: przy obciążeniach statycznych, zmiennych w czasie, w środowisku
korozyjnym, itp. Z punktu widzenia wytrzymałości materiałów, szczelina to koncentrator
naprężeń, a występujące w pobliżu wierzchołka szczeliny bardzo wysokie gradienty naprężeń
wymagają wprowadzenia specyficznego opisu pola naprężeń. W opisie tym występują
parametry pękania, a wśród nich swoisty odpowiednik współczynnika koncentracji naprężeń,
tj.

współczynnik intensywności naprężeń

.

a) b) c)

Rys. 1. Rozciągane pasma z: a) otworem kołowym, b) otworem eliptycznym,

c) szczeliną

Wartości naprężeń maksymalnych w przypadku a) i b) określają wzory (1) i (2):

(1)

(2)

Natomiast w przypadku c) konieczne jest uwzględnienie faktu, że promień w wierzchołku
szczeliny dąży do zera, powodując osobliwość rozwiązania równań opisujących pole
naprężeń w jego otoczeniu. Trudność tę można usunąć wprowadzając współczynnik
intensywności naprężeń (

:

(3)

Współczynnik koncentracji naprężeń

Współczynnik intensywności naprężeń

2

W ramach mechaniki pękania rozpatruje się trzy podstawowe przypadki obciążenia brzegów
szczeliny (tzw. mody):

a) b) c)

Rys. 2. Schematy podstawowych przypadków obciążenia brzegów szczeliny: a) rozwieranie

(moda I), b) ścinanie (moda II), c) antypłaskie obciążenie brzegów (moda III)

Poniżej zostaną pokazane dwa przykłady zastosowania optycznych metod pomiaru do
wyznaczania współczynnika intensywności naprężeń.

Zastosowanie elastooptyki dwuwymiarowej w mechanice pękania (pomiar

I

K

)

Stan naprężenia wokół wierzchołka szczeliny, w płaskim stanie naprężenia, jest

charakteryzowany za pomocą współczynnika intensywności naprężeń. Elastooptyka
dwuwymiarowa umożliwia wyznaczenie tych współczynników dla przypadku rozwarcia
szczeliny (moda I) i ścinania (moda II), na podstawie danych elastooptycznych, tj.

N

i



. Na

rys. 3 pokazano charakterystyczny obraz izochrom wokół wierzchołków szczeliny centralnej
w paśmie rozciąganym w kierunku prostopadłym do brzegów szczeliny.

Rys. 3. Obraz izochrom połówkowych wokół wierzchołków szczeliny

centralnej w rozciąganym paśmie

Składowe stanu naprężenia (w prostokątnym układzie współrzędnych) są określone wzorami:

x

I

x

r

K

0

2

3

sin

2

sin

1

2

cos

2





































3





























2

3

sin

2

sin

1

2

cos

2 r

K

I

y





(4)

2

3

cos

2

cos

2

sin

2















r

K

I

xy





gdzie:









x

y

x







0

- naprężenie w obszarze nie zaburzonym przez szczelinę.

Wartość maksymalnego naprężenia stycznego wynosi:

 



  

2

0

0

2

2

2

2

2

2

3

sin

sin

2

2

sin

2

2

x

I

x

I

xy

y

x

m

K

r

r

K











































(5)

Jeśli przyjąć, że punkt pętli izochromy, w którym

0









m



, ma współrzędne

m



i

m

r , to

I

K

i

x

0



można wyrazić za pomocą wielkości określonych na podstawie obrazu izochrom:















































m

m

m

m

m

I

r

K

tg

3

2

3

tg

2

1

tg

3

2

1

1

sin

2

2

2





(6)





2

2

0

sin

2

3

cos

2

3

cos

cos

2































m

m

m

m

m

x





(7)

przy czym:

t

f

N

m







2





Rys. 4. Schemat wyznaczania r

m

i

Metoda wyznaczania

I

K

przedstawiona powyżej (opracowana przez G.R.Irwin'a) jest

czuła na błędy wyznaczania wielkości mierzonych, tj.

m

N



,

i

m

r

. Przyjmuje się, że dla

szczeliny centralnej o długości 2a, w paśmie rozciąganym w kierunku prostopadłym do

