Dany jest prostopadłościan P zwarty w 3
R ,
a x b
P : c y d
p z q
oraz funkcja f,
f : P R
f – ograniczona.
Dla dowolnego w
n N yznaczamy podział p
rostopadłościanu P
n
- P dzielimy na n prostopadłościanów o ob P
jętościach g
V , dzie k=1,...,n
k
k
- dla k=1,...,n wyznaczamy długość przekątnej p d rostopadłościanu P
k
k
- wybieramy maksymalną z długości przekątnych i oznaczamy , n
: max d
n
k
k ,...,
1
n
-średnica podziału
n
W ten sposób utworzyliśmy ciąg podziałów pr
n n N
ostopadłościanu P.
Następnie
- zakładamy, że ciąg j
n est ciągiem normalnym podziałów, gdzie n N
n
-ciąg normalny podziałów:
lim
0.
n N
n
n
- dla każdego k=1,...,n wybieramy punkt
A P , A x , y , z S ,
k
k
k k
k
k i tworzymy sumę całkową
n
n
S
: f x , y , z V
n
k k k k
k 1
z
q
P
Pk
dk
A
p
k
c
d
a
y
b
x
1
Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu P, ciąg sum cząstkowych Sn N
n
jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów Ak , to tę granicę nazywamy całką potrójną funkcji f w prostopadłościanie P i oznaczamy f x, y, z dV ,
P
f x, y, z dV : lim S .
n
Uwaga
0
P
n
Jeśli funkcja ograniczona f jest ciągła poza zbiorem miary zero (zbiór miary zero w R3 to taki zbiór, który można pokryć skończoną liczbą prostopadłościanów, których suma objętości jest dowolnie mała (czyli mniejsza niż ε )), to funkcja f jest całkowalna w prostopadłościanie P.
Interpretacja geometryczna
f x, y, z 1
dV V - objętość prostopadłościanu P.
P
P
Interpetacja fizyczna
1.
x, y, z - gęstość objętościowa masy prostopadłościanu P
x, y, z dV - masa prostopadłościanu P.
P
2.
x, y, z - gęstość objętościowa ładunku elektrycznego prostopadłościanu P
-
x, y, z dV całkowity ładunek elektryczny zgromadzony w P.
P
Własności całki potrójnej
Całka potrójna ma własności analogiczne jak całka podwójna (liniowość, addywność, ograniczoność).
Twierdzenie (całkowe o wartości średniej)
Jeśli
f – ciągła w prostopadłościanie P, to
c P: f c
( ) V f x, y, x dV, gdzie V
P
P -objętość prostopadłościanu P.
P
Twierdzenie (o zamianie całki potrójnej na cąłkę iterowaną) Jeśli
P a, b c, d p, q, f C( P),
to
b d q
f x, y, z
dV
f x, y, z
dz dy dx
P
a c p
oraz prawdziwe są analogiczne wzory dla pozostałych pięciu całek iterowanych.
Oznaczenia
b
d
q
b
d
q
ozn.
f x, y, z dz dy dx dx dy f x, y, z dz
a
c p
a
c
p
ozn.
dV dxdydz
ozn.
f x, y, z dV
f x, y, z dxdydz
P
P
2
Rozszerzmy teraz definicję całki na całkę potrójna w obszarze normalnym.
Całka potrójna po obszarze normalnym
Obszar domknięty ok
,
reślony nierównościami
: x, y z x, y, gdzi
e x,y D, D obsza regul r
arny, D OXY,
, C D
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.
z
q
z=Ψ(x,y)
_
p
Ω
z=φ(x,y)
c
d
y
a
D
b
← najmniejszy
prostokąt
zawierający D
x
Analogicznie określamy obszar normalny względem płaszczyzny OYZ oraz względem OXZ.
Niech -
obszar normalny względem płaszczyzny OXY, f C.
Aby wyznaczyć całkę z funkcji f w obszarze umieszcza
,
my ten obszar w najmniejszym
prostopadłościanie P a, b c, d p,q gdzi
,
e
a : inf x
D
b : sup x
D
c : inf y
D
d : sup y
D
p : inf x, y
x, y D
q : sup x, y,
x, y D
Zate
m P i f C.
3
*
f
f x y z
x y z
x, y, z , ,
dla , , ,
0
dla
x, y, z P \ ,
funkcja f* jest ciągła ewentualnie poza zbiorem miary zero (może być nieciągła na powierzchniach: z=φ(x,y), z=ψ(x,y) )
f*-całkowalna w prostopadłościanie P.
Zatem możemy zdefiniować
f x, y, z dxdydz f *
:
x, y, z dxdydz
P
całka potrójna, dla której możemy zastosować tw. o zamianie całki
na całkę iterowaną
i otrzymujemy wzór
b
d
q
.
f * x, y z
tw
dxdydz
dx dy f *
,
x, y, z
dz
P
a
c
p
Jednakże dla dowolnych (x,y) należących do rzutu p PXY rostopadłościanu P na płaszczyznę 0XY, P
XY
a, b c, d mamy
x, y
q
f x, y, z dz , gdy
x, y
*
f
D
x, y, z
,
dz
x, y
p
0,
gdy
x, y
P \ D.
xy
Stąd
x, y
f
x, y, z dxdydz
f x, y, z dz
.
dxdy
D
x, y
Podobnie prawdziwe są analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn układy 0XYZ.
Wniosek
Jeśli
a x b
: x y x
x, y z x, y
to
b
( x) x, y
f x, y, z dxdydz dx dy
f x, y, z dz.
a
( x)
x, y
4
Wprowadźmy jeszcze jeden wzór na całę potrójną w obszarze normalnym. bę Niech D
dzie
z
obszarem regularnym otrzymanym z rzutowania przekroju obszaru pła
szczyzną z= const .
z
z= const
Ω
y
D
Dz
PXY
x
Wtedy dla dowolnego z p, q mamy
, , ,
gdy
,
,
f * x, y, z f x y z
x y D
z
0,
gdy
x, y P \ D
XY
z
stąd
d
b
dy f * x, y, z dx
f x, y, z
dxdy
c
a
Dz
a zatem
q
f x, y, z dxdydz dz
f x, y, z dxdy.
p
Dz
opracował Marcin Uszko
5