Całki potrójne

Całki potrójne po prostopadło´scianie.

Całki potrójne po obszarach normalnych.

Zamiana zmiennych w całkach potrójnych.

Zastosowania całek potrójnych.

Małgorzata Wyrwas

Katedra Matematyki

Wydział Informatyki

Politechnika Białostocka

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 1/42

Podział prostopadło´scianu

Rozwa˙zmy prostopadło´scian P okre´slony w przestrzeni układu

OXY Z nierówno´sciami:

P

: a ¬ x ¬ b ∧ c ¬ y ¬ d ∧ p ¬ z ¬ q

oraz funkcj˛e trzech zmiennych f

(x, y, z) okre´slon ˛

a i ograniczon ˛

a

w tym prostopadło´scianie.

Podziałem prostopadło´scianu P nazywamy zbiór

∆

n

zło˙zony z

prostopadło´scianów P

1

, P

2

, . . . , P

n

, które całkowicie wypełniaj ˛

a

P oraz maj ˛

a parami rozł ˛

aczne wn˛etrza (tzn.

(intP

i

) ∩ (intP

j

) = ∅,

dla i

6= j).

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 2/42

Oznaczenia w definicji całki po prostopadło´scianie



∆x

k

,

∆y

k

,

∆z

k

- wymiary prostopadło´scianu P

k

, gdzie

1 ¬ k ¬ n;



d

k

=

q

(∆x

k

)

2

+ (∆y

k

)

2

+ (∆z

k

)

2

- długo´s´c przek ˛

atnej

prostopadło´scianu P

k

, gdzie

1 ¬ k ¬ n;



δ

n

= max

1¬k¬n

d

k

- ´srednica podziału

∆

n

;



A = {A

1

(x

∗

1

, y

∗

1

, z

∗

1

), A

2

(x

∗

2

, y

∗

2

, z

∗

2

), . . . , A

n

(x

∗

n

, y

∗

n

, z

∗

n

)},

gdzie A

k

(x

∗

k

, y

∗

k

, z

∗

k

) ∈ P

k

dla

1 ¬ k ¬ n, A - zbiór punktów

po´srednich podziału

∆

n

.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 3/42

Suma całkowa funkcji po prostopadło´scianie

Niech funkcja f b˛edzie ograniczona na prostopadło´scianie P oraz

niech

∆

n

b˛edzie podziałem tego prostopadło´scianu, a

A zbiorem

punktów po´srednich.

Sum ˛

a całkow ˛

a funkcji f odpowiadaj ˛

ac ˛

a podziałowi

∆

n

oraz punktom po´srednim

A nazywamy liczb˛e

n

X

k

=1

f

(x

∗
k

, y

∗

k

, z

∗

k

) · (∆x

k

) · (∆y

k

) · (∆z

k

) .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 4/42

Całki potrójne po prostopadło´scianie

Niech funkcja f b˛edzie ograniczona na prostopadło´scianie P .
Całk˛e potrójn ˛

a funkcji f po prostopadło´scianie P definiujemy

wzorem

y

P

f

(x, y, z)dxdydz

def

= lim

δ

n

→0

n

X

k

=1

f

(x

∗
k

, y

∗

k

, z

∗

k

) · (∆x

k

) · (∆y

k

) · (∆z

k

) ,

o ile granica po prawej stronie znaku równo´sci jest wła´sciwa i nie

zale˙zy od sposobu podziału

∆

n

prostopadło´scianu P ani od

sposobu wyboru punktów po´srednich

A.

Mówimy wtedy, ˙ze funkcja f jest

całkowalna na prostopadło´scianie P .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 5/42

Całka potrójna po prostopadło´scianie

Całk˛e potrójn ˛

a z funkcji f po prostopadło´scianie P oznaczamy te˙z

symbolem:

y

P

f

(x, y, z)dV .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 6/42

Twierdzenie o całkowalno´sci funkcji ci ˛

agłych:

Funkcja ci ˛

agła na prostopadło´scianie jest na nim całkowalna.