N

4

szczeliny, kąt

m



powinien zawierać się w przedziale





o

o

139

,

73

. Wówczas wartość

współczynnika intensywności naprężeń jest oszacowana z błędem nie większym niż 5%. Aby
poprawić dokładność (błąd rzędu 2%), wprowadza się modyfikacje, polegające na
uwzględnieniu informacji zawartych w więcej niż jednej pętli izochromy. I tak,
wykorzystując dwie pętle izochrom o rzędach

1

2

N

N



, współczynnik

I

K

może być

wyrażony za pomocą wzoru:





a

r

g

K

m

I

,

,

2







(8)

w którym funkcja





a

r

g

,

,



jest obliczana dla obu izochrom, i ma postać:









a

r

a

r

a

r

g

2

2

2

2

3

sin

sin

2

2

sin

,

,























(9)

Współczynnik

I

x

K

a











0

przyjmuje się zwyczajowo równy jedności, a po

przekształceniach zależność (8) można przedstawić w postaci:









2

1

1

2

1

2

2

1

2

r

g

r

g

t

N

N

r

r

f

K

I

























(10)

Inna modyfikacja polega na pomiarze odległości od wierzchołka szczeliny punktów
przecięcia dwóch pętli izochrom

i

N oraz

j

N z osią

y

układu współrzędnych, tj. dla zadanego

kąta

o

90





. Wówczas współczynnik intensywności naprężeń może być obliczony ze wzoru:

   

j

i

j

m

i

m

i

I

r

r

r

K











1

2

2

2







(11)

Wyznaczenie

I

K

umożliwia obliczenie innego parametru stosowanego w mechanice

pękania, którym jest współczynnik uwalniania energii sprężystej

i

G

. Nazywany również

pracą rozwarcia szczeliny, współczynnik ten jest związany ze współczynnikiem
intensywności naprężeń wzorem (dla jednostkowej grubości pasma):

E

K

a

U

G

I

I

2









(12)

w którym

a

jest połową długości szczeliny, a

U

- energią potencjalną niezbędną do

powstania szczeliny. Zmiany tej energii, po osiągnięciu pewnej wartości krytycznej,
powodują propagację szczeliny, a odpowiadające stanowi krytycznemu współczynniki

I

K

i

I

G

są oznaczane odpowiednio:

Ic

K i

Ic

G

(wartości krytyczne). Współczynnik

Ic

K nazywany

odpornością materiału na pękanie, jest rzeczywistą charakterystyką materiału, określającą
jego zachowanie w aspekcie zniszczenia.

Szersze omówienie możliwości zastosowania elastooptyki w badaniach mechanizmów

pękania wykracza poza ramy niniejszego opracowania. Warto jednak zaznaczyć, że techniki
pomiarów wykorzystujące elastooptykę umożliwiają wyznaczanie parametrów pękania dla

5

innych postaci zniszczenia (mody szczeliny), w przypadku mieszanej postaci obciążenia
szczeliny (rozwarcie ze ścinaniem) – rys. 5, a także w analizie pękania ciał trójwymiarowych.

Rys. 5. Obraz izochrom całkowitych – moda mieszana (K

I

+ K

II

)

Rys. 6. Obraz izochrom całkowitych (moda I) w elastooptycznej warstwie

powierzchniowej

Wartość współczynnika intensywności naprężenia można również wyznaczyć na

podstawie obrazu izochrom zarejestrowanych w elastooptycznej warstwie powierzchniowej –
rys. 6. Analizę obrazu przeprowadza się w sposób zaproponowany przez G.Irwina, tj. na
podstawie obrazu izochrom widocznych wokół wierzchołka szczeliny. Wartość
współczynnika K

Ic

(dla mody I – rozwierania brzegów szczeliny) określa wzór:

(13)

Warstwa powierzchniowa

6

Powyższe równanie może być stosowane wówczas, gdy kąt określający położenie

najbardziej oddalonego punktu pętli izochromy o rzędzie N, spełnia warunek:

Alternatywą, jest zaproponowana przez H.C. Soo i I.M. Daniela, metoda polegająca na
pomiarach prowadzonych w pewnej odległości od wierzchołka szczeliny. Maksymalne
odkształcenie postaciowe jest funkcją K

ap

(współczynnika „przybliżonego”):

(14)

a stąd (po uwzględnieniu podstawowych zależności między odkształceniem i efektem
optycznym):

(15)

Dokonując pomiarów N na osi y, tj. dla

, powyższe równanie upraszcza się do

postaci:

(16)

Wartości K

ap

należy obliczyć dla różnych wartości r na podstawie pomiarów rzędów

izochrom N(r), a następnie wyznaczyć K

Ic

(w wierzchołku szczeliny) na drodze ekstrapolacji.

Zastosowanie metody kaustyk do wyznaczania współczynnika intensywności naprężeń

Kaustyka – to hiperpowierzchnia stanowiąca obwiednię wiązki promieni świetlnych

biegnących z punktowego, określonego źródła światła (w szczególności, punktowe źródło
światła może leżeć w nieskończoności = równoległa wiązka światła), i:
- odbitych od innej hiperpowierzchni – katakaustyka,
- ugiętych przez ośrodek, przez który biegnie światło – diakaustyka.

7

Rys. 7. Przykłady katakaustyk

Metoda kaustyk jest w mechanice wykorzystywana do wyznaczania parametrów

charakteryzujących osobliwości pola naprężeń, takich jak: spiętrzenia naprężeń wokół
wierzchołka szczeliny, w dnie karbu, w rejonie kontaktu dwóch ciał, czy w miejscach
wprowadzenia obciążeń skupionych – rys. 8.

8

Rys. 8. Przykłady osobliwości pól naprężeń

Jej istotą jest uzyskanie informacji o tych osobliwościach na drodze optycznej,

poprzez obserwację efektu optycznego związanego z generowaniem przez lokalnie
zdeformowany ośrodek specyficznego pola optycznego W praktyce, obserwowany jest efekt
w postaci ciemnego pola otoczonego jasnym prążkiem (linią) zwanym kaustyką. Jest ona
formowana przez promienie wiązki światła odbite od powierzchni lub przechodzące przez
ośrodek, które tworzą (na skutek odbicia lub ugięcia) w przestrzeni powierzchnię kaustyczną
ściśle związaną z parametrami charakteryzującymi daną osobliwość pola naprężeń. Przecięcie
tej powierzchni płaszczyzną referencyjną (np. ekranu) daje obraz krzywej płaskiej, o
zwiększonym natężeniu światła, otaczającej ciemny region

. Zaletą tej metody pomiaru jest

możliwość wykorzystania związków między parametrami osobliwego pola naprężeń i
geometrią kaustyki (np. jej średnicą).

Idea metody – na przykładzie diakaustyki - jest pokazana na rys. 8. Padająca

równoległa wiązka światła (np. koherentnego) przechodzi przez ośrodek transmisyjny ze
szczeliną, którego powierzchnia jest usytuowana prostopadle do kierunku padania światła.
Jeśli ośrodek poddany jest działaniu płaskiego stanu naprężenia, to w rejonie osobliwości tego
pola pojawią się zmiany grubości ∆t (x, y) wywołane efektem współczynnika Poisson'a:

∆ t = - t ν (σ

xx

+ σ

yy

)/ E

(17)

Na skutek działania sumy naprężeń (σ

xx

+ σ

yy

) powierzchnie badanego ośrodka ulegają

deformacji Powierzchnie te działają jak “soczewka”, powodując ugięcie promieni światła. W
odległości z

0

, w płaszczyźnie referencyjnej (ekranu), obserwowany jest efekt ugięcia tych

promieni w postaci ciemnego obszaru otoczonego jasnym prążkiem (efekt przecięcia
powierzchni kaustycznej płaszczyzną ekranu). W obszarach otaczających kaustykę,
odpowiadających niskim gradientom (σ

xx

+ σ

yy

), obserwowane jest nieco zmniejszone

natężenie światła. Tak więc, widoczny na ekranie obraz jest ściśle związany z polem sumy
naprężeń działających w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku wiązki światła.

