Definicja (obszaru normalnego) Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem płaszczyzn układu OXYZ o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni.
Niech ... , tzn. obs
n
zar ormalny dla i ,
1 , n .
1
2
n
i
obszar obszary normalne o parami regularny rozłącznych wnętrzech
Wtedy definiujemy
n
f x, y, z
dxdydz
:
f x, y, z
dxdydz
i1 i
suma całek po obszarach normalnych
Uwaga
Całki po obszarch regularnych mają te same własności co całki po prostopadłościanach (addywność, liniowość, ograniczoność).
Twierdzenie (o zamianie zmiennych w całce potrójnej) Niech , V - obszary w regularne w 3
R ,
: V ,
suriekcja
u, v, w u, v, w, u, v, w, u, v, w dla u, v, w .
Jeśli
1º odwozorowanie przekształca różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego
na wnętrze obszaru regularnego V ,
:int int V
bijekcja
2º , ,
1
C U , gdzie U – obszar w 3
R , U
3º f C V
4º J 0
w obszarze
to
f x, y, z dxdydz
f u, v, w
, u, v, w
, u, v, w J dudvdw
.
V
1
Współrzędne walcowe ( φ, r, h) z
P( x,y,z)
h
φ
y
r
P'
x
φ – miara kąta między dodatnią półosią OX a rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę OXY
r – odległość rzutu P' punktu P na płaszczyznę OXY od początku układu współrzędnych h – odległość punktu P od płaszczyzny OXY; ze znakiem plus (+), gdy P leży nad tą płaszczyzną, a w przeciwnym wypadku przed odległością stawiamy minus (-) Wtedy
x r cos
y r sin , gdzie ,02, r 0
z h
Wyznaczamy jakobian tego odwzorowania:
r sin cos 0
J det r cos
sin 0 r
2
sin r
2
cos r
J r
0
0
1
Przykład
Obliczyć całkę potrójną I x 2 dxdydz , gdzie 2
2
V : 0 z 4 x y .
V
Obszar V jest ograniczony przez płaszczyznę z 0 oraz powierzchnię 2
2
z 4 x y .
Przekształcając ostatnie równanie do takiej postaci, aby po jednej stronie równości pojawiło się wyrażenie nieujemne, otrzymujemy
2
2
x y 4 z 4 z 0 z 4
0
czyli z ,
0 4.
2
2
x y 4 z const .
równanie okręgu
o środku w punkcie (0,0)
Zatem przekroje powierzchni płaszczyznami z const są okręgami.
Jeśli ustalimy x 0 , to otrzymamy 2
z 4 y .
Zatem przekrój powierzchni płaszczyzną x 0 jest parabolą.
Podobnie przekrój powierzchni płaszczyzną y 0 jest parabolą.
Stąd powierzchnia x 2 y 2 4 z jest paraboloidą.
z
4
V
h=4-r2
-2
2
( φ,r)
y
x
Do oblicznia tej całki zastosujemy współrzędne walcowe
x r cos
y r sin , gdzie [ , 0 2 ] , r [ ,
0 ]
2 , h [ ,
0 4
2
r ].
z h
Stąd
I r 2
2
cos rd drdh , gdzie [ , 0 2 ][ ,
0 ]
2 [ ,
0 4
2
r ]
i zamieniając na całkę iterowaną otrzymujemy 2
2
4
2
r
2
2
2
2
2
r
I d
4
3
dr r cos2 dh d
3
r cos2 h
dr d
3
r cos2
4 2
r dr
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
cos2 d
4 3 5
r r dr cos2 d 4 1 6
16
r r
cos2 d
6
3
0
0
0
0
0
2
2
16 1 1
cos
2 d 16 1
1
sin
16
2
3 2 2
3 2
4
3
0
0
3
Współrzędne sferyczne ( φ, θ, r) z
P( x,y,z)
θ
φ
y
P'
x
– miara kąta pomiędzy dodatnią półosią OX, a rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę OXY, ,
0
2
– miara kąta między płaszczyzną OXY, a promieniem wodzącym punktu P, ,
2 2
r – odległość punktu P od początku układu współrzędnych, r 0
Wtedy
x r cos cos
y r cos sin
z r sin
Wyznaczamy jakobian dla tego odwzorowania.
r cos sin r sin cos cos cos
J det r cos cos
r sin sin cos sin
0
r cos
sin
2
r cos sin2 sin2
2
r cos3 cos2
2
r cos3 sin2
2
r cos sin2 cos2
2
r cos sin2
2
r cos3
2
r cos
Ponieważ , , zatem J 0 .
2 2
4
Zastosowanie całek potrójnych Niech V – obszar regulany 3
R . Wtedy
dxdydz V - objętość obszaru V
V
Przykład
Obliczyć objętość bryły, jaką z kuli o promieniu R wycina stożek kołowy o wierzchołku w
środku kuli, wysokości R i o kącie rozwarcia
2 , gdzie 0
.
2
z
R
V
Ω
α
R
y
R
x
Ponieważ bryła jest symetryczna względem osi OZ, zatem objętość V 4 dxdydz , gdzie
jest ćwiartką bryły V.
Stosujemy współrzędne sferyczne
x r cos cos
y r cos sin
, gdzie ,
0
2 ,
,
, r ,
0 R
2
2
z r sin
Zatem jest obrazem prostopadłościanu P, P , 0
,
,
0 R
.
2
2
2
Stąd
2
2
R
2
2
2
2
1
2
3
1
V 4
r cos d d dr 4 d
d r cos dr 4 d
R cos d 4
3
R sin 2
d
P
3
3
0
0
0
0
2
2
2
2 1
3
4 3
2
4
R 1
( cos) d R 1
( cos)
3
R 1
( cos)
3
3
2
3
0
5