Twierdzenie o liniowo´sci całki:

Niech funkcje f i g b˛ed ˛

a całkowalne na prostopadło´scianie P oraz

niech α, β

∈ R. Wtedy

y

P

(αf (x, y, z) + βg(x, y, z)) dxdydz = α

y

P

f

(x, y, z)dxdydz + β

y

P

g

(x, y, z)dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 7/42

Twierdzenie o addytywno´sci całki wzgl˛edem obszaru całkowania

Je˙zeli funkcja f jest całkowalna na prostopadło´scianie P , to dla

dowolnego podziału tego prostopadło´scianu na prostopadło´sciany

P

1

i P

2

o rozł ˛

acznych wn˛etrzach zachodzi równo´s´c

y

P

f

(x, y, z)dxdydz =

y

P

1

f

(x, y, z)dxdydz +

y

P

2

f

(x, y, z)dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 8/42

Twierdzenia o zamianie całki potrójnej na całk˛e iterowan ˛

a

Je˙zeli funkcja f jest całkowalna na prostopadło´scianie
P

= ha, bi × hc, di × hp, qi, to

y

ha,bi×hc,di×hp,qi

f

(x, y, z)dxdydz =

b

Z

a







d

Z

c





q

Z

p

f

(x, y, z)dz





dy







dx .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 9/42

Powy˙zsze twierdzenie b˛edzie prawdziwe tak˙ze wtedy, gdy po prawej

stronie równo´sci napiszemy dowoln ˛

a całk˛e iterowan ˛

a (jest sze´s´c

rodzajów całek iterowanych). Całk˛e iterowan ˛

a

b

Z

a







d

Z

c





q

Z

p

f

(x, y, z)dz





dy







dx

mo˙zemy zapisywa´c umownie

b

Z

a

dx

d

Z

c

dy

q

Z

p

f

(x, y, z)dz.

Podobn ˛

a umow˛e mo˙zemy przyj ˛

a´c dla pozostałych całek iterowanych.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 10/42

Przykład

Niech P

= h−1, 1i × h0, 1i × h2, 4i.

Oblicz

y

P

(2x − y + 3z)dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 11/42

Całka potrójna po obszarach

Niech f b˛edzie funkcj ˛

a ograniczon ˛

a na obszarze ograniczonym

V

⊂ R

3

oraz niech P b˛edzie dowolnym prostopadło´scianem

zawieraj ˛

acym obszar V . Ponadto niech f

∗

oznacza rozszerzenie

funkcji f na P okre´slone wzorem:

f

∗

(x, y, z)

def

=







f

(x, y, z),

dla

(x, y, z) ∈ V ,

0,

dla

(x, y, z) ∈ P \ V .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 12/42

Całka potrójna po obszarach

Całk˛e potrójn ˛

a funkcji f po obszarze V definiujemy wzorem:

y

V

f

(x, y, z)dxdydz

def

=

y

P

f

∗

(x, y, z)dxdydz ,

o ile całka po prawej stronie znaku równo´sci istnieje.

Mówimy wtedy, ˙ze funkcja f jest

całkowana w obszarze V .

Całka

t

P

f

∗

(x, y, z)dxdydz nie zale˙zy od wyboru prostopadło´scianu

P .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 13/42

Obszary normalne wzgl. płaszczyzn układu współrz˛ednych

1

Obszar domkni˛ety V nazywamy
obszarem normalnym wzgl˛edem płaszczyzny XOY , je˙zeli
mo˙zna go zapisa´c w postaci:

V

= {(x, y, z) : (x, y) ∈ D

xy

∧ g(x, y) ¬ z ¬ h(x, y)} ,

gdzie D

xy

jest obszarem normalnym na płaszczy´znie XOY , a

funkcje g i h s ˛

a ci ˛

agłe na D

xy

, przy czym g

(x, y) < h(x, y)

dla punktów

(x, y) nale˙z ˛

acych do wn˛etrza obszaru D

xy

a

.

a

D

xy

- rzut obszaru

V

na płaszczyzn ˛e

XOY

.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 14/42

Obszary normalne wzgl. płaszczyzn układu współrz˛ednych

2

Obszar domkni˛ety V nazywamy
obszarem normalnym wzgl˛edem płaszczyzny XOZ, je˙zeli
mo˙zna go zapisa´c w postaci:

V

= {(x, y, z) : (x, z) ∈ D

xz

∧ p(x, z) ¬ y ¬ q(x, z)} ,

gdzie D

xz

jest obszarem normalnym na płaszczy´znie XOZ, a

funkcje p i q s ˛

a ci ˛

agłe na D

xz

, przy czym p

(x, z) < q(x, z) dla

punktów

(x, z) nale˙z ˛

acych do wn˛etrza obszaru D

xz

a

.

