ZASTOSOWANIE CAŁEK PODWÓJNYCH W GEOMETRII 1. Pole obszaru regularnego

Jeśli funkcja f jest stale równa 1 w obszarze regularnym to 2

D  R ,

dxdy  D -pole obszaru D.

 D

2. Objętość bryły

Niech D - obszar regularny 2

 R ,

-funkcje ciagłe na obszarze D

f , g  C D, tzn f , g ora

z f  g.

Rozważmy bryłę ograniczoną wykresami funkcji: z  f ( x, y) z  g( x, y) dla ( x, y)  .

D

z

z=f(x,y)

V

y=g(x,y)

y

D

x

3. Wtedy objętość t

V ej bryły jest całką podwójną z różnicy funkcji f i g w obszarze D, V 

 f  x, y g x, y dx .





dy

D

3. Pole płata powierzchniowego Niech D – obszar regularny w 2

R ,

1

f  C ( D), S - zbiór punktów wykresu funkcji f , S  

 x, y, z: z  f  x, y;  x, y 

D

zbiór ten nazywamy płatem powierzchniowym.

1

z

S

z=f(x,y)

y

D

x

Wtedy pole pła

S

ta powierzchniowego S wynosi 2

2

 f

 

 f

 

S 

1 

 

dx .

dy



 x



   y 



D



opracował Marcin Uszko

2