9

Rys. 10. Obraz diakaustyki na ekranie – moda I

W przypadku obiektu dyfuzyjnego występuje analogiczny mechanizm powstawania

kaustyki z tym, że tworzą ją na ekranie promienie światła odbite od niepłaskiej powierzchni
obiektu (niepłaskie zwierciadło). W tym przypadku na ekranie jest obserwowany pozorny
obraz kaustyki, a współczynnik załamania wynosi n = -1.

Rys. 11. Układ współrzędnych

Rys. 9. Schemat powstawania diakaustyki – próbka rozciągana ze szczeliną

10

Na rys. 11 pokazano układ współrzędnych dla przypadku próbki ze szczeliną.

Powstający wokół wierzchołka szczeliny efekt “soczewkowania” wywołuje ugięcie promieni
światła, które na ekranie tworzą obraz kaustyki. Niech punkt P

s

leży w pobliżu wierzchołka

szczeliny w płaszczyźnie próbki. Promień światła przechodząc przez ten punkt ulega ugięciu,
i na ekranie położonym w odległości z

0

(w płaszczyźnie π

i

tworzy obraz tego punktu P

i

.

Położenie tego punktu określa wektor:

r

i

= r

s

+ g

(18)

Wektor g opisuje przemieszczenie obrazu punktu P

s

, leżącego w płaszczyźnie próbki, do

punktu P

i

w płaszczyźnie ekranu, i jest zależny od odległości ekranu i lokalnej deformacji

powierzchni próbki:

g = - z

0

∆ (∆ s)

(19)

∆ = i (∂/∂x) + j (∂/∂y) + k (∂/∂z) – operator,

∆ s – dodatkowa droga optyczna wywołana przez zmiany grubości próbki

na skutek działania naprężeń oraz zmiany wartości współczynnika
załamania ośrodka n.

Jeśli grubość jest stała, to zmianę drogi optycznej opisuje wzór:

∆ s = (n – 1) ∆t + t ∆n

(20)

Dla płaskiego stanu naprężenia (σ

zz

= 0) zmiany grubości ∆t są opisane wzorem (17).

Zmiany wartości współczynnika załamania światła są funkcją naprężeń głównych

(równania Maxwell’a):

∆ n

1

= c

1

σ

1

+ c

2

σ

2

(21)

∆ n

2

= c

1

σ

2

+ c

2

σ

1

gdzie: c

1

, c

2

– stałe optyczne materiału ośrodka.

Powyższe związki umożliwiają wyznaczenie zmian długości drogi optycznej w funkcji sumy i
różnicy naprężeń głównych:

∆ s

1

= C

1

t [(σ

1

+ σ

2

) + C

2

(σ

1

– σ

2

)] (22)

∆ s

2

= C

1

t [(σ

1

+ σ

2

) - C

2

(σ

1

– σ

2

)]

gdzie: C

1

= (c

1

+ c

2

)/2 – ν (n – 1)/E

C

2

= (c

1

– c

2

)/{c

1

+ c

2

– [2 ν (n –1)/E]}.

Z równania (22) wynika, że w płaszczyźnie ekranu (płaszczyźnie obrazowej) mogą pojawić
się dwie kaustyki. Kaustyka związana z ∆s

2

jest efektem anizotropii optycznej

(dwójłomności). Dla materiału optycznie izotropowego jest:

∆ s

1

= ∆ s

2

= ∆ s = C

1

t (σ

1

+ σ

2

) (23)

Powstawanie kaustyk jest wywołane przede wszystkim przez gradient naprężeń w rejonie
osobliwości pola naprężeń. Obraz kaustyki powstałej w wyniku obciążenia pierwszego typu
szczeliny krawędziowej (moda I) pokazano powyżej.

11

Dla takiego przypadku, związki między naprężeniami w rejonie wierzchołka szczeliny a
współczynnikiem intensywności naprężeń K

I

charakteryzującym materiał ośrodka mają

postać:

W przypadku optycznie izotropowego materiału ośrodka jest:

W tym przypadku kaustyka ma postać krzywej, otaczającej ciemne pole (zlokalizowane w
rejonie wierzchołka szczeliny), określonej jako granica między jasnym prążkiem i ciemnym
polem, przy czym spełniony jest warunek:

(∂x

i

∂y

i

/ ∂r∂Θ) – (∂x

i

∂y

i

/ ∂Θ∂r) = 0

(26)

Ze wzorów (25) i (26) otrzymuje się zależność między promieniem r , określającym
położenie zbioru punktów P

s

na próbce oraz krzywą kaustyki obserwowaną w płaszczyźnie

obrazowej. Równanie:

pokazuje, że krzywą początkową kaustyki jest okrąg o promieniu r

0

. Zmieniając położenie

ekranu lub wartość obciążenia otrzymuje się różne położenia okręgu początkowego
(podstawowego). Dla określonej wartości K

I

i z

0

okrąg jest zlokalizowany zgodnie z

równaniem (27). Podstawiając równanie (27) do równania (26) otrzymuje się opis krzywej
kaustyki jako obrazu okręgu podstawowego, stąd:

przy czym:

(24)

(25)

(27)

(28)

12

Równania (28) są uogólnionymi równaniami

epicykloidy

, której maksymalna średnica (rys.

12) w funkcji promienia okręgu podstawowego r

0

ma wartość:

D = 3.17 r

0

Natomiast współczynnik intensywności naprężeń K

I

może być obliczony ze wzoru:

K

I

= 0.0934 D

5/2

/ z

0

C

1

t

Rys. 12. Epicykloida diakaustyki – moda I

Należy podkreślić, że współczynnik intensywności naprężeń (WIN) jest parametrem

używanym zarówno do opisu stanu poprzedzającego spontaniczną propagację szczeliny, jak i
do opisu dynamiki jej rozwoju.

Ze względu na swoją prostotę, metoda kaustyk jest szeroko stosowana w badaniach z

zakresu mechaniki pękania, przy czym dominują badania w układach pomiarowych
transmisyjnych (materiały przezroczyste, np. PMMA). Rzadziej stosowane są układy
umożliwiające obserwację kaustyk w świetle odbitym (głównie pomiary na metalowych
próbkach). Niezależnie od typu układu pomiarowego, najczęściej jest to układ z równoległą
wiązką światła, z reguły jako źródło światła wykorzystywane są źródła światła koherentnego
(lasery), które umożliwiają uzyskanie wyższego kontrastu między jasnym prążkiem, a
ciemnym polem. Na rys. 13 pokazano schematy innych układów pomiarowych, w tym układ
do obserwacji w świetle odbitym.

(29)

(30)

Epicykloida kaustyki

Okrąg podstawowy

13

Rys. 13. Przykłady układów pomiarowych

W przypadku stosowania układów z nierównoległą wiązką światła należy uwzględnić jej
geometrię, która ma wpływ na wielkość obserwowanej na ekranie kaustyki.

Najczęściej stosowane próbki w badaniach odporności na pękanie pokazano na rys. 14.

a)

b)

c)

Rys. 14. Próbki do badania odporności na pękanie: a) typu CT,

a) czteropunktowo lub trójpunktowo zginana, c) rurowe

(ze szczeliną wewnętrzną lub zewnętrzną)

a

a

a

w

(t)

1.2 W

W

0.25W

a

P

P

Próbka (obiekt)

14

Obliczenia współczynnika intensywności naprężeń

Wartości współczynnika intensywności naprężenia, dla wybranej postaci próbek (z

uwzględnieniem sposobu obciążenia próbki i jej skończonych wymiarów), podano poniżej.

Próbka kompaktowa (CT)

Próbka trójpunktowo zginana

W obydwu przypadkach współczynnik

λ wynosi λ = a



W.

a

0.25 W

0.55 W

W

1.2 W

1.25W

( t = 0.5W)

P

P

P

a

W

L

L/2

15

Literatura

[1] Neimitz A., Mechanika pękania, PWN, Warszawa, 1998
[2] Bochenek A., Elementy mechaniki pękania, Wyd. Polit. Częstochowskiej, Częstochowa, 1998
[3] German J., Podstawy mechaniki pękania, skrypt Polit. Krakowskiej, Kraków, 2005
[4] Dally J.W., Riley W.F., Experimental Stress Analysis, 3rd Ed., McGraw-Hill, Inc., 1991