a

D

xz

- rzut obszaru

V

na płaszczyzn ˛e

XOZ

.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 15/42

Obszary normalne wzgl. płaszczyzn układu współrz˛ednych

3

Obszar domkni˛ety V nazywamy
obszarem normalnym wzgl˛edem płaszczyzny Y OZ, je˙zeli
mo˙zna go zapisa´c w postaci:

V

= {(x, y, z) : (y, z) ∈ D

yz

∧ r(y, z) ¬ x ¬ s(y, z)} ,

gdzie D

yz

jest obszarem normalnym na płaszczy´znie Y OZ, a

funkcje r i s s ˛

a ci ˛

agłe na D

yz

, przy czym r

(y, z) < s(y, z) dla

punktów

(y, z) nale˙z ˛

acych do wn˛etrza obszaru D

yz

a

.

a

D

yz

- rzut obszaru

V

na płaszczyzn ˛e

Y OZ

.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 16/42

Całki iterowane po obszarach normalnych

Je˙zeli funkcja f jest ci ˛

agła na obszarze domkni˛etym

V

= {(x, y, z) : (x, y) ∈ D

xy

∧ g(x, y) ¬ z ¬ h(x, y)}

normalnym wzgl˛edem płaszczyzny XOY , gdzie funkcje g i h s ˛

a

ci ˛

agłe na D

xy

, to

y

V

f

(x, y, z)dxdydz =

x

D

xy






h

(x,y)

Z

g

(x,y)

f

(x, y, z)dz






dxdy .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 17/42

Całki iterowane po obszarach normalnych

Prawdziwe s ˛

a analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach normalnych wzgl˛edem pozostałych

płaszczyzn układu. Je˙zeli obszar V normalny wzgl˛edem płaszczyzny XOY mo˙zna zapisa´c w postaci:

V

:











a

¬ x ¬ b

˜

g

(x) ¬ y ¬ ˜

h

(x)

g

(x, y) ¬ z ¬ h(x, y),

.

to zachodzi równo´s´c

y

V

f

(x, y, z)dxdydz =

b

Z

a











˜

h

(x)

Z

˜

g

(x)





h

(x,y)

Z

g

(x,y)

f

(x, y, z)dz





dy











dx

||

b

Z

a

dx

˜

h

(x)

Z

˜

g

(x)

dy

h

(x,y)

Z

g

(x,y)

f

(x, y, z)dz.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 18/42

Przykład

Niech V b˛edzie obszarem ograniczonym powierzchniami
z

= y

2

− x

2

, z

= 0, x = 0, y = 1 i y = x.

Oblicz

y

V

(x

2

+ y

2

)dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 19/42

Przykład

Niech V b˛edzie obszarem ograniczonym powierzchniami z

= y,

z

= 0 i y = 1 − x

2

.

Oblicz

y

V

y

dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 20/42

Obszar regularny w przestrzeni

Sum˛e sko´nczonej liczby obszarów normalnych wzgl˛edem

płaszczyzn układu o parami rozł ˛

acznych wn˛etrzach nazywamy

obszarem regularnym w przestrzeni.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 21/42

Całka po obszarze regularnym

Niech obszar regularny V

= V

1

∪ V

2

∪ . . . ∪ V

n

oraz

intV

i

∩ intV

j

= ∅, dla i 6= j oraz niech funkcja f b˛edzie

całkowalna na V . Wtedy

y

V

f

(x, y, z)dxdydz =

y

V

1

f

(x, y, z)dxdydz

+

y

V

2

f

(x, y, z)dxdydz + . . . +

y

V

n

f

(x, y, z)dxdydz .

Całki po obszarach regularnych maj ˛

a te same własno´sci co całki po

prostopadło´scianach, tzn. liniowo´s´c, addytywno´s´c wzgl˛edem obszaru
całkowania.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 22/42

Warto´s´c ´srednia funkcji f na obszarze U

Warto´sci ˛

a ´sredni ˛

a funkcji f na obszarze V nazywamy liczb˛e

f

´sr

:=

1

|V |

y

V

f

(x, y, z)dxdydz ,

gdzie

|V | oznacza obj˛eto´s´c obszaru V .

Twierdzenie:

Je˙zeli funkcja f jest ci ˛

agła na obszarze normalnym

V , to w tym obszarze istnieje punkt

(x

0

, y

0

, z

0

), taki ˙ze

f

´sr

= f (x

0

, y

0

, z

0

) .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 23/42

Przykłady



Niech

V

= {(x, y, z) : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6 x ∧ 0 6 z 6 x + y}.

Oblicz warto´s´c ´sredni ˛

a funkcji

f

(x, y, z) = x + y + z .



W punkcie

(x, y, z) prostopadło´scianu

V

= {(x, y, z) : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6 2 ∧ 0 6 z 6 3}.

temperatura okre´slona jest wzorem

T

(x, y, z) = y sin πx + z .

Oblicz ´sredni ˛

a temperatur˛e w tym prostopadło´scianie.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 24/42

Współrz˛edne walcowe w całkach potrójnych

Poło˙zenie punktu A

(x, y, z) w przestrzeni mo˙zna opisa´c trójk ˛

a liczb

(ϕ, ̺, h), gdzie:



ϕ – oznacza miara k ˛

ata mi˛edzy rzutem promienia wodz ˛

acego

punktu A na płaszczyzn˛e XOY , a dodatni ˛

a cz˛e´sci ˛

a osi OX,

0 ¬ ϕ < 2π lub −π < ϕ ¬ π,



̺ – oznacza odległo´s´c rzutu punktu A na płaszczyzn˛e XOY od

pocz ˛

atku układu współrz˛ednych,

0 ¬ ̺ < ∞,



h – oznacza odległo´s´c (dodatnia dla z >

0 i ujemn ˛

a dla z <

0)

punktu P od płaszczyzny XOY ,

−∞ < h < ∞.

Trójk˛e liczb

(ϕ, ̺, h) nazywamy

współrz˛ednymi walcowymi punktu przestrzeni.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 25/42

Zale˙zno´s´c mi˛edzy współrz˛ednymi walcowymi i kartezja ´nskimi

W :



















x

= ̺ cos ϕ

y

= ̺ sin ϕ

z

= h

Przekształcenie

W, które ka˙zdemu punktowi (ϕ, ̺, h)

przyporz ˛

adkowuje punkt

(x, y, z) okre´slony powy˙zszymi

wzorami, nazywamy

przekształceniem walcowym.

Jakobian przekształcenia walcowego J

W

= ̺.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 26/42

Twierdzenie - współrz˛edne walcowe w całce potrójnej

Niech



obszar

Ω we współrz˛ednych walcowych b˛edzie obszarem

normalnym



funkcja f b˛edzie ci ˛

agła na obszarze V , który jest obrazem

obszaru

Ω przy przekształceniu walcowym, tzn. V = W(Ω).

Wtedy

y

V

f

(x, y, z)dxdydz =

y

Ω

f

(̺ cos ϕ, ̺ sin ϕ, h) · ̺ dhd̺dϕ .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 27/42

Przykład

Niech

V b˛edzie obszarem ograniczonym paraboloid ˛

a

z

= 9 − x

2

− y

2

i płaszczyzn ˛

a z

= 0.

Oblicz

y

V

x

2

dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 28/42

Przykład

Niech

V b˛edzie obszarem ograniczonym

sto˙zkiem

z

= 2

q

x

2

+ y

2

i płaszczyzn ˛

a z

= 8.

Oblicz

y

V

(x

2

+ y

2

)dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 29/42

Współrz˛edne sferyczne w całkach potrójnych

Poło˙zenie punktu A

(x, y, z) w przestrzeni mo˙zna opisa´c trójk ˛

a liczb

(ϕ, ψ, ̺), gdzie:



ϕ – oznacza miara k ˛

ata mi˛edzy rzutem promienia wodz ˛

acego

punktu A na płaszczyzn˛e XOY , a dodatni ˛

a cz˛e´sci ˛

a osi OX,

0 ¬ ϕ < 2π lub −π < ϕ ¬ π,



ψ – oznacza miara k ˛

ata mi˛edzy promieniem wodz ˛

acym punktu A,

płaszczyzn ˛

a XOY ,

−

π

2

¬ ψ ¬

π

2

,



̺ – oznacza odległo´s´c punktu A od pocz ˛

atku układu

współrz˛ednych,

0 ¬ ̺ < ∞.

Trójk˛e liczb

(ϕ, ψ, ̺) nazywamy

współrz˛ednymi sferycznymi punktu przestrzeni.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 30/42

Zale˙zno´s´c mi˛edzy współrz˛ednymi sferycznymi i kartezja ´nskimi

S :



















x

= ̺ cos ϕ cos ψ

y

= ̺ sin ϕ cos ψ

z

= ̺ sin ψ

Przekształcenie

S, które ka˙zdemu punktowi (ϕ, ψ, ̺)

przyporz ˛

adkowuje punkt

(x, y, z) okre´slony powy˙zszymi

wzorami, nazywamy

przekształceniem sferycznym.

Jakobian przekształcenia sferycznego J

W

= ̺

2

cos ψ.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 31/42

Twierdzenie - współrz˛edne sferyczne w całce potrójnej

Niech



obszar

Ω we współrz˛ednych biegunowych b˛edzie obszarem

normalnym



funkcja f b˛edzie ci ˛

agła na obszarze V , który jest obrazem

obszaru

Ω przy przekształceniu sferycznym, tzn. V = S(Ω).

Wtedy

y

V

f

(x, y, z)dxdydz =

y

Ω

f

(̺ cos ϕ cos ψ, ̺ sin ϕ cos ψ, ̺ sin ψ) · ̺

2

· cos ψ d̺dψdϕ .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 32/42

Przykład

Niech

V b˛edzie obszarem ograniczonym

półsfer ˛

a

z

=

q

4 − x

2

− y

2

i płaszczyzn ˛

a z

= 0. Oblicz

y

V

z

2

q

x

2

+ y

2

+ z

2

dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 33/42

Przykład

Niech

V b˛edzie obszarem ograniczonym

powierzchni ˛

a

z

=





2

q

1 − x

2

− y

2

i płaszczyzn ˛

a z

=

1
2

.

Oblicz

y

V

dxdydz

x

2

+ y

2

+ z

2

.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 34/42

Zastosowania całek potrójnych w geometrii



Obj˛eto´s´c obszaru

Obj˛eto´s´c obszaru V

⊂ R

3

wyra˙za si˛e wzorem:

|V | =

y

V

dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 35/42

Zastosowania całek potrójnych w mechanice



Masa obszaru

Masa obszaru V

⊂ R

3

o g˛esto´sci obj˛eto´sciowej masy ̺ wyra˙za si˛e

wzorem:

M

=

y

V

̺

(x, y, z)dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 36/42

Momenty statyczne

Momenty statyczne wzgl˛edem płaszczyzn układu współrz˛ednych
obszaru V

⊂ R

3

o g˛esto´sci obj˛eto´sciowej masy ̺ wyra˙zaj ˛

a si˛e

wzorami:

M S

xy

=

y

V

z̺

(x, y, z)dxdydz ,

M S

xz

=

y

V

y̺

(x, y, z)dxdydz ,

M S

yz

=

y

V

x̺

(x, y, z)dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 37/42

Współrz˛edne ´srodka masy

Współrz˛edne ´srodka masy obszaru V

⊂ R

3

o g˛esto´sci

obj˛eto´sciowej masy ̺ wyra˙zaj ˛

a si˛e wzorami:

x

C

=

M S

yz

M

,

y

C

=

M S

xz

M

,

z

C

=

M S

xy

M

.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 38/42

Momenty bezwładno´sci

Momenty bezwładno´sci wzgl˛edem osi OX, OY , OZ obszaru

V

⊂ R

3

o g˛esto´sci obj˛eto´sciowej masy ̺ wyra˙zaj ˛

a si˛e wzorami:

I

x

=

y

V

(y

2

+ z

2

)̺(x, y, z)dxdydz ,

I

y

=

y

V

(x

2

+ z

2

)̺(x, y, z)dxdydz ,

I

z

=

y

V

(x

2

+ y

2

)̺(x, y, z)dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 39/42

Moment bezwładno´sci wzgl˛edem punktu O

(0, 0, 0)

Moment bezwładno´sci wzgl˛edem punktu O

(0, 0, 0) obszaru

V

⊂ R

3

o g˛esto´sci obj˛eto´sciowej masy ̺ wyra˙za si˛e wzorem:

I

O

=

y

V

(x

2

+ y

2

+ z

2

)̺(x, y, z)dxdydz .

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 40/42

Podsumowanie



Całki potrójne po prostopadło´scianie.



Całki potrójne po obszarach normalnych.



Warto´s´c ´srednia funkcji f na obszarze.



Współrz˛edne walcowe w całkach potrójnych.



Współrz˛edne sferyczne w całkach podwójnych.



Zastosowania całek potrójnych.

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 41/42

Dzi˛ekuj˛e za uwag˛e ;)

A

UTOMATYKA I

R

OBOTYKA

,

SEM

. II,

rok. akad. 2009/2010

Całki potrójne – str. 42/42