CAŁKI POTRÓJNE

Dany jest prostopadłościan P zwarty w 3

R ,

 a  x  b



P :  c  y  d

 p  z  q

oraz funkcja f,

f : P  R

f – ograniczona.

Dla dowolnego w

n  N yznaczamy podział p

 rostopadłościanu P

n

- P dzielimy na n prostopadłościanów o ob P

jętościach g

 V , dzie k=1,...,n

k

k

- dla k=1,...,n wyznaczamy długość przekątnej p d rostopadłościanu P

k

k

- wybieramy maksymalną z długości przekątnych i oznaczamy  , n

 : max d

n

k

k  ,...,

1

n

 -średnica podziału

n

W ten sposób utworzyliśmy ciąg podziałów pr

 n n N

ostopadłościanu P.

Następnie

- zakładamy, że ciąg j

 n est ciągiem normalnym podziałów, gdzie n N









n 

-ciąg normalny podziałów:

lim

 0.

n N

 n

n

- dla każdego k=1,...,n wybieramy punkt

A  P , A x , y , z S ,

k

k

k  k

k

k  i tworzymy sumę całkową

n

n

S 

:  f x , y , z  V



n

 k k k  k

k 1

z

q

P

Pk

dk

A

p

k

c

d

a

y

b

x

1

Definicja (całki potrójnej)

Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu P, ciąg sum cząstkowych  Sn  N



n

jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów Ak , to tę granicę nazywamy całką potrójną funkcji f w prostopadłościanie P i oznaczamy f  x, y, z dV ,

 P

f  x, y, z dV : lim S .



n

 

Uwaga

0

P

n

Jeśli funkcja ograniczona f jest ciągła poza zbiorem miary zero (zbiór miary zero w R3 to taki zbiór, który można pokryć skończoną liczbą prostopadłościanów, których suma objętości jest dowolnie mała (czyli mniejsza niż ε )), to funkcja f jest całkowalna w prostopadłościanie P.

Interpretacja geometryczna

f  x, y, z  1 

dV  V - objętość prostopadłościanu P.



P

P

Interpetacja fizyczna

1.

 x, y, z - gęstość objętościowa masy prostopadłościanu P 



 x, y, z dV - masa prostopadłościanu P.

 P

2.

 x, y, z - gęstość objętościowa ładunku elektrycznego prostopadłościanu P 

-



 x, y, z dV całkowity ładunek elektryczny zgromadzony w P.

 P

Własności całki potrójnej

Całka potrójna ma własności analogiczne jak całka podwójna (liniowość, addywność, ograniczoność).

Twierdzenie (całkowe o wartości średniej)

Jeśli

f – ciągła w prostopadłościanie P, to

 c P: f c

( ) V   f x, y, x dV, gdzie V

P





P -objętość prostopadłościanu P.

P

Twierdzenie (o zamianie całki potrójnej na cąłkę iterowaną) Jeśli

P   a, b c, d p, q, f  C( P),

to

b  d  q

 

f  x, y, z



dV 

 f  x, y, z







   



dz  dy dx

P

a  c  p

 

oraz prawdziwe są analogiczne wzory dla pozostałych pięciu całek iterowanych.

Oznaczenia

b

d

q

b

d

q

 

  ozn.

  f  x, y, z dz dy dx  dx dy f  x, y, z dz



 

  

a

c  p



a

c

p





ozn.

dV  dxdydz

ozn.

f  x, y, z dV

f  x, y, z dxdydz



 

P

P

2

Rozszerzmy teraz definicję całki na całkę potrójna w obszarze normalnym.

Całka potrójna po obszarze normalnym

Obszar domknięty ok

,



reślony nierównościami

 :  x, y  z   x, y, gdzi

e  x,y D, D  obsza regul r

arny, D  OXY,

 

,  C D

nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.

z

q

z=Ψ(x,y)

_

p

Ω

z=φ(x,y)

c

d

y

a

D

b

← najmniejszy

prostokąt

zawierający D

x

Analogicznie określamy obszar normalny względem płaszczyzny OYZ oraz względem OXZ.

Niech -

 obszar normalny względem płaszczyzny OXY, f  C.

Aby wyznaczyć całkę z funkcji f w obszarze umieszcza

,



my ten obszar w najmniejszym

prostopadłościanie P   a, b c, d p,q gdzi

,

e

a : inf x

D

b : sup x

D

c : inf y

D

d : sup y

D

p : inf  x, y

 x, y D



q : sup   x, y,

 x, y D



Zate

m   P i f  C.

3

Definiujemy nową funkcję:

*

f 

f x y z

x y z

x, y, z   , , 

dla  , ,  ,

 0

dla

 x, y, z P \ ,

funkcja f* jest ciągła ewentualnie poza zbiorem miary zero (może być nieciągła na powierzchniach: z=φ(x,y), z=ψ(x,y) ) 

 f*-całkowalna w prostopadłościanie P.

Zatem możemy zdefiniować

f  x, y, z dxdydz f *

:

 x, y, z dxdydz



 





P

















całka potrójna, dla której możemy zastosować tw. o zamianie całki

na całkę iterowaną

i otrzymujemy wzór

b

d

q

.

f * x, y z

tw

dxdydz

dx dy f *

,

 x, y, z



   

dz

P

a

c

p

Jednakże dla dowolnych (x,y) należących do rzutu p PXY rostopadłościanu P na płaszczyznę 0XY, P 



XY

 a, b  c, d mamy

  x, y



q

f  x, y, z dz , gdy

 x, y

*

f 

D

x, y, z

 

,

dz 



 x, y

p

0,

gdy

 x, y



 P \ D.

xy

Stąd

  x, y 

f 





x, y, z dxdydz 



f  x, y, z dz

.



 

dxdy



D 

 x, y



Podobnie prawdziwe są analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn układy 0XYZ.

Wniosek

Jeśli

 a  x  b



 :  x y   x

 x, y z  x, y

to

b

 ( x)   x, y

f  x, y, z dxdydz dx dy

f  x, y, z dz.



  





a

 ( x)

  x, y 

4

Wprowadźmy jeszcze jeden wzór na całę potrójną w obszarze normalnym. bę Niech D

dzie

z

obszarem regularnym otrzymanym z rzutowania przekroju obszaru pła



szczyzną z= const .

z

z= const

Ω

y

D

Dz

PXY

x

Wtedy dla dowolnego z   p, q mamy

, , ,

gdy

,

,

f * x, y, z  f  x y z

 x y D

 

z

0,

gdy

 x, y P \ D

XY

z

stąd

d

b

dy f * x, y, z dx 

f  x, y, z

 



dxdy

c

a

Dz

a zatem

q

f  x, y, z dxdydz dz

f  x, y, z dxdy.



  



p

Dz

opracował Marcin Uszko

5