Wykorzystanie całek oznaczonych w geometrii

(wzory)

Beata Wysocka

17 marca 2013

1

Wzory dla funkcji f określonej:
y = f (x), x ∈ [a, b].

1.1

Pole pod wykresem funkcji.

|P | =

b

Z

a

f (x)dx

Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b].

1.2

Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół
osi OX.

|V | = π

b

Z

a

f

2

(x)dx

Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b].

1.3

Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół
osi OY .

|V | = 2π

b

Z

a

xf (x)dx

Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b], a ≥ 0.

1

1.4

Długość krzywej będącej wykresem funkcji.

|L| =

b

Z

a

q

1 + (f

0

(x))

2

dx

Założenia: funkcja f ma ciągłą pochodną na [a, b].

1.5

Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji
wokół osi OX.

|S| = 2π

b

Z

a

f (x)

q

1 + (f

0

(x))

2

dx

Założenia: funkcja f jest nieujemna na [a, b] i ma ciągłą pochodną na tym

przedziale.

1.6

Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji
wokół osi OY .

|S| = 2π

b

Z

a

x

q

1 + (f

0

(x))

2

dx

Założenia: funkcja f ma ciągłą pochodną na [a, b], a ≥ 0.

2

Wzory dla krzywej w postaci parametrycznej.

Krzywa dana jest równaniami parametrycznymi:

(

x = x(t)
y = y(t)

t ∈ [α, β]

2.1

Pole pod krzywą.

|P | =

β

Z

α

|x

0

(t)|y(t)dt

Założenia: funkcje x

0

oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna na tym

przedziale.

2

2.2

Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX.

|V | = π

β

Z

α

|x

0

(t)|y

2

(t)dt

Założenia: funkcje x

0

oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna na tym

przedziale.

2.3

Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OY .

|V | = 2π

β

Z

α

x

0

(t)x(t)y(t)dt

Założenia: funkcje x, x

0

, y są ciągłe i nieujemne na [α, β].

2.4

Długość krzywej.

|L| =

β

Z

α

q

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt

Założenia: funkcje x

0

oraz y

0

są ciągłe na [α, β]

2.5

Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OX.

|S| = 2π

β

Z

α

y(t)

q

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt

Założenia: funkcje y

0

, x

0

oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna.

2.6

Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OY .

|S| = 2π

β

Z

α

x(t)

q

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt

Założenia: funkcje x, x

0

, y

0

są ciągłe i nieujemne na [α, β].

3

3

Wzory dla krzywej określonej współrzędnymi
biegunowymi.

Krzywa dana jest równaniem biegunowym:

r = g(ϕ)

ϕ ∈ [α, β]

3.1

Pole obszaru ograniczonego krzywą.

|S| =

1

2

β

Z

α

g

2

(ϕ)dϕ

Założenia: g jest funkcją ciągłą na [α, β].

3.2

Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX.

|V | = π

β

Z

α

(g

0

(ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ)g

2

(ϕ)sin

2

ϕdϕ

Założenia: g i g

0

są ciągłe na [α, β].

3.3

Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OY .

|V | = 2π

β

Z

α

(g

0

(ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ)g

2

(ϕ)sinϕcosϕdϕ

Założenia: g i g

0

są ciągłe na [α, β].

3.4

Długość krzywej.

|L| =

β

Z

α

q

g

2

(ϕ) + (g

0

(ϕ))

2

dϕ

Założenia: g i g

0

są ciągłe na [α, β].

4

3.5

Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OX.

|S| = 2π

β

Z

α

g(ϕ)sinϕ

q

g

2

(ϕ) + (g

0

(ϕ))

2

dϕ

Założenia: g i g

0

są ciągłe na [α, β].

3.6

Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OY .

|S| = 2π

β

Z

α

g(ϕ)cosϕ

q

g

2

(ϕ) + (g

0

(ϕ))

2

dϕ

Założenia: g i g

0

są ciągłe na [α, β].

4

Wyprowadzanie wzorów

Wzory dla krzywych w postaci parametrycznej oraz biegunowej można wy-
prowadzić na podstawie wzorów dla postaci y = f (x).

4.1

Algorytm dla postaci parametrycznej.

Mamy funkcję postaci y = f (x). Podstawiamy x = t, z tego mamy y = f (t).
Otrzymujemy funkcję w postaci parametrycznej :

(

x = x(t) = t
y = y(t) = f (t)

Ponadto należy zauważyć, że:

x

0

(t)dt = dx

oraz

y

0

(t)dt = f

0

(x)dx

. Znając te równości można do wzorów dla funkcji y = f (x) podstawić:

• x(t) w miejsce x,

• x

0

(t)dt w miejsce dx,

• y(t) w miejsce f (x),

•

y

0

(t)

x

0

(t)

w miejsce f

0

(x).

5

4.2

Algorytm dla postaci biegunowej.

Możemy skorzystać z faktu:

(

x = rcosϕ = g(ϕ)cosϕ
y = rsinϕ = g(ϕ)sinϕ

Otrzymaliśmy postać parametryczną. Możemy więc skorzystać z po-

przednich własności zamieniając:

• g(ϕ)cosϕ z x(t),

• g(ϕ)sinϕ z y(t),

• dϕ z dt,

• (g

0

(ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ) z x

0

(t),

• (g

0

(ϕ)sinϕ + g(ϕ)cosϕ) z y

0

(t